วิธีแก้สแควร์รูท วิธีแยกรากที่สองอย่างรวดเร็ว

ในบรรดาความรู้มากมายที่เป็นสัญลักษณ์ของการรู้หนังสือ อักษรเป็นอันดับแรก ถัดไป องค์ประกอบ "เครื่องหมาย" เดียวกันคือทักษะของการบวก-คูณ และอยู่ติดกับพวกเขา แต่กลับกันในความหมาย การดำเนินการเลขคณิตของการหารการลบ ทักษะที่เรียนรู้ในวัยเด็กของโรงเรียนห่างไกลรับใช้อย่างซื่อสัตย์ทั้งกลางวันและกลางคืน: ทีวี หนังสือพิมพ์ SMS และทุกที่ที่เราอ่าน เขียน นับ บวก ลบ คูณ และบอกฉันที เธอต้องหยั่งรากลึกในชีวิตบ่อยไหม ยกเว้นในประเทศ? ตัวอย่างเช่น ปัญหาที่น่าสนุก เช่น สแควร์รูทของหมายเลข 12345 ... ยังมีดินปืนอยู่ในขวดโหลไหม? เราสามารถทำได้หรือไม่ ใช่ ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว! เครื่องคิดเลขของฉันอยู่ที่ไหน ... และหากไม่มีมันแบบตัวต่อตัวอ่อนแอ?

ก่อนอื่นขอชี้แจงว่ามันคืออะไร - รากที่สองตัวเลข โดยทั่วไปแล้ว "การแยกรากออกจากตัวเลข" หมายถึงการดำเนินการเลขคณิตตรงข้ามกับการยกกำลัง - ที่นี่คุณมีความสามัคคีของสิ่งที่ตรงกันข้ามในการประยุกต์ใช้ชีวิต สมมุติว่ากำลังสองคือการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเอง เช่น ตามที่พวกเขาสอนที่โรงเรียน X * X = A หรือในอีกรูปแบบหนึ่ง X2 = A และในคำพูด - “X กำลังสองเท่ากับ A” จากนั้นปัญหาผกผันจะเป็นดังนี้: สแควร์รูทของจำนวน A คือจำนวน X ซึ่งเมื่อยกกำลังสองจะเท่ากับ A

การแยกรากที่สอง

จากหลักสูตรเลขคณิตของโรงเรียนรู้จักวิธีการคำนวณ "ในคอลัมน์" ซึ่งช่วยในการคำนวณโดยใช้สี่ตัวแรก การดำเนินการเลขคณิต. อนิจจา ... สำหรับสแควร์และไม่เพียงสแควร์รูทของอัลกอริธึมดังกล่าวไม่มีอยู่จริง และในกรณีนี้ จะแยกสแควร์รูทโดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร ตามคำจำกัดความของรากที่สอง มีเพียงข้อสรุปเดียว - จำเป็นต้องเลือกค่าของผลลัพธ์โดยการแจงนับตัวเลขตามลำดับ ซึ่งกำลังสองซึ่งเข้าใกล้ค่าของนิพจน์ราก เท่านั้นและทุกอย่าง! ก่อนเวลาหนึ่งหรือสองชั่วโมงผ่านไป มันสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการคูณเป็น "คอลัมน์" ที่รู้จักกันดี ไม่ว่าจะเป็นรากที่สอง หากคุณมีทักษะเพียงพอสำหรับสิ่งนี้เพียงไม่กี่นาที แม้แต่เครื่องคิดเลขหรือผู้ใช้พีซีที่ไม่ก้าวหน้านักก็ยังทำได้ในคราวเดียว - ความคืบหน้า

แต่อย่างจริงจัง การคำนวณรากที่สองมักใช้เทคนิค "ปืนใหญ่อัตตาจร" ขั้นแรก ให้นำตัวเลขที่มีกำลังสองโดยประมาณสอดคล้องกับนิพจน์ราก จะดีกว่าถ้า "กำลังสองของเรา" น้อยกว่านิพจน์นี้เล็กน้อย จากนั้นพวกเขาจะแก้ไขตัวเลขตามความเข้าใจในทักษะของตนเอง เช่น คูณด้วยสอง และ ... ยกกำลังสองอีกครั้ง หากผลลัพธ์มากกว่าจำนวนที่อยู่ใต้รูท ให้ปรับจำนวนเดิมอย่างต่อเนื่อง ค่อยๆ เข้าใกล้ "เพื่อนร่วมงาน" ที่อยู่ใต้รูท อย่างที่คุณเห็น - ไม่มีเครื่องคิดเลข มีเพียงความสามารถในการนับ "ในคอลัมน์" แน่นอนว่ามีอัลกอริธึมที่ให้เหตุผลทางวิทยาศาสตร์และปรับให้เหมาะสมมากมายสำหรับการคำนวณสแควร์รูท แต่สำหรับ "การใช้ในบ้าน" เทคนิคข้างต้นให้ความมั่นใจในผลลัพธ์ 100%

ใช่ ฉันเกือบลืมไปเลย เพื่อยืนยันการรู้หนังสือที่เพิ่มขึ้นของเรา เราคำนวณรากที่สองของตัวเลขที่ระบุก่อนหน้านี้ 12345 เราทำทีละขั้นตอน:

1. ใช้สัญชาตญาณอย่างหมดจด X=100 มาคำนวณกัน: X * X = 10000 สัญชาตญาณอยู่ด้านบน - ผลลัพธ์น้อยกว่า 12345

2. ลองกันอย่างสังหรณ์ใจ X = 120 จากนั้น: X * X = 14400 และอีกครั้งด้วยสัญชาตญาณลำดับ - ผลลัพธ์มากกว่า 12345

3. ด้านบนได้ "ส้อม" ที่ 100 และ 120 มาเลือกตัวเลขใหม่ - 110 และ 115 เราได้รับ 12100 และ 13225 ตามลำดับ - ทางแยกแคบลง

4. เราลอง "อาจจะ" X = 111 เราได้รับ X * X = 12321 ตัวเลขนี้ค่อนข้างใกล้เคียงกับ 12345 แล้ว ตามความแม่นยำที่ต้องการ "การปรับ" สามารถดำเนินการต่อหรือหยุดที่ผลลัพธ์ที่ได้รับ นั่นคือทั้งหมดที่ ตามที่สัญญาไว้ - ทุกอย่างง่ายมากและไม่มีเครื่องคิดเลข

ประวัติค่อนข้างมาก...

คิดจะใช้ รากที่สองยังคงเป็นชาวพีทาโกรัส นักเรียนของโรงเรียนและผู้ติดตามของพีทาโกรัสเป็นเวลา 800 ปีก่อนคริสตกาล และที่นั่น "พบ" การค้นพบใหม่ในด้านตัวเลข และมันมาจากไหน?

1. การแก้ปัญหาด้วยการแยกรูทให้ผลลัพธ์ในรูปแบบของตัวเลขของคลาสใหม่ พวกเขาถูกเรียกว่าไม่มีเหตุผลหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า "ไม่มีเหตุผล" เพราะ ไม่ได้เขียนเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างคลาสสิกที่สุดของประเภทนี้คือสแควร์รูทของ 2 กรณีนี้สอดคล้องกับการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 - นี่คืออิทธิพลของโรงเรียนพีทาโกรัส ปรากฎว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดหน่วยเฉพาะของด้านข้าง ด้านตรงข้ามมุมฉากมีขนาดที่แสดงด้วยตัวเลขที่ "ไม่มีที่สิ้นสุด" ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์จึงปรากฏขึ้น

2. เป็นที่รู้กันว่าปรากฏว่าสิ่งนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีอีกอันหนึ่งที่จับได้ - การแยกรูทเราไม่รู้ว่านิพจน์รูทของจำนวนใดเป็นค่าบวกหรือลบ ความไม่แน่นอนนี้ เป็นผลสองเท่าจากการดำเนินการครั้งเดียว ถูกจดไว้

การศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์นี้ได้กลายเป็นทิศทางในวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์

อยากรู้ว่าการกำหนดรูต - รุนแรง - ถูกใช้ใน "เลขคณิตสากล" ของเขาโดย I. Newton ที่แพร่หลายเหมือนกัน แต่แน่นอน ดูทันสมัยบันทึกหลักเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่ปี 1690 จากหนังสือ Frenchman Roll "Guide to Algebra"

คณิตศาสตร์ถือกำเนิดขึ้นเมื่อมีคนรู้จักตัวเองและเริ่มวางตำแหน่งตัวเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ คำนวณสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่สนับสนุนหนึ่งในศาสตร์พื้นฐานในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับนิพจน์ทางกายภาพได้ในภายหลังข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากความเป็นนามธรรม) แต่หลังจากนั้นครู่หนึ่งตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงขีดจำกัดของความซับซ้อนเมื่อตัวเลขทั้งหมด" แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถสนับสนุนได้ง่าย นอกเหนือไปจากระนาบการคำนวณ

มันเริ่มต้นอย่างไร

การกล่าวถึงครั้งแรกของรากซึ่งบน ช่วงเวลานี้แสดงเป็น√ถูกบันทึกไว้ในงานเขียนของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนที่วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขาดูคล้ายกับรูปแบบปัจจุบันเล็กน้อย - นักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช อี พวกเขาได้สูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีหารากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการส่งออก √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบได้เฉพาะในทศนิยมสิบตำแหน่งเท่านั้น

นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องหาด้านของสามเหลี่ยม โดยจะต้องรู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง จะไม่มีทางหลุดจากการถอนรากได้

นอกจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุของบทความยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดๆ ที่รากไม่ถูกสกัดออกมาโดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว .

ที่มาของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนที่กำหนดขึ้นจากรากเหมือนต้นไม้ ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน radix (ใครๆ ก็ติดตามรูปแบบ - ทุกอย่างที่มีโหลดเชิงความหมาย "ราก" เป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรืออาการปวดตะโพก)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อ ๆ มาหยิบแนวคิดนี้ขึ้นมาโดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ารากที่สองถูกนำมาจากจำนวน a โดยพลการ พวกเขาเขียน R 2 a นิสัย ดูทันสมัย"ติ๊ก" √ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่สองของ y คือจำนวน z ที่มีกำลังสองคือ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้มีความเกี่ยวข้องเฉพาะสำหรับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

โดยทั่วไป ซึ่งใช้ได้สำหรับกำหนดรูทพีชคณิต ค่าของนิพจน์สามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากความจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เราจึงมี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น จึงมีความผูกพันหลายอย่างกับมัน ไม่ได้แสดงออกมาในการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่นพร้อมกับกิจกรรมที่น่าสนใจเช่นวัน Pi วันหยุดของรากที่สองก็มีการเฉลิมฉลองเช่นกัน มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งในหนึ่งร้อยปีและกำหนดตามหลักการต่อไปนี้: ตัวเลขที่แสดงวันและเดือนตามลำดับต้องเป็นรากที่สองของปี ใช่ใน คราวหน้าวันหยุดนี้จะมีการเฉลิมฉลองในวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต ชะตากรรมนี้ไม่ผ่านและ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายแบบ ที่ง่ายที่สุด แต่ในเวลาเดียวกันค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณเลขคณิตปกติซึ่งมีดังนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท ตัวเลขคี่จะถูกลบในทางกลับกัน - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าการลบหนึ่งหรือคู่ ศูนย์. ในที่สุดจำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น การคำนวณรากที่สองของ 25:

เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

สำหรับกรณีดังกล่าว มีการขยายซีรีส์เทย์เลอร์:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าจาก 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟิกของฟังก์ชัน z=√y

พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ แผนภูมิของเธอมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งเติบโตจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องข้ามจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นระยะ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ก็เป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้จึงอยู่ที่มุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งพวกเขาใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก ตัวอย่างเช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันยกกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีสำหรับการสร้างความแตกต่างด้วยการบูรณาการ เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองแทนด้วยฟังก์ชันกำลังทั่วไป

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้ รากที่สองมีความต้องการสูง เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริทึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและอิงจากการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในฟิลด์เชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว เป็นเรื่องของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามเรื่องการได้รากดีกรีคู่จากจำนวนลบ นี่คือลักษณะที่หน่วยจินตภาพ i ปรากฏขึ้น ซึ่งมีคุณลักษณะที่น่าสนใจมาก: สี่เหลี่ยมจัตุรัสของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองและตัวจำแนกเชิงลบจึงมีคำตอบ ใน C สำหรับรากที่สอง คุณสมบัติเดียวกันมีความเกี่ยวข้องเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดในนิพจน์รากจะถูกลบออก

พื้นที่ของที่ดินตารางวาคือ 81 dm² ค้นหาด้านข้างของเขา สมมุติว่าด้านยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ Xเดซิเมตร แล้วพื้นที่ของแปลงคือ X² ตารางเดซิเมตร เนื่องจากตามเงื่อนไข พื้นที่นี้คือ 81 dm² แล้ว X² = 81. ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนบวก จำนวนบวกที่มีกำลังสองคือ 81 คือหมายเลข 9 เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องหาจำนวน x ที่กำลังสองคือ 81 กล่าวคือ แก้สมการ X² = 81. สมการนี้มีสองราก: x 1 = 9 และ x 2 \u003d - 9 ตั้งแต่ 9² \u003d 81 และ (- 9)² \u003d 81 ทั้งตัวเลข 9 และ - 9 เรียกว่ารากที่สองของหมายเลข 81

สังเกตว่าหนึ่งในรากที่สอง X= 9 เป็นจำนวนบวก มันถูกเรียกว่ารากที่สองของเลขคณิตของ 81 และเขียนแทนด้วย √81 ดังนั้น √81 = 9

รากที่สองของเลขคณิต เอเป็นจำนวนไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ เอ.

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 และ -6 คือรากที่สองของ 36 หมายเลข 6 คือรากที่สองของเลขคณิตของ 36 เนื่องจาก 6 เป็นตัวเลขที่ไม่เป็นลบ และ6² = 36 หมายเลข -6 ไม่ใช่รากเลขคณิต

รากที่สองของเลขคณิต เอแสดงดังต่อไปนี้: √ ก.

เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองของเลขคณิต เอเรียกว่านิพจน์ราก นิพจน์ √ เออ่าน แบบนี้: รากที่สองเลขคณิตของตัวเลข ก.ตัวอย่างเช่น √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ในกรณีที่เป็นที่ชัดเจนว่า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับรากเลขคณิต พวกเขาพูดสั้น ๆ ว่า: "รากที่สองของ เอ«.

การหารากที่สองของตัวเลขเรียกว่าการหารากที่สอง การกระทำนี้เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง

จำนวนใดๆ สามารถยกกำลังสองได้ แต่ไม่ใช่ทุกจำนวนที่สามารถเป็นรากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่สองของตัวเลข - 4 หากมีรูทดังกล่าว ให้ระบุด้วยตัวอักษร Xเราจะได้ค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง x² \u003d - 4 เนื่องจากมีตัวเลขที่ไม่เป็นลบทางด้านซ้ายและจำนวนลบทางด้านขวา

นิพจน์ √ เอเข้าท่าก็ต่อเมื่อ ≥ 0. คำจำกัดความของรากที่สองสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้: √ ≥ 0, (√เอ)² = เอ. ความเท่าเทียมกัน (√ เอ)² = เอใช้ได้สำหรับ ≥ 0. ดังนั้น เพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองของจำนวนไม่เป็นลบ เอเท่ากับ ข, นั่นคือ, นั้น √ เอ =ขคุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ข ≥ 0, ข² = ก.

รากที่สองของเศษส่วน

มาคำนวณกัน โปรดทราบว่า √25 = 5, √36 = 6 และตรวจสอบว่ามีความเท่าเทียมกันหรือไม่

เพราะ และจากนั้น ความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง ดังนั้น, .

ทฤษฎีบท:ถ้า เอ≥ 0 และ ข> 0 นั่นคือรากของเศษส่วน เท่ากับรากจากตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน จะต้องพิสูจน์ว่า: และ .

ตั้งแต่ √ เอ≥0 และ √ ข> 0 แล้ว

โดยคุณสมบัติของการเพิ่มเศษส่วนยกกำลังและกำหนดรากที่สอง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว มาดูตัวอย่างกัน

คำนวณ ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ตัวอย่างที่สอง: พิสูจน์ว่า , ถ้า เอ ≤ 0, ข < 0. .

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คำนวณ .

การแปลงรากที่สอง

นำตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท. ให้มีการแสดงออก ถ้า เอ≥ 0 และ ข≥ 0 จากนั้นตามทฤษฎีบทบนรากของผลิตภัณฑ์ เราสามารถเขียนได้ว่า:

การแปลงดังกล่าวเรียกว่าการแยกตัวประกอบเครื่องหมายรูท พิจารณาตัวอย่าง

คำนวณที่ X= 2. การทดแทนโดยตรง X= 2 ในนิพจน์รุนแรงนำไปสู่การคำนวณที่ซับซ้อน การคำนวณเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากเราลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูทก่อน: ตอนนี้แทน x = 2 เราได้:

ดังนั้น เมื่อดึงตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก นิพจน์รากจะแทนผลคูณที่มีตัวประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเป็นกำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นนำทฤษฎีบทผลิตภัณฑ์รูทมาใช้และนำรากของแต่ละปัจจัยมาใช้ ลองพิจารณาตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ A = √8 + √18 - 4√2 โดยนำตัวประกอบจากใต้เครื่องหมายรากในสองเทอมแรก เราจะได้: เราเน้นว่าความเท่าเทียมกัน ใช้ได้เฉพาะเมื่อ เอ≥ 0 และ ข≥ 0. ถ้า เอ < 0, то .

บ่อยครั้งในการแก้ปัญหาเราต้องเผชิญกับจำนวนมากที่เราต้องแยกออก รากที่สอง. นักเรียนหลายคนตัดสินใจว่านี่เป็นข้อผิดพลาดและเริ่มแก้ไขตัวอย่างทั้งหมด ไม่ควรทำสิ่งนี้ไม่ว่าในกรณีใด! มีสองเหตุผลสำหรับสิ่งนี้:

รากจาก ตัวเลขใหญ่เกิดขึ้นจริงในงาน โดยเฉพาะในข้อความ
มีอัลกอริธึมที่รากเหล่านี้ถือว่าเกือบจะเป็นคำพูด

เราจะพิจารณาอัลกอริทึมนี้ในวันนี้ บางทีบางสิ่งอาจดูเหมือนไม่เข้าใจสำหรับคุณ แต่ถ้าคุณใส่ใจบทเรียนนี้ คุณจะได้อาวุธที่ทรงพลังที่สุดในการต่อต้าน รากที่สอง.

ดังนั้นอัลกอริทึม:

จำกัดรากที่ต้องการด้านบนและด้านล่างเป็นทวีคูณของ 10 ดังนั้น เราจะลดช่วงการค้นหาลงเหลือ 10 หมายเลข
จากตัวเลข 10 ตัวนี้ ให้คัดแยกตัวเลขที่ไม่สามารถรูทออกได้ เป็นผลให้ตัวเลข 1-2 จะยังคงอยู่
ยกกำลัง 1-2 ตัวเลขเหล่านี้ ตัวที่ยกกำลังสองซึ่งเท่ากับจำนวนเดิมจะเป็นราก

ก่อนนำอัลกอริธึมนี้ไปใช้ในทางปฏิบัติ มาดูแต่ละขั้นตอนกันก่อน

ข้อ จำกัด ของรูท

ก่อนอื่นเราต้องค้นหาว่ารูทของเราตั้งอยู่ระหว่างหมายเลขใด เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่ตัวเลขจะเป็นทวีคูณของสิบ:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

เราได้รับชุดตัวเลข:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ตัวเลขเหล่านี้ให้อะไรเราบ้าง? ง่ายมาก: เราได้รับขอบเขต ยกตัวอย่างเช่น หมายเลข 1296 ซึ่งอยู่ระหว่าง 900 ถึง 1600 ดังนั้น รูทต้องไม่น้อยกว่า 30 และมากกว่า 40:

[รูปคำบรรยาย]

เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่คุณสามารถหารากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น 3364:

[รูปคำบรรยาย]

ดังนั้น แทนที่จะเป็นจำนวนที่เข้าใจยาก เราได้ช่วงที่เจาะจงมากซึ่งรูทดั้งเดิมอยู่ หากต้องการจำกัดขอบเขตการค้นหาให้แคบลง ให้ไปที่ขั้นตอนที่สอง

การกำจัดตัวเลขฟุ่มเฟือยอย่างเห็นได้ชัด

ดังนั้นเราจึงมีตัวเลข 10 ตัว - ผู้สมัครสำหรับรูท เราได้รับอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องคิดซับซ้อนและคูณในคอลัมน์ ได้เวลาไปต่อแล้ว.

เชื่อหรือไม่ ตอนนี้เราจะลดจำนวนผู้สมัครเป็นสอง - และอีกครั้งโดยไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อน! ก็พอจะรู้ กฎพิเศษ. นี่คือ:

หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมขึ้นอยู่กับหลักสุดท้ายเท่านั้น หมายเลขเดิม.

กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือการดูที่หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เพียงพอแล้ว - และเราจะเข้าใจทันทีว่าตัวเลขเดิมสิ้นสุดที่ใด

มีเพียง 10 หลักเท่านั้นที่ยืนบนได้ ที่สุดท้าย. ลองหาว่าพวกมันกลายเป็นอะไรเมื่อกำลังสอง ลองดูที่ตาราง:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

ตารางนี้เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งในการคำนวณรูท อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขในบรรทัดที่สองกลายเป็นสมมาตรเมื่อเทียบกับห้า ตัวอย่างเช่น:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขสุดท้ายจะเหมือนกันในทั้งสองกรณี และนี่หมายความว่า ตัวอย่างเช่น รากของ 3364 จำเป็นต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ในทางกลับกัน เราจำข้อจำกัดจากย่อหน้าก่อนหน้าได้ เราได้รับ:

[รูปคำบรรยาย]

สี่เหลี่ยมสีแดงแสดงว่าเรายังไม่ทราบตัวเลขนี้ แต่ท้ายที่สุดแล้ว รูตอยู่ระหว่าง 50 ถึง 60 ซึ่งมีเพียงสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 2 และ 8:

[รูปคำบรรยาย]

นั่นคือทั้งหมด! จากรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเหลือเพียงสองตัวเลือก! และนี่คือกรณีที่ยากที่สุด เพราะหลักสุดท้ายสามารถเป็น 5 หรือ 0 จากนั้นผู้สมัครเพียงคนเดียวสำหรับรากจะยังคงอยู่!

การคำนวณขั้นสุดท้าย

เราจึงเหลือเลขผู้สมัคร 2 ตัว คุณรู้ได้อย่างไรว่าอันไหนเป็นรูต? คำตอบนั้นชัดเจน: ยกกำลังสองตัวเลขทั้งสอง ตัวที่ยกกำลังสองจะให้จำนวนเดิมและจะเป็นราก

ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 3364 เราพบตัวเลขสองตัวต่อไปนี้: 52 และ 58 ลองยกกำลังสอง:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364

นั่นคือทั้งหมด! ปรากฎว่ารูทคือ 58! ในเวลาเดียวกัน เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันใช้สูตรกำลังสองของผลรวมและส่วนต่าง ด้วยเหตุนี้ คุณจึงไม่ต้องคูณตัวเลขในคอลัมน์ด้วยซ้ำ! นี่เป็นอีกระดับหนึ่งของการเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณ แต่แน่นอนว่าเป็นทางเลือกที่สมบูรณ์ :)

ตัวอย่างการคำนวณรูต

ทฤษฎีเป็นสิ่งที่ดีแน่นอน แต่ขอทดสอบในทางปฏิบัติ

[รูปคำบรรยาย]

อันดับแรก มาดูกันว่าตัวเลข 576 อยู่ระหว่างตัวเลขใด:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

ทีนี้มาดูตัวเลขสุดท้ายกัน เท่ากับ 6 สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใด เฉพาะในกรณีที่รากลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 เราได้ตัวเลขสองตัว:

มันยังคงยกกำลังสองแต่ละตัวเลขและเปรียบเทียบกับต้นฉบับ:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

ยอดเยี่ยม! จตุรัสแรกกลายเป็นเท่ากับจำนวนเดิม นี่คือราก

งาน. คำนวณรากที่สอง:
[รูปคำบรรยาย]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

ลองดูตัวเลขสุดท้าย:

1369 → 9;
33; 37.

ลองยกกำลังสองมัน:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369

นี่คือคำตอบ: 37.

งาน. คำนวณรากที่สอง:
[รูปคำบรรยาย]

เราจำกัดจำนวน:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

ลองดูตัวเลขสุดท้าย:

2704 → 4;
52; 58.

ลองยกกำลังสองมัน:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

ได้คำตอบแล้ว 52 ค่าตัวที่สองไม่ต้องยกกำลังสองอีกต่อไป

งาน. คำนวณรากที่สอง:
[รูปคำบรรยาย]

เราจำกัดจำนวน:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

ลองดูตัวเลขสุดท้าย:

4225 → 5;
65.

อย่างที่คุณเห็น หลังจากขั้นตอนที่สอง เหลือเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น: 65 นี่คือรากที่ต้องการ แต่ลองยกกำลังสองแล้วตรวจสอบ:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

ทุกอย่างถูกต้อง เราเขียนคำตอบ

บทสรุป

อนิจจาไม่ดีกว่า เรามาดูเหตุผลกัน มีสองคน:

ห้ามมิให้ใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ปกติ ไม่ว่าจะเป็น GIA หรือ Unified State Examination และสำหรับการถือเครื่องคิดเลขในห้องเรียน ก็จะถูกไล่ออกจากการสอบได้อย่างง่ายดาย
อย่าเป็นเหมือนคนอเมริกันที่โง่เขลา ซึ่งไม่เหมือนราก - ไม่สามารถบวกจำนวนเฉพาะสองตัวได้ และเมื่อเห็นเศษส่วน พวกมันมักจะตีโพยตีพาย

ในบทความนี้เราจะมาแนะนำ แนวคิดของรากของตัวเลข. เราจะดำเนินการตามลำดับ: เราจะเริ่มต้นด้วยรากที่สองจากนั้นเราจะไปยังคำอธิบาย รากลูกบาศก์หลังจากนั้น เราจะสรุปแนวคิดของรูทโดยกำหนดรูทของดีกรีที่ n ในเวลาเดียวกัน เราจะแนะนำคำจำกัดความ สัญกรณ์ ให้ตัวอย่างของราก และให้คำอธิบายและความคิดเห็นที่จำเป็น

รากที่สอง, รากที่สองเลขคณิต

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความของรูทของตัวเลข และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสแควร์รูทนั้น ต้องมี . ณ จุดนี้ เรามักจะพบกำลังสองของตัวเลข - กำลังสองของตัวเลข

มาเริ่มกันที่ คำจำกัดความของรากที่สอง.

คำนิยาม

รากที่สองของ aคือจำนวนที่มีกำลังสองคือ a

เพื่อนำมา ตัวอย่างของรากที่สอง, ใช้ตัวเลขหลายตัวเช่น 5 , −0.3 , 0.3 , 0 และยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข 25 , 0.09 , 0.09 และ 0 ตามลำดับ (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 และ 0 2 =0 0=0 ) จากคำจำกัดความข้างต้น 5 คือสแควร์รูทของ 25, −0.3 และ 0.3 คือสแควร์รูทของ 0.09 และ 0 คือสแควร์รูทของศูนย์

ควรสังเกตว่าไม่ใช่สำหรับจำนวนใด ๆ ที่มีอยู่ ซึ่งกำลังสองเท่ากับ a กล่าวคือสำหรับจำนวนลบใด ๆ ไม่มี เบอร์จริง b ซึ่งกำลังสองจะเท่ากับ a อันที่จริง ความเท่าเทียมกัน a=b 2 เป็นไปไม่ได้สำหรับค่าลบ a เนื่องจาก b 2 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นค่าลบสำหรับ b ใดๆ ทางนี้, ในชุดของจำนวนจริงไม่มีรากที่สองของจำนวนลบ. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในชุดของจำนวนจริง รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้ถูกกำหนดและไม่มีความหมาย

สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเชิงตรรกะ: “มีรากที่สองของ a สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบหรือไม่” หรือไม่? คำตอบคือใช่ เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงนี้ถือได้ว่าเป็นวิธีที่สร้างสรรค์ซึ่งใช้ในการหาค่าของรากที่สอง

จากนั้นคำถามเชิงตรรกะต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น: "จำนวนรากที่สองทั้งหมดของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบที่กำหนดเป็นเท่าใด - หนึ่ง สอง สาม หรือมากกว่านั้น" นี่คือคำตอบ: ถ้า a เป็นศูนย์ รากที่สองของ 0 คือศูนย์เท่านั้น ถ้า a เป็นจำนวนบวก จำนวนหนึ่ง จำนวนของรากที่สองจากจำนวน a จะเท่ากับสอง และรากจะเป็น . มาพิสูจน์กัน

เริ่มจากกรณี a=0 กันก่อน ให้เราแสดงก่อนว่าศูนย์นั้นเป็นรากที่สองของศูนย์จริงๆ สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน 0 2 =0·0=0 และคำจำกัดความของรากที่สอง

ทีนี้มาพิสูจน์ว่า 0 เป็นรากที่สองเพียงตัวเดียวของศูนย์ ลองใช้วิธีที่ตรงกันข้ามกัน สมมติว่ามีจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ที่เป็นรากที่สองของศูนย์ จากนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข b 2 =0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากสำหรับ b ที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของนิพจน์ b 2 จะเป็นบวก เรามาขัดแย้งกัน นี่เป็นการพิสูจน์ว่า 0 เป็นรากที่สองเพียงตัวเดียวของศูนย์

มาดูกรณีที่ a เป็นจำนวนบวกกัน ด้านบนเราบอกว่ามีรากที่สองของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเสมอ ให้ b เป็นรากที่สองของ a สมมุติว่ามีตัวเลข c ซึ่งก็คือสแควร์รูทของ a ด้วย จากนั้นตามคำจำกัดความของรากที่สอง ความเท่าเทียมกัน b 2 =a และ c 2 =a นั้นถูกต้อง จากนั้นจึงเป็นไปตามนั้น b 2 −c 2 =a−a=0 แต่เนื่องจาก b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) จากนั้น (b−c) (b+c)=0 . เกิดความเท่าเทียมกันในการบังคับใช้ คุณสมบัติของการกระทำกับจำนวนจริงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 หรือ b+c=0 ดังนั้นตัวเลข b และ c มีค่าเท่ากันหรือตรงกันข้าม

หากเราคิดว่ามีตัวเลข d ซึ่งเป็นรากที่สองของตัวเลข a อยู่แล้ว โดยการให้เหตุผลแบบเดียวกับที่ให้ไว้แล้ว จะพิสูจน์ได้ว่า d เท่ากับจำนวน b หรือหมายเลข c ดังนั้น จำนวนรากที่สองของจำนวนบวกคือ 2 และรากที่สองเป็นตัวเลขตรงข้าม

เพื่อความสะดวกในการทำงานกับรากที่สอง รากเชิงลบแยกออกจากค่าบวก เพื่อการนี้จึงขอแนะนำ นิยามของรากที่สองเลขคณิต.

คำนิยาม

รากที่สองของเลขคณิตของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ aเป็นจำนวนไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a

สำหรับสแควร์รูทเลขคณิตของจำนวน a จะยอมรับสัญกรณ์ เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์รากที่สอง เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายของอนุมูล ดังนั้นคุณจึงได้ยินทั้ง "ราก" และ "ราก" ซึ่งหมายถึงวัตถุเดียวกันได้บางส่วน

ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองของเลขคณิตเรียกว่า หมายเลขรากและนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท - การแสดงออกที่รุนแรงในขณะที่คำว่า "จำนวนราก" มักจะถูกแทนที่ด้วย "นิพจน์ราก" ตัวอย่างเช่น ในสัญกรณ์ ตัวเลข 151 เป็นจำนวนราก และในสัญกรณ์ นิพจน์ a คือนิพจน์ราก

เมื่ออ่าน คำว่า "เลขคณิต" มักถูกละไว้ ตัวอย่างเช่น รายการจะถูกอ่านว่า "รากที่สองของเจ็ดจุดยี่สิบเก้าร้อย" คำว่า "เลขคณิต" จะออกเสียงก็ต่อเมื่อพวกเขาต้องการเน้นว่าเรากำลังพูดถึงรากที่สองที่เป็นบวกของตัวเลข

ในแง่ของสัญกรณ์ที่แนะนำ มันตามมาจากนิยามของสแควร์รูทเลขคณิตว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a

รากที่สองของจำนวนบวก a เขียนโดยใช้เครื่องหมายกรณฑ์เลขคณิตเป็น และ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 13 คือ และ รากที่สองของเลขศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือ สำหรับจำนวนลบ a เราจะไม่แนบความหมายกับรายการจนกว่าเราจะศึกษา ตัวเลขเชิงซ้อน. ตัวอย่างเช่น การแสดงออกและมีความหมาย

ตามคำจำกัดความของรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ

โดยสรุปของส่วนย่อยนี้ เราสังเกตว่ารากที่สองของจำนวน a เป็นคำตอบของรูปแบบ x 2 =a เทียบกับตัวแปร x

รากที่สามของ

ความหมายของรากที่สามของจำนวน a ให้มาในลักษณะเดียวกับนิยามของรากที่สอง มันขึ้นอยู่กับแนวคิดของลูกบาศก์ของตัวเลขเท่านั้น ไม่ใช่กำลังสอง

คำนิยาม

รากที่สามของ aเรียกตัวเลขที่มีลูกบาศก์เท่ากับ a

มาเอากัน ตัวอย่าง รากลูกบาศก์ . ในการทำเช่นนี้ ให้นำตัวเลขหลายๆ ตัว เช่น 7 , 0 , −2/3 และลูกบาศก์: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สาม เราสามารถพูดได้ว่าหมายเลข 7 คือรากที่สามของ 343, 0 คือรากที่สามของศูนย์ และ −2/3 คือรากที่สามของ −8/27

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ารากที่สามของจำนวน a ซึ่งแตกต่างจากรากที่สองซึ่งมีอยู่เสมอ และไม่เพียงแต่สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น แต่ยังสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ด้วย ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีเดียวกับที่เรากล่าวถึงเมื่อศึกษารากที่สอง

ยิ่งกว่านั้น มีเพียงรากที่สามของจำนวนที่กำหนด a ให้เราพิสูจน์การยืนยันครั้งสุดท้าย ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามกรณีแยกกัน: a คือจำนวนบวก, a=0 และ a คือจำนวนลบ

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าสำหรับ a บวก รากที่สามของ a ไม่สามารถเป็นค่าลบหรือศูนย์ได้ แน่นอน ให้ b เป็นรากที่สามของ a จากนั้นตามคำจำกัดความ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ b 3 =a เป็นที่ชัดเจนว่าความเท่าเทียมกันนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับลบ b และสำหรับ b=0 เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ b 3 =b·b·b จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ตามลำดับ รากที่สามของจำนวนบวก a เป็นจำนวนบวก

ทีนี้ สมมติว่านอกเหนือจากจำนวน b แล้ว มีรูทลูกบาศก์อีกหนึ่งตัวจากตัวเลข a มาแทนกัน c แล้ว c 3 =a ดังนั้น b 3 −c 3 =a−a=0 , และ b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(นี่คือสูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์) ดังนั้น (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . ความเท่าเทียมกันที่ได้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ b−c=0 หรือ b 2 +b c+c 2 =0 จากความเท่าเทียมกันแรก เรามี b=c และความเท่าเทียมกันที่สองไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายเป็นจำนวนบวกสำหรับจำนวนบวกใดๆ b และ c เป็นผลรวมของเทอมบวกสามเทอม b 2 , b c และ c 2 สิ่งนี้พิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามของจำนวนบวก a

สำหรับ a=0 รากที่สามของ a จะเป็นศูนย์ อันที่จริง หากเราคิดว่ามีตัวเลข b ซึ่งเป็นรากที่สามที่ไม่ใช่ศูนย์ของศูนย์ ดังนั้นความเสมอภาค b 3 =0 จะต้องคงอยู่ ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ b=0 เท่านั้น

สำหรับค่าลบ a เราสามารถโต้แย้งได้เหมือนกับกรณีของค่าบวก a อันดับแรก เราแสดงว่ารากที่สามของจำนวนลบไม่สามารถเท่ากับจำนวนบวกหรือศูนย์ ประการที่สอง เราคิดว่ามีรากที่สามของจำนวนลบและแสดงว่าจำเป็นต้องตรงกับอันแรก

ดังนั้น จะมีรากที่สามของจำนวนจริงที่กำหนด a เสมอ และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ให้ ความหมายของรากที่สามเลขคณิต.

คำนิยาม

รากที่สามของเลขคณิตไม่เป็นลบ aเรียกตัวเลขที่ไม่เป็นลบซึ่งมีลูกบาศก์เท่ากับ a

รากที่สามเลขคณิตของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a แสดงเป็น , เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายของรากที่สามของเลขคณิต เลข 3 ในสัญลักษณ์นี้เรียกว่า ตัวบ่งชี้ราก. ตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทคือ หมายเลขราก, นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตคือ การแสดงออกที่รุนแรง.

แม้ว่ารากที่สามของเลขคณิตถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ a เท่านั้น แต่ยังสะดวกที่จะใช้รายการที่ตัวเลขติดลบอยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สามของเลขคณิต เราจะเข้าใจพวกเขาดังนี้: โดยที่ a เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น, .

เราจะพูดถึงคุณสมบัติของรากที่สามในบทความคุณสมบัติทั่วไปของราก

การคำนวณค่าของรูทคิวบ์เรียกว่าการแยกรูทคิวบ์ การดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทความการแยกรูท: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เพื่อสรุปส่วนย่อยนี้ เรากล่าวว่ารากที่สามของ a เป็นคำตอบของรูปแบบ x 3 =a

รากที่ n รากเลขคณิตของ n

เราสรุปแนวคิดของการรูตจากตัวเลข - เราแนะนำ การกำหนดรากที่ nสำหรับ น.

คำนิยาม

รากที่ n ของ aเป็นจำนวนที่ยกกำลัง n เท่ากับ a

จากคำจำกัดความนี้ เป็นที่ชัดเจนว่ารากของดีกรีแรกจากจำนวน a คือจำนวน a เอง เนื่องจากเมื่อศึกษาดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ เราจึงเอา 1 = a

ข้างต้น เราได้พิจารณากรณีพิเศษของรูทของดีกรีที่ n สำหรับ n=2 และ n=3 - รากที่สองและรากที่สาม นั่นคือ รากที่สองคือรากของดีกรีที่สอง และรากที่สามคือรูตของดีกรีที่สาม หากต้องการศึกษารากของระดับที่ n สำหรับ n=4, 5, 6, ... จะสะดวกที่จะแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - รากขององศาคู่ (นั่นคือสำหรับ n=4, 6 , 8, ...), กลุ่มที่สอง - รูต องศาคี่ (นั่นคือสำหรับ n=5, 7, 9, ... ) นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ารากขององศาคู่จะคล้ายกับรากที่สอง และรากขององศาคี่จะคล้ายกับรากที่สาม มาจัดการกับพวกเขาในทางกลับกัน

เราเริ่มต้นด้วยรากที่มีพลัง เลขคู่ 4, 6, 8, ... ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว มันคล้ายกับรากที่สองของ a นั่นคือ รากของดีกรีคู่ใดๆ จากจำนวน a จะมีอยู่สำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ถ้า a=0 รากของ a จะไม่ซ้ำกันและเท่ากับศูนย์ และถ้า a>0 แสดงว่ามีรากที่มีดีกรีคู่จากจำนวน a สองตัว และเป็นตัวเลขตรงข้ามกัน

ให้เราปรับการยืนยันครั้งสุดท้าย ให้ b เป็นรากของดีกรีคู่ (เราแสดงว่าเป็น 2 ม. โดยที่ m เป็นบางส่วน ตัวเลขธรรมชาติ) จากหมายเลข a . สมมติว่ามีตัวเลข c - รูท a อีก 2 ม. จากนั้น b 2 m −c 2 m =a−a=0 . แต่เรารู้รูปแบบ b 2 m − c 2 m = (b - c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)จากนั้น (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. จากความเท่าเทียมกันนี้จะตามมาว่า b−c=0 , หรือ b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ความเท่าเทียมกันสองอันแรกหมายความว่าตัวเลข b และ c เท่ากัน หรือ b และ c อยู่ตรงข้ามกัน และความเท่าเทียมกันสุดท้ายใช้ได้กับ b=c=0 เท่านั้น เนื่องจากด้านซ้ายมีนิพจน์ที่ไม่เป็นค่าลบสำหรับ b และ c เป็นผลรวมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ

สำหรับรากของดีกรีที่ n สำหรับ n คี่ จะคล้ายกับรากที่สาม นั่นคือ รากของระดับคี่ใดๆ จากจำนวน a จะมีอยู่สำหรับจำนวนจริง a และสำหรับจำนวนที่กำหนด a จะเป็นค่าเฉพาะ

ความเป็นเอกลักษณ์ของรากของระดับคี่ 2·m+1 จากจำนวน a ได้รับการพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบกับการพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามจาก a ที่นี่เท่านั้น แทนความเสมอภาค a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m-1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 ม.). นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็น b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))). ตัวอย่างเช่น สำหรับ m=2 เรามี b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). เมื่อ a และ b เป็นค่าบวกหรือค่าลบทั้งคู่ ผลคูณของค่านั้นเป็นจำนวนบวก ดังนั้นนิพจน์ b 2 +c 2 +b·c ซึ่งอยู่ในวงเล็บของระดับสูงสุดของการซ้อน จะเป็นค่าบวกเป็นผลบวกของผลบวก ตัวเลข ตอนนี้ ย้ายไปยังนิพจน์ในวงเล็บของระดับการซ้อนก่อนหน้าอย่างต่อเนื่อง เราตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์เหล่านี้เป็นค่าบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวก เป็นผลให้เราได้รับว่าความเท่าเทียมกัน b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m-1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0เป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 นั่นคือเมื่อจำนวน b เท่ากับจำนวน c

ได้เวลาจัดการกับสัญกรณ์ของรากของดีกรีที่ n สำหรับสิ่งนี้มันจะได้รับ การหารากเลขคณิตของดีกรีที่ n.

คำนิยาม

รากเลขคณิตของดีกรีที่ n ของจำนวนไม่เป็นลบ aเรียกจำนวนที่ไม่เป็นลบ ยกกำลังที่ n เท่ากับ a