Exponentiella ekvationer och ojämlikheter exempel. exponentiella ojämlikheter

Belgorod State University

STOL algebra, talteori och geometri

Arbetstema: Exponentialpotensekvationer och ojämlikheter.

Examensarbete student vid fakulteten för fysik och matematik

Handledare:

______________________________

Granskare: __________________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introduktion			3
Ämne jag.	Analys av litteraturen om forskningsämnet.
Ämne II.	Funktioner och deras egenskaper som används för att lösa exponentiella potensekvationer och olikheter.
	I.1.	Power funktion och dess egenskaper.
	I.2.	Exponentiell funktion och dess egenskaper.
Ämne III.	Lösning av exponentiella potensekvationer, algoritm och exempel.
Ämne IV.	Lösning av ojämlikheter i exponentiell makt, lösningsplan och exempel.
Ämne v.	Erfarenhet av att hålla lektioner med skolbarn på ämnet: "Lösning av exponentiella maktekvationer och ojämlikheter."
v. 1.	Läromaterial.
v. 2.	Uppgifter för självständig lösning.
Slutsats.	Slutsatser och erbjudanden.
Bibliografi.
Ansökningar

Introduktion.

"... glädjen att se och förstå ..."

A. Einstein.

I detta arbete försökte jag förmedla min erfarenhet som lärare i matematik, att åtminstone till viss del förmedla min inställning till att undervisa i det - en mänsklig fråga där matematisk vetenskap, pedagogik, didaktik, psykologi och till och med filosofi är överraskande sammanflätade.

Jag hade möjlighet att arbeta med barn och akademiker, med barn som stod vid polerna för intellektuell utveckling: de som var registrerade hos en psykiater och som verkligen var intresserade av matematik

Jag var tvungen att lösa många metodproblem. Jag ska försöka prata om de som jag lyckades lösa. Men ännu mer – det gick inte, och i de som verkar vara lösta dyker nya frågor upp.

Men ännu viktigare än själva upplevelsen är lärarens reflektioner och tvivel: varför är det just så här, denna upplevelse?

Och sommaren är annorlunda nu, och utbildningsskiftet har blivit mer intressant. "Under the Jupiters" är idag inte sökandet efter ett mytiskt optimalt system för att lära ut "alla och allt", utan barnet självt. Men sedan - med nödvändighet - och läraren.

I skolans kurs i algebra och började analys, årskurs 10 - 11, med klara provet per kurs gymnasium och vid inträdesproven till universiteten finns det ekvationer och ojämlikheter som innehåller det okända vid basen och exponenter - dessa är exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

Lite uppmärksamhet ägnas åt dem i skolan, det finns praktiskt taget inga uppgifter om detta ämne i läroböcker. Men att behärska tekniken för att lösa dem, verkar det mig, är mycket användbart: det ökar mentala och Kreativa färdigheter studenter öppnar sig helt nya horisonter inför oss. När man löser problem får eleverna de första färdigheterna forskningsarbete, deras matematiska kultur berikas, deras förmåga att logiskt tänkande. Skolbarn utvecklar sådana personlighetsdrag som målmedvetenhet, målsättning, oberoende, vilket kommer att vara användbart för dem senare i livet. Och det finns också en upprepning, expansion och djup assimilering av utbildningsmaterial.

Jag började arbeta med detta ämne i min avhandlingsforskning med att skriva en terminsuppsats. Under loppet av vilken jag studerade och analyserade den matematiska litteraturen om detta ämne mer djupgående, identifierade jag den mest lämpliga metoden för att lösa exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

Det ligger i det faktum att utöver det allmänt accepterade tillvägagångssättet när man löser exponentiella potensekvationer (basen tas större än 0) och när man löser samma olikheter (basen tas större än 1 eller större än 0, men mindre än 1), fall beaktas också när baserna är negativa, är 0 och 1.

Skriftlig analys examensarbeten elever visar att bristen på täckning av frågan om det negativa värdet av argumentet om exponentialkraftsfunktionen i skolböcker orsakar dem ett antal svårigheter och leder till fel. Och de har också problem vid systematiseringsstadiet av de erhållna resultaten, där, på grund av övergången till ekvationen - en konsekvens eller ojämlikhet - en konsekvens, kan främmande rötter uppstå. För att eliminera fel använder vi en kontroll på den ursprungliga ekvationen eller ojämlikheten och en algoritm för att lösa exponentialpotensekvationer, eller en plan för att lösa exponentialpotensolikheter.

För att eleverna ska lyckas klara slut- och inträdesproven tror jag att det är nödvändigt att ägna mer uppmärksamhet åt att lösa exponentiella potensekvationer och ojämlikheter i klassrummet, eller dessutom i valfria och cirklar.

På det här sättet ämne , min avhandling definieras enligt följande: "Exponentialpotensekvationer och ojämlikheter".

Mål av detta arbete är:

1. Analysera litteraturen om detta ämne.

2. Ge fullständig analys lösningar av exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

3. Ge ett tillräckligt antal exempel på detta ämne av olika slag.

4. Kontrollera på lektionen, tillvals- och cirkelklasserna hur de föreslagna metoderna för att lösa exponentialpotensekvationer och ojämlikheter kommer att uppfattas. Ge lämpliga rekommendationer för att studera detta ämne.

Ämne vår forskning går ut på att utveckla en teknik för att lösa exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

Syftet och ämnet för studien krävde lösningen av följande uppgifter:

1. Studera litteraturen om ämnet: "Exponentialpotensekvationer och ojämlikheter."

2. Behärska metoderna för att lösa exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

3. Välj träningsmaterial och utveckla ett system med övningar på olika nivåer på ämnet: "Lösa exponentiella potensekvationer och ojämlikheter."

Under avhandlingens forskning har mer än 20 artiklar ägnat sig åt tillämpningen av olika metoder lösningar av exponentiella potensekvationer och ojämlikheter. Härifrån får vi.

Examensarbetesplan:

Introduktion.

Kapitel I. Analys av litteraturen om forskningsämnet.

Kapitel II. Funktioner och deras egenskaper som används för att lösa exponentiella potensekvationer och olikheter.

II.1. Power funktion och dess egenskaper.

II.2. Exponentialfunktionen och dess egenskaper.

Kapitel III. Lösning av exponentiella potensekvationer, algoritm och exempel.

Kapitel IV. Lösning av ojämlikheter i exponentiell makt, lösningsplan och exempel.

Kapitel V. Erfarenhet av att hålla klasser med skolbarn om detta ämne.

1. Utbildningsmaterial.

2. Uppgifter för självständig lösning.

Slutsats. Slutsatser och erbjudanden.

Lista över begagnad litteratur.

Litteratur analyserad i kapitel I

I den här lektionen kommer vi att överväga olika exponentiella ojämlikheter och lära oss hur man löser dem baserat på metoden för att lösa de enklaste exponentiella ojämlikheterna

1. Definition och egenskaper för exponentialfunktionen

Kom ihåg definitionen och huvudegenskaperna för en exponentialfunktion. Det är på egenskaperna som lösningen av alla exponentiella ekvationer och olikheter baseras.

Exponentiell funktionär en funktion av formen , där basen är graden och här x är en oberoende variabel, ett argument; y - beroende variabel, funktion.

Ris. 1. Graf över exponentialfunktionen

Grafen visar en ökande och minskande exponent som illustrerar exponentialfunktionen vid en bas som är större än ett respektive mindre än ett, men större än noll.

Båda kurvorna passerar genom punkten (0;1)

Exponentialfunktionens egenskaper:

Domän: ;

Värdeintervall: ;

Funktionen är monoton, ökar som , minskar som .

En monoton funktion tar vart och ett av sina värden med ett enda värde av argumentet.

När , när argumentet ökar från minus till plus oändlighet, ökar funktionen från noll, inte inklusive, till plus oändlighet, d.v.s. för givna värden av argumentet, har vi en monotont ökande funktion (). När tvärtom, när argumentet ökar från minus till plus oändlighet, minskar funktionen från oändlighet till noll, inklusive, det vill säga för givna värden av argumentet, har vi en monotont minskande funktion ().

2. De enklaste exponentiella ojämlikheterna, lösningsteknik, exempel

Baserat på det föregående presenterar vi en metod för att lösa de enklaste exponentiella ojämlikheterna:

Metod för att lösa ojämlikheter:

Utjämna grunderna för graderna;

Jämför indikatorer, behåll eller ändra till motsatt tecken på ojämlikhet.

Lösningen av komplexa exponentiella ojämlikheter består som regel i att de reduceras till de enklaste exponentiella ojämlikheterna.

Gradens bas är större än en, vilket innebär att olikhetstecknet bevaras:

Låt oss omvandla den högra sidan enligt gradens egenskaper:

Gradens bas är mindre än en, olikhetstecknet måste vändas:

För att lösa en andragradsolikhet löser vi motsvarande andragradsekvation:

Med Vietas teorem finner vi rötterna:

Parabolens grenar är riktade uppåt.

Därmed har vi en lösning på ojämlikheten:

Det är lätt att gissa att den högra sidan kan representeras som en potens med noll exponent:

Gradens bas är större än en, olikhetstecknet ändras inte, vi får:

Kom ihåg förfarandet för att lösa sådana ojämlikheter.

Betrakta en bråkdel rationell funktion:

Hitta definitionsdomänen:

Vi hittar rötterna till funktionen:

Funktionen har en enda rot,

Vi väljer intervall för teckenkonstans och bestämmer tecknen för funktionen på varje intervall:

Ris. 2. Intervaller för teckenkonstans

Så vi fick svaret.

Svar:

3. Lösning av typiska exponentiella ojämlikheter

Betrakta ojämlikheter med samma exponenter men olika baser.

En av egenskaperna hos en exponentiell funktion är att den tar strikt positiva värden för alla värden av argumentet, vilket innebär att den kan delas upp i en exponentiell funktion. Låt oss dividera den givna ojämlikheten med dess högra sida:

Gradens bas är större än en, ojämlikhetstecknet bevaras.

Låt oss illustrera lösningen:

Figur 6.3 visar graferna för funktionerna och . Uppenbarligen, när argumentet är större än noll, är grafen för funktionen placerad högre, denna funktion är större. När värdena för argumentet är negativa passerar funktionen under, den är mindre. Om värdet på argumentet är lika, så är den givna punkten också en lösning på den givna olikheten.

Ris. 3. Illustration till exempel 4

Vi transformerar den givna ojämlikheten enligt gradens egenskaper:

Här är liknande medlemmar:

Låt oss dela upp båda delarna i:

Nu fortsätter vi att lösa på samma sätt som i exempel 4, vi delar båda delarna med:

Gradens bas är större än en, ojämlikhetstecknet bevaras:

4. Grafisk lösning av exponentiella ojämlikheter

Exempel 6 - lös ojämlikheten grafiskt:

Tänk på funktionerna på vänster och höger sida och rita var och en av dem.

Funktionen är en exponent, den ökar över hela sin definitionsdomän, det vill säga för alla reella värden av argumentet.

Funktionen är linjär och minskar över hela dess definitionsdomän, det vill säga för alla reella värden av argumentet.

Om dessa funktioner korsar varandra, det vill säga systemet har en lösning, så är en sådan lösning unik och kan lätt gissas. För att göra detta, iterera över heltal ()

Det är lätt att se att roten till detta system är:

Således skär funktionsgraferna i en punkt med ett argument lika med ett.

Nu måste vi få svar. Innebörden av den givna olikheten är att exponenten måste vara större än eller lika med den linjära funktionen, det vill säga den måste vara större än eller lika med den. Svaret är uppenbart: (Figur 6.4)

Ris. 4. Illustration till exempel 6

Så vi har övervägt lösningen av olika typiska exponentiella ojämlikheter. Därefter övergår vi till övervägandet av mer komplexa exponentiella ojämlikheter.

Bibliografi

Mordkovich A. G. Algebra och början matematisk analys. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra och början av matematisk analys. - M.: Snäpp. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra och början av matematisk analys. - M.: Upplysning.

Matematik. md . Matematik-upprepning. com. Diffur. kemsu. ru.

Läxa

1. Algebra och början av analys, betyg 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Lös ojämlikheten:

3. Lös ojämlikheten.

Många tror att exponentiella ojämlikheter är något så komplicerat och obegripligt. Och att lära sig att lösa dem är nästan en stor konst, som bara de utvalda kan förstå...

Fullständigt nonsens! Exponentiella ojämlikheter är lätta. Och de är alltid lätta att lösa. Ja, nästan alltid. :)

Idag kommer vi att analysera detta ämne långt och brett. Den här lektionen kommer att vara mycket användbar för dem som precis har börjat förstå den här delen av skolmatematiken. Låt oss börja med enkla uppgifter och låt oss gå vidare till fler svåra frågor. Det kommer inte att finnas något tinny idag, men det du kommer att läsa nu kommer att räcka för att lösa de flesta av ojämlikheterna i alla typer av kontroll och självständigt arbete. Och på detta ditt prov också.

Som alltid, låt oss börja med en definition. En exponentiell olikhet är varje olikhet som innehåller en exponentiell funktion. Det kan med andra ord alltid reduceras till en olikhet i formen

\[((a)^(x)) \gt b\]

Där rollen som $b$ kan vara ett vanligt nummer, eller kanske något tuffare. Exempel? Ja tack:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jag tror att innebörden är tydlig: det finns en exponentiell funktion $((a)^(x))$, den jämförs med något och ombeds sedan hitta $x$. I särskilt kliniska fall kan de istället för variabeln $x$ sätta någon funktion $f\left(x \right)$ och därigenom komplicera ojämlikheten lite. :)

Naturligtvis kan ojämlikheten i vissa fall se allvarligare ut. Till exempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller till och med detta:

I allmänhet kan komplexiteten hos sådana ojämlikheter vara väldigt olika, men i slutändan kommer de ändå ner till en enkel konstruktion $((a)^(x)) \gt b$. Och vi kommer på något sätt att hantera en sådan design (i särskilt kliniska fall, när ingenting kommer att tänka på, kommer logaritmer att hjälpa oss). Därför kommer vi nu att lära oss hur man löser sådana enkla konstruktioner.

Lösning av de enklaste exponentiella ojämlikheterna

Låt oss titta på något mycket enkelt. Till exempel, här är det:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Uppenbarligen kan siffran till höger skrivas om som en potens av två: $4=((2)^(2))$. Således är den ursprungliga ojämlikheten omskriven i en mycket bekväm form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Och nu kliar händerna efter att "kryssa över" tvåorna, stående i gradernas baser, för att få svaret $x \gt 2$. Men innan vi stryker över något, låt oss komma ihåg krafterna hos två:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som vi ser vad Mer står i exponenten, desto större utdatanummer. "Tack, Cap!" kommer en av eleverna att utbrista. Händer det annorlunda? Tyvärr händer det. Till exempel:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ höger))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Även här är allt logiskt: ju större grad, desto fler gånger multipliceras talet 0,5 med sig självt (det vill säga delas på hälften). Således minskar den resulterande sekvensen av tal, och skillnaden mellan den första och andra sekvensen är bara i basen:

• Om basen för grad $a \gt 1$, då exponenten $n$ växer, kommer talet $((a)^(n))$ också att växa;
• Omvänt, om $0 \lt a \lt 1$, då exponenten $n$ växer, kommer talet $((a)^(n))$ att minska.

När vi sammanfattar dessa fakta får vi det viktigaste uttalandet, på vilket hela lösningen av exponentiella ojämlikheter är baserad:

Om $a \gt 1$ är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \gt n$. Om $0 \lt a \lt 1$, då är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \lt n$.

Med andra ord, om basen är större än en kan du helt enkelt ta bort den - olikhetstecknet kommer inte att ändras. Och om basen är mindre än en, kan den också tas bort, men tecknet på ojämlikhet måste också ändras.

Observera att vi inte har övervägt alternativen $a=1$ och $a\le 0$. För i dessa fall råder osäkerhet. Antag hur man löser en olikhet på formen $((1)^(x)) \gt 3$? En etta till vilken makt som helst kommer igen att ge en etta - vi kommer aldrig att få en trea eller fler. De där. det finns inga lösningar.

Med negativa grunder är det ännu mer intressant. Tänk till exempel på följande ojämlikhet:

\[((\vänster(-2 \höger))^(x)) \gt 4\]

Vid första anblicken är allt enkelt:

Korrekt? Men nej! Det räcker med att istället för $x$ ersätta ett par jämna tal och ett par udda tal för att säkerställa att lösningen är fel. Ta en titt:

\[\begin(align) & x=4\Högerpil ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Högerpil ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se växlar tecknen. Men det finns fortfarande bråkgrader och annat tenn. Hur skulle du till exempel beställa $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus två upphöjda till roten av sju)? Aldrig!

Därför antar vi för tydlighetens skull att i alla exponentiella ojämlikheter (och ekvationer förresten också) $1\ne a \gt 0$. Och då är allt löst väldigt enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Högerpil \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

I allmänhet, kom ihåg huvudregeln återigen: om basen i exponentialekvationen är större än en kan du helt enkelt ta bort den; och om basen är mindre än en kan den också tas bort, men detta kommer att ändra olikhetstecknet.

Lösningsexempel

Så, överväg några enkla exponentiella ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primära uppgiften är densamma i alla fall: att reducera ojämlikheterna till den enklaste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Detta är vad vi nu kommer att göra med varje olikhet, och samtidigt kommer vi att upprepa egenskaperna hos potenser och exponentialfunktionen. Låt oss gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Vad kan göras här? Jo, till vänster har vi redan ett demonstrativt uttryck – inget behöver ändras. Men till höger finns det något slags skit: en bråkdel, och till och med en rot i nämnaren!

Kom dock ihåg reglerna för att arbeta med bråk och potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Vad betyder det? För det första kan vi enkelt bli av med bråket genom att göra det till en negativ exponent. Och för det andra, eftersom nämnaren är roten, skulle det vara trevligt att förvandla den till en grad - den här gången med en bråkdelsexponent.

Låt oss tillämpa dessa åtgärder sekventiellt på den högra sidan av ojämlikheten och se vad som händer:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=(\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \höger))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \höger)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Glöm inte att när du höjer en grad till en potens, läggs exponenterna för dessa grader till. Och i allmänhet, när man arbetar med exponentiella ekvationer och ojämlikheter, är det absolut nödvändigt att känna till åtminstone de enklaste reglerna för att arbeta med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\vänster(((a)^(x)) \höger))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Faktiskt, sista regeln vi har precis ansökt. Därför kommer vår ursprungliga ojämlikhet att skrivas om enligt följande:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Högerpil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nu blir vi av med tvåan vid basen. Eftersom 2 > 1 förblir olikhetstecknet detsamma:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Högerpil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Den största svårigheten ligger inte alls i den exponentiella funktionen, utan i den kompetenta omvandlingen av det ursprungliga uttrycket: du måste noggrant och så snabbt som möjligt föra det till sin enklaste form.

Tänk på den andra ojämlikheten:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Men, men. Här väntar vi på decimalbråk. Som jag har sagt många gånger, i alla uttryck med potenser, bör du bli av med decimalbråk - ofta är detta det enda sättet att se en snabb och enkel lösning. Här är vad vi blir av med:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ höger))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Högerpil ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Framför oss ligger återigen den enklaste ojämlikheten, och även med basen 1/10, d.v.s. mindre än en. Tja, vi tar bort baserna och ändrar samtidigt tecknet från "mindre" till "större", och vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi fick det slutliga svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observera att svaret är exakt mängden, och i inget fall är konstruktionen av formen $x \lt -1$. För formellt sett är en sådan konstruktion inte alls en mängd, utan en olikhet med avseende på variabeln $x$. Ja, det är väldigt enkelt, men det är inte svaret!

Viktig notering. Denna ojämlikhet skulle kunna lösas på ett annat sätt - genom att reducera båda delarna till en potens med en bas större än en. Ta en titt:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Högerpil ((\vänster(((10)^(-1)) \höger))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Högerpil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Efter denna förvandling får vi igen exponentiell ojämlikhet, men med bas 10 > 1. Och det betyder att du helt enkelt kan stryka över tio - olikhetstecknet kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se är svaret exakt detsamma. Samtidigt räddade vi oss från behovet av att byta skylt och i allmänhet komma ihåg några regler där. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Men låt det inte skrämma dig. Vad som än står i indikatorerna förblir tekniken för att lösa själva ojämlikheten densamma. Därför noterar vi först att 16 = 2 4 . Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten med hänsyn till detta faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fick det vanliga kvadratisk ojämlikhet! Tecknet har inte ändrats någonstans, eftersom basen är en tvåa - ett tal större än ett.

Funktionsnollor på tallinjen

Vi ordnar tecknen för funktionen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - uppenbarligen kommer dess graf att vara en parabel med grenar uppåt, så det kommer att finnas "plus " på sidorna. Vi är intresserade av regionen där funktionen är mindre än noll, d.v.s. $x\in \left(2;5 \right)$ är svaret på det ursprungliga problemet.

Tänk slutligen på en annan ojämlikhet:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Återigen ser vi en exponentialfunktion med ett decimaltal i basen. Låt oss konvertera denna bråkdel till en vanlig bråkdel:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Högerpil \\ & \Högerpil ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\vänster(((5)^(-1)) \höger))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I det här fallet utnyttjade vi anmärkningen som gjordes tidigare - vi minskade basen till siffran 5\u003e 1 för att förenkla vårt ytterligare beslut. Låt oss göra samma sak med höger sida:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ höger))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten, med hänsyn till båda transformationerna:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Högerpil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \höger)))\ge ((5)^(-2))\]

Baserna på båda sidor är samma och större än en. Det finns inga andra termer till höger och vänster, så vi "kryssar" bara femmorna och vi får ett väldigt enkelt uttryck:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det är här du måste vara försiktig. Många elever gillar att helt enkelt extrahera Roten ur båda delarna av ojämlikheten och skriv ungefär $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Du bör aldrig göra detta, eftersom roten till en exakt kvadrat är modul, och i inget fall den ursprungliga variabeln:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\vänster| x\höger|\]

Att arbeta med moduler är dock inte den trevligaste upplevelsen, eller hur? Så vi kommer inte att jobba. Istället flyttar vi helt enkelt alla termer åt vänster och löser den vanliga ojämlikheten med intervallmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Återigen markerar vi de erhållna punkterna på tallinjen och tittar på tecknen:

Observera: prickar är skuggade.

Eftersom vi löste en icke strikt ojämlikhet, är alla punkter på grafen skuggade. Därför blir svaret: $x\in \left[ -1;1 \right]$ är inte ett intervall, utan ett segment.

I allmänhet skulle jag vilja notera att det inte finns något komplicerat i exponentiella ojämlikheter. Innebörden av alla transformationer som vi utförde idag kokar ner till en enkel algoritm:

• Hitta basen till vilken vi ska minska alla grader;
• Utför noggrant transformationer för att få en olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naturligtvis, istället för variablerna $x$ och $n$, kan det finnas mycket mer komplexa funktioner, men det ändrar inte innebörden;
• Stryk över gradernas baser. I det här fallet kan olikhetstecknet ändras om basen $a \lt 1$.

Faktum är att detta är en universell algoritm för att lösa alla sådana ojämlikheter. Och allt annat som kommer att berättas för dig om detta ämne är bara specifika knep och knep för att förenkla och påskynda omvandlingen. Här är ett av de knep vi ska prata om nu. :)

rationaliseringsmetod

Tänk på en annan grupp ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \höger))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Tja, vad är det som är så speciellt med dem? De är också lätta. Fast sluta! Är pi upphöjd till en makt? Vad är det för nonsens?

Och hur höjer man talet $2\sqrt(3)-3$ till en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Kompilatorerna av problemen drack uppenbarligen för mycket "Hawthorn" innan de satte sig till jobbet. :)

Det är faktiskt inget fel med dessa uppgifter. Låt mig påminna dig: en exponentialfunktion är ett uttryck av formen $((a)^(x))$, där basen $a$ är vilket positivt tal som helst, förutom ett. Siffran π är positiv - det vet vi redan. Siffrorna $2\sqrt(3)-3$ och $3-2\sqrt(2)$ är också positiva - det är lätt att se om vi jämför dem med noll.

Det visar sig att alla dessa "skrämmande" ojämlikheter inte skiljer sig från de enkla som diskuterats ovan? Och gör de det på samma sätt? Ja, helt rätt. Men med deras exempel skulle jag vilja överväga ett knep som sparar mycket tid på självständigt arbete och tentor. Vi kommer att prata om metoden för rationalisering. Så uppmärksamhet:

Eventuell exponentiell olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ är ekvivalent med olikheten $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ höger) \gt 0 $.

Det är hela metoden. :) Trodde du att det skulle bli något slags nästa spel? Inget sånt här! Men detta enkla faktum, bokstavligen skrivet på en rad, kommer att avsevärt förenkla vårt arbete. Ta en titt:

\[\begin(matris) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matris)\]

Här finns inga fler exponentiella funktioner! Och du behöver inte komma ihåg om skylten ändras eller inte. Men ett nytt problem uppstår: vad ska man göra med multiplikatorn \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet inte hur det är exakt värde siffror π. Men kaptenen verkar antyda det uppenbara:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ca 3,14... \gt 3\Högerpil \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

I allmänhet stör det exakta värdet av π oss inte särskilt mycket - det är bara viktigt för oss att förstå att i alla fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. är en positiv konstant, och vi kan dela båda sidor av ojämlikheten med den:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \höger) \gt 0 \\ & x+7-\vänster(((x)^(2))-3x+2 \höger) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, vid en viss tidpunkt var vi tvungna att dividera med minus ett, och olikhetstecknet ändrades. I slutet utökade jag kvadrattrinomialet enligt Vieta-satsen - det är uppenbart att rötterna är lika med $((x)_(1))=5$ och $((x)_(2))=- 1$. Sedan löses allt med den klassiska metoden med intervaller:

Vi löser ojämlikheten med intervallmetoden

Alla punkter punkteras eftersom den ursprungliga ojämlikheten är strikt. Vi är intresserade av området med negativa värden, så svaret är $x\in \left(-1;5 \right)$. Det är lösningen. :)

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Allt är enkelt här, eftersom det finns en enhet till höger. Och vi kommer ihåg att en enhet är vilket tal som helst upphöjt till noll. Även om detta nummer är ett irrationellt uttryck, stående vid basen till vänster:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \höger))^(0)); \\\end(align)\]

Så låt oss rationalisera:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det återstår bara att ta itu med tecknen. Multiplikatorn $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ innehåller inte variabeln $x$ - det är bara en konstant, och vi måste räkna ut dess tecken. För att göra detta, notera följande:

\[\begin(matris) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matris)\]

Det visar sig att den andra faktorn inte bara är en konstant, utan en negativ konstant! Och när man dividerar med det kommer tecknet på den ursprungliga ojämlikheten att ändras till motsatsen:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Nu blir allt ganska uppenbart. Rötter kvadratisk trinomium till höger: $((x)_(1))=0$ och $((x)_(2))=2$. Vi markerar dem på talraden och tittar på tecknen för funktionen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Fallet när vi är intresserade av laterala intervall

Vi är intresserade av intervallerna markerade med ett plustecken. Det återstår bara att skriva ner svaret:

Låt oss gå vidare till nästa exempel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ höger))^(16-x))\]

Tja, allt är ganska uppenbart här: baserna är potenser av samma nummer. Därför kommer jag att skriva allt kort:

\[\begin(matris) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\vänster(((3)^(-2)) \höger))^(16-x)) \\\end(matris)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2)))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vänster(16-x\höger))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se var vi i transformationsprocessen tvungna att multiplicera med ett negativt tal, så olikhetstecknet ändrades. I slutet tillämpade jag återigen Vietas teorem för att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. Som ett resultat blir svaret följande: $x\in \left(-8;4 \right)$ - de som vill kan verifiera detta genom att rita en sifferlinje, markera punkter och räkna tecken. Under tiden kommer vi att gå vidare till den sista ojämlikheten från vår "uppsättning":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se, vid basen är igen irrationellt tal, och enheten är återigen till höger. Därför skriver vi om vår exponentiella ojämlikhet enligt följande:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ höger))^(0))\]

Låt oss rationalisera:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det är dock ganska uppenbart att $1-\sqrt(2) \lt 0$, eftersom $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Därför är den andra faktorn återigen en negativ konstant, med vilken båda delarna av ojämlikheten kan delas:

\[\begin(matris) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Byt till en annan bas

Ett separat problem för att lösa exponentiella ojämlikheter är sökandet efter den "rätta" grunden. Tyvärr är det vid en första anblick av uppgiften långt ifrån alltid självklart vad man ska lägga till grund och vad man ska göra som graden av denna grund.

Men oroa dig inte: det finns ingen magi och "hemliga" tekniker här. I matematik kan alla färdigheter som inte kan algoritmiseras lätt utvecklas genom övning. Men för detta måste du lösa problem olika nivåer svårigheter. Dessa är till exempel:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Komplicerad? Skrämmande? Ja, det är lättare än en kyckling på asfalten! Låt oss försöka. Första ojämlikheten:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Tja, jag tror att allt är klart här:

Vi skriver om den ursprungliga ojämlikheten och reducerar allt till basen "två":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Högerpil \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du förstod rätt: jag tillämpade precis den ovan beskrivna rationaliseringsmetoden. Nu måste vi arbeta försiktigt: vi fick en bråk-rationell olikhet (detta är en som har en variabel i nämnaren), så innan du likställer något med noll måste du reducera allt till en gemensam nämnare och bli av med konstantfaktorn .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nu använder vi standardintervallmetoden. Täljaren nollor: $x=\pm 4$. Nämnaren går till noll endast när $x=0$. Totalt är det tre punkter som ska markeras på talraden (alla punkter är utstansade, eftersom olikhetstecknet är strikt). Vi får:

Mer svårt fall: tre rötter

Som du kanske kan gissa markerar kläckning de intervaller med vilka uttrycket till vänster tar negativa värden. Därför kommer två intervaller att gå in i det slutliga svaret på en gång:

Ändarna på intervallen ingår inte i svaret eftersom den ursprungliga ojämlikheten var strikt. Ingen ytterligare validering av detta svar krävs. I detta avseende är exponentiella ojämlikheter mycket enklare än logaritmiska: ingen DPV, inga begränsningar, etc.

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Det finns inga problem här heller, eftersom vi redan vet att $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hela ojämlikheten kan skrivas om så här:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Högerpil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\vänster(-2\höger)\höger. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Observera: på den tredje raden bestämde jag mig för att inte slösa tid på bagateller och omedelbart dividera allt med (−2). Minul gick in i den första parentesen (nu finns det plus överallt), och tvåan reducerades med en konstant multiplikator. Det är precis vad du ska göra när du gör riktiga beräkningar på oberoende och kontrollarbete- inget behov av att måla direkt varje åtgärd och transformation.

Därefter kommer den välbekanta metoden med intervaller in i bilden. Nollor i täljaren: men det finns inga. Eftersom diskriminanten kommer att vara negativ. I sin tur sätts nämnaren till noll endast när $x=0$ - precis som förra gången. Tja, det är tydligt att bråkdelen kommer att ta positiva värden till höger om $x=0$ och negativa till vänster. Eftersom vi bara är intresserade av negativa värden är det slutliga svaret $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Och vad ska man göra med decimalbråk i exponentiella olikheter? Det stämmer: bli av med dem genom att omvandla dem till vanliga. Här översätter vi:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Högerpil ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Högerpil ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \höger))^(x)). \\\end(align)\]

Tja, vad fick vi i baserna för exponentialfunktioner? Och vi fick två ömsesidiga siffror:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Högerpil ((\left(\frac(25)(4) \ höger))^(x))=((\vänster(((\vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-1)) \höger))^(x))=((\ vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-x))\]

Således kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om på följande sätt:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \höger))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Naturligtvis, när man multiplicerar potenser med samma bas, adderas deras indikatorer, vilket hände på den andra raden. Dessutom har vi representerat enheten till höger, även som en kraft i bas 4/25. Det återstår bara att rationalisera:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Observera att $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andra faktorn är en negativ konstant, och när den divideras med den kommer olikhetstecknet att ändras:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Högerpil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Slutligen, den sista ojämlikheten från den nuvarande "uppsättningen":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I princip är idén om en lösning här också tydlig: alla exponentiella funktioner som utgör ojämlikheten måste reduceras till basen "3". Men för detta måste du mixtra lite med rötter och grader:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Med tanke på dessa fakta kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \höger))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Var uppmärksam på den andra och tredje raden av beräkningar: innan du gör något med ojämlikhet, se till att ta det till den form som vi pratade om från början av lektionen: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Så länge du har vänster eller höger vänster multiplikatorer, extra konstanter, etc., ingen rationalisering och "överkorsning" av grunderna kan utföras! Otaliga uppgifter har gjorts fel på grund av ett missförstånd av detta enkla faktum. Jag själv observerar ständigt detta problem med mina elever när vi precis börjar analysera exponentiella och logaritmiska ojämlikheter.

Men tillbaka till vår uppgift. Låt oss försöka klara oss utan rationalisering den här gången. Kom ihåg: gradens bas är större än en, så trippeln kan helt enkelt strykas över - ojämlikhetstecknet kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det är allt. Slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Markera ett stabilt uttryck och ersätta en variabel

Avslutningsvis föreslår jag att lösa ytterligare fyra exponentiella ojämlikheter, som redan är ganska svåra för oförberedda elever. För att klara av dem måste du komma ihåg reglerna för att arbeta med examina. I synnerhet att sätta gemensamma faktorer utanför parantes.

Men det viktigaste är att lära sig att förstå: vad exakt kan vara inom parentes. Ett sådant uttryck kallas stabilt - det kan betecknas med en ny variabel och därmed bli av med exponentialfunktionen. Så låt oss titta på uppgifterna:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Låt oss börja med den allra första raden. Låt oss skriva denna ojämlikhet separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Observera att $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, så höger sida kan skriva om:

Observera att det inte finns några andra exponentialfunktioner förutom $((5)^(x+1))$ i olikheten. Och generellt sett förekommer inte variabeln $x$ någon annanstans, så låt oss introducera en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får följande konstruktion:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi återgår till den ursprungliga variabeln ($t=((5)^(x+1))$), och kommer samtidigt ihåg att 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Låt oss gå vidare till den andra ojämlikheten:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Allting är likadant här. Observera att $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Sedan kan den vänstra sidan skrivas om:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \höger. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Högerpil x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ungefär så behöver du ta fram ett beslut om verklig kontroll och självständigt arbete.

Nåväl, låt oss försöka något svårare. Här är till exempel en ojämlikhet:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Vad är problemet här? Först och främst är baserna för exponentialfunktionerna till vänster olika: 5 och 25. Men 25 \u003d 5 2, så den första termen kan omvandlas:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se tog vi först allt till samma bas, och sedan märkte vi att den första termen lätt reduceras till den andra - det räcker bara för att utöka exponenten. Nu kan vi säkert introducera en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, och hela olikheten kommer att skrivas om så här:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Återigen, inga problem! Slutligt svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Vi går vidare till den slutliga ojämlikheten i dagens lektion:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det första du bör vara uppmärksam på är förstås decimalbråket i basen av första graden. Det är nödvändigt att bli av med det och samtidigt föra alla exponentialfunktioner till samma bas - siffran "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Högerpil ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\vänster(((2)^(-1)) \höger))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Högerpil ((16)^(x+1,5))=((\vänster(((2)^(4)) \höger))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Jättebra, vi har tagit första steget – allt har lett till samma grund. Nu måste vi markera sätta uttryck. Observera att $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Om vi ​​introducerar en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, så kan den ursprungliga olikheten skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturligtvis kan frågan uppstå: hur fick vi reda på att 256 = 2 8 ? Tyvärr behöver du här bara känna till tvåpotenserna (och samtidigt tre- och fempotenserna). Tja, eller dividera 256 med 2 (du kan dividera, eftersom 256 är ett jämnt tal) tills vi får resultatet. Det kommer att se ut ungefär så här:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Detsamma är med de tre (siffrorna 9, 27, 81 och 243 är dess styrkor), och med de sju (siffrorna 49 och 343 skulle också vara trevliga att komma ihåg). Tja, de fem har också "vackra" grader som du behöver veta:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Naturligtvis, om du vill, kan alla dessa siffror återställas i ditt sinne genom att helt enkelt multiplicera dem en efter en. Men när du måste lösa flera exponentiella ojämlikheter, och varje nästa är svårare än den föregående, då är det sista du vill tänka på potenserna för några tal där. Och i denna mening är dessa problem mer komplexa än de "klassiska" ojämlikheterna, som löses med intervallmetoden.

Lektion och presentation om ämnet: "Exponentiella ekvationer och exponentiella ojämlikheter"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 11
Interaktiv manual för årskurs 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual för årskurs 10-11 "Logarithms"

Definition av exponentiella ekvationer

Killar, vi studerade exponentialfunktioner, lärde oss deras egenskaper och byggde grafer, analyserade exempel på ekvationer där exponentialfunktioner påträffades. Idag ska vi studera exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

Definition. Ekvationer av formen: $a^(f(x))=a^(g(x))$, där $a>0$, $a≠1$ kallas exponentiella ekvationer.

Genom att komma ihåg satserna som vi studerade i ämnet "Exponentialfunktion", kan vi introducera en ny sats:
Sats. Exponentialekvationen $a^(f(x))=a^(g(x))$, där $a>0$, $a≠1$ är ekvivalent med ekvationen $f(x)=g(x) $.

Exempel på exponentiella ekvationer

Exempel.
Lös ekvationer:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Beslut.
a) Vi vet väl att $27=3^3$.
Låt oss skriva om vår ekvation: $3^(3x-3)=3^3$.
Med hjälp av satsen ovan får vi att vår ekvation reduceras till ekvationen $3x-3=3$, när vi löser denna ekvation får vi $x=2$.
Svar: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Då kan vår ekvation skrivas om: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

C) Den ursprungliga ekvationen motsvarar ekvationen: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ och $x_2=-3$.
Svar: $x_1=6$ och $x_2=-3$.

Exempel.
Lös ekvationen: $\frac((((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Beslut:
Vi kommer sekventiellt att utföra en serie åtgärder och föra båda delarna av vår ekvation till samma baser.
Låt oss utföra en serie operationer på vänster sida:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Låt oss gå vidare till höger sida:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Den ursprungliga ekvationen motsvarar ekvationen:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

Exempel.
Lös ekvationen: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Beslut:
Låt oss skriva om vår ekvation: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Låt oss göra en förändring av variabler, låt $a=3^x$.
I de nya variablerna kommer ekvationen att ha formen: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ och $a_2=3$.
Låt oss utföra omvänd förändring av variabler: $3^x=-12$ och $3^x=3$.
I förra lektionen lärde vi oss att exponentiella uttryck bara kan ta positiva värden, kom ihåg grafen. Det betyder att den första ekvationen inte har några lösningar, den andra ekvationen har en lösning: $x=1$.
Svar: $x=1$.

Låt oss göra ett memo över sätt att lösa exponentiala ekvationer:
1. Grafisk metod. Vi representerar båda delarna av ekvationen som funktioner och bygger deras grafer, hittar grafernas skärningspunkter. (Vi använde den här metoden i förra lektionen).
2. Principen om lika indikatorer. Principen bygger på att två uttryck med samma grunderär lika om och endast om graderna (exponenterna) för dessa baser är lika. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metod för förändring av variabler. Denna metod bör användas om ekvationen, när man ändrar variabler, förenklar sin form och är mycket lättare att lösa.

Exempel.
Lös ekvationssystemet: $\begin (fall) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(fall)$.
Beslut.
Betrakta båda ekvationerna i systemet separat:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Tänk på den andra ekvationen:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Låt oss använda metoden för ändring av variabler, låt $y=2^(x+y)$.
Då kommer ekvationen att ta formen:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ och $y_2=-3$.
Låt oss gå vidare till de initiala variablerna, från den första ekvationen får vi $x+y=2$. Den andra ekvationen har inga lösningar. Då är vårt initiala ekvationssystem ekvivalent med systemet: $\begin (fall) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(fall)$.
Subtrahera den andra ekvationen från den första ekvationen, vi får: $\begin (fall) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(fall)$.
$\begin (fall) y=-1, \\ x=3. \end(fall)$.
Svar: $(3;-1)$.

exponentiella ojämlikheter

Låt oss gå vidare till ojämlikheter. När man löser ojämlikheter är det nödvändigt att uppmärksamma gradens bas. Det finns två möjliga scenarier för utveckling av händelser när man löser ojämlikheter.

Sats. Om $a>1$, så är den exponentiella olikheten $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalent med olikheten $f(x)>g(x)$.
Om $0 a^(g(x))$ motsvarar $f(x)

Exempel.
Lös ojämlikheter:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Beslut.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Vår ojämlikhet är likvärdig med ojämlikheten:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) I vår ekvation, basen med en grad mindre än 1, då när en ojämlikhet ersätts med en likvärdig, är det nödvändigt att ändra tecknet.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Vår ojämlikhet är likvärdig med ojämlikheten:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Låt oss använda intervallmetod lösningar:
Svar: $(-∞;-5]U)