Integralen och dess praktiska tillämpning. Kursapplikation av integralen

Forskningsämne

Tillämpning av integralkalkyl vid planering av familjekostnader

Problemets relevans

Alltmer inom sociala och ekonomiska sfärer vid beräkning av graden av ojämlikhet i inkomstfördelningen används matematik, nämligen integralkalkyl. studerar praktisk användning vi får integralen:

Hur hjälper integralen och beräkningen av arean med hjälp av integralen till att fördela materialkostnader?

Hur integralen kommer att hjälpa till att spara pengar till semestern.

Mål

planera familjekostnader med hjälp av integralberäkning

Uppgifter

Utforska geometrisk betydelse väsentlig.
Tänk på metoder för integration i livets sociala och ekonomiska sfärer.
Gör en prognos över familjens materialkostnader när du reparerar en lägenhet med integralen.
Beräkna volymen av familjens energiförbrukning under ett år, med hänsyn till integralberäkningen.
Beräkna beloppet för en sparinsättning i Sberbank för semester.

Hypotes

Integralkalkyl hjälper till med ekonomiska beräkningar vid planering av familjens inkomster och utgifter.

Forskningsstadier

Vi studerade den geometriska betydelsen av integralen och metoder för integration i livets sociala och ekonomiska sfärer.
Vi beräknade materialkostnaderna som krävs för reparation av en lägenhet med hjälp av integralen.
Vi beräknade volymen av elförbrukningen i lägenheten och kostnaden för el för familjen under ett år.
Vi övervägde ett av alternativen för att samla in familjens inkomst genom insättningar i Sberbank med hjälp av integralen.

Studieobjekt

integralkalkyl i livets sociala och ekonomiska sfärer.

Metoder

Analys av litteraturen om ämnet "Praktisk tillämpning av integralkalkylen"
Studiet av integrationsmetoder för att lösa problem vid beräkning av ytor och volymer av figurer med hjälp av integralen.
Analys av familjens utgifter och inkomster med hjälp av integralberäkning.

Arbetsprocess

Litteraturöversikt på ämnet "Praktisk tillämpning av integralkalkyl"
Att lösa ett problemsystem för att beräkna arean och volymerna av figurer med hjälp av integralen.
Beräkning av familjekostnader och inkomster med hjälp av en integrerad beräkning: rumsrenovering, elvolym, insättningar i Sberbank för semester.

Våra resultat

Hur hjälper integralen och volymberäkningen med hjälp av integralen till att förutsäga elförbrukningens volym?

Slutsatser

Den ekonomiska beräkningen av de nödvändiga medlen för reparation av en lägenhet kan utföras snabbare och mer exakt med hjälp av en integrerad beräkning.

Det är enklare och snabbare att beräkna familjens elförbrukning med hjälp av en integralberäkning och Microsoft Office Excel, vilket innebär att förutsäga familjens elkostnader under ett år.

Vinst från inlåning i en sparbank kan beräknas med hjälp av en integralberäkning, vilket innebär att planera en familjesemester.

Lista över resurser

Tryckta upplagor:

Lärobok. Algebra och början av analys 10-11 årskurs. A.G. Mordkovich. Mnemosyne. M: 2007
Lärobok. Algebra och början av analys 10-11 årskurs. A. Kolmogorov Upplysning. M: 2007
Matematik för sociologer och ekonomer. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 sid.
Integralberäkning Referensbok Högre matematik M. Ya. Vygodsky, Upplysning, 2000

Ivanov Sergey, student gr.14-EOP-33D

Arbetet kan användas i en generaliserande lektion om ämnena "Derivat", "Integral".

Ladda ner:

Förhandsvisning:

För att använda förhandsvisningen av presentationer, skapa ett konto för dig själv ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

GBPOU KNT dem. B. I. Kornilova Forskning på ämnet: "Användningen av derivator och integraler i fysik, matematik och elektroteknik." Student gr. 2014-eop-33d Ivanov Sergey.

1. Historien om derivatets utseende. I slutet av 1600-talet bevisade den store engelske vetenskapsmannen Isaac Newton att vägen och hastigheten är sammankopplade med formeln: V (t) \u003d S '(t) och ett sådant förhållande finns mellan de kvantitativa egenskaperna hos de mest olika processer som studeras: fysik, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , momentum P = mV = mx ' , kinetisk E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kemi, biologi och teknik. Denna upptäckt av Newton var en vändpunkt i naturvetenskapens historia.

1. Historien om derivatets utseende. Äran att upptäcka de grundläggande lagarna matematisk analys tillsammans med Newton tillhör den tyske matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz kom till dessa lagar genom att lösa problemet med att dra en tangent till en godtycklig kurva, d.v.s. formulerade den geometriska betydelsen av derivatan, att värdet av derivatan vid kontaktpunkten är backe tangent eller tg tangentens lutningsvinkel med O X-axelns positiva riktning. Termen derivata och moderna beteckningar y ’ , f ’ introducerades av J. Lagrange 1797.

2. Historien om integralens utseende. Konceptet med integral- och integralkalkyl uppstod från behovet av att beräkna arean (kvadrering) av alla figurer och volymerna (kubaturen) av godtyckliga kroppar. Integralkalkylens förhistoria går tillbaka till antiken. Den första kända metoden för att beräkna integraler är metoden för att studera arean eller volymen av krökta figurer - Eudoxus utmattningsmetoden (Eudoxus från Cnidus (ca 408 f.Kr. - ca. 355 f.Kr.) - antik grekisk matematiker, mekaniker och astronom), som föreslogs omkring 370 f.Kr. e. Kärnan i denna metod är som följer: figuren, vars yta eller volym försökte hittas, var uppdelad i ett oändligt antal delar, för vilka området eller volymen redan är känd.

"Utmattningsmetoden" Antag att vi behöver beräkna volymen av en citron som har oregelbunden form, och därför tillämpa någon känd formel volymen är inte möjlig. Med hjälp av vägning är det också svårt att hitta volymen, eftersom densiteten av en citron i olika delar det är annorlunda. Låt oss fortsätta enligt följande. Skär citronen i tunna skivor. Varje skiva kan ungefär betraktas som en cylinder, basens radie, som kan mätas. Volymen av en sådan cylinder kan lätt beräknas från färdig formel. Lägger vi till volymerna för de små cylindrarna, får vi det ungefärliga värdet av volymen av hela citronen. Uppskattningen blir ju mer exakt, desto tunnare delar kan vi skära citronen.

2. Historien om integralens utseende. Efter Eudoxus användes "utmattningsmetoden" och dess varianter för att beräkna volymer och ytor av den antika vetenskapsmannen Archimedes. Genom att framgångsrikt utveckla sina föregångares idéer bestämde han omkretsen, cirkelns yta, bollens volym och yta. Han visade att bestämningen av volymerna av en sfär, en ellipsoid, en hyperboloid och en rotationsparaboloid reduceras till att bestämma volymen av en cylinder.

Grunden för teorin om differentialekvationer var differentialkalkylen skapad av Leibniz och Newton. Själva termen "differentialekvation" föreslogs 1676 av Leibniz. 3. Historien om differentialekvationers uppkomst. Ursprungligen uppstod differentialekvationer från mekanikens problem, där det krävdes att bestämma kropparnas koordinater, deras hastigheter och accelerationer, betraktade som funktioner av tid under olika influenser. Några av de geometriska problemen som togs upp vid den tiden ledde också till differentialekvationer.

3. Historien om differentialekvationers uppkomst. Av det enorma antalet verk från 1600-talet om differentialekvationer sticker verken av Euler (1707-1783) och Lagrange (1736-1813) ut. I dessa verk utvecklades först teorin om små svängningar, och följaktligen teorin linjära system differentialekvationer; längs vägen uppstod de grundläggande begreppen linjär algebra ( egenvärden och vektorer i det n-dimensionella fallet). Efter Newton, Laplace och Lagrange, och senare Gauss (1777-1855), utvecklade också metoderna för störningsteorin.

4. Tillämpning av derivatan och integralen i matematik: Inom matematiken används derivatan i stor utsträckning för att lösa många problem, ekvationer, olikheter, såväl som i processen att studera en funktion. Exempel: Algoritm för att studera en funktion för ett extremum: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 och lös ekvationen. 3) O.O.F. dela upp det i intervaller. 4) Vi bestämmer tecknet för derivatan på varje intervall. Om f ′(x)>0 så ökar funktionen. Om f′(x)

4. Tillämpning av derivatan och integralen i matematik: Integralen (definitiv integral) används i matematik (geometri) för att hitta arean av en kurvlinjär trapets. Exempel: Algoritm för att hitta arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral: 1) Vi bygger en graf av de angivna funktionerna. 2) Ange figuren avgränsad av dessa linjer. 3) Hitta integrationens gränser, skriv ner den bestämda integralen och beräkna den.

5. Tillämpning av derivatan och integralen i fysik. Inom fysiken används derivatan främst för att lösa problem, till exempel: att hitta hastigheten eller accelerationen för alla kroppar. Exempel: 1) Lagen för en punkts rörelse längs en rät linje ges av formeln s(t)= 10t^2 , där t är tiden (i sekunder), s(t) är punktens avvikelse vid tid t (i meter) från utgångsläget. Hitta hastigheten och accelerationen vid tidpunkten t om: t=1,5 s. 2) Materialpunkten rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)= 2+20t+5t2. Hitta hastigheten och accelerationen vid tidpunkten t=2s (x är koordinaten för punkten i meter, t är tiden i sekunder).

Fysisk kvantitet Medelvärde Momentant värde Hastighet Acceleration Vinkelhastighet Ström Styrka Effekt

5. Tillämpning av derivatan och integralen i fysik. Integralen används också i problem som att hitta hastighet eller avstånd. Kroppen rör sig med hastigheten v(t) = t + 2 (m/s). Hitta vägen som kroppen kommer att täcka inom 2 sekunder efter rörelsestart. Exempel:

6. Tillämpning av derivatan och integralen i elektroteknik. Derivatet har även funnit tillämpning inom elektroteknik. I kedja elektrisk ström elektrisk laddning förändras över tid enligt lagen q=q (t). Strömmen I är derivatan av laddningen q med avseende på tid. I=q ′(t) Exempel: 1) Laddningen som flyter genom ledaren ändras enligt lagen q=sin(2t-10) Hitta strömstyrkan vid tiden t=5 sek. Integralen inom elektroteknik kan användas för att lösa omvända problem, d.v.s. hitta den elektriska laddningen att känna till strömstyrkan osv. 2) Den elektriska laddningen som strömmar genom ledaren, med start från ögonblicket t \u003d 0, ges av formeln q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Hitta strömstyrkan vid tiden t \u003d 3 s. Integralen inom elektroteknik kan användas för att lösa omvända problem, d.v.s. hitta den elektriska laddningen att känna till strömstyrkan osv.

Konceptet med en integral är allmänt tillämpligt i livet. Integraler används inom olika vetenskaps- och teknikområden. De huvudsakliga uppgifterna som beräknas med integraler är uppgifter för:

1. Hitta kroppens volym

2. Hitta kroppens masscentrum.

Låt oss överväga var och en av dem mer i detalj. Här och nedan, för att beteckna en bestämd integral av någon funktion f(x), med integrationsgränser från a till b, kommer vi att använda följande notation ∫ a b f(x).

Hitta volymen av en kropp

Betrakta följande figur. Anta att det finns någon kropp vars volym är lika med V. Det finns också en rät linje så att om vi tar ett visst plan vinkelrätt mot denna räta linje, kommer tvärsnittsarean S av denna kropp att vara känd vid detta plan.

Varje sådant plan kommer att vara vinkelrät mot x-axeln och kommer därför att skära den vid någon punkt x. Det vill säga att varje punkt x från segmentet kommer att tilldelas numret S (x) - kroppens tvärsnittsarea, planet som passerar genom denna punkt.

Det visar sig att någon funktion S(x) kommer att ges på segmentet. Om denna funktion är kontinuerlig på det här segmentet kommer följande formel att vara giltig:

V = ∫ a b S(x)dx.

Beviset för detta påstående ligger utanför skolans läroplan.

Beräkna en kropps massacentrum

Masscentrum används oftast inom fysiken. Till exempel finns det någon kropp som rör sig med vilken hastighet som helst. Men det är obekvämt att betrakta en stor kropp, och därför betraktas denna kropp i fysiken som en punkts rörelse, under antagandet att denna punkt har samma massa som hela kroppen.

Och uppgiften att beräkna kroppens massacentrum är den viktigaste i denna fråga. Eftersom kroppen är stor, och vilken punkt ska tas som masscentrum? Kanske den i mitten av kroppen? Eller kanske den punkt som ligger närmast framkanten? Det är här integrationen kommer in.

Följande två regler används för att hitta massans centrum:

1. Koordinat x' för masscentrum för något system av materialpunkter A1, A2,A3, … An med massorna m1, m2, m3, … mn, respektive, belägen på en rät linje vid punkter med koordinaterna x1, x2, x3, … xn hittas av följande formel:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Vid beräkning av koordinaterna för masscentrum kan vilken del som helst av figuren i fråga ersättas med materiell punkt, medan du placerar den i masscentrum av denna separata del av figuren, och ta massan lika med massan av denna del av figuren.

Till exempel, om en massa med densitet p(x) är fördelad längs staven - ett segment av Ox-axeln, där p(x) är en kontinuerlig funktion, så kommer koordinaten för masscentrum x' att vara lika med.

Föreställ dig att vi har någon form av beroendefunktion av något till något.

Så här kan du till exempel representera hastigheten på mitt arbete beroende på tid på dygnet på grafen:

Jag mäter hastigheten i kodrader per minut, in verkliga livet Jag är en datorprogrammerare.

Mängden arbete är arbetstakten multiplicerad med tiden. Det vill säga, om jag skriver 3 rader per minut, så får jag 180 i timmen. Om vi har ett sådant schema kan du ta reda på hur mycket arbete jag gjorde på en dag: det här är området under schemat. Men hur räknar man ut det?

Låt oss dela upp grafen i kolumner med lika bredd, varje timme. Och vi kommer att göra höjden på dessa kolumner lika med arbetshastigheten i mitten av denna timme.

Arean av varje kolumn individuellt är lätt att beräkna, du måste multiplicera dess bredd med dess höjd. Det visar sig att området för strandkolumnen är ungefär hur mycket arbete jag gjorde för varje timme. Och om du summerar alla kolumner får du ett ungefärligt arbete för dagen.

Problemet är att resultatet blir ungefärligt, men vi behöver exakt antal. Låt oss dela upp diagrammet i kolumner i en halvtimme:

Bilden visar att detta redan är mycket närmare det vi letar efter.

Så du kan reducera segmenten på grafen till oändlighet, och för varje gång kommer vi närmare och närmare området under grafen. Och när bredden på kolumnerna tenderar till noll, kommer summan av deras ytor att tendera mot arean under grafen. Detta kallas en integral och betecknas enligt följande:

I den här formeln betyder f(x) en funktion som beror på värdet på x, och bokstäverna a och b är det segment som vi vill hitta integralen på.

Varför behövs detta?

Forskare försöker uttrycka alla fysiska fenomen i form av en matematisk formel. När vi väl har en formel kan vi använda den för att beräkna vad som helst. Och integralen är ett av huvudverktygen för att arbeta med funktioner.

Om vi till exempel har formeln för en cirkel kan vi använda integralen för att beräkna dess area. Om vi har formeln för en sfär kan vi beräkna dess volym. Med hjälp av integration hittas energi, arbete, tryck, massa, elektrisk laddning och många andra storheter.

Nej, varför behöver jag det?

Ja, ingenting - bara sådär, av nyfikenhet. Faktum är att integralerna ingår även i Läroplanen, men inte många människor runt omkring kommer ihåg vad det är.

Genom att klicka på knappen "Ladda ner arkiv" laddar du ner filen du behöver gratis.
Innan du laddar ner den här filen, kom ihåg dessa bra uppsatser, kontroll, terminsuppsatser, avhandlingar, artiklar och andra dokument som inte har gjorts anspråk på på din dator. Det här är ditt arbete, det ska delta i samhällets utveckling och gynna människor. Hitta dessa verk och skicka dem till kunskapsbasen.
Vi och alla studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

För att ladda ner ett arkiv med ett dokument, ange ett femsiffrigt nummer i fältet nedan och klicka på knappen "Ladda ner arkiv"

Liknande dokument

Bekantskap med integralbegreppets historia. Fördelning av integralkalkyl, upptäckt av Newton-Leibniz formel. Beloppssymbol; utvidgning av begreppet summa. Beskrivning av behovet av att uttrycka alla fysiska fenomen i form av en matematisk formel.

presentation, tillagd 2015-01-26

Idéer om integralkalkyl i verk av antika matematiker. Funktioner i utmattningsmetoden. Historien om att hitta Kepler torus volymformel. Teoretisk underbyggnad av principen om integralkalkyl (Cavalieris princip). Begreppet en bestämd integral.

presentation, tillagd 2016-05-07

Integralkalkylens historia. Definition och egenskaper för dubbelintegralen. Dess geometriska tolkning, beräkning i kartesiska och polära koordinater, dess reduktion till det upprepade. Tillämpning inom ekonomi och geometri för att beräkna volymer och ytor.

terminsuppsats, tillagd 2013-10-16

Definition av en kurvlinjär integral över koordinater, dess huvudsakliga egenskaper och beräkning. Villkor för oberoende av den kurvlinjära integralen från integrationens väg. Beräkna arean av figurer med hjälp av dubbelintegralen. Använder Greens formel.

test, tillagt 2011-02-23

Förutsättningar för existensen av en bestämd integral. Tillämpning av integralkalkyl. Integralkalkyl i geometri. Mekanisk tillämpning av den bestämda integralen. Integralkalkyl i biologi. Integralkalkyl i nationalekonomi.

terminsuppsats, tillagd 2008-01-21

Integral- och differentialkalkylens historia. Tillämpningar av den bestämda integralen för att lösa vissa problem inom mekanik och fysik. Moment och masscentra för plana kurvor, Guldens sats. Differentialekvationer. Exempel på problemlösning i MatLab.

abstrakt, tillagt 2009-07-09

Konceptet med Stieltjes-integralen. Allmänna villkor förekomsten av Stieltjes-integralen, klasser av fall av dess existens och passage till gränsen under dess tecken. Reducerar Stieltjes-integralen till Riemann-integralen. Tillämpning i sannolikhetsteori och kvantmekanik.

avhandling, tillagd 2009-07-20