ขีดจำกัดของตัวแปร จำกัดลำดับ

ฟังก์ชันและข้อจำกัด IX

§ 201 ค่าคงที่และตัวแปร แนวคิดของฟังก์ชัน

เราได้พบแนวคิดของฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งครั้งแล้ว ในตอนที่ 1 เราดูเส้นตรง กำลังสอง กำลัง และ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. บทก่อนหน้านี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม ตอนนี้เราต้องทำ รีวิวทั่วไปสิ่งที่เรารู้อยู่แล้วเกี่ยวกับฟังก์ชันและพิจารณาคำถามใหม่ๆ

เมื่อสังเกตกระบวนการต่างๆ จะสังเกตได้ว่าปริมาณที่เกี่ยวข้องในนั้นทำงานแตกต่างกัน บางส่วนเปลี่ยนแปลง บางส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หากในสามเหลี่ยม ABC จุดยอด B เลื่อนไปตามเส้นตรง MN ขนานกับฐาน AC (รูปที่ 263) ค่าของมุม A, B และ C จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง และผลรวม ความสูง ชม. และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างอื่น. หากก๊าซใดถูกบีบอัดที่อุณหภูมิคงที่ ปริมาตรของก๊าซนั้น ( วี) และความดัน ( R) จะเปลี่ยน: ปริมาตรจะลดลงและความดันจะเพิ่มขึ้น ผลคูณของปริมาณเหล่านี้ซึ่งกำหนดโดยกฎหมาย Boyle-Mariotte จะคงที่:

Vp=c ,

ที่ไหน กับ เป็นค่าคงที่บางอย่าง

ปริมาณทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นค่าคงที่และตัวแปรได้

ตัวแปรที่เกี่ยวข้องในกระบวนการใดๆ มักจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยอิสระจากกัน แต่สัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างเช่น การบีบอัดก๊าซ (ที่อุณหภูมิคงที่) ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในปริมาตร และในทางกลับกัน ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของแรงดันแก๊ส การเปลี่ยนแปลงรัศมีของฐานของทรงกระบอกทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่ของฐานนี้ หลังนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในปริมาตรของทรงกระบอก และอื่นๆ หนึ่งในงานที่ราบรื่นของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการนี้หรือกระบวนการนั้นคือการกำหนดว่าการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรบางตัวส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอื่นๆ อย่างไร

มาดูตัวอย่างกัน กฎของบอยล์ที่กล่าวไว้ข้างต้น - Mariotte กล่าวว่าที่อุณหภูมิคงที่ปริมาตรของแก๊ส วี เปลี่ยนแปลงผกผันกับความดัน R : วี = ค / พี . หากทราบความดัน ปริมาตรของก๊าซสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรนี้ ในทำนองเดียวกัน สูตร S = π r 2 ช่วยให้คุณกำหนดพื้นที่ของวงกลม S หากทราบรัศมี r . ตามสูตร β = π / 2 - α หามุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก, ถ้ารู้มุมแหลมอีกมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมนี้ ฯลฯ

เมื่อเปรียบเทียบตัวแปรทั้งสองจะสะดวกที่จะพิจารณาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็น เป็นอิสระตัวแปรและอื่น ๆ as ขึ้นอยู่กับค่าตัวแปร ตัวอย่างเช่น รัศมีของวงกลม r เป็นเรื่องธรรมดาที่จะพิจารณาว่าเป็นตัวแปรอิสระและพื้นที่ของวงกลม S = π r 2 - ตัวแปรตาม ในทำนองเดียวกัน แรงดันแก๊ส R ถือได้ว่าเป็นตัวแปรอิสระ แล้วปริมาณของมัน วี = ค / พี จะเป็นตัวแปรตาม

ควรเลือกตัวแปรใดในสองตัวแปรตามและตัวแปรใดควรเลือกตัวแปรใด คำถามนี้แก้ไขได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับเป้าหมาย ตัวอย่างเช่น หากเราสนใจในการเปลี่ยนแปลงของแรงดันแก๊สที่อุณหภูมิคงที่ การเลื่อยเป็นตัวแปรอิสระ และปริมาตรเป็นตัวแปรตาม ในกรณีนี้ ตัวแปรตาม V จะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระ R ตามสูตร: วี = ค / พี . หากเราต้องการทราบผลที่ตามมาของการบีบอัดก๊าซ ควรพิจารณาปริมาตรเป็นตัวแปรอิสระและความดันเป็นตัวแปรตาม แล้วตัวแปรตาม R จะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระ V โดยสูตร R = ค / วี . ในกรณีใด ๆ เหล่านี้ ปริมาณทั้งสองมีความสัมพันธ์กัน ดังนั้นแต่ละปริมาณ ค่าที่เป็นไปได้หนึ่งในนั้นสอดคล้องกับค่าที่กำหนดไว้อย่างดีของอีกค่าหนึ่ง

ถ้าแต่ละค่าของตัวแปรเดียว Xในทางใดทางหนึ่งสอดคล้องกับค่าที่กำหนดไว้อย่างดีของปริมาณอื่น ที่, จากนั้นเราบอกว่ามีการกำหนดฟังก์ชัน

มูลค่า ที่ ในขณะเดียวกันก็เรียก ขึ้นอยู่กับตัวแปรหรือ การทำงานและค่า X - เป็นอิสระตัวแปรหรือ ข้อโต้แย้ง.

เพื่อแสดงอะไร ที่ มีฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ X มักใช้สัญกรณ์: ที่ = ฉ (X ), y = g (x ) , ที่ = φ (X ) ฯลฯ (อ่านว่า: y เท่ากับ ef จาก x, y เท่ากับค่าเดียวกันจาก x, y เท่ากับ phi จาก x เป็นต้น) การเลือกตัวอักษรเพื่อกำหนดฟังก์ชัน ( f,g φ ) แน่นอนว่าไม่จำเป็น สิ่งที่สำคัญคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ X และ ที่ เป็นการแสดงออกถึงจดหมายฉบับนี้

ค่าที่ฟังก์ชันรับ ฉ (X ) ที่ x = เป็ , หมายถึง ฉ (เอ ). ถ้า ตัวอย่างเช่น ฉ (X ) = x 2+1 แล้ว

ฉ (1) = 1 2 + 1 = 2;

ฉ (2) = 2 2 + 1 = 5;

ฉ (เอ + 1) = (เอ + 1) 2 + 1 = เอ 2 + 2เอ + 2;

ฉ (2เอ ) = (2เอ ) 2 + 1 = 4เอ 2 + 1

การออกกำลังกาย

1515. ก๊าซภายใต้ความดัน 2 บรรยากาศถูกบีบอัด การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นอย่างไร: ก) น้ำหนักของก๊าซ; b) ปริมาณ; c) ความกดดันของเขา?

ค.ศ. 1516 กระแสไฟฟ้าไหลผ่านวงจรไฟฟ้า ด้วยความช่วยเหลือของลิโน่ เราเปลี่ยนความต้านทานของวงจร การเปลี่ยนแปลงนี้หรือไม่: ก) กระแสในวงจร; ข) แรงดันไฟฟ้า?

1517 จุดยอด B ของสามเหลี่ยม ABC เคลื่อนที่ไปตามวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางตรงกับฐาน AC ของสามเหลี่ยมนี้ ปริมาณใดที่คงที่ในกระบวนการนี้และปริมาณใดที่เปลี่ยนแปลง

1518.

ค้นหา: ก) ฉ (0); ข) ฉ (เอ 2); ใน) ฉ ( 1 / เอ ); ช) ฉ (บาป เอ ).

1519. ด่วน ฉ (2เอ ) ผ่าน ฉ (เอ ) สำหรับฟังก์ชัน:

ก) ฉ (X ) = บาป X ; ข) ฉ (X ) = tg X ;

จากรูปแบบพฤติกรรมต่างๆ ของตัวแปร สิ่งที่สำคัญที่สุดคือตัวแปรมีแนวโน้มที่จะจำกัดขอบเขตที่แน่นอน ในกรณีนี้ ค่าที่ตัวแปรรับมา Xเข้าใกล้จำนวนคงที่โดยพลการ เอ-ขีดจำกัดของตัวแปรนี้ ว่ากันว่าตัวแปรมีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้จำนวนคงที่อย่างไม่มีกำหนด เอ(ถึงขีดจำกัดของคุณ) ให้เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันในรายละเอียดเพิ่มเติม

ตัวแปร x มีแนวโน้มที่จะจำกัด a (a -จำนวนคงที่) ถ้าค่าสัมบูรณ์ ความแตกต่างระหว่าง x และ a จะเล็กน้อยตามอำเภอใจในกระบวนการเปลี่ยนตัวแปร

คำจำกัดความเดียวกันสามารถพูดได้อีกนัยหนึ่ง

คำนิยาม.เรียกจำนวนคงที่ a ว่าขีดจำกัดตัวแปรx ถ้า - ค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่าง x และ a จะเล็กลงตามอำเภอใจในกระบวนการเปลี่ยนตัวแปร x

ความจริงที่ว่าจำนวน เอเป็นลิมิตของตัวแปร เขียนได้ดังนี้

( - ตัวอักษรตัวแรกของคำว่า limes - limit) หรือ X-> a

ให้เราชี้แจงสิ่งที่ควรเข้าใจด้วยคำว่า "ค่าจะเล็กตามอำเภอใจ" ซึ่งมีอยู่ในคำจำกัดความของขีด จำกัด ให้เราหาจำนวนบวกตามอำเภอใจ แล้วถ้าเริ่มจากช่วงเวลาหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เอ็กซ์,ค่าจะกลายเป็นและจะน้อยกว่านี้ .

ตัวแปรมีแนวโน้มที่จะจำกัดหากมีค่าบวกใดๆ เริ่มต้นจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรชั่วขณะหนึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นจริง .

คำจำกัดความของลิมิตมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย: ความไม่เท่าเทียมกัน หมายความว่ามันตั้งอยู่ใน -neighborhood ของจุด นั่นคือ ในช่วงเวลา (รูปที่ 26) ดังนั้น คำจำกัดความของลิมิตใน รูปทรงเรขาคณิต: ตัวเลขคือขีดจำกัดของตัวแปรถ้ามี (เล็กน้อยโดยพลการ)- บริเวณใกล้เคียงของจุด คุณสามารถระบุช่วงเวลาดังกล่าวในการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรโดยเริ่มจากค่าทั้งหมด
ตกอยู่ในที่ระบุ -เพื่อนบ้านของจุด a.

จำเป็นต้องจินตนาการถึงกระบวนการของการเข้าใกล้ขีด จำกัด ในพลวัต เอาบ้าง - บริเวณใกล้เคียงของจุด เอ; เริ่มที่จุดใดจุดหนึ่งในการเปลี่ยนแปลง , ค่านิยมทั้งหมดอยู่ในละแวกนี้ เอาล่ะมาใกล้กันมากขึ้น - บริเวณใกล้เคียงของจุด เอ; เริ่มจากบางช่วงเวลา (ไกลกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับช่วงแรก) ในการเปลี่ยนแปลง , ค่าทั้งหมดจะตกอยู่ใน - บริเวณใกล้เคียงของจุด เอ ฯลฯ (รูปที่ 1).

หลังจากที่ได้แนะนำคำจำกัดความของขีดจำกัดของตัวแปรแล้ว เราพยายามพูดคุยและถอดรหัสในรายละเอียด อย่างไรก็ตาม ในคำจำกัดความนี้ รายละเอียดที่สำคัญอย่างหนึ่งยังไม่เปิดเผย สิ่งที่ควรเข้าใจโดยคำว่า "เริ่มต้นจากช่วงเวลาหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร"? สิ่งนี้ชัดเจนเมื่อกระบวนการเปลี่ยนตัวแปรดำเนินไปตามเวลา: เริ่มจากช่วงเวลาหนึ่ง (เวลา) แต่เราไม่ได้จัดการกับตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาเสมอไป จะเป็นอย่างไรในกรณีเหล่านี้? ทางออกคือการถอดรหัสสถานที่นี้ในคำจำกัดความทั่วไปของขีดจำกัดของตัวแปรในลักษณะเฉพาะสำหรับตัวแปรแต่ละประเภท: ในรูปแบบของตัวเองสำหรับลำดับ ในวิธีการของตัวเองสำหรับฟังก์ชัน และอื่นๆ

จำกัดลำดับก่อนอื่น จำเป็นต้องจำคำจำกัดความของลำดับ: ถ้าค่าทั้งหมดมาจากตัวแปร X, สามารถนับเลขได้หลายแบบ ตัวเลขธรรมชาติ x ), x 2 ,... x n,...,และค่าที่มีจำนวนที่สูงกว่าจะถูกนำมาหลังจากค่าที่มีจำนวนที่ต่ำกว่านั้นเราบอกว่าตัวแปร Xวิ่งผ่านลำดับของค่า x x, x 2 ,... x ผ...; หรือเพียงแค่ว่ามีลำดับ (ลำดับตัวเลข)

คำนิยาม. ลำดับตัวเลข เรียกฟังก์ชันที่แท้จริงของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ นั่นคือ ฟังก์ชันที่ =นู๋ และเอ่อ

มันถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ที่ไหน หรือโดยย่อ . ตัวเลขที่ขึ้นอยู่กับ n เรียกว่า n – สมาชิกลำดับที่ การจัดเรียงค่าของลำดับในลำดับตัวเลข เราจะได้ว่า ลำดับนั้นสามารถระบุได้ด้วยชุดที่นับได้ ตัวเลขจริง, เช่น.

ตัวอย่าง:

ก) ลำดับเป็นค่าคงที่และประกอบด้วยจำนวนเท่ากัน (หน่วย): ;

ข) . สำหรับเธอ

ช) .

สำหรับลำดับ คำสั่งที่มีอยู่ในคำจำกัดความทั่วไปของขีดจำกัดของตัวแปร "เริ่มต้น ณ จุดใดจุดหนึ่งในการเปลี่ยนแปลง " ควรหมายถึง - "เริ่มจากตัวเลขบางตัว" เนื่องจากคำศัพท์ที่มีตัวเลขสูงกว่า (ตามคำจำกัดความของลำดับ) สมาชิกที่มีตัวเลขต่ำกว่า ดังนั้นเราจึงได้คำจำกัดความของลิมิตของลำดับดังต่อไปนี้:

คำนิยาม. ตัวเลขเอ เรียกว่า ขีดจำกัดลำดับถ้าสำหรับตัวเลขใด ๆ มีจำนวนที่ตัวเลขทั้งหมดที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน

การกำหนดที่เหมาะสม

ความไม่เท่าเทียมกันสามารถเขียนได้เป็น หรือ . บันทึกเหล่านี้เน้นย้ำว่าค่า x นกลายเป็นความแตกต่างเล็กน้อยจาก ,เมื่อจำนวนสมาชิกเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ในทางเรขาคณิต คำจำกัดความของลิมิตของลำดับหมายถึงสิ่งต่อไปนี้ for เล็กโดยพลการ -เพื่อนบ้านของจำนวน เอมีตัวเลข N โดยที่สมาชิกทั้งหมดในลำดับมีค่ามากกว่า N, ตัวเลขตกลงไปในละแวกนี้นอกพื้นที่ใกล้เคียงเป็นเพียงจำนวนจำกัดของเงื่อนไขเริ่มต้นของลำดับ (รูปที่ 2) นี่คือสมาชิกทั้งหมดหรือบางส่วน .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

จำนวนในคำจำกัดความของเราขึ้นอยู่กับ : นู๋= ไม่มี(). ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ คำจำกัดความของลิมิตควรเข้าใจในการพัฒนา ในไดนามิก ในการเคลื่อนไหว: หากเราใช้อย่างอื่น ค่าที่น้อยกว่าสำหรับ ตัวอย่างเช่น โดยทั่วไปมีอีกหมายเลขหนึ่ง ไม่มี x > ยังไม่มีข้อความ,จนทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน เป็นที่พอใจของทุกคน

เราจะเขียนคำจำกัดความของขีด จำกัด โดยใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะ (ปริมาณ) คำจำกัดความของขีด จำกัด ของลำดับโดยใช้ตัวระบุมีลักษณะดังนี้

ตัวแปรและค่าคงที่ไม่ใช่เรื่องง่าย

คณิตศาสตร์ของโรงเรียนเชื่อเสมอและยังคงโน้มน้าวใจเราต่อไปว่าคำถามของตัวแปรและค่าคงที่นั้นแก้ไขได้ง่ายมาก ตัวแปรคือค่าที่สามารถรับได้ภายใต้เงื่อนไขของงานที่กำหนด ความหมายต่างๆ. ค่าที่ไม่เปลี่ยนค่าภายใต้เงื่อนไขของปัญหาที่กำหนดจะถือเป็นค่าคงที่

ในขณะเดียวกัน มีรายงานเพิ่มเติมว่าการแบ่งปริมาณออกเป็นตัวแปรและค่าคงที่ค่อนข้างจะเป็นไปตามอำเภอใจและขึ้นอยู่กับสถานการณ์ที่มาพร้อมกับกระบวนการแก้ปัญหา หนึ่งและปริมาณเดียวกันซึ่งในบางเงื่อนไขถือว่าคงที่ ในเงื่อนไขอื่นควรพิจารณาเป็นตัวแปร ตัวอย่างคลาสสิก: ความต้านทานของตัวนำจะถือว่าคงที่จนกว่าเราจะถูกบังคับให้คำนึงถึงการพึ่งพาค่าความต้านทานของตัวนำต่ออุณหภูมิแวดล้อม

แต่จากการฝึกฝนแสดงให้เห็นว่าทั้งหมดข้างต้นสำหรับการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นไม่เพียงพอ

มีค่าอะไรเป็นที่ประจักษ์แก่ทุกคนโดยสัญชาตญาณ ขอชี้แจงแนวคิดนี้

ในกรณีทั่วไป เนื้อหาของกระบวนการแก้ปัญหาคือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ ในเวลาเดียวกัน ควรเข้าใจว่าในความหมายทางปรัชญาทั่วไป คุณค่าที่แสดงผลลัพธ์ของการแก้ปัญหานั้นมีอยู่แล้วในการกำหนดรูปแบบโดยปริยาย จำเป็นต้องสร้างกระบวนการแปลงค่าของปัญหาอย่างถูกต้องเท่านั้นเพื่อนำเสนอผลลัพธ์นี้อย่างชัดเจน

คำนิยาม

เราจะเรียกค่าใด ๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มี (หรือสามารถพกพา) ข้อมูลเกี่ยวกับค่าใดค่าหนึ่งได้

รูปแบบของการแสดงปริมาณอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ค่าที่มีค่าตัวเลขเท่ากับค่าจริงสามารถแสดงด้วยค่าคงที่ทศนิยม 1.0 ฟังก์ชัน Cos(0) และนิพจน์เลขคณิต 25.0 - 15.0 - 9.0

ค่าของปริมาณสามารถเปลี่ยนแปลงได้ ดังนั้น จากผลของการกระทำ x = 1.0 ค่าในรูปของตัวแปร x จะกลายเป็นพาหะของค่าของหน่วยจริง ในกรณีนี้ ค่าก่อนหน้าของตัวแปร x จะหายไป ตัวอย่างที่ให้ไว้แสดงให้เห็นจากจุดยืนที่ค่อนข้างต่างกันว่าปริมาณสามารถเปลี่ยนแปลงได้และคงที่

คำนิยาม

ตัวแปรมีคุณสมบัติที่สามารถเปลี่ยนแปลงค่าได้อันเป็นผลมาจากการกระทำบางอย่าง และนี่หมายความว่าแนวคิดของ "ค่าตัวแปร" สะท้อนถึงความเป็นไปได้ แต่ไม่ใช่ความจริงของการเปลี่ยนแปลง

ค่าคงที่ (ค่าคงที่) ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นค่าที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในหลักการซึ่งแตกต่างจากตัวแปร

ตัวอย่างเช่น ค่าคงที่ในรูปแบบของนิพจน์ 12+3 คือ 15 และไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ในกรณีนี้จำเป็นต้องแก้ไขความหมายของสัญญาณที่แสดงค่า มิฉะนั้น หากเราพิจารณา ตัวอย่างเช่น เครื่องหมายของนิพจน์นี้เป็นตัวเลขในระบบตัวเลขที่มีฐาน 5 ค่าของมันจะเท่ากับ 10

คำนิยาม

ดังนั้น ในข้อความทางคณิตศาสตร์ ตัวพาของค่า กล่าวคือ ปริมาณ คือตัวแปร ค่าคงที่ การเรียกใช้ฟังก์ชัน (หรือฟังก์ชันง่ายๆ) เช่นเดียวกับนิพจน์

คุณสมบัติของตัวแปร

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ ค่าบางอย่างในวิชาคณิตศาสตร์เรียกว่าตัวแปร (คำนี้ใช้เป็นคำนาม)

ตัวอย่างเช่น ค่าของตัวแปร x+1 ขึ้นอยู่กับค่าที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ x ในที่นี้สัญกรณ์ x ถูกใช้เป็นตัวแปร โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปร x เราจึงเปลี่ยนค่าของตัวแปร x+1

ดังนั้นค่าของตัวแปรจึงขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรที่เป็นส่วนหนึ่งของพวกมัน คุณสมบัติโดดเด่นตัวแปรคือว่าควรกำหนดค่าเฉพาะให้กับมัน (กำหนด)

วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดความเป็นไปได้ในการคำนวณค่าของตัวแปรกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้องในบริบทนี้ ในวิชาคณิตศาสตร์สามารถประเมินได้เฉพาะค่าของนิพจน์เท่านั้น

เงื่อนไขหลักสำหรับการใช้ตัวแปรในข้อความทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบสุดท้ายมีดังนี้: เพื่ออ้างถึงตัวแปร ก็เพียงพอที่จะระบุการกำหนด

คุณสมบัติของค่าคงที่

ในข้อความทางคณิตศาสตร์ สามารถใช้ค่าคงที่ได้สองประเภท: ค่าคงที่โทเค็นและค่าคงที่ที่มีชื่อ

อย่างไรก็ตาม โปรแกรมเมอร์ในภาษาต่างๆ ระดับสูงให้ใช้บนเหตุที่ค่อนข้างเป็นทางการ (ถูกกฎหมาย)

ด้วยความช่วยเหลือของโทเค็นคงที่ ค่าของค่าคงที่จะถูกระบุโดยตรงโดยไม่ต้องดำเนินการใด ๆ ตัวอย่างเช่น ในการรับค่าของค่าคงที่ 12+3 ซึ่งเป็นนิพจน์ จำเป็นต้องเพิ่มโทเค็นคงที่สองตัว 12 และ 3

คำนิยาม

ค่าคงที่ที่มีชื่อเป็นสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉพาะที่ระบุเป็นค่าคงที่ของโทเค็น

วิธีนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายใน วิทยาศาสตร์ธรรมชาติเพื่อความสะดวกในการบันทึกสูตรกายภาพ เคมี คณิตศาสตร์ และสูตรอื่นๆ ตัวอย่างเช่น g = 9.81523 - ความเร่ง ตกฟรีที่ละติจูดของมอสโก π = 3.1415926 คือจำนวน $π$

นอกเหนือจากสัญลักษณ์นิพจน์แบบย่อแล้ว ค่าคงที่ที่มีชื่อยังให้ความชัดเจนและความสะดวกอย่างมากในการทำงานกับข้อความทางคณิตศาสตร์

ค่าคงที่ที่ระบุชื่อได้มาซึ่งมูลค่าอันเป็นผลมาจากข้อตกลงเบื้องต้น

คุณสมบัติที่สำคัญของค่าคงที่ที่มีชื่อคือ ไม่แนะนำให้เปลี่ยนค่าภายในข้อความทางคณิตศาสตร์

นิพจน์

นิพจน์คือ ส่วนประกอบข้อความทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ด้วยความช่วยเหลือของนิพจน์ ลำดับที่ค่าใหม่จะถูกคำนวณตามค่าอื่น ๆ ที่รู้จักก่อนหน้านี้จะถูกระบุ

ในกรณีทั่วไป ตัวถูกดำเนินการ เครื่องหมายแสดงการทำงาน และวงเล็บเหลี่ยมที่ปรับแล้ว (สี่เหลี่ยม หยัก) ถูกใช้เป็นส่วนหนึ่งของนิพจน์

คำนิยาม

ตัวถูกดำเนินการคือ ชื่อสามัญวัตถุที่มีค่าถูกใช้เมื่อดำเนินการ ตัวถูกดำเนินการสามารถเป็นตัวแปร ค่าคงที่ และฟังก์ชันได้ อย่างไรก็ตาม คำนี้เป็นที่นิยมมากในหมู่โปรแกรมเมอร์ แฟรกเมนต์นิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บถือเป็นตัวถูกดำเนินการแบบผสมที่แยกจากกัน

เครื่องหมายการดำเนินการเป็นสัญลักษณ์ของชุดการกระทำที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งจะต้องดำเนินการกับตัวถูกดำเนินการที่เกี่ยวข้อง วงเล็บควบคุมจะกำหนดลำดับการดำเนินการที่ต้องการ ซึ่งอาจแตกต่างจากที่กำหนดไว้ในลำดับความสำคัญของการดำเนินการ

กรณีที่ง่ายที่สุดของนิพจน์คือตัวถูกดำเนินการตัวเดียว ไม่มีสัญญาณการดำเนินการในนิพจน์นี้

ฟังก์ชันตัวถูกดำเนินการมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง ตามกฎแล้ว ตัวถูกดำเนินการดังกล่าวคือชื่อ (หรือเครื่องหมาย) ของฟังก์ชันตามด้วยรายการอาร์กิวเมนต์ในวงเล็บ ในกรณีนี้ วงเล็บคือส่วนสำคัญของฟังก์ชันและไม่สามารถใช้กับวงเล็บได้ โปรดทราบว่าในหลายกรณี ตัวถูกดำเนินการของฟังก์ชันไม่มีวงเล็บ (เช่น 5! คือการคำนวณแฟกทอเรียลของจำนวนเต็ม 5)

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติหลัก การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็น:

• สามารถระบุสัญญาณการทำงานโดยใช้อักขระพิเศษรวมถึงการใช้คำที่กำหนดเป็นพิเศษ
• การดำเนินการสามารถเป็นแบบเอกพจน์ (ดำเนินการกับตัวถูกดำเนินการหนึ่งตัว) และไบนารี (ดำเนินการกับตัวถูกดำเนินการสองตัว)
• การดำเนินงานมีสี่ระดับความสำคัญที่กำหนดลำดับในการประเมินนิพจน์

กฎสำหรับการประเมินนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งมีห่วงโซ่ของการดำเนินการในกรณีที่ไม่มีวงเล็บควบคุมมีดังนี้:

1. ขั้นแรกให้คำนวณค่าของฟังก์ชันทั้งหมด
2. จากนั้นการดำเนินการจะดำเนินการทีละรายการโดยเรียงลำดับจากมากไปน้อยตามลำดับความสำคัญ
3. การดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญเท่ากันจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

เมื่อมีวงเล็บ นิพจน์ประกอบด้วยตัวถูกดำเนินการแบบผสมที่มีค่าต้องได้รับการประเมินก่อน

คุณสมบัติบางประการของการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์:

• ไม่แนะนำให้ละเว้นเครื่องหมายปฏิบัติการแม้ว่าในหลายกรณีจะเป็นไปได้ที่จะละเว้นเครื่องหมายคูณ
• ขอแนะนำให้ระบุอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันในวงเล็บ
• การบ่งชี้ที่ต่อเนื่องกันของสัญญาณปฏิบัติการไบนารีสองสัญญาณหรือมากกว่านั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ อย่างเป็นทางการ อนุญาตให้ใช้เครื่องหมายของการดำเนินการเอกนารีหลายรายการติดต่อกัน รวมทั้งเครื่องหมายไบนารีด้วย

ตัวอย่างของตัวแปร ได้แก่ อุณหภูมิของอากาศ พารามิเตอร์ของฟังก์ชัน และอื่นๆ อีกมากมาย

ตัวแปรมีลักษณะเฉพาะโดยชุดของค่าที่สามารถรับได้ ตัวแปรแสดงด้วยสัญลักษณ์ร่วมของค่าแต่ละค่า

ตัวแปรทางคณิตศาสตร์

ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวแปรสามารถเป็นได้ทั้งปริมาณจริงและปริมาณนามธรรมบางอย่างที่ไม่สะท้อนกระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริง

Descartes ถือว่าค่าของตัวแปรไม่เป็นค่าลบเสมอ และแสดงค่าลบด้วยเครื่องหมาย ซึ่งสะท้อนด้วยเครื่องหมายลบหน้าตัวแปร หากไม่ทราบเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ Descartes จะใส่จุดไข่ปลา Johann Hudde นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ในปี 1657 อนุญาตให้ตัวแปรตามตัวอักษรรับค่าของเครื่องหมายใดๆ

ตัวแปรในการเขียนโปรแกรม

ในการเขียนโปรแกรม ตัวแปรเป็นตัวระบุระบุข้อมูล โดยปกติแล้วจะเป็นชื่อที่ซ่อนพื้นที่หน่วยความจำที่สามารถวางข้อมูลที่จัดเก็บไว้ในพื้นที่หน่วยความจำอื่นได้ ตัวแปรสามารถมีประเภทของค่าที่สามารถรับได้ ในการเขียนโปรแกรม ตัวแปรมักจะแสดงด้วยคำหรือสัญลักษณ์ตั้งแต่หนึ่งคำขึ้นไป เช่น "เวลา", "x", "

ตัวแปรและค่าคงที่

ปริมาณที่ในคำถามภายใต้การศึกษาใช้ค่าที่แตกต่างกันหรือดังนั้นจึงคงค่าเดิมไว้ ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษาการตกของร่างกาย ระยะห่างจากพื้นถึงพื้นและความเร็วของการตกนั้นเป็นปริมาณที่แปรผันได้ ในขณะที่ความเร่ง (หากเราละเลยแรงต้านของอากาศ) เป็นค่าคงที่ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาถือว่าปริมาณทั้งหมดที่ศึกษาเป็นค่าคงที่ แนวคิดเรื่องปริมาณผันแปรเกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ภายใต้อิทธิพลของความต้องการของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติซึ่งนำไปสู่การศึกษาการเคลื่อนไหว - กระบวนการและไม่ใช่แค่รัฐเท่านั้น แนวคิดนี้ไม่เข้ากับรูปแบบที่พัฒนาขึ้นโดยคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณและยุคกลาง และจำเป็นต้องมีรูปแบบใหม่สำหรับการแสดงออก รูปแบบใหม่ดังกล่าว ได้แก่ พีชคณิตตามตัวอักษรและเรขาคณิตวิเคราะห์ R. Descartes a. ในตัวอักษรของพีชคณิตคาร์ทีเซียน ซึ่งสามารถหาค่าตัวเลขได้ตามอำเภอใจ ตัวแปรพบนิพจน์เชิงสัญลักษณ์ “จุดเปลี่ยนในวิชาคณิตศาสตร์คือตัวแปรคาร์ทีเซียน ด้วยเหตุนี้การเคลื่อนไหวและวิภาษวิธีจึงเข้าสู่คณิตศาสตร์และด้วยเหตุนี้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์จึงมีความจำเป็นในทันที ... ” (Engels F. , ดู Marx K. และ Engels F. , Soch., 2nd ed., Vol. 20 , หน้า 573). ในช่วงนี้จนถึงกลางศตวรรษที่ 19 มุมมองทางกลเกี่ยวกับตัวแปรมีผลเหนือกว่า I. Newton แสดงออกอย่างชัดเจนที่สุด ผู้ซึ่งเรียกตัวแปรนี้ว่า "คล่องแคล่ว" นั่นคือ ปัจจุบัน และถือว่า "... ไม่ได้ประกอบด้วยส่วนที่เล็กมาก แต่ตามที่อธิบายโดยการเคลื่อนไหวต่อเนื่อง" ("งานคณิตศาสตร์" , M. , 2480, p. 167). มุมมองเหล่านี้มีผลอย่างมาก และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทำให้นิวตันสามารถใช้แนวทางใหม่ทั้งหมดในการค้นหาพื้นที่ของรูปทรงโค้งมน นิวตันเป็นคนแรกที่พิจารณาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ( ABNMบน ข้าว. ) ไม่เป็นค่าคงที่ (คำนวณโดยการรวมส่วนที่เล็กที่สุดของมัน) แต่เป็นตัวแปรที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของลำดับของเส้นโค้ง ( NM); โดยกำหนดให้อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ที่พิจารณาเป็นสัดส่วนกับพิกัด นาโนเมตรเขาจึงลดปัญหาการคำนวณพื้นที่เป็นปัญหาในการกำหนดตัวแปรจาก ความเร็วที่รู้จักการเปลี่ยนแปลงของเธอ ความถูกต้องของการแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์เมื่อต้นศตวรรษที่ 19 ทฤษฎี , ซึ่งให้คำจำกัดความที่แน่นอนของความเร็วเป็นอนุพันธ์ (ดู อนุพันธ์) อย่างไรก็ตาม ในช่วงศตวรรษที่ 19 ข้อจำกัดของมุมมองที่อธิบายข้างต้นของตัวแปรจะค่อยๆ ชัดเจนขึ้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กลายเป็นทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ การพัฒนาซึ่งเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการวิเคราะห์สาระสำคัญและขอบเขตของแนวคิดพื้นฐานอย่างแม่นยำ ปรากฎว่าแม้แต่แนวคิดของฟังก์ชันต่อเนื่องก็ยังซับซ้อนกว่าการนำเสนอด้วยภาพที่นำไปสู่ พบฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดใด ๆ การจะเข้าใจฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งเป็นผลมาจากการเคลื่อนที่จะเป็นการสมมติการเคลื่อนที่โดยไม่ใช้ความเร็วในช่วงเวลาใดๆ การศึกษาฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดของโครงสร้างที่ซับซ้อนมากกว่าช่วงหรือการรวมตัวของช่วงหลาย ๆ ช่วงเวลา กำลังมีความสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ การตีความตัวแปรของนิวตันไม่เพียงพอและในหลายกรณีก็ไร้ประโยชน์

ในทางกลับกัน คณิตศาสตร์เริ่มพิจารณาว่าเป็นตัวแปร ไม่เพียงแต่ขนาดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคลาสของวัตถุอื่นๆ ที่หลากหลายและหลากหลายมากขึ้นด้วย บนพื้นฐานนี้ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 และในศตวรรษที่ 20 กำลังพัฒนาทฤษฎีเซต โทโพโลยี และตรรกะทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการขยายตัวในศตวรรษที่ 20 แนวคิดของตัวแปรพิสูจน์ได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าตรรกะทางคณิตศาสตร์ไม่ได้พิจารณาเฉพาะตัวแปรที่ทำงานผ่านชุดของอ็อบเจกต์ตามอำเภอใจเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวแปรที่มีค่าเป็นคำสั่ง เพรดิเคต (ความสัมพันธ์ระหว่างออบเจกต์) เป็นต้น (ดูตัวแปร).

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "ค่าตัวแปรและค่าคงที่" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ในวิชาคณิตศาสตร์ ปริมาณที่ใช้ค่าต่าง ๆ ในคำถามภายใต้การศึกษาหรือคงค่าเดิมไว้ ความแตกต่างระหว่างตัวแปรและค่าคงที่นั้นสัมพันธ์กัน ปริมาณที่คงที่ในเรื่องใดเรื่องหนึ่งอาจเป็นตัวแปรใน ... ใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรม

- (คณิตศาสตร์) ปริมาณที่เป็นปัญหาในการศึกษาใช้ค่าต่าง ๆ หรือคงค่าเดิมไว้ ความแตกต่างระหว่างตัวแปรและค่าคงที่นั้นสัมพันธ์กัน ปริมาณที่คงที่ในบางเรื่องสามารถแปรผันได้ใน ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

ดู ค่าคงที่ ตัวแปร สารานุกรมปรัชญา. ใน 5 x t. M.: สารานุกรมโซเวียต. แก้ไขโดย F. V. Konstantinov 1960 1970 ... สารานุกรมปรัชญา

- (คณิตศาสตร์) ปริมาณ ไรย์ใน nopross ศึกษา ย่อยสลาย. ค่าหรือคงค่าเดิมไว้ ความแตกต่างระหว่างตัวแปรและค่าคงที่นั้นสัมพันธ์กัน: ปริมาณที่คงที่ในเรื่องหนึ่งอาจเป็นตัวแปรในอีก ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

I ตัวแปรดาว P. z. ดาวที่มีความสว่างชัดเจนผันผวน หลาย พ.ศ. เป็นดาวที่ไม่อยู่กับที่ ความแปรปรวนของความสว่างของดาวดังกล่าวสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิและรัศมี การไหลออกของสสาร ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

ดูตัวแปรและค่าคงที่ ค่าคงที่ * * * ค่าคงที่ ดูตัวแปรและค่าคงที่ (ดู ตัวแปรและค่าคงที่) ค่าคงที่ (ดู ค่าคงที่) … พจนานุกรมสารานุกรม