Systemet med linjära ekvationer kallas joint if mti. Hur man hittar en generell och speciell lösning på ett system av linjära ekvationer

Vi fortsätter att behandla linjära ekvationssystem. Hittills har vi funderat på system som har en unik lösning. Sådana system kan lösas på vilket sätt som helst: substitutionsmetod("skola") med Cramers formler, matrismetod, Gauss metod. Men ytterligare två fall är utbredda i praktiken när:

1) systemet är inkonsekvent (har inga lösningar);

2) systemet har oändligt många lösningar.

För dessa system används den mest universella av alla lösningsmetoder - Gauss metod. Faktum är att "skolans" sätt också kommer att leda till svaret, men i högre matematik Det är vanligt att använda den Gaussiska metoden för successiv eliminering av okända. De som inte är bekanta med Gauss-metodens algoritm, vänligen studera lektionen först Gauss metod

De elementära matristransformationerna i sig är exakt desamma, kommer skillnaden att vara i slutet av lösningen. Tänk först på ett par exempel där systemet inte har några lösningar (inkonsekvent).

Exempel 1

Vad får du omedelbart i ögonen i det här systemet? Antalet ekvationer är mindre än antalet variabler. Det finns ett teorem som säger: ”Om antalet ekvationer i systemet mindre kvantitet variabler, då är systemet antingen inkonsekvent eller har oändligt många lösningar. Och det återstår bara att ta reda på.

Början av lösningen är ganska vanlig - vi skriver den utökade matrisen av systemet och, med hjälp av elementära transformationer, tar vi den till en stegvis form:

(ett). På det övre vänstra steget måste vi få (+1) eller (-1). Det finns inga sådana siffror i den första kolumnen, så att ordna om raderna fungerar inte. Enheten kommer att behöva organiseras självständigt, och detta kan göras på flera sätt. Vi gjorde så. Till den första raden lägger vi till den tredje raden, multiplicerad med (-1).

(2). Nu får vi två nollor i den första kolumnen. Till den andra raden, lägg till den första raden, multiplicerad med 3. Till den tredje raden, lägg till den första, multiplicerad med 5.

(3). Efter att transformationen är gjord är det alltid tillrådligt att se om det är möjligt att förenkla de resulterande strängarna? Burk. Vi delar den andra raden med 2, samtidigt som vi får den önskade (-1) i det andra steget. Dividera den tredje raden med (-3).

(4). Lägg till den andra raden till den tredje raden. Förmodligen uppmärksammade alla den dåliga linjen, som visade sig som ett resultat av elementära transformationer:

. Det är klart att det inte kan vara så.

Faktum är att vi skriver om den resulterande matrisen

tillbaka till systemet med linjära ekvationer:

Om som ett resultat av elementära transformationer en sträng av formen , varλ är ett icke-nolltal, då är systemet inkonsekvent (har inga lösningar).

Hur registrerar man slutet på en uppgift? Du måste skriva ner frasen:

"Som ett resultat av elementära transformationer erhålls en sträng av formen, där λ ≠ 0 ". Svar: "Systemet har inga lösningar (inkonsekvent)."

Observera att i det här fallet finns det ingen omvänd flyttning av den Gaussiska algoritmen, det finns inga lösningar och det finns helt enkelt inget att hitta.

Exempel 2

Lös ett system av linjära ekvationer

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Komplett lösning och svaret i slutet av lektionen.

Återigen påminner vi dig om att din beslutsprocess kan skilja sig från vår beslutsprocess, Gauss-metoden sätter ingen entydig algoritm, du måste själv gissa proceduren och själva åtgärderna i varje fall.

En till teknisk funktion lösningar: elementära transformationer kan stoppas Genast, så snart en rad som , var λ ≠ 0 . Överväga villkorligt exempel: anta att vi efter den första transformationen får en matris

.

Denna matris har ännu inte reducerats till en stegvis form, men det finns inget behov av ytterligare elementära transformationer, eftersom en linje av formen har dykt upp, där λ ≠ 0 . Det bör omedelbart besvaras att systemet är inkompatibelt.

När ett system med linjära ekvationer inte har några lösningar är detta nästan en gåva till eleven, eftersom en kort lösning erhålls, ibland bokstavligen i 2-3 steg. Men allt i den här världen är balanserat, och problemet där systemet har oändligt många lösningar är bara längre.

Exempel 3:

Lös ett system av linjära ekvationer

Det finns 4 ekvationer och 4 okända, så systemet kan antingen ha en enda lösning, eller ha inga lösningar, eller ha oändligt många lösningar. Vad det än var, men Gauss-metoden kommer i alla fall att leda oss till svaret. Detta är dess mångsidighet.

Början är återigen standard. Låt oss skriva den utökade matrisen för systemet och, med hjälp av elementära transformationer, föra den till en stegvis form:

Det var allt, och du var rädd.

(ett). Observera att alla siffror i den första kolumnen är delbara med 2, så på det övre vänstra steget nöjer vi oss också med en tvåa. Till den andra raden lägger vi till den första raden, multiplicerad med (-4). Till den tredje raden adderar vi den första raden, multiplicerad med (-2). Till den fjärde raden adderar vi den första raden, multiplicerad med (-1).

Uppmärksamhet! Många kan bli frestade från fjärde raden subtrahera Första linjen. Detta kan göras, men det är inte nödvändigt, erfarenheten visar att sannolikheten för ett fel i beräkningar ökar flera gånger. Vi lägger bara till: till den fjärde raden lägger vi till den första raden, multiplicerad med (-1) - exakt!

(2). De sista tre raderna är proportionella, två av dem kan raderas. Här är det återigen nödvändigt att visa ökad uppmärksamhet, men är linjerna verkligen proportionella? För återförsäkring kommer det inte att vara överflödigt att multiplicera den andra raden med (-1) och dividera den fjärde raden med 2, vilket resulterar i tre identiska rader. Och först efter det ta bort två av dem. Som ett resultat av elementära transformationer reduceras systemets utökade matris till en stegvis form:

När du slutför en uppgift i en anteckningsbok är det lämpligt att göra samma anteckningar med blyerts för tydlighetens skull.

Vi skriver om motsvarande ekvationssystem:

Systemets "vanliga" enda lösning luktar inte här. Dålig linje var λ ≠ 0, också nej. Därför är detta det tredje återstående fallet - systemet har oändligt många lösningar.

Systemets oändliga uppsättning lösningar skrivs kortfattat i form av den sk generell systemlösning.

Vi kommer att hitta den allmänna lösningen av systemet med den omvända rörelsen av Gauss-metoden. För ekvationssystem med en oändlig uppsättning lösningar dyker nya begrepp upp: "grundläggande variabler" och "fria variabler". Låt oss först definiera vilka variabler vi har grundläggande, och vilka variabler - fri. Det är inte nödvändigt att förklara i detalj termerna för linjär algebra, det räcker att komma ihåg att det finns sådana basvariabler och fria variabler.

Grundvariabler "sitter" alltid strikt på matrisens steg. I det här exemplet är basvariablerna x 1 och x 3 .

Fria variabler är allt återstående variabler som inte fick ett steg. I vårt fall finns det två: x 2 och x 4 - fria variabler.

Nu behöver du Alltbasvariabler uttrycka bara genomfria variabler. Det omvända draget av den Gaussiska algoritmen fungerar traditionellt nerifrån och upp. Från systemets andra ekvation uttrycker vi grundvariabeln x 3:

Titta nu på den första ekvationen: . Först ersätter vi det hittade uttrycket i det:

Det återstår att uttrycka grundvariabeln x 1 genom fria variabler x 2 och x 4:

Resultatet är vad du behöver - Allt basvariabler ( x 1 och x 3) uttryckt bara genom fria variabler ( x 2 och x 4):

Egentligen är den allmänna lösningen klar:

.

Hur skriver man ner den allmänna lösningen? Först och främst skrivs fria variabler in i den allmänna lösningen "på egen hand" och strikt på sina ställen. I det här fallet de fria variablerna x 2 och x 4 ska skrivas på den andra och fjärde positionen:

.

De resulterande uttrycken för de grundläggande variablerna och måste naturligtvis skrivas i första och tredje position:

Från systemets allmänna lösning kan man hitta oändligt många privata beslut. Det är väldigt enkelt. fria variabler x 2 och x 4 kallas så för att de kan ges eventuella slutvärden. De mest populära värdena är nollvärden, eftersom detta är det enklaste sättet att få en viss lösning.

Ersätter ( x 2 = 0; x 4 = 0) i den allmänna lösningen får vi en av de specifika lösningarna:

, eller är en viss lösning som motsvarar fria variabler med värden ( x 2 = 0; x 4 = 0).

De är ett annat sött par, låt oss ersätta ( x 2 = 1 och x 4 = 1) till den allmänna lösningen:

(-1; 1; 1; 1) är en annan speciell lösning.

Det är lätt att se att ekvationssystemet har oändligt många lösningar eftersom vi kan ge fria variabler några värden.

Varje en särskild lösning måste uppfylla till varje systemekvationen. Detta är grunden för en "snabb" kontroll av lösningens riktighet. Ta till exempel en viss lösning (-1; 1; 1; 1) och sätt in den på vänster sida av varje ekvation i det ursprungliga systemet:

Allt måste gå ihop. Och med någon speciell lösning du får, bör allt också konvergera.

Strängt taget lurar verifieringen av en viss lösning ibland, d.v.s. någon speciell lösning kan uppfylla varje ekvation i systemet, och själva den allmänna lösningen hittas faktiskt felaktigt. Därför, först och främst, är verifieringen av den allmänna lösningen mer grundlig och tillförlitlig.

Hur man kontrollerar den resulterande allmänna lösningen ?

Det är inte svårt, men det kräver en ganska lång förvandling. Vi måste ta uttryck grundläggande variabler, i det här fallet och , och ersätta dem i den vänstra sidan av varje ekvation i systemet.

Till vänster om systemets första ekvation:

Den högra sidan av systemets ursprungliga första ekvation erhålls.

Till vänster om systemets andra ekvation:

Den högra sidan av systemets ursprungliga andra ekvation erhålls.

Och vidare - till vänster delar av systemets tredje och fjärde ekvationer. Denna kontroll är längre, men den garanterar 100 % korrekthet av den övergripande lösningen. Dessutom krävs det i vissa uppgifter att man kontrollerar den allmänna lösningen.

Exempel 4:

Lös systemet med Gauss-metoden. Hitta en generell lösning och två privata. Kontrollera den övergripande lösningen.

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Här är förresten återigen antalet ekvationer mindre än antalet okända, vilket betyder att det omedelbart är klart att systemet kommer att vara antingen inkonsekvent eller med ett oändligt antal lösningar.

Exempel 5:

Lös ett system av linjära ekvationer. Om systemet har oändligt många lösningar, hitta två specifika lösningar och kontrollera den allmänna lösningen

Beslut: Låt oss skriva ner systemets utökade matris och, med hjälp av elementära transformationer, föra den till en stegvis form:

(ett). Lägg till den första raden till den andra raden. Till den tredje raden adderar vi den första raden multiplicerad med 2. Till den fjärde raden adderar vi den första raden multiplicerad med 3.

(2). Till den tredje raden lägger vi till den andra raden, multiplicerad med (-5). Till den fjärde raden adderar vi den andra raden, multiplicerad med (-7).

(3). Den tredje och fjärde raden är desamma, vi tar bort en av dem. Här är en sådan skönhet:

Basvariabler sitter på steg, så de är basvariabler.

Det finns bara en gratis variabel, som inte fick ett steg: .

(4). Flytta omvänt. Vi uttrycker de grundläggande variablerna i termer av den fria variabeln:

Från den tredje ekvationen:

Betrakta den andra ekvationen och ersätt det hittade uttrycket i den:

, , ,

Betrakta den första ekvationen och ersätt de hittade uttrycken och in i den:

Alltså den allmänna lösningen med en fri variabel x 4:

Än en gång, hur gick det till? fri variabel x 4 sitter ensam på sin rättmätiga fjärdeplats. De resulterande uttrycken för grundvariablerna , , finns också på sina ställen.

Låt oss omedelbart kontrollera den allmänna lösningen.

Vi ersätter de grundläggande variablerna , , till vänster i varje ekvation i systemet:

Motsvarande högra sidor av ekvationerna erhålls, sålunda hittas den korrekta allmänna lösningen.

Nu från den hittade allmänna lösningen vi får två speciella lösningar. Alla variabler uttrycks här genom en singel fri variabel x 4 . Du behöver inte bryta huvudet.

Låt vara x 4 = 0, alltså är den första specifika lösningen.

Låt vara x 4 = 1, alltså är en annan speciell lösning.

Svar: Gemensamt beslut: . Privata lösningar:

och .

Exempel 6:

Hitta den allmänna lösningen av det linjära ekvationssystemet.

Vi har redan kontrollerat den allmänna lösningen, svaret kan litas på. Ditt tillvägagångssätt kan skilja sig från vårt tillvägagångssätt. Huvudsaken är att de allmänna lösningarna sammanfaller. Förmodligen märkte många människor ett obehagligt ögonblick i lösningarna: mycket ofta, under det omvända förloppet av Gauss-metoden, var vi tvungna att pilla med vanliga bråk. I praktiken är detta sant, fall där det inte finns några bråk är mycket mindre vanliga. Var förberedd mentalt, och viktigast av allt, tekniskt.

Låt oss uppehålla oss vid egenskaperna hos lösningen som inte hittades i de lösta exemplen. Systemets allmänna lösning kan ibland innehålla en konstant (eller konstanter).

Till exempel den allmänna lösningen: . Här är en av grundvariablerna lika med ett konstant tal: . Det finns inget exotiskt i detta, det händer. Uppenbarligen, i det här fallet, kommer varje speciell lösning att innehålla en femma i första positionen.

Sällan, men det finns system där antalet ekvationer är större än antalet variabler. Gaussmetoden fungerar dock under de svåraste förhållandena. Du bör lugnt föra systemets utökade matris till en stegvis form enligt standardalgoritmen. Ett sådant system kan vara inkonsekvent, kan ha oändligt många lösningar och kan konstigt nog ha en unik lösning.

Vi upprepar i våra råd - för att känna dig bekväm när du löser ett system med Gauss-metoden, bör du fylla din hand och lösa minst ett dussin system.

Lösningar och svar:

Exempel 2:

Beslut:Låt oss skriva ner systemets utökade matris och, med hjälp av elementära transformationer, föra den till en stegvis form.

Utförde elementära transformationer:

(1) Den första och tredje raden har bytts ut.

(2) Den första raden lades till den andra raden, multiplicerad med (-6). Den första raden lades till den tredje raden, multiplicerad med (-7).

(3) Den andra raden lades till den tredje raden, multiplicerad med (-1).

Som ett resultat av elementära transformationer, en sträng av formen, var λ ≠ 0 .Så systemet är inkonsekvent.Svar: det finns inga lösningar.

Exempel 4:

Beslut:Låt oss skriva den utökade matrisen för systemet och, med hjälp av elementära transformationer, föra den till en stegvis form:

Utförda omvandlingar:

(ett). Den första raden multiplicerad med 2 lades till den andra raden. Den första raden multiplicerad med 3 lades till på den tredje raden.

Det finns ingen enhet för det andra steget , och transformation (2) syftar till att erhålla den.

(2). Den andra raden lades till den tredje raden, multiplicerad med -3.

(3). Den andra och tredje raden byttes (den resulterande -1 flyttades till det andra steget)

(4). Den andra raden lades till den tredje raden, multiplicerad med 3.

(5). Tecknet för de två första linjerna ändrades (multiplicerat med -1), den tredje raden dividerades med 14.

Flytta bakåt:

(ett). Här är de grundläggande variablerna (som finns på steg), och är fria variabler (vem som inte fick steget).

(2). Vi uttrycker de grundläggande variablerna i termer av fria variabler:

Från den tredje ekvationen: .

(3). Tänk på den andra ekvationen:, särskilda lösningar:

Svar: Gemensamt beslut:

Komplexa tal

I det här avsnittet kommer vi att introducera konceptet komplext tal, överväga algebraisk, trigonometrisk och vägledande form komplext tal. Vi kommer också att lära oss hur man utför operationer med komplexa tal: addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering och rotextraktion.

För att bemästra komplexa tal behöver du inga speciella kunskaper från kursen i högre matematik, och materialet är tillgängligt även för en skolpojke. Det räcker med att kunna utföra algebraiska operationer med "vanliga" tal, och komma ihåg trigonometri.

Låt oss först komma ihåg de "vanliga" siffrorna. I matematiken kallas de många riktiga nummer och är markerade med bokstaven R, eller R (tjock). Alla reella tal sitter på den välbekanta tallinjen:

Sällskapet av reella tal är väldigt färgstarkt - här är heltal, och bråktal, och irrationella tal. I detta fall motsvarar varje punkt på den numeriska axeln nödvändigtvis något reellt tal.

• System m linjära ekvationer med n okänd.
  Lösa ett system av linjära ekvationerär en sådan uppsättning siffror ( x 1, x 2, …, x n), genom att ersätta vilken i var och en av systemets ekvationer, den korrekta likheten erhålls.
  var aij, i = 1, …, m; j = 1, …, när systemets koefficienter;
  b i, i = 1, …, m- gratis medlemmar;
  x j, j = 1, …, n- okänd.
  Ovanstående system kan skrivas i matrisform: A X = B,
  
  
  
  
  var ( A|B) är systemets huvudmatris;
  A— utökad matris av systemet.
  X— kolumn av okända;
  Bär en kolumn med gratis medlemmar.
  Om matrisen Bär inte en nollmatris ∅, då kallas detta linjära ekvationssystem inhomogent.
  Om matrisen B= ∅, då kallas detta linjära ekvationssystem homogent. Ett homogent system har alltid en noll (trivial) lösning: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Ledsystem av linjära ekvationerär ett system av linjära ekvationer som har en lösning.
  Inkonsekvent system av linjära ekvationerär ett system av linjära ekvationer som inte har någon lösning.
  Ett visst system av linjära ekvationerär ett system av linjära ekvationer som har en unik lösning.
  Obestämt system av linjära ekvationerär ett system av linjära ekvationer som har ett oändligt antal lösningar.
• System med n linjära ekvationer med n okända
  Om antalet okända är lika med antalet ekvationer, är matrisen kvadratisk. Matrisdeterminanten kallas huvuddeterminanten i systemet av linjära ekvationer och betecknas med symbolen Δ.
  Cramer metod för att lösa system n linjära ekvationer med n okänd.
  Cramers regel.
  Om huvuddeterminanten för systemet med linjära ekvationer inte är det noll-, då är systemet konsekvent och definierat, och den unika lösningen beräknas med Cramers formler:
  där Δ i är determinanter som erhålls från huvuddeterminanten i systemet Δ genom att ersätta i kolumnen till kolumnen med fria medlemmar. .
• System av m linjära ekvationer med n okända
  Kronecker-Cappellis sats.
  
  
  För att detta system av linjära ekvationer ska vara konsekvent är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för systemets matris är lika med rangordningen för systemets utökade matris, rank(Α) = rank(Α|B).
  Om en rang(Α) ≠ rang(Α|B), då har systemet uppenbarligen inga lösningar.
  Om rank(Α) = rank(Α|B), då är två fall möjliga:
  1) rang(Α) = n(till antalet okända) - lösningen är unik och kan erhållas med Cramers formler;
  2) rang(Α)< n − det finns oändligt många lösningar.
• Gauss metod för att lösa linjära ekvationssystem
  
  
  Låt oss komponera den utökade matrisen ( A|B) av det givna koefficientsystemet på den okända och högra sidan.
  Gaussmetoden eller metoden för eliminering av okända består i att reducera den förstärkta matrisen ( A|B) med hjälp av elementära transformationer över dess rader till en diagonal form (till en övre triangulär form). Återgå till ekvationssystemet, alla okända bestäms.
  Elementära transformationer på strängar inkluderar följande:
  1) byta två rader;
  2) multiplicera en sträng med ett annat tal än 0;
  3) lägga till ytterligare en sträng multiplicerad med ett godtyckligt tal till strängen;
  4) kasta en nollsträng.
  En utökad matris reducerad till en diagonal form motsvarar ett linjärt system motsvarande det givna, vars lösning inte orsakar svårigheter. .
• System av homogena linjära ekvationer.
  Det homogena systemet har formen:
  
  den motsvarar matrisekvationen A X = 0.
  1) Ett homogent system är alltid konsekvent, eftersom r(A) = r(A|B), det finns alltid en nolllösning (0, 0, …, 0).
  2) För att ett homogent system ska ha en lösning som inte är noll är det nödvändigt och tillräckligt att r = r(A)< n , vilket är ekvivalent med Δ = 0.
  3) Om r< n , då Δ = 0, då finns det fria okända c 1, c 2, …, c n-r, systemet har icke-triviala lösningar, och det finns oändligt många av dem.
  4) Allmän lösning X på r< n kan skrivas i matrisform enligt följande:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  var finns lösningarna X1, X2, …, Xn-r bilda ett grundläggande system av lösningar.
  5) Det grundläggande lösningssystemet kan erhållas från den allmänna lösningen av det homogena systemet:
  
  ,
  om vi sekventiellt antar att parametrarnas värden är (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Nedbrytning av den allmänna lösningen i termer av det grundläggande lösningssystemetär en registrering av den allmänna lösningen som en linjär kombination av lösningar som tillhör grundsystemet.
  Sats. För att ett system med linjära homogena ekvationer ska ha en lösning som inte är noll, är det nödvändigt och tillräckligt att Δ ≠ 0.
  Så, om determinanten är Δ ≠ 0, så har systemet en unik lösning.
  Om Δ ≠ 0, så har systemet med linjära homogena ekvationer ett oändligt antal lösningar.
  Sats. För att ett homogent system ska ha en lösning som inte är noll är det nödvändigt och tillräckligt att r(A)< n .
  Bevis:
  1) r kan inte vara mer n(matrisrankningen överstiger inte antalet kolumner eller rader);
  2) r< n , därför att om r=n, då huvuddeterminanten för systemet Δ ≠ 0, och enligt Cramers formler finns det en unik trivial lösning x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, vilket strider mot villkoret. Betyder att, r(A)< n .
  Följd. För att få ett homogent system n linjära ekvationer med n okända har en lösning som inte är noll, det är nödvändigt och tillräckligt att Δ = 0.

Serviceuppdrag. Online-kalkylatorn är utformad för att studera ett system av linjära ekvationer. Vanligtvis i tillståndet av problemet krävs för att hitta generell och speciell lösning av systemet. När man studerar linjära ekvationssystem löses följande problem:

1. huruvida systemet är samverkande;
2. om systemet är kompatibelt så är det definitivt eller obestämt (kriteriet för systemkompatibilitet bestäms av satsen);
3. om systemet är definierat, hur man då hittar dess unika lösning (Cramer-metoden, den omvända matrismetoden eller Jordan-Gauss-metoden används);
4. om systemet är obestämt, hur ska man då beskriva uppsättningen av dess lösningar.

Klassificering av linjära ekvationssystem

Ett godtyckligt system av linjära ekvationer har formen:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. System av linjära inhomogena ekvationer (antalet variabler är lika med antalet ekvationer, m = n).
2. Godtyckliga system av linjära inhomogena ekvationer (m > n eller m< n).

Definition. En lösning av ett system är vilken som helst uppsättning tal c 1 ,c 2 ,...,c n , vars substitution i systemet istället för motsvarande okända förvandlar varje ekvation i systemet till en identitet.

Definition. Två system sägs vara likvärdiga om lösningen till det första är lösningen till det andra och vice versa.

Definition. Ett system som har minst en lösning kallas gemensam. Ett system som inte har någon lösning kallas inkonsekvent.

Definition. Ett system med en unik lösning kallas vissa, och att ha mer än en lösning är obestämd.

Algoritm för att lösa linjära ekvationssystem

1. Hitta rangordningen för huvudmatrisen och den utökade matrisen. Om de inte är lika, så är enligt Kronecker-Capelli-satsen systemet inkonsekvent, och det är här studien slutar.
2. Låt rang(A) = rang(B) . Vi väljer den grundläggande birollen. I det här fallet delas alla okända system av linjära ekvationer in i två klasser. De okända, vars koefficienter ingår i grundmoll, kallas beroende, och okända, vars koefficienter inte ingår i grundmoll, kallas fria. Observera att valet av beroende och fria okända inte alltid är unikt.
3. Vi stryker över de ekvationer av systemet vars koefficienter inte ingick i den grundläggande moll, eftersom de är konsekvenser av resten (enligt den grundläggande mollsatsen).
4. Termerna för ekvationerna som innehåller fria okända kommer att överföras till höger sida. Som ett resultat får vi ett ekvationssystem med r okända, ekvivalent med den givna, vars determinant skiljer sig från noll.
5. Det resulterande systemet löses på något av följande sätt: Cramer-metoden, inversmatrismetoden eller Jordan-Gauss-metoden. Relationer finns som uttrycker de beroende variablerna i termer av de fria.

System av m linjära ekvationer med n okända kallas ett formsystem

var aij och b i (i=1,…,m; b=1,…,n) är några kända nummer, och x 1,...,x n- okänd. I notationen av koefficienterna aij första index i betecknar ekvationens nummer och den andra jär numret på det okända vid vilket denna koefficient står.

Koefficienterna för de okända kommer att skrivas i form av en matris , som vi kommer att kalla systemmatris.

Siffrorna på höger sida av ekvationerna b 1,...,b m kallad gratis medlemmar.

Aggregat n tal c 1,...,c n kallad beslut av detta system, om varje ekvation i systemet blir en likhet efter att ha ersatt siffror i den c 1,...,c n istället för motsvarande okända x 1,...,x n.

Vår uppgift blir att hitta lösningar på systemet. I det här fallet kan tre situationer uppstå:

Ett system av linjära ekvationer som har minst en lösning kallas gemensam. Annars, dvs. om systemet inte har några lösningar, då kallas det oförenlig.

Fundera över sätt att hitta lösningar på systemet.

MATRIXMETOD FÖR LÖSNING AV SYSTEM AV LINJÄRA EKVATIONER

Matriser gör det möjligt att kortfattat skriva ner ett system av linjära ekvationer. Låt ett system med 3 ekvationer med tre okända ges:

Tänk på systemets matris och matriskolumner med okända och fria medlemmar

Låt oss hitta produkten

de där. som ett resultat av produkten får vi den vänstra sidan av ekvationerna i detta system. Använd sedan definitionen av matrisjämlikhet detta system kan skrivas i formen

eller kortare A∙X=B.

Här matriser A och Bär kända, och matrisen X okänd. Hon måste hittas, eftersom. dess delar är lösningen på detta system. Denna ekvation kallas matrisekvation.

Låt matrisdeterminanten vara skild från noll | A| ≠ 0. Då löses matrisekvationen enligt följande. Multiplicera båda sidor av ekvationen till vänster med matrisen A-1, inversen av matrisen A: . I den mån som A -1 A = E och E∙X=X, då får vi lösningen av matrisekvationen i formen X = A -1 B .

Observera att eftersom den inversa matrisen endast kan hittas för kvadratiska matriser, kan matrismetoden endast lösa de system där antalet ekvationer är detsamma som antalet okända. Systemets matrisnotation är emellertid också möjlig i det fall då antalet ekvationer inte är lika med antalet okända, då matrisen Aär inte kvadratiskt och därför är det omöjligt att hitta en lösning på systemet i formuläret X = A -1 B.

Exempel. Lösa ekvationssystem.

CRAMERS REGEL

Betrakta ett system med 3 linjära ekvationer med tre okända:

Tredje ordningens determinant som motsvarar systemets matris, dvs. består av koefficienter vid okända,

kallad systemdeterminant.

Vi komponerar ytterligare tre determinanter enligt följande: vi ersätter successivt 1, 2 och 3 kolumner i determinanten D med en kolumn med fria medlemmar

Då kan vi bevisa följande resultat.

Teorem (Cramers regel). Om systemets determinant är Δ ≠ 0, så har det aktuella systemet en och endast en lösning, och

Bevis. Så, överväg ett system med 3 ekvationer med tre okända. Multiplicera den första ekvationen i systemet med det algebraiska komplementet En 11 element en 11, 2:a ekvationen - på A21 och 3:a - på A 31:

Låt oss lägga till dessa ekvationer:

Betrakta var och en av parenteserna och den högra sidan av denna ekvation. Genom satsen om expansionen av determinanten i termer av elementen i den första kolumnen

På samma sätt kan det visas att och .

Slutligen är det lätt att se det

Därmed får vi jämställdheten: .

Därav, .

Jämlikheterna och härleds på liknande sätt, varifrån påståendet om satsen följer.

Således noterar vi att om determinanten för systemet är Δ ≠ 0, så har systemet en unik lösning och vice versa. Om systemets determinant är lika med noll så har systemet antingen en oändlig uppsättning lösningar eller har inga lösningar, d.v.s. oförenlig.

Exempel. Lös ett ekvationssystem

GAUSS METOD

De tidigare övervägda metoderna kan användas för att lösa endast de system där antalet ekvationer sammanfaller med antalet okända, och systemets determinant måste skilja sig från noll. Gaussmetoden är mer universell och lämpar sig för system med hur många ekvationer som helst. Den består i successiv eliminering av okända från systemets ekvationer.

Betrakta återigen ett system med tre ekvationer med tre okända:

.

Vi lämnar den första ekvationen oförändrad, och från den 2:a och 3:e exkluderar vi termerna som innehåller x 1. För att göra detta delar vi den andra ekvationen med a 21 och multiplicera med - a 11 och lägg sedan till med den 1:a ekvationen. På samma sätt delar vi in ​​den tredje ekvationen i a 31 och multiplicera med - a 11 och lägg sedan till den i den första. Som ett resultat kommer det ursprungliga systemet att ta formen:

Nu, från den sista ekvationen, eliminerar vi termen som innehåller x2. För att göra detta, dividera den tredje ekvationen med , multiplicera med och addera den till den andra. Då kommer vi att ha ett ekvationssystem:

Därför är det lätt att hitta från den sista ekvationen x 3, sedan från den 2:a ekvationen x2 och slutligen från 1:a - x 1.

När man använder Gaussmetoden kan ekvationerna bytas ut vid behov.

Ofta istället för att skriva nytt system ekvationer är begränsade till att skriva ut systemets utökade matris:

och sedan föra den till en triangulär eller diagonal form med hjälp av elementära transformationer.

Till elementära transformationer matriser inkluderar följande transformationer:

1. permutation av rader eller kolumner;
2. multiplicera en sträng med ett tal som inte är noll;
3. lägga till andra rader på en rad.

Exempel: Lös ekvationssystem med Gauss-metoden.

Systemet har alltså ett oändligt antal lösningar.

Ekvationssystem används i stor utsträckning inom den ekonomiska industrin vid matematisk modellering av olika processer. Till exempel när man löser problem med produktionsledning och planering, logistikvägar (transportproblem) eller utrustningsplacering.

Ekvationssystem används inte bara inom matematikområdet, utan också inom fysik, kemi och biologi, när man löser problem med att hitta populationsstorleken.

Ett system av linjära ekvationer är en term för två eller flera ekvationer med flera variabler för vilka det är nödvändigt att hitta en gemensam lösning. En sådan talföljd där alla ekvationer blir sanna likheter eller bevisar att sekvensen inte existerar.

Linjär ekvation

Ekvationer av formen ax+by=c kallas linjära. Beteckningarna x, y är de okända, vars värde måste hittas, b, a är koefficienterna för variablerna, c är ekvationens fria term.
Att lösa ekvationen genom att plotta dess graf kommer att se ut som en rät linje, vars alla punkter är lösningen av polynomet.

Typer av linjära ekvationssystem

De enklaste är exempel på linjära ekvationssystem med två variabler X och Y.

F1(x, y) = 0 och F2(x, y) = 0, där F1,2 är funktioner och (x, y) är funktionsvariabler.

Lös ett ekvationssystem - det betyder att hitta sådana värden (x, y) vid vilka systemet förvandlas till en sann likhet eller fastställa att lämpliga värden x och y finns inte.

Ett värdepar (x, y), skrivna som punktkoordinater, kallas en lösning till ett system av linjära ekvationer.

Om systemen har en gemensam lösning eller det inte finns någon lösning kallas de likvärdiga.

Homogena system av linjära ekvationer är system vars högra sida är lika med noll. Om den högra delen efter "lika"-tecknet har ett värde eller uttrycks av en funktion, är ett sådant system inte homogent.

Antalet variabler kan vara mycket mer än två, då ska vi prata om ett exempel på ett system av linjära ekvationer med tre variabler eller fler.

Inför system antar skolbarn att antalet ekvationer nödvändigtvis måste sammanfalla med antalet okända, men så är det inte. Antalet ekvationer i systemet beror inte på variablerna, det kan finnas ett godtyckligt stort antal av dem.

Enkla och komplexa metoder för att lösa ekvationssystem

Det finns inget generellt analytiskt sätt att lösa sådana system, alla metoder är baserade på numeriska lösningar. Skolmatematikkursen beskriver i detalj metoder som permutation, algebraisk addition, substitution, samt den grafiska och matrismetoden, lösningen med Gaussmetoden.

Huvuduppgiften i undervisningsmetoder för att lösa är att lära ut hur man korrekt analyserar systemet och hittar optimal algoritm lösningar för varje exempel. Det viktigaste är inte att memorera ett system med regler och åtgärder för varje metod, utan att förstå principerna för att tillämpa en viss metod.

Lösa exempel på linjära ekvationssystem av 7:e klassen i programmet gymnasieskola ganska enkelt och mycket detaljerat förklarat. I alla läroböcker om matematik ägnas detta avsnitt tillräckligt med uppmärksamhet. Lösningen av exempel på system av linjära ekvationer med metoden av Gauss och Cramer studeras mer i detalj i de första kurserna av högre utbildningsinstitutioner.

Lösning av system genom substitutionsmetoden

Substitutionsmetodens åtgärder syftar till att uttrycka värdet av en variabel genom den andra. Uttrycket ersätts i den återstående ekvationen, sedan reduceras det till en enda variabelform. Åtgärden upprepas beroende på antalet okända i systemet

Låt oss ge ett exempel på ett system av linjära ekvationer av den 7:e klassen genom substitutionsmetoden:

Som framgår av exemplet uttrycktes variabeln x genom F(X) = 7 + Y. Det resulterande uttrycket, substituerat i systemets 2:a ekvation i stället för X, hjälpte till att erhålla en variabel Y i den 2:a ekvationen . Lösningen i detta exempel orsakar inga svårigheter och låter dig få värdet Y. Det sista steget är att kontrollera de erhållna värdena.

Det är inte alltid möjligt att lösa ett exempel på ett system av linjära ekvationer genom substitution. Ekvationerna kan vara komplexa och uttrycket av variabeln i termer av det andra okända kommer att vara för krångligt för ytterligare beräkningar. När det finns fler än 3 okända i systemet är substitutionslösningen också opraktisk.

Lösning av ett exempel på ett system av linjära inhomogena ekvationer:

Lösning med algebraisk addition

När man söker efter en lösning på system med additionsmetoden, termvis addition och multiplikation av ekvationer med olika nummer. Det slutliga målet för matematiska operationer är en ekvation med en variabel.

Tillämpningen av denna metod kräver övning och observation. Det är inte lätt att lösa ett system av linjära ekvationer med hjälp av additionsmetoden med antalet variabler 3 eller fler. Algebraisk addition är användbar när ekvationerna innehåller bråktal och decimaltal.

Lösningsåtgärdsalgoritm:

1. Multiplicera båda sidor av ekvationen med något tal. Som ett resultat aritmetisk operation en av variabelns koefficienter måste bli lika med 1.
2. Lägg till det resulterande uttrycket term för term och hitta en av de okända.
3. Ersätt det resulterande värdet i systemets 2:a ekvation för att hitta den återstående variabeln.

Lösningsmetod genom att introducera en ny variabel

En ny variabel kan införas om systemet behöver hitta en lösning för högst två ekvationer, antalet okända bör inte heller vara fler än två.

Metoden används för att förenkla en av ekvationerna genom att införa en ny variabel. Den nya ekvationen löses med avseende på det inmatade okända, och det resulterande värdet används för att bestämma den ursprungliga variabeln.

Exemplet visar att genom att introducera en ny variabel t, var det möjligt att reducera systemets 1:a ekvation till standarden kvadratisk trinomium. Du kan lösa ett polynom genom att hitta diskriminanten.

Det är nödvändigt att hitta värdet av diskriminanten genom välkänd formel: D = b2 - 4*a*c, där D är den önskade diskriminanten, b, a, c är multiplikatorerna för polynomet. I det givna exemplet är a=1, b=16, c=39, därav D=100. Om diskriminanten är större än noll, så finns det två lösningar: t = -b±√D / 2*a, om diskriminanten är mindre än noll, så finns det bara en lösning: x= -b / 2*a.

Lösningen för de resulterande systemen hittas genom additionsmetoden.

En visuell metod för att lösa system

Lämplig för system med 3 ekvationer. Metoden består i att plotta grafer för varje ekvation som ingår i systemet på koordinataxeln. Koordinaterna för kurvornas skärningspunkter kommer att vara systemets allmänna lösning.

Den grafiska metoden har ett antal nyanser. Betrakta flera exempel på att lösa system av linjära ekvationer på ett visuellt sätt.

Som framgår av exemplet konstruerades två punkter för varje linje, värdena för variabeln x valdes godtyckligt: ​​0 och 3. Baserat på värdena för x, hittades värdena för y: 3 och 0. Punkter med koordinater (0, 3) och (3, 0) markerades på grafen och sammankopplade med en linje.

Stegen måste upprepas för den andra ekvationen. Linjernas skärningspunkt är systemets lösning.

I följande exempel krävs det att hitta en grafisk lösning på systemet med linjära ekvationer: 0,5x-y+2=0 och 0,5x-y-1=0.

Som framgår av exemplet har systemet ingen lösning, eftersom graferna är parallella och inte skärs längs hela sin längd.

Systemen från exempel 2 och 3 är lika, men när de är konstruerade blir det uppenbart att deras lösningar är olika. Man bör komma ihåg att det inte alltid är möjligt att säga om systemet har en lösning eller inte, det är alltid nödvändigt att bygga en graf.

Matrix och dess varianter

Matriser används för att kortfattat skriva ner ett system av linjära ekvationer. En matris är en speciell typ av tabell fylld med siffror. n*m har n - rader och m - kolumner.

En matris är kvadratisk när antalet kolumner och rader är lika. En matris-vektor är en matris med en kolumn med ett oändligt antal rader. En matris med enheter längs en av diagonalerna och andra nollelement kallas identitet.

En invers matris är en sådan matris, när den multipliceras med vilken den ursprungliga förvandlas till en enhet ett, finns en sådan matris endast för den ursprungliga kvadraten.

Regler för att omvandla ett ekvationssystem till en matris

När det gäller ekvationssystem skrivs ekvationernas koefficienter och fria medlemmar som siffror i matrisen, en ekvation är en rad i matrisen.

En matrisrad kallas icke-noll om minst ett element i raden inte är lika med noll. Därför, om antalet variabler skiljer sig i någon av ekvationerna, är det nödvändigt att ange noll i stället för det okända som saknas.

Matrisens kolumner måste strikt överensstämma med variablerna. Det betyder att koefficienterna för variabeln x bara kan skrivas i en kolumn, till exempel den första, koefficienten för det okända y - bara i den andra.

När man multiplicerar en matris multipliceras alla matriselement successivt med ett tal.

Alternativ för att hitta den inversa matrisen

Formeln för att hitta den inversa matrisen är ganska enkel: K -1 = 1 / |K|, där K -1 är den inversa matrisen och |K| - matrisdeterminant. |K| får inte vara lika med noll, då har systemet en lösning.

Determinanten beräknas enkelt för en två-till-två-matris, det är bara nödvändigt att multiplicera elementen diagonalt med varandra. För alternativet "tre gånger tre" finns en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan använda formeln, eller så kan du komma ihåg att du måste ta ett element från varje rad och varje kolumn så att elementens kolumn- och radnummer inte upprepas i produkten.

Lösning av exempel på linjära ekvationssystem med matrismetoden

Matrismetoden för att hitta en lösning gör det möjligt att minska krångliga notationer när man löser system med stor kvantitet variabler och ekvationer.

I exemplet är a nm koefficienterna för ekvationerna, matrisen är en vektor x n är variablerna och b n är de fria termerna.

Lösning av system med Gauss-metoden

Inom högre matematik studeras Gaussmetoden tillsammans med Cramermetoden och processen att hitta en lösning på system kallas Gauss-Cramerlösningsmetoden. Dessa metoder används för att hitta variabler för system med ett stort antal linjära ekvationer.

Gaussmetoden är mycket lik substitutions- och algebraiska additionslösningar, men är mer systematisk. I skolkursen används den Gaussiska lösningen för system med 3 och 4 ekvationer. Syftet med metoden är att få systemet till formen av en inverterad trapets. Genom algebraiska transformationer och substitutioner återfinns värdet av en variabel i en av systemets ekvationer. Den andra ekvationen är ett uttryck med 2 okända, och 3 och 4 - med 3 respektive 4 variabler.

Efter att ha bringat systemet till den beskrivna formen reduceras den ytterligare lösningen till sekventiell substitution av kända variabler i systemets ekvationer.

I skolböcker för årskurs 7 beskrivs ett exempel på en Gaussisk lösning enligt följande:

Som kan ses från exemplet erhölls i steg (3) två ekvationer 3x 3 -2x 4 =11 och 3x 3 +2x 4 =7. Lösningen av någon av ekvationerna gör att du kan ta reda på en av variablerna x n.

Sats 5, som nämns i texten, säger att om en av systemets ekvationer ersätts med en ekvivalent, så kommer det resulterande systemet också att vara ekvivalent med det ursprungliga.

Gaussmetoden är svår att förstå för eleverna gymnasium, men är en av de mest intressanta sätt att utveckla uppfinningsrikedomen hos barn som är inskrivna på fortsättningsprogrammet i matematik och fysik.

För att göra det enklare att registrera beräkningar är det vanligt att göra följande:

Ekvationskoefficienter och fria termer skrivs i form av en matris, där varje rad i matrisen motsvarar en av systemets ekvationer. skiljer vänster sida av ekvationen från höger sida. Romerska siffror anger antalet ekvationer i systemet.

Först skriver de ner matrisen som de ska arbeta med, sedan alla åtgärder som utförs med en av raderna. Den resulterande matrisen skrivs efter "pil"-tecknet och fortsätt att utföra de nödvändiga algebraiska operationerna tills resultatet uppnås.

Som ett resultat bör en matris erhållas där en av diagonalerna är 1, och alla andra koefficienter är lika med noll, det vill säga matrisen reduceras till en enda form. Vi får inte glömma att göra beräkningar med talen på båda sidor av ekvationen.

Denna notation är mindre besvärlig och låter dig inte bli distraherad av uppräkningen av många okända.

Den fria tillämpningen av alla lösningar kräver omsorg och en viss mängd erfarenhet. Alla metoder tillämpas inte. Vissa sätt att hitta lösningar är mer att föredra inom ett visst område av mänsklig aktivitet, medan andra finns i syfte att lära.