4 จำนวนอตรรกยะพร้อมตัวอย่าง จำนวนตรรกยะและอตรรกยะคืออะไร

เซตของจำนวนอตรรกยะมักจะเขียนแทนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ อักษรละติน ฉัน (\displaystyle \mathbb (I) )เป็นตัวหนาโดยไม่มีการเติม ดังนั้น: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )นั่นคือ ชุดของจำนวนอตรรกยะคือผลต่างระหว่างเซตของจำนวนจริงและจำนวนตรรกยะ

การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะ ซึ่งแม่นยำกว่าคือส่วนที่เทียบไม่ได้กับส่วนของความยาวหน่วย เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วสำหรับนักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณ: พวกเขารู้เช่น ความไม่สามารถเทียบเคียงได้ของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเทียบเท่ากับความไร้เหตุผล ของจำนวน

สารานุกรม YouTube

1 / 5
ไม่ลงตัวคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ2

สมมติว่าตรงกันข้าม: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))ตรรกยะ คือ แสดงเป็นเศษส่วน m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), ที่ไหน ม. (\displaystyle ม.)เป็นจำนวนเต็ม และ n (\displaystyle n)- จำนวนธรรมชาติ .
ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันที่ควรจะเป็น:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\ลูกศรขวา m^(2)=2n^(2)).
เรื่องราว

สมัยโบราณ

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้โดยนัยโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อมานาวา (ค. 750 ปีก่อนคริสตกาล - 690 ปีก่อนคริสตกาล) พบว่า รากที่สองไม่สามารถแสดงจำนวนธรรมชาติบางอย่าง เช่น 2 และ 61 ได้อย่างชัดเจน [ ] .
หลักฐานแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมีสาเหตุมาจาก Hippasus of Metapontus (c. 500 BC) ซึ่งเป็นพีทาโกรัส ในยุคพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีหน่วยความยาวเพียงหน่วยเดียว มีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มจำนวนครั้งที่รวมอยู่ในส่วนใดๆ [ ] .
ไม่มีข้อมูลที่แน่นอนเกี่ยวกับความไร้เหตุผลซึ่ง Hippasus พิสูจน์จำนวนดังกล่าว ตามตำนาน เขาค้นพบโดยศึกษาความยาวของด้านข้างของดาวห้าแฉก ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสรุปว่านี่คืออัตราส่วนทองคำ [ ] .
นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกอัตราส่วนนี้ว่าปริมาณที่เทียบไม่ได้ alogos(อธิบายไม่ได้) แต่ตามตำนานแล้ว Hippasus ไม่ได้รับความเคารพ มีตำนานเล่าว่าฮิปปาซัสค้นพบระหว่างการเดินทางในทะเลและถูกชาวพีทาโกรัสคนอื่นโยนลงทะเล "เพื่อสร้างองค์ประกอบของจักรวาลซึ่งปฏิเสธหลักคำสอนที่ว่าทุกหน่วยงานในจักรวาลสามารถลดลงเป็นจำนวนเต็มและอัตราส่วนของพวกเขา " การค้นพบฮิปปัสมาก่อนคณิตศาสตร์พีทาโกรัส ปัญหาร้ายแรงทำลายสมมติฐานที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีทั้งหมดที่ว่าตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิตเป็นหนึ่งเดียวและแยกออกไม่ได้

ด้วยส่วนของความยาวหน่วย นักคณิตศาสตร์โบราณรู้อยู่แล้ว: พวกเขารู้ ตัวอย่างเช่น ความไม่สามารถเทียบได้ของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเทียบเท่ากับความไร้เหตุผลของตัวเลข

ไม่ลงตัวคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ2

สมมติว่าตรงกันข้าม: มีเหตุผลนั่นคือมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้โดยที่และเป็นจำนวนเต็ม ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันที่ควรจะเป็น:
.
จากนี้ไป แม้กระทั่ง ดังนั้น แม้ และ . ให้ที่ทั้ง. แล้ว

ดังนั้น แม้ ดังนั้น แม้ และ . เราได้รับสิ่งนั้น และ เป็นคู่ ซึ่งขัดแย้งกับการไม่สามารถลดทอนของเศษส่วนได้ ดังนั้นสมมติฐานเดิมจึงผิด และ - ir จำนวนตรรกยะ.

ลอการิทึมไบนารีของจำนวน 3

สมมติว่าตรงกันข้าม: มีเหตุผลนั่นคือมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม ตั้งแต่ และสามารถนำมาเป็นบวกได้ แล้ว

แต่เห็นได้ชัดว่ามันแปลก เราได้รับความขัดแย้ง

อี

เรื่องราว

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้โดยปริยายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อมานาวา (ค. 750 ปีก่อนคริสตกาล - 690 ปีก่อนคริสตกาล) พบว่ารากที่สองของจำนวนธรรมชาติบางจำนวน เช่น 2 และ 61 ไม่สามารถแสดงออกได้อย่างชัดเจน

การพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจาก Hippasus of Metapontus (c. 500 BC) ซึ่งเป็นชาวพีทาโกรัสที่พบข้อพิสูจน์นี้โดยการศึกษาความยาวของด้านข้างของรูปดาวห้าแฉก ในสมัยพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีความยาวหน่วยเดียว ซึ่งมีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มของครั้งที่รวมอยู่ในส่วนใดๆ อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสแย้งว่าไม่มีหน่วยความยาวใด ๆ เนื่องจากสมมติฐานของการมีอยู่ของมันนำไปสู่ความขัดแย้ง เขาแสดงให้เห็นว่าถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากมีจำนวนส่วนของหน่วยจำนวนเต็ม ดังนั้นจำนวนนี้ต้องเป็นคู่และคี่ในเวลาเดียวกัน หลักฐานมีลักษณะดังนี้:
- อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามารถแสดงเป็น เอ:ข, ที่ไหน เอและ ขเลือกให้น้อยที่สุด
- ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เอ² = 2 ข².
- เนื่องจาก เอ² แม้กระทั่ง เอต้องเป็นเลขคู่ (เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่จะเป็นเลขคี่)
- ตราบเท่าที่ เอ:ขลดไม่ได้ ขจะต้องแปลก
- เนื่องจาก เอแม้หมายถึง เอ = 2y.
- แล้ว เอ² = 4 y² = 2 ข².
- ข² = 2 y² ดังนั้น ขเท่ากันแล้ว ขสม่ำเสมอ.
- อย่างไรก็ตามได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ขแปลก. ความขัดแย้ง.
นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกอัตราส่วนนี้ว่าปริมาณที่เทียบไม่ได้ alogos(อธิบายไม่ได้) แต่ตามตำนานแล้ว Hippasus ไม่ได้รับความเคารพ มีตำนานเล่าว่าฮิปปาซัสค้นพบระหว่างการเดินทางในทะเลและถูกชาวพีทาโกรัสคนอื่นโยนลงทะเล "เพื่อสร้างองค์ประกอบของจักรวาลซึ่งปฏิเสธหลักคำสอนที่ว่าทุกหน่วยงานในจักรวาลสามารถลดลงเป็นจำนวนเต็มและอัตราส่วนของพวกเขา " การค้นพบฮิปปาซัสก่อให้เกิดปัญหาร้ายแรงสำหรับคณิตศาสตร์พีทาโกรัส ทำลายสมมติฐานพื้นฐานที่ว่าตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิตเป็นหนึ่งเดียวกันและแยกออกไม่ได้

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

ระบบตัวเลข
นับ
ชุด ตัวเลขธรรมชาติ () จำนวนเต็ม ()

จำนวนตรรกยะเป็นตัวเลขที่แสดงด้วยเศษส่วนธรรมดา m/n โดยที่ตัวเศษ m เป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วน n เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์แบบเป็นคาบได้ ชุดของจำนวนตรรกยะแสดงด้วย Q

ถ้าจำนวนจริงไม่เป็นตรรกยะ มันก็จะเป็น จำนวนอตรรกยะ . เศษส่วนทศนิยมที่แสดงจำนวนอตรรกยะเป็นอนันต์และไม่เป็นระยะ เซตของจำนวนอตรรกยะมักจะเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ I

เรียกจำนวนจริงว่า พีชคณิตหากเป็นรากของพหุนามบางตัว (ดีกรีไม่เป็นศูนย์) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นตรรกยะ หมายเลขใด ๆ ที่ไม่ใช่พีชคณิตเรียกว่า พ้น.

คุณสมบัติบางอย่าง:
เมื่อแก้ปัญหาแล้วจะสะดวกร่วมกับจำนวนอตรรกยะ a + b√ c (โดยที่ a, b เป็นจำนวนตรรกยะ, c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ) ให้พิจารณาเลข “คอนจูเกต” ด้วย มัน a - b√ c: ผลรวมและผลคูณด้วยจำนวนตรรกยะดั้งเดิม ดังนั้น a + b√ c และ a – b√ c เป็นรากของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ปัญหาในการแก้ปัญหา

1. พิสูจน์ว่า

ก) หมายเลข √ 7;

b) หมายเลข lg 80;

c) หมายเลข √ 2 + 3 √ 3;

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

ก) สมมติว่าจำนวน √ 7 เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นมี coprime p และ q เช่นนั้น √ 7 = p/q ดังนั้นเราจึงได้รับ p 2 = 7q 2 เนื่องจาก p และ q เป็น coprime ดังนั้น p 2 และด้วยเหตุนี้ p จึงหารด้วย 7 ลงตัว จากนั้น р = 7k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติบางจำนวน ดังนั้น q 2 = 7k 2 = pk ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่า p และ q เป็น coprime

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ดังนั้นจำนวน √ 7 จึงไม่ลงตัว

b) สมมติว่าจำนวน lg 80 มีเหตุผล จากนั้นมี p และ q ตามธรรมชาติที่ lg 80 = p/q หรือ 10 p = 80 q ดังนั้นเราจึงได้ 2 p–4q = 5 q–p เมื่อพิจารณาว่าตัวเลข 2 และ 5 เป็น coprime เราพบว่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นไปได้เฉพาะสำหรับ p–4q = 0 และ q–p = 0 ดังนั้น p = q = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก p และ q ถูกเลือกเป็น เป็นธรรมชาติ

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ดังนั้นจำนวน lg 80 จึงไม่ลงตัว

c) ลองแทนตัวเลขนี้ด้วย x

จากนั้น (x - √ 2) 3 \u003d 3 หรือ x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2) หลังจากยกกำลังสองสมการนี้แล้ว เราจะได้ x ต้องเป็นไปตามสมการ

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0

รากที่มีเหตุผลของมันสามารถเป็นตัวเลข 1 และ -1 เท่านั้น การตรวจสอบแสดงว่า 1 และ -1 ไม่ใช่ราก

ดังนั้นจำนวนที่กำหนด √ 2 + 3 √ 3 จึงไม่ลงตัว

2. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวเลข a, b, √ a –√ b ,- มีเหตุผล. พิสูจน์สิ √ a และ √ bเป็นจำนวนตรรกยะด้วย

พิจารณาสินค้า

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

ตัวเลข √ a + √ b ,ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของตัวเลข a – b และ √ a –√ b ,เป็นตรรกยะเพราะผลหารของจำนวนตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ ผลรวมของจำนวนตรรกยะสองจำนวน

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

เป็นจำนวนตรรกยะ ความแตกต่าง

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งต้องพิสูจน์ด้วย

3. พิสูจน์ว่ามีจำนวนอตรรกยะบวก a และ b ซึ่งจำนวน a b นั้นเป็นธรรมชาติ

4. มีจำนวนตรรกยะ a, b, c, d เป็นไปตามความเท่าเทียมกันหรือไม่?

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ?

หากความเท่าเทียมกันที่ให้ไว้ในเงื่อนไขเป็นที่พอใจ และตัวเลข a, b, c, d เป็นเหตุเป็นผล ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นที่พอใจด้วย:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

แต่ 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0 ความขัดแย้งที่ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าความเท่าเทียมเดิมเป็นไปไม่ได้

คำตอบ: ไม่มีอยู่จริง

5. หากส่วนที่มีความยาว a, b, c เป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นสำหรับทั้งหมด n = 2, 3, 4, . . . ส่วนที่มีความยาว n √ a , n √ b , n √ c สร้างรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน พิสูจน์สิ.

ถ้าส่วนที่มีความยาว a, b, c เป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วอสมการสามเหลี่ยมจะให้

ดังนั้นเราจึงมี

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

กรณีที่เหลือของการตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมนั้นพิจารณาในทำนองเดียวกันซึ่งมีข้อสรุปดังนี้

6. พิสูจน์ว่าเศษส่วนทศนิยมอนันต์ 0.1234567891011121314... จำนวนเต็มตามลำดับ) เป็นจำนวนอตรรกยะ

อย่างที่คุณทราบ จำนวนตรรกยะจะแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งมีจุดเริ่มตั้งแต่เครื่องหมาย ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเศษส่วนนี้ไม่เป็นคาบที่มีเครื่องหมายใดๆ สมมติว่าไม่ใช่กรณีนี้ และบางลำดับ T ซึ่งประกอบด้วย n หลัก เป็นคาบของเศษส่วน โดยเริ่มจากตำแหน่งทศนิยมที่ m เป็นที่ชัดเจนว่ามีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์หลังหลักที่ m ดังนั้นจึงมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ในลำดับของตัวเลข T ซึ่งหมายความว่าเริ่มจากหลักที่ m หลังจุดทศนิยม ในบรรดา n หลักในแถว จะมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบทศนิยมของเศษส่วนนี้ จะต้องมีเครื่องหมายทศนิยมสำหรับตัวเลข 100...0 = 10 k โดยที่ k > m และ k > n เป็นที่ชัดเจนว่ารายการนี้จะเกิดขึ้นทางด้านขวาของหลักที่ m และมีศูนย์มากกว่า n ตัวในแถว ดังนั้นเราจึงได้รับความขัดแย้งซึ่งทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์

7. ให้เศษทศนิยมอนันต์ 0,a 1 a 2 ... . พิสูจน์ว่าตัวเลขในรูปแบบทศนิยมสามารถจัดเรียงใหม่ได้เพื่อให้เศษส่วนที่ได้แสดงจำนวนตรรกยะ

จำได้ว่าเศษส่วนแสดงจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อเป็นธาตุเป็นระยะ โดยเริ่มจากเครื่องหมายบางตัว เราแบ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ออกเป็นสองคลาส: ในชั้นหนึ่ง เรารวมตัวเลขที่เกิดขึ้นในเศษส่วนดั้งเดิมเป็นจำนวนจำกัดในชั้นที่สอง - ตัวเลขที่เกิดขึ้นในเศษส่วนดั้งเดิมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด มาเริ่มเขียนเศษส่วนเป็นระยะกัน ซึ่งสามารถหาได้จากการเปลี่ยนลำดับของตัวเลขเดิม อันดับแรก หลังจากเลขศูนย์และเครื่องหมายจุลภาค เราเขียนตัวเลขทั้งหมดจากชั้นหนึ่งโดยเรียงลำดับแบบสุ่ม - แต่ละครั้งมากที่สุดเท่าที่เกิดขึ้นในรายการของเศษส่วนเดิม ตัวเลขชั้นหนึ่งที่เขียนจะอยู่นำหน้าจุดทศนิยมในส่วนเศษส่วนของทศนิยม ต่อไป เราเขียนตัวเลขจากชั้นสองตามลำดับครั้ง เราจะประกาศชุดค่าผสมนี้เป็นช่วงเวลาและทำซ้ำเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด ดังนั้นเราจึงเขียนเศษส่วนเป็นระยะที่ต้องการซึ่งแสดงจำนวนตรรกยะ

8. พิสูจน์ว่าในเศษส่วนทศนิยมอนันต์แต่ละส่วนมีลำดับของทศนิยมที่มีความยาวตามอำเภอใจซึ่งเกิดขึ้นหลายครั้งในการขยายเศษส่วนเป็นอนันต์

ให้ m เป็นจำนวนธรรมชาติที่กำหนดโดยพลการ ลองแบ่งเศษส่วนทศนิยมอนันต์นี้ออกเป็นส่วนๆ แต่ละส่วนมี m หลัก จะมีส่วนดังกล่าวมากมายอนันต์ อีกด้านหนึ่ง ระบบต่างๆซึ่งประกอบด้วย m หลัก มีเพียง 10 ม. นั่นคือจำนวนจำกัด ดังนั้น อย่างน้อยหนึ่งระบบเหล่านี้ต้องทำซ้ำหลายครั้งอย่างไม่สิ้นสุด

ความคิดเห็น สำหรับจำนวนอตรรกยะ √ 2 , π or อีเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าตัวเลขใดที่ซ้ำกันเป็นอนันต์หลายครั้งในทศนิยมอนันต์ที่เป็นตัวแทนของมัน แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัวสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายเพื่อให้มีตัวเลขที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองหลัก

9. พิสูจน์เบื้องต้นว่ารากบวกของสมการนั้น

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

สำหรับ x > 0 ด้านซ้ายของสมการจะเพิ่มขึ้นด้วย x และจะเห็นได้ง่ายว่าที่ x = 1.5 จะน้อยกว่า 10 และที่ x = 1.6 จะมากกว่า 10 ดังนั้น รากบวกเพียงตัวเดียวของ สมการอยู่ภายในช่วง (1.5 ; 1.6)

เราเขียนรากเป็นเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนธรรมชาติของโคไพรม์ จากนั้น สำหรับ x = p/q สมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

ดังนั้น p เป็นตัวหารของ 10 ดังนั้น p จึงเท่ากับหนึ่งในตัวเลข 1, 2, 5, 10 อย่างไรก็ตาม การเขียนเศษส่วนด้วยตัวเศษ 1, 2, 5, 10 เราสังเกตได้ทันทีว่าไม่มี อยู่ภายในช่วงเวลา (1.5; 1.6)

ดังนั้น รากบวกของสมการเดิมจึงไม่สามารถแทนเป็น เศษส่วนร่วมซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนอตรรกยะ

10. ก) มีจุด A, B และ C สามจุดบนระนาบโดยที่จุด X ใด ๆ ความยาวอย่างน้อยหนึ่งเซกเมนต์ XA, XB และ XC ไม่ลงตัว?

b) พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมนั้นมีเหตุผล พิสูจน์ว่าพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบนั้นมีเหตุผลด้วย

ค) มีทรงกลมซึ่งมีจุดตรรกยะเพียงจุดเดียวหรือไม่? (จุดตรรกยะคือจุดที่พิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ)

ก) ใช่มี ให้ C เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB จากนั้น XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2 หากตัวเลข AB 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวเลข XA, XB และ XC จะไม่สามารถหาเหตุผลได้ในเวลาเดียวกัน

b) ให้ (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) และ (a 3 ; b 3) เป็นพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบนั้นถูกกำหนดโดยระบบสมการ:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2

ง่ายที่จะตรวจสอบว่าสมการเหล่านี้เป็นเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบสมการที่พิจารณานั้นเป็นเหตุผล

c) ทรงกลมดังกล่าวมีอยู่ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีสมการ

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

จุด O ที่มีพิกัด (0; 0; 0) เป็นจุดตรรกยะที่วางอยู่บนทรงกลมนี้ จุดที่เหลืออยู่ของทรงกลมนั้นไม่ลงตัว มาพิสูจน์กัน

สมมติว่าตรงกันข้าม: ให้ (x; y; z) เป็นจุดที่เป็นเหตุเป็นผลของทรงกลม ซึ่งแตกต่างจากจุด O เป็นที่ชัดเจนว่า x แตกต่างจาก 0 เนื่องจากสำหรับ x = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0 ; 0) ซึ่งตอนนี้เราไม่สามารถสนใจได้ มาขยายวงเล็บและแสดง √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

ซึ่งไม่สามารถใช้เป็นตรรกยะ x, y, z และอตรรกยะ √ 2 . ดังนั้น O(0; 0; 0) เป็นจุดเหตุผลเพียงจุดเดียวบนทรงกลมที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ปัญหาที่ไม่มีทางแก้ไข

1. พิสูจน์ว่าจำนวน

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

2. สำหรับจำนวนเต็มใด m และ n ความเท่าเทียมกัน (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ถือ?

3. มีตัวเลข a ที่จำนวน a - √ 3 และ 1/a + √ 3 เป็นจำนวนเต็มหรือไม่

4. ตัวเลข 1, √ 2, 4 สามารถเป็นสมาชิก (ไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกัน) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

5. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ n สมการ (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 ไม่มีคำตอบในจำนวนตรรกยะ (x; y)

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ . Q คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

จำนวนตรรกยะแบ่งออกเป็น: บวก ลบ และศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ความสัมพันธ์ "ไปทางซ้าย" สำหรับจุด สอดคล้องกับความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สำหรับพิกัดของจุดเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าทุกจำนวนลบมีค่าน้อยกว่าศูนย์และทุกจำนวนบวก ของจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสมากกว่ามีค่าน้อยกว่า ดังนั้น -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่เป็นงวดทศนิยมได้ ตัวอย่างเช่น, .

อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะเป็นไปตามกฎของสัญญาณสำหรับการดำเนินการที่สอดคล้องกันในเศษส่วนศูนย์และเศษส่วนบวก Q ทำการหารนอกเหนือจากการหารด้วยศูนย์

ใดๆ สมการเชิงเส้น, เช่น. สมการของรูปแบบ ax+b=0 โดยที่ แก้ได้ในเซต Q แต่ไม่ใช่ใดๆ สมการกำลังสองใจดี , แก้ได้ด้วยจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นพิกัดที่มีจุดตรรกยะ แม้แต่ปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล น. ในโรงเรียนของพีทาโกรัส ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สมกับความสูง ซึ่งเท่ากับข้อความที่ว่า "สมการไม่มีรากที่มีเหตุผล" จากทั้งหมดที่กล่าวมานำไปสู่ความจำเป็นในการขยายเซต Q แนวคิดของจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้ แสดงถึงชุดของจำนวนอตรรกยะด้วยตัวอักษร เจ .

บนเส้นพิกัด ทุกจุดที่ไม่มีพิกัดตรรกยะจะมีพิกัดที่ไม่ลงตัว โดยที่ r– ชุด ตัวเลขจริง. ในทางสากลการกำหนดจำนวนจริงเป็นทศนิยม ทศนิยมเป็นระยะกำหนดจำนวนตรรกยะ และทศนิยมที่ไม่ใช่ระยะกำหนดจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น 2.03 (52) จึงเป็นจำนวนตรรกยะ 2.03003000300003 ... (ระยะเวลาของแต่ละหลักต่อไปนี้ "3" เขียนขึ้นอีกหนึ่งศูนย์) เป็นจำนวนอตรรกยะ

เซต Q และ R มีคุณสมบัติเป็นบวก: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะ เช่น ecoi a
สำหรับทุกจำนวนอตรรกยะ α สามารถระบุการประมาณที่เป็นเหตุเป็นผลได้ทั้งในส่วนที่ขาดและส่วนที่เกินด้วยความแม่นยำ: a< α
การดำเนินการแยกรากจากจำนวนตรรกยะบางจำนวนนำไปสู่จำนวนอตรรกยะ การแยกรากของดีกรีธรรมชาติเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต กล่าวคือ บทนำเชื่อมต่อกับคำตอบของสมการพีชคณิตของรูปแบบ . ถ้า n เป็นเลขคี่ เช่น n=2k+1 โดยที่ สมการจะมีรากเดียว ถ้า n เป็นเลขคู่ n=2k โดยที่ สำหรับ a=0 สมการจะมีรากเดียว x=0 สำหรับ a<0 корней нет, при a>0 มีสองรากที่อยู่ตรงข้ามกัน การถอนรากเป็นการดำเนินการย้อนกลับของการเพิ่มพลังธรรมชาติ

รากเลขคณิต (สำหรับความกระชับ คือ ราก) ของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ b ซึ่งเป็นรากของสมการ รากของดีกรีที่ n จากตัวเลข a แสดงด้วยสัญลักษณ์ สำหรับ n=2 ระดับของรูต 2 จะไม่ถูกระบุ:

ตัวอย่างเช่น , เพราะ 2 2 =4 และ 2>0; , เพราะ 3 3 =27 และ 3>0; ไม่มีอยู่เพราะ -4<0.

สำหรับ n=2k และ a>0 รากของสมการ (1) จะถูกเขียนเป็น และ ตัวอย่างเช่น รากของสมการ x 2 \u003d 4 คือ 2 และ -2

สำหรับ n คี่ สมการ (1) มีรากเดียวสำหรับ . ถ้า a≥0 แล้ว - รากของสมการนี้ ถ้า<0, то –а>0 และ - รากของสมการ ดังนั้นสมการ x 3 \u003d 27 จึงมีราก

จำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้ สิ่งนี้ใช้กับจำนวนเต็ม (เช่น 12, -6, 0) และเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย (เช่น 0.5; -3.8921) และเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0.11(23); -3 ,(87 )).

อย่างไรก็ตาม ทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำอนันต์ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็น จำนวนอตรรกยะ(เช่นไม่มีเหตุผล). ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือ π ซึ่งมีค่าประมาณ 3.14 อย่างไรก็ตาม ค่าที่เท่ากันนั้นไม่สามารถระบุได้อย่างแน่นอน เนื่องจากหลังจากเลข 4 จะมีชุดตัวเลขอื่นๆ ที่นับไม่ถ้วนซึ่งไม่สามารถแยกแยะช่วงเวลาที่ซ้ำกันได้ ในเวลาเดียวกัน แม้ว่าจะไม่สามารถแสดงตัวเลข π ได้อย่างแม่นยำ แต่ก็มีความหมายทางเรขาคณิตเฉพาะ จำนวน π คืออัตราส่วนของความยาวของวงกลมใดๆ ต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นจำนวนอตรรกยะจึงมีอยู่ในธรรมชาติ เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ

อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะคือรากที่สองของจำนวนบวก การแยกรากออกจากตัวเลขบางตัวให้ค่าที่เป็นตรรกยะจากตัวอื่น - ไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น √4 = 2 นั่นคือ รากของ 4 เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ √2, √5, √7 และอื่นๆ ทำให้เกิดจำนวนอตรรกยะ นั่นคือ สามารถดึงออกมาได้เฉพาะค่าประมาณเท่านั้น โดยปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง ในกรณีนี้ จะได้เศษส่วนแบบไม่เป็นระยะ นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่ารากของตัวเลขเหล่านี้คืออะไรและแน่นอน

ดังนั้น √5 จึงเป็นตัวเลขระหว่าง 2 และ 3 เนื่องจาก √4 = 2 และ √9 = 3 เราสามารถสรุปได้ว่า √5 เข้าใกล้ 2 มากกว่า 3 เนื่องจาก √4 เข้าใกล้ √5 มากกว่า √9 ถึง √5. แน่นอน √5 ≈ 2.23 หรือ √5 ≈ 2.24

ตัวเลขอตรรกยะยังได้รับในการคำนวณอื่นๆ (และไม่เพียงแต่เมื่อทำการแยกราก) พวกมันยังเป็นค่าลบ

ในความสัมพันธ์กับจำนวนอตรรกยะ เราสามารถพูดได้ว่าไม่ว่าเราจะใช้หน่วยส่วนใดในการวัดความยาวที่แสดงโดยตัวเลขดังกล่าว เราก็จะไม่สามารถวัดได้อย่างแน่นอน

ในการดำเนินการเลขคณิต จำนวนอตรรกยะสามารถมีส่วนร่วมพร้อมกับจำนวนตรรกยะ ในขณะเดียวกันก็มีระเบียบหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น หากมีเพียงจำนวนตรรกยะที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเลขคณิต ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ หากมีเพียงคนไม่ลงตัวเท่านั้นที่เข้าร่วมในการผ่าตัด ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแจ่มแจ้งว่าจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น หากคุณคูณจำนวนอตรรกยะสองจำนวน √2 * √2 คุณจะได้ 2 - นี่คือจำนวนตรรกยะ ในทางกลับกัน √2 * √3 = √6 เป็นจำนวนอตรรกยะ

หากการดำเนินการเลขคณิตเกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4

ทำไม √17 - 4 เป็นจำนวนอตรรกยะ? ลองนึกภาพว่าคุณได้จำนวนตรรกยะ x จากนั้น √17 = x + 4 แต่ x + 4 เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากเราถือว่า x เป็นจำนวนตรรกยะ เลข 4 เป็นจำนวนตรรกยะด้วย ดังนั้น x + 4 จึงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม จำนวนตรรกยะไม่สามารถเท่ากับจำนวนอตรรกยะ √17 ได้ ดังนั้นสมมติฐานที่ว่า √17 - 4 ให้ผลลัพธ์ที่เป็นเหตุเป็นผลจึงไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์ของการดำเนินการเลขคณิตจะไม่ลงตัว

อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้ ถ้าเราคูณจำนวนอตรรกยะด้วย 0 เราจะได้จำนวนตรรกยะ 0
นอกจากนี้เรายังแนะนำ