ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเดียว การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ให้ตัวแปร x นรับค่าลำดับอนันต์

x 1 , x 2 , ..., x น , ..., (1)

และรู้กฎการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x น, เช่น. สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ นคุณสามารถระบุค่าที่สอดคล้องกัน x น. ดังนั้นจึงถือว่าตัวแปร x นเป็นหน้าที่ของ น:

x น = ฉ(n)

ให้เรากำหนดหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ขีด จำกัด ของลำดับหรือสิ่งที่เหมือนกันคือขีด จำกัด ของตัวแปร x นลำดับการวิ่ง x 1 , x 2 , ..., x น , ... . .

คำนิยาม.จำนวนคงที่ เอเรียกว่า จำกัดลำดับ x 1 , x 2 , ..., x น , ... . หรือลิมิตของตัวแปร x น, ถ้าสำหรับจำนวนบวกเล็กน้อยโดยพลการ e มีจำนวนธรรมชาติดังกล่าวอยู่ นู๋(เช่น ตัวเลข นู๋) ว่าค่าทั้งหมดของตัวแปร x น, เริ่มต้นด้วย x นู๋, แตกต่างจาก เอมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า e คำจำกัดความนี้เขียนสั้น ๆ ดังนี้:

| x น -a |< (2)

สำหรับทุกอย่าง น  นู๋หรือที่เหมือนกันคือ

คำจำกัดความของ Cauchy จำกัด. จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a หากฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด a ยกเว้นบางทีสำหรับจุด a เอง และสำหรับแต่ละ ε > 0 จะมี δ > 0 เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข x ทั้งหมด |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

คำจำกัดความของขีด จำกัด Heine. จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a ถ้าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด a ยกเว้นบางทีสำหรับจุด a เอง และสำหรับลำดับใดๆ ที่ เมื่อมาบรรจบกันกับจำนวน a ลำดับที่สอดคล้องกันของค่าของฟังก์ชันจะบรรจบกันเป็นตัวเลข A

หากฟังก์ชัน f(x) มีขีดจำกัดที่จุด a แสดงว่าขีดจำกัดนี้ไม่ซ้ำกัน

จำนวน A 1 เรียกว่าขีด จำกัด ด้านซ้ายของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a ถ้าสำหรับแต่ละ ε > 0 มี δ >

จำนวน A 2 เรียกว่าขีด จำกัด ด้านขวาของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a ถ้าสำหรับแต่ละ ε > 0 มี δ > 0 อยู่จนทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน

ขีด จำกัด ทางด้านซ้ายแสดงถึงขีด จำกัด ทางด้านขวา - ขีด จำกัด เหล่านี้กำหนดลักษณะการทำงานของฟังก์ชันไปทางซ้ายและขวาของจุด a มักเรียกว่าข้อ จำกัด ทางเดียว ในสัญกรณ์ของขีด จำกัด ด้านเดียวเป็น x → 0 ศูนย์แรกมักจะละเว้น: และ . ดังนั้นสำหรับฟังก์ชั่น

ถ้าสำหรับแต่ละ ε > 0 มีเพื่อนบ้าน δ ของจุด a ซึ่งสำหรับ x ทั้งหมดตรงตามเงื่อนไข |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε แล้วเราบอกว่าฟังก์ชัน f (x) มีขีดจำกัดที่จุด a:

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงมีขีดจำกัดอนันต์ที่จุด x = 0 ขีดจำกัดที่เท่ากับ +∞ และ –∞ มักจะถูกแยกแยะ ดังนั้น,

ถ้าสำหรับแต่ละε > 0 มี δ > 0 เช่นนั้นสำหรับ x > δ ใด ๆ ที่ไม่เท่ากัน |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับขอบบนที่น้อยที่สุด

คำนิยาม: AR mR, m - หน้าบน (ล่าง) ของ A ถ้า аА аm (аm)

คำนิยาม:เซต A ถูกจำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) หากมี m เช่นนั้น аА แล้ว аm (аm) ก็เป็นที่พอใจ

คำนิยาม: SupA=m ถ้า 1) m - ขอบเขตบนของ A

2) m’: m’ m' ไม่ใช่ส่วนบนของ A

InfA = n ถ้า 1) n คือ infimum ของ A

2) n’: n’>n => n’ ไม่ใช่ infimum ของ A

คำนิยาม: SupA=m เป็นตัวเลขที่: 1)  aA am

2) >0 a  A เช่น  a-

InfA = n เรียกว่าตัวเลขดังนี้:

2) >0 a  A เช่น E a+

ทฤษฎีบท:ชุดที่ไม่ว่างใดๆ АR ที่ล้อมรอบจากด้านบนจะมีขอบเขตบนที่ดีที่สุด และชุดที่ไม่ซ้ำกันในนั้น

การพิสูจน์:

เราสร้างตัวเลข m บนเส้นจริงและพิสูจน์ว่านี่คือขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของ A

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - ส่วนบนของ A

เซ็กเมนต์ [[m],[m]+1] - แบ่งออกเป็น 10 ส่วน

ม. 1 =สูงสุด:aA)]

ม. 2 = สูงสุด, ม. 1:aA)]

m ถึง =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - หน้าบน A

ให้เราพิสูจน์ว่า m=[m],m 1 ...m K เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดและไม่ซ้ำกัน:

ถึง: .

ข้าว. 11. กราฟของฟังก์ชัน y arcsin x

ให้เราแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ( แสดงองค์ประกอบ). ให้สามชุด D, E, M และให้ f: D→E, g: E→M แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะสร้างแผนที่ใหม่ h: D→M เรียกว่าองค์ประกอบของการแมป f และ g หรือฟังก์ชันที่ซับซ้อน (รูปที่ 12)

ฟังก์ชันเชิงซ้อนแสดงดังนี้: z =h(x)=g(f(x)) หรือ h = f o g

ข้าว. 12. ภาพประกอบสำหรับแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่า ฟังก์ชั่นภายในและฟังก์ชัน g ( y ) - ฟังก์ชั่นภายนอก.

1. ฟังก์ชันภายใน f (x) = x² ภายนอก g (y) บาป y ฟังก์ชันเชิงซ้อน z= g(f(x))=sin(x²)

2. ตอนนี้ในทางกลับกัน ฟังก์ชันภายใน f (x)= sinx ด้านนอก g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)