Plot y cos x. Trigonometriska funktioner

För att använda förhandsvisningen av presentationer, skapa ett konto för dig själv ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Funktioner y \u003d sin x och y \u003d cos x och deras grafer (medföljande presentation för lektionen) TATYANA SERGEEVNA KORPUSOVA lärare i matematik MBOU LSOSH No. N.F.Struchenkova Bryansk-regionen

DEFINITION Numeriska funktioner som ges av formlerna y \u003d sin x respektive y \u003d cos x, kallas sinus och cosinus. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funktion y=sin x , graf och egenskaper. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Sinusform y 1 - π / 2 π 2 π 3 π x -3 π / 2 - π 0 π / 2 3 π / 2 5 π / 2 -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y \u003d sin (x + a) EXEMPEL y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d sin x + a 1) y \u003d sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1

Plotta y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funktion y = cos x , dess egenskaper och graf. 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d cos x y 1 - π / 2 π 2 π 3 π x - π 0 π / 2 3 π / 2 5 π / 2 -1 Korpusova T.S.

Plotta y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 Korpusova T.S.

Plottning y=k sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 Korpusova T.S.

Att hitta en period trigonometriska funktioner Om y=f(x) är periodisk och har den minsta positiva perioden T₁, så är funktionen y=A f(kx+b), där A, k och b är konstanter, och k ≠ 0 , också periodisk med periodexempel : 2013-10-11 Korpusova T.S. 1) y=sin 6 x +2, T₁=2 π T₁=2 π

Plotta periodiska funktioner 10 november 2013 Korpusova T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Givet en funktion y= f(x) . Rita dess graf om perioden är känd. y x 1 1 3)T= 3

Konstruera en graf av funktionen: y=2cos(2x- π/3)-0,5 och hitta definitionsdomänen och värdeintervallet för funktionen 10.11.2013 Korpusova T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

I den här lektionen kommer vi att i detalj överväga funktionen y \u003d cos x, dess huvudegenskaper och graf. I början av lektionen kommer vi att ge definitionen av den trigonometriska funktionen y \u003d kostnad på koordinatcirkeln och överväga graf över funktionen på cirkeln och linjen. Låt oss visa periodiciteten för denna funktion på grafen och överväga funktionens huvudegenskaper. I slutet av lektionen kommer vi att lösa några enkla problem med hjälp av grafen för funktionen och dess egenskaper.

Ämne: Trigonometriska funktioner

Lektion: Funktion y=kostnad, dess huvudsakliga egenskaper och graf

En funktion är en lag enligt vilken varje värde i ett oberoende argument tilldelas ett unikt värde för funktionen.

Låt oss komma ihåg funktionsdefinition Låt vara t- valfritt verkligt tal. Det motsvarar en enda punkt M på talcirkeln. Vid punkten M det finns bara en abskissa. Det kallas numrets cosinus. t. Varje argumentvärde t motsvarar endast ett värde för funktionen (fig. 1).

Mittvinkeln är numeriskt lika med bågens storlek i radianer, dvs. antal Därför kan argumentet vara antingen ett reellt tal eller en vinkel i radianer.

Om vi kan bestämma för varje värde, då kan vi rita funktionen

Du kan få grafen för funktionen på ett annat sätt. Enligt reduktionsformlerna så cosinusdiagrammet är en sinusform förskjuten längs axeln x till vänster (fig. 2).

Funktionsegenskaper

1) Definitionsdomän:

2) Värdeintervall:

3) Funktionen är jämn:

4) Den minsta positiva perioden:

5) Koordinater för skärningspunkter med abskissaxeln:

6) Koordinater för skärningspunkten med y-axeln:

7) Intervaller på vilka funktionen tar positiva värden:

8) Intervaller vid vilka funktionen tar negativa värden:

9) Öka intervaller:

10) Fallande intervall:

11) Lågpoäng:

12) Minsta funktion: .

13) Höjdpunkter:

14) Maximala funktioner:

Vi har övervägt funktionens huvudegenskaper och grafen och kommer vidare att användas för att lösa problem.

Bibliografi

1. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Handledning för läroanstalter(profilnivå) utg. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Uppgiftsbok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra och matematisk analys för årskurs 10 ( handledning för elever i skolor och klasser med fördjupade studier i matematik).-M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. En fördjupad studie av algebra och matematisk analys.-M .: Education, 1997.

5. Samling av problem i matematik för sökande till tekniska universitet (under redaktion av M.I.Skanavi).-M.: Högre skola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk tränare.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (en manual för elever i årskurs 10-11 på allmänna läroanstalter).-M .: Education, 2003.

8. Karp A.P. Samling av problem i algebra och början av analys: lärobok. ersättning för 10-11 celler. med en djup studie matematik.-M.: Utbildning, 2006.

Läxa

Algebra and the Beginnings of Analysis, årskurs 10 (i två delar). Uppgiftsbok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Ytterligare webbresurser

3. Utbildningsportal att förbereda sig för tentor ().

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela omfattningen av presentationen. Om du är intresserad detta jobb ladda ner den fullständiga versionen.

Lektionens ämne: "Funktion y=cosx"

Lektion 1

Lektionens mål: Att introducera eleverna till egenskaperna hos en funktion

Lektionens mål.

Utbildning - bildandet av funktionella representationer på visuellt material, bildandet av förmågan att rita grafer av funktionen y \u003d cosx, för att bilda färdigheterna för fri läsning av grafer, förmågan att återspegla funktionens egenskaper på grafen.

Under lektionerna

№	Lektionsstadiet	Bildspel	Tid
1	Organisera tid. Hälsningar
2	Meddelande om ämnet och syftet med lektionen
3	Uppdatering av grundläggande kunskaper Gör muntliga övningar.	Frontalundersökning
4	Presentation av nytt material Uppgiften att plotta y \u003d cosx på ett segment Diskussion om egenskaperna för funktionen y = cosx på ett segment Uppgiften att konstruera en skiss av grafen för funktionen y \u003d cosx Diskussion om egenskaperna för funktionen y = cosx	Ange egenskaper i en tabell
5	Lösa problem enligt läroboken nr 708, nr 709	Beslutet åtföljs av bild nummer 4
6	Uppgiften att rita en graf för en funktion med en förskjutning längs ordinataaxeln och längs abskissaxeln. Funktionsegenskapsdiskussion
7	Självständigt arbete enligt läroboken	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Sammanfattande. Lektionsresultat. Betygsättning.
9	Läxa	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Konstruera grafer för funktioner y \u003d cosx på och beskriv egenskaperna för denna funktion. Extra #717 (1)

Syftet med lektionen: Att bekanta eleverna med egenskaperna för funktionen y \u003d cosx, lära sig att rita grafen för funktionen y \u003d cosx, läsa denna graf, använda egenskaperna och grafen för funktionen vid lösning av ekvationer och olikheter .

2. Meddelandet om ämnet och syftet med lektionen åtföljs av bild nummer 2

3. Förverkligande av grundläggande kunskaper

Gör muntliga övningar.

Upprepa definitionen av trigonometriska funktioner och tecknen på värdena för dessa funktioner.
Uppmärksamma eleverna på att för ev riktigt nummer du kan ange motsvarande punkt på enhetscirkeln, och därmed dess abskissa och ordinata, dvs. cosinus och sinus för talet x: y \u003d cosx och y \u003d sinx, vars definitionsdomän är alla reella tal.

Sedan svarar eleverna på frågorna:

Vid vilka värden på x får funktionen y=cosx ett värde lika med 0? ett? -ett?
Kan funktionen y=cosx ta ett värde större än 1, mindre än -1?
Vid vilka värden på x får funktionen y=cosx det största (minsta) värdet?
Vad är uppsättningen värden för funktionen y=cosx?

Svaren på dessa och följande frågor åtföljs av en illustration på en enhetscirkel.

Efter att ha upprepat tecknen på värdena för trigonometriska funktioner i varje fjärdedel av koordinatplanet, ombeds eleverna att visa flera punkter i enhetscirkeln som motsvarar tal vars cosinus är ett positivt (negativt) tal. Svara på frågorna då:

1) Vad är tecknet för funktionen y \u003d cosx, om x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Ange flera värden på x, där värdena för funktionen y \u003d cosx är positiva, negativa.

3) Är det möjligt att namnge alla värden för ett tal vars cosinus är positivt, negativt?

4) Är det möjligt att namnge alla värden för argumentet x för vilka värdena för funktionen y = cosx är positiva eller negativa?

5) Jämn eller udda funktion y = cosx.

6) Vad är perioden för denna funktion?

4. Presentation av nytt material.

Generalisering och konkretisering av den kunskap som erhållits tidigare: studiet av definitionsdomänen, värdeuppsättningen, paritet, periodicitet låter dig bygga en graf först på segmentet, sedan på segmentet och sedan på hela tallinjen. Förklaringen åtföljs av bild #3.

Sedan lär sig eleverna att rita en skiss av grafen för funktionen y \u003d cosx vid punkterna (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) och generalisera funktionernas egenskaper genom att skriva dem till en tabell.

Vi kollar med hjälp av bild nummer 4.

(I detta skede utfärdas stödanteckningar (bilaga 1))

5. Konsolidering av primärkunskap.

Med hjälp av en skiss av grafen för funktionen y \u003d cosx svarar eleverna på frågor nr 708, med hjälp av egenskapstabellen för funktionen y \u003d cosx svarar de på frågor nr 709

6. Uppgiften att rita en funktionsgraf med en förskjutning längs ordinataaxeln och längs abskissaxeln.

1. Bild nummer 5, 6

Under samtalet diskuteras egenskaperna hos dessa funktioner.

7. Självständigt arbete med läroboken

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Dela upp detta segment i två segment så att funktionen y \u003d cosx ökar på ett av dem och minskar på det andra:

Minskar; - ökar

Använd den ökande eller minskande egenskapen för funktionen y \u003d cosx, jämför siffrorna:

På segmentet minskar funktionen y \u003d cosx; , därav, .

På segmentet ökar funktionen y \u003d cosx;

<, следовательно, cos < cos

Hitta alla rötter till ekvationen som hör till segmentet:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Svar: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Sammanfattning.

Betygsättning.

På lektionen lärde vi oss hur man ritar funktionen y = cosx, läser egenskaperna för denna graf, bygger en skiss av grafen, löser problem relaterade till att använda grafen och egenskaperna för funktionen y = cosx.

9. Läxor.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Konstruera grafer för funktioner y \u003d cosx på och beskriv egenskaperna för denna funktion.

Dessutom nr 717(1).

Ämne: "Funktion y=cosx"

Lektion #2

Lektionens mål: Upprepa reglerna för att konstruera en graf för en funktion y \u003d cosx, lär dig hur du tillämpar graftransformationstekniker, läs denna graf, använd egenskaperna och grafen för en funktion när du löser ekvationer och olikheter.

Lektionens mål.

Utbildning - bildandet av funktionella representationer på visuellt material, bildandet av förmågan att rita grafer av funktionen y \u003d cosx med olika transformationer, för att bilda färdigheterna för fri läsning av grafer, förmågan att återspegla egenskaperna hos en funktion på en graf.

Utveckla - bildandet av förmågan att analysera, generalisera den kunskap som vunnits. Bildande av logiskt tänkande.

Pedagogisk - att aktivera intresset för att skaffa ny kunskap, utbilda en grafisk kultur, forma noggrannhet och noggrannhet vid ritningar.

Utrustning: multimediaprojektor, duk, Microsoft Windows 98/Me/2000/XP operativsystem, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Under lektionerna

№	Lektionsstadiet	Bildspel	Tid
1	Organisera tid. Hälsningar		1
2	Meddelande om ämnet och syftet med lektionen		2
3	Kollar läxor	№717(1), Slide №7	5
4	Presentation av nytt material Uppgiften att rita en graf genom att klämma och sträcka till OX-axeln Diskussion om egenskaperna för funktionen y =k cosx för k>1 och 0 Uppgiften att rita en graf genom att klämma och sträcka till ori OU Diskussion om egenskaperna för funktionen y = cos(k x) för k>1 och 0	Skjut №8, 9	12
5	Konsolidering av primärkunskap. Lösa problem i läroboken №713(1;3), №715(1) №716(1)	Nr 717 (2) lärobok s. 208. När du löser nr 715 (1), nr 716 (1), använd den konstruerade grafen för funktionen y \u003d cos2x. Bild #10	5
6	Uppgiften är att rita en graf för en funktion som är symmetrisk kring x-axeln. 1. Organisatoriskt ögonblick. Hälsningar. 2. Meddelandet om ämnet och syftet med lektionen åtföljs av bild nummer 2. 3. Kontrollera läxor 4. Presentation av nytt material 1. Uppgiften att rita en graf genom att klämma och sträcka till OX-axeln. Diskussion om egenskaperna för funktionen y =k cosx för k>1 och 0 bild nummer 8 2. Uppgiften att rita en graf genom att klämma och sträcka till y-axeln. Diskussion om egenskaperna för funktionen y = cos(kx) för k>1 och 0 bild nummer 9 5. Konsolidering av primärkunskap Lösa problem enligt läroboken nr 713 (1; 3), nr 715 (1) nr 716 (1) Uppgift nr 715 (1) nr 716 (1) kontrolleras med hjälp av bild nr 10 6. Uppgiften att rita en graf för en funktion symmetrisk kring x-axeln Funktionsegenskapsdiskussion . Bild nummer 11 (använd referensöversikten (bilaga 1)) 7. Självständigt arbete Lösning av testproblem . (Hälften av eleverna löser prov i XL (bilaga 2), vid datorer, andra halvan på utdelat material (bilaga 3). Sedan byter eleverna plats.) 8. Resultatet av lektionen. Som ett resultat av att studera ämnet lärde sig eleverna hur man ritar funktionen y \u003d cosx, läser funktionens egenskaper, bygger grafer för funktionen med olika transformationer, läser egenskaperna för grafer med transformationer, löser enkla problem med hjälp av grafer och egenskaper för funktionen y \u003d cosx. Betygsättning. 9. Läxor. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Dessutom nr 719(2) (Kontrollera bild nr 13) I början av nästa lektion kan du bjuda in eleverna att arbeta med att bygga grafer på färdiga åhörarkopior (

Centrerad vid en punkt A.
α är en vinkel uttryckt i radianer.

Definition
Sinusär en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det motsatta benet |BC| till hypotenusans längd |AC|.

Cosinus (cos α)är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det intilliggande benet |AB| till hypotenusans längd |AC|.

Godkända beteckningar

;
;
.

Graf över sinusfunktionen, y = sin x

Graf över cosinusfunktionen, y = cos x

Egenskaper för sinus och cosinus

Periodicitet

Funktioner y= synd x och y= för x periodisk med period 2 π.

Paritet

Sinusfunktionen är udda. Cosinusfunktionen är jämn.

Definitionsdomän och värden, extrema, öka, minska

Funktionerna sinus och cosinus är kontinuerliga på sin definitionsdomän, det vill säga för alla x (se kontinuitetsbeviset). Deras huvudsakliga egenskaper presenteras i tabellen (n - heltal).

	y= synd x	y= för x
Omfattning och kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Värdeintervall	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Stigande
Nedåtgående
Maximum, y= 1
Minima, y = - 1
Nollor, y= 0
Skärningspunkter med y-axeln, x = 0	y= 0	y= 1

Grundläggande formler

Summan av sinus och cosinus i kvadrat

Sinus- och cosinusformler för summa och skillnad

;
;

Formler för produkten av sinus och cosinus

Summa och skillnadsformler

Uttryck av sinus till cosinus

;
;
;
.

Uttryck av cosinus genom sinus

;
;
;
.

Uttryck i termer av tangent

; .

För , vi har:
; .

Vid:
; .

Tabell över sinus och cosinus, tangenter och cotangenter

Den här tabellen visar värdena för sinus och cosinus för vissa värden i argumentet.

Uttryck genom komplexa variabler

;

Euler formel

Uttryck i termer av hyperboliska funktioner

;
;

Derivat

; . Härledning av formler > > >

Derivater av n:e ordningen:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, cosecant

Omvända funktioner

De inversa funktionerna till sinus och cosinus är arcsinus respektive arccosinus.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.

Vi rekommenderar också

Läser in...

Hem > Lantbruk