C 14 arifmetik kvadrat ildiz. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda qanday topish mumkin

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning bo'laklari bo'lib, raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi tufayli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." Kontseptsiya " Kvadrat ildiz"hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina zaxiralanishi mumkin bo'lgan bir paytda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Ildiz haqida birinchi eslatma, qaysi on bu daqiqa√ deb belgilangan, zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Masalan, 15-asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini koʻrsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Odatiy zamonaviy ko'rinish"Shamil" √ faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga muhabbat faqat fanning rivojlanishi bilan ortganligi sababli, unga bog'lanishning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Ha, ichida Keyingi safar Ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki juft bo'lguncha. nol. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Kuzatish toq raqam 11 bo'lsa, bizda quyidagi qoldiq bor: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun baʼzan kvadrat ildizni yozishning kuch shakli qoʻllaniladi: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydondagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonining ochilishini rag'batlantirdi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.

Ushbu maqolada biz tanishtiramiz sonning ildizi haqidagi tushuncha. Biz ketma-ket harakat qilamiz: biz kvadrat ildizdan boshlaymiz, undan tavsifga o'tamiz kub ildizi, shundan keyin n-darajali ildizni aniqlab, ildiz tushunchasini umumlashtiramiz. Shu bilan birga, ta'riflar, belgilar bilan tanishamiz, ildizlarga misollar keltiramiz va kerakli tushuntirishlar va sharhlar beramiz.

Kvadrat ildiz, arifmetik kvadrat ildiz

Raqamning ildizi va xususan kvadrat ildizning ta'rifini tushunish uchun bo'lishi kerak. Bu vaqtda biz ko'pincha sonning ikkinchi darajasi - sonning kvadratiga duch kelamiz.

dan boshlaylik kvadrat ildiz ta'riflari.

Ta'rif

a ning kvadrat ildizi kvadrati a bo'lgan son.

Olib kelish uchun misollar kvadrat ildizlar , bir nechta raqamlarni oling, masalan, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 va ularning kvadratiga aylantiring, biz mos ravishda 25 , 0.09 , 0.09 va 0 raqamlarini olamiz (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 va 0 2 =0 0=0 ). Keyin yuqoridagi ta'rifga ko'ra, 5 - 25 ning kvadrat ildizi, -0,3 va 0,3 - 0,09 ning kvadrat ildizi va 0 - nolning kvadrat ildizi.

Shuni ta'kidlash kerakki, kvadrati a ga teng bo'lgan har qanday raqam uchun a mavjud emas. Ya'ni, har qanday manfiy a soni uchun yo'q haqiqiy raqam b , uning kvadrati a ga teng bo'ladi. Darhaqiqat, a=b 2 tengligi har qanday manfiy a uchun mumkin emas, chunki b 2 har qanday b uchun manfiy bo'lmagan sondir. Shunday qilib, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi yo'q. Boshqacha qilib aytganda, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi aniqlanmagan va hech qanday ma'noga ega emas.

Bu mantiqiy savolga olib keladi: "Har qanday salbiy bo'lmagan a uchun kvadrat ildiz bormi?" Javob ha. Ushbu faktning asosini kvadrat ildizning qiymatini topish uchun ishlatiladigan konstruktiv usul deb hisoblash mumkin.

Shunda quyidagi mantiqiy savol tug'iladi: "Belgilangan manfiy bo'lmagan a sonining barcha kvadrat ildizlari soni qancha - bir, ikki, uch yoki undan ko'p"? Mana unga javob: a nol bo'lsa, nolning yagona kvadrat ildizi nolga teng; agar a qandaydir musbat son bo'lsa, u holda a sonidan kvadrat ildizlar soni ikkitaga teng, ildizlari esa . Keling, buni asoslab beraylik.

a=0 ishi bilan boshlaylik. Keling, avval nolning haqiqatan ham nolning kvadrat ildizi ekanligini ko'rsatamiz. Bu aniq tenglik 0 2 =0·0=0 va kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadi.

Endi 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaylik. Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, nolning kvadrat ildizi bo'lgan nolga teng bo'lmagan b soni bor. U holda b 2 =0 shartni bajarish kerak, bu mumkin emas, chunki nolga teng bo'lmagan har qanday b uchun b 2 ifodaning qiymati musbat bo'ladi. Biz qarama-qarshilikka keldik. Bu 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaydi.

Keling, a ijobiy son bo'lgan holatlarga o'tamiz. Yuqorida biz har qanday manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi borligini aytdik, b a ning kvadrat ildizi bo'lsin. Aytaylik, c soni bor, u ham a ning kvadrat ildizi hisoblanadi. U holda, kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra, b 2 =a va c 2 =a tengliklari o'rinli bo'lib, bundan b 2 −c 2 =a−a=0, lekin b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , keyin (b−c) (b+c)=0 . Natijada tenglik kuchga kiradi haqiqiy sonlar bilan amallar xossalari faqat b−c=0 yoki b+c=0 bo‘lgandagina mumkin. Shunday qilib, b va c raqamlari teng yoki qarama-qarshidir.

Agar a sonining yana bir kvadrat ildizi bo'lgan d soni bor deb faraz qilsak, u holda berilganlarga o'xshash mulohaza yuritish orqali d soni b soniga yoki c soniga teng ekanligi isbotlanadi. Demak, musbat sonning kvadrat ildizlari soni ikkita, kvadrat ildizlari esa qarama-qarshi sonlardir.

Kvadrat ildizlar bilan ishlash qulayligi uchun salbiy ildiz ijobiydan "ajraladi". Shu maqsadda u tanishtiradi arifmetik kvadrat ildizning ta'rifi.

Ta'rif

Manfiy bo'lmagan sonning arifmetik kvadrat ildizi kvadrati a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.

a sonining arifmetik kvadrat ildizi uchun yozuv qabul qilinadi. Belgi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi. U radikalning belgisi deb ham ataladi. Shuning uchun, siz qisman ikkala "ildiz" va "radikal" ni eshitishingiz mumkin, bu bir xil ob'ektni anglatadi.

Arifmetik kvadrat ildiz belgisi ostidagi raqam chaqiriladi ildiz raqami, va ildiz belgisi ostidagi ifoda - radikal ifoda, "radikal son" atamasi ko'pincha "radikal ifoda" bilan almashtiriladi. Masalan, yozuvda 151 soni radikal son, yozuvda a ifodasi radikal ifodadir.

O'qish paytida "arifmetika" so'zi ko'pincha o'tkazib yuboriladi, masalan, yozuv "etti nuqta yigirma to'qqiz yuzdan birining kvadrat ildizi" deb o'qiladi. "Arifmetika" so'zi faqat sonning musbat kvadrat ildizi haqida gapirayotganimizni ta'kidlamoqchi bo'lganida talaffuz qilinadi.

Kiritilgan belgidan kelib chiqqan holda, arifmetik kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadiki, har qanday manfiy bo'lmagan a soni uchun.

Musbat a sonining kvadrat ildizlari va arifmetik kvadrat ildiz belgisi yordamida yoziladi. Masalan, 13 ning kvadrat ildizlari va. Nolning arifmetik kvadrat ildizi nolga teng, ya'ni . Salbiy a raqamlari uchun biz o'rganmagunimizcha yozuvlarga ma'no qo'shmaymiz murakkab sonlar. Masalan, va iboralari ma'nosiz.

Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, amalda ko'pincha ishlatiladigan kvadrat ildizlarning xususiyatlari isbotlangan.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun shuni ta'kidlaymizki, sonning kvadrat ildizlari x o'zgaruvchisiga nisbatan x 2 =a ko'rinishdagi yechimlardir.

kub ildizi

Kub ildizining ta'rifi a soni kvadrat ildizning ta'rifiga o'xshash tarzda berilgan. Faqat u kvadrat emas, balki sonning kubi tushunchasiga asoslanadi.

Ta'rif

a ning kub ildizi kubi a ga teng bo'lgan son deyiladi.

olib kelamiz kub ildizlariga misollar. Buning uchun bir nechta raqamlarni oling, masalan, 7 , 0 , −2/3 va ularni kubga aylantiring: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Keyin kub ildizining ta'rifiga asoslanib aytishimiz mumkinki, 7 soni 343 ning kub ildizi, 0 - nolning kub ildizi, -2/3 esa -8/27 ning kub ildizi.

Ko'rsatish mumkinki, a sonining kub ildizi kvadrat ildizdan farqli o'laroq, faqat manfiy bo'lmagan a uchun emas, balki har qanday haqiqiy a soni uchun ham doimo mavjud bo'ladi. Buning uchun kvadrat ildizni o'rganishda biz aytib o'tgan usuldan foydalanishingiz mumkin.

Bundan tashqari, berilgan a sonining faqat bitta kub ildizi mavjud. Keling, oxirgi fikrni isbotlaylik. Buning uchun uchta holatni alohida ko'rib chiqing: a - musbat son, a=0 va a - manfiy son.

Ijobiy a uchun a ning kub ildizi manfiy ham, nol ham bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatish oson. Haqiqatan ham, b a ning kub ildizi bo'lsin, u holda ta'rif bo'yicha b 3 =a tengligini yozishimiz mumkin. Bu tenglik manfiy b va b=0 uchun to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi aniq, chunki bu holatlarda b 3 =b·b·b mos ravishda manfiy son yoki nolga teng bo'ladi. Demak, a musbat sonning kub ildizi musbat sondir.

Endi deylik, b sonidan tashqari a sonidan yana bitta kub ildiz bor, uni c deb belgilaymiz. Keyin c 3 =a. Demak, b 3 −c 3 =a−a=0, lekin b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi kublarning farqi), bundan (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Olingan tenglik faqat b−c=0 yoki b 2 +b c+c 2 =0 bo‘lgandagina mumkin bo‘ladi. Birinchi tenglikdan biz b=c ga ega bo'lamiz, ikkinchi tenglikning yechimlari yo'q, chunki uning chap tomoni har qanday musbat b va c sonlar uchun b 2, b c va c 2 musbat hadlarining yig'indisi sifatidagi musbat sondir. Bu a musbat sonning kub ildizining yagonaligini isbotlaydi.

a=0 uchun a ning yagona kub ildizi nolga teng. Haqiqatan ham, nolga teng bo'lmagan kub ildizi bo'lgan b soni bor deb faraz qilsak, u holda b 3 =0 tengligi amal qilishi kerak, bu faqat b=0 bo'lganda mumkin bo'ladi.

Salbiy a uchun, ijobiy a uchun vaziyatga o'xshash bahslashish mumkin. Birinchidan, manfiy sonning kub ildizi na musbat songa, na nolga teng bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatamiz. Ikkinchidan, manfiy sonning ikkinchi kub ildizi bor deb hisoblaymiz va u birinchisi bilan albatta mos kelishini ko'rsatamiz.

Demak, har qanday berilgan haqiqiy a sonining kub ildizi doimo mavjud va faqat bitta.

beraylik arifmetik kub ildizining ta'rifi.

Ta'rif

Manfiy bo'lmagan sonning arifmetik kub ildizi a kubi a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son deyiladi.

Manfiy bo'lmagan a sonning arifmetik kub ildizi quyidagicha belgilanadi, belgisi arifmetik kub ildizning belgisi deb ataladi, bu yozuvdagi 3 raqami deyiladi. ildiz ko'rsatkichi. Ildiz belgisi ostidagi raqam ildiz raqami, ildiz belgisi ostidagi ifoda hisoblanadi radikal ifoda.

Arifmetik kub ildizi faqat manfiy bo'lmagan a sonlar uchun aniqlangan bo'lsa-da, manfiy sonlar arifmetik kub ildiz belgisi ostida joylashgan yozuvlardan foydalanish ham qulaydir. Biz ularni quyidagicha tushunamiz: , bu yerda a musbat son. Misol uchun, .

Kub ildizlarning xususiyatlari haqida ildizlarning umumiy maqola xususiyatlarida gaplashamiz.

Kub ildizining qiymatini hisoblash kub ildizini olish deb ataladi, bu harakat ildizlarni olish maqolasida muhokama qilinadi: usullar, misollar, echimlar.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun a ning kub ildizi x 3 =a ko'rinishdagi yechim deb aytamiz.

N ning ildizi, n ning arifmetik ildizi

Biz sondan ildiz tushunchasini umumlashtiramiz - kiritamiz n- ildizni aniqlash n uchun.

Ta'rif

a ning n- ildizi n-darajali a ga teng bo'lgan son.

Bu ta'rifdan ko'rinib turibdiki, a sonidan birinchi darajaning ildizi a sonining o'zi, chunki natural ko'rsatkich bilan darajani o'rganishda biz 1 = a ni oldik.

Yuqorida n=2 va n=3 - kvadrat ildiz va kub ildiz uchun n-darajali ildizning maxsus holatlarini ko'rib chiqdik. Ya’ni, kvadrat ildiz ikkinchi darajali ildiz, kub ildiz esa uchinchi daraja ildizidir. n=4, 5, 6, ... uchun n-darajali ildizlarni oʻrganish uchun ularni ikki guruhga boʻlish qulay: birinchi guruh – juft darajali ildizlar (yaʼni n=4, 6 uchun). , 8, ...), ikkinchi guruh - toq darajalar ildizlari (ya'ni n=5, 7, 9, ... uchun). Buning sababi, juft darajalarning ildizlari kvadrat ildizga, toq darajalarning ildizlari esa kub ildizga o'xshashdir. Keling, ular bilan o'z navbatida shug'ullanamiz.

Keling, ildizlardan boshlaylik, ularning vakolatlari juft sonlar 4, 6, 8, ... Yuqorida aytib o'tganimizdek, ular a sonining kvadrat ildiziga o'xshaydi. Ya'ni, a sonidan har qanday juft darajaning ildizi faqat manfiy bo'lmagan a uchun mavjud. Bundan tashqari, agar a=0 bo'lsa, a ning ildizi yagona va nolga teng, a>0 bo'lsa, a sonidan ikkita juft darajali ildiz bor va ular qarama-qarshi sonlardir.

Keling, oxirgi fikrni oqlaylik. b juft darajali ildiz bo'lsin (uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m ba'zi natural son) a raqamidan. Faraz qilaylik, c soni bor - a ning yana 2 m ildizi. U holda b 2 m −c 2 m =a−a=0. Lekin biz b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) shaklini bilamiz. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), keyin (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Bu tenglikdan kelib chiqadiki, b−c=0, yoki b+c=0, yoki b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Birinchi ikkita tenglik b va c raqamlari teng yoki b va c raqamlari qarama-qarshi ekanligini bildiradi. Va oxirgi tenglik faqat b=c=0 uchun amal qiladi, chunki uning chap tomonida har qanday b va c uchun manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi sifatida manfiy bo'lmagan ifoda mavjud.

Toq n uchun n-darajali ildizlarga kelsak, ular kub ildizga o'xshaydi. Ya'ni, a sonidan har qanday toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy a soni uchun mavjud va berilgan a soni uchun u yagonadir.

a sonidan 2·m+1 toq darajali ildizning yagonaligi a dan kub ildizning yagonaligini isbotlash bilan analogiya orqali isbotlanadi. Faqat bu erda tenglik o'rniga a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ko‘rinishdagi tenglik (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Oxirgi qavsdagi ifodani shunday yozish mumkin b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Masalan, m=2 uchun bizda mavjud b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Agar a va b ikkalasi ham musbat yoki ikkalasi ham manfiy bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi musbat son bo‘lsa, u holda eng yuqori darajadagi qavs ichida joylashgan b 2 +c 2 +b·c ifodasi musbat miqdorlarning yig‘indisi sifatida ijobiy bo‘ladi. raqamlar. Endi oldingi darajali qavs ichidagi iboralarga ketma-ket o'tsak, biz ular ham ijobiy sonlar yig'indisi sifatida ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Natijada b 2 m+1 −c 2 m+1 = tengligiga erishamiz (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 faqat b−c=0 bo‘lganda, ya’ni b soni c soniga teng bo‘lgandagina mumkin.

n-darajali ildizlarning yozuvlari bilan shug'ullanish vaqti keldi. Buning uchun u beriladi n-darajali arifmetik ildizni aniqlash.

Ta'rif

arifmetik ildiz manfiy bo'lmagan sonning n-darajali a manfiy bo'lmagan son deyiladi, n-darajali a ga teng.

Kvadrat ildiz nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Bu tushuncha juda oddiy. Tabiiyki, men aytaman. Matematiklar har bir harakat uchun reaktsiya topishga harakat qilishadi. Qo'shish bor va ayirish bor. Ko‘paytirish ham, bo‘lish ham bor. Kvadratlash bor ... Shunday qilib, ham bor kvadrat ildizni chiqarish! Hammasi shu. Bu harakat ( kvadrat ildizni olish) matematikada ushbu belgi bilan belgilanadi:

Belgining o'zi chaqiriladi go'zal so'z "radikal".

Ildizni qanday olish mumkin? O'ylab ko'rish yaxshiroqdir misollar.

9 ning kvadrat ildizi nima? Qaysi sonning kvadrati bizga 9 ni beradi? 3 kvadrat bizga 9 ni beradi! Bular:

Nolning kvadrat ildizi nima? Hammasi joyida! Nolning kvadrati qanday raqamni beradi? Ha, uning o'zi nol beradi! Ma'nosi:

Qo'lga tushdi kvadrat ildiz nima? Keyin ko'rib chiqamiz misollar:

Javoblar (tartibsiz): 6; bitta; 4; to'qqiz; 5.

Qaror qildingizmi? Haqiqatan ham, bu juda oson!

Lekin... Odam qandaydir vazifani ildizi bor ko‘rsa nima qiladi?

Biror kishi intilishni boshlaydi ... U ildizlarning soddaligi va yengilligiga ishonmaydi. Garchi u bilganga o'xshaydi kvadrat ildiz nima...

Buning sababi shundaki, inson ildizlarni o'rganishda bir nechta muhim fikrlarni e'tiborsiz qoldirgan. Keyin bu modalar sinovlar va imtihonlardan shafqatsizlarcha qasos oladilar ...

Birinchi nuqta. Ildizlar ko'rish orqali tan olinishi kerak!

49 ning kvadrat ildizi nima? Yetti? To'g'ri! Etti borligini qayerdan bildingiz? Yetti kvadrat bo'lib, 49 ni topdingizmi? To'g'ri! Shuni esda tuting ildizni chiqarib oling 49 dan biz teskari operatsiyani bajarishimiz kerak edi - kvadrat 7! Va o'tkazib yubormasligimizga ishonch hosil qiling. Yoki ular sog'inishlari mumkin ...

Qiyinchilik ham shunda ildiz chiqarish. Kvadratga solish har qanday raqam hech qanday muammosiz mumkin. Raqamni ustunga ko'paytiring - va bu hammasi. Lekin uchun ildiz chiqarish bunday oddiy va muammosiz texnologiya yo'q. hisob olib ketish; ko'tarish javob bering va uni kvadrat bilan urish uchun tekshiring.

Bu murakkab ijodiy jarayon - javob tanlash - agar siz juda soddalashtirilgan eslab qoling mashhur raqamlar kvadratlari. Ko'paytirish jadvali kabi. Aytaylik, 4 ni 6 ga ko'paytirish kerak bo'lsa - siz to'rttasini 6 marta qo'shmaysiz, shunday emasmi? Javob darhol paydo bo'ladi 24. Garchi, hamma ham bunga ega emas, ha ...

Ildizlar bilan bepul va muvaffaqiyatli ishlash uchun 1 dan 20 gacha bo'lgan raqamlarning kvadratlarini bilish kifoya. U yerda va orqaga. Bular. Siz ikkalasini ham, aytaylik, 11 kvadrat va 121 ning kvadrat ildizini osongina nomlay olishingiz kerak. Bu yodga erishish uchun ikkita yo'l bor. Birinchisi, kvadratchalar jadvalini o'rganishdir. Bu misollar bilan ko'p yordam beradi. Ikkinchidan, qaror qabul qiling ko'proq misollar. Kvadratchalar jadvalini eslab qolish juda yaxshi.

Va kalkulyatorlar yo'q! Faqat tekshirish uchun. Aks holda, siz imtihon paytida shafqatsizlarcha sekinlashasiz ...

Shunday qilib, kvadrat ildiz nima Xo'sh qanday ildizlarni ajratib oling- Menimcha, tushunarli. Endi ularni NIMADAN ajratib olishingiz mumkinligini bilib olaylik.

Ikkinchi nuqta. Root, men sizni tanimayman!

Qaysi raqamlardan kvadrat ildiz olish mumkin? Ha, deyarli har qanday. Nima ekanligini tushunish osonroq bu taqiqlangan ularni chiqarib oling.

Keling, ushbu ildizni hisoblashga harakat qilaylik:

Buning uchun kvadrat bizga -4 beradigan raqamni olishingiz kerak. Biz tanlaymiz.

Nima tanlanmagan? 2 2 +4 beradi. (-2) 2 yana +4 beradi! Hammasi shu ... Kvadrati bo'lganida bizga salbiy son beradigan raqamlar yo'q! Men raqamlarni bilsam ham. Lekin men sizga aytmayman.) Kollejga boring va o'zingiz bilib oling.

Xuddi shu voqea har qanday salbiy raqam bilan bo'ladi. Demak, xulosa:

Kvadrat ildiz belgisi ostida manfiy raqam bo'lgan ifoda - ma'noga ega emas! Bu taqiqlangan operatsiya. Nolga bo'lish kabi taqiqlangan. Bu haqiqatni yodda saqlang! Yoki boshqacha aytganda:

Manfiy sonlardan kvadrat ildiz chiqara olmaysiz!

Ammo qolganlardan - siz qila olasiz. Misol uchun, hisoblash mumkin

Bir qarashda, bu juda qiyin. Kasrlarni yig'ing, lekin kvadratga aylantiring ... Xavotir olmang. Ildizlarning xususiyatlari bilan shug'ullanadigan bo'lsak, bunday misollar kvadratlarning bir xil jadvaliga tushiriladi. Hayot osonroq bo'ladi!

Yaxshi kasrlar. Ammo biz hali ham shunday iboralarga duch kelamiz:

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Hammasi bir xil. Ikkining kvadrat ildizi - bu kvadratga aylanganda bizga ikkilik hosil qiladigan son. Faqat raqam mutlaqo notekis ... Mana:

Qizig'i shundaki, bu kasr hech qachon tugamaydi ... Bunday raqamlar irratsional deb ataladi. Kvadrat ildizlarda bu eng keng tarqalgan narsa. Aytgancha, shuning uchun ildizli iboralar deyiladi mantiqsiz. Bunday cheksiz kasrni doimo yozish noqulay ekanligi aniq. Shuning uchun, ular cheksiz kasr o'rniga, uni quyidagicha qoldiradilar:

Agar misolni yechishda siz chiqarib bo'lmaydigan narsani olsangiz, masalan:

keyin biz uni shunday qoldiramiz. Bu javob bo'ladi.

Belgilar ostida nima borligini aniq tushunishingiz kerak

Albatta, agar raqamning ildizi olinsa silliq, shunday qilishingiz kerak. Shakldagi topshiriqning javobi, masalan

juda to'liq javob.

Va, albatta, siz xotiradan taxminiy qiymatlarni bilishingiz kerak:

Bu bilim murakkab vazifalardagi vaziyatni baholashda ko'p yordam beradi.

Uchinchi nuqta. Eng ayyor.

Ildizlar bilan ishlashdagi asosiy chalkashlik aynan shu moda tufayli yuzaga keladi. Aynan u ishonch beradi o'z kuchlari... Keling, bu modani to'g'ri hal qilaylik!

Boshlash uchun biz yana to'rttasining kvadrat ildizini chiqaramiz. Nima, men sizni bu ildiz bilan allaqachon oldimmi?) Hech narsa, endi qiziqarli bo'ladi!

4 ning kvadratida qanday raqam chiqadi? Xo'sh, ikki, ikkita - men norozi javoblarni eshitaman ...

To'g'ri. Ikki. Biroq shu bilan birga minus ikki 4 kvadrat beradi ... Ayni paytda, javob

to'g'ri va javob

eng qo'pol xato. Mana bunday.

Xo‘sh, nima gap?

Haqiqatan ham, (-2) 2 = 4. Va to'rtta kvadrat ildizning ta'rifi ostida minus ikki juda mos keladi ... Bu ham to'rtning kvadrat ildizidir.

Lekin! Maktab matematika kursida kvadrat ildizlarni hisobga olish odatiy holdir faqat manfiy bo'lmagan raqamlar! Ya'ni nol va hammasi ijobiy. Hatto maxsus atama ham ishlab chiqilgan: raqamdan a- Bu salbiy bo'lmagan kvadrati bo'lgan raqam a. Arifmetik kvadrat ildizni chiqarishda salbiy natijalar shunchaki o'chiriladi. Maktabda barcha kvadrat ildizlar - arifmetik. Bu alohida aytilmagan bo'lsa-da.

OK, bu tushunarli. Salbiy natijalar bilan chalkashmaslik ham yaxshi... Bu hali chalkashlik emas.

Chalkashlik kvadrat tenglamalarni yechishda boshlanadi. Masalan, quyidagi tenglamani yechish kerak.

Tenglama oddiy, biz javobni yozamiz (o'rgatilganidek):

Bu javob (juda to'g'ri, aytmoqchi) shunchaki qisqartirilgan belgi ikki javoblar:

To'xtang! Bir oz yuqoriroq kvadrat ildiz son ekanligini yozdim har doim salbiy emas! Va bu erda javoblardan biri - salbiy! Tartibsizlik. Bu ildizlarga ishonchsizlikni keltirib chiqaradigan birinchi (lekin oxirgi emas) muammo ... Keling, bu muammoni hal qilaylik. Keling, javoblarni (faqat tushunish uchun!) quyidagicha yozamiz:

Qavslar javobning mohiyatini o'zgartirmaydi. Men faqat qavslar bilan ajratdim belgilar dan ildiz. Endi ildizning o'zi (qavs ichida) hali ham manfiy bo'lmagan son ekanligi aniq ko'rinib turibdi! Va belgilar tenglamani yechish natijasi. Axir, har qanday tenglamani yechishda biz yozishimiz kerak hammasi x, dastlabki tenglamaga almashtirilganda to'g'ri natija beradi. Beshning ildizi (ijobiy!) Bizning tenglamamiz uchun ortiqcha va minus bilan mos keladi.

Mana bunday. Agar Siz faqat kvadrat ildizni oling har qanday narsadan har doim olish bitta salbiy bo'lmagan natija. Misol uchun:

Chunki bu - arifmetik kvadrat ildiz.

Ammo agar siz qaror qilsangiz kvadrat tenglama, yozing:

keyin har doim chiqadi ikki javob (ortiqcha va minus bilan):

Chunki u tenglamaning yechimidir.

Umid, kvadrat ildiz nima ochkolaringiz bilan to'g'ri tushundingiz. Endi ildizlar bilan nima qilish mumkinligini, ularning xususiyatlari qanday ekanligini aniqlash qoladi. Va qanday moda va suv osti qutilari ... kechirasiz, toshlar!)

Bularning barchasi - keyingi darslarda.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Savodlilik belgisi bo'lgan ko'plab bilimlar orasida alifbo birinchi o'rinda turadi. Keyingi, xuddi shu "belgi" elementi - qo'shish-ko'paytirish va ularga qo'shni, lekin ma'nosi teskari, ayirish-bo'lishning arifmetik amallari. Uzoq maktab bolaligida o'rganilgan ko'nikmalar kechayu kunduz sadoqat bilan xizmat qiladi: televizor, gazeta, SMS, Va hamma joyda biz o'qiymiz, yozamiz, hisoblaymiz, qo'shamiz, ayitamiz, ko'paytiramiz. Va ayting-chi, siz mamlakatdan tashqari hayotda tez-tez ildiz otishingiz kerak bo'lganmi? Masalan, 12345 raqamining kvadrat ildizi kabi qiziqarli muammo ... Kukunli idishlarda porox bormi? Biz qila olamizmi? Ha, osonroq narsa yo'q! Mening kalkulyatorim qayerda ... Va u holda, qo'l-qo'l, zaif?

Birinchidan, keling, bu nima ekanligini aniqlaymiz - sonning kvadrat ildizi. Umuman olganda, "sondan ildiz chiqarish" degani, kuchga ko'tarishga qarama-qarshi arifmetik amalni bajarishni anglatadi - bu erda hayotda qo'llaniladigan qarama-qarshiliklarning birligi mavjud. aytaylik, kvadrat sonni o'z-o'zidan ko'paytirish, ya'ni ular maktabda o'rgatganidek, X * X = A yoki boshqa yozuvda X2 = A, va so'zlarda - "X kvadrat A ga teng". Shunda teskari masala shunday eshitiladi: A sonining kvadrat ildizi X soni bo'lib, kvadrati A ga teng bo'ladi.

Kvadrat ildizni ajratib olish

Maktab arifmetika kursidan birinchi to'rttadan foydalangan holda har qanday hisob-kitoblarni bajarishga yordam beradigan "ustundagi" hisoblash usullari ma'lum. arifmetik amallar. Afsuski ... Kvadrat uchun, va faqat kvadrat uchun, bunday algoritmlarning ildizlari mavjud emas. Va bu holda, kvadrat ildizni kalkulyatorsiz qanday chiqarish mumkin? Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, faqat bitta xulosa mavjud - natijaning qiymatini raqamlarni ketma-ket sanab o'tish orqali tanlash kerak, ularning kvadrati ildiz ifodasi qiymatiga yaqinlashadi. Faqat va hamma narsa! Bir yoki ikki soat o'tmasdan oldin, uni "ustun" ga, har qanday kvadrat ildizga ko'paytirishning taniqli usuli yordamida hisoblash mumkin. Agar sizda mahorat bo'lsa, buning uchun bir necha daqiqa kifoya qiladi. Hatto unchalik rivojlangan bo'lmagan kalkulyator yoki shaxsiy kompyuter foydalanuvchisi ham buni bir zarbada bajaradi - taraqqiyot.

Ammo jiddiy tarzda, kvadrat ildizni hisoblash ko'pincha "artilleriya vilkalari" texnikasi yordamida amalga oshiriladi: birinchidan, ular kvadrati taxminan ildiz ifodasiga mos keladigan raqamni oladilar. "Bizning kvadrat" bu ifodadan bir oz kamroq bo'lsa yaxshi bo'ladi. Keyin ular raqamni o'zlarining mahorat-tushunishlariga ko'ra tuzatadilar, masalan, ikkiga ko'paytiradilar va ... yana kvadrat. Natija bo'lsa ko'proq raqam ildiz ostida, asl raqamni ketma-ket sozlash, asta-sekin ildiz ostidagi "hamkasbi" ga yaqinlashadi. Ko'rib turganingizdek - kalkulyator yo'q, faqat "ustunda" hisoblash qobiliyati. Albatta, kvadrat ildizni hisoblash uchun ko'plab ilmiy asoslangan va optimallashtirilgan algoritmlar mavjud, ammo "uyda foydalanish" uchun yuqoridagi texnika natijaga 100% ishonch beradi.

Ha, men deyarli unutdim, savodxonligimiz oshganligini tasdiqlash uchun biz ilgari ko'rsatilgan 12345 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Biz buni bosqichma-bosqich bajaramiz:

1. Sof intuitiv ravishda X=100 qabul qiling. Keling, hisoblab chiqamiz: X * X = 10000. Sezgi tepada - natija 12345 dan kam.

2. Keling, harakat qilaylik, shuningdek, sof intuitiv ravishda, X = 120. Keyin: X * X = 14400. Va yana, sezgi bilan, tartib - natija 12345 dan ortiq.

3. Yuqorida 100 va 120 "vilka" olinadi. Keling, yangi raqamlarni tanlaymiz - 110 va 115. Biz mos ravishda 12100 va 13225 ni olamiz - vilka torayadi.

4. Biz "balki" X = 111 ga harakat qilamiz. Biz X * X = 12321 ni olamiz. Bu raqam allaqachon 12345 ga yaqin. Kerakli aniqlikka muvofiq, olingan natijada "o'rnatish" davom ettirilishi yoki to'xtatilishi mumkin. Hammasi shu. Va'da qilinganidek - hamma narsa juda oddiy va kalkulyatorsiz.

Bir oz tarix ...

Hatto Pifagorchilar, maktab o'quvchilari va Pifagor izdoshlari ham miloddan avvalgi 800 yilda kvadrat ildizlardan foydalanishni o'ylashgan. va o'sha erda raqamlar sohasidagi yangi kashfiyotlar "yugurib ketdi". Va u qaerdan paydo bo'ldi?

1. Ildizni ajratib olish masalasini yechish, natijani yangi sinf raqamlari shaklida beradi. Ularni irratsional, boshqacha qilib aytganda, "aqlsiz" deb atashgan, chunki. ular to'liq son sifatida yozilmagan. Bu turdagi eng klassik misol kvadrat ildiz 2. Bu holat 1 ga teng tomoni bo'lgan kvadratning diagonalini hisoblashga mos keladi - bu erda Pifagor maktabining ta'siri. Ma'lum bo'lishicha, tomonlarning o'ziga xos birlik o'lchamiga ega bo'lgan uchburchakda gipotenuzaning "oxiri yo'q" son bilan ifodalanadigan o'lcham bor. Shunday qilib, matematikada paydo bo'ldi

2. Ma'lum bo'lishicha, bu matematik operatsiya yana bitta tutqichni o'z ichiga oladi - ildizni ajratib olish, biz qaysi sonning qaysi kvadrati ijobiy yoki salbiy ildiz ifodasi ekanligini bilmaymiz. Bu noaniqlik, ya'ni bitta operatsiyaning qo'sh natijasi yoziladi.

Bu hodisa bilan bog`liq masalalarni o`rganish matematikada murakkab o`zgaruvchi nazariyasi deb ataladigan yo`nalishga aylandi, bu matematik fizikada katta amaliy ahamiyatga ega.

Qizig'i shundaki, ildiz belgisi - radikal - o'zining "Universal arifmetika" da xuddi shu hamma joyda tarqalgan I. Nyuton tomonidan ishlatilgan, lekin aynan shu. zamonaviy ko'rinish Ildiz yozuvi 1690 yildan beri frantsuz roligining "Algebra bo'yicha qo'llanma" kitobidan ma'lum.