Funktionsteori för en variabel. Matematisk analys

Låt variabeln x n tar en oändlig sekvens av värden

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

och ändringslagen för variabeln är känd x n, dvs. för varje naturligt tal n du kan ange motsvarande värde x n. Det antas alltså att variabeln x när en funktion av n:

x n = f(n)

Låt oss definiera ett av de viktigaste begreppen för matematisk analys - gränsen för en sekvens, eller, vad är samma, gränsen för en variabel x n löpsekvens x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definition. konstant antal a kallad sekvensgräns x 1 , x 2 , ..., x n , ... . eller gränsen för en variabel x n, om det för ett godtyckligt litet positivt tal e finns ett naturligt tal N(dvs nummer N) att alla värden för variabeln x n, börjar med x N, avvika från a mindre i absolut värde än e. Denna definition är kortfattat skriven så här:

| x n - a |< (2)

för alla n  N, eller, vilket är detsamma,

Definition av Cauchy-gränsen. Ett tal A kallas gränsen för en funktion f (x) i en punkt a om denna funktion är definierad i någon granne av punkten a, utom kanske för själva punkten a, och för varje ε > 0 finns det δ > 0 så att för alla x uppfyller villkor |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definition av Heine-gränsen. Ett tal A kallas gränsen för en funktion f (x) i en punkt a om denna funktion är definierad i någon granne av punkten a, utom kanske för själva punkten a och för vilken sekvens som helst så att konvergerar till talet a, konvergerar motsvarande sekvens av värden för funktionen till talet A.

Om funktionen f(x) har en gräns vid punkten a, är denna gräns unik.

Talet A 1 kallas den vänstra gränsen för funktionen f (x) vid punkten a om det för varje ε > 0 finns δ >

Talet A 2 kallas den högra gränsen för funktionen f (x) i punkten a om det för varje ε > 0 finns δ > 0 så att olikheten

Gränsen till vänster betecknas gränsen till höger - Dessa gränser kännetecknar beteendet för funktionen till vänster och höger om punkten a. De kallas ofta för envägsgränser. I notationen av ensidiga gränser som x → 0, utelämnas vanligtvis den första nollan: och . Så för funktionen

Om det för varje ε > 0 finns en δ-grannskap till en punkt a sådan att för alla x som uppfyller villkoret |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, då säger vi att funktionen f (x) har en oändlig gräns vid punkten a:

Funktionen har alltså en oändlig gräns vid punkten x = 0. Gränser lika med +∞ och –∞ särskiljs ofta. Så,

Om det för varje ε > 0 finns δ > 0 så att för varje x > δ olikheten |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Existenssats för den minsta övre gränsen

Definition: AR mR, m - övre (nedre) ytan av A, om аА аm (аm).

Definition: Mängden A är avgränsad från ovan (underifrån), om det finns m så att аА, så är аm (аm) uppfyllt.

Definition: SupA=m, om 1) m - övre gräns för A

2) m’: m’ m' är inte en ovansida av A

InfA = n om 1) n är infimum av A

2) n’: n’>n => n’ är inte ett infimum av A

Definition: SupA=m är ett tal så att: 1)  aA am

2) >0 a  A, så att en  a-

InfA = n kallas ett tal så att:

2) >0 a  A, så att en E a+

Sats: Varje icke-tom uppsättning АR avgränsad från ovan har en minsta övre gräns, och en unik.

Bevis:

Vi konstruerar ett tal m på den reella linjen och bevisar att detta är den minsta övre gränsen för A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - ovansidan av A

Segment [[m],[m]+1] - delas upp i 10 delar

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m till =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - ovansida A

Låt oss bevisa att m=[m],m 1 ...m K är den minsta övre gränsen och att den är unik:

till: .

Ris. 11. Graf över funktionen y båge x.

Låt oss nu introducera begreppet en komplex funktion ( visa kompositioner). Låt tre uppsättningar D, E, M ges och låt f: D→E, g: E→M. Uppenbarligen är det möjligt att konstruera en ny mappning h: D→M, kallad en sammansättning av mappningar f och g eller en komplex funktion (fig. 12).

En komplex funktion betecknas enligt följande: z =h(x)=g(f(x)) eller h = f o g.

Ris. 12. Illustration för begreppet en komplex funktion.

Funktionen f (x) anropas intern funktion, och funktionen g ( y ) - extern funktion.

1. Intern funktion f (x) = x², extern g (y) sin y. Komplex funktion z= g(f(x))=sin(x²)

2. Nu vice versa. Inre funktion f (x)= sinx, yttre g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)