รากของดีกรี n: คำจำกัดความพื้นฐาน รากและคุณสมบัติของมัน

สคริปต์บทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ในหัวข้อ:

« รากที่ n ของ เบอร์จริง. »

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:การก่อตัวของนักเรียนในมุมมองแบบองค์รวมของราก นดีกรีที่ th และรากเลขคณิตของดีกรีที่ n การก่อตัวของทักษะการคำนวณ ทักษะการมีสติและ การใช้อย่างมีเหตุผลคุณสมบัติของรากในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่มีสารอนุมูลอิสระ เพื่อตรวจสอบระดับการเรียนรู้คำถามของหัวข้อโดยนักเรียน

เรื่อง:สร้างเงื่อนไขที่มีความหมายและองค์กรสำหรับการดูดซึมของวัสดุในหัวข้อ "ตัวเลขและ นิพจน์ตามตัวอักษร» ในระดับการรับรู้ ความเข้าใจ และการท่องจำเบื้องต้น เพื่อสร้างความสามารถในการใช้ข้อมูลนี้เมื่อคำนวณรากของดีกรีที่ n จากจำนวนจริง

เมตาหัวเรื่อง:ส่งเสริมการพัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป สรุปผล;

ส่วนตัว:เพื่อปลูกฝังความสามารถในการแสดงความคิดเห็น ฟังคำตอบของผู้อื่น มีส่วนร่วมในการสนทนา สร้างความสามารถในการร่วมมือในเชิงบวก

ผลลัพธ์ตามแผน

เรื่อง: สามารถใช้คุณสมบัติของรากของดีกรีที่ n จากจำนวนจริงในกระบวนการของสถานการณ์จริงเมื่อคำนวณรากแก้สมการ

ส่วนตัว: เพื่อสร้างความใส่ใจและความถูกต้องในการคำนวณ ทัศนคติที่เรียกร้องต่อตนเองและงานของตนเอง เพื่อปลูกฝังความรู้สึกช่วยเหลือซึ่งกันและกัน

ประเภทบทเรียน: บทเรียนการศึกษาและการรวมความรู้ใหม่เบื้องต้น

แรงจูงใจในกิจกรรมการเรียนรู้:

ภูมิปัญญาตะวันออกกล่าวว่า: "คุณสามารถนำม้าลงไปในน้ำได้ แต่คุณไม่สามารถทำให้เขาดื่มได้" และเป็นไปไม่ได้ที่จะบังคับคนให้เรียนดีถ้าตัวเขาเองไม่พยายามเรียนรู้เพิ่มเติมไม่มีความปรารถนาที่จะทำงานของเขา การพัฒนาจิตใจ. ท้ายที่สุด ความรู้ก็คือความรู้ก็ต่อเมื่อได้มาจากความพยายามของความคิดเท่านั้น ไม่ใช่ด้วยความทรงจำเพียงอย่างเดียว

บทเรียนของเราจะอยู่ภายใต้คำขวัญ: "เราจะพิชิตจุดสูงสุดใด ๆ หากเรามุ่งมั่นเพื่อมัน" ระหว่างบทเรียน คุณและฉันจำเป็นต้องมีเวลาเพื่อพิชิตยอดเขาหลายแห่ง และคุณแต่ละคนต้องพยายามอย่างเต็มที่เพื่อพิชิตยอดเขาเหล่านี้

“วันนี้เรามีบทเรียนที่ต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่: “รากของระดับที่ n” และเรียนรู้วิธีการใช้แนวคิดนี้กับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ต่างๆ

เป้าหมายของคุณขึ้นอยู่กับ แบบต่างๆทำงานเพื่อกระตุ้นความรู้ที่มีอยู่ มีส่วนร่วมในการศึกษาวัสดุและได้เกรดดี "
เราศึกษารากที่สองของจำนวนจริงในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 รากที่สองเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันมุมมอง y=x 2. พวกคุณจำได้ไหมว่าเราคำนวณรากที่สองอย่างไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
ก) แบบสำรวจรายบุคคล:

นิพจน์นี้คืออะไร

สแควร์รูทคืออะไร

รากที่สองเลขคณิตคืออะไร

รายการคุณสมบัติ รากที่สอง

b) ทำงานเป็นคู่: คำนวณ

-

2. อัพเดทความรู้และสร้างสถานการณ์ปัญหา:แก้สมการ x 4 =1. เราจะแก้ปัญหาได้อย่างไร? (วิเคราะห์และกราฟิก). ลองแก้มันแบบกราฟิก ในการทำเช่นนี้ ในระบบพิกัดเดียว เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 4 เส้นตรง y \u003d 1 (รูปที่ 164 a) ตัดกันเป็นสองจุด: A (-1;1) และ B(1;1) abscissas ของจุด A และ B เช่น x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1 คือรากของสมการ x 4 \u003d 1
การโต้เถียงในลักษณะเดียวกัน เราพบรากของสมการ x 4 \u003d 16: ทีนี้มาลองแก้สมการ x 4 \u003d 5; ภาพประกอบทางเรขาคณิตแสดงในรูปที่ 164 ข. เป็นที่ชัดเจนว่าสมการมีสองราก x 1 และ x 2 และตัวเลขเหล่านี้ เหมือนในสองกรณีก่อนหน้านี้ ตรงกันข้ามกัน แต่สำหรับสองสมการแรกพบรากโดยไม่ยาก (สามารถหาได้โดยไม่ต้องใช้กราฟ) และมีปัญหากับสมการ x 4 \u003d 5: ตามภาพวาดเราไม่สามารถระบุค่า \ u200b\u200bของรูต แต่เราสามารถระบุได้ว่าหนึ่งรูตอยู่ที่จุดซ้าย -1 และรูทที่สอง - ทางด้านขวาของจุดที่ 1

x 2 \u003d - (อ่าน: "รากที่สี่ของห้า")

เราพูดถึงสมการ x 4 \u003d a โดยที่ 0 ด้วยความสำเร็จเท่ากัน เราสามารถพูดถึงสมการ x 4 \u003d a โดยที่ 0 และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ตัวอย่างเช่น การแก้สมการกราฟิก x 5 \u003d 1 เราพบ x \u003d 1 (รูปที่ 165); การแก้สมการ x 5 "= 7 เราพบว่าสมการมีหนึ่งรูท x 1 ซึ่งอยู่บนแกน x เล็กน้อยทางด้านขวาของจุดที่ 1 (ดูรูปที่ 165) สำหรับตัวเลข x 1 เราแนะนำ สัญกรณ์

คำจำกัดความ 1รากของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a (n = 2, 3.4, 5, ...) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะส่งผลให้จำนวน a

หมายเลขนี้แสดง หมายเลข a เรียกว่าหมายเลขรูท และหมายเลข n คือดัชนีรูท
ถ้า n \u003d 2 พวกเขามักจะไม่พูดว่า "รากที่สอง" แต่พูดว่า "รากที่สอง" ในกรณีนี้พวกเขาจะไม่เขียน นี่คือ กรณีพิเศษที่คุณเรียนเฉพาะในวิชาพีชคณิต ป.8

ถ้า n \u003d 3 แทนที่จะเป็น "รูตดีกรีที่สาม" พวกเขามักจะพูดว่า "รูตคิวบ์" ความคุ้นเคยครั้งแรกของคุณกับรากที่สามเกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 เราใช้ รากลูกบาศก์ในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ดังนั้น ถ้า ≥0, n= 2,3,4,5,… แล้ว 1) ≥ 0; 2) () n = ก.

โดยทั่วไป \u003d b และ b n \u003d a - ความสัมพันธ์เดียวกันระหว่างตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ a และ b แต่มีเพียงวินาทีเท่านั้นที่อธิบายเพิ่มเติม ภาษาธรรมดา(ใช้อักขระที่ง่ายกว่า) กว่าตัวแรก

การดำเนินการค้นหารูทของจำนวนที่ไม่เป็นลบมักจะเรียกว่าการสกัดราก การดำเนินการนี้ตรงกันข้ามกับการเพิ่มกำลังที่สอดคล้องกัน เปรียบเทียบ:

ให้ความสนใจอีกครั้ง: เฉพาะตัวเลขที่เป็นบวกเท่านั้นที่ปรากฏในตาราง เนื่องจากเป็นข้อกำหนดในคำจำกัดความที่ 1 และถึงแม้ว่า ตัวอย่างเช่น (-6) 6 \u003d 36 จะเป็นค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง เขียนสิ่งที่คุณทำไม่ได้ ตามคำจำกัดความ - จำนวนบวก ดังนั้น = 6 (ไม่ใช่ -6) ในทำนองเดียวกันแม้ว่า 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16 ผ่านไปยังสัญญาณของรากเราต้องเขียน \u003d 2 (และในเวลาเดียวกัน ≠-2)

บางครั้งนิพจน์เรียกว่ารากศัพท์ (จาก คำภาษาละติน gadix - "รูท") ในภาษารัสเซียมีการใช้คำว่า Radical ค่อนข้างบ่อย ตัวอย่างเช่น "radical changes" หมายถึง "radical changes" อย่างไรก็ตามการกำหนดรูตนั้นชวนให้นึกถึงคำว่า gadix: สัญลักษณ์คือตัวอักษร r สุกใส

การดำเนินการแยกรูทนั้นถูกกำหนดด้วยหมายเลขรูทติดลบด้วย แต่เฉพาะในกรณีของเลขชี้กำลังของรูทคี่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการ (-2) 5 = -32 สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่าได้เป็น =-2 ที่นี่ใช้คำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 2รากของระดับคี่ n จากจำนวนลบ a (n = 3.5, ...) เป็นจำนวนลบที่เมื่อยกกำลัง n แล้ว ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข a

ตัวเลขนี้ดังในนิยาม 1 แทนด้วย ตัวเลข a คือหมายเลขรูท หมายเลข n คือดัชนีรูท
ดังนั้น ถ้า a, n=,5,7,… แล้ว: 1) 0; 2) () n = ก.

ดังนั้น รูทคู่จึงสมเหตุสมผล (เช่น ถูกกำหนดไว้) สำหรับนิพจน์รากที่ไม่เป็นลบเท่านั้น รูตคี่เหมาะสมสำหรับการแสดงออกที่รุนแรงใดๆ

5. การรวมความรู้เบื้องต้น:

1. คำนวณ: เลขที่ 33.5; 33.6; 33.74 33.8 ปากเปล่า ก) ; ข) ; ใน) ; ช) .

d) เราไม่สามารถระบุได้ไม่เหมือนตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าที่แน่นอนจำนวน เป็นที่ชัดเจนว่ามากกว่า 2 แต่น้อยกว่า 3 เนื่องจาก 2 4 \u003d 16 (น้อยกว่า 17) และ Z 4 \u003d 81 (นี่คือมากกว่า 17) โปรดทราบว่า 24 นั้นใกล้กับ 17 มากกว่า 34 มาก ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้เครื่องหมายเท่ากับโดยประมาณ:
2. ค้นหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้

ใส่ตัวอักษรที่เกี่ยวข้องถัดจากตัวอย่าง

ข้อมูลเล็กน้อยเกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ René Descartes (1596-1650) ขุนนางฝรั่งเศส นักคณิตศาสตร์ ปราชญ์ นักสรีรวิทยา นักคิด Rene Descartes วางรากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์แนะนำการกำหนดตัวอักษร x 2 , y 3 . ทุกคนรู้พิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดฟังก์ชัน ตัวแปร.

3 . แก้สมการ: ก) = -2; ข) = 1; ค) = -4

วิธีการแก้:ก) ถ้า = -2 แล้ว y = -8 อันที่จริงทั้งสองส่วน สมการที่กำหนดเราต้องลูกบาศก์ เราได้รับ: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4 b) การโต้เถียงในตัวอย่าง a) เรายกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังสี่ เราได้รับ: x=1

c) ที่นี่ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสี่ สมการนี้ไม่มีคำตอบ ทำไม เพราะตามนิยามที่ 1 รูทของดีกรีคู่เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ
มีงานหลายอย่างที่คุณให้ความสนใจ เมื่อคุณทำงานเหล่านี้เสร็จ คุณจะได้เรียนรู้ชื่อและนามสกุลของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ นักวิทยาศาสตร์คนนี้ในปี 1637 เป็นคนแรกที่แนะนำสัญลักษณ์ของราก

6. มาพักผ่อนกันเถอะ

ชั้นเรียนยกมือขึ้น - นี่คือ "เวลา"

หันหัว - มันคือ "สอง"

ก้มหน้ามองไปข้างหน้า - นี่คือ "สาม"

มือหันกว้างไปด้านข้างใน "สี่"

การกดด้วยมือของคุณด้วยกำลังคือ "ห้า"

ผู้ชายทุกคนต้องนั่งลง - นี่คือ "หก"

7. งานอิสระ:

ตัวเลือก: 2 ตัวเลือก:

ข) 3-. ข) 12 -6.

2. แก้สมการ: ก) x 4 \u003d -16; ข) 0.02x6 -1.28=0; ก) x 8 \u003d -3; b) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

ค) = -2; ค)= 2

8. การทำซ้ำ:หารากของสมการ = - x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูท ให้เขียนรากที่เล็กกว่าในคำตอบ

9. การสะท้อน:คุณเรียนรู้อะไรในบทเรียน สิ่งที่น่าสนใจ? อะไรที่ยาก?

บทความนี้เป็นการรวบรวมรายละเอียดข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อคุณสมบัติของราก เมื่อพิจารณาตามหัวข้อแล้ว เราจะเริ่มด้วยคุณสมบัติ ศึกษาสูตรทั้งหมด และแสดงหลักฐาน เพื่อรวมหัวข้อ เราจะพิจารณาคุณสมบัติของระดับที่ n

Yandex.RTB R-A-339285-1

คุณสมบัติของรูท

เราจะพูดถึงคุณสมบัติ

1. คุณสมบัติ ตัวคูณ เอและ ขซึ่งแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a · b = a · b มันสามารถแสดงเป็นตัวคูณ บวกหรือเท่ากับศูนย์ a 1 , 2 , … , กเป็น 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. จากส่วนตัว a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0 สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ a b = a b ;
3. สมบัติจากเลขยกกำลัง เอด้วยเลขชี้กำลังคู่ a 2 m = a m สำหรับจำนวนใด ๆ เอตัวอย่างเช่น คุณสมบัติจากกำลังสองของตัวเลข a 2 = a

ในสมการที่นำเสนอ คุณสามารถสลับส่วนต่างๆ ก่อนและหลังเครื่องหมายขีดได้ เช่น ความเท่าเทียมกัน a · b = a · b จะถูกแปลงเป็น a · b = a · b คุณสมบัติความเท่าเทียมกันมักใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสมการที่ซับซ้อน

การพิสูจน์คุณสมบัติแรกขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรากที่สองและคุณสมบัติของยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เพื่อยืนยันคุณสมบัติที่สาม จำเป็นต้องอ้างถึงคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

ก่อนอื่น จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สอง a · b = a · b . ตามคำจำกัดความ จำเป็นต้องพิจารณาว่า a b เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ ซึ่งจะเท่ากับ ขระหว่างการก่อสร้าง เป็นสี่เหลี่ยม ค่าของนิพจน์ a · b เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์เป็นผลคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของระดับของจำนวนที่คูณทำให้เราสามารถแสดงความเท่าเทียมกันในรูปแบบ (a · b) 2 = a 2 · b 2 . ตามคำจำกัดความของรากที่สอง a 2 \u003d a และ b 2 \u003d b จากนั้น a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้จากผลิตภัณฑ์ kตัวคูณ a 1 , 2 , … , กจะเท่ากับผลคูณของรากที่สองของตัวประกอบเหล่านี้ อันที่จริง a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k

จากความเท่าเทียมกันนี้ a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k

ลองดูตัวอย่างบางส่วนเพื่อเน้นย้ำหัวข้อนี้

ตัวอย่าง 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 และ 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1)

จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สองเลขคณิตของผลหาร: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 คุณสมบัติช่วยให้คุณเขียนความเท่าเทียมกัน a: b 2 = a 2: b 2 และ a 2: b 2 = a: b ในขณะที่ a: b เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ นิพจน์นี้จะเป็นข้อพิสูจน์

ตัวอย่างเช่น 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 และ 30, 121 = 30, 121

พิจารณาคุณสมบัติของรากที่สองของกำลังสองของตัวเลข สามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันเป็น 2 = a เพื่อพิสูจน์คุณสมบัตินี้ จำเป็นต้องพิจารณารายละเอียดความเท่าเทียมกันหลายประการสำหรับ ≥ 0และที่ เอ< 0 .

แน่นอน สำหรับ ≥ 0 ความเท่าเทียมกัน a 2 = a เป็นจริง ที่ เอ< 0 ความเท่าเทียมกัน a 2 = - a จะเป็นจริง จริงๆแล้วในกรณีนี้ − a > 0และ (− a) 2 = a 2 . เราสามารถสรุปได้ว่า a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง 2

5 2 = 5 = 5 และ - 0 . 36 2 = - 0 . 36 = 0 . 36 .

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วจะช่วยในการพิสูจน์ a 2 m = a m โดยที่ เอ- จริงและ ม-จำนวนธรรมชาติ อันที่จริง คุณสมบัติการยกกำลังทำให้เราแทนที่ดีกรีได้ 2 นาทีการแสดงออก (น) 2แล้ว a 2 · m = (a m) 2 = a m .

ตัวอย่างที่ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 และ (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

คุณสมบัติของรากที่ n

ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาคุณสมบัติหลักของรากของระดับที่ n:

1. คุณสมบัติจากผลคูณของตัวเลข เอและ ขซึ่งมีค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์สามารถแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a b n = a n b n คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับผลิตภัณฑ์ kตัวเลข a 1 , 2 , … , กเป็น 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. จาก เศษส่วนมีคุณสมบัติ a b n = a n b n โดยที่ เอเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ และ ขเป็นจำนวนจริงบวก
3. สำหรับใดๆ เอและเลขคู่ n = 2 m a 2 m 2 m = a เป็นจริง และสำหรับคี่ n = 2 ม. − 1ความเท่าเทียมกัน a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ถูกเติมเต็ม
4. คุณสมบัติการแยกจาก m n = a n m โดยที่ เอ- จำนวนใด ๆ บวกหรือเท่ากับศูนย์ นและ ม – จำนวนเต็มคุณสมบัตินี้ยังสามารถแสดงเป็น . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . เอ็นเค ;
5. สำหรับ a ใด ๆ ที่ไม่เป็นลบและโดยพลการ นและ มซึ่งเป็นเรื่องปกติ เราสามารถกำหนดความเท่าเทียมที่ยุติธรรมได้ a m n · m = a n ;
6. คุณสมบัติระดับ นจากพลังของตัวเลข เอซึ่งเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ในประเภท มกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน a m n = a n m ;
7. คุณสมบัติเปรียบเทียบที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน: สำหรับจำนวนบวกใด ๆ เอและ ขดังนั้น เอ< b , ความไม่เท่าเทียมกัน a n< b n ;
8. คุณสมบัติเปรียบเทียบที่มี เลขเดียวกันราก: if มและ น-ตัวเลขธรรมชาติที่ ม > นแล้วที่ 0 < a < 1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m > a n นั้นใช้ได้ และสำหรับ a > 1เป็น< a n .

สมการข้างต้นจะใช้ได้ถ้าส่วนก่อนและหลังเครื่องหมายเท่ากับถูกกลับรายการ สามารถใช้ในรูปแบบนี้ได้เช่นกัน มักใช้ในระหว่างการลดความซับซ้อนหรือการแปลงนิพจน์

การพิสูจน์คุณสมบัติข้างต้นของรูทนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ คุณสมบัติของดีกรี และคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข คุณสมบัติเหล่านี้ต้องได้รับการพิสูจน์ แต่ทุกอย่างเป็นระเบียบ

1. ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์คุณสมบัติของรากของดีกรีที่ n จากผลคูณ a · b n = a n · b n . สำหรับ เอและ ข ซึ่งเป็น บวกหรือศูนย์ , ค่า a n · b n ยังเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ เนื่องจากเป็นผลจากการคูณจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์พลังงานธรรมชาติช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ a n · b n n = a n n · b n n ตามคำนิยามของรูต น th องศา a n n = a และ b n n = b ดังนั้น a n · b n n = a · b ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นคือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัตินี้ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับผลิตภัณฑ์ kปัจจัย: สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติรูท นกำลังจากผลิตภัณฑ์: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 และ 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของรากของผลหาร a b n = a n b n ที่ ≥ 0และ ข > 0เงื่อนไข a n b n ≥ 0 เป็นที่น่าพอใจ และ a n b n n = a n n b n n = a b

ขอแสดงตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 และ 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. สำหรับขั้นตอนต่อไป จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของดีกรีที่ n จากตัวเลขถึงดีกรี น. เราแทนค่านี้ด้วยความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และ 2 m - 1 2 m - 1 = a สำหรับจำนวนจริงใดๆ เอและเป็นธรรมชาติ ม. ที่ ≥ 0เราได้รับ a = a และ 2 m = a 2 m ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และความเท่าเทียมกัน a 2 m - 1 2 m - 1 = a นั้นชัดเจน ที่ เอ< 0 เราได้รับตามลำดับ a = - a และ 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . การแปลงครั้งสุดท้ายของตัวเลขนั้นถูกต้องตามคุณสมบัติของระดับ นี่คือสิ่งที่พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m \u003d a และ 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a จะเป็นจริงเนื่องจาก - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m ถือเป็นเลขคี่ องศา - 1 สำหรับตัวเลขใด ๆ ค ,บวกหรือเท่ากับศูนย์

ในการรวบรวมข้อมูลที่ได้รับ ให้พิจารณาตัวอย่างบางส่วนโดยใช้คุณสมบัติ:

ตัวอย่างที่ 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 และ (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ a m n = a n · m ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเปลี่ยนตัวเลขก่อนเครื่องหมายเท่ากับและหลังจากนั้นในตำแหน่ง a n · m = a m n นี่จะระบุรายการที่ถูกต้อง สำหรับ ,ซึ่งเป็นบวก หรือเท่ากับศูนย์ , ของรูปแบบ a m n เป็นจำนวนบวกหรือ ศูนย์. ให้เราหันไปมองคุณสมบัติของการยกกำลังให้เป็นอำนาจและคำจำกัดความ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถเปลี่ยนความเท่าเทียมกันในรูปแบบ a m n n · m = a m n n m = a m m = a สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณาของรูทจากรูท

คุณสมบัติอื่น ๆ ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จริงๆ, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . น = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . น = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . น = . . . = น ก น ก = ก .

ตัวอย่างเช่น 7 3 5 = 7 5 3 และ 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ a m n · m = a n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแสดงว่า n เป็นจำนวนที่เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ เมื่อยกกำลัง n m คือ เป็น. ถ้าตัวเลข เอเป็นบวกหรือศูนย์ แล้ว นองศาจากในหมู่ เอเป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ a n · m n = a n n m ซึ่งต้องพิสูจน์

เพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับ ให้พิจารณาตัวอย่างบางส่วน

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ - คุณสมบัติของรากของกำลังของรูปแบบ a m n = a n m . เป็นที่ชัดเจนว่าที่ ≥ 0ดีกรี a n m เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นอกจากนี้เธอ น- ดีกรีที่เท่ากับ เป็นอันที่จริง a n m n = a n m · n = a n n m = a m นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณาของปริญญา

ตัวอย่างเช่น 2 3 5 3 = 2 3 3 5

1. เราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใด ๆ เอและข เอ< b . พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию เอ< b . ดังนั้น n< b n при เอ< b .

ตัวอย่างเช่น เราให้ 12 4< 15 2 3 4 .

1. พิจารณาคุณสมบัติของราก น- องศา อันดับแรก พิจารณาส่วนแรกของความไม่เท่าเทียมกัน ที่ ม > นและ 0 < a < 1 จริง a m > a n สมมติว่า m ≤ a n คุณสมบัติจะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็น n m · n ≤ a m m · n จากนั้น ตามคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ความไม่เท่าเทียมกัน a n m n m n ≤ a m m n m n เป็นที่พอใจ นั่นคือ n ≤ m. ค่าที่ได้รับเมื่อ ม > นและ 0 < a < 1 ไม่ตรงกับคุณสมบัติข้างต้น

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า ม > นและ a > 1เงื่อนไข a m< a n .

เพื่อแก้ไขคุณสมบัติข้างต้น พิจารณาเล็กน้อย ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม. พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวเลขเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "คุณสมบัติของรากของระดับที่ n ทฤษฎีบท"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 11
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

คุณสมบัติของรากของดีกรีที่ n ทฤษฎีบท

พวกเรายังคงศึกษารากเหง้าของดีกรีที่ n ของจำนวนจริงต่อไป เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด รากของดีกรีที่ n มีคุณสมบัติบางอย่าง วันนี้เราจะมาศึกษากัน
คุณสมบัติทั้งหมดที่เราพิจารณาได้รับการกำหนดและพิสูจน์เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูท
ในกรณีของเลขชี้กำลังเลขคี่ พวกมันยังเก็บตัวแปรลบด้วย

ทฤษฎีบทที่ 1 รากที่ n ของผลิตภัณฑ์ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวเท่ากับผลคูณของรากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน
การพิสูจน์. พวกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทขอแนะนำตัวแปรใหม่แสดงว่า:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
เราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
โปรดทราบว่าข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ยังมีอยู่:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$
จากนั้นข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ก็ถือ: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$
ดีกรีของจำนวนไม่เป็นลบสองตัวและเลขชี้กำลังเท่ากัน จากนั้นฐานของดีกรีจะเท่ากัน ดังนั้น $x=y*z$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2 ถ้า $a≥0$, $b>0$ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

นั่นคือ รากที่ n ของผลหารเท่ากับผลหารของรากที่ n

การพิสูจน์.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้แผนภาพอย่างง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่างการคำนวณรูทที่ n

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(16*81*256)$
วิธีการแก้. ลองใช้ทฤษฎีบท 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$
วิธีการแก้. มาแทนนิพจน์รากศัพท์เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมกัน: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
ลองใช้ทฤษฎีบท 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

ตัวอย่าง.
คำนวณ:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$
ข) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
วิธีการแก้:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า $a≥0$ k และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$

ในการทำให้รากเกิดเป็นพลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มการแสดงออกที่รุนแรงของพลังนี้

การพิสูจน์.
ลองพิจารณากรณีพิเศษสำหรับ $k=3$ ลองใช้ทฤษฎีบทที่ 1
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$
เช่นเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ในกรณีอื่น ๆ ทุกคน พิสูจน์ด้วยตัวเองสำหรับกรณีที่ $k=4$ และ $k=6$

ทฤษฎีบทที่ 4 ถ้า $a≥0$ b n,k เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$

ในการแยกรากออกจากราก ก็เพียงพอที่จะคูณเลขชี้กำลังของราก

การพิสูจน์.
ให้เราพิสูจน์อีกครั้งโดยสังเขปโดยใช้ตาราง เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้แผนภาพอย่างง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่าง.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

ทฤษฎีบท 5. หากดัชนีของรูทและนิพจน์รูทคูณด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

การพิสูจน์.
หลักการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเราเหมือนกับในตัวอย่างอื่นๆ มาแนะนำตัวแปรใหม่:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ตามคำจำกัดความ)
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ตามคำจำกัดความ)
เราเพิ่มความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายให้กับพลัง p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
ได้:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
นั่นคือ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (หารด้วย 5)
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (หารด้วย 2)
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (คูณด้วย 3)

ตัวอย่าง.
เรียกใช้การดำเนินการ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$
วิธีการแก้.
เลขชี้กำลังรากคือ ตัวเลขต่างๆดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท 1 ได้ แต่การใช้ทฤษฎีบท 5 เราจะได้เลขชี้กำลังเท่ากัน
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (คูณด้วย 3)
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (คูณด้วย 4)
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. คำนวณ: $\sqrt(32*243*1024)$
2. คำนวณ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$
3. คำนวณ:
ก) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ลดความซับซ้อน:
ก) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ค) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ดำเนินการ: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะวิเคราะห์ราก - หนึ่งในหัวข้อที่เหลือเชื่อที่สุดของชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับรากศัพท์ ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งซับซ้อน - คำจำกัดความสองสามคำและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่ รากศัพท์ถูกกำหนดผ่านความดุร้ายที่มีเพียงผู้เขียนตำราเองเท่านั้น สามารถเข้าใจการขีดเขียนนี้ และแม้กระทั่งกับวิสกี้ชั้นดีหนึ่งขวดเท่านั้น :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุดของรูทซึ่งเป็นคำเดียวที่คุณต้องจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบายว่าทำไมทั้งหมดนี้จึงจำเป็นและจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่นจำไว้อย่างหนึ่ง จุดสำคัญที่คอมไพเลอร์ตำราหลายคนด้วยเหตุผลบางอย่าง "ลืม":

รากสามารถเป็นระดับคู่ ($\sqrt(a)$ ที่เราโปรดปราน เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ และแม้แต่ $\sqrt(a)$) และระดับคี่ (ใดๆ $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ เป็นต้น). และคำจำกัดความของรูทของดีกรีระดับคี่ค่อนข้างแตกต่างจากระดับคู่

ในที่นี้ "ค่อนข้างแตกต่าง" ที่ซ่อนอยู่อาจ 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับราก เรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันก่อนดีกว่า:

คำนิยาม. แม้แต่รูท นจากจำนวน $a$ เป็นใดๆ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ นั้น $((b)^(n))=a$ และรากของดีกรีคี่จากจำนวนเดียวกัน $a$ จะเป็นตัวเลขใดๆ ที่ $b$ ซึ่งมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$

ไม่ว่าในกรณีใดรูทจะแสดงดังนี้:

\(ก)\]

จำนวน $n$ ในเครื่องหมายดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์รากศัพท์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $n=2$ เราจะได้รากที่สองที่ "ชอบ" ของเรา (อย่างไรก็ตาม นี่คือรากของระดับคู่) และสำหรับ $n=3$ เราจะได้ลูกบาศก์รูท (ระดับคี่) ซึ่งมักพบในปัญหาและสมการ

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิกของรากที่สอง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ สิ่งนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$

ลูกบาศก์รูทก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - อย่ากลัวพวกเขา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

สองสาม "ตัวอย่างที่แปลกใหม่":

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่ไม่พึงประสงค์อย่างหนึ่งของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความแยกต่างหากสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่

ทำไมเราถึงต้องการรากเลย?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อพวกเขาคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: ทำไมเราถึงต้องการรากเหล่านี้ทั้งหมด?

เพื่อตอบคำถามนี้ ย้อนกลับไปสักครู่เพื่อ ระดับประถมศึกษา. ข้อควรจำ: ในสิ่งเหล่านั้น เวลาที่ห่างไกลเมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวมีรสชาติมากขึ้น ความกังวลหลักของเราคือต้องคูณตัวเลขให้ถูกต้อง บางอย่างในจิตวิญญาณของ "ห้าคูณห้า - ยี่สิบห้า" เท่านั้น แต่ท้ายที่สุด คุณสามารถคูณตัวเลขที่ไม่ใช่คู่ แต่เป็นสามเท่า สี่ และโดยทั่วไปแล้วทั้งเซต:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงต้องจดการคูณสิบห้าดังนี้:

ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงที่ยาว? ชอบอันนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงหลายเท่าและคุณไม่สามารถใช้สมุดโน้ตแผ่น parchment เพื่อจดบันทึกบางส่วนได้ 5 183 . รายการดังกล่าวเรียกว่าระดับของตัวเลขพบคุณสมบัติมากมาย แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่าอายุสั้น

หลังการดื่มสุราครั้งใหญ่ซึ่งจัดขึ้นเพียงเกี่ยวกับ "การค้นพบ" องศา นักคณิตศาสตร์ที่ขว้างหินโดยเฉพาะบางคนก็ถามขึ้นมาทันทีว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรารู้ระดับของตัวเลข แต่เราไม่รู้ตัวเลขนั้นเอง" ที่จริงแล้ว ถ้าเรารู้ว่าจำนวนหนึ่งที่ $b$ เช่น ให้ 243 ยกกำลัง 5 เราจะเดาได้อย่างไรว่าตัว $b$ นั้นมีค่าเท่ากับอะไร?

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่จะเห็นได้ในแวบแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับองศา "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=50$? ปรากฎว่าคุณต้องหาจำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองสามครั้งจะได้ 50 แต่ตัวเลขนี้คืออะไร? ชัดเจนมากกว่า 3 เพราะ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. คือ จำนวนนี้อยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่างสามถึงสี่ แต่สิ่งที่มีค่าเท่ากับ - FIG คุณจะเข้าใจ

นี่คือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์คิดรากที่ $n$-th นั่นคือเหตุผลที่แนะนำ $\sqrt(*)$ ไอคอนหัวรุนแรง เพื่อแสดงตัวเลขเดียวกัน $b$ ซึ่งสำหรับยกกำลังที่ระบุจะให้ค่าที่เราทราบก่อนหน้านี้

\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]

ฉันไม่เถียง: มักจะพิจารณารากเหล่านี้ได้ง่าย - เราเห็นตัวอย่างดังกล่าวหลายตัวอย่างข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ถ้าคุณนึกถึงจำนวนใดจำนวนหนึ่ง แล้วพยายามแยกรากของระดับโดยพลการออกจากมัน แสดงว่าคุณอยู่ในสถานะคนเกียจคร้านที่โหดร้าย

มีอะไร! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยม จะมีลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอน คุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]

หรือนี่คือตัวอย่างอื่น:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]

แต่การปัดเศษทั้งหมดนี้ อย่างแรก ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้น คุณอาจพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนจำนวนมาก (อย่างไรก็ตาม ทักษะการเปรียบเทียบและการปัดเศษนั้นจำเป็นต้องตรวจสอบในการสอบโปรไฟล์)

ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์ที่จริงจัง เราทำไม่ได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนเท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยมาเป็นเวลานาน

ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่า ให้รากไม่ใช่ จำนวนตรรกยะ. ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นโดยใช้รากศัพท์หรือโครงสร้างอื่นๆ ที่ออกแบบมาเป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้ (ลอการิทึม องศา ลิมิต ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่อื่น

ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1,2599... \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

โดยธรรมชาติโดย รูปร่างรากแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะมาหลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้ตัวเลขแรกเพียงไม่กี่หลักกับเรา จำนวนอตรรกยะ. ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากที่จะเขียนคำตอบเป็น $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$

นั่นคือสิ่งที่พวกเขาคิดค้นขึ้น เพื่อให้ง่ายต่อการเขียนคำตอบ

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ

ผู้อ่านที่ใส่ใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ให้ไว้ในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก ดีใน วิธีสุดท้ายจากศูนย์ แต่รากของลูกบาศก์ถูกสกัดอย่างใจเย็นจากจำนวนใด ๆ ก็ตาม - แม้แต่บวกหรือลบ

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองให้สองราก: บวกและลบ

ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ สำหรับสิ่งนี้ แผนภูมิ เส้นแนวนอน$y=4$ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ซึ่งตัดกับพาราโบลาสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x)_(2))=-2$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลตั้งแต่

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นค่าบวกดังนั้นจึงเป็นรูท:

แต่จะทำอย่างไรกับจุดที่สอง? 4 รากมี 2 รากพร้อมกันหรือไม่? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็ได้ 4 เช่นกัน ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ แล้ว? และทำไมครูถึงดูบันทึกราวกับว่าพวกเขาต้องการกินคุณ :)

นั่นแหละปัญหาที่ว่าถ้าคุณไม่กำหนดใดๆ เงื่อนไขเพิ่มเติมจากนั้นสี่จะมีรากที่สองสองตัว - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ จะมีสองตัวด้วย แต่ตัวเลขติดลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยอยู่ต่ำกว่าแกน y, เช่น. ไม่รับค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับรูททั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังคู่:

1. พูดจริง ๆ แล้ว แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองรากที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีแม้แต่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรูทคู่ $n$ กำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับคี่ $n$ ไม่มีปัญหาดังกล่าว ให้ดูที่กราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:

พาราโบลาลูกบาศก์รับค่าใดๆ ดังนั้น รากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้

จากกราฟนี้สรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของคิวบิกพาราโบลาซึ่งแตกต่างจากกิ่งปกติไปที่อนันต์ทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้น ไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนที่ความสูงเท่าใด เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้นรากที่สามสามารถนำมาจากจำนวนใด ๆ ก็ได้
2. นอกจากนี้ ทางแยกดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่จะพิจารณารากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะทำคะแนน นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรูตสำหรับดีกรีคี่นั้นง่ายกว่าสำหรับระดับคี่ (ไม่มีข้อกำหนดที่ไม่เป็นลบ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ แต่สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากเลขคณิตทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน

ใช่ฉันไม่เถียง: รูทเลขคณิตคืออะไร - คุณต้องรู้ด้วย และฉันจะพูดถึงรายละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้กันด้วย เพราะถ้าไม่มีมัน การไตร่ตรองทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการทวีคูณที่ $n$-th จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นอย่างชัดเจน มิฉะนั้น เนื่องจากเงื่อนไขมากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณ ซึ่งในที่สุดคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

และสิ่งที่คุณต้องเข้าใจคือความแตกต่างระหว่างเลขคู่และเลขคี่ ดังนั้นเราจะรวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรากอีกครั้ง:

1. รูทคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รูทดังกล่าวไม่ได้กำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากตัวเลขใดๆ และตัวมันเองสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้: สำหรับจำนวนบวก มันคือค่าบวก และสำหรับตัวเลขเชิงลบ ตามที่ cap บอกใบ้ มันเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ มันไม่ยาก ชัดเจน? ใช่ มันชัดเจน! ดังนั้นตอนนี้เราจะฝึกการคำนวณกันเล็กน้อย

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รูทมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลกๆ มากมาย - นี่จะเป็นบทเรียนแยกต่างหาก ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "ชิป" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้กับรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น เราเขียนคุณสมบัตินี้ในรูปแบบของสูตร:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังคู่ แล้วดึงรากของดีกรีเดียวกันออกจากค่านี้ เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัส นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่พิสูจน์ได้ง่าย (เพียงพอที่จะพิจารณา $x$ ที่ไม่ใช่ค่าลบแยกกัน แล้วพิจารณาแยกเป็นค่าลบ) ครูพูดถึงมันอย่างต่อเนื่องมีให้ในตำราเรียนทุกเล่ม แต่เมื่อตัดสินใจแล้ว สมการอตรรกยะ(เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนด้วยกันลืมสูตรนี้

เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด ลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองนับตัวเลขสองตัวข้างหน้า:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

นี้มันมาก ตัวอย่างง่ายๆ. ตัวอย่างแรกจะได้รับการแก้ไขโดยคนส่วนใหญ่ แต่ในข้อที่สอง หลายคนติดอยู่ เพื่อแก้ปัญหาอึโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนเสมอ:

1. ขั้นแรก ตัวเลขจะเพิ่มเป็นยกกำลังสี่ มันค่อนข้างง่าย จะได้รับหมายเลขใหม่ ซึ่งสามารถพบได้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรากของดีกรีที่สี่ เหล่านั้น. ไม่มี "การลด" ของรากและองศา - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำที่ต่อเนื่องกัน

มาจัดการกับนิพจน์แรกกัน: $\sqrt(((3)^(4)))$ เห็นได้ชัดว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ภายใต้รูทก่อน:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

จากนั้นเราแยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สอง อันดับแรก เราเพิ่มจำนวน -3 ยกกำลังสี่ ซึ่งเราต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \ขวา)=81\]

เราได้จำนวนบวก เนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดในผลิตภัณฑ์คือ 4 ชิ้น และทั้งหมดจะหักล้างซึ่งกันและกัน ถัดไป แยกรูทอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว บรรทัดนี้ไม่สามารถเขียนได้ เนื่องจากคำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากที่เท่ากันของพลังเดียวกัน "เผาผลาญ" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จะแยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของรากของดีกรีคู่: ผลลัพธ์ไม่เป็นค่าลบเสมอ และเครื่องหมายกรณฑ์จะเป็นจำนวนที่ไม่ติดลบเสมอ มิฉะนั้นจะไม่ได้กำหนดรูท

หมายเหตุเกี่ยวกับลำดับการดำเนินงาน

1. สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าอันดับแรกเราจะยกกำลังสองจำนวน $a$ แล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้น เราจึงมั่นใจได้ว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะอยู่ใต้เครื่องหมายรูทเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ อยู่แล้ว
2. แต่สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ ตรงกันข้าม หมายความว่าเราแยกรูทออกจากตัวเลข $a$ ก่อน แล้วจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้น จำนวน $a$ ไม่สามารถเป็นค่าลบได้ - นี่คือ ข้อกำหนดบังคับรวมอยู่ในคำจำกัดความ

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่ควรลดรากเหง้าและองศาโดยไม่ใช้ความคิด ดังนั้นจึงควร "ลดความซับซ้อน" ของนิพจน์ดั้งเดิม เพราะหากมีจำนวนลบอยู่ใต้รูท และเลขชี้กำลังเป็นคู่ เราจะพบปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องเฉพาะกับอินดิเคเตอร์ที่เท่ากันเท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายราก

โดยธรรมชาติแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีคุณสมบัติของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้ว ไม่มีอยู่จริงสำหรับเลขคู่ กล่าวคือ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

กล่าวโดยย่อ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบจากใต้เครื่องหมายของดีกรีระดับคี่ได้ นี้มันมาก คุณสมบัติที่มีประโยชน์ซึ่งช่วยให้คุณ "โยน" minuses ทั้งหมดออก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(จัดตำแหน่ง)\]

คุณสมบัติที่เรียบง่ายนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณจำนวนมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์เชิงลบอยู่ใต้รูทและระดับที่รูทกลับกลายเป็นคู่กัน แค่ "โยน" minuses ทั้งหมดออกไปนอกรากก็เพียงพอแล้วจากนั้นก็สามารถคูณกันแบ่งออกและทำสิ่งน่าสงสัยมากมายซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิค" นั้นรับประกันได้ว่าจะนำเราไปสู่ ข้อผิดพลาด.

และนี่คือคำจำกัดความอื่นที่เข้ามาในฉาก ซึ่งเป็นคำที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาสำนวนที่ไม่ลงตัว และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบปะ!

รากเลขคณิต

สมมติสักครู่ว่ามีเพียงจำนวนบวกหรือศูนย์เท่านั้นที่สามารถอยู่ภายใต้เครื่องหมายรูท มาให้คะแนนอินดิเคเตอร์คู่ / คี่ ให้คะแนนตามคำจำกัดความทั้งหมดข้างต้น - เราจะทำงานกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไง?

แล้วเราก็ได้รูทเลขคณิต - มันตัดกันบางส่วนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างไปจากนั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $n$th ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ $a$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ ซึ่ง $((b)^(n))=a$

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สนใจความเท่าเทียมกันอีกต่อไป มีข้อ จำกัด ใหม่ปรากฏขึ้นแทน: นิพจน์รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และตัวรูทเองก็ไม่ใช่ค่าลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ให้ดูที่กราฟของพาราโบลากำลังสองและลูกบาศก์พาราโบลาที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

ค้นหาพื้นที่ รากเลขคณิต- ตัวเลขไม่ติดลบ

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไป เราสนใจเฉพาะชิ้นส่วนของกราฟที่อยู่ในพิกัดไตรมาสแรก - โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นค่าบวก (หรืออย่างน้อยศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์รูทจำนวนลบหรือไม่ เพราะตัวเลขติดลบจะไม่ถูกพิจารณาในหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า: “ทำไมเราถึงต้องการคำจำกัดความตอนดังกล่าว?” หรือ: "ทำไมเราไม่สามารถใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นได้"

ฉันจะให้พร็อพเพอร์ตี้เพียงรายการเดียว เนื่องจากคำจำกัดความใหม่จึงเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎการยกกำลัง:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

โปรดทราบ: เราสามารถเพิ่มนิพจน์รากศัพท์เป็นกำลังใดๆ และในขณะเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรากด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วมันมีอะไรผิดปกติ? ทำไมเราทำไม่ได้ก่อนหน้านี้? นี่คือเหตุผล พิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างปกติในความหมายดั้งเดิมของเรา แต่ไม่สามารถยอมรับได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรูทเลขคณิต ลองแปลงดู:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก เราลบลบออกจากใต้รากศัพท์ (เรามี เต็มสิทธิ, เพราะ ตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่) และในอันที่สอง เราใช้สูตรข้างต้น เหล่านั้น. จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ทุกสิ่งทุกอย่างทำตามกฎเกณฑ์

ว้าว! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรการยกกำลัง ซึ่งใช้ได้ผลดีสำหรับจำนวนบวกและศูนย์ เริ่มแสดงความนอกรีตที่สมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ

เพื่อกำจัดความคลุมเครือเช่นนี้ พวกเขาจึงคิดเลขคณิตขึ้นมา บทเรียนขนาดใหญ่แยกต่างหากมีไว้สำหรับพวกเขาซึ่งเราพิจารณารายละเอียดคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาอย่างละเอียด ดังนั้นตอนนี้เราจะไม่พูดถึงพวกเขา - บทเรียนก็ยาวเกินไปอยู่ดี

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

คิดอยู่นานว่าจะทำหัวข้อนี้ในย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุด ฉันตัดสินใจออกจากที่นี่ วัสดุนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากเหง้าให้ดียิ่งขึ้น - ไม่ได้อยู่ที่ระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรูทของระดับ $n$-th จากตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องลงในตัวบ่งชี้คู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "สำหรับผู้ใหญ่" มากกว่า ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและ รายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย นี้เรียกว่ารากเกี่ยวกับพีชคณิต

คำนิยาม. รากพีชคณิต $n$-th ของ $a$ คือเซตของตัวเลขทั้งหมด $b$ ที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดที่ชัดเจนสำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเพียงแค่ใส่เครื่องหมายขีดบน:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นของบทเรียนคือ รากเกี่ยวกับพีชคณิตไม่ใช่ตัวเลขเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเรากำลังทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้มีสามประเภทเท่านั้น:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อจำเป็นต้องค้นหารากเกี่ยวกับพีชคณิตของดีกรีคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากของพลังคี่ทั้งหมด เช่นเดียวกับรากของพลังเลขคู่จากศูนย์ ตกอยู่ในหมวดหมู่นี้
3. สุดท้าย ชุดสามารถมีตัวเลขสองตัว - เหมือนกัน $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของแผนภูมิ ดังนั้นการจัดตำแหน่งดังกล่าวจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดมากขึ้น ลองนับสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. คำนวณนิพจน์:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

วิธีการแก้. นิพจน์แรกนั้นง่าย:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

เป็นตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของชุด เพราะแต่ละอันยกกำลังสองให้สี่

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ที่นี่เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเดียวเท่านั้น นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากเลขชี้กำลังของรูทเป็นเลขคี่

สุดท้าย นิพจน์สุดท้าย:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

เราได้ชุดเปล่า เพราะไม่มีจำนวนจริงเพียงตัวเดียวที่เมื่อยกกำลังเป็นสี่ (นั่นคือ คู่!) จะให้จำนวนลบ -16 แก่เรา

บันทึกสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่โดยบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เรากำลังทำงานกับตัวเลขจริง เนื่องจากมีตัวเลขที่ซับซ้อนด้วย - มันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ และสิ่งแปลก ๆ มากมายที่นั่น

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสมัยใหม่ แทบจะไม่เคยพบตัวเลขที่ซับซ้อนเลย ถูกละเว้นจากตำราส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราพิจารณาว่าหัวข้อ "ยากเกินไปที่จะเข้าใจ"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของมุมมองแบบองค์รวมของรากของระดับ n-th ทักษะของการใช้คุณสมบัติของรากอย่างมีสติและมีเหตุผลในการแก้ปัญหาต่างๆ

เกี่ยวกับการศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาอัลกอริธึมความคิดสร้างสรรค์พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง

เกี่ยวกับการศึกษา: ส่งเสริมการพัฒนาความสนใจในเรื่อง, กิจกรรม, ปลูกฝังความถูกต้องในการทำงาน, ความสามารถในการแสดงออก ความเห็นส่วนตัวเพื่อให้คำแนะนำ

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีตอนบ่าย! ชั่วโมงที่ดี!

ฉันดีใจแค่ไหนที่ได้พบคุณ

ระฆังดังแล้ว

บทเรียนเริ่มต้นขึ้น

พวกเขายิ้ม ปรับระดับขึ้น

มองหน้ากัน

และพวกเขานั่งลงอย่างเงียบ ๆ

2. แรงจูงใจในบทเรียน

นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสผู้โดดเด่น แบลส ปาสกาล นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่า "ความยิ่งใหญ่ของมนุษย์อยู่ที่ความสามารถในการคิดของเขา" วันนี้เราจะพยายามรู้สึกเหมือนเป็นคนที่ยอดเยี่ยมด้วยการค้นพบความรู้ด้วยตนเอง คำขวัญสำหรับบทเรียนวันนี้คือคำว่า นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณทาเลส:

อะไรมากที่สุดในโลก? - ช่องว่าง.

เร็วที่สุดคืออะไร? - จิตใจ.

อะไรฉลาดที่สุด? - เวลา.

อะไรสนุกที่สุด? - บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ

ฉันต้องการให้คุณแต่ละคนบรรลุผลตามที่ต้องการในบทเรียนของวันนี้

3. การทำให้เป็นจริงของความรู้

1. ตั้งชื่อการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตผกผันร่วมกันกับตัวเลข (การบวก การลบ การคูณ และการหาร)

2. เป็นไปได้ไหมที่จะทำการคำนวณเชิงพีชคณิตเป็นการหาร? (ไม่ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

3. การดำเนินการอื่นใดที่คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขได้? (การยกกำลัง)

4. การผ่าตัดของเธอจะเป็นอย่างไร? (การสกัดราก)

5. คุณสามารถแยกรากได้ระดับใด (รากที่สอง)

6. คุณทราบคุณสมบัติของรากที่สองอะไรบ้าง? (การแยกรากที่สองออกจากผลคูณ จากผลหาร จากราก การยกกำลัง)

7. ค้นหาค่าของนิพจน์:

จากประวัติศาสตร์.แม้กระทั่ง 4000 ปีที่แล้ว นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนได้รวบรวมตารางการคูณและตารางส่วนกลับ (ด้วยความช่วยเหลือของการหารตัวเลขถูกลดจำนวนลงเป็นการคูณ) ตารางของจำนวนกำลังสองและรากที่สองของตัวเลข ในเวลาเดียวกัน พวกเขาสามารถหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ได้

4. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เห็นได้ชัดว่าตามคุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติจากจำนวนบวกใด ๆ มีค่าตรงกันข้ามสองค่าของรูทขององศาคู่เช่นตัวเลข 4 และ -4 เป็นรากที่สองของ 16 ตั้งแต่ (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16 และตัวเลข 3 และ -3 เป็นรากที่สี่ของ 81 เนื่องจาก (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81

นอกจากนี้ยังไม่มีรูทเลขคู่ของจำนวนลบเพราะ ยกกำลังคู่ของจำนวนจริงใดๆ ไม่เป็นลบ. สำหรับรากของดีกรีคี่ สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีเพียงหนึ่งรูทของดีกรีคี่จากตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น 3 คือรากที่สามของ 27 เนื่องจาก Z3 = 27 และ -2 คือรากที่ห้าของ -32 เนื่องจาก (-2)5 = 32

ในการเชื่อมต่อกับการมีอยู่ของรากที่สองของดีกรีคู่จากจำนวนบวก เราแนะนำแนวคิดของการรูทเลขคณิตเพื่อขจัดความกำกวมของรูทนี้

ค่าที่ไม่เป็นลบของรูทที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่ารูทเลขคณิต

การกำหนด: - รากที่ nระดับ.

จำนวน n เรียกว่าดีกรีของรากเลขคณิต ถ้า n = 2 ระดับของรูทจะไม่ถูกระบุและเขียนไว้ รากของดีกรีที่สองเรียกว่า รากที่สอง และรากของดีกรีที่สามเรียกว่า ลูกบาศก์รูท

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bp = a, p - แม้แต่ a ≥ 0, b ≥ 0

p - คี่ a, b - ใดๆ

คุณสมบัติ

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , ≥ 0

4. , m, n, k - ตัวเลขธรรมชาติ

5. การรวมวัสดุใหม่

งานช่องปาก

ก) นิพจน์ใดที่เหมาะสม?

b) ค่าของตัวแปร a นิพจน์มีความหมายอย่างไร?

แก้ #3, 4, 7, 9, 11

6. พลศึกษา.

ในทุกกรณีจำเป็นต้องมีการกลั่นกรอง

ปล่อยให้มันเป็นกฎหลัก

ทำยิมนาสติกถ้าคุณคิดเป็นเวลานาน

ยิมนาสติกไม่ทำให้ร่างกายหมดแรง

แต่ชำระล้างทั้งตัว!

หลับตา พักผ่อนร่างกาย

ลองนึกภาพ - คุณเป็นนกคุณก็บินไป!

ตอนนี้คุณว่ายน้ำเหมือนปลาโลมาในมหาสมุทร

ตอนนี้ในสวนคุณเก็บแอปเปิ้ลสุก

ซ้าย ขวา มองไปรอบๆ

เปิดตาของคุณและกลับไปทำงาน!

7. งานอิสระ

ทำงานคู่กับ 178 #1, #2.

8. D / z.เรียนรู้ข้อ 10 (หน้า 160-161) แก้ข้อ 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2)

9. ผลลัพธ์ของบทเรียน ภาพสะท้อนของกิจกรรม

บทเรียนบรรลุวัตถุประสงค์หรือไม่

คุณได้เรียนรู้อะไร