วิธีหาทางแยกและสหภาพ การหาจุดตัดและการรวมตัวของเซตตัวเลข

ข้าม สอง ชุด เรียกว่าชุดของทั้งหมด องค์ประกอบทั่วไปชุดเหล่านี้

ตัวอย่าง :
มาลองหาตัวเลข 12 และ 18 กัน ค้นหาตัวหารโดยระบุตัวหารทั้งชุดตามลำดับด้วยตัวอักษร A และ B:
เอ \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18)

เราจะเห็นว่าตัวเลข 12 และ 18 มีตัวหารร่วม: 1, 2, 3, 6 ให้แทนด้วยตัวอักษร C:
C = (1, 2, 3, 6)

เซต C คือจุดตัดของเซต A และ B พวกมันเขียนแบบนี้:
เอ ∩ข=ค.

ถ้าสองเซตไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน จุดตัดของเซตเหล่านี้คือ ว่างเปล่า เยอะ.
ชุดว่างจะแสดงด้วยเครื่องหมาย Ø และใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

X ∩Y = Ø

สมาคม สองชุด คือชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น กลับไปที่ตัวเลข 12 และ 18 และเซตขององค์ประกอบ A และ B ก่อนอื่น เราเขียนองค์ประกอบของเซต A จากนั้นเราเพิ่มองค์ประกอบเหล่านั้นของเซต B ที่ไม่ได้อยู่ในเซต A. เราได้เซตขององค์ประกอบที่ A และ B มีเหมือนกัน มาแทนด้วยตัวอักษร D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18)

เซต D คือการรวมกันของเซต A และ B เขียนแบบนี้:

ด=อายู ข.

การดำเนินการหลักที่ดำเนินการในชุดคือ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (สมาคม) การคูณ (สี่แยก) และ การลบ . การดำเนินการเหล่านี้ตามที่เราเห็นในภายหลังนั้นไม่เหมือนกับการดำเนินการที่มีชื่อเดียวกันกับตัวเลข

คำนิยาม : สมาคม(หรือผลรวม) ของสองชุด A และ B เป็นชุดที่มีองค์ประกอบดังกล่าวทั้งหมดและเฉพาะที่เป็นองค์ประกอบของชุดเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งชุด การรวมกันของเซต A และ B แสดงเป็น A  B

คำจำกัดความนี้หมายความว่าการเพิ่มชุด A และ B เป็นการรวมกันขององค์ประกอบทั้งหมดในชุดเดียว A  B หากองค์ประกอบเดียวกันอยู่ในทั้งสองชุด องค์ประกอบเหล่านี้จะเข้าสู่สหภาพเพียงครั้งเดียว

การรวมกันของสามชุดขึ้นไปถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

คำนิยาม : ข้าม(หรือการคูณ) ของสองชุด A และ B เป็นชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะที่เป็นของชุด A และชุด B ในเวลาเดียวกัน จุดตัดของเซต A และ B แสดงเป็น A  B

จุดตัดของชุดสามชุดขึ้นไปถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

คำนิยาม : ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะสมาชิกของเซต A ที่ไม่อยู่ในเซต B ความแตกต่างของเซต A และ B จะแสดงเป็น A \ B การดำเนินการโดยที่ผลต่างของเซต พบว่าเรียกว่าการลบ

ถ้า B  A ผลต่าง A \ B จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มของเซต B กับเซต A ถ้าเซต B เป็นสับเซตของเซตสากล U คอมพลีเมนต์ของ B ถึง U จะถูกแทน นั่นคือ = ยู\บี

การออกกำลังกาย :

พิจารณาสามชุด นู๋={0,2,4,5,6,7}, เอ็ม=(1,3,5,7,9) และ พี=(1,3,9,11). หา

อา= นู๋  เอ็ม
B=N เอ็ม
C=นู๋ พี

ตอบว่าการดำเนินการใดในชุดที่กำหนดควรใช้เพื่อให้ได้ชุดที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ที่ให้ไว้: แต่- มากมาย คณาจารย์, ที่– นักเรียนจำนวนมากที่มีหนี้สินทางวิชาการ กำหนด จาก- นักเรียนที่ประสบความสำเร็จจำนวนมากของคณะ
ที่ให้ไว้: แต่- ชุดนักเรียนดีเด่นของคณะ ที่- นักเรียนจำนวนมากที่ไม่มีหนี้สินทางวิชาการ จากเป็นชุดของนักเรียนที่ประสบความสำเร็จอย่างน้อยหนึ่งสามคน กำหนด ดี- คณาจารย์จำนวนมากที่มีเวลาโดยไม่มีสามเท่า
ที่ให้ไว้: ยูเป็นชุดของนักเรียนทุกคนในกลุ่มศึกษา แต่- นักเรียนกลุ่มนี้จำนวนมากที่ได้รับหน่วยกิตวิชาพลศึกษา ที่- นักเรียนหลายคนในกลุ่มเดียวกันที่ผ่านการทดสอบในประวัติศาสตร์ของปิตุภูมิได้สำเร็จ กำหนด จากเป็นกลุ่มนักศึกษากลุ่มเดียวกันที่เก่งทั้งสองสาขาวิชา ดี– ชุดนักเรียนกลุ่มเดียวกันที่ “สอบตก” อย่างน้อยหนึ่งชุด

ยูเนี่ยนและคุณสมบัติทางแยกของเซต

จากคำจำกัดความของยูเนียนและจุดตัดของเซต คุณสมบัติของการดำเนินการเหล่านี้ตามซึ่งนำเสนอในรูปแบบของความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับชุดใด ๆ อา , บี และ จาก .

อา  บี = บี  อา - การสับเปลี่ยนของสหภาพ;

อา  บี = บี  อา - การสับเปลี่ยนของทางแยก

อา  (บี  จาก ) = (อา  บี )  จาก - สมาคมสมาคม;

อา  (บี  จาก ) = (อา  บี )  จาก - การเชื่อมโยงกันของสี่แยก

อา  (บี  จาก ) = (อา  บี )  (อา  จาก) - การกระจายของทางแยกที่เกี่ยวกับสหภาพ;

อา  (บี  จาก ) = (อา  บี )  (อา  จาก) - การกระจายของสหภาพที่เกี่ยวกับสี่แยก;

กฎหมายการดูดซึม:

อา  อา = อา

อา  อา = อา

อา  Ø = อา

อา  Ø = Ø

อา  ยู = ยู

อา  ยู = อา

ควรสังเกตว่าความแตกต่างไม่มีคุณสมบัติของการสลับสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงนั่นคือ อา \ บี ≠ บี \ อา และ อา \ (บี \ จาก ) ≠ (อา \ บี ) \ จาก . สามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยการสร้างไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์

ชุด การดำเนินงานในชุด
ตั้งค่าการแสดงผล ตั้งค่าพลังงาน

ฉันยินดีต้อนรับคุณสู่บทเรียนแรกเกี่ยวกับพีชคณิตระดับสูงซึ่งปรากฏ ... ในวันครบรอบปีที่ห้าของไซต์หลังจากที่ฉันสร้างบทความทางคณิตศาสตร์มากกว่า 150 รายการแล้วและเนื้อหาของฉันก็เริ่มเป็นรูปเป็นร่างในหลักสูตรที่เสร็จสมบูรณ์ . อย่างไรก็ตามฉันหวังว่าฉันจะไม่สาย - นักเรียนจำนวนมากเริ่มเจาะลึกการบรรยายเฉพาะสำหรับการสอบของรัฐ =)

หลักสูตรของมหาวิทยาลัย vyshmat มีพื้นฐานมาจากสามเสาหลัก:

– การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ขีดจำกัด, อนุพันธ์เป็นต้น)

– และสุดท้ายในฤดูกาล 2015/16 ปีการศึกษาเปิดด้วยบทเรียน พีชคณิตสำหรับหุ่น, องค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์ซึ่งเราจะวิเคราะห์พื้นฐานของส่วนนี้ และทำความคุ้นเคยกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและสัญกรณ์ทั่วไป ฉันต้องบอกว่าในบทความอื่น ๆ ฉันไม่ได้ละเมิด "squiggles" อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงสไตล์ และแน่นอน พวกเขาจำเป็นต้องรับรู้ในทุกสถานะ =) ฉันแจ้งให้ผู้อ่านใหม่ทราบว่าบทเรียนของฉันเป็นแบบฝึกปฏิบัติ และเนื้อหาต่อไปนี้จะนำเสนอในแนวนี้ สำหรับข้อมูลเชิงวิชาการที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดดูที่หนังสือเรียน ไป:

เยอะ. ตั้งค่าตัวอย่าง

เซตเป็นแนวคิดพื้นฐาน ไม่ใช่แค่คณิตศาสตร์เท่านั้น แต่รวมถึงโลกทั้งใบด้วย หยิบสิ่งของใด ๆ ในมือของคุณตอนนี้ ที่นี่คุณมีชุดที่ประกอบด้วยหนึ่งองค์ประกอบ

ที่ ความหมายกว้าง, ชุดคือชุดของวัตถุ (องค์ประกอบ) ที่เข้าใจโดยรวม(ตามสัญญาณ เกณฑ์ หรือสถานการณ์บางอย่าง) นอกจากนี้ สิ่งเหล่านี้ไม่เพียงแต่เป็นวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวอักษร ตัวเลข ทฤษฎีบท ความคิด อารมณ์ ฯลฯ

เซตมักจะเขียนแทนด้วยขนาดใหญ่ ด้วยอักษรละติน (เป็นตัวเลือกพร้อมตัวห้อย: ฯลฯ )และองค์ประกอบของมันถูกเขียนด้วยวงเล็บปีกกา เช่น:

- ชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซีย;
- เยอะ ตัวเลขธรรมชาติ;

ถึงเวลาทำความรู้จักกันสักหน่อยแล้ว:
– นักเรียนแถวที่ 1 หลายคน

… ฉันดีใจที่ได้เห็นใบหน้าที่จริงจังและตั้งใจของคุณ =)

ชุดและ are สุดท้าย(ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด) และเซตเป็นตัวอย่าง ไม่มีที่สิ้นสุดชุด นอกจากนี้ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติที่เรียกว่า ชุดเปล่า:

เป็นเซตที่ไม่มีองค์ประกอบใดๆ

ตัวอย่างที่คุณทราบดี - ชุดในการสอบมักจะว่างเปล่า =)

สมาชิกขององค์ประกอบในชุดจะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ ตัวอย่างเช่น:

- ตัวอักษร "เป็น" เป็นของชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซีย
- ตัวอักษร "เบต้า" ไม่เป็นของชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซีย
– เลข 5 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ
- แต่หมายเลข 5.5 ไม่มีอีกแล้ว
- โวลเดอมาร์ไม่ได้นั่งแถวแรก (และยิ่งไปกว่านั้น ไม่ได้อยู่ในชุดหรือ =))

ในเชิงนามธรรมและไม่ใช่พีชคณิต องค์ประกอบของเซตจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก และตามความเป็นจริงของการเป็นเจ้าของถูกวาดขึ้นในรูปแบบต่อไปนี้:

– องค์ประกอบเป็นของชุด

ชุดข้างต้นเขียนไว้ โอนโดยตรงองค์ประกอบ แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียว หลายชุดถูกกำหนดไว้อย่างสะดวกโดยใช้some เข้าสู่ระบบ (ส)ซึ่งมีอยู่ในตัว กับองค์ประกอบทั้งหมดของมัน. ตัวอย่างเช่น:

คือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่า 100

จดจำ: แท่งแนวตั้งยาวแสดงถึงการหมุนเวียนทางวาจา "ซึ่ง" "เช่นนั้น" ค่อนข้างบ่อย มีการใช้เครื่องหมายทวิภาคแทน: - ลองอ่านรายการอย่างเป็นทางการมากขึ้น: "เซตของธาตุที่เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น » . ทำได้ดี!

ชุดนี้สามารถเขียนได้โดยการแจงนับโดยตรง:

ตัวอย่างเพิ่มเติม:
- และหากมีนักเรียนค่อนข้างมากในแถวที่ 1 บันทึกดังกล่าวจะสะดวกกว่ารายการโดยตรง

เป็นเซตของตัวเลขที่เป็นของช่วง โปรดทราบว่านี่หมายถึงชุด ถูกต้องตัวเลข (เกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง)ที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคไม่ได้อีกต่อไป

ควรสังเกตว่าองค์ประกอบของเซตไม่จำเป็นต้อง "เป็นเนื้อเดียวกัน" หรือมีความเกี่ยวข้องทางตรรกะ หยิบถุงใหญ่แล้วเริ่มสุ่มบรรจุลงในนั้น รายการต่างๆ. ไม่มีความสม่ำเสมอในเรื่องนี้ แต่ถึงกระนั้น เรากำลังพูดถึงเรื่องต่างๆ พูดเปรียบเปรย ชุดคือ "แพ็คเกจ" ที่แยกจากกันซึ่งชุดของวัตถุบางอย่างกลายเป็น "ตามเจตจำนงแห่งโชคชะตา"

เซตย่อย

เกือบทุกอย่างชัดเจนจากชื่อตัวเอง: ชุดคือ เซตย่อยตั้งค่าว่าทุกองค์ประกอบของชุดเป็นของชุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ชุดมีอยู่ในชุด:

ไอคอนเรียกว่าไอคอน รวม.

กลับไปที่ตัวอย่างซึ่งเป็นชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซีย แสดงโดย - ชุดของสระ แล้ว:

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะแยกชุดย่อยของตัวอักษรพยัญชนะออก และโดยทั่วไป ชุดย่อยตามอำเภอใจประกอบด้วยตัวอักษรซิริลลิกแบบสุ่ม (หรือไม่สุ่ม) จำนวนเท่าใดก็ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวอักษรซีริลลิกใดๆ ก็ตามที่เป็นสับเซตของเซต

ความสัมพันธ์ระหว่างเซตย่อยสามารถอธิบายได้อย่างสะดวกโดยใช้เงื่อนไข โครงร่างทางเรขาคณิต, ซึ่งเรียกว่า วงกลมออยเลอร์.

ให้เป็นชุดนักศึกษาแถวที่ 1 เป็นชุดนักศึกษากลุ่ม และเป็นชุดนักศึกษามหาวิทยาลัย จากนั้นความสัมพันธ์ของการรวมสามารถแสดงได้ดังนี้:

ชุดนักศึกษาของมหาวิทยาลัยอื่นควรแสดงเป็นวงกลมที่ไม่ตัดกับวงกลมรอบนอก มวลของนักเรียนของประเทศในวงกลมที่มีทั้งสองวงนี้เป็นต้น.

ตัวอย่างทั่วไปเราสังเกตการรวมเมื่อพิจารณาชุดตัวเลข มาทบทวนเนื้อหาในโรงเรียนซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เมื่อเรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น:

ชุดตัวเลข

อย่างที่คุณทราบ ในอดีต ตัวเลขธรรมชาติเป็นคนแรกที่ปรากฏขึ้น โดยออกแบบมาเพื่อนับวัตถุ (คน ไก่ แกะ เหรียญ ฯลฯ) ชุดนี้ได้รับการตอบสนองแล้วในบทความ สิ่งเดียวที่ตอนนี้เรากำลังปรับเปลี่ยนการกำหนดเล็กน้อย ความจริงก็คือชุดตัวเลขมักจะแสดงด้วยตัวอักษรหนา เก๋ไก๋ หรือหนา ฉันชอบที่จะใช้ตัวหนา:

บางครั้งศูนย์จะรวมอยู่ในชุดของจำนวนธรรมชาติ

ถ้าเราบวกเลขเดิมที่มีเครื่องหมายตรงข้ามและศูนย์เข้ากับเซต เราจะได้ เซตของจำนวนเต็ม:

นักหาเหตุผลเข้าข้างตนเองและคนเกียจคร้านเขียนองค์ประกอบด้วยไอคอน "บวกลบ":))

ค่อนข้างชัดเจนว่าเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเต็ม:
- เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบของชุดเป็นของชุด ดังนั้นจำนวนธรรมชาติใด ๆ สามารถเรียกได้ว่าเป็นจำนวนเต็มได้อย่างปลอดภัย

ชื่อของชุดก็คือ "กำลังพูด" ด้วย: จำนวนเต็ม - ซึ่งหมายความว่าไม่มีเศษส่วน

และทันทีที่พวกมันเป็นจำนวนเต็ม เราจะจำสัญญาณสำคัญของการหารด้วย 2, 3, 4, 5 และ 10 ได้ทันที ซึ่งจำเป็นในการคำนวณเชิงปฏิบัติเกือบทุกวัน:

จำนวนเต็มหารด้วย 2 ลงตัวไม่มีเศษถ้ามันลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6 หรือ 8 (เช่น เลขคู่ใดๆ). ตัวอย่างเช่น ตัวเลข:
400, -1502, -24, 66996, 818 - หารด้วย 2 โดยไม่เหลือเศษ

และให้วิเคราะห์สัญญาณ "ที่เกี่ยวข้อง" ทันที: จำนวนเต็มหารด้วย 4 . ลงตัวถ้าตัวเลขประกอบด้วยสองหลักสุดท้าย (ตามลำดับ)หารด้วย 4 ลงตัว

400 หารด้วย 4 . ลงตัว (เพราะ 00 (ศูนย์) หารด้วย 4) ลงตัว;
-1502 - ไม่หารด้วย4 (เพราะ 02 (สอง) หารด้วย 4) ไม่ลงตัว;
-24 แน่นอน หารด้วย 4 ลงตัว;
66996 - หารด้วย 4 . ลงตัว (เพราะ 96 หารด้วย 4) ลงตัว;
818 - ไม่หารด้วย4 (เพราะ 18 หารด้วย 4) ไม่ลงตัว.

ให้เหตุผลง่ายๆ ของคุณเองสำหรับข้อเท็จจริงนี้

การหารด้วย 3 ยากขึ้นนิดหน่อย: จำนวนเต็มหารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ if ผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว

ลองดูว่าตัวเลข 27901 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราสรุปตัวเลขของมัน:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - ไม่หารด้วย3
สรุป: 27901 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

ลองรวมตัวเลขของตัวเลข -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - หารด้วย 3 . ลงตัว
สรุป: หมายเลข -825432 หารด้วย3 .ลงตัว

จำนวนเต็มหารด้วย5ถ้ามันลงท้ายด้วยห้าหรือศูนย์:
775, -2390 - หารด้วย 5 . ลงตัว

จำนวนเต็มหารด้วย 10ถ้ามันลงท้ายด้วยศูนย์:
798400 - หารด้วย 10 . ลงตัว (และแน่นอนที่ 100). ทุกคนคงจำได้ - เพื่อหารด้วย 10 คุณเพียงแค่ลบศูนย์หนึ่งตัว: 79840

นอกจากนี้ยังมีสัญญาณของการหารด้วย 6, 8, 9, 11 เป็นต้น แต่ไม่มีความรู้สึกในทางปฏิบัติจากพวกเขา =)

ควรสังเกตว่าเกณฑ์ที่ระบุไว้ (ดูเหมือนง่าย) ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดใน ทฤษฎีตัวเลข. โดยทั่วไปแล้วพีชคณิตส่วนนี้ค่อนข้างน่าสนใจ แต่ทฤษฏีของมัน ... แค่การประหารชีวิตแบบจีนสมัยใหม่ =) และโวลเดอมาร์ที่โต๊ะสุดท้ายก็เพียงพอแล้ว ... แต่ไม่เป็นไร อีกไม่นานเราจะจัดการกับการให้ชีวิต ออกกำลังกาย =)

ชุดเลขต่อไปคือ เยอะ สรุปตัวเลข :
- นั่นคือ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีจำนวนเต็มได้ เศษและเป็นธรรมชาติ ตัวส่วน.

แน่นอน เซตของจำนวนเต็มคือ เซตย่อยชุดของจำนวนตรรกยะ:

อันที่จริง จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็น เศษส่วนตรรกยะ, ตัวอย่างเช่น: เป็นต้น ดังนั้นจำนวนเต็มสามารถเรียกได้ว่าเป็นจำนวนตรรกยะ

เครื่องหมาย "ระบุ" ที่เป็นลักษณะเฉพาะของจำนวนตรรกยะคือความจริงที่ว่าเมื่อหารตัวเศษด้วยตัวส่วน
เป็นจำนวนเต็ม

หรือ
– สุดยอดทศนิยม,

หรือ
- ไม่มีที่สิ้นสุด วารสารทศนิยม (การเล่นซ้ำอาจไม่เริ่มทันที).

ชื่นชมแผนกและพยายามดำเนินการนี้ให้น้อยที่สุด! ในบทความขององค์กร คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นสำหรับ Dummiesและในบทเรียนอื่น ๆ ฉันทำซ้ำ ทำซ้ำ และจะทำซ้ำมนต์นี้:

ที่ คณิตศาสตร์ชั้นสูงเรามุ่งมั่นที่จะดำเนินการทั้งหมดในเศษส่วนธรรมดา (ถูกต้องและไม่เหมาะสม)

ยอมรับว่าการจัดการเศษส่วนสะดวกกว่ากับ เลขทศนิยม 0,375 (ไม่ต้องพูดถึงเศษส่วนอนันต์).

ไปกันเลยดีกว่า นอกจากคนมีเหตุผลแล้วยังมีอีกมาก จำนวนอตรรกยะซึ่งแต่ละอันสามารถแสดงเป็นอนันต์ได้ ไม่เป็นระยะเศษส่วนทศนิยม กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีความสม่ำเสมอใน "หางอนันต์" ของจำนวนอตรรกยะ:
("ปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย" สองครั้ง)
เป็นต้น

มีข้อมูลมากมายเกี่ยวกับค่าคงที่ที่มีชื่อเสียง "pi" และ "e" ดังนั้นฉันจึงไม่ยึดติดกับมัน

การรวมกันของรูปแบบจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ ชุดตัวเลขจริง (ของจริง):

- ไอคอน สมาคมชุด

คุณคุ้นเคยกับการตีความทางเรขาคณิตของชุด - เป็นเส้นจำนวน:

จำนวนจริงแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดหนึ่งของเส้นจำนวน และในทางกลับกัน แต่ละจุดของเส้นจำนวนจำเป็นต้องสอดคล้องกับจำนวนจริงบางจำนวน โดยพื้นฐานแล้วตอนนี้ฉันได้กำหนด คุณสมบัติต่อเนื่อง ตัวเลขจริงซึ่งแม้ว่าจะดูเหมือนชัดเจน แต่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เส้นจำนวนยังแสดงด้วยช่วงอนันต์ และสัญกรณ์หรือสัญกรณ์ที่เทียบเท่าเป็นสัญลักษณ์ของความจริงที่ว่ามันเป็นของเซตของจำนวนจริง (หรือเพียงแค่ "x" - จำนวนจริง).

ด้วยการฝัง ทุกอย่างโปร่งใส: ชุดของจำนวนตรรกยะคือ เซตย่อยชุดของจำนวนจริง:
ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเรียกว่าจำนวนจริงได้อย่างปลอดภัย

เซตของจำนวนอตรรกยะก็เช่นกัน เซตย่อยตัวเลขจริง:

ในขณะเดียวกัน เซตย่อยและ อย่าตัดกัน- นั่นคือ ไม่สามารถแสดงจำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนตรรกยะได้

มีระบบตัวเลขอื่น ๆ หรือไม่? มีอยู่! นี้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขเชิงซ้อนซึ่งฉันแนะนำให้คุณอ่านอย่างแท้จริงในอีกไม่กี่วันข้างหน้าหรือหลายชั่วโมงข้างหน้า

ในระหว่างนี้ เราหันไปศึกษาการดำเนินการของฉาก ซึ่งมีเจตนารมณ์ที่ปรากฏขึ้นในตอนท้ายของส่วนนี้:

การกระทำในชุด แผนภาพเวนน์

ไดอะแกรมเวนน์ (คล้ายกับวงกลมออยเลอร์) เป็นแผนผังแสดงการกระทำด้วยเซต ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าจะไม่ครอบคลุมการดำเนินการทั้งหมด:

1) จุดตัด และและมีเครื่องหมาย

จุดตัดของเซตเรียกว่าเซต แต่ละองค์ประกอบเป็นของ และชุด , และชุด . กล่าวโดยคร่าว ๆ ทางแยกเป็นส่วนหนึ่งของเซต:

ตัวอย่างเช่น สำหรับชุด:

หากเซตนั้นไม่มีองค์ประกอบเหมือนกัน ทางแยกก็จะว่างเปล่า เราเพิ่งเจอตัวอย่างดังกล่าวเมื่อพิจารณาชุดตัวเลข:

ชุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะสามารถแสดงเป็นแผนผังด้วยวงกลมสองวงที่ไม่ทับซ้อนกัน

การทำงานของทางแยกยังใช้ได้กับ มากกว่าชุดโดยเฉพาะ Wikipedia มีดี ตัวอย่างการแยกชุดตัวอักษรสามตัว.

2) สมาคมชุดมีลักษณะการเชื่อมต่อแบบลอจิคัล หรือและมีเครื่องหมาย

สหภาพของเซตคือเซต ซึ่งแต่ละองค์ประกอบของเซตนั้นเป็นของเซต หรือชุด :

มาเขียนยูเนียนของเซตกัน:
- พูดคร่าวๆ ที่นี่คุณต้องแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมดของชุด และ และ และองค์ประกอบเดียวกัน (ในกรณีนี้หน่วยที่จุดตัดของชุด)ต้องระบุครั้งเดียว

แต่แน่นอนว่าเซตนั้นต้องไม่ตัดกัน เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ:

ในกรณีนี้ คุณสามารถวาดวงกลมแรเงาที่ไม่ตัดกันสองวง

การดำเนินการร่วมใช้ได้กับชุดเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว:

ตัวเลขไม่จำเป็นต้องเรียงจากน้อยไปมาก (ฉันทำเพื่อความสวยงามเท่านั้น). โดยไม่ต้องกังวลใจอีกต่อไป ผลลัพธ์สามารถเขียนได้ดังนี้:

3) ความแตกต่าง และไม่ได้อยู่ในชุด:

ความแตกต่างอ่านได้ดังนี้: "a without be" และคุณสามารถโต้แย้งในลักษณะเดียวกันได้: พิจารณาเซต ในการเขียนความแตกต่าง คุณต้อง "โยน" องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในชุดออกจากชุด:

ตัวอย่างชุดตัวเลข:
- ในที่นี้ ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และสัญกรณ์อ่านดังนี้: "เซตของจำนวนเต็มที่ไม่มีเซตของธรรมชาติ"

กระจกเงา: ความแตกต่างเซตและเรียกเซต แต่ละองค์ประกอบที่เป็นของเซต และไม่ได้อยู่ในชุด:

สำหรับชุดเดียวกัน
- จากชุด "โยนออก" สิ่งที่อยู่ในชุด

แต่ความแตกต่างนี้กลับกลายเป็นว่างเปล่า: . และในความเป็นจริง - หากจำนวนเต็มไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ ที่จริงแล้ว จะไม่มีอะไรเหลืออยู่ :)

นอกจากนี้ บางครั้งก็พิจารณา สมมาตรความแตกต่างที่รวมทั้งสอง "เสี้ยว":
- กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ "ทุกอย่างยกเว้นจุดตัดของเซต"

4) สินค้าคาร์ทีเซียน (โดยตรง)เซตและเรียกว่าเซต ทั้งหมด เป็นระเบียบคู่ที่องค์ประกอบและองค์ประกอบ

เราเขียนผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของชุด:
- สะดวกในการแจกแจงคู่ตามอัลกอริธึมต่อไปนี้: "ก่อนอื่นเราแนบแต่ละองค์ประกอบของชุดกับองค์ประกอบที่ 1 ของชุดตามลำดับจากนั้นเราแนบแต่ละองค์ประกอบของชุดกับองค์ประกอบที่ 2 ของชุดจากนั้นเรา แนบแต่ละองค์ประกอบของชุดเข้ากับองค์ประกอบที่ 3 ของชุด»:

กระจกเงา: ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนชุดและเรียกว่าชุดของทั้งหมด เป็นระเบียบคู่ที่. ในตัวอย่างของเรา:
- รูปแบบการบันทึกมีความคล้ายคลึงกัน: ก่อนอื่นเราแนบองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเป็น "ลบหนึ่ง" ตามลำดับจากนั้นไปที่ "de" - องค์ประกอบเดียวกัน:

แต่นี่เป็นเพียงเพื่อความสะดวก - ในทั้งสองกรณี สามารถระบุคู่ในลำดับใดก็ได้ - สิ่งสำคัญคือต้องจดไว้ที่นี่ ทั้งหมดคู่รักที่เป็นไปได้

และตอนนี้ไฮไลท์ของโปรแกรม: ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนไม่มีอะไรเลยนอกจากชุดของคะแนนในภาษาพื้นเมืองของเรา ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน .

ออกกำลังกายสำหรับวัสดุที่ยึดตัวเองได้:

ดำเนินการถ้า:

เยอะ สะดวกในการอธิบายโดยระบุองค์ประกอบ

และแฟชั่นที่มีช่วงเวลาของจำนวนจริง:

จำได้ว่าวงเล็บเหลี่ยมหมายถึง รวมตัวเลขในช่วงเวลาและปัดเศษ - it ยกเว้นนั่นคือ "ลบหนึ่ง" เป็นของชุดและ "สาม" ไม่เป็นของชุด ลองหาว่าผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซตเหล่านี้คืออะไร หากคุณมีปัญหาใด ๆ ให้ทำตามภาพวาด;)

โซลูชั่นด่วนการมอบหมายเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ตั้งค่าการแสดงผล

แสดง set to set is กฎตามที่แต่ละองค์ประกอบของชุดมีความเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบ (หรือองค์ประกอบ) ของชุด ในกรณีที่ตรงกัน แค่หนึ่งเดียวเท่านั้นธาตุ กฎนี้เรียกว่า กำหนดไว้อย่างชัดเจนฟังก์ชั่นหรือเพียงแค่ การทำงาน.

ฟังก์ชั่นอย่างที่หลายคนรู้มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร - มันเชื่อมโยง ถึงแต่ละคนองค์ประกอบเป็นค่าเดียวที่เป็นของชุด

ตอนนี้ฉันจะรบกวนนักเรียนจำนวนมากในแถวที่ 1 อีกครั้งและเสนอ 6 หัวข้อสำหรับบทคัดย่อ (ชุด):

ติดตั้งแล้ว (โดยสมัครใจหรือไม่สมัครใจ =))กฎจะเชื่อมโยงนักเรียนแต่ละคนในชุดที่มีหัวข้อเดียวของบทคัดย่อของชุด

…และคุณอาจนึกไม่ออกด้วยซ้ำว่าคุณจะเล่นบทบาทของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน =) =)

องค์ประกอบของเซตฟอร์ม โดเมนฟังก์ชั่น (แสดงโดย ) และองค์ประกอบของชุด - แนวฟังก์ชัน (แสดงโดย )

การทำแผนที่ชุดที่สร้างขึ้นมีลักษณะเฉพาะที่สำคัญมาก: มันคือ หนึ่งต่อหนึ่งหรือ สองนัย(bijection). ที่ ตัวอย่างนี้หมายความว่า ถึงแต่ละคนนักเรียนมีความสอดคล้อง หนึ่งเดียวที่ไม่เหมือนใครหัวข้อของเรียงความและในทางกลับกัน - แต่ละนักเรียนคนเดียวและคนเดียวได้รับการแก้ไขโดยหัวข้อของบทคัดย่อ

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าทุกการทำแผนที่เป็นสองแง่สองง่าม หากนักเรียนคนที่ 7 ถูกเพิ่มในแถวที่ 1 (ในชุด) การติดต่อแบบตัวต่อตัวจะหายไป - หรือนักเรียนคนใดคนหนึ่งจะถูกทิ้งไว้โดยไม่มีหัวข้อ (ไม่แสดงผลเลย)หรือบางหัวข้อจะส่งถึงนักเรียนสองคนพร้อมกัน สถานการณ์ตรงกันข้าม: หากมีการเพิ่มหัวข้อที่เจ็ดลงในชุด การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งจะหายไปด้วย - หัวข้อใดหัวข้อหนึ่งจะไม่มีการอ้างสิทธิ์

นักเรียนที่รักในแถวที่ 1 อย่าอารมณ์เสีย - อีก 20 คนที่เหลือหลังเลิกเรียนจะไปทำความสะอาดอาณาเขตของมหาวิทยาลัยจากใบไม้ในฤดูใบไม้ร่วง ผู้จัดการฝ่ายจัดหาจะให้โกลิก 20 อันหลังจากนั้นจะมีการโต้ตอบแบบตัวต่อตัวระหว่างส่วนหลักของกลุ่มกับไม้กวาด ... และโวลเดอมาร์จะมีเวลาวิ่งไปที่ร้านด้วย =)) มีเอกลักษณ์"y" และในทางกลับกัน - สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" เราสามารถคืนค่า "x" ได้อย่างไม่น่าสงสัย ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน bijective

! ในกรณีที่ฉันขจัดความเข้าใจผิดที่อาจเกิดขึ้น: การจองอย่างต่อเนื่องของฉันเกี่ยวกับขอบเขตนั้นไม่ได้ตั้งใจ! ฟังก์ชันนี้อาจไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ "x" ทั้งหมด และยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันนี้อาจเป็นแบบตัวต่อตัวในกรณีนี้ด้วย ตัวอย่างทั่วไป:

แต่ที่ ฟังก์ชันกำลังสองไม่มีอะไรเช่นนี้ ประการแรก:
- นั่นคือ, ความหมายต่างๆ"x" ปรากฏใน เดียวกันหมายถึง "y"; และประการที่สอง: ถ้ามีคนคำนวณค่าของฟังก์ชันและบอกเราว่า มันก็ไม่ชัดเจน - ได้ "y" นี้ที่ หรือ ที่ ? จำเป็นต้องพูดไม่มีแม้แต่กลิ่นของความชัดเจนซึ่งกันและกันที่นี่

งาน2: ดู กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและเขียนฟังก์ชัน bijective บนแผ่นกระดาษ รายการตรวจสอบท้ายบทเรียนนี้

ตั้งค่าพลังงาน

สัญชาตญาณชี้ให้เห็นว่าคำนี้กำหนดลักษณะของเซตคือจำนวนขององค์ประกอบ และสัญชาตญาณไม่ได้หลอกเรา!

คาร์ดินาลิตี้ของเซตว่างเป็นศูนย์

คาร์ดินาลิตี้ของเซตคือหก

พลังของชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซียคือสามสิบสาม

โดยทั่วไปแล้ว อำนาจใดๆ สุดท้ายชุดเท่ากับจำนวนองค์ประกอบของชุดนี้

...อาจไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่ามันคืออะไร สุดท้าย set - หากคุณเริ่มนับองค์ประกอบของชุดนี้ไม่ช้าก็เร็วการนับจะสิ้นสุดลง เรียกว่าอะไร สักวันคนจีนจะหมด

แน่นอน เซตสามารถเปรียบเทียบได้ในเรื่องคาร์ดินาลลิตี้ และความเท่าเทียมกันในความหมายนี้เรียกว่า พลังที่เท่าเทียมกัน. ความเท่าเทียมกันถูกกำหนดดังนี้:

สองชุดจะเท่ากันถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน.

ชุดของนักเรียนเทียบเท่ากับชุดของหัวข้อนามธรรม ชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซียจะเทียบเท่ากับชุดขององค์ประกอบ 33 รายการ ฯลฯ สังเกตว่าอะไร ใครก็ได้ชุดองค์ประกอบ 33 ตัว - ในกรณีนี้ เฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่มีความสำคัญ ตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซียสามารถเปรียบเทียบได้ไม่เพียง แต่กับตัวเลขจำนวนมาก
1, 2, 3, ..., 32, 33 แต่โดยรวมแล้วมีฝูงวัว 33 ตัว

สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจยิ่งขึ้นด้วยชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด อินฟินิตี้ก็ต่างกัน! ...สีเขียวและสีแดง ชุดอนันต์ที่ "เล็กที่สุด" คือ นับชุด ถ้ามันค่อนข้างง่าย องค์ประกอบของชุดดังกล่าวสามารถกำหนดหมายเลขได้ ตัวอย่างอ้างอิงคือเซตของจำนวนธรรมชาติ . ใช่ - ไม่มีที่สิ้นสุด แต่องค์ประกอบแต่ละรายการใน PRINCIPLE มีตัวเลข

มีตัวอย่างมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตของจำนวนคู่ที่นับได้ทั้งหมดนั้นสามารถนับได้ จะพิสูจน์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดของจำนวนธรรมชาติหรือเพียงแค่นับองค์ประกอบ:

มีการสร้างการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น เซตจึงเท่ากันและเซตนั้นสามารถนับได้ มันขัดแย้งกัน แต่จากมุมมองของพลัง - มีจำนวนธรรมชาติมากเท่ากับจำนวนธรรมชาติ!

เซตของจำนวนเต็มก็สามารถนับได้เช่นกัน องค์ประกอบของมันสามารถกำหนดหมายเลขได้ ตัวอย่างเช่น:

นอกจากนี้ยังสามารถนับเซตของจำนวนตรรกยะด้วย . เนื่องจากตัวเศษเป็นจำนวนเต็ม (และดังที่แสดงไว้สามารถนับได้)และตัวส่วนเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่ช้าก็เร็วเราจะ "ได้" เศษส่วนตรรกยะใดๆ และกำหนดตัวเลขให้กับมัน

แต่เซตของจำนวนจริงมีอยู่แล้ว นับไม่ถ้วน, เช่น. องค์ประกอบของมันไม่สามารถนับได้ ข้อเท็จจริงนี้แม้ว่าจะชัดเจน แต่ก็ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในทฤษฎีเซต คาร์ดินัลลิตี้ของเซตของจำนวนจริงเรียกอีกอย่างว่า ความต่อเนื่องและเมื่อเทียบกับเซตที่นับได้ นี่คือเซตที่ "ไม่มีที่สิ้นสุด"

เนื่องจากมีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตและเส้นจำนวน (ดูด้านบน)แล้วเซตของแต้มของเส้นจริงก็เช่นกัน นับไม่ถ้วน. และยิ่งไปกว่านั้น ส่วนของหน่วยกิโลเมตรและหน่วยมิลลิเมตรมีจำนวนจุดเท่ากัน! ตัวอย่างคลาสสิก:

โดยการหมุนลำแสงทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับลำแสง เราจะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดต่างๆ ของส่วนสีน้ำเงิน ดังนั้นจึงมีจุดบนเซ็กเมนต์มากเท่ากับที่มีบนเซ็กเมนต์ และ !

เห็นได้ชัดว่าความขัดแย้งนี้เชื่อมโยงกับความลึกลับของอินฟินิตี้ ... แต่ตอนนี้เราจะไม่กังวลกับปัญหาของจักรวาลเพราะขั้นตอนต่อไปคือ

งาน2 ฟังก์ชันตัวต่อตัวในภาพประกอบบทเรียน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การศึกษา: การก่อตัวของทักษะในการระบุเซตย่อย; การพัฒนาทักษะในการหาพื้นที่ทางแยกและการรวมฉากในภาพและตั้งชื่อองค์ประกอบจากพื้นที่นี้เพื่อแก้ปัญหา
กำลังพัฒนา: การพัฒนา ความสนใจทางปัญญานักเรียน; การพัฒนาขอบเขตทางปัญญาของแต่ละบุคคลการพัฒนาทักษะเพื่อเปรียบเทียบและสรุป
การศึกษา: เพื่อปลูกฝังความถูกต้องและความเอาใจใส่ในการตัดสินใจ

ระหว่างเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร

2. ครูรายงานหัวข้อของบทเรียนพร้อมกับนักเรียนกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์

3. ครูร่วมกับนักเรียนระลึกถึงเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อ "ชุด" ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 แนะนำแนวคิดและคำจำกัดความใหม่สูตรสำหรับการแก้ปัญหา

“หลายสิ่งหลายอย่าง เราคิดให้เป็นหนึ่งเดียว” (ผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซต - Georg Cantor) คันทอร์ (คันทอร์) เกออร์ก (ค.ศ. 1845-1918) - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน นักตรรกวิทยา นักเทววิทยา ผู้สร้างทฤษฎีเซตทรานสฟินิท (อนันต์) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างเด็ดขาดในการพัฒนาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20

ชุดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ใช้ในเกือบทุกส่วน

น่าเสียดายที่แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี - แนวคิดของเซต - ไม่สามารถให้คำจำกัดความที่เข้มงวดได้ แน่นอน เราสามารถพูดได้ว่าชุดนั้นเป็น "ของสะสม" "ของสะสม" "ทั้งมวล" "ของสะสม" "ชุด" "ครอบครัว" "ระบบ" "ระดับ" ฯลฯ อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้จะไม่เป็น คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นการใช้คำศัพท์ภาษารัสเซียในทางที่ผิด

เพื่อที่จะให้คำจำกัดความของแนวคิดใด ๆ ก่อนอื่นจำเป็นต้องระบุเป็นกรณีเฉพาะซึ่งมากกว่า แนวคิดทั่วไปเป็นไปไม่ได้ที่จะทำสิ่งนี้สำหรับแนวคิดของเซต เพราะไม่มีแนวคิดทั่วไปมากไปกว่าเซตในวิชาคณิตศาสตร์

บ่อยครั้งที่คุณต้องพูดถึงหลาย ๆ อย่างรวมกันด้วยสัญญาณบางอย่าง ดังนั้น เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับชุดของเก้าอี้ทั้งหมดในห้อง เกี่ยวกับชุดของทุกเซลล์ ร่างกายมนุษย์, ชุดมันฝรั่งทั้งหมดในถุงที่กำหนด, ชุดของปลาทั้งหมดในมหาสมุทร, ชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดบนเครื่องบิน, ชุดของจุดทั้งหมดบนวงกลมที่กำหนด ฯลฯ

วัตถุที่ประกอบเป็นชุดที่กำหนดเรียกว่าองค์ประกอบ

ตัวอย่างเช่น ชุดวันในสัปดาห์ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ ได้แก่ วันจันทร์ วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์ วันอาทิตย์

หลายเดือน - จากองค์ประกอบ: มกราคม กุมภาพันธ์ มีนาคม เมษายน พฤษภาคม มิถุนายน กรกฎาคม สิงหาคม กันยายน ตุลาคม พฤศจิกายน ธันวาคม

เยอะ การดำเนินการเลขคณิต- จากองค์ประกอบ: บวก, ลบ, คูณ, หาร

ตัวอย่างเช่น ถ้า A หมายถึงเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด 6 เป็นของ A แต่ 3 ไม่ได้เป็นของ A

ถ้า A เป็นเซตของเดือนทั้งหมดในหนึ่งปี May จะเป็นของ A แต่วันพุธไม่ได้เป็นของ A

ถ้าเซตประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด เซตนั้นจะถูกเรียกว่าเซตจำกัด และหากเซตนั้นมีองค์ประกอบเป็นอนันต์ เซตนั้นจะเรียกว่าอนันต์ ดังนั้นชุดของต้นไม้ในป่าจึงมีขอบเขต แต่ชุดของจุดบนวงกลมนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ความขัดแย้งในตรรกะ- นี่เป็นความขัดแย้งที่มีสถานะของข้อสรุปที่ถูกต้องตามหลักเหตุผลและในขณะเดียวกันก็เป็นเหตุผลที่นำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่เกิดร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว แนวคิดของเซตนั้นเป็นหัวใจของคณิตศาสตร์ การใช้เซตที่ง่ายที่สุดและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย เราสามารถสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ได้เกือบทุกชนิด แนวคิดในการสร้างคณิตศาสตร์ทั้งหมดบนพื้นฐานของทฤษฎีเซตได้รับการส่งเสริมอย่างแข็งขันโดย G. Kantor อย่างไรก็ตาม สำหรับความเรียบง่ายทั้งหมด แนวคิดของฉากนั้นเต็มไปด้วยอันตรายจากความขัดแย้งหรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นความขัดแย้ง การปรากฏตัวของความขัดแย้งนั้นเกิดจากความจริงที่ว่าไม่สามารถพิจารณาโครงสร้างทั้งหมดและไม่สามารถพิจารณาชุดทั้งหมดได้

ความขัดแย้งที่ง่ายที่สุดคือ " ความขัดแย้งของช่างตัดผม".

ทหารคนหนึ่งได้รับคำสั่งให้โกนหนวดเหล่านั้นและเฉพาะทหารในหมวดของเขาที่ไม่โกนหนวด การไม่เชื่อฟังคำสั่งในกองทัพอย่างที่คุณทราบนั้นเป็นอาชญากรรมที่ร้ายแรงที่สุด อย่างไรก็ตาม คำถามก็เกิดขึ้นว่าทหารคนนี้ควรโกนหนวดหรือไม่ ถ้าเขาโกนหนวด เขาควรจะถือเอาว่าเป็นทหารหลายคนที่โกนหนวด และเขาไม่มีสิทธิที่จะโกนหนวดแบบนี้ ถ้าเขาไม่โกนเอง เขาจะตกเป็นทหารหลายคนที่ไม่โกนหนวด และตามคำสั่ง เขาจำเป็นต้องโกนทหารดังกล่าว ความขัดแย้ง

ในเซตต่างๆ เช่นเดียวกับออบเจกต์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ คุณสามารถดำเนินการต่างๆ ได้ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการดำเนินการตามทฤษฎีเซตหรือการดำเนินการเกี่ยวกับเซต จากการดำเนินการ ได้ชุดใหม่จากชุดเดิม ชุดจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่และองค์ประกอบตามตัวพิมพ์เล็ก การบันทึก เอ Rหมายความว่าธาตุ เอเป็นของชุด R, นั่นคือ เอ R. มิฉะนั้นเมื่อ เอไม่เข้าข่าย R, เขียน เอ R .

สองชุด แต่และ ที่เรียกว่า เท่ากัน (แต่ =ที่) หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน นั่นคือ แต่ละองค์ประกอบของเซต แต่เป็นองค์ประกอบของเซต ที่และในทางกลับกัน แต่ละองค์ประกอบของเซต ที่เป็นองค์ประกอบของเซต แต่ .

ตั้งค่าการเปรียบเทียบ

ชุด A มีอยู่ในชุด B (ชุด B รวมชุด A) ถ้าทุกองค์ประกอบของ A เป็นองค์ประกอบของ B:

หลายคนบอกว่า แต่ที่มีอยู่ในจำนวนมาก ที่หรือตั้ง แต่เป็น เซตย่อย ชุด ที่(ในกรณีนี้เขียน แต่ ที่) ถ้าแต่ละองค์ประกอบของเซต แต่เป็นองค์ประกอบของเซตด้วย ที่. ความสัมพันธ์ระหว่างเซตนี้เรียกว่า รวม . สำหรับชุดใดก็ได้ แต่มีการรวม: Ø แต่และ แต่ แต่

ในกรณีนี้ อาเรียกว่า เซตย่อย บี, บี - supersetก. ถ้า แล้ว อาเรียกว่า เซตย่อยของตัวเอง ที่. สังเกตว่า ,

ตามคำจำกัดความ

ทั้งสองชุดเรียกว่า เท่ากันหากเป็นส่วนย่อยของกันและกัน

ปฏิบัติการชุด

จุดตัด.

สมาคม

คุณสมบัติ.

1. การทำงานของสหภาพของเซตเป็นการสับเปลี่ยน

2. การทำงานของสหภาพของเซตเป็นสกรรมกริยา

3. เซตว่าง X เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางของการทำงานของยูเนียนของเซต

1. ให้ A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7) แล้ว

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12) มาหายูเนียนและจุดตัดของเซตเหล่านี้:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. ชุดเด็กเป็นส่วนย่อยของประชากรทั้งหมด

4. จุดตัดของเซตของจำนวนเต็มกับเซตของจำนวนบวกคือเซตของจำนวนธรรมชาติ

5. การรวมของเซตของจำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนบวก

6. ศูนย์คือส่วนเสริมของเซตของจำนวนธรรมชาติเทียบกับเซตของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ

แผนภาพเวนน์(แผนภาพเวนน์) - ชื่อสามัญวิธีการสร้างภาพและวิธีการต่างๆ ของภาพประกอบกราฟิกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์: ทฤษฎีเซตในความเป็นจริง "แผนภาพเวนน์"แสดงทั้งหมด ความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ระหว่างฉากหรือเหตุการณ์จากบางครอบครัว พันธุ์ แผนภาพเวนน์คือ: ไดอะแกรมออยเลอร์

แผนภาพเวนน์ของสี่ชุด

จริงๆ แล้ว "แผนภาพเวนน์"แสดงความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างฉากหรือเหตุการณ์จากบางครอบครัว แผนภาพเวนน์ปกติมีสามชุด เวนน์เองก็พยายามหา ทางเรียบหรูด้วยรูปทรงสมมาตรแสดงบนไดอะแกรม มากกว่าชุด แต่เขาสามารถทำได้เพียงสี่ชุด (ดูรูปทางด้านขวา) โดยใช้วงรี

แผนภาพออยเลอร์

ไดอะแกรมออยเลอร์คล้ายกับไดอะแกรมเวนน์ ไดอะแกรมออยเลอร์สามารถใช้เพื่อประเมินความน่าจะเป็นของอัตลักษณ์เซตทฤษฎี

ภารกิจที่ 1มี 30 คนในชั้นเรียน แต่ละคนร้องเพลงหรือเต้นรำ เป็นที่ทราบกันดีว่า 17 คนร้องเพลงและ 19 คนรู้วิธีการเต้น มีกี่คนที่ร้องและเต้นพร้อมกัน?

วิธีการแก้:อย่างแรก เราสังเกตจาก 30 คน 30 - 17 = 13 คนร้องเพลงไม่ได้

พวกเขาทั้งหมดรู้วิธีการเต้นเพราะ ตามเงื่อนไข นักเรียนแต่ละคนจะร้องหรือเต้น รวมแล้ว 19 คนเต้นได้ 13 คนร้องเพลงไม่ได้ ซึ่งหมายความว่า 19-13 คน = 6 คนเต้นและร้องพร้อมกันได้

ปัญหาทางแยกและการรวมชุด

ชุด A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0)
ค้นหาชุด AU B,
ประกอบด้วยคำอย่างน้อยเจ็ดคำที่มีตัวอักษรประกอบกันเป็นเซตย่อยของเซต
A - (k, a, p, y, s, e, l, b)
ให้ A เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย 2 ลงตัว และ B เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย 4 ลงตัวด้วย 4 เซตเหล่านี้สรุปอะไรได้บ้าง
บริษัทมีพนักงาน 67 คน ในจำนวนนี้ 47 รู้ ภาษาอังกฤษ, 35 เป็นภาษาเยอรมันและ 23 เป็นทั้งสองภาษา ในบริษัทมีกี่คนที่ไม่พูดภาษาอังกฤษหรือ เยอรมัน?
จากนักเรียน 40 คนในชั้นเรียนของเรา 32 คนชอบนม 21 คนชอบน้ำมะนาว และ 15 คนชอบทั้งนมและน้ำมะนาว มีเด็กกี่คนที่ไม่ชอบนมหรือน้ำมะนาว?
เพื่อนร่วมชั้น 12 คนของฉันชอบอ่านเรื่องราวนักสืบ 18 ชอบอ่านนิยายวิทยาศาสตร์ สามคนอ่านด้วยความเพลิดเพลิน และอีกคนหนึ่งไม่อ่านอะไรเลย ในชั้นเรียนของเรามีนักเรียนกี่คน
จากเพื่อนร่วมชั้นของฉันทั้ง 18 คนที่ชอบดูระทึกขวัญ มีเพียง 12 คนเท่านั้นที่ไม่ชอบดูการ์ตูน เพื่อนร่วมชั้นของฉันดูแต่ "การ์ตูน" กี่คนถ้าในชั้นเรียนของเรามีนักเรียน 25 คน แต่ละคนชอบดูเรื่องระทึกขวัญ หรือการ์ตูน หรือทั้งสองอย่าง?
จากเด็ก 29 คนในบ้านของเรา มีเพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่ไปเล่นกีฬา และที่เหลือก็ไปเรียนฟุตบอลหรือเทนนิส หรือแม้แต่ทั้งสองอย่าง มีเด็กเล่นฟุตบอล 17 คน และเล่นเทนนิส 19 คน นักฟุตบอลเล่นเทนนิสกี่คน? นักเทนนิสเล่นฟุตบอลกี่คน?
65% ของกระต่ายของคุณยายชอบแครอท 10% รักทั้งแครอทและกะหล่ำปลี กี่เปอร์เซ็นต์ของกระต่ายที่ไม่รังเกียจที่จะกินกะหล่ำปลี?
มีนักเรียน 25 คนในหนึ่งชั้นเรียน ในจำนวนนี้ แพร์รัก 7 ลูก เชอร์รี่รัก 11 ลูก สองอย่างลูกแพร์และเชอร์รี่; 6 - ลูกแพร์และแอปเปิ้ล; 5 - แอปเปิ้ลและเชอร์รี่ แต่มีนักเรียนสองคนในชั้นเรียนที่รักทุกอย่าง และสี่คนที่ไม่ชอบผลไม้เลย นักเรียนในชั้นเรียนนี้ชอบแอปเปิ้ลกี่คน?
22 สาวเข้าร่วมการประกวดความงาม ในจำนวนนี้มี 10 คนสวย 12 คนฉลาด 9 คนใจดี มีเพียง 2 สาวเท่านั้นที่ทั้งสวยและฉลาด 6 สาวฉลาดและใจดีในเวลาเดียวกัน กำหนดจำนวนผู้หญิงที่สวยและในเวลาเดียวกันถ้าฉันบอกคุณว่าในหมู่ผู้เข้าร่วมนั้นไม่มีผู้หญิงที่ฉลาดใจดีและในเวลาเดียวกัน สาวสวย?
มีนักเรียน 35 คนในชั้นเรียนของเรา สำหรับไตรมาสแรกของทั้ง 5 คนเป็นภาษารัสเซีย มีนักเรียน 14 คน; ในวิชาคณิตศาสตร์ - 12; ในประวัติศาสตร์ - 23; ในภาษารัสเซียและคณิตศาสตร์ - 4; ในวิชาคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ - 9; ในภาษารัสเซียและประวัติศาสตร์ - 5. มีนักเรียนกี่คนที่มีห้าวิชาในทั้งสามวิชา ถ้าไม่มีนักเรียนคนเดียวในชั้นเรียนที่ไม่มีห้าวิชาในวิชาเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งวิชา
จาก 100 คน 85 คนพูดภาษาอังกฤษ 80 คนพูดภาษาสเปนและ 75 คนพูดภาษาเยอรมัน ทุกคนพูดภาษาต่างประเทศอย่างน้อยหนึ่งภาษา ในหมู่พวกเขาไม่มีคนที่รู้ภาษาต่างประเทศสองภาษา แต่มีผู้ที่พูดสามภาษา มีกี่คนที่รู้ภาษาสามภาษานี้
พนักงานของ บริษัท 16 คนไปเยี่ยมฝรั่งเศส 10 คน - อิตาลี 6 คน - อังกฤษ; ในอังกฤษและอิตาลี - 5; ในอังกฤษและฝรั่งเศส - 6; ในทั้งสามประเทศ - พนักงาน 5 คน มีผู้เยี่ยมชมทั้งอิตาลีและฝรั่งเศสกี่คน ถ้าในบริษัทมี 19 คน และแต่ละคนได้ไปเยือนอย่างน้อยหนึ่งประเทศเหล่านี้