Vad beror egenskaperna hos en potensfunktion på? Power funktion

I den här lektionen kommer vi att fortsätta studiet av maktfunktioner med rationell indikator, betrakta funktioner med en negativ rationell exponent.

1. Grundläggande begrepp och definitioner

Kom ihåg egenskaperna och graferna för potensfunktioner med en negativ heltalsexponent.

För jämnt n, :

Funktionsexempel:

Alla grafer för sådana funktioner passerar genom två fasta punkter: (1;1), (-1;1). En egenskap hos funktioner av denna typ är deras paritet, graferna är symmetriska med avseende på op-y-axeln.

Ris. 1. Graf över en funktion

För udda n, :

Funktionsexempel:

Alla grafer för sådana funktioner passerar genom två fasta punkter: (1;1), (-1;-1). En egenskap hos funktioner av denna typ är deras uddahet, graferna är symmetriska med avseende på ursprunget.

Ris. 2. Funktionsdiagram

2. Funktion med negativ rationell exponent, grafer, egenskaper

Låt oss komma ihåg huvuddefinitionen.

Graden av ett icke-negativt tal a med en rationell positiv exponent kallas ett tal.

Graden av ett positivt tal a med en rationell negativ exponent kallas ett tal.

För följande jämställdhet gäller:

Till exempel: ; - uttrycket existerar inte per definition av en grad med en negativ rationell exponent; existerar, eftersom exponenten är ett heltal,

Låt oss gå över till övervägandet av potensfunktioner med en rationell negativ exponent.

Till exempel:

För att plotta denna funktion kan du skapa en tabell. Vi kommer att göra något annat: först kommer vi att bygga och studera grafen för nämnaren - vi vet det (Figur 3).

Ris. 3. Graf över en funktion

Grafen för nämnarfunktionen går genom en fast punkt (1;1). När man konstruerar en graf av den ursprungliga funktionen så finns denna punkt kvar, när roten också tenderar mot noll så tenderar funktionen till oändligheten. Och omvänt, eftersom x tenderar mot oändligheten, tenderar funktionen till noll (Figur 4).

Ris. 4. Funktionsdiagram

Betrakta ytterligare en funktion från familjen av funktioner som studeras.

Det är viktigt att per definition

Betrakta grafen för funktionen i nämnaren: , vi känner till grafen för denna funktion, den ökar i sin definitionsdomän och passerar genom punkten (1; 1) (Figur 5).

Ris. 5. Funktionsdiagram

När man konstruerar en graf av den ursprungliga funktionen så finns punkten (1; 1) kvar, när roten också tenderar mot noll så tenderar funktionen till oändligheten. Och omvänt, eftersom x tenderar mot oändligheten, tenderar funktionen till noll (Figur 6).

Ris. 6. Funktionsdiagram

De övervägda exemplen hjälper till att förstå hur grafen går och vad är egenskaperna hos den funktion som studeras - en funktion med en negativ rationell exponent.

Grafer av funktioner i denna familj passerar genom punkten (1;1), funktionen minskar över hela definitionsdomänen.

Funktionsomfång:

Funktionen är inte avgränsad ovanifrån, utan avgränsad underifrån. Funktionen har varken ett maximum eller det minsta värdet.

Funktionen är kontinuerlig, den tar alla positiva värden från noll till plus oändlighet.

Konvex nederfunktion (Figur 15.7)

Punkterna A och B tas på kurvan, ett segment dras genom dem, hela kurvan är under segmentet, detta villkor är uppfyllt för godtyckliga två punkter på kurvan, därför är funktionen konvex nedåt. Ris. 7.

Ris. 7. Konvexitet för en funktion

3. Lösning av typiska problem

Det är viktigt att förstå att funktionerna i denna familj är avgränsade underifrån av noll, men de har inte det minsta värdet.

Exempel 1 - hitta maximum och minimum för en funktion i intervallet \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (fig. 2).

Figur 2. Graf över funktionen $f\left(x\right)=x^(2n)$

Egenskaper för en potensfunktion med naturlig udda exponent

Definitionsdomänen är alla reella tal.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ är en udda funktion.

$f(x)$ är kontinuerlig på hela definitionsdomänen.

Området är alla reella tal.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktionen ökar över hela definitionsdomänen.

$f\left(x\right)0$, för $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\höger))\höger))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktionen är konkav för $x\in (-\infty ,0)$ och konvex för $x\in (0,+\infty)$.

Graf (fig. 3).

Figur 3. Graf över funktionen $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Potensfunktion med heltalsexponent

Till att börja med introducerar vi begreppet grad med en heltalsexponent.

Definition 3

Grad riktigt nummer$a$ med heltalsindex $n$ bestäms av formeln:

Bild 4

Betrakta nu en potensfunktion med en heltalsexponent, dess egenskaper och graf.

Definition 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\i Z)$ kallas en potensfunktion med heltalsexponent.

Om graden är större än noll, kommer vi till fallet med en potensfunktion med en naturlig exponent. Vi har redan diskuterat det ovan. För $n=0$ får vi en linjär funktion $y=1$. Vi lämnar dess övervägande till läsaren. Det återstår att överväga egenskaperna hos en potensfunktion med en negativ heltalsexponent

Egenskaper för en potensfunktion med en negativ heltalsexponent

Omfattningen är $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Om exponenten är jämn är funktionen jämn, om den är udda är funktionen udda.

$f(x)$ är kontinuerlig på hela definitionsdomänen.

Värdeintervall:

Om exponenten är jämn, då $(0,+\infty)$, om udda, då $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Om exponenten är udda, minskar funktionen som $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. För en jämn exponent minskar funktionen som $x\in (0,+\infty)$. och ökar som $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ över hela domänen

Lektion och presentation på ämnet: "Strömfunktioner. Egenskaper. Grafer"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 11
Interaktiv manual för årskurs 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual för årskurs 10-11 "Logarithms"

Maktfunktioner, definitionsdomän.

Killar, på förra lektionen lärde vi oss hur man arbetar med siffror med en rationell exponent. I den här lektionen kommer vi att överväga potensfunktioner och begränsa oss till fallet när exponenten är rationell.
Vi kommer att överväga funktioner av formen: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Låt oss först betrakta funktioner vars exponent är $\frac(m)(n)>1$.
Låt oss ges en specifik funktion $y=x^2*5$.
Enligt definitionen vi gav i förra lektionen: om $x≥0$, då är domänen för vår funktion strålen $(x)$. Låt oss schematiskt avbilda vår funktionsgraf.

Egenskaper för funktionen $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Är varken jämn eller udda.
3. Ökar med $$,
b) $(2,10)$,
c) på strålen $$.
Lösning.
Killar, minns ni hur vi hittade det största och minsta värdet av en funktion på ett segment i årskurs 10?
Det stämmer, vi använde derivatan. Låt oss lösa vårt exempel och upprepa algoritmen för att hitta det minsta och största värdet.
1. Hitta derivatan av den givna funktionen:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivatan finns på hela den ursprungliga funktionens domän, då finns det inga kritiska punkter. Låt oss hitta stationära punkter:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ och $x_2=\sqrt(64)=4$.
Endast en lösning $x_2=4$ hör till det givna segmentet.
Låt oss bygga en värdetabell för vår funktion i slutet av segmentet och vid extrempunkten:
Svar: $y_(namn)=-862.65$ med $x=9$; $y_(max)=38,4$ för $x=4$.

Exempel. Lös ekvationen: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Lösning. Grafen för funktionen $y=x^(\frac(4)(3))$ ökar, medan grafen för funktionen $y=24-x$ minskar. Killar, du och jag vet: om den ena funktionen ökar och den andra minskar, då skär de varandra vid bara en punkt, det vill säga vi har bara en lösning.
Notera:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Det vill säga, för $х=8$ fick vi den korrekta likheten $16=16$, detta är lösningen på vår ekvation.
Svar: $x=8$.

Exempel.
Rita funktionen: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Lösning.
Grafen för vår funktion erhålls från grafen för funktionen $y=x^(\frac(3)(4))$, skiftar den 3 enheter åt höger och 2 enheter uppåt.

Exempel. Skriv ekvationen för tangenten till linjen $y=x^(-\frac(4)(5))$ i punkten $x=1$.
Lösning. Tangentekvationen bestäms av formeln som är känd för oss:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
I vårt fall $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Låt oss hitta derivatan:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Låt oss räkna ut:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Hitta tangentekvationen:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Svar: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Uppgifter för självständig lösning

1. Hitta det största och minsta värdet på funktionen: $y=x^\frac(4)(3)$ på segmentet:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) på strålen $$.
3. Lös ekvationen: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Rita funktionen: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Skriv ekvationen för tangenten till linjen $y=x^(-\frac(3)(7))$ i punkten $x=1$.

Kom ihåg egenskaperna och graferna för potensfunktioner med en negativ heltalsexponent.

För jämnt n, :

Funktionsexempel:

Alla grafer för sådana funktioner passerar genom två fasta punkter: (1;1), (-1;1). En egenskap hos funktioner av denna typ är deras paritet, graferna är symmetriska med avseende på op-y-axeln.

Ris. 1. Graf över en funktion

För udda n, :

Funktionsexempel:

Alla grafer för sådana funktioner passerar genom två fasta punkter: (1;1), (-1;-1). En egenskap hos funktioner av denna typ är deras uddahet, graferna är symmetriska med avseende på ursprunget.

Ris. 2. Funktionsdiagram

Låt oss komma ihåg huvuddefinitionen.

Graden av ett icke-negativt tal a med en rationell positiv exponent kallas ett tal.

Graden av ett positivt tal a med en rationell negativ exponent kallas ett tal.

För följande jämställdhet gäller:

Till exempel: ; - uttrycket existerar inte per definition av en grad med en negativ rationell exponent; existerar, eftersom exponenten är ett heltal,

Låt oss gå över till övervägandet av potensfunktioner med en rationell negativ exponent.

Till exempel:

För att plotta denna funktion kan du skapa en tabell. Vi kommer att göra något annat: först kommer vi att bygga och studera grafen för nämnaren - vi vet det (Figur 3).

Ris. 3. Graf över en funktion

Grafen för nämnarfunktionen går genom en fast punkt (1;1). När man konstruerar en graf av den ursprungliga funktionen så finns denna punkt kvar, när roten också tenderar mot noll så tenderar funktionen till oändligheten. Och omvänt, eftersom x tenderar mot oändligheten, tenderar funktionen till noll (Figur 4).

Ris. 4. Funktionsdiagram

Betrakta ytterligare en funktion från familjen av funktioner som studeras.

Det är viktigt att per definition

Betrakta grafen för funktionen i nämnaren: , vi känner till grafen för denna funktion, den ökar i sin definitionsdomän och passerar genom punkten (1; 1) (Figur 5).

Ris. 5. Funktionsdiagram

När man konstruerar en graf av den ursprungliga funktionen så finns punkten (1; 1) kvar, när roten också tenderar mot noll så tenderar funktionen till oändligheten. Och omvänt, eftersom x tenderar mot oändligheten, tenderar funktionen till noll (Figur 6).

Ris. 6. Funktionsdiagram

De övervägda exemplen hjälper till att förstå hur grafen går och vad är egenskaperna hos den funktion som studeras - en funktion med en negativ rationell exponent.

Grafer av funktioner i denna familj passerar genom punkten (1;1), funktionen minskar över hela definitionsdomänen.

Funktionsomfång:

Funktionen är inte avgränsad ovanifrån, utan avgränsad underifrån. Funktionen har varken ett maximum eller ett minimumvärde.

Funktionen är kontinuerlig, den tar alla positiva värden från noll till plus oändlighet.

Konvex nederfunktion (Figur 15.7)

Punkterna A och B tas på kurvan, ett segment dras genom dem, hela kurvan är under segmentet, detta villkor är uppfyllt för godtyckliga två punkter på kurvan, därför är funktionen konvex nedåt. Ris. 7.

Ris. 7. Konvexitet för en funktion

Det är viktigt att förstå att funktionerna i denna familj är avgränsade underifrån av noll, men de har inte det minsta värdet.

Exempel 1 - hitta max och minimum för funktionen på intervallet)