บ้าน > แบบทดสอบ

สมการอตรรกยะและวิธีแก้ สมการอตรรกยะ

สถาบันการศึกษาเทศบาล

"โรงเรียนมัธยมคูดินสกายาหมายเลข 2"

วิธีแก้สมการอตรรกยะ

เสร็จสมบูรณ์โดย: Egorova Olga,

หัวหน้างาน:

ครู

คณิตศาสตร์,

คุณสมบัติที่สูงขึ้น

บทนำ....……………………………………………………………………………………… 3

หมวดที่ 1 วิธีการแก้สมการอตรรกยะ…………………………………6

1.1 การแก้สมการอตรรกยะของภาค C……….….…………………………21

ส่วนที่ 2 งานส่วนบุคคล…………………………………………….....………...24

คำตอบ………………………………………………………………………………………….25

บรรณานุกรม…….…………………………………………………………………….26

บทนำ

วิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับใน โรงเรียนการศึกษาทั่วไป, เป็น องค์ประกอบที่สำคัญ การศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไป ผู้ชายสมัยใหม่. เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวคนสมัยใหม่ล้วนเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง แต่ ความสำเร็จล่าสุดในสาขาฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และเทคโนโลยีสารสนเทศ ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานการณ์จะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่างจึงลดลงเป็นการแก้ปัญหา ประเภทต่างๆสมการเพื่อเรียนรู้วิธีแก้ หนึ่งในประเภทเหล่านี้คือสมการอตรรกยะ

สมการอตรรกยะ

สมการที่มีไม่ทราบ (หรือตรรกยะ นิพจน์พีชคณิตจากสิ่งที่ไม่รู้จัก) ภายใต้เครื่องหมายของหัวรุนแรงเรียกว่า สมการอตรรกยะ. ในคณิตศาสตร์เบื้องต้น จะพบคำตอบของสมการอตรรกยะในเซต ตัวเลขจริง.

ir .ใดๆ สมการตรรกยะด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเบื้องต้น (การคูณ การหาร การยกทั้งสองส่วนของสมการให้เป็นกำลังจำนวนเต็ม) สามารถลดลงเป็นสมการพีชคณิตแบบมีเหตุมีผล ในขณะเดียวกันก็ควรระลึกไว้เสมอว่าผลลัพธ์ที่เป็นเหตุเป็นผล สมการพีชคณิตอาจกลายเป็นว่าไม่เท่ากันกับสมการอตรรกยะเดิม กล่าวคือ อาจมีราก "พิเศษ" ที่จะไม่ใช่รากของสมการอตรรกยะเดิม ดังนั้น เมื่อพบรากของสมการพีชคณิตที่เป็นเหตุเป็นผลแล้ว จึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากของสมการตรรกยะทั้งหมดจะเป็นรากของสมการอตรรกยะหรือไม่

ในกรณีทั่วไป เป็นการยากที่จะระบุวิธีการที่เป็นสากลใดๆ ในการแก้สมการอตรรกยะใดๆ เนื่องจากเป็นที่พึงปรารถนาว่าเป็นผลจากการแปลงสมการอตรรกยะเดิม ไม่เพียงแต่จะได้สมการพีชคณิตแบบมีเหตุมีผลบางประเภทเท่านั้น ท่ามกลางรากเหง้าของ ซึ่งจะมีรากของสมการไม่ลงตัวนี้ แต่สมการพีชคณิตที่เป็นเหตุเป็นผลจากพหุนามที่มีดีกรีน้อยที่สุด ความปรารถนาที่จะได้สมการพีชคณิตที่เป็นเหตุเป็นผลจากพหุนามที่มีดีกรีน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้นั้นค่อนข้างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากการค้นหารากทั้งหมดของสมการพีชคณิตแบบตรรกยะอาจเป็นงานที่ค่อนข้างยากในตัวเอง ซึ่งเราสามารถแก้ได้ในจำนวนที่จำกัดเท่านั้น ของคดี

ประเภทของสมการอตรรกยะ

การแก้สมการอตรรกยะของดีกรีคู่ทำให้เกิดปัญหามากกว่าการแก้สมการอตรรกยะของดีกรีคี่เสมอ เมื่อแก้สมการอตรรกยะของดีกรีคี่ ODZ จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น ด้านล่าง เราจะพิจารณาสมการอตรรกยะ ซึ่งระดับเป็นคู่ สมการอตรรกยะมีสองประเภท:

2..

ลองพิจารณาอย่างแรกของพวกเขา

สมการออดซ์: เอฟ(x)≥ 0 ใน ODZ ด้านซ้ายของสมการจะไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้น คำตอบจะมีได้ก็ต่อเมื่อ กรัม(x)≥ 0 ในกรณีนี้ สมการทั้งสองข้างไม่เป็นลบ และการยกกำลัง 2 นให้สมการเทียบเท่า เราได้รับสิ่งนั้น

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าในขณะที่ ODZ จะดำเนินการโดยอัตโนมัติและคุณไม่สามารถเขียนได้ แต่เงื่อนไขกรัม(x) ≥ 0 ต้องถูกตรวจสอบ

บันทึก: นี้มันมาก เงื่อนไขสำคัญความเท่าเทียมกัน ประการแรก ช่วยให้นักเรียนไม่ต้องตรวจสอบ และหลังจากค้นหาวิธีแก้ปัญหาแล้ว ให้ตรวจสอบเงื่อนไข f(x) ≥ 0 - ความไม่เป็นลบของนิพจน์ราก ประการที่สอง เน้นการตรวจสอบสภาพกรัม(x) ≥ 0 คือค่าที่ไม่เป็นลบของด้านขวา หลังจากยกกำลังสองแล้ว สมการก็ถูกแก้ นั่นคือ แก้สมการสองสมการพร้อมกัน (แต่ในช่วงเวลาต่างกันของแกนตัวเลข!):

1. - ที่ไหน กรัม(x)≥ 0 และ

2. - โดยที่ ก.(x) ≤ 0

ในขณะเดียวกัน หลายคนตามนิสัยของโรงเรียนในการค้นหา ODZ ทำสิ่งที่ตรงกันข้ามเมื่อแก้สมการดังกล่าว:

ก) ตรวจสอบหลังจากพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว เงื่อนไข f(x) ≥ 0 (ซึ่งเป็นที่พอใจโดยอัตโนมัติ) เกิดข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์และได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง

b) ละเว้นเงื่อนไขกรัม(x) ≥ 0 - และคำตอบอาจผิดอีกครั้ง

บันทึก: เงื่อนไขสมมูลมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ ซึ่งการหา ODZ นั้นสัมพันธ์กับการแก้สมการตรีโกณมิติ ซึ่งยากกว่าการแก้สมการตรีโกณมิติมาก เช็คอิน สมการตรีโกณมิติเงื่อนไขสม่ำเสมอ กรัม(x)≥ 0 ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป

พิจารณาสมการอตรรกยะประเภทที่สอง

. ให้สมการ . ODZ ของเขา:

ใน ODZ ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ และการยกกำลังสองให้สมการที่เท่ากัน ฉ(x) =กรัม(x).ดังนั้นใน ODZ หรือ

ด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ การตรวจสอบการไม่เป็นลบของฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งก็เพียงพอแล้ว - คุณสามารถเลือกฟังก์ชันที่ง่ายกว่าได้

หมวดที่ 1 วิธีการแก้สมการอตรรกยะ

1 วิธี การปลดปล่อยจากอนุมูลโดยการเพิ่มสมการทั้งสองข้างเป็นพลังธรรมชาติที่สอดคล้องกัน

วิธีที่ใช้บ่อยที่สุดในการแก้สมการอตรรกยะคือวิธีการขจัดอนุมูลโดยการเพิ่มสมการทั้งสองส่วนให้เป็นกำลังธรรมชาติที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้ พึงระลึกไว้เสมอว่าเมื่อสมการทั้งสองส่วนถูกยกกำลังคี่ สมการที่ได้จะเท่ากับสมการเดิม และเมื่อสมการทั้งสองส่วนถูกยกกำลังคู่ ผลลัพธ์ที่ได้ สมการโดยทั่วไปจะไม่เท่ากันกับสมการเดิม สามารถตรวจสอบได้โดยการเพิ่มสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลังคู่ใดๆ การดำเนินการนี้ส่งผลให้เกิดสมการ ซึ่งชุดของการแก้ปัญหาคือการรวมกันของชุดของการแก้ปัญหา: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src="> อย่างไรก็ตามถึงแม้ ข้อเสียเปรียบนี้คือขั้นตอนในการยกทั้งสองส่วนของสมการให้เป็นกำลังบางส่วน (มักจะเท่ากัน) ซึ่งเป็นขั้นตอนทั่วไปในการลดสมการอตรรกยะเป็นสมการตรรกยะ

แก้สมการ:

ที่ไหน เป็นพหุนามบางตัว โดยอาศัยอำนาจตามคำจำกัดความของการดำเนินการแยกรูทในชุดของจำนวนจริงค่าที่ยอมรับได้ของ https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

เนื่องจากทั้งสองส่วนของสมการที่ 1 ถูกยกกำลังสอง อาจกลายเป็นว่าไม่ใช่ทุกรากของสมการที่ 2 ที่จะเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องตรวจสอบราก

แก้สมการ:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

การเพิ่มทั้งสองข้างของสมการให้เป็นลูกบาศก์ จะได้

ระบุว่า https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(สมการสุดท้ายอาจมีรากที่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่รากของ สมการ ).

เรายกทั้งสองข้างของสมการนี้เป็นลูกบาศก์: . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 โดยการตรวจสอบ เราพบว่า x1 = 0 เป็นรากภายนอกของสมการ (-2 ≠ 1) และ x2 = 1 เป็นไปตาม สมการเดิม

ตอบ: x = 1

2 วิธี การแทนที่ระบบเงื่อนไขที่อยู่ติดกัน

เมื่อแก้สมการอตรรกยะที่มีอนุมูลลำดับคู่ รากภายนอกอาจปรากฏในคำตอบ ซึ่งระบุได้ไม่ง่ายนักเสมอไป เพื่อให้ง่ายต่อการระบุและละทิ้งรากภายนอก ในการแก้สมการอตรรกยะ จะถูกแทนที่ด้วยระบบเงื่อนไขที่อยู่ติดกันทันที ความไม่เท่าเทียมกันเพิ่มเติมในระบบคำนึงถึง ODZ ของสมการที่กำลังแก้ไขอยู่ คุณสามารถหา ODZ แยกจากกันและนำมาพิจารณาในภายหลัง แต่ควรใช้ระบบเงื่อนไขแบบผสมกัน: มีอันตรายน้อยกว่าที่จะลืมบางสิ่งบางอย่าง โดยไม่พิจารณาในกระบวนการแก้สมการ ดังนั้น ในบางกรณี การใช้วิธีการเปลี่ยนผ่านเป็นระบบผสมก็มีเหตุผลมากกว่า

แก้สมการ:

ตอบ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ

ตอบ:สมการไม่มีคำตอบ

3 วิธี การใช้คุณสมบัติของรากที่ n

เมื่อแก้สมการอตรรกยะ จะใช้คุณสมบัติของรูทของดีกรีที่ n รากเลขคณิต น-ไทยองศาจากท่ามกลาง เอโทรไปยังหมายเลขที่ไม่เป็นลบ น-ฉันมีดีกรีเท่ากับ เอ. ถ้า น-สม่ำเสมอ( 2n) จากนั้น a ≥ 0 มิฉะนั้นจะไม่มีรูท ถ้า น-แปลก( 2 n+1) จากนั้น a คือใดๆ และ = - ..gif" width="45" height="19"> จากนั้น:

2.

3.

4.

5.

การใช้สูตรใดๆ เหล่านี้อย่างเป็นทางการ (โดยไม่คำนึงถึงข้อจำกัดที่ระบุ) โปรดทราบว่า ODZ ของส่วนซ้ายและขวาของแต่ละส่วนอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น นิพจน์ถูกกำหนดด้วย ฉ ≥ 0และ ก. ≥ 0และนิพจน์เป็นเหมือนใน ฉ ≥ 0และ ก. ≥ 0, เช่นเดียวกับ ฉ ≤ 0และ ก. ≤ 0

สำหรับแต่ละสูตร 1-5 (โดยไม่คำนึงถึงข้อจำกัดที่ระบุ) ODZ ของส่วนด้านขวาอาจกว้างกว่า ODZ ทางด้านซ้าย ตามมาจากการเปลี่ยนแปลงของสมการโดยใช้สูตร 1-5 อย่างเป็นทางการ "จากซ้ายไปขวา" (ตามที่เขียน) นำไปสู่สมการที่เป็นผลมาจากสมการเดิม ในกรณีนี้ อาจปรากฏรากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิม ดังนั้นการตรวจสอบยืนยันจึงเป็นขั้นตอนบังคับในการแก้สมการดั้งเดิม

การแปลงสมการด้วยการใช้สูตร 1-5 อย่างเป็นทางการ "จากขวาไปซ้าย" นั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ เนื่องจากสามารถตัดสิน ODZ ของสมการดั้งเดิมได้ และผลที่ตามมาคือการสูญเสียราก

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากของเดิม การแก้สมการนี้จะลดลงเป็นการแก้สมการ .

จากสมการแรกของชุดนี้เราพบ https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> จากตำแหน่งที่เราพบ . ดังนั้นราก สมการที่กำหนดต้องเป็นตัวเลข (-1) และ (-2) เท่านั้น การตรวจสอบแสดงว่าทั้งสองพบรากตรงตามสมการนี้

ตอบ: -1,-2.

แก้สมการ: .

วิธีแก้ไข: ตามข้อมูลเฉพาะตัว ให้แทนที่เทอมแรกด้วย . โปรดทราบว่าเป็นผลรวมของตัวเลขที่ไม่ติดลบสองตัวทางด้านซ้าย “ลบ” โมดูลและหลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา ให้แก้สมการ เนื่องจากเราได้สมการ ตั้งแต่และ จากนั้น https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

ตอบ: x = 4.25.

4 วิธี การแนะนำตัวแปรใหม่

อีกตัวอย่างหนึ่งของการแก้สมการอตรรกยะคือวิธีการนำเสนอตัวแปรใหม่ โดยคำนึงถึงสมการอตรรกยะแบบธรรมดาหรือสมการตรรกยะ

การแก้สมการอตรรกยะโดยการแทนที่สมการด้วยผลที่ตามมา (ด้วยการตรวจสอบรากในภายหลัง) สามารถทำได้ดังนี้:

1. ค้นหา ODZ ของสมการดั้งเดิม

2. ไปจากสมการไปสู่ผลที่ตามมา

3. หารากของสมการที่ได้

4. ตรวจสอบว่ารากที่พบเป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

เช็คมีดังนี้

A) ตรวจสอบการเป็นเจ้าของของแต่ละรูตของ ODZ ที่พบในสมการดั้งเดิม รากเหล่านั้นที่ไม่ได้เป็นของ ODZ นั้นไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

B) สำหรับแต่ละรูทที่รวมอยู่ใน ODZ ของสมการดั้งเดิม จะมีการตรวจสอบว่ามี เครื่องหมายเหมือนกันส่วนซ้ายและขวาของสมการแต่ละสมการที่เกิดขึ้นในกระบวนการแก้สมการเดิมและยกกำลังให้เป็นกำลังเท่ากัน รากเหล่านั้นซึ่งส่วนต่าง ๆ ของสมการใด ๆ ยกกำลังคู่มี สัญญาณต่างๆไม่เกี่ยวกับสมการเดิม

ค) เฉพาะรากที่เป็นของ ODZ ของสมการเดิม และทั้งสองส่วนของสมการที่เกิดขึ้นในกระบวนการแก้สมการเดิมและยกกำลังเป็นเลขคู่เท่านั้นที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน ให้ตรวจสอบโดยการแทนที่โดยตรงลงใน สมการเดิม

วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวด้วยวิธีการตรวจสอบที่ระบุทำให้สามารถหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ยุ่งยากได้ในกรณีที่มีการแทนที่โดยตรงของรากที่พบแต่ละรากของสมการสุดท้ายไปเป็นรากเดิม

แก้สมการอตรรกยะ:

.

ชุดค่าที่ยอมรับได้ของสมการนี้:

การตั้งค่า หลังจากการแทนที่เราได้รับสมการ

หรือสมการเทียบเท่า

ซึ่งมองได้ว่าเป็นสมการกำลังสองของ การแก้สมการนี้เราจะได้

.

ดังนั้น ชุดคำตอบของสมการอตรรกยะเดิมคือชุดคำตอบของสมการสองสมการต่อไปนี้

, .

ลูกบาศก์ทั้งสองข้างของสมการแต่ละอัน แล้วเราได้สมการพีชคณิตที่เป็นตรรกยะสองสมการ:

, .

การแก้สมการเหล่านี้ เราพบว่าสมการไม่ลงตัวนี้มีรากเดียว x = 2 (ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบยืนยัน เนื่องจากการแปลงทั้งหมดมีค่าเท่ากัน)

ตอบ: x = 2

แก้สมการอตรรกยะ:

แสดงว่า 2x2 + 5x - 2 = t แล้วสมการเดิมจะอยู่ในรูป . โดยการยกกำลังทั้งสองส่วนของสมการผลลัพธ์และนำพจน์ที่เหมือนกันมา เราจะได้สมการ ซึ่งเป็นผลมาจากสมการก่อนหน้า จากนั้นเราพบว่า t=16.

กลับไปที่ค่า x ที่ไม่รู้จัก เราได้สมการ 2x2 + 5x - 2 = 16 ซึ่งเป็นผลมาจากสมการเดิม โดยการตรวจสอบ เราต้องแน่ใจว่ารากของมัน x1 \u003d 2 และ x2 \u003d - 9/2 เป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอบ: x1 = 2, x2 = -9/2

5 วิธี การแปลงสมการเอกลักษณ์

เมื่อแก้สมการอตรรกยะ เราไม่ควรเริ่มแก้สมการด้วยการยกทั้งสองส่วนของสมการให้เป็นกำลังธรรมชาติ พยายามลดคำตอบของสมการอตรรกยะลงเพื่อแก้สมการพีชคณิตแบบมีเหตุมีผล อันดับแรก จำเป็นต้องดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำการแปลงสมการที่เหมือนกัน ซึ่งจะทำให้คำตอบของสมการนั้นง่ายขึ้นอย่างมาก

แก้สมการ:

ชุดค่าที่ถูกต้องสำหรับสมการนี้: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> หารสมการนี้ด้วย

.

เราได้รับ:

สำหรับ a = 0 สมการจะไม่มีคำตอบ สำหรับ สมการสามารถเขียนได้เป็น

สำหรับสมการนี้ไม่มีคำตอบ เพราะสำหรับใดๆ Xที่อยู่ในชุดของค่าที่ยอมรับได้ของสมการ นิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการนั้นเป็นค่าบวก

เมื่อสมการมีคำตอบ

เมื่อพิจารณาว่าชุดของคำตอบของสมการที่ยอมรับได้ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข ในที่สุดเราก็ได้:

เมื่อแก้สมการไม่ลงตัวนี้ https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> คำตอบของสมการจะเป็น . สำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมด Xสมการไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการอตรรกยะ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

การตัดสินใจ สมการกำลังสองระบบให้รากที่สอง: x1 = 1 และ x2 = 4 รากแรกที่ได้รับไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของระบบ ดังนั้น x = 4

หมายเหตุ

1) การดำเนินการแปลงที่เหมือนกันทำให้เราสามารถทำได้โดยไม่ต้องตรวจสอบ

2) ความไม่เท่าเทียมกัน x – 3 ≥0 หมายถึง การแปลงที่เหมือนกันและไม่ใช่โดเมนของสมการ

3) มีฟังก์ชันลดลงทางด้านซ้ายของสมการ และมีฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทางด้านขวาของสมการนี้ กราฟของฟังก์ชันการลดและเพิ่มที่จุดตัดของโดเมนของคำจำกัดความสามารถมีจุดร่วมได้ไม่เกินหนึ่งจุด แน่นอน ในกรณีของเรา x = 4 คือ abscissa ของจุดตัดของกราฟ

ตอบ: x = 4

6 วิธี การใช้โดเมนนิยามของฟังก์ชันในการแก้สมการ

วิธีนี้มีประสิทธิภาพสูงสุดในการแก้สมการที่มีฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> และค้นหาคำจำกัดความของพื้นที่ (ฉ)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src="> จากนั้นคุณต้องตรวจสอบว่าสมการเป็นจริงที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาหรือไม่ นอกจากนี้ หาก a< 0, а b >0 จากนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบช่วงเวลา (ก;0)และ . จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดใน E(y) คือ 3

ตอบ: x = 3

8 วิธี การประยุกต์อนุพันธ์ในการแก้สมการอตรรกยะ

ส่วนใหญ่มักจะใช้วิธีการประมาณค่าเมื่อแก้สมการโดยใช้วิธีอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 15:

แก้สมการ: (1)

วิธีแก้ไข: ตั้งแต่ https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> หรือ (2) พิจารณาฟังก์ชัน ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> เลยจึงเพิ่มขึ้น ดังนั้น สมการ เทียบเท่ากับสมการที่มีรากที่เป็นรากของสมการเดิม

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 16:

แก้สมการอตรรกยะ:

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซ็กเมนต์ ค้นหาที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดค่าของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา . ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> มาหาค่าของฟังก์ชันกัน ฉ(x)ที่ส่วนท้ายของส่วนและตรงจุด : ดังนั้น แต่และดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไข https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" เท่านั้น height="19 src=" > การตรวจสอบยืนยันแสดงให้เห็นว่าหมายเลข 3 เป็นรากของสมการนี้

ตอบ: x = 3

วิธี 9 การทำงาน

ในการสอบ บางครั้งพวกเขาเสนอให้แก้สมการที่สามารถเขียนในรูปแบบ ซึ่งเป็นฟังก์ชันบางอย่างได้

ตัวอย่างเช่น สมการบางสมการ: 1) 2) . แน่นอนในกรณีแรก , ในกรณีที่สอง . ดังนั้น ให้แก้สมการอตรรกยะโดยใช้ประโยคต่อไปนี้: ถ้าฟังก์ชันมีการเพิ่มในเซตอย่างเคร่งครัด Xและสำหรับใด ๆ ดังนั้นสมการ ฯลฯ จะเทียบเท่ากับ set X .

แก้สมการอตรรกยะ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> เพิ่มขึ้นในชุดอย่างเคร่งครัด อาร์และ https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > ซึ่งมีรูทเฉพาะ ดังนั้นสมการที่เทียบเท่า (1) ก็มีรูทเฉพาะเช่นกัน

ตอบ: x = 3

ตัวอย่างที่ 18:

แก้สมการอตรรกยะ: (1)

โดยอาศัยคำจำกัดความของรากที่สอง เราได้รับว่าหากสมการ (1) มีราก แสดงว่าอยู่ในชุด DIV_ADBLOCK166">

. (2)

พิจารณาฟังก์ชั่น https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในชุดนี้สำหรับ ..gif" width="100" height ="41"> ซึ่งมีรากเดียว ดังนั้นและเทียบเท่ากับใน set Xสมการ (1) มีรากเดียว

ตอบ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

สารละลาย: สมการนี้เทียบเท่ากับระบบผสม

หากสมการมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ สมการจะเรียกว่าอตรรกยะ
พิจารณาสมการอตรรกยะ

ความเท่าเทียมกันนี้ตามคำจำกัดความของรากที่สองหมายความว่า 2x + 1 = 32 อันที่จริง เราไปจากสมการอตรรกยะที่ให้มาเป็นสมการตรรกยะ 2x + 1 = 9 โดยการยกกำลังสองข้างของสมการอตรรกยะ วิธีการยกกำลังสองข้างของสมการเป็นวิธีการหลักในการแก้สมการอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นสิ่งที่เข้าใจได้: จะกำจัดเครื่องหมายของสแควร์รูทได้อย่างไร จากสมการ 2x + 1 = 9 เราพบว่า x = 4
นี่คือทั้งรากของสมการ 2x + 1 = 9 และสมการอตรรกยะที่ให้มา
วิธีการยกกำลังสองนั้นง่ายในทางเทคนิค แต่บางครั้งก็นำไปสู่ปัญหา ยกตัวอย่าง สมการอตรรกยะ

โดยยกกำลังสองทั้งสองข้างเราจะได้

ต่อไปเรามี:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1
แต่ค่า x - 1 ซึ่งเป็นรากของสมการตรรกยะ 2x - 5 = 4x - 7 ไม่ใช่รากของสมการอตรรกยะที่ให้มา ทำไม แทนค่า 1 แทน x ในสมการอตรรกยะที่กำหนด เราจะได้ . เราจะพูดถึงการเติมเต็มความเท่าเทียมกันของตัวเลขได้อย่างไร ถ้าส่วนซ้ายและขวาของมันมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล ในกรณีเช่นนี้ พวกเขากล่าวว่า x \u003d 1 เป็นรากภายนอกสำหรับสมการอตรรกยะที่กำหนด ปรากฎว่าสมการอตรรกยะที่ให้มานั้นไม่มีราก
มาแก้สมการอตรรกยะกัน


-
รากของสมการนี้สามารถหาได้ด้วยวาจา ดังที่เราทำเมื่อสิ้นสุดย่อหน้าก่อน: ผลคูณคือ - 38 และผลรวมคือ - 17; เดาง่าย ๆ ว่านี่คือตัวเลข 2
และ - 19. ดังนั้น x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
แทนค่า 2 แทน x ในสมการอตรรกยะที่กำหนด เราจะได้

นี่ไม่เป็นความจริง.
แทนค่า - 19 แทน x ในสมการอตรรกยะที่กำหนด เราจะได้

สิ่งนี้ยังไม่ถูกต้อง
บทสรุปคืออะไร? ค่าที่พบทั้งสองเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการอตรรกยะที่ให้มา เหมือนกับสมการก่อนหน้านี้ไม่มีราก
รูทภายนอกไม่ใช่แนวคิดใหม่สำหรับคุณ เนื่องจากมีการพบรูตภายนอกแล้วเมื่อแก้สมการตรรกยะ การตรวจสอบจะช่วยตรวจจับได้ สำหรับสมการอตรรกยะ การตรวจสอบเป็นขั้นตอนบังคับในการแก้สมการ ซึ่งจะช่วยตรวจหารากที่ไม่เกี่ยวข้อง (ถ้ามี) และทิ้งมันทิ้งไป (ปกติจะพูดว่า "กำจัดออก")

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยการยกกำลังสองส่วนของมัน เมื่อแก้สมการตรรกยะที่เกิดขึ้นแล้วจึงจำเป็นต้องทำการตรวจสอบโดยกำจัดรากภายนอกที่เป็นไปได้

โดยใช้ที่มานี้ มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ

การตัดสินใจ. ลองยกกำลังสองข้างของสมการ (1):


ต่อไปเรามี

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4
การตรวจสอบ. แทนที่ x \u003d 5 เป็นสมการ (1) เราได้ - ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง แทนที่ x \u003d 4 เป็นสมการ (1) เราได้ - ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ดังนั้นค่าที่พบทั้งสองจึงเป็นรากของสมการ (1)
ออน : 4; 5.

ตัวอย่าง 2แก้สมการ
(เราพบสมการนี้ใน § 22 และเรา "เลื่อน" คำตอบไปจนกว่าจะถึงเวลาที่ดีกว่า) ของสมการอตรรกยะ เราได้รับ
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
แล้วเราก็มี
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
การตรวจสอบ. แทนค่า x = 80 ลงในสมการอตรรกยะที่ให้มา เราจะได้

เห็นได้ชัดว่านี่เป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจากด้านขวามีจำนวนลบ และด้านซ้ายมีจำนวนบวก ดังนั้น x = 80 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการนี้

แทนค่า x = 12 ลงในสมการอตรรกยะที่ให้มา เราจะได้

เช่น. . = 20 คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ดังนั้น x = 12 จึงเป็นรากของสมการนี้
คำตอบ: 12.



เราหารทั้งสองส่วนของเทอมสมการสุดท้ายด้วยเทอม 2:

การตรวจสอบ. แทนค่า x = 14 เป็นสมการ (2) เราจะได้ เป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น x = 14 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง
แทนค่า x = -1 เป็นสมการ (2) เราได้รับ
- ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง ดังนั้น x = - 1 จึงเป็นรากของสมการ (2)
A n t e t : - 1

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ

การตัดสินใจ. แน่นอน คุณสามารถแก้สมการนี้ได้ด้วยวิธีเดียวกับที่เราใช้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้: เขียนสมการใหม่เป็น

ยกกำลังสองข้างของสมการนี้ แก้สมการตรรกยะที่ได้ และตรวจสอบรากที่พบโดยการแทนค่าลงใน
สมการอตรรกยะเดิม

แต่เราจะใช้วิธีที่หรูหรากว่านี้: เราแนะนำตัวแปรใหม่ y = จากนั้นเราจะได้ 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - สมการกำลังสองเทียบกับตัวแปร y ลองหารากของมันกัน: y 1 = 1, y 2 = - ดังนั้นงานจึงถูกลดเหลือการแก้สอง

จากสมการแรก เราพบ x \u003d 1 สมการที่สองไม่มีราก (คุณจำได้ว่าใช้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น)
คำตอบ: 1.
เราสรุปส่วนนี้ด้วยการอภิปรายเชิงทฤษฎีที่ค่อนข้างจริงจัง ประเด็นคือต่อไปนี้ คุณได้รับประสบการณ์ในการแก้สมการต่าง ๆ แล้ว: เส้นตรง, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, ตรรกยะ, อตรรกยะ คุณทราบดีว่าเมื่อแก้สมการจะมีการแปลงรูปแบบต่างๆ
ตัวอย่างเช่น: สมาชิกของสมการถูกถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม สมการทั้งสองข้างคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ กำจัดตัวส่วน นั่นคือ แทนที่สมการ = 0 ด้วยสมการ p (x) = 0; ทั้งสองข้างของสมการกำลังสอง

แน่นอน คุณสังเกตเห็นว่าผลของการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นคุณจึงต้องระมัดระวัง: ตรวจสอบรากที่พบทั้งหมด ดังนั้นตอนนี้เราจะพยายามทำความเข้าใจทั้งหมดนี้จากมุมมองทางทฤษฎี

คำนิยาม. สมการสองสมการ f (x) = g (x) และ r (x) = s (x) เรียกว่าสมการเท่ากันหากมีรากเหมือนกัน (หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าสมการทั้งสองไม่มีราก)

โดยปกติ เมื่อแก้สมการ พวกเขาพยายามแทนที่สมการนี้ด้วยสมการที่ง่ายกว่า แต่เทียบเท่ากับมัน การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการแปลงสมการเทียบเท่า

การแปลงต่อไปนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากันของสมการ:

1. การถ่ายโอนเงื่อนไขของสมการจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนที่มีเครื่องหมายตรงข้าม
ตัวอย่างเช่น การแทนที่สมการ 2x + 5 = 7x - 8 ด้วยสมการ 2x - 7x = - 8 - 5 คือการแปลงสมการที่เทียบเท่ากัน หมายความว่า

สมการ 2x + 5 = 7x -8 และ 2x - 7x = -8 - 5 มีค่าเท่ากัน

2. การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน
ตัวอย่างเช่น การแทนที่สมการ 0.5x 2 - 0.3x \u003d 2 ด้วยสมการ 5x 2 - Zx \u003d 20
(สมการทั้งสองส่วนถูกคูณพจน์ด้วยเทอมด้วย 10) เป็นการแปลงสมการที่เท่ากัน

การแปลงที่ไม่เท่ากันของสมการคือการแปลงต่อไปนี้:

1. การยกเว้นจากตัวส่วนที่มีตัวแปร
ตัวอย่างเช่น การแทนที่สมการด้วยสมการ x 2 \u003d 4 จะเป็นการแปลงสมการที่ไม่เท่ากัน ความจริงก็คือสมการ x 2 \u003d 4 มีสองราก: 2 และ - 2 และ สมการที่กำหนดค่า x = 2 ไม่เป็นที่น่าพอใจ (ตัวส่วนหายไป) ในกรณีเช่นนี้ เราพูดแบบนี้: x \u003d 2 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

2. ยกกำลังสองข้างของสมการ
เราจะไม่ยกตัวอย่างเนื่องจากมีจำนวนมากในย่อหน้านี้
หากในกระบวนการแก้สมการใช้การแปลงที่ไม่เท่ากันอย่างใดอย่างหนึ่งที่ระบุ จะต้องตรวจสอบรากทั้งหมดที่พบโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม เนื่องจากอาจมีรากภายนอก

หัวข้อ: “สมการอตรรกยะของแบบฟอร์ม , .»

(การพัฒนาระเบียบวิธี.)

แนวคิดพื้นฐาน

สมการอตรรกยะ เรียกว่าสมการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้เครื่องหมายของราก (radical) หรือเครื่องหมายของการยกกำลังเศษส่วน

สมการของรูปแบบ f(x)=g(x) โดยที่อย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ f(x) หรือ g(x) ไม่ลงตัว สมการอตรรกยะ

คุณสมบัติพื้นฐานของอนุมูล:

  • อนุมูลทั้งหมด แม้แต่องศา เป็น เลขคณิต เหล่านั้น. หากนิพจน์รุนแรงเป็นค่าลบ แสดงว่ารากศัพท์ไม่สมเหตุสมผล (ไม่มีอยู่จริง) ถ้านิพจน์รากมีค่าเท่ากับศูนย์ รากก็จะเป็น ศูนย์; ถ้านิพจน์รากศัพท์เป็นค่าบวก ค่าของรากศัพท์ก็จะมีอยู่และเป็นบวก
  • อนุมูลทั้งหมด องศาคี่ ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าใดๆ ของนิพจน์รุนแรง ยิ่งกว่านั้น รากศัพท์จะเป็นค่าลบ หากนิพจน์รากศัพท์เป็นค่าลบ เป็นศูนย์หากนิพจน์รากเป็นศูนย์ เป็นค่าบวก ถ้านิพจน์ที่ถูกปราบปรามเป็นค่าบวก

วิธีการแก้สมการอตรรกยะ

แก้สมการอตรรกยะ - หมายถึงการหาค่าจริงทั้งหมดของตัวแปร เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิมจะกลายเป็นค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง หรือเพื่อพิสูจน์ว่าค่าดังกล่าวไม่มีอยู่จริง สมการอตรรกยะแก้บนเซตของจำนวนจริง R

ช่วงของค่าที่ถูกต้องของสมการ ประกอบด้วยค่าของตัวแปรที่นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของอนุมูลระดับคู่ไม่เป็นค่าลบ

วิธีการหลักในการแก้สมการอตรรกยะ เป็น:

ก) วิธีการเพิ่มสมการทั้งสองส่วนให้มีกำลังเท่ากัน

b) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ (วิธีการแทนที่);

c) วิธีการประดิษฐ์ในการแก้สมการอตรรกยะ

ในบทความนี้เราจะเน้นการพิจารณาสมการของรูปแบบที่กำหนดไว้ข้างต้นและนำเสนอ 6 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว

1 วิธี คิวบ์.

วิธีนี้ต้องใช้สูตรคูณแบบย่อและไม่มี "ข้อผิดพลาด" เช่น ไม่นำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ

การตัดสินใจ:

เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ และลูกบาศก์ทั้งสองด้านของมัน เราได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

ตอบ: x=2, x=11.

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแล้วยกทั้งสองข้างให้เป็นลูกบาศก์กัน เราได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

และพิจารณาสมการผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองเทียบกับรากใดรากหนึ่ง

ดังนั้น ดิสคริมิแนนต์คือ 0 และสมการสามารถมีคำตอบ x=-2 ได้

การตรวจสอบ:

ตอบ: x=-2.

ความคิดเห็น: สามารถละเว้นเช็คได้หากสมการกำลังสองเสร็จสมบูรณ์

2 วิธี ลูกบาศก์โดยใช้สูตร

เราจะทำการลูกบาศก์สมการต่อไป แต่ในขณะเดียวกัน เราจะใช้สูตรที่แก้ไขสำหรับการคูณแบบย่อ

ลองใช้สูตร:

(ดัดแปลงเล็กน้อย สูตรที่รู้จัก), แล้ว

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ .

การตัดสินใจ:

ลองลูกบาศก์สมการโดยใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น

แต่การแสดงออก ต้องเท่ากับด้านขวา ดังนั้นเราจึงมี:

.

ทีนี้ เมื่อยกกำลังสาม เราได้สมการกำลังสองปกติ:

และรากทั้งสองของมัน

ค่าทั้งสองดังที่แสดงโดยการทดสอบนั้นถูกต้อง

ตอบ: x=2, x=-33.

แต่การแปลงทั้งหมดที่นี่เทียบเท่าหรือไม่ ก่อนตอบคำถามนี้ เรามาแก้สมการอีกหนึ่งสมการกันก่อน

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

เมื่อก่อนทั้งสองส่วนยกกำลังสามเรามี:

จากที่ไหน (พิจารณาว่านิพจน์ในวงเล็บคือ ) เราได้รับ:

เราได้รับ .มาตรวจสอบกันและให้แน่ใจว่า x=0 เป็นรูทที่ไม่เกี่ยวข้อง

ตอบ: .

มาตอบคำถามกัน: "เหตุใดรากภายนอกจึงเกิดขึ้น"

ความเสมอภาคนำไปสู่ความเท่าเทียมกัน . แทนที่ด้วย -s เราจะได้:

ง่ายต่อการตรวจสอบตัวตน

ดังนั้น ถ้า แล้ว อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ . สมการสามารถแสดงเป็น , .

แทนที่ด้วย -s เราจะได้ if , แล้วก็ , หรือ

ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องตรวจสอบและให้แน่ใจว่าไม่มีรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

3 วิธี วิธีการของระบบ

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ .

การตัดสินใจ:

ปล่อยให้เป็น, . แล้ว:

ชัดเจนได้อย่างไรว่า

สมการที่สองของระบบได้มาในลักษณะที่ว่าการรวมเชิงเส้นของนิพจน์รากศัพท์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรดั้งเดิม

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าระบบไม่มีคำตอบ ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีคำตอบ

ตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ .

การตัดสินใจ:

เราแนะนำการแทนที่ เขียนและแก้ระบบสมการ

ปล่อยให้เป็น, . แล้ว

กลับไปที่ตัวแปรเดิมเรามี:

ตอบ: x=0.

4 วิธี การใช้ฟังก์ชันความซ้ำซากจำเจ

ก่อนใช้วิธีนี้เรามาเริ่มที่ทฤษฎีกันก่อน

เราต้องการคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ตัวอย่าง 7แก้สมการ .

การตัดสินใจ:

ด้านซ้ายของสมการคือฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น และด้านขวาคือตัวเลข กล่าวคือ ค่าคงที่ ดังนั้น สมการจึงมีได้ไม่เกินหนึ่งรูท ซึ่งเราเลือก: x \u003d 9 ตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่ารูทมีความเหมาะสม

สมการเรียกว่าอตรรกยะถ้ามีปริมาณที่ไม่รู้จักภายใต้เครื่องหมายรูต ตัวอย่างเช่น สมการ

ในหลายกรณี การใช้การยกกำลังของทั้งสองส่วนของสมการครั้งเดียวหรือซ้ำๆ สามารถลดสมการอตรรกยะเป็นสมการพีชคณิตในระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่งได้ (ซึ่งเป็นผลมาจากสมการดั้งเดิม) เนื่องจากเมื่อยกสมการเป็นยกกำลัง คำตอบภายนอกอาจปรากฏขึ้น เมื่อแก้สมการพีชคณิตซึ่งเราได้ลดสมการอตรรกยะนี้ลงแล้ว เราควรตรวจสอบรากที่พบโดยแทนค่าลงในสมการเดิมและบันทึกเฉพาะรากที่ตรงตามนั้น และทิ้งส่วนที่เหลือ - ที่ไม่เกี่ยวข้อง

เมื่อแก้สมการอตรรกยะ เราจำกัดตัวเราให้อยู่ที่รากเหง้าที่แท้จริงของมันเท่านั้น รากของดีกรีคู่ในสัญกรณ์ของสมการเข้าใจได้ในแง่เลขคณิต

พิจารณาบ้าง ตัวอย่างทั่วไปสมการอตรรกยะ

ก. สมการที่ประกอบด้วยค่านิรนามใต้เครื่องหมายกรณฑ์ ถ้าสมการนี้มีเพียงหนึ่ง รากที่สองภายใต้เครื่องหมายที่ไม่ทราบสาเหตุ รากนี้ควรถูกแยกออก กล่าวคือ วางไว้ในส่วนหนึ่งของสมการ และข้อกำหนดอื่นทั้งหมดควรโอนไปยังส่วนอื่น หลังจากการยกกำลังทั้งสองข้างของสมการแล้ว เราจะปราศจากอตรรกยะและได้สมการพีชคณิตสำหรับ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ

การตัดสินใจ. เราแยกรากที่ด้านซ้ายของสมการ

เรายกกำลังสองสมการผลลัพธ์:

เราพบรากของสมการนี้:

การตรวจสอบพบว่าเป็นไปตามสมการดั้งเดิมเท่านั้น

หากสมการมีรากตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มี x การยกกำลังสองจะต้องทำซ้ำหลายครั้ง

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการต่อไปนี้:

คำตอบ, ก) เรายกกำลังสองของสมการทั้งสองข้าง:

เราแยกราก:

สมการที่ได้จะถูกยกกำลังสองอีกครั้ง:

หลังจากการแปลงเราได้รับสมการกำลังสองต่อไปนี้สำหรับ:

แก้ปัญหา:

โดยการแทนที่ลงในสมการเดิม เราแน่ใจว่ามีรากของมัน แต่เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการนั้น

b) ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับตัวอย่าง a) ได้รับการแก้ไข อย่างไรก็ตาม การใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านขวาของสมการนี้ไม่มีปริมาณที่ไม่รู้จัก เราจะดำเนินการในลักษณะที่ต่างออกไป เราคูณสมการด้วยนิพจน์คอนจูเกตทางด้านซ้าย เราได้รับ

ทางด้านขวาเป็นผลคูณของผลรวมและผลต่าง นั่นคือ ผลต่างของกำลังสอง จากที่นี่

ทางด้านซ้ายของสมการนี้คือผลบวกของรากที่สอง ทางด้านซ้ายของสมการที่ได้ตอนนี้คือความแตกต่างของรากเดียวกัน ลองเขียนสมการที่กำหนดและรับ:

หาผลรวมของสมการเหล่านี้ เราจะได้

เรายกกำลังสองสมการสุดท้าย และหลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราจะได้

จากนี้ไปเราจะพบว่า โดยการตรวจสอบเรามั่นใจว่ามีเพียงตัวเลขเท่านั้นที่ทำหน้าที่เป็นรากของสมการนี้ ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ

ตรงนี้, ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์, เรามีไตรนามกำลังสองแล้ว.

การตัดสินใจ. เราคูณสมการด้วยนิพจน์ที่ผันด้วยด้านซ้าย:

ลบสมการสุดท้ายออกจากสมการที่กำหนด:

ลองยกกำลังสองสมการนี้:

จากสมการสุดท้ายเราจะพบว่า โดยการตรวจสอบเรามั่นใจว่ามีเพียงตัวเลข x \u003d 1 เท่านั้นที่ทำหน้าที่เป็นรากของสมการนี้

ข. สมการที่มีรากของดีกรีที่สาม ระบบสมการอตรรกยะ เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในตัวอย่างสมการและระบบดังกล่าวเป็นรายบุคคล

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ

การตัดสินใจ. ให้เราแสดงสองวิธีในการแก้สมการ (70.1) วิธีแรก. ลองลูกบาศก์ทั้งสองข้างของสมการนี้ (ดูสูตร (20.8)):

(ที่นี่เราได้แทนที่ผลรวม รากลูกบาศก์เลข 4 โดยใช้สมการ)

เราก็เลยมี

กล่าวคือ หลังจากทำให้เข้าใจง่าย

ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นไปตามสมการเดิม

วิธีที่สอง มาใส่กัน

สมการ (70.1) จะเขียนเป็น . ยิ่งไปกว่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่า จากสมการ (70.1) เราผ่านไปยังระบบแล้ว

หารสมการแรกของเทอมระบบด้วยเทอมที่สอง เราพบว่า

สมการอตรรกยะคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายราก ตัวอย่างเช่น:

สมการดังกล่าวจะแก้ได้เสมอใน 3 ขั้นตอน:

  1. แยกราก. กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากมีตัวเลขหรือฟังก์ชันอื่นๆ ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับนอกเหนือจากรูท ทั้งหมดนี้จะต้องย้ายไปทางขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย ในเวลาเดียวกัน มีเพียงเครื่องหมายกรณฑ์เท่านั้นที่ควรอยู่ทางซ้าย - โดยไม่มีสัมประสิทธิ์ใดๆ
  2. 2. เรายกกำลังสองข้างของสมการ ในเวลาเดียวกัน จำไว้ว่าพิสัยของรูทนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบทั้งหมด ดังนั้นฟังก์ชันทางด้านขวา สมการอตรรกยะจะต้องไม่เป็นค่าลบด้วย: g (x) ≥ 0
  3. ขั้นตอนที่สามเป็นไปตามตรรกะจากขั้นตอนที่สอง: คุณต้องทำการตรวจสอบ ความจริงก็คือในขั้นตอนที่สอง เราสามารถมีรากพิเศษได้ และเพื่อที่จะตัดมันออกไป จำเป็นต้องแทนที่จำนวนผู้สมัครที่เป็นผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมแล้วตรวจสอบ: ได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องจริงหรือ?

การแก้สมการอตรรกยะ

มาจัดการกับสมการอตรรกยะที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียนกัน ที่นี่รูทถูกแยกออกไปแล้ว ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ ไม่มีอะไรเลยนอกจากรูท ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างกัน:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

เราแก้สมการกำลังสองที่ได้ผ่านการเลือกปฏิบัติ:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

ยังคงเป็นเพียงการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ในสมการดั้งเดิมเช่น ดำเนินการตรวจสอบ แต่คุณยังสามารถทำสิ่งที่ถูกต้องเพื่อลดความซับซ้อนของการตัดสินใจขั้นสุดท้ายได้อีกด้วย

วิธีทำให้การตัดสินใจง่ายขึ้น

ลองคิดดู: ทำไมเราถึงตรวจสอบตอนท้ายของการแก้สมการอตรรกยะ? เราต้องการให้แน่ใจว่าเมื่อแทนที่รากของเรา จะมีจำนวนไม่เป็นลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ท้ายที่สุด เรารู้แน่ว่ามันเป็นจำนวนที่ไม่ติดลบทางด้านซ้าย เพราะรากที่สองของเลขคณิต (เพราะสมการของเราเรียกว่าไม่ลงตัว) โดยนิยามแล้วต้องไม่น้อยกว่าศูนย์

ดังนั้น สิ่งที่เราต้องตรวจสอบก็คือฟังก์ชัน g ( x ) = 5 − x ซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ไม่เป็นค่าลบ:

ก.(x) ≥ 0

เราแทนที่รากของเราลงในฟังก์ชันนี้และรับ:

ก. (x 1) \u003d ก. (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
ก. (x 2) = ก. (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

จากค่าที่ได้รับ ราก x 1 = 6 ไม่เหมาะกับเรา เนื่องจากเมื่อแทนค่าทางด้านขวาของสมการเดิม เราจะได้จำนวนลบ แต่รูท x 2 \u003d −2 ค่อนข้างเหมาะสำหรับเราเพราะ:

  1. รูตนี้คือคำตอบของสมการกำลังสองที่ได้จากการยกทั้งสองข้าง สมการอตรรกยะเป็นสี่เหลี่ยม
  2. ทางด้านขวาของสมการอตรรกยะเดิม เมื่อแทนที่ราก x 2 = −2 จะกลายเป็นจำนวนบวก กล่าวคือ พิสัย รากเลขคณิตไม่แตกหัก.

นั่นคืออัลกอริทึมทั้งหมด! อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการด้วยรากศัพท์ไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งสำคัญคืออย่าลืมตรวจสอบรากที่ได้รับไม่เช่นนั้นก็มักจะได้คำตอบเพิ่มเติม

นอกจากนี้เรายังแนะนำ

กำลังโหลด...กำลังโหลด...