Riktningsvektorn för den räta linjen l alla kallas icke-noll vektor (m, n) parallellt med denna linje.

Låt poängen M 1 (x 1 , y 1) och riktningsvektor ( m, n), sedan ekvationen för den räta linjen som går genom punkten M 1 i vektorns riktning har formen: . Denna ekvation kallas linjens kanoniska ekvation.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med riktningsvektor (1, -1) och passerar genom punkt A(1, 2).

Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade räta linjen i formen: Axe+By+C= 0. Låt oss skriva den kanoniska ekvationen för linjen , transformera den. Skaffa sig x + y - 3 = 0

Ekvation för en linje som går genom två punkter

Låt två poäng ges på planet M 1 (x 1 , y 1) och M 2 (x 2, y 2), då har ekvationen för en rät linje som går genom dessa punkter formen: . Om någon av nämnarna är lika med noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).

Genom att tillämpa formeln ovan får vi:

Ekvation för en rät linje från en punkt och en lutning

Om den allmänna ekvationen för en rät linje Ah + Wu + C= 0 bring till formen: och beteckna , då kallas den resulterande ekvationen ekvationen för en rät linje med lutning k.

Ekvation för en rät linje i segment

Om i den allmänna ekvationen linjen Ah + Wu + C= 0 koefficient Med¹ 0, då, dividerat med C, får vi: eller var

geometrisk känsla koefficienter i att koefficienten aär koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och axeln Åh, a b- koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och axeln OU.

Exempel. Den allmänna ekvationen för en rät linje ges X – på+ 1 = 0. Hitta ekvationen för denna räta linje i segment. A = -1, B = 1, C = 1, då a = -1, b= 1. Ekvationen för en rät linje i segment kommer att ha formen .

Exempel. Spåren i triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) är givna. Hitta ekvationen för höjden från vertex C.

Vi hittar ekvationen för sidan AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Den önskade höjdekvationen har formen: Axe+By+C= 0 eller y = kx + b.

k= . Sedan y= . Därför att höjden passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: var b= 17. Totalt: .

Svar: 3 x + 2y – 34 = 0.

Övning #7

Klassnamn: Kurvor av andra ordningen.

Syftet med lektionen: Lär dig hur du gör kurvor av 2:a ordningen, bygg dem.

Förberedelser inför lektionen: Upprepa teoretiskt material på ämnet "Kurvor av 2:a ordningen"

Litteratur:

1. Dadayan A.A. "Matematik", 2004

Uppgift för lektionen:

Ordningen på lektionen:

1. Få tillstånd att arbeta
2. Slutföra uppgifter
3. Besvara säkerhetsfrågor.

1. Namn, syfte med lektionen, uppgift;
2. Avslutad uppgift;
3. Svar på kontrollfrågor.

testfrågor för offset:

1. Definiera kurvor av andra ordningen (cirkel, ellips, hyperbel, parabel), skriv ner deras kanoniska ekvationer.
2. Vad kallas excentriciteten hos en ellips eller hyperbel? Hur hittar man det?
3. Skriv ekvationen för en liksidig hyperbel

BILAGA

omkretsär mängden av alla punkter i planet på samma avstånd från en punkt, kallad centrum.

Låt cirkelns mittpunkt vara en punkt O(a; b), och avståndet till valfri punkt M(x;y) cirkel är lika med R. Sedan ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – kanonisk ekvation av en cirkel med centrum O(a; b) och radie R.

Exempel. Hitta koordinaterna för centrum och cirkelns radie om dess ekvation ges som: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

För att hitta koordinaterna för en cirkels centrum och radie given ekvation måste reduceras till kanonisk form. För att göra detta, välj de fullständiga rutorna:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Härifrån hittar vi centrumets koordinater O(2; -5/4); radie R = 11/4.

Ellips en uppsättning punkter i ett plan kallas, summan av avstånden från var och en till två givna punkter (kallade brännpunkter) är ett konstant värde som är större än avståndet mellan brännpunkterna.

Fokus indikeras med bokstäver F 1 , F med, summan av avstånden från valfri punkt på ellipsen till brännpunkterna är 2 a (2a > 2c), a- en stor halvaxel; b- liten halvaxel.

Ellipsens kanoniska ekvation är: , där a, b och c relaterade till varandra genom likheter: a 2 - b 2 \u003d c 2 (eller b 2 - a 2 \u003d c 2).

Formen på en ellips bestäms av en egenskap som är förhållandet mellan brännvidden och längden på huvudaxeln och kallas excentricitet. eller .

Därför att per definition 2 a> 2c, då uttrycks excentriciteten alltid som en egen bråkdel, d.v.s. .

Exempel. Skriv en ekvation för en ellips om dess brännpunkter är F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), huvudaxeln är 2.

Ellipsekvationen har formen: .

Avstånd mellan fokus: 2 c= , Således, a 2 – b 2 = c 2 = . Enligt villkor 2 a= 2, alltså a = 1, b= Den önskade ekvationen för ellipsen kommer att ha formen: .

Överdrift kallas uppsättningen punkter i planet, skillnaden i avstånden från var och en till två givna punkter, kallade brännpunkter, är ett konstant värde, mindre än avståndet mellan brännpunkterna.

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen: eller , där a, b och c sammankopplade med jämlikhet a2 + b2 = c2. Hyperbeln är symmetrisk med avseende på mitten av segmentet som förbinder brännpunkterna och med avseende på koordinataxlarna. Fokus indikeras med bokstäver F 1 , F 2 , avstånd mellan fokus - 2 med, skillnaden i avstånd från vilken punkt som helst av hyperbeln till brännpunkterna är 2 a (2a < 2c). Axel 2 a kallas hyperbelns verkliga axel, axel 2 bär hyperbelns imaginära axel. En hyperbel har två asymptoter vars ekvationer är

Excentriciteten hos en hyperbel är förhållandet mellan avståndet mellan brännpunkterna och längden på den reella axeln: eller. Därför att per definition 2 a < 2c, då uttrycks hyperbelns excentricitet alltid som en oegentlig fraktion, d.v.s. .

Om längden på den reella axeln är lika med längden på den imaginära axeln, dvs. a = b, ε = , då kallas hyperbeln liksidig.

Exempel. Skriv den kanoniska ekvationen för en hyperbel om dess excentricitet är 2 och brännpunkterna sammanfaller med ellipsens brännpunkter med ekvationen

Vi hittar brännvidd c 2 = 25 – 9 = 16.

För överdrift: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Sedan - den önskade ekvationen för hyperbeln.

parabelär mängden punkter i ett plan på samma avstånd från given poäng, kallad fokus, och en given rät linje, kallad direktrix.

Fokus för en parabel betecknas med bokstaven F, regissör - d, är avståndet från fokus till riktlinjen R.

Den kanoniska ekvationen för en parabel, vars fokus ligger på x-axeln, är:

y 2 = 2px eller y 2 = -2px

x = -sid/2, x = sid/2

Den kanoniska ekvationen för en parabel vars fokus ligger på y-axeln är:

X 2 = 2py eller X 2 = -2py

Directricekvationer, respektive på = -sid/2, på = sid/2

Exempel. På en parabel på 2 = 8X hitta en punkt vars avstånd från riktningen är 4.

Från parabelekvationen får vi det R = 4. r=x + sid/2 = 4; därav:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Sökpunkter: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Övning #8

Klassnamn: Åtgärder på komplexa tal i algebraisk form. Geometrisk tolkning av komplexa tal.

Syftet med lektionen: Lär dig hur man arbetar med komplexa tal.

Förberedelser inför lektionen: Upprepa det teoretiska materialet om ämnet "Komplexa tal".

Litteratur:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Element högre matematik", 2008

Uppgift för lektionen:

1. Beräkna:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

Låt den räta linjen passera genom punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2). Ekvationen för en rät linje som går genom punkten M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

var k - fortfarande okänd koefficient.

Eftersom den räta linjen passerar genom punkten M 2 (x 2 y 2), måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Härifrån hittar vi Substituting the found value k i ekvation (10.6) får vi ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 och M 2:

Det antas att i denna ekvation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Om x 1 \u003d x 2, är den räta linjen som går genom punkterna M 1 (x 1, y I) och M 2 (x 2, y 2) parallell med y-axeln. Dess ekvation är x = x 1 .

Om y 2 \u003d y I, så kan ekvationen för den räta linjen skrivas som y \u003d y 1, den räta linjen M 1 M 2 är parallell med x-axeln.

Ekvation för en rät linje i segment

Låt den räta linjen skära Ox-axeln i punkten M 1 (a; 0), och Oy-axeln - vid punkten M 2 (0; b). Ekvationen kommer att ha formen:
de där.
. Denna ekvation kallas ekvationen för en rät linje i segment, eftersom siffrorna a och b anger vilka segment den räta linjen skär av på koordinataxlarna.

Ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor

Låt oss hitta ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt Mo (x O; y o) vinkelrät mot en given vektor som inte är noll n = (A; B).

Ta en godtycklig punkt M(x; y) på den räta linjen och betrakta vektorn M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Eftersom vektorerna n och M o M är vinkelräta, är deras skalära produkt lika med noll: det vill säga,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ekvation (10.8) kallas ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor .

Vektorn n = (A; B) vinkelrät mot linjen kallas normal normal vektor för denna linje .

Ekvation (10.8) kan skrivas om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

där A och B är koordinaterna för normalvektorn, C \u003d -Ax o - Vu o - fri medlem. Ekvation (10.9) är den allmänna ekvationen för en rät linje(se fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniska ekvationer för den räta linjen

,

Var
är koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och
- riktningsvektor.

Kurvor av andra ordningens cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i ett plan på samma avstånd från en given punkt, som kallas centrum.

Kanonisk ekvation för en cirkel med radie R centrerad på en punkt
:

I synnerhet, om insatsens centrum sammanfaller med ursprunget, kommer ekvationen att se ut så här:

Ellips

En ellips är en uppsättning punkter i ett plan, summan av avstånden från var och en av dem till två givna punkter och , som kallas foci, är ett konstant värde
, större än avståndet mellan brännpunkterna
.

Den kanoniska ekvationen för en ellips vars härdar ligger på Ox-axeln och vars ursprung är i mitten mellan härdarna har formen
G de a längden på den stora halvaxeln; b är längden av den mindre halvaxeln (fig. 2).

Ekvationen för en rät linje som går genom t.u A(ha; va) och har en lutning k, skrivs i formen

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Ekvation för en linje som går genom två punkter t. A (x 1; y 1) etc. B (x 2; y 2), har formen

Om poängen MEN och PÅ definiera en rät linje parallell med Ox-axeln (y 1 \u003d y 2) eller y-axel (x 1 = x 2), då skrivs ekvationen för en sådan rät linje i respektive form:

y = y 1 eller x = x 1(7)

Normalekvationen för en rät linje

Låt en rät linje C ges som går genom en given punkt Mo(Xo; V0) och vinkelrät mot vektorn (A; B). Varje vektor som är vinkelrät mot en given linje kallas dess normal vektor. Låt oss välja en godtycklig punkt M på linjen (x; y). Sedan, vilket betyder att de skalär produkt. Denna likhet kan skrivas i koordinater

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Ekvation (8) kallas normalekvationen för en rät linje .

Parametriska och kanoniska ekvationer för en rät linje

Låt linjen l ges av utgångspunkt M 0 (x 0; y 0) och riktningsvektor ( en 1; en 2),. Låt t. M(x; y)- vilken punkt som helst på en linje l Då är vektorn kolinjär med vektorn. Därför = . Genom att skriva denna ekvation i koordinater får vi den parametriska ekvationen för den räta linjen

Låt oss exkludera parametern t från ekvation (9). Detta är möjligt eftersom vektorn och därför åtminstone en av dess koordinater är icke-noll.

Låt och , sedan , och därför,

Ekvation (10) kallas linjens kanoniska ekvation med guide vektor

\u003d (a 1; a 2). Om en a 1 = 0 och , sedan tar ekvationerna (9) formen

Dessa ekvationer definierar en rät linje parallell med axeln, OU och passerar genom punkten

Mo (x 0; yo).

x=x 0(11)

Om , , så tar ekvationerna (9) formen

Dessa ekvationer definierar en rät linje parallell med O-axeln X och passerar genom punkten

Mo (x 0; yo). Den kanoniska ekvationen för en sådan rät linje har formen

y=y 0(12)

Vinkel mellan raderna. Villkoret för parallellitet och vinkelräthet av två

direkt

Låt två räta linjer givna av allmänna ekvationer ges:

och

Sedan vinkeln φ mellan dem bestäms av formeln:

(13)

Parallellt tillstånd 2 raka linjer: (14)

Vinkelrätt tillstånd 2 raka linjer: (15)

Parallellt tillstånd har i detta fall formen: (17)

Vinkelrätt tillstånd rak: (18)

Om två linjer ges av kanoniska ekvationer:

och

då bestäms vinkeln φ mellan dessa linjer av formeln:

(19)

Parallellt tillstånd rak: (20)

Vinkelrätt tillstånd direkt: (21)

Avstånd från punkt till linje

Distans d från punkten M (x 1; y 1) till rakt Axe+By+C=0 beräknas med formeln

(22)

Implementeringsexempel praktiskt arbete

Exempel 1 Bygg en linje 3 X- 2på+6=0.

Lösning: För att konstruera en linje räcker det att känna till två av dess punkter, till exempel punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna. Punkt A för linjens skärningspunkt med axeln Ox kan erhållas om vi tar y \u003d 0 i linjens ekvation. Då har vi 3 X+6=0, dvs. X=-2. Således, MEN(–2;0).

Sedan PÅ skärningen av en linje med en axel OU har abskiss X=0; därav ordinatan för punkten PÅ hittas från ekvationen -2 y+ 6=0, dvs. y=3. Således, PÅ(0;3).

Exempel 2 Skriv ekvationen för en rät linje som skär av på det negativa halvplanet OU ett segment lika med 2 enheter, och bildas med axeln Åh vinkel φ =30˚.

Lösning: Linjen korsar axeln OU vid punkten PÅ(0;–2) och har en lutning k=tg φ= = . Antag i ekvation (2) k= och b= –2 får vi den önskade ekvationen

Eller .

Exempel 3 MEN(–1; 2) och

PÅ(0;–3). (på vittnesbörd: lutningen på den räta linjen hittas av formeln (3))

Beslut: .Härifrån har vi . Ersätter koordinaterna i denna ekvation t.V, vi får: , dvs. initial ordinatan b= -3. Då får vi ekvationen.

Exempel 4 Allmän ekvation för en rät linje 2 X – 3på– 6 = 0 leder till ekvationen i segment.

Lösning: vi skriver denna ekvation i formen 2 X– 3på=6 och dividera båda dess delar med den fria termen: . Detta är ekvationen för denna räta linje i segment.

Exempel 5 Genom pricken MEN(1;2) rita en rät linje som skär av lika segment på koordinaternas positiva halvaxlar.

Lösning: Låt ekvationen för den önskade räta linjen ha formen Av villkor a=b. Därför blir ekvationen X+ på= a. Eftersom punkten A (1; 2) tillhör denna linje, så uppfyller dess koordinater ekvationen X + på= a; de där. 1 + 2 = a, var a= 3. Så den önskade ekvationen skrivs så här: x + y = 3, eller x + y - 3 = 0.

Exempel 6 För raka skriv ekvationen i segment. Beräkna arean av triangeln som bildas av denna linje och koordinataxlarna.

Lösning: Låt oss omvandla denna ekvation enligt följande: , eller .

Som ett resultat får vi ekvationen , vilket är ekvationen för den givna räta linjen i segment. Triangeln som bildas av den givna linjen och koordinataxlarna är rät triangel med ben lika med 4 och 3, så dess area är lika med S= (kvm enheter)

Exempel 7 Skriv en ekvation av en rät linje som går genom en punkt (–2; 5) och en generatris med en axel Åh vinkel 45º.

Lösning: Lutningen för den önskade räta linjen k= tg 45º = 1. Därför får vi med ekvation (5). y - 5 = x- (-2), eller x - y + 7 = 0.

Exempel 8 Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna MEN(–3; 5) och PÅ( 7; –2).

Lösning: Låt oss använda ekvation (6):

, eller , varifrån 7 X + 10på – 29 = 0.

Exempel 9 Kontrollera om poängen ligger MEN(5; 2), PÅ(3; 1) och Med(–1; –1) på en rak linje.

Lösning: Sammanställ ekvationen för en rät linje som går genom punkterna MEN och Med:

, eller

Genom att ersätta punktens koordinater i denna ekvation PÅ (xB= 3 och y B = 1), får vi (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), d.v.s. vi får rätt jämställdhet. Alltså punktkoordinater PÅ uppfylla den räta linjeekvationen ( AC), dvs. .

Exempel 10: Skriv en ekvation för en rät linje som går genom t. A (2; -3).

Vinkelrät =(-1;5)

Lösning: Med formeln (8) hittar vi ekvationen för denna linje -1(x-2)+5(y+3)=0,

eller till sist, x - 5 år - 17 \u003d 0.

Exempel 11: Poäng ges M 1(2;-1) och M 2(4; 5). Skriv ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 1 vinkelrät mot vektorn Lösning: Normalvektorn för den önskade linjen har koordinater (2; 6), därför får vi, enligt formeln (8), ekvationen 2(x-2)+6(y+1)=0 eller x+3y +1=0.

Exempel 12: och .

Beslut: ; .

Exempel 13:

Lösning: a) ;

Exempel 14: Beräkna vinkeln mellan linjerna

Beslut:

Exempel 15: Att klura ut ömsesidigt arrangemang direkt:

Beslut:

Exempel 16: hitta vinkeln mellan linjerna och .

Beslut: .

Exempel 17: ta reda på den relativa positionen för linjerna:

Lösning: a ) - linjer är parallella;

b) betyder att linjerna är vinkelräta.

Exempel 18: Beräkna avståndet från punkten M(6; 8) till den räta linjen

Lösning: enligt formel (22) får vi: .

Uppgifter för praktiskt pass:

Alternativ 1

1. Ta den allmänna ekvationen för den räta linjen 2x+3y-6=0 till ekvationen i segment och beräkna arean av triangeln avskuren av denna räta linje från motsvarande koordinatvinkel;

2. I ∆ABC har hörnen koordinater för punkt A (-3;4), punkt B (-4;-3), punkt C (8;1). Komponera ekvationerna för sidan (AB), höjd (VC) och median (CM);

3. Beräkna lutningen för den räta linjen som går genom punkten M 0 (-2; 4) och parallell med vektorn (6; -1);

4. Beräkna vinkeln mellan linjerna

4. Beräkna vinkeln mellan linjerna:

a) 2x - 3y + 7 = 0 och 3x - y + 5 = 0; b) och y = 2x – 4;

5. Bestäm den relativa positionen för 2 raka linjer och;

, om koordinaterna för ändarna av segmentet t.A (18; 8) och t. B (-2; -6) är kända.

Alternativ 3

1. Ta den allmänna ekvationen för den räta linjen 4x-5y+20=0 till ekvationen i segment och beräkna arean av triangeln avskuren av denna räta linje från motsvarande koordinatvinkel;

2. I ∆ABC har hörnen koordinater för punkt A (3;-2), punkt B (7;3), punkter

C(0;8). Komponera ekvationerna för sidan (AB), höjd (VC) och median (CM);

3. Beräkna lutningen för den räta linjen som går genom punkten M 0 (-1;-2) och

parallell med vektorn (3;-5);

4. Beräkna vinkeln mellan linjerna

a) 3x + y - 7 = 0 och x - y + 4 = 0; b) och;

5. Bestäm den relativa positionen för 2 linjer och y = 5x + 3;

6. Beräkna avståndet från mitten av segmentet AB till den räta linjen , om koordinaterna för ändarna av segmentet t.A (4; -3) och t.B (-6; 5) är kända.

Alternativ 4

1. För den allmänna ekvationen för den räta linjen 12x-5y+60=0 till ekvationen i segment och beräkna längden på segmentet som är avskuret från denna räta linje med motsvarande koordinatvinkel;

2. I ∆ABC har hörnen koordinaterna för punkt A (0;-2), punkt B (3;6), punkt C (1;-4). Komponera ekvationerna för sidan (AB), höjd (VC) och median (CM);

3. Beräkna lutningen för den räta linjen som går genom punkten M 0 (4;4) och parallell med vektorn (-2;7);

4. Beräkna vinkeln mellan linjerna

a) x +4 y + 8 = 0 och 7x - 3y + 5 = 0; b) och;

5. Bestäm den relativa positionen för 2 raka linjer och;

6. Beräkna avståndet från mitten av segmentet AB till den räta linjen , om koordinaterna för ändarna av segmentet t.A (-4; 8) och t.B (0; 4) är kända.

testfrågor

1. Namnge ekvationerna för en rät linje i ett plan när punkten genom vilken den passerar och dess riktningsvektor är kända;

2. Vad är den normala, allmänna ekvationen för en rät linje på ett plan;

3. Nämn ekvationen för en rät linje som går genom två punkter, ekvationen för en rät linje i segment, ekvationen för en rät linje med en lutning;

4. Lista formlerna för att beräkna vinkeln mellan linjer, givna ekvationer med en vinkelfaktor. Formulera villkoren för parallellitet och vinkelräthet för två linjer.

5. Hur hittar man avståndet från en punkt till en linje?

Låt två poäng ges M(X 1 ,På 1) och N(X 2,y 2). Låt oss hitta ekvationen för den räta linjen som går genom dessa punkter.

Eftersom denna linje går genom punkten M, då enligt formel (1.13) har dess ekvation formen

På – Y 1 = K(X-x 1),

Var Kär den okända lutningen.

Värdet på denna koefficient bestäms från villkoret att den önskade räta linjen passerar genom punkten N, vilket betyder att dess koordinater uppfyller ekvationen (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Härifrån kan du hitta lutningen på denna linje:

,

Eller efter konvertering

(1.14)

Formel (1.14) definierar Ekvation för en linje som går genom två punkter M(X 1, Y 1) och N(X 2, Y 2).

I det särskilda fallet när punkterna M(A, 0), N(0, B), MEN ¹ 0, B¹ 0, ligg på koordinataxlarna, ekvation (1.14) har en enklare form

Ekvation (1,15) kallad Ekvation för en rät linje i segment, här MEN och B beteckna segment avskurna av en rak linje på axlarna (Figur 1.6).

Figur 1.6

Exempel 1.10. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M(1, 2) och B(3, –1).

. Enligt (1.14) har ekvationen för den önskade räta linjen formen

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Genom att överföra alla termer till vänster sida får vi äntligen den önskade ekvationen

3X + 2Y – 7 = 0.

Exempel 1.11. Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt M(2, 1) och skärningspunkten för linjerna X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Vi hittar koordinaterna för linjernas skärningspunkt genom att lösa dessa ekvationer tillsammans

Om vi ​​adderar dessa ekvationer term för term får vi 2 X+ 1 = 0, varifrån . Genom att ersätta det hittade värdet i valfri ekvation hittar vi värdet på ordinatan På:

Låt oss nu skriva ekvationen för en rät linje som går genom punkterna (2, 1) och :

eller .

Därav eller -5( Y – 1) = X – 2.

Slutligen får vi ekvationen för den önskade räta linjen i formuläret X + 5Y – 7 = 0.

Exempel 1.12. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkter M(2.1) och N(2,3).

Med formeln (1.14) får vi ekvationen

Det är inte vettigt eftersom den andra nämnaren är noll. Det framgår av problemets tillstånd att bägge punkternas abskiss har samma värde. Följaktligen är den erforderliga linjen parallell med axeln OY och dess ekvation är: x = 2.

Kommentar . Om, när man skriver ekvationen för en rät linje enligt formel (1.14), visar sig en av nämnarna vara noll-, då kan den önskade ekvationen erhållas genom att likställa motsvarande täljare med noll.

Låt oss överväga andra sätt att sätta en rak linje på ett plan.

1. Låt en vektor som inte är noll vara vinkelrät mot en given linje L, och poängen M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje (Figur 1.7).

Figur 1.7

Beteckna M(X, Y) en godtycklig punkt på linjen L. Vektorer och Ortogonal. Genom att använda ortogonalitetsvillkoren för dessa vektorer får vi eller MEN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Vi har fått ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 är vinkelrät mot vektorn. Denna vektor kallas Normal vektor till en rak linje L. Den resulterande ekvationen kan skrivas om som

Åh + Wu + Med= 0, där Med = –(MENX 0 + Förbi 0), (1.16),

Var MEN och PÅär koordinaterna för normalvektorn.

Vi får den allmänna ekvationen för en rät linje i parametrisk form.

2. En linje på ett plan kan definieras enligt följande: låt en vektor som inte är noll vara parallell med en given linje L och prick M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje. Återigen, ta en godtycklig poäng M(X, y) på en rak linje (Figur 1.8).

Figur 1.8

Vektorer och kolinjär.

Låt oss skriva ner tillståndet för kollinearitet för dessa vektorer: , där Tär ett godtyckligt tal som kallas en parameter. Låt oss skriva denna likhet i koordinater:

Dessa ekvationer kallas Parametriska ekvationer Hetero. Låt oss utesluta parametern från dessa ekvationer T:

Dessa ekvationer kan skrivas i formen

. (1.18)

Den resulterande ekvationen kallas Den kanoniska ekvationen för en rät linje. Vector samtal Riktning vektor rak .

Kommentar . Det är lätt att se att if är normalvektorn till linjen L, då kan dess riktningsvektor vara vektorn , eftersom , dvs.

Exempel 1.13. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0(1, 1) parallellt med linje 3 X + 2På– 8 = 0.

Beslut . Vektorn är normalvektorn till de givna och önskade linjerna. Låt oss använda ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 med en given normalvektor 3( X –1) + 2(På– 1) = 0 eller 3 X + 2 år- 5 \u003d 0. Vi fick ekvationen för den önskade räta linjen.

Ekvation för en linje som går genom en given punkt i en given riktning. Ekvation för en rät linje som går genom två givna punkter. Vinkel mellan två linjer. Villkor för parallellitet och vinkelräthet för två linjer. Bestämma skärningspunkten för två linjer

1. Ekvation för en linje som går genom en given punkt A(x 1 , y 1) i en given riktning, bestäms av lutningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denna ekvation definierar en penna av linjer som passerar genom en punkt A(x 1 , y 1), som kallas strålens centrum.

2. Ekvation för en rät linje som går genom två punkter: A(x 1 , y 1) och B(x 2 , y 2) är skrivet så här:

Lutningen på en rät linje som går genom två givna punkter bestäms av formeln

3. Vinkel mellan raka linjer A och Bär vinkeln med vilken den första räta linjen måste roteras A runt skärningspunkten för dessa linjer moturs tills den sammanfaller med den andra linjen B. Om två linjer ges av lutningsekvationer

y = k 1 x + B 1 ,