ตัวอย่างโซลูชันฟังก์ชันกำลังสอง 9. ฟังก์ชันกำลังสองและกราฟ

หมายเหตุสำคัญ!
1. ถ้าคุณเห็นอักษรย่อแทนสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีทำในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่มีประโยชน์สำหรับ

เพื่อให้เข้าใจว่าจะเขียนอะไรในที่นี้ คุณต้องรู้ก่อนว่าฟังก์ชันกำลังสองคืออะไรและกินกับอะไร หากคุณคิดว่าตัวเองเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านฟังก์ชันกำลังสอง ยินดีต้อนรับ แต่ถ้าไม่ใช่ คุณควรอ่านหัวข้อ

เริ่มจากสิ่งเล็กๆ ก่อน เช็ค:

1. ฟังก์ชันกำลังสองมีลักษณะอย่างไรในรูปแบบทั่วไป (สูตร)?
2. แผนภูมิชื่ออะไร ฟังก์ชันกำลังสอง?
3. สัมประสิทธิ์นำมีผลต่อกราฟของฟังก์ชันกำลังสองอย่างไร

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้ทันที อ่านต่อ หากคำถามอย่างน้อยหนึ่งข้อทำให้เกิดปัญหา ให้ไปที่

ดังนั้น คุณรู้อยู่แล้วว่าจะจัดการกับฟังก์ชันกำลังสอง วิเคราะห์กราฟของมัน และสร้างกราฟตามจุดได้อย่างไร

นี่คือ: .

มาดูกันว่าพวกเขาทำอะไรกันบ้าง อัตราต่อรอง.

1. ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสมีหน้าที่รับผิดชอบต่อ "ความชัน" ของพาราโบลาหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือความกว้าง: ยิ่งพาราโบลามีขนาดใหญ่ขึ้น (สูงชัน) แคบลงและยิ่งเล็กลง พาราโบลาที่กว้างกว่า (ประจบ)
2. ระยะอิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y
3. และสัมประสิทธิ์มีส่วนรับผิดชอบต่อการเคลื่อนตัวของพาราโบลาจากจุดศูนย์กลางของพิกัด นี่คือข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ตอนนี้

ทำไมเราถึงเริ่มสร้างพาราโบลาเสมอ? อะไรคือจุดแตกต่างของเธอ?

นี้ จุดยอด. และจะหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างไร จำได้ไหม?

abscissa ถูกค้นหาโดยสูตรต่อไปนี้:

ชอบสิ่งนี้: อะไร มากกว่า, หัวข้อ ไปทางซ้ายด้านบนของพาราโบลาเคลื่อนที่

พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยการแทนที่ลงในฟังก์ชัน:

แทนที่ตัวเองและนับ เกิดอะไรขึ้น?

หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นมากที่สุด คุณจะได้รับ:

ปรากฎว่ายิ่งเ โมดูโล, หัวข้อ ข้างต้นจะ จุดยอดพาราโบลา

สุดท้าย มาต่อกันที่การพล็อต
วิธีที่ง่ายที่สุดคือสร้างพาราโบลาโดยเริ่มจากด้านบน

ตัวอย่าง:

พล็อตฟังก์ชัน

สารละลาย:

อันดับแรก ให้นิยามสัมประสิทธิ์:

ทีนี้มาคำนวณพิกัดจุดยอดกัน:

และตอนนี้ จำไว้ว่า พาราโบลาทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเหมือนกันจะมีลักษณะเหมือนกัน ดังนั้น หากเราสร้างพาราโบลาและย้ายจุดยอดของมันไปยังจุดหนึ่ง เราจะได้กราฟที่ต้องการ:

ง่ายใช่มั้ย?

เหลือเพียงคำถามเดียว: วิธีการวาดพาราโบลาอย่างรวดเร็ว? แม้ว่าเราจะวาดพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด เราก็ยังต้องสร้างมันทีละจุดซึ่งยาวและไม่สะดวก แต่พาราโบลาทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกัน อาจมีวิธีเพิ่มความเร็วในการวาดหรือไม่

ตอนที่ฉันอยู่ที่โรงเรียน ครูสอนคณิตศาสตร์บอกให้ทุกคนตัดกระดาษลังรูปพาราโบลาออก เพื่อให้สามารถวาดได้อย่างรวดเร็ว แต่คุณจะไม่สามารถเดินไปทุกที่ด้วยลายฉลุ และพวกเขาจะไม่ได้รับอนุญาตให้นำไปสอบ ดังนั้นเราจะไม่ใช้วัตถุแปลกปลอมแต่เราจะมองหารูปแบบ

พิจารณาพาราโบลาที่ง่ายที่สุด มาสร้างมันด้วยคะแนนกันเถอะ:

กฎของที่นี่ก็คือ หากเราเคลื่อนจากด้านบนไปทางขวา (ตามแนวแกน) ไปและขึ้น (ตามแนวแกน) ไปถึงจุดนั้น เราจะไปยังจุดของพาราโบลา เพิ่มเติม: หากจากจุดนี้เราเลื่อนไปทางขวาเรื่อยๆ เราจะไปถึงจุดพาราโบลาอีกครั้ง ถัดไป: ขวาและบน อะไรต่อไป? ขวาและขึ้นบน และอื่นๆ: เลื่อนไปทางขวาแล้วไปที่ถัดไป เลขคี่ขึ้น. จากนั้นเราทำเช่นเดียวกันกับกิ่งด้านซ้าย (ในที่สุดพาราโบลามีความสมมาตรนั่นคือกิ่งก้านของมันมีลักษณะเหมือนกัน):

เยี่ยมมาก สิ่งนี้จะช่วยสร้างพาราโบลาใดๆ จากจุดยอดที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ ตัวอย่างเช่น เราได้เรียนรู้ว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดหนึ่ง สร้าง (ด้วยตัวคุณเองบนกระดาษ) พาราโบลานี้

สร้าง?

มันควรจะเป็นเช่นนี้:

ตอนนี้เราเชื่อมต่อคะแนนที่ได้รับ:

นั่นคือทั้งหมดที่

ตกลง ตอนนี้สร้างเฉพาะพาราโบลาด้วย?

แน่นอนไม่ ทีนี้ลองหาว่าจะทำอย่างไรกับพวกมันถ้า

ลองพิจารณาบางกรณีทั่วไป

เยี่ยมมาก เราได้เรียนวิธีวาดพาราโบลาแล้ว ทีนี้มาฝึกฟังก์ชันจริงกัน

ดังนั้น ให้วาดกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว:

คำตอบ:

3. ด้านบน: .

คุณจำได้ไหมว่าจะทำอย่างไรถ้าค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสน้อยกว่า?

เราดูที่ตัวส่วนของเศษส่วน: มันเท่ากัน ดังนั้นเราจะย้ายดังนี้:

• ขวาขึ้น
• ขวาขึ้น
• ขวาขึ้น

และทางซ้ายด้วย:

4. ด้านบน: .

โอ้จะทำอย่างไรกับมัน? จะวัดเซลล์ได้อย่างไรว่าจุดยอดอยู่ระหว่างเส้น?..

และเราโกง ขั้นแรก ให้วาดพาราโบลาก่อน แล้วจึงย้ายจุดยอดไปยังจุดหนึ่ง ไม่เอาน่า มาทำให้มันยุ่งยากกว่านี้: มาวาดพาราโบลากันเถอะ ย้ายแกน:- บน ลง, a - on ขวา:

เทคนิคนี้สะดวกมากในกรณีของพาราโบลา จำไว้

ผมขอเตือนคุณว่าเราสามารถแสดงฟังก์ชันในรูปแบบนี้:

ตัวอย่างเช่น: .

สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง?

ความจริงก็คือจำนวนที่ลบออกจากวงเล็บ () คือ abscissa ของจุดยอดของพาราโบลาและคำที่อยู่นอกวงเล็บ () คือลำดับของจุดยอด

ซึ่งหมายความว่าเมื่อสร้างพาราโบลาแล้ว คุณต้อง ย้ายแกนไปทางซ้ายและแกนลง

ตัวอย่าง: ลองพล็อตกราฟฟังก์ชัน

มาเลือกสี่เหลี่ยมเต็มกัน:

หมายเลขอะไร หักออกจากในวงเล็บ? สิ่งนี้ (และไม่ใช่วิธีที่คุณจะตัดสินใจได้โดยไม่ต้องคิด)

ดังนั้นเราจึงสร้างพาราโบลา:

ตอนนี้เราเลื่อนแกนลง นั่นคือ ขึ้น:

และตอนนี้ - ทางซ้ายนั่นคือทางขวา:

นั่นคือทั้งหมดที่ สิ่งนี้เหมือนกับการย้ายพาราโบลาที่มีจุดยอดจากจุดกำเนิดไปยังจุดหนึ่ง มีเพียงแกนตรงเท่านั้นที่จะเคลื่อนที่ได้ง่ายกว่าพาราโบลาคดเคี้ยวมาก

ตามปกติแล้ว ตัวฉันเอง:

และอย่าลืมลบเพลาเก่าด้วยยางลบ!

ฉันเป็น คำตอบเพื่อตรวจสอบฉันจะเขียนพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาเหล่านี้ให้คุณ:

ทุกอย่างพอดีหรือไม่?

ถ้าใช่แสดงว่าคุณยอดเยี่ยมมาก! การรู้วิธีจัดการกับพาราโบลาเป็นสิ่งสำคัญและมีประโยชน์มาก และที่นี่เราพบว่ามันไม่ได้ยากเลย

การทำกราฟฟังก์ชันกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม โดยที่ และ เป็นตัวเลขใดๆ (สัมประสิทธิ์) เป็นสมาชิกอิสระ

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

ด้านบนของพาราโบลา:
, เช่น. ยิ่ง \displaystyle b ใหญ่เท่าใด ด้านบนสุดของพาราโบลาจะเคลื่อนที่ได้มากเท่านั้น
แทนที่ในฟังก์ชันและรับ:
, เช่น. ยิ่ง \displaystyle b modulo ยิ่งสูง ด้านบนสุดของพาราโบลาจะเป็น

ระยะอิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้ยังไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ สอบผ่านสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมัน นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่ทราบ...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ปัญหา (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดอย่างโง่เขลาที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

ทุกคนรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่จะใช้งานอย่างไรให้ถูกต้อง มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ เราจะเข้าใจด้านล่าง

อันดับแรก ให้เราแสดงแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมอบให้กับเทอมนี้ พิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เราเรียนรู้คุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้ มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กัน มาเรียนรู้วิธีหาค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

เราจะหาคำตอบว่า: วิธีสร้างเส้นโค้งที่ต้องการอย่างถูกต้องตามสมการ สิ่งที่คุณต้องให้ความสนใจ มาดูหลัก การใช้งานจริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไรและมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งอันดับสองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลา Canonical

รูปแสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ส่วนปลาย ทิศทางของฟังก์ชันที่วาดกิ่งก้านตามแกน abscissa

สมการบัญญัติคือ:

y 2 \u003d 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตเขียนต่างกัน:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่จดจำได้: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและจุดศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน x

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน - (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนสุดของบรรทัด

วิธีการกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

ในการหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องระบุเครื่องหมายข้างหน้าพารามิเตอร์ตัวแรก นิพจน์พีชคณิต. หาก ˃ 0 จะถูกชี้ขึ้นด้านบน อย่างอื่นลง.

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมาย แน่นอนคุณสามารถเปิดพิเศษ เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าที่จะสามารถทำได้ด้วยตัวเอง

จะกำหนดได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษ. เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องมองหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหายอด:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 ลองหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดดังกล่าว:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้พิกัดของจุดยอด (-2, -41)

ออฟเซ็ตพาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ที่สองและสามคือ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ตามแนว abscissa หรือแกนประสาน เกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับการเปลี่ยนเส้นบนเครื่องบินจะดำเนินการตามจำนวนหน่วยซึ่งเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

ซึ่งหมายความว่ามุมมองแบบคลาสสิกของเส้นโค้งจะเปลี่ยนทีละ 2 ส่วนตามแกน abscissa และ 3 ตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีการวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณสามารถดูสิ่งต่อไปนี้:

1. จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่าเท่ากับ c
2. ทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะสมมาตรตามส่วนปลายหลักของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ เราสามารถหาทางแยกที่มี OX ได้ด้วยการรู้จัก discriminant (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c)

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำให้นิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์

การปรากฏตัวของรากพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

• D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D \u003d 0 จากนั้น x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลา:

• กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน;
• ค้นหาพิกัดของจุดยอด
• หาจุดตัดกับแกน y
• หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

รับฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึม:

1. a \u003d 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้น
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ตัดกับแกน y ที่ค่า y = 4;
4. ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D = 25 - 16 = 9;
5. กำลังมองหาราก

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

ตัวอย่าง 2

สำหรับฟังก์ชัน y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมข้างต้น:

1. a \u003d 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้น
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ด้วยแกน y จะตัดกันที่ค่า y \u003d -1;
4. ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. ดังนั้นราก:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

จากคะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

Directrix, ความเยื้องศูนย์กลาง, จุดโฟกัสของพาราโบลา

ตามสมการบัญญัติ โฟกัส F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB เป็นไดเรกทริกซ์ (ชนิดของคอร์ดพาราโบลาที่มีความยาวระดับหนึ่ง) สมการของเธอคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราพิจารณาหัวข้อที่นักเรียนศึกษาใน มัธยม. ตอนนี้ คุณก็รู้ เมื่อดูที่ฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีหาจุดยอดของมัน ในทิศทางที่กิ่งก้านจะถูกชี้นำ ไม่ว่าจะมีการออฟเซ็ตตามแกน และมีอัลกอริธึมการก่อสร้าง คุณสามารถวาดกราฟของมันได้