C 14 เลขคณิตสแควร์รูท วิธีหารากที่สองของตัวเลขด้วยตนเอง

คณิตศาสตร์ถือกำเนิดขึ้นเมื่อมีคนรู้จักตัวเองและเริ่มวางตำแหน่งตัวเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ คำนวณสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่สนับสนุนหนึ่งในศาสตร์พื้นฐานในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับนิพจน์ทางกายภาพได้ในภายหลังข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากความเป็นนามธรรม) แต่หลังจากนั้นครู่หนึ่งตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงขีดจำกัดของความซับซ้อนเมื่อตัวเลขทั้งหมด" แนวคิด " รากที่สอง"ปรากฏขึ้นในช่วงเวลาที่สามารถสำรองได้อย่างง่ายดายด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์ เหนือกว่าระนาบการคำนวณ

มันเริ่มต้นอย่างไร

การกล่าวถึงครั้งแรกของรากซึ่งบน ช่วงเวลานี้แสดงเป็น√ถูกบันทึกไว้ในงานเขียนของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนที่วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขาดูคล้ายกับรูปแบบปัจจุบันเล็กน้อย - นักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช อี พวกเขาได้สูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีหารากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการส่งออก √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบได้เฉพาะในทศนิยมสิบตำแหน่งเท่านั้น

นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องหาด้านของสามเหลี่ยม โดยจะต้องรู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง จะไม่มีทางหลุดจากการถอนรากได้

นอกจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุของบทความยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดๆ ที่รากไม่ถูกสกัดออกมาโดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว .

ที่มาของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนที่กำหนดขึ้นจากรากเหมือนต้นไม้ ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน radix (ใครๆ ก็ติดตามรูปแบบ - ทุกอย่างที่มีโหลดเชิงความหมาย "ราก" เป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรืออาการปวดตะโพก)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อ ๆ มาหยิบแนวคิดนี้ขึ้นมาโดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ารากที่สองถูกนำมาจากจำนวน a โดยพลการ พวกเขาเขียน R 2 a นิสัย ดูทันสมัย"ติ๊ก" √ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่สองของ y คือจำนวน z ที่มีกำลังสองคือ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้มีความเกี่ยวข้องเฉพาะสำหรับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

โดยทั่วไป ซึ่งใช้ได้สำหรับกำหนดรากเกี่ยวกับพีชคณิต ค่าของนิพจน์สามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากความจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เราจึงมี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น จึงมีการสำแดงความรักต่อมันหลายอย่าง ไม่ได้แสดงออกมาในการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่นพร้อมกับกิจกรรมที่น่าสนใจเช่นวัน Pi วันหยุดของรากที่สองก็มีการเฉลิมฉลองเช่นกัน มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งในหนึ่งร้อยปีและกำหนดตามหลักการต่อไปนี้: ตัวเลขที่แสดงวันและเดือนตามลำดับต้องเป็นรากที่สองของปี ใช่ใน คราวหน้าวันหยุดนี้จะมีการเฉลิมฉลองในวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต ชะตากรรมนี้ไม่ผ่านและ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายแบบ ที่ง่ายที่สุด แต่ในเวลาเดียวกันค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณเลขคณิตปกติซึ่งมีดังนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท ตัวเลขคี่จะถูกลบในทางกลับกัน - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าการลบหนึ่งหรือคู่ ศูนย์. ในที่สุดจำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น การคำนวณรากที่สองของ 25:

กำลังติดตาม เลขคี่คือ 11 เรามีเศษเหลือดังนี้: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

สำหรับกรณีดังกล่าว มีการขยายซีรีส์เทย์เลอร์:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าจาก 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟิกของฟังก์ชัน z=√y

พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ แผนภูมิของเธอมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งเติบโตจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องข้ามจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นระยะ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ก็เป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้จึงอยู่ที่มุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก ตัวอย่างเช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันยกกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีสำหรับการสร้างความแตกต่างด้วยการบูรณาการ เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองแทนด้วยฟังก์ชันกำลังทั่วไป

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้ รากที่สองมีความต้องการสูง เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริทึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและอิงจากการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในฟิลด์เชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว เป็นเรื่องของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามเรื่องการได้รากดีกรีคู่จากจำนวนลบ นี่คือลักษณะที่หน่วยจินตภาพ i ปรากฏขึ้น ซึ่งมีคุณลักษณะที่น่าสนใจมาก: สี่เหลี่ยมจัตุรัสของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองและตัวจำแนกเชิงลบจึงมีคำตอบ ใน C สำหรับรากที่สอง คุณสมบัติเดียวกันมีความเกี่ยวข้องเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดในนิพจน์รากจะถูกลบออก

ในบทความนี้เราจะมาแนะนำ แนวคิดของรากของตัวเลข. เราจะดำเนินการตามลำดับ: เราจะเริ่มต้นด้วยรากที่สองจากนั้นเราจะไปยังคำอธิบาย รากลูกบาศก์หลังจากนั้น เราจะสรุปแนวคิดของรูทโดยกำหนดรูทของดีกรีที่ n ในเวลาเดียวกัน เราจะแนะนำคำจำกัดความ สัญกรณ์ ให้ตัวอย่างของราก และให้คำอธิบายและความคิดเห็นที่จำเป็น

รากที่สอง, รากที่สองเลขคณิต

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความของรูทของตัวเลข และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสแควร์รูทนั้น ต้องมี . ณ จุดนี้ เรามักจะพบกำลังสองของตัวเลข - กำลังสองของตัวเลข

มาเริ่มกันที่ คำจำกัดความของรากที่สอง.

คำนิยาม

รากที่สองของ aคือจำนวนที่มีกำลังสองคือ a

เพื่อนำมา ตัวอย่าง รากที่สอง นำตัวเลขหลายตัวเช่น 5 , −0.3 , 0.3 , 0 และยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข 25 , 0.09 , 0.09 และ 0 ตามลำดับ (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 และ 0 2 =0 0=0 ) จากคำจำกัดความข้างต้น 5 คือสแควร์รูทของ 25, −0.3 และ 0.3 คือสแควร์รูทของ 0.09 และ 0 คือสแควร์รูทของศูนย์

ควรสังเกตว่าไม่ใช่สำหรับจำนวนใด ๆ ที่มีอยู่ ซึ่งกำลังสองเท่ากับ a กล่าวคือสำหรับจำนวนลบใด ๆ ไม่มี เบอร์จริง b ซึ่งกำลังสองจะเท่ากับ a อันที่จริง ความเท่าเทียมกัน a=b 2 เป็นไปไม่ได้สำหรับค่าลบ a เนื่องจาก b 2 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นค่าลบสำหรับ b ใดๆ ดังนั้น, ในชุดของจำนวนจริงไม่มีรากที่สองของจำนวนลบ. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในชุดของจำนวนจริง รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้ถูกกำหนดและไม่มีความหมาย

สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเชิงตรรกะ: “มีรากที่สองของ a สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบหรือไม่” หรือไม่? คำตอบคือใช่ เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงนี้ถือได้ว่าเป็นวิธีที่สร้างสรรค์ซึ่งใช้ในการหาค่าของรากที่สอง

จากนั้นคำถามเชิงตรรกะต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น: "จำนวนรากที่สองทั้งหมดของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบที่กำหนดเป็นเท่าใด - หนึ่ง สอง สาม หรือมากกว่านั้น" นี่คือคำตอบ: ถ้า a เป็นศูนย์ รากที่สองของ 0 คือศูนย์เท่านั้น ถ้า a เป็นจำนวนบวก จำนวนหนึ่ง จำนวนของรากที่สองจากจำนวน a จะเท่ากับสอง และรากจะเป็น . มาพิสูจน์กัน

เริ่มจากกรณี a=0 กันก่อน ให้เราแสดงก่อนว่าศูนย์นั้นเป็นรากที่สองของศูนย์จริงๆ สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน 0 2 =0·0=0 และคำจำกัดความของรากที่สอง

ทีนี้มาพิสูจน์ว่า 0 เป็นรากที่สองเพียงตัวเดียวของศูนย์ ลองใช้วิธีที่ตรงกันข้ามกัน สมมติว่ามีจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ที่เป็นรากที่สองของศูนย์ จากนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข b 2 =0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากสำหรับ b ที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของนิพจน์ b 2 จะเป็นบวก เรามาขัดแย้งกัน นี่เป็นการพิสูจน์ว่า 0 เป็นรากที่สองเพียงตัวเดียวของศูนย์

มาดูกรณีที่ a เป็นจำนวนบวกกัน ด้านบนเราบอกว่ามีรากที่สองของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเสมอ ให้ b เป็นรากที่สองของ a สมมุติว่ามีตัวเลข c ซึ่งก็คือสแควร์รูทของ a ด้วย จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สอง ความเท่าเทียมกัน b 2 =a และ c 2 =a นั้นใช้ได้ จากนั้นจะตามมาว่า b 2 −c 2 =a−a=0 แต่เนื่องจาก b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) จากนั้น (b−c) (b+c)=0 . เกิดความเท่าเทียมกันในการบังคับใช้ คุณสมบัติของการกระทำกับจำนวนจริงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 หรือ b+c=0 ดังนั้นตัวเลข b และ c มีค่าเท่ากันหรือตรงกันข้าม

หากเราคิดว่ามีตัวเลข d ซึ่งเป็นรากที่สองของตัวเลข a อยู่แล้ว โดยการให้เหตุผลแบบเดียวกับที่ให้ไว้แล้ว จะพิสูจน์ได้ว่า d เท่ากับจำนวน b หรือหมายเลข c ดังนั้น จำนวนรากที่สองของจำนวนบวกคือ 2 และรากที่สองเป็นตัวเลขตรงข้าม

เพื่อความสะดวกในการทำงานกับสแควร์รูท ลบรูทจะ "แยก" ออกจากค่าบวก เพื่อการนี้จึงขอแนะนำ นิยามของรากที่สองเลขคณิต.

คำนิยาม

รากที่สองของเลขคณิตของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ aเป็นจำนวนไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a

สำหรับสแควร์รูทเลขคณิตของจำนวน a จะยอมรับสัญกรณ์ เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์รากที่สอง เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายของอนุมูล ดังนั้นคุณจึงได้ยินทั้ง "ราก" และ "ราก" ซึ่งหมายถึงวัตถุเดียวกันได้บางส่วน

ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองของเลขคณิตเรียกว่า หมายเลขรากและนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท - การแสดงออกที่รุนแรงในขณะที่คำว่า "จำนวนราก" มักจะถูกแทนที่ด้วย "นิพจน์ราก" ตัวอย่างเช่น ในสัญกรณ์ ตัวเลข 151 เป็นจำนวนราก และในสัญกรณ์ นิพจน์ a คือนิพจน์ราก

เมื่ออ่าน คำว่า "เลขคณิต" มักถูกละไว้ ตัวอย่างเช่น รายการจะถูกอ่านว่า "รากที่สองของเจ็ดจุดยี่สิบเก้าร้อย" คำว่า "เลขคณิต" จะออกเสียงก็ต่อเมื่อพวกเขาต้องการเน้นว่าเรากำลังพูดถึงรากที่สองที่เป็นบวกของตัวเลข

ในแง่ของสัญกรณ์ที่แนะนำ มันตามมาจากนิยามของสแควร์รูทเลขคณิตว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a

รากที่สองของจำนวนบวก a เขียนโดยใช้เครื่องหมายกรณฑ์เลขคณิตเป็น และ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 13 คือ และ รากที่สองของเลขศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือ สำหรับจำนวนลบ a เราจะไม่แนบความหมายกับรายการจนกว่าเราจะศึกษา ตัวเลขเชิงซ้อน. ตัวอย่างเช่น การแสดงออกและมีความหมาย

ตามคำจำกัดความของรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ

เพื่อสรุปส่วนย่อยนี้ เราสังเกตว่ารากที่สองของตัวเลขเป็นคำตอบของรูปแบบ x 2 =a เทียบกับตัวแปร x

รากที่สามของ

ความหมายของรากที่สามของจำนวน a ให้มาในลักษณะเดียวกับนิยามของรากที่สอง มันขึ้นอยู่กับแนวคิดของลูกบาศก์ของตัวเลขเท่านั้น ไม่ใช่กำลังสอง

คำนิยาม

รากที่สามของ aเรียกตัวเลขที่มีลูกบาศก์เท่ากับ a

มาเอากัน ตัวอย่างของรากที่สาม. ในการดำเนินการนี้ ให้นำตัวเลขหลายตัว เช่น 7 , 0 , −2/3 และลูกบาศก์: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สาม เราสามารถพูดได้ว่าหมายเลข 7 คือรากที่สามของ 343, 0 คือรากที่สามของศูนย์ และ −2/3 คือรากที่สามของ −8/27

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ารากที่สามของจำนวน a ซึ่งแตกต่างจากรากที่สองซึ่งมีอยู่เสมอ และไม่เพียงแต่สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น แต่ยังสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ด้วย ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีเดียวกับที่เรากล่าวถึงเมื่อศึกษารากที่สอง

ยิ่งกว่านั้น มีเพียงรากที่สามของจำนวนที่กำหนด a ให้เราพิสูจน์การยืนยันครั้งสุดท้าย ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามกรณีแยกกัน: a คือจำนวนบวก, a=0 และ a คือจำนวนลบ

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าสำหรับ a บวก รากที่สามของ a ไม่สามารถเป็นค่าลบหรือศูนย์ได้ แน่นอน ให้ b เป็นรากที่สามของ a จากนั้นตามคำจำกัดความ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ b 3 =a เป็นที่ชัดเจนว่าความเท่าเทียมกันนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับลบ b และสำหรับ b=0 เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ b 3 =b·b·b จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ตามลำดับ รากที่สามของจำนวนบวก a เป็นจำนวนบวก

ทีนี้ สมมติว่านอกเหนือจากจำนวน b แล้ว มีรูทลูกบาศก์อีกหนึ่งตัวจากจำนวน a, ลองแสดงว่า c แล้ว c 3 =a ดังนั้น b 3 −c 3 =a−a=0 , และ b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(นี่คือสูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์) ดังนั้น (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . ความเท่าเทียมกันที่ได้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ b−c=0 หรือ b 2 +b c+c 2 =0 จากความเท่าเทียมกันแรก เรามี b=c และความเท่าเทียมกันที่สองไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายเป็นจำนวนบวกสำหรับจำนวนบวกใดๆ b และ c เป็นผลรวมของเทอมบวกสามเทอม b 2 , b c และ c 2 สิ่งนี้พิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามของจำนวนบวก a

สำหรับ a=0 รากที่สามของ a จะเป็นศูนย์ แน่นอน หากเราคิดว่ามีจำนวน b ซึ่งเป็นรากที่สามที่ไม่ใช่ศูนย์ของศูนย์ ความเท่าเทียมกัน b 3 =0 จะต้องคงอยู่ ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ b=0 เท่านั้น

สำหรับค่าลบ a เราสามารถโต้แย้งได้เหมือนกับกรณีของค่าบวก a อันดับแรก เราแสดงว่ารากที่สามของจำนวนลบไม่สามารถเท่ากับจำนวนบวกหรือศูนย์ ประการที่สอง เราคิดว่ามีรากที่สามของจำนวนลบและแสดงว่าจำเป็นต้องตรงกับอันแรก

ดังนั้น จะมีรากที่สามของจำนวนจริงที่กำหนด a เสมอ และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ให้ ความหมายของรากที่สามเลขคณิต.

คำนิยาม

รากที่สามของเลขคณิตไม่เป็นลบ aเรียกตัวเลขที่ไม่เป็นลบซึ่งมีลูกบาศก์เท่ากับ a

รากที่สามเลขคณิตของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a แสดงเป็น , เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายของรากที่สามของเลขคณิต เลข 3 ในสัญลักษณ์นี้เรียกว่า ตัวบ่งชี้ราก. ตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทคือ หมายเลขราก, นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตคือ การแสดงออกที่รุนแรง.

แม้ว่ารากที่สามของเลขคณิตถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ a เท่านั้น แต่ยังสะดวกที่จะใช้รายการที่ตัวเลขติดลบอยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สามของเลขคณิต เราจะเข้าใจพวกเขาดังนี้: โดยที่ a เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น, .

เราจะพูดถึงคุณสมบัติของรากที่สามในบทความคุณสมบัติทั่วไปของราก

การคำนวณค่าของรูทคิวบ์เรียกว่าการแยกรูทคิวบ์ การดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทความการแยกรูท: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เพื่อสรุปส่วนย่อยนี้ เรากล่าวว่ารากที่สามของ a เป็นคำตอบของรูปแบบ x 3 =a

รากที่ n รากเลขคณิตของ n

เราสรุปแนวคิดของการรูตจากตัวเลข - เราแนะนำ การกำหนดรากที่ nสำหรับ น.

คำนิยาม

รากที่ n ของ aเป็นจำนวนที่ยกกำลัง n เท่ากับ a

จากคำจำกัดความนี้ เป็นที่ชัดเจนว่ารากของดีกรีแรกจากจำนวน a คือจำนวน a เอง เนื่องจากเมื่อศึกษาดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ เราจึงเอา 1 = a

ข้างต้น เราได้พิจารณากรณีพิเศษของรูทของดีกรีที่ n สำหรับ n=2 และ n=3 - รากที่สองและรากที่สาม นั่นคือ รากที่สองคือรากของดีกรีที่สอง และรากที่สามคือรูตของดีกรีที่สาม หากต้องการศึกษารากของระดับที่ n สำหรับ n=4, 5, 6, ... จะสะดวกที่จะแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - รากขององศาคู่ (นั่นคือสำหรับ n=4, 6 , 8, ...), กลุ่มที่สอง - รูต องศาคี่ (นั่นคือสำหรับ n=5, 7, 9, ... ) นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ารากขององศาคู่นั้นคล้ายกับรากที่สอง และรากขององศาคี่นั้นคล้ายกับรากที่สามของลูกบาศก์ มาจัดการกับพวกเขาในทางกลับกัน

เริ่มจากรากกันก่อน ยกกำลังซึ่งเป็นเลขคู่ 4, 6, 8, ... ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว มันคล้ายกับรากที่สองของตัวเลข a นั่นคือ รากของดีกรีคู่ใดๆ จากจำนวน a จะมีอยู่สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ถ้า a=0 รากของ a จะไม่ซ้ำกันและเท่ากับศูนย์ และถ้า a>0 แสดงว่ามีรากที่มีดีกรีคู่จากจำนวน a สองตัว และเป็นตัวเลขตรงข้ามกัน

ให้เราปรับการยืนยันครั้งสุดท้าย ให้ b เป็นรากของดีกรีคู่ (เราแสดงว่าเป็น 2 ม. โดยที่ m เป็นบางส่วน ตัวเลขธรรมชาติ) จากหมายเลข a . สมมติว่ามีตัวเลข c - รูท a อีก 2 ม. จากนั้น b 2 m −c 2 m =a−a=0 . แต่เรารู้รูปแบบ b 2 m − c 2 m = (b - c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)จากนั้น (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. จากความเท่าเทียมกันนี้จะตามมาว่า b−c=0 , หรือ b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ความเท่าเทียมกันสองอันแรกหมายความว่าตัวเลข b และ c เท่ากัน หรือ b และ c อยู่ตรงข้าม และความเท่าเทียมกันสุดท้ายใช้ได้กับ b=c=0 เท่านั้น เนื่องจากด้านซ้ายมีนิพจน์ที่ไม่เป็นค่าลบสำหรับ b และ c เป็นผลรวมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ

สำหรับรากของดีกรีที่ n สำหรับ n คี่ จะคล้ายกับรากที่สาม นั่นคือ รากของระดับคี่ใดๆ จากจำนวน a จะมีอยู่สำหรับจำนวนจริง a และสำหรับจำนวนที่กำหนด a จะเป็นค่าเฉพาะ

เอกลักษณ์ของรากของดีกรี 2·m+1 จากจำนวน a พิสูจน์ได้ด้วยการเปรียบเทียบกับการพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามจาก a ที่นี่เท่านั้น แทนความเสมอภาค a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m-1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 ม.). นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็น b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))). ตัวอย่างเช่น สำหรับ m=2 เรามี b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). เมื่อ a และ b เป็นค่าบวกหรือค่าลบทั้งคู่ ผลคูณของค่านั้นเป็นจำนวนบวก ดังนั้นนิพจน์ b 2 +c 2 +b·c ซึ่งอยู่ในวงเล็บของระดับสูงสุดของการซ้อน จะเป็นค่าบวกเป็นผลบวกของผลบวก ตัวเลข ตอนนี้ ย้ายไปยังนิพจน์ในวงเล็บของระดับการซ้อนก่อนหน้าอย่างต่อเนื่อง เราตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์เหล่านี้เป็นค่าบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวก เป็นผลให้เราได้รับว่าความเท่าเทียมกัน b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m-1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0เป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 นั่นคือเมื่อจำนวน b เท่ากับจำนวน c

ได้เวลาจัดการกับสัญกรณ์ของรากของดีกรีที่ n สำหรับสิ่งนี้มันจะได้รับ การหารากเลขคณิตของดีกรีที่ n.

คำนิยาม

รากเลขคณิตยกกำลังที่ n ของจำนวนไม่เป็นลบ aเรียกจำนวนที่ไม่เป็นลบ ยกกำลังที่ n เท่ากับ a

สแควร์รูทคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

แนวคิดนี้ง่ายมาก ธรรมชาติฉันจะพูด นักคณิตศาสตร์พยายามค้นหาปฏิกิริยาสำหรับทุกการกระทำ มีการบวกและมีการลบ มีการคูณและมีการหาร มีการยกกำลังสอง ... ดังนั้นจึงมี สกัดรากที่สอง!นั่นคือทั้งหมดที่ การกระทำนี้ ( หารากที่สอง) ในวิชาคณิตศาสตร์แสดงด้วยไอคอนนี้:

ไอคอนตัวเองเรียกว่า คำที่สวยงาม "หัวรุนแรง".

วิธีการแยกราก?พิจารณาดีกว่า ตัวอย่าง.

สแควร์รูทของ 9 คืออะไร? แล้วเลขอะไรยกกำลังสองให้เราได้ 9? 3 กำลังสอง ให้ 9! เหล่านั้น:

รากที่สองของศูนย์คืออะไร? ไม่มีปัญหา! เลขศูนย์กำลังสองให้เลขอะไร? ใช่ ตัวเขาเองให้ศูนย์! วิธี:

จับได้ สแควร์รูทคืออะไร?แล้วเราค่อยพิจารณา ตัวอย่าง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย): 6; หนึ่ง; 4; เก้า; 5.

ตัดสินใจแล้ว? จริง ๆ มันง่ายกว่ามาก!

แต่... บุคคลจะทำอย่างไรเมื่อเขาเห็นงานบางอย่างที่มีราก?

คนเริ่มโหยหา ... เขาไม่เชื่อในความเรียบง่ายและความสว่างของรากเหง้า ทั้งที่ดูเหมือนเขาจะรู้ สแควร์รูทคืออะไร...

เนื่องจากบุคคลละเลยประเด็นสำคัญหลายประการเมื่อศึกษารากเหง้า จากนั้นแฟชั่นเหล่านี้จะแก้แค้นการทดสอบและการสอบอย่างไร้ความปราณี ...

จุดที่หนึ่ง รากต้องรับรู้ด้วยตา!

สแควร์รูทของ 49 คืออะไร? เซเว่น? ถูกต้อง! คุณรู้ได้อย่างไรว่ามีเจ็ดคน? ยกกำลังสองเจ็ดและได้ 49? ถูกต้อง! โปรดทราบว่า สกัดรากจากทั้งหมด 49 เราต้องดำเนินการย้อนกลับ - สี่เหลี่ยมที่ 7! และมั่นใจว่าเราจะไม่พลาด หรืออาจจะพลาด...

ความยากลำบากอยู่ในนั้น การสกัดราก. ยกกำลังหมายเลขใด ๆ เป็นไปได้โดยไม่มีปัญหาใด ๆ คูณตัวเลขด้วยตัวมันเองในคอลัมน์ - แค่นั้น แต่สำหรับ การสกัดรากไม่มีเทคโนโลยีที่เรียบง่ายและไร้ปัญหาเช่นนี้ บัญชีสำหรับ หยิบตอบและตรวจดูว่าตีด้วยการยกกำลังสองหรือไม่

กระบวนการสร้างสรรค์ที่ซับซ้อนนี้ - การเลือกคำตอบ - จะง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณ จดจำสี่เหลี่ยมของตัวเลขยอดนิยม เหมือนตารางสูตรคูณ สมมุติว่าคุณต้องคูณ 4 ด้วย 6 - คุณไม่บวก 4 6 คูณด้วย 6 ใช่ไหม คำตอบจะปรากฏขึ้นทันที 24 แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนที่มีใช่ ...

สำหรับการรูทฟรีและประสบความสำเร็จก็เพียงพอที่จะรู้กำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 ยิ่งกว่านั้น ที่นั่นและ กลับ.เหล่านั้น. คุณควรจะสามารถตั้งชื่อทั้งสองอย่างง่ายๆ เช่น 11 กำลังสองและรากที่สองของ 121 เพื่อให้การท่องจำนี้สำเร็จ มีสองวิธี อย่างแรกคือการเรียนรู้ตารางสี่เหลี่ยม สิ่งนี้จะช่วยได้มากกับตัวอย่าง ประการที่สอง ตัดสินใจ ตัวอย่างเพิ่มเติม. เป็นการดีที่จะจำตารางสี่เหลี่ยม

และไม่มีเครื่องคิดเลข! สำหรับการตรวจสอบเท่านั้น มิฉะนั้นคุณจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีระหว่างการสอบ ...

ดังนั้น, สแควร์รูทคืออะไรแล้วยังไง สกัดราก- ฉันคิดว่ามันเข้าใจ ตอนนี้ มาดูกันว่าคุณสามารถดึงมันมาจากอะไรได้บ้าง

ข้อสอง. รูท ฉันไม่รู้จักคุณ!

คุณหารากที่สองได้จากตัวเลขอะไร ใช่เกือบทุกอย่าง มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจสิ่งที่ เป็นสิ่งต้องห้ามสกัดพวกเขา

มาลองคำนวณรูทนี้กัน:

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเลือกตัวเลขที่ยกกำลังสองให้ -4 แก่เรา เราเลือก.

ไม่เลือกอะไร? 2 2 ให้ +4 (-2) 2 ให้ +4 อีกครั้ง! แค่นั้นแหละ ... ไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะให้จำนวนลบแก่เรา! ทั้งๆที่รู้ตัวเลข แต่ฉันจะไม่บอกคุณ) ไปที่วิทยาลัยและค้นหาด้วยตัวคุณเอง

เรื่องเดียวกันจะมีจำนวนลบใดๆ จึงได้ข้อสรุปว่า

นิพจน์ที่จำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ - ไม่สมเหตุสมผล! นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้าม ต้องห้ามเป็นหารด้วยศูนย์ จำข้อเท็จจริงนี้ไว้ในใจ!หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง:

คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบได้!

แต่ที่เหลือทั้งหมด - คุณทำได้ ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะคำนวณ

ได้อย่างรวดเร็วก่อนนี้เป็นเรื่องยากมาก รับเศษส่วน แต่ยกกำลังสอง ... ไม่ต้องกังวล เมื่อเราจัดการกับคุณสมบัติของราก ตัวอย่างดังกล่าวจะลดลงเป็นตารางสี่เหลี่ยมเดียวกัน ชีวิตจะง่ายขึ้น!

โอเค เศษส่วน แต่เรายังคงพบนิพจน์เช่น:

ไม่เป็นไร. เหมือนกันทั้งหมด. รากที่สองของสองคือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้ว จะได้ผีสางเรา เฉพาะตัวเลขที่ไม่เท่ากันอย่างสมบูรณ์ ... นี่คือ:

ที่น่าสนใจคือเศษส่วนนี้ไม่มีวันสิ้นสุด... ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ ในรากที่สอง นี่คือสิ่งที่พบได้บ่อยที่สุด อย่างไรก็ตาม นี่คือเหตุผลที่เรียกนิพจน์ที่มีราก ไม่มีเหตุผล. เห็นได้ชัดว่าการเขียนเศษส่วนอนันต์ตลอดเวลานั้นไม่สะดวก ดังนั้นแทนที่จะเป็นเศษส่วนอนันต์ พวกเขาปล่อยให้มันเป็นดังนี้:

หากเมื่อแก้ตัวอย่าง คุณได้สิ่งที่แยกออกมาไม่ได้ เช่น:

แล้วเราก็ปล่อยไว้อย่างนั้น นี่จะเป็นคำตอบ

คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่ามีอะไรอยู่ใต้ไอคอน

แน่นอนถ้ารูทของตัวเลขนั้นถูกยึดไป เรียบ, คุณต้องทำอย่างนั้น. คำตอบของงานในรูปแบบเช่น

ค่อนข้างเป็นคำตอบที่สมบูรณ์

และแน่นอนว่าคุณจำเป็นต้องรู้ค่าโดยประมาณจากหน่วยความจำ:

ความรู้นี้ช่วยได้มากในการประเมินสถานการณ์ในงานที่ซับซ้อน

จุดสาม. เจ้าเล่ห์ที่สุด.

ความสับสนหลักในการทำงานกับรากนั้นเกิดจากแฟชั่นนี้ เป็นผู้ให้ความเชื่อมั่นใน กองกำลังของตัวเอง... จัดการกับแฟชั่นนี้อย่างถูกต้อง!

อันดับแรก เราแยกสแควร์รูทของทั้งสี่ออกมาอีกครั้ง ฉันได้รูทนี้แล้วใช่ไหม) ไม่มีอะไร ตอนนี้มันจะน่าสนใจแล้ว!

จำนวนใดที่จะให้ในกำลังสองของ 4? สอง สอง - ฉันได้ยินคำตอบที่ไม่พอใจ ...

ถูกต้อง. สอง. แต่ยัง ลบสองจะให้ 4 กำลังสอง ... ในขณะเดียวกันคำตอบ

ถูกต้องและคำตอบ

ความผิดพลาดอย่างที่สุด แบบนี้.

แล้วตกลงว่าไง?

อันที่จริง (-2) 2 = 4 และภายใต้คำจำกัดความของรากที่สองของสี่ ลบสองค่อนข้างเหมาะสม ... นี่คือสแควร์รูทของสี่เช่นกัน

แต่! ในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณารากที่สอง เฉพาะตัวเลขไม่ติดลบ!นั่นคือศูนย์และบวกทั้งหมด แม้แต่คำพิเศษก็ประกาศเกียรติคุณ: จากหมายเลข เอ- นี้ ไม่เป็นลบจำนวนที่มีกำลังสองคือ เอ. ผลลัพธ์เชิงลบเมื่อแยกสแควร์รูทเลขคณิตจะถูกยกเลิกอย่างง่ายดาย ที่โรงเรียน รากที่สองทั้งหมด - เลขคณิต. แม้จะไม่ได้กล่าวถึงอย่างเจาะจง

โอเค เป็นที่เข้าใจ จะดีกว่าที่จะไม่ยุ่งกับผลลัพธ์เชิงลบ... ยังไม่สับสน

ความสับสนเริ่มต้นขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้

สมการง่าย ๆ เราเขียนคำตอบ (ตามที่สอน):

คำตอบนี้ (ค่อนข้างถูกนะ) เป็นเพียงสัญกรณ์ตัวย่อ สองคำตอบ:

หยุด หยุด! สูงขึ้นเล็กน้อยฉันเขียนว่ารากที่สองเป็นตัวเลข เสมอไม่ติดลบ! และนี่คือหนึ่งในคำตอบ - เชิงลบ! ความผิดปกติ นี่เป็นปัญหาแรก (แต่ไม่ใช่ปัญหาสุดท้าย) ที่ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจในรากเหง้า ... มาแก้ปัญหานี้กันเถอะ มาเขียนคำตอบกัน (เพื่อความเข้าใจล้วนๆ!) ดังนี้:

วงเล็บจะไม่เปลี่ยนสาระสำคัญของคำตอบ ฉันเพิ่งแยกด้วยวงเล็บ ป้ายจาก ราก. ตอนนี้เห็นได้ชัดว่ารูทเอง (ในวงเล็บ) ยังคงเป็นตัวเลขไม่ติดลบ! และสัญญาณคือ ผลการแก้สมการ. ท้ายที่สุดเมื่อแก้สมการใด ๆ เราต้องเขียน ทั้งหมด x ซึ่งเมื่อแทนที่ลงในสมการเดิมแล้วจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง รากของห้า (บวก!) เหมาะสำหรับสมการของเราที่มีทั้งบวกและลบ

แบบนี้. ถ้าคุณ แค่หาสแควร์รูทจากสิ่งที่คุณ เสมอรับ หนึ่งไม่ใช่เชิงลบผลลัพธ์. ตัวอย่างเช่น:

เพราะมัน - รากที่สองเลขคณิต.

แต่ถ้าคุณตัดสินใจ สมการกำลังสอง, พิมพ์:

แล้ว เสมอปรากฎว่า สองคำตอบ (พร้อมบวกและลบ):

เพราะมันคือคำตอบของสมการ

หวัง, สแควร์รูทคืออะไรคุณทำให้ถูกต้องด้วยคะแนนของคุณ ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาสิ่งที่สามารถทำได้ด้วยรากคุณสมบัติของพวกเขาคืออะไร และแฟชั่นและกล่องใต้น้ำคืออะไร ... ขอโทษนะก้อนหิน!)

ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนต่อไป

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ในบรรดาความรู้มากมายที่เป็นสัญลักษณ์ของการรู้หนังสือ อักษรเป็นอันดับแรก ถัดไป องค์ประกอบ "เครื่องหมาย" เดียวกันคือทักษะของการบวก-คูณ และอยู่ติดกับองค์ประกอบนั้น แต่กลับกันในความหมาย การดำเนินการเลขคณิตของการหาร-การลบ ทักษะที่เรียนรู้ในวัยเด็กของโรงเรียนห่างไกลรับใช้อย่างซื่อสัตย์ทั้งกลางวันและกลางคืน: ทีวี หนังสือพิมพ์ SMS และทุกที่ที่เราอ่าน เขียน นับ บวก ลบ คูณ และบอกฉันที เธอต้องหยั่งรากลึกในชีวิตบ่อยไหม ยกเว้นในประเทศ? ตัวอย่างเช่น ปัญหาที่น่าสนุก เช่น สแควร์รูทของหมายเลข 12345 ... ยังมีดินปืนอยู่ในขวดโหลไหม? เราสามารถทำได้หรือไม่ ใช่ ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว! เครื่องคิดเลขของฉันอยู่ที่ไหน ... และหากไม่มีมันแบบตัวต่อตัวอ่อนแอ?

อันดับแรก มาทำความเข้าใจกันก่อนว่ามันคืออะไร - รากที่สองของตัวเลข โดยทั่วไปแล้ว "การแยกรากออกจากตัวเลข" หมายถึงการดำเนินการเลขคณิตตรงข้ามกับการยกกำลัง - ที่นี่คุณมีความสามัคคีของสิ่งที่ตรงกันข้ามในการประยุกต์ใช้ชีวิต สมมุติว่ากำลังสองคือการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเอง เช่น ตามที่พวกเขาสอนที่โรงเรียน X * X = A หรือในอีกรูปแบบหนึ่ง X2 = A และในคำพูด - “X กำลังสองเท่ากับ A” จากนั้นปัญหาผกผันจะเป็นดังนี้: สแควร์รูทของจำนวน A คือจำนวน X ซึ่งเมื่อยกกำลังสองจะเท่ากับ A

การแยกรากที่สอง

จากหลักสูตรเลขคณิตของโรงเรียนรู้จักวิธีการคำนวณ "ในคอลัมน์" ซึ่งช่วยในการคำนวณโดยใช้สี่ตัวแรก การดำเนินการเลขคณิต. อนิจจา ... สำหรับสแควร์และไม่เพียงสแควร์รูทของอัลกอริธึมดังกล่าวไม่มีอยู่จริง และในกรณีนี้ จะแยกสแควร์รูทโดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร ตามคำจำกัดความของรากที่สองมีข้อสรุปเดียวเท่านั้น - จำเป็นต้องเลือกค่าของผลลัพธ์โดยการแจงนับตัวเลขตามลำดับซึ่งกำลังสองซึ่งเข้าใกล้ค่าของนิพจน์รูท เท่านั้นและทุกอย่าง! หนึ่งหรือสองชั่วโมงจะไม่มีเวลาผ่านไป เนื่องจากคุณสามารถคำนวณโดยใช้วิธีการที่รู้จักกันดีในการคูณเป็น "คอลัมน์" สแควร์รูทใดก็ได้ หากคุณมีทักษะเพียงพอสำหรับสิ่งนี้เพียงไม่กี่นาที แม้แต่เครื่องคิดเลขหรือผู้ใช้พีซีที่ไม่ก้าวหน้านักก็ยังทำได้ในคราวเดียว - ความคืบหน้า

แต่อย่างจริงจัง การคำนวณรากที่สองมักใช้เทคนิค "ปืนใหญ่อัตตาจร" ขั้นแรก ให้นำตัวเลขที่มีกำลังสองใกล้เคียงกับนิพจน์ราก จะดีกว่าถ้า "กำลังสองของเรา" น้อยกว่านิพจน์นี้เล็กน้อย จากนั้นพวกเขาจะแก้ไขตัวเลขตามความเข้าใจในทักษะของตนเอง เช่น คูณด้วยสอง และ ... ยกกำลังสองอีกครั้ง ถ้าผลลัพธ์ จำนวนมากขึ้นใต้รูท ปรับแต่งหมายเลขเดิมตามลำดับ ค่อยๆ เข้าใกล้ "เพื่อนร่วมงาน" ใต้รูท อย่างที่คุณเห็น - ไม่มีเครื่องคิดเลข มีเพียงความสามารถในการนับ "ในคอลัมน์" แน่นอนว่ามีอัลกอริธึมที่ให้เหตุผลทางวิทยาศาสตร์และปรับให้เหมาะสมมากมายสำหรับการคำนวณสแควร์รูท แต่สำหรับ "การใช้ในบ้าน" เทคนิคข้างต้นให้ความมั่นใจในผลลัพธ์ 100%

ใช่ ฉันเกือบลืมไปเลย เพื่อยืนยันการรู้หนังสือที่เพิ่มขึ้นของเรา เราคำนวณรากที่สองของตัวเลขที่ระบุก่อนหน้านี้ 12345 เราทำทีละขั้นตอน:

1. ใช้สัญชาตญาณอย่างหมดจด X=100 มาคำนวณกัน: X * X = 10000 สัญชาตญาณอยู่ด้านบน - ผลลัพธ์น้อยกว่า 12345

2. ลองกันอย่างสังหรณ์ใจ X = 120 จากนั้น: X * X = 14400 และอีกครั้งด้วยสัญชาตญาณลำดับ - ผลลัพธ์มากกว่า 12345

3. ด้านบนได้รับ "ส้อม" ที่ 100 และ 120 เลือกตัวเลขใหม่ - 110 และ 115 เราได้รับ 12100 และ 13225 ตามลำดับ - ทางแยกแคบลง

4. เราลอง "อาจจะ" X = 111 เราได้ X * X = 12321 ตัวเลขนี้ค่อนข้างใกล้เคียงกับ 12345 แล้ว ตามความแม่นยำที่ต้องการ "การปรับ" สามารถดำเนินการต่อหรือหยุดที่ผลลัพธ์ที่ได้รับ นั่นคือทั้งหมดที่ ตามที่สัญญาไว้ - ทุกอย่างง่ายมากและไม่มีเครื่องคิดเลข

ประวัติค่อนข้างมาก...

แม้แต่ชาวพีทาโกรัส นักเรียนของโรงเรียนและผู้ติดตามของพีทาโกรัสที่คิดจะใช้รากที่สอง 800 ปีก่อนคริสตกาล และที่นั่น "พบ" การค้นพบใหม่ในด้านตัวเลข และมันมาจากไหน?

1. การแก้ปัญหาด้วยการแยกรูทให้ผลลัพธ์ในรูปแบบของตัวเลขของคลาสใหม่ พวกเขาถูกเรียกว่าไม่มีเหตุผลหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า "ไม่มีเหตุผล" เพราะ ไม่ได้เขียนเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างคลาสสิกที่สุดของประเภทนี้คือสแควร์รูทของ 2 กรณีนี้สอดคล้องกับการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 - นี่คืออิทธิพลของโรงเรียนพีทาโกรัส ปรากฎว่าในสามเหลี่ยมที่มีขนาดหน่วยเฉพาะของด้านข้าง ด้านตรงข้ามมุมฉากมีขนาดที่แสดงด้วยตัวเลขที่ "ไม่มีที่สิ้นสุด" ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์จึงปรากฏขึ้น

2. เป็นที่รู้กันว่าปรากฏว่าสิ่งนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีอีกหนึ่งการจับ - การแยกรูทเราไม่รู้ว่านิพจน์รูทของจำนวนใดที่เป็นบวกหรือลบคือนิพจน์รูต ความไม่แน่นอนนี้ เป็นผลสองเท่าจากการดำเนินการครั้งเดียว ถูกจดไว้

การศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์นี้ได้กลายเป็นทิศทางในวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์

อยากรู้ว่าการกำหนดรูต - รุนแรง - ถูกใช้ใน "เลขคณิตสากล" ของเขาโดย I. Newton ที่แพร่หลายเหมือนกัน แต่แน่นอน ดูทันสมัยบันทึกหลักเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่ปี 1690 จากหนังสือ Frenchman Roll "Guide to Algebra"