doma > Testi

Dodajanje negativnih korenin. Kaj so kvadratni koreni in kako se seštevajo?

Pozor!
Obstajajo dodatni
gradivo v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so močni "ne zelo. »
In za tiste, ki »zelo enakomerno. "")

V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kaj so formule za korenine, kaj so lastnosti korenin in kaj je mogoče storiti glede vsega tega.

Korenske formule, korenske lastnosti in pravila za dejanja s koreninami so v bistvu ista stvar. Formul za kvadratne korene je presenetljivo malo. Kar pa seveda veseli! Namesto tega lahko napišete veliko najrazličnejših formul, vendar so le tri dovolj za praktično in samozavestno delo s koreninami. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav mnogi zaidejo v tri formule korenin, ja.

Začnimo z najpreprostejšim. Ona je tukaj:

Spomnim vas (iz prejšnje lekcije): a in b sta nenegativni števili! V nasprotnem primeru formula nima smisla.

to lastnost korenin , kot vidite, preprosto, kratko in neškodljivo. Toda s to korensko formulo lahko naredite veliko koristnih stvari! Oglejmo si primeri vse te uporabne stvari.

Koristna stvar najprej. Ta formula nam omogoča pomnožite korenine.

Kako pomnožiti korenine?

Ja, zelo preprosto. Naravnost na formulo. Na primer:

Zdi se, da so se namnožili, pa kaj? Je veliko veselja? Se strinjam, malo. Ampak kako ti je to všeč primer?

Korenine niso ravno izvlečene iz dejavnikov. In rezultat je odličen! Že bolje, kajne? Za vsak slučaj vas bom obvestil, da je množiteljev lahko kolikor želite. Formula za množenje korenin še vedno deluje. Na primer:

Torej, z množenjem je vse jasno, zakaj je to potrebno lastnost korenin- je tudi razumljivo.

Druga uporabna stvar. Vnos števila pod znakom korena.

Kako vnesti številko pod koren?

Recimo, da imamo ta izraz:

Ali je mogoče skriti dvojko znotraj korena? Preprosto! Če naredite koren iz dveh, bo formula za množenje korenin delovala. In kako narediti koren iz dvojke? Ja, tudi to ni vprašanje! Dvojna je kvadratni koren iz štirih!

Mimogrede, koren je mogoče narediti iz katerega koli nenegativnega števila! To bo kvadratni koren kvadrata tega števila. 3 je koren iz 9. 8 je koren iz 64. 11 je koren iz 121. No, in tako naprej.

Seveda ni treba slikati tako podrobno. Razen za začetek. Dovolj je, da se zavedamo, da lahko vsako nenegativno število, pomnoženo s korenom, spravimo pod koren. Ampak ne pozabite! - pod korenom bo ta številka postala kvadratni samega sebe. To dejanje - vnos števila pod korenom - lahko imenujemo tudi množenje števila s korenom. Na splošno lahko zapišemo:

Postopek je preprost, kot lahko vidite. Zakaj je potrebna?

Kot vsaka preobrazba tudi ta postopek širi naše možnosti. Priložnosti, da okruten in neprijeten izraz spremenite v mehkega in puhastega). Tukaj je preprosta za vas primer:

Kot lahko vidite korenska lastnost, ki omogoča uvedbo faktorja pod znakom korena, je za poenostavitev povsem primerna.

Poleg tega dodajanje množitelja pod koren omogoča enostavno in preprosto primerjavo vrednosti različnih korenov. Brez kakršnega koli izračuna in kalkulatorja! Tretja uporabna stvar.

Kako primerjati korenine?

Ta veščina je zelo pomembna pri solidnih misijah, pri odklepanju modulov in drugih kul stvareh.

Primerjaj te izraze. Katerega je več? Brez kalkulatorja! Vsak s kalkulatorjem. uh-uh Skratka, to zmore vsak!)

Tako ne rečeš takoj. In če vnesete številke pod znakom korena?

Zapomnite si (nenadoma, niste vedeli?): če je število pod znakom korena večje, je sam koren večji! Od tod takoj pravilen odgovor, brez zapletenih izračunov in izračunov:

Super je, kajne? Ampak to še ni vse! Spomnimo se, da vse formule delujejo tako od leve proti desni kot od desne proti levi. Doslej smo uporabljali formulo za množenje korenin od leve proti desni. Zaženimo to korensko lastnost nazaj, od desne proti levi. Všečkaj to:

In kakšna je razlika? Ti kaj daje!? Seveda! Zdaj se boste sami prepričali.

Recimo, da moramo (brez kalkulatorja!) izluščiti kvadratni koren iz števila 6561. Nekateri ljudje bodo na tej stopnji padli v neenakem boju z nalogo. A smo trmasti, ne obupamo! Koristna stvar četrta.

Kako pridobiti korenine iz velikega števila?

Spomnimo se formule za ekstrakcijo korenin iz izdelka. Tisti, ki sem ga objavil zgoraj. Toda kje je naše delo? Imamo ogromno številko 6561 in to je to. Ja, umetnosti ni. Ampak, če ga potrebujemo, ga naredimo! Razložimo to številko. Imamo pravico.

Najprej ugotovimo, s čim je to število deljivo? Kaj, ne veš!? Ste pozabili na znake deljivosti!? Zaman. Pojdi do Posebni oddelek 555, tema je "Ulomki", tukaj so. To število je deljivo s 3 in 9. Ker je vsota števk (6+5+6+1=18) deljiva s temi števili. To je eden od znakov deljivosti. Ni nam treba deliti s tri (zdaj boste razumeli, zakaj), ampak bomo delili z 9. Vsaj v kotu. Dobimo 729. Tako smo našli dva faktorja! Prva je devetka (izbrali smo jo sami), druga pa 729 (izkazalo se je tako). Lahko že pišeš:

Prejeli idejo? Enako storimo s številko 729. Prav tako je deljivo s 3 in 9. Še enkrat, ne delimo s 3, delimo z 9. Dobimo 81. In to število poznamo! Zapišemo:

Vse se je izkazalo preprosto in elegantno! Korenino je bilo treba odstraniti kos za kosom, no, v redu. To je mogoče storiti s katerim koli velike številke. Pomnožite jih in pojdite!

Mimogrede, zakaj vam ni bilo treba deliti s 3, ste uganili? Da, ker koren treh ni ravno izvlečen! Smiselno je razgraditi na takšne faktorje, da je mogoče dobro izluščiti vsaj en koren. To je 4, 9, 16 in tako naprej. Svoje ogromno število delite s temi številkami po vrsti, vidite, in imate srečo!

Ampak ne nujno. Mogoče nima sreče. Recimo, da bo število 432, če se faktorji in uporabi korenska formula za izdelek, dalo naslednji rezultat:

No, v redu. Vseeno smo poenostavili izraz. Pri matematiki je običajno, da se največ pusti majhno število možnega. V procesu reševanja je vse odvisno od primera (morda se vse zmanjša brez poenostavitve), v odgovoru pa je treba podati rezultat, ki ga ni mogoče dodatno poenostaviti.

Mimogrede, ali veste, kaj smo zdaj naredili s korenom 432?

mi vzeti faktorje izpod znaka korenine ! Tako se imenuje ta operacija. In potem bo naloga padla - " vzemite faktor izpod znaka korena"A moški niti ne vedo.) Tukaj je še ena uporaba za vas lastnosti korenin. Koristna stvar peta.

Kako vzeti množitelj izpod korena?

Z lahkoto. Faktorizirajte korenski izraz in izvlecite korenine, ki so ekstrahirane. Gledamo:

Nič nadnaravnega. Pomembno je izbrati prave množitelje. Tukaj smo 72 razstavili na 36 2. In vse se je dobro izteklo. Ali pa bi ga lahko razgradili drugače: 72 = 6 12. Pa kaj!? Niti iz 6 niti iz 12 se koren ne ekstrahira. Kaj storiti?!

V redu je. Ali pa poiščite druge možnosti razgradnje ali nadaljujte z razstavljanjem vsega do konca! Všečkaj to:

Kot lahko vidite, se je vse izšlo. Mimogrede, to ni najhitreje, ampak najbolj zanesljiv način. Število razčlenite na najmanjše faktorje in nato enake zberite na kupčke. Metoda se uspešno uporablja tudi pri množenju neprijetnih korenin. Na primer, morate izračunati:

Pomnožite vse - dobite noro številko! In kako potem iz njega izvleči koren ?! Ponovno pomnožiti? Ne, ne potrebujemo dodatnega dela. Takoj razstavimo na faktorje in jih zberemo na kupe:

To je vse. Seveda ni treba polagati do konca. Vse je odvisno od vaših osebnih sposobnosti. Pripeljal zgled v stanje, kjer ti je vse jasno tako da lahko že računaš. Glavna stvar je, da ne delate napak. Ne človek za matematiko, ampak matematika za človeka!)

Uporabimo znanje v praksi? Začnimo s preprostim:

Pravilo za seštevanje kvadratnih korenov

Lastnosti kvadratnih korenov

Do sedaj smo izvedli pet računskih operacij nad številkami: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in stopnjevanje ter različne lastnosti teh operacij so se aktivno uporabljale pri izračunih, na primer a + b = b + a in n -b n = (ab) n itd.

To poglavje uvaja novo operacijo - odvzem kvadratnega korena nenegativnega števila. Za uspešno uporabo se morate seznaniti z lastnostmi te operacije, kar bomo storili v tem razdelku.

Dokaz. Naj uvedemo naslednji zapis:
Dokazati moramo, da za nenegativna števila x, y, z velja enakost x = yz.

Torej x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Potem je x 2 = y 2 z 2, torej x 2 = (yz) 2.

Če kvadratov dve nenegativni številki sta enaki, potem so same številke enake, kar pomeni, da iz enakosti x 2 = (yz) 2 sledi, da je x = yz, in to je bilo treba dokazati.

Podajamo kratek zapis dokaza izreka:

Opomba 1. Izrek ostane veljaven za primer, ko je radikalni izraz produkt več kot dveh nenegativnih faktorjev.

Opomba 2. Izrek 1 lahko zapišemo z uporabo "če. , potem« (kot je običajno za izreke v matematiki). Podamo ustrezno formulacijo: če sta a in b nenegativni števili, potem je enakost .

Takole formuliramo naslednji izrek.

(Kratka formulacija, ki je bolj priročna za uporabo v praksi: koren ulomka enako ulomku iz korenin ali je koren količnika enak količniku korenin.)

Tokrat bomo podali le kratek zapis dokaza, vi pa lahko poskusite podati ustrezne pripombe, podobne tistim, ki so sestavljali bistvo dokaza izreka 1.

Primer 1. Izračunaj .
Rešitev. Uporaba prve lastnosti kvadratne korenine(Izrek 1), dobimo

Opomba 3. Seveda je ta primer mogoče rešiti drugače, še posebej, če imate pri roki kalkulator: pomnožite števila 36, ​​64, 9 in nato vzemite kvadratni koren dobljenega produkta. Vendar se strinjate, da je zgoraj predlagana rešitev videti bolj kulturna.

Opomba 4. Pri prvi metodi smo izvedli čelne izračune. Drugi način je bolj eleganten:
prijavili smo se formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) in uporabil lastnost kvadratnih korenov.

Opomba 5. Nekateri "vroče glave" včasih ponudijo naslednjo "rešitev" za primer 3:

To seveda ni res: vidite - rezultat ni enak kot v našem primeru 3. Dejstvo je, da ni lastnosti kot ne in lastnosti Obstajajo samo lastnosti, ki se nanašajo na množenje in deljenje kvadratnih korenov. Bodite previdni in previdni, ne namišljajte si želja.

Primer 4. Izračunaj: a)
Rešitev. Vsaka formula v algebri se uporablja ne samo "od desne proti levi", ampak tudi "od leve proti desni". Torej, prva lastnost kvadratnih korenov pomeni, da jo lahko po potrebi predstavimo kot , in obratno, kar lahko nadomestimo z izrazom Enako velja za drugo lastnost kvadratnih korenov. S tem v mislih rešimo predlagani primer.

Ob zaključku razdelka ugotavljamo še eno precej preprosto in hkrati pomembna lastnina:
če je a > 0 in n - naravno število , potem



Primer 5 Izračunaj , brez uporabe tabele kvadratov števil in kalkulatorja.

Rešitev. Razstavimo korensko število na prafaktorje:



Opomba 6. Ta primer bi lahko rešili na enak način kot podoben primer v § 15. Preprosto je uganiti, da bo odgovor »80 z repom«, saj je 80 2 2 . Poiščimo "rep", torej zadnjo številko želene številke. Zaenkrat vemo, da če je koren izvlečen, je lahko odgovor 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 ali 89. Preveriti je treba le dve številki: 84 in 86, saj samo oni, ko je na kvadrat, bo dalo kot rezultat štirimestnoštevilo, ki se konča na 6, tj. ista številka, ki se konča s številko 7056. Imamo 84 2 \u003d 7056 - to je tisto, kar potrebujemo. pomeni,

Mordkovich A. G., algebra. 8. razred: Proc. za splošno izobraževanje ustanove - 3. izd., dokončano. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Prenesite knjige, učbenike za matematiko, povzetke v pomoč učitelju in učencem pri učenju na spletu

Če imate popravke ali predloge za to lekcijo, nam pišite.

Če želite videti druge popravke in predloge za pouk, si oglejte tukaj - Izobraževalni forum.

Kako dodati kvadratne korene

Kvadratni koren iz števila X poklicali številko A, ki se v procesu razmnoževanja sam od sebe ( A*A) lahko poda številko X.
tiste. A * A = A 2 = X, in √X = A.

Nad kvadratnimi koreni ( √x), tako kot pri drugih številih lahko izvajate aritmetične operacije, kot sta odštevanje in seštevanje. Za odštevanje in dodajanje korenin jih je treba povezati z znaki, ki ustrezajo tem dejanjem (npr √x - √y ).
In potem jim prinesi korenine najpreprostejša oblika- če so med njima podobni, je treba narediti odlitek. Sestavljen je v tem, da se vzamejo koeficienti podobnih členov z predznaki ustreznih členov, nato pa so zaprti v oklepajih, skupni koren pa je prikazan zunaj oklepajev množitelja. Koeficient, ki smo ga dobili, je poenostavljen po običajnih pravilih.

Korak 1. Ekstrahiranje kvadratnih korenov

Prvič, če želite dodati kvadratne korene, morate najprej izvleči te korenine. To je mogoče storiti, če so številke pod korenskim znakom popolni kvadrati. Na primer, vzemite dani izraz √4 + √9 . Prva številka 4 je kvadrat števila 2 . Druga številka 9 je kvadrat števila 3 . Tako je mogoče dobiti naslednjo enakost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Vse, primer je rešen. Vendar se ne zgodi vedno tako.

Korak 2. Odvzem množitelja števila izpod korena

Če pod znakom korena ni polnih kvadratov, lahko poskusite vzeti množitelj števila izpod korenskega znaka. Vzemite na primer izraz √24 + √54 .

Razložimo številke:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na seznamu 24 imamo množitelja 4 , ga je mogoče vzeti izpod znaka kvadratnega korena. Na seznamu 54 imamo množitelja 9 .

Dobimo enakost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ob upoštevanju tega primera dobimo odstranitev faktorja izpod predznaka korena in s tem poenostavimo dani izraz.

Korak 3. Zmanjšanje imenovalca

Razmislite o naslednji situaciji: vsota dveh kvadratnih korenov je imenovalec ulomka, npr. A / (√a + √b).
Zdaj smo soočeni z nalogo, da se »znebimo iracionalnosti v imenovalcu«.
Uporabimo naslednjo metodo: števec in imenovalec ulomka pomnožimo z izrazom √a - √b.

Zdaj dobimo skrajšano formulo za množenje v imenovalcu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobno, če imenovalec vsebuje razliko korenin: √a - √b, števec in imenovalec ulomka se pomnoži z izrazom √a + √b.

Vzemimo za primer ulomek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Primer redukcije kompleksnega imenovalca

Zdaj pa premislimo dovolj kompleksen primer znebiti se iracionalnosti v imenovalcu.

Vzemimo za primer ulomek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vzeti morate njegov števec in imenovalec ter pomnožiti z izrazom √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Korak 4. Izračunajte približno vrednost na kalkulatorju

Če potrebujete samo približno vrednost, lahko to storite na kalkulatorju tako, da izračunate vrednost kvadratnih korenov. Ločeno za vsako število se vrednost izračuna in zabeleži z zahtevano natančnostjo, ki je določena s številom decimalnih mest. Nadalje se izvedejo vse zahtevane operacije, kot pri navadnih številkah.

Primer izračuna

Potrebno je izračunati približno vrednost tega izraza √7 + √5 .

Kot rezultat dobimo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Upoštevajte: v nobenem primeru se kvadratni koreni ne smejo dodati kot praštevila, to je popolnoma nesprejemljivo. To pomeni, da če sešteješ kvadratni koren iz pet in tri, ne moremo dobiti kvadratnega korena osem.

Koristni nasvet: če se odločite za faktorizacijo števila, da izpeljete kvadrat iz pod predznakom korena, morate opraviti obratno preverjanje, torej pomnožiti vse faktorje, ki izhajajo iz izračunov, in končni rezultat tega matematični izračun bi moral biti številka, ki smo jo prvotno dobili.

Dejanje s koreninami: seštevanje in odštevanje

Ekstrahiranje kvadratnega korena iz števila ni edina operacija, ki jo je mogoče izvesti s tem matematičnim pojavom. Tako kot običajne številke kvadratne korenine dodaj in odštej.

Pravila za seštevanje in odštevanje kvadratnih korenov

Dejanja, kot sta dodajanje in odštevanje kvadratnega korena, so možna le, če je korenski izraz enak.

Izraze lahko dodajate ali odštevate 2 3 in 63, vendar ne 5 6 in 9 4 . Če je mogoče izraz poenostaviti in ga pripeljati do korenin z istim korenskim številom, potem poenostavimo in nato dodamo ali odštejemo.

Korenska dejanja: osnove

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Poenostavite korenski izraz. Če želite to narediti, morate korenski izraz razstaviti na 2 faktorja, od katerih je eden kvadratno število (število, iz katerega je izvlečen celoten kvadratni koren, na primer 25 ali 9).
  2. Nato morate izvleči korenino kvadratna številka in zapiši dobljeno vrednost pred korenskim znakom. Upoštevajte, da je drugi faktor vpisan pod korenskim znakom.
  3. Po postopku poenostavitve je treba korenine podčrtati z enakimi korenskimi izrazi - le da jih je mogoče seštevati in odštevati.
  4. Za korenine z enakimi radikalnimi izrazi je treba dodati ali odšteti faktorje, ki so pred znakom korena. Korenski izraz ostane nespremenjen. Ne seštevajte ali odštevajte korenskih številk!

Če imate primer z velika količina enakih radikalnih izrazov, nato pa te izraze podčrtajte z enojnimi, dvojnimi in trojnimi črtami, da olajšate postopek izračuna.

Poskusimo ta primer:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Najprej morate 50 razstaviti na 2 faktorja 25 in 2, nato vzeti koren 25, ki je 5, in vzeti 5 izpod korena. Po tem morate pomnožiti 5 s 6 (množitelj v korenu) in dobiti 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Najprej morate 8 razstaviti na 2 faktorja: 4 in 2. Nato iz 4 izvlecite koren, ki je enak 2, in 2 vzemite izpod korena. Po tem morate 2 pomnožiti z 2 (faktor pri korenu) in dobiti 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Najprej morate 12 razstaviti na 2 faktorja: 4 in 3. Nato izvlecite koren iz 4, kar je 2, in ga vzemite izpod korena. Po tem morate 2 pomnožiti s 5 (faktor v korenu) in dobiti 10 3 .

Rezultat poenostavitve: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kot rezultat, smo videli, koliko identičnih radikalnih izrazov je v ta primer. Zdaj pa vadimo z drugimi primeri.

  • Poenostavi (45) . Faktoriziramo 45: (45) = (9 × 5) ;
  • 3 vzamemo izpod korena (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
  • Pri koreninah dodamo faktorje: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
  • Poenostavitev 6 40 . Faktoriziramo 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
  • 2 vzamemo izpod korena (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
  • Pomnožimo faktorje, ki so pred korenom: 12 10;
  • Izraz zapišemo v poenostavljeni obliki: 12 10 - 3 10 + 5;
  • Ker imata prva dva člena enaka korenska števila, ju lahko odštejemo: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

    • Kot vidimo, radikalnih števil ni mogoče poenostaviti, zato v primeru poiščemo člane z enakimi radikalnimi števili, izvedemo matematične operacije (seštevanje, odštevanje itd.) in zapišemo rezultat:

    (9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

    Nasveti:

  • Pred seštevanjem ali odštevanjem je nujno poenostaviti (če je mogoče) radikalne izraze.
  • Dodajanje in odštevanje korenin z različnimi korenskimi izrazi je strogo prepovedano.
  • Ne seštevajte ali odštevajte celega števila ali kvadratnega korena: 3 + (2 x) 1/2.
  • Pri izvajanju dejanj z ulomki morate najti število, ki je popolnoma deljivo z vsakim imenovalcem, nato ulomke pripeljati do skupnega imenovalca, nato dodati števce in pustiti imenovalce nespremenjene.

Lastnosti aritmetičnega kvadratnega korena. Moč aritmetičnega kvadratnega korena

Pretvorba aritmetičnih kvadratnih korenov. Pretvorba aritmetičnih kvadratnih korenov

Za ekstrakcijo kvadratni koren polinoma, je treba izračunati polinom in iz nastalega števila izvleči koren.

Pozor! Nemogoče je izvleči koren iz vsakega člena (zmanjšanega in odštetega) posebej.

Ščob za zmago kvadratni koren polinoma, zahteva je izračunati bogat člen in od odštetega števila vzeti koren.

Spoštovanje! Nemogoče je izločiti korenino iz kožnega dodatka (spremenjeno in vidno) okremo.

Izvleči kvadratni koren produkta (količnik), lahko izračunate kvadratni koren vsakega faktorja (dividende in delitelja) in vzamete nastale vrednosti za produkt (količnik).

Za zmago kvadratni koren dobutke (deli), lahko izračunate kvadratni koren množitelja kože (deljeno in dilnik), vrednost pa odstranite tako, da vzamete dopolnilno (pogosto).

Če želite vzeti kvadratni koren ulomka, morate ločeno izvleči kvadratni koren števca in imenovalca, dobljene vrednosti pa pustiti kot ulomek ali izračunati kot količnik (če je mogoče po pogoju).

Za zmago kvadratni koren ulomka, morate vzeti kvadratni koren številske knjige in pasice okremo ter odvzeti vrednost ulomka z ulomkom ali ga šteti kot del (kot je to mogoče za um).

Faktor lahko vzamemo izpod korenskega znaka in faktor lahko uvedemo pod korenski znak. Ko faktor vzamemo, se iz njega izvleče koren, ob uvedbi pa se dvigne na ustrezno moč.

3. korenski predznak se lahko pomnoži in korenski znak se lahko pomnoži. Po krivdi multiplikatorja se korenine zvijajo, z uvajanjem pa se korenine gradijo na višjih nogah.

Primeri. Prijavite se

Če želite pretvoriti vsoto (razliko) kvadratnih korenov, morate korenske izraze spraviti na eno osnovo stopnje, če je mogoče, izvlecite korene iz stopinj in jih zapišite pred znaki korenin, preostale kvadratne korene pa z dodamo lahko enake korenske izraze, za katere se koeficienti dodajo pred predznakovnim korenom in dodajo enak kvadratni koren.

Da bi preoblikovali vsoto (strošek) kvadratnih korenov, je treba korenske korene pripeljati na eno od osnov koraka, kot je mogoče, vzeti koren korakov in jih zapisati pred znaki korenine in rešitev kvadratnih korenov z istimi korenskimi besedami, ki jih lahko sestavim za tisto, kar lahko dodam in dodam isti kvadratni koren.

Vse radikalne izraze prenesemo na osnovo 2.

Iz sode stopnje se koren izvleče v celoti, iz lihe stopnje pa koren osnove v stopnji 1 ostane pod znakom korena.

Damo podobna cela števila in seštejemo koeficiente z enakimi koreni. Binom zapišemo kot zmnožek števila in binoma vsote.

Pripeljite vse podkorene virazi na osnovo 2.

Iz seznanjene stopnje se korenine rišejo v vrsti, iz neparne stopnje se korenine osnove v stopnji 1 zapolnijo pod znakom korena.

Predlaga se, da se enakim korenom dodajo podobna števila in koeficienti. Binom zapišemo kot dodatek k številu i sumi binoma.

Radikalne izraze pripeljemo do najmanjše osnove ali produkta potenk z najmanjšimi bazami. Koren izvlečemo iz sodih stopinj radikalnih izrazov, ostanke pustimo v obliki osnove stopnje z indikatorjem 1 ali zmnožka takih baz pod znakom korena. Podamo podobne izraze (seštejmo koeficiente istih korenov).

Korenino virazi vodimo do najmanjše osnove ali dodajanja stopnic z najmanjšimi osnovami. Iz parnih stopnic pod koreninami vireza se vzamejo korenine, presežek na dnu stopnice z indikatorjem 1 ali dodajanjem takih podlag se zapolni pod znakom korenine. Predlagamo podobne izraze (seštejemo koeficiente istih korenov).

Zamenjajmo deljenje ulomkov z množenjem (z zamenjavo drugega ulomka z recipročnim). Ločeno pomnožite števce in imenovalce. Pod vsakim znakom korena poudarimo stopinje. Prekličimo iste faktorje v števcu in imenovalcu. Iz sodnih moči pridobivamo korenine.

Deljenje ulomkov zamenjamo z množenjem (z zamenjavo drugega ulomka z donosom). Pomnožite okremo števila in pasice ulomkov. Pod kožnim znakom korenine so vidni koraki. Enake množitelje bomo pospešili v številčni knjigi in pasici. Krivdo korenine dvojčkov.

Za primerjavo dveh kvadratnih korenov, je treba njihove radikalne izraze zmanjšati na stopnjo z enako bazo, potem več kot so prikazane stopnje radikalnega izraza, večja je vrednost kvadratnega korena.

V tem primeru radikalnih izrazov ni mogoče reducirati na eno bazo, saj je osnova v prvem 3, v drugem pa 3 in 7.

Drugi način primerjave je, da v radikalni izraz vnesete koeficient korena in primerjate številčne vrednosti radikalnih izrazov. Za kvadratni koren, večji kot je korenski izraz, večja je vrednost korena.

Za ujemanje dveh kvadratnih korenov, je treba njihove podkorene spraviti na raven z enako osnovo, medtem ko večji kot je kazalnik stopnje podkorene virusa, večja je vrednost kvadratnega korena.

V tem primeru ni mogoče na eno osnovo pripeljati korenskih korenin virazi, saj je v prvem osnova 3, v drugi pa 3 in 7.

Drug način za izenačitev je, da korenski virazi dodate korenski koeficient in izenačite številčne vrednosti korenske viraze. Kvadratni koren ima več podkoren viraz, večjo vrednost je koren.

Z uporabo distribucijskega zakona množenja in pravila za množenje korenin z enakimi eksponenti (v našem primeru kvadratnimi koreni) smo dobili vsoto dveh kvadratnih korenov z zmnožkom pod predznakom korena. 91 razstavimo na osnovne faktorje in vzamemo koren iz oklepajev s skupnimi radikalnimi faktorji (13 * 5).

Dobili smo zmnožek korena in binoma, v katerem je eden od monomov celo število (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny zakon množenja in pravilo množenja korenin z enakimi znaki (v našem primeru - kvadratni koreni), je vzela vsoto dveh kvadratnih korenov z dodatnim znakom korena. Lahko preprosto postavimo 91 množiteljev in vzamemo koren za loke iz korenskih množiteljev (13 * 5).

Vzeli smo seštevek korena in binarne, ki ima enega od mononomov v celem številu (1).

Primer 9:

V radikalnih izrazih s faktorji izberemo števila, iz katerih lahko izvlečemo cel kvadratni koren. Iz potenk izvlečemo kvadratne korene in številke postavimo s koeficienti kvadratnih korenov.

Izrazi tega polinoma imajo skupni faktor √3, ki ga je mogoče vzeti iz oklepajev. Naj predstavimo podobne izraze.

V podkorenskih virazah je viden kot množitelj števila, iz katerega je mogoče vzeti kvadratni koren. Okrivimo kvadratne korene korakov in številke postavimo s koeficienti kvadratnih korenov.

Izrazi tega polinoma imajo skupni množitelj √3, ki ga lahko krivimo za krake. Predlagamo podobne dodatke.

Zmnožek vsote in razlike dveh enake podlage(3 in √5) z uporabo skrajšane formule za množenje lahko zapišemo kot razliko kvadratov baz.

Kvadratni koren na kvadrat je vedno enak radikalnemu izrazu, zato se bomo znebili radikala (korenskega znaka) v izrazu.

Dobutokovo vsoto in razliko dveh enakih baz (3 і √5) iz formule hitrega množenja lahko zapišemo kot razliko kvadratnih baz.

Kvadratni koren kvadrata zavzhd je enak podkorenski virazi, zato bomo imenovali radikal (korenski znak) viraze.

Nazaj v šolo. Dodajanje korenin

V našem času, sodobni elektronski računalniki, izračun korena števila ni zastopan zahtevna naloga. Na primer, √2704=52, kateri koli kalkulator bo to izračunal namesto vas. Na srečo kalkulator ni samo v sistemu Windows, ampak tudi v običajnem, tudi najpreprostejšem telefonu. Res je, če se nenadoma (z majhno stopnjo verjetnosti, katere izračun mimogrede vključuje dodajanje korenin) znajdete brez razpoložljivih sredstev, potem se boste, žal, morali zanesti le na svoje možgane.

Trening uma nikoli ne odpove. Še posebej za tiste, ki ne delajo tako pogosto s številkami, še bolj pa s koreninami. Dodajanje in odštevanje korenin je dobra vadba za zdolgočasene misli. In pokazal vam bom dodajanje korenin korak za korakom. Primeri izrazov so lahko naslednji.

Enačba, ki jo je treba poenostaviti, je:

To je iracionalen izraz. Da bi ga poenostavili, morate vse radikalne izraze zmanjšati na splošni pogled. Delamo po fazah:

Prve številke ni več mogoče poenostaviti. Preidimo na drugi mandat.

3√48 faktoriziramo 48: 48=2×24 ali 48=3×16. Kvadratni koren iz 24 ni celo število, tj. ima delni ostanek. Ker potrebujemo točna vrednost, potem nam približni koreni ne ustrezajo. Kvadratni koren iz 16 je 4, vzemite ga izpod znaka korena. Dobimo: 3×4×√3=12×√3

Naš naslednji izraz je negativen, tj. zapisano z znakom minus -4×√(27.) Faktoring 27. Dobimo 27=3×9. Ne uporabljamo frakcijskih faktorjev, ker je iz ulomkov težje izračunati kvadratni koren. Izpod znaka vzamemo 9, t.j. izračunaj kvadratni koren. Dobimo naslednji izraz: -4×3×√3 = -12×√3

Naslednji člen √128 izračuna del, ki ga je mogoče vzeti izpod korena. 128=64×2, kjer je √64=8. Če vam to olajša, lahko ta izraz predstavite takole: √128=√(8^2×2)

Izraz prepišemo s poenostavljenimi izrazi:

Zdaj dodamo številke z enakim radikalnim izrazom. Ne morete seštevati ali odštevati izrazov z različnimi radikalnimi izrazi. Dodajanje korenin zahteva skladnost s tem pravilom.

Dobimo naslednji odgovor:

√2=1×√2 - Upam, da je v algebri običajno izpuščanje takšnih elementov za vas ne bo novica.

Izrazi so lahko predstavljeni ne le s kvadratnimi koreni, ampak tudi s kubnimi ali n-ti koreni.

Seštevanje in odštevanje korenin z različnimi eksponenti, vendar z enakovrednim korenskim izrazom, se zgodi na naslednji način:

Če imamo izraz, kot je √a+∛b+∜b, lahko ta izraz poenostavimo takole:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Dva podobna izraza smo zmanjšali na skupni eksponent korena. Tukaj je bila uporabljena lastnost korenin, ki pravi: če se število stopnje radikalnega izraza in število korenskega eksponenta pomnožita z istim številom, potem njegov izračun ostane nespremenjen.

Opomba: eksponenti se dodajo samo, ko se pomnožijo.

Razmislite o primeru, kjer so v izrazu prisotni ulomki.

Rešimo korak za korakom:

5√8=5*2√2 - izvlečen del vzamemo izpod korena.

Če je telo korena predstavljeno z ulomkom, potem se ta ulomek pogosto ne bo spremenil, če vzamemo kvadratni koren dividende in delitelja. Kot rezultat, smo dobili zgoraj opisano enakost.

Tukaj je odgovor.

Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, je, da se koren s sodim eksponentom ne izloči iz negativnih števil. Če je radikalni izraz sode stopnje negativen, potem je izraz nerešljiv.

Seštevanje korenov je možno le, če radikalni izrazi sovpadajo, saj so podobni izrazi. Enako velja za razliko.

Seštevanje korenin z različnimi številčnimi eksponenti se izvede tako, da se oba izraza reducira na skupno korensko stopnjo. Ta zakon deluje na enak način kot redukcija na skupni imenovalec pri seštevanju ali odštevanju ulomkov.

Če radikalni izraz vsebuje število, dvignjeno na stepen, potem lahko ta izraz poenostavimo, če obstaja skupni imenovalec med korenom in eksponentom.

Kvadratni koren produkta in ulomka

Kvadratni koren a je število, katerega kvadrat je a. Na primer, številki -5 in 5 sta kvadratni koreni števila 25. To pomeni, da so koreni enačbe x^2=25 kvadratni koreni števila 25. Zdaj se morate naučiti delati z Operacija kvadratnega korena: preučite njegove osnovne lastnosti.

Kvadratni koren produkta

√(a*b)=√a*√b

Kvadratni koren produkta dveh nenegativnih števil je enak zmnožku kvadratnih korenov teh števil. Na primer, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Pomembno je razumeti, da ta lastnost velja tudi za primer, ko je radikalni izraz produkt treh, štirih itd. nenegativni množitelji.

Včasih obstaja še ena formulacija te lastnosti. Če sta a in b nenegativni števili, velja naslednja enakost: √(a*b) =√a*√b. Med njimi ni nobene razlike, uporabite lahko eno ali drugo besedo (katero si je bolj priročno zapomniti).

Kvadratni koren ulomka

Če a>=0 in b>0, potem velja naslednja enakost:

√(a/b)=√a/√b.

Na primer, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ta lastnost ima tudi drugačno formulacijo, po mojem mnenju je bolj priročno zapomniti.
Kvadratni koren količnika je enak količniku korenov.

Omeniti velja, da te formule delujejo tako od leve proti desni kot od desne proti levi. Se pravi, če je potrebno, lahko produkt korenin predstavimo kot koren produkta. Enako velja za drugo lastnino.

Kot lahko vidite, so te lastnosti zelo priročne in rad bi imel enake lastnosti za seštevanje in odštevanje:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Toda na žalost so takšne lastnosti kvadratne nimajo korenin, in tako ni mogoče izvesti v izračunih..

  • 13. Vožnja skozi prometna križišča 2018 s komentarji na spletu 13.1. Pri zavijanju desno ali levo mora voznik dati prednost pešcem in kolesarjem, ki prečkajo prehod vozišče cesta v katero zavije. To navodilo velja za vse […]
  • Roditeljski sestanek "Pravice, dolžnosti in odgovornosti staršev" Predstavitev k lekciji Prenesi predstavitev (536,6 kB) Pozor! Predogled diapozitiva je samo informativne narave in morda ne predstavlja vseh […]
  • Regionalni materinski kapital v regiji Oryol Regionalni materinski kapital (MK) v Orelu in regiji Oryol je bil ustanovljen leta 2011. Zdaj je to dodaten ukrep socialna podpora velike družine v obliki enkratnega gotovinskega [...]
  • Znesek pavšalnega nadomestila ob prijavi v zgodnji datumi leta 2018 Stran, ki ste jo zahtevali, ni bila najdena. Morda ste vnesli napačen naslov ali pa je bila stran izbrisana. Uporaba […]
  • Odvetnik za gospodarske zadeve gospodarsko sfero je precej širok pojem. Te dejavnosti vključujejo goljufije, nezakonito poslovanje, legalizacija denar pridobljeno nezakonito, nezakonito bančništvo […]
  • Tiskovna služba Centralne banke Ruska federacija(Banka Rusije) Tiskovna služba 107016, Moskva, ul. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Oddelek za zunanje in javne odnose Banke Rusije obvešča o imenovanju začasne uprave, da v skladu z odstavkom 2 […]
  • splošne značilnosti in kratek pregled vodne poti Razvrstitev vodnih bazenov Razvrstitev vodnih bazenov za plovbo rekreacijskih (majhnih) plovil, ki jih nadzoruje GIMS Rusije, se izvaja glede na […]
  • Kucherena = odvetnik Viktorja Tsoja In to je izključek: današnje pismo Anatolija Kučerena. V nadaljevanje teme. Tega pisma še nihče ni objavil. In bi moralo, mislim. 1. del zaenkrat. Kmalu bom objavil drugi del, ki ga je podpisal slavni odvetnik. Zakaj je pomembno? […]

Pozdravljeni mučki! Zadnjič smo podrobno analizirali, kaj so korenine (če se ne spomnite, priporočam branje). Glavni zaključek te lekcije: obstaja samo ena univerzalna definicija korenin, ki jo morate poznati. Ostalo je neumnost in izguba časa.

Danes gremo dlje. Naučili se bomo pomnožiti korenine, preučili bomo nekaj problemov, povezanih z množenjem (če teh težav ne rešimo, potem lahko na izpitu postanejo usodni) in se bomo pravilno vadili. Zato se založite s kokicami, udobno se razgibajte – pa bomo začeli. :)

Nisi še kadil, kajne?

Lekcija se je izkazala za precej obsežno, zato sem jo razdelil na dva dela:

  1. Najprej si bomo ogledali pravila za množenje. Zdi se, da kapica namiguje: ko sta dve korenini, je med njima znak »pomnoži« - in z njim želimo nekaj narediti.
  2. Nato bomo analizirali obratno situacijo: obstaja en velik koren in smo bili nestrpni, da bi ga na preprostejši način predstavili kot produkt dveh korenin. S kakšnim strahom je treba, je ločeno vprašanje. Analizirali bomo samo algoritem.

Za tiste, ki komaj čakate, da skočite prav v 2. del, ste dobrodošli. Začnimo z ostalim po vrsti.

Osnovno pravilo množenja

Začnimo z najpreprostejšimi - klasičnimi kvadratnimi koreninami. Tisti, ki so označeni z $\sqrt(a)$ in $\sqrt(b)$. Zanje je na splošno vse jasno:

pravilo množenja. Če želite pomnožiti en kvadratni koren z drugim, morate samo pomnožiti njihove radikalne izraze in rezultat zapisati pod skupnim radikalom:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Za številke na desni ali levi ni nobenih dodatnih omejitev: če obstajajo koreni množitelja, obstaja tudi produkt.

Primeri. Razmislite o štirih primerih s številkami naenkrat:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, je glavni pomen tega pravila poenostaviti iracionalne izraze. In če bi v prvem primeru izluščili korenine iz 25 in 4 brez novih pravil, se kositer začne: $\sqrt(32)$ in $\sqrt(2)$ ne štejeta sama po sebi, ampak njihov produkt se izkaže za natančen kvadrat, zato je njegov koren enak racionalnemu številu.

Ločeno bi rad omenil zadnjo vrstico. Tam sta oba radikalna izraza ulomka. Zahvaljujoč izdelku se številni dejavniki izničijo in celoten izraz se spremeni v ustrezno število.

Seveda ne bo vedno vse tako lepo. Včasih bo pod koreninami popolno sranje - ni jasno, kaj storiti z njim in kako preoblikovati po množenju. Malo kasneje, ko se začneš učiti iracionalne enačbe in neenakosti, bodo na splošno vse vrste spremenljivk in funkcij. In zelo pogosto sestavljalci problemov računajo le na to, da boste našli nekaj pogodbenih pogojev ali dejavnikov, po katerih bo naloga močno poenostavljena.

Poleg tega ni treba pomnožiti natančno dveh korenin. Lahko pomnožite tri naenkrat, štiri - da celo deset! To ne bo spremenilo pravila. Poglej:

\[\begin(poravnaj) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(poravnaj)\]

In spet majhna pripomba k drugemu primeru. Kot lahko vidite, je v tretjem množitelju pod korenom decimalni ulomek - v procesu izračunov ga nadomestimo z običajnim, po katerem se vse enostavno zmanjša. Torej: toplo priporočam, da se znebite decimalnih ulomkov v vseh iracionalnih izrazih (to pomeni, da vsebujejo vsaj eno radikalno ikono). To vam bo v prihodnje prihranilo veliko časa in živcev.

Ampak to je bila lirična digresija. Zdaj pa poglejmo bolj splošen primer - ko korenski eksponent vsebuje poljubno število $n$ in ne samo "klasičnih" dveh.

Primer poljubnega indikatorja

Torej smo ugotovili kvadratne korene. In kaj narediti s kockami? Ali na splošno s koreninami poljubne stopnje $n$? Ja, vse je isto. Pravilo ostaja enako:

Za množenje dveh korenov stopnje $n$ je dovolj, da pomnožimo njuna radikalna izraza, nakar se rezultat zapiše pod enim radikalom.

Na splošno ni nič zapletenega. Razen če je obseg izračunov lahko večji. Poglejmo si nekaj primerov:

Primeri. Izračunaj izdelke:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(poravnaj)\]

In spet pozornost na drugi izraz. Pomnožimo kubične korene, se znebimo decimskega ulomka in kot rezultat dobimo v imenovalcu zmnožek števil 625 in 25. To je precej veliko število- Osebno ne razmišljam takoj, čemu je enako.

Zato smo preprosto izbrali točno kocko v števcu in imenovalcu in nato uporabili eno od ključnih lastnosti (ali, če želite, definicijo) korena $n$-te stopnje:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\desno|. \\ \end(poravnaj)\]

Takšne »prevare« vam lahko prihranijo veliko časa na izpitu oz nadzorno delo zato si zapomni:

Ne hitite z množenjem številk v radikalnem izrazu. Najprej preverite: kaj, če je natančna stopnja katerega koli izraza tam »šifrirana«?

Ob vsej očitnosti te pripombe moram priznati, da večina nepripravljenih študentov ne vidi točnih diplom. Namesto tega vse pomnožijo naprej, nato pa se sprašujejo: zakaj so dobili tako brutalne številke? :)

Vendar je vse to otroška igra v primerjavi s tem, kar bomo zdaj preučevali.

Množenje korenin z različnimi eksponenti

No, zdaj lahko pomnožimo korenine z enakimi eksponenti. Kaj pa, če so rezultati različni? Recimo, kako pomnožite navaden $\sqrt(2)$ s kakšnim sranjem, kot je $\sqrt(23)$? Je to sploh možno narediti?

Ja, seveda lahko. Vse se naredi po tej formuli:

Pravilo množenja korenin. Če želite $\sqrt[n](a)$ pomnožiti z $\sqrt[p](b)$, naredite naslednjo transformacijo:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Vendar ta formula deluje le, če radikalni izrazi niso negativni. To je zelo pomembna pripomba, na katero se bomo vrnili malo kasneje.

Za zdaj si oglejmo nekaj primerov:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega. Zdaj pa ugotovimo, od kod izvira zahteva o nenegativnosti in kaj se bo zgodilo, če jo prekršimo. :)


Korenine je enostavno pomnožiti.

Zakaj morajo biti radikalni izrazi nenegativni?

Seveda si lahko takšen šolski učitelji in pametno citiraj učbenik:

Zahteva nenegativnosti je povezana z različnimi definicijami korenin sodih in lihih stopenj (različne so tudi njihove definicije).

No, je postalo bolj jasno? Osebno, ko sem v 8. razredu prebral to neumnost, sem zase razumel nekaj takega: "Zahteva nenegativnosti je povezana z *#&^@(*#@^#)~%" - skratka, jaz takrat nisem razumel. :)

Torej bom zdaj vse razložil na običajen način.

Najprej ugotovimo, od kod izvira zgornja formula za množenje. Če želite to narediti, naj vas spomnim na eno pomembno lastnost korena:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Z drugimi besedami, korenski izraz lahko varno dvignemo na katero koli naravno potenco $k$ – v tem primeru bo treba korenski indeks pomnožiti z isto močjo. Zato lahko poljubne korenine enostavno zmanjšamo na skupni kazalnik, po katerem pomnožimo. Od tod izvira formula za množenje:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Vendar obstaja ena težava, ki močno omejuje uporabo vseh teh formul. Upoštevajte to številko:

Po pravkar podani formuli lahko dodamo katero koli stopnjo. Poskusimo dodati $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\levo(-5 \desno))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Minus smo odstranili ravno zato, ker kvadrat zažge minus (kot katera koli druga soda stopinja). In zdaj izvedite obratno transformacijo: "zmanjšajte" dve v eksponentu in stopnji. Navsezadnje lahko vsako enakost beremo tako od leve proti desni kot od desne proti levi:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(poravnaj)\]

Potem pa se zgodi nekaj norega:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

To ne more biti zato, ker $\sqrt(-5) \lt 0$ in $\sqrt(5) \gt 0$. To pomeni, da za sode potence in negativna števila naša formula ne deluje več. Po tem imamo dve možnosti:

  1. Boriti se proti zidu trditi, da je matematika neumna znanost, kjer "obstajajo nekatera pravila, a ta ni točna";
  2. Uvedite dodatne omejitve, pod katerimi bo formula postala 100-odstotno delujoča.

V prvi možnosti bomo morali nenehno loviti "nedelujoče" primere - to je težko, dolgo in na splošno fu. Zato so matematiki raje izbrali drugo možnost. :)

Ampak ne skrbite! V praksi ta omejitev nikakor ne vpliva na izračune, saj se vsi opisani problemi nanašajo samo na korenine lihe stopnje, iz njih pa je mogoče vzeti minuse.

Zato oblikujemo drugo pravilo, ki na splošno velja za vsa dejanja s koreninami:

Pred množenjem korenin se prepričajte, da radikalni izrazi niso negativni.

Primer. V številki $\sqrt(-5)$ lahko minus vzamete izpod korenskega znaka - potem bo vse v redu:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(poravnaj)\]

Čutite razliko? Če pustite minus pod korenom, potem ko je radikalni izraz na kvadrat, bo izginil in začelo se bo sranje. In če najprej vzamete minus, potem lahko celo dvignete / odstranite kvadrat, dokler niste modri v obrazu - številka bo ostala negativna. :)

Tako je najbolj pravilen in najbolj zanesljiv način pomnoževanja korenin naslednji:

  1. Odstranite vse minuse izpod radikalov. Minusi so le v koreninah lihe množine - lahko jih postavimo pred koren in po potrebi zmanjšamo (na primer, če sta dva od teh minusov).
  2. Izvedite množenje v skladu s pravili, ki so bila obravnavana zgoraj v današnji lekciji. Če so indeksi korenov enaki, preprosto pomnožite korenske izraze. In če so različni, uporabimo zlobno formulo \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
  3. 3. Uživamo v rezultatu in dobrih ocenah. :)

no? Bomo vadili?

Primer 1. Poenostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(poravnaj)\]

To je najpreprostejša možnost: kazalniki korenin so enaki in čudni, težava je le v minusu drugega množitelja. Zdržimo ta minus nafig, po katerem se vse zlahka upošteva.

Primer 2. Poenostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \desno))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \desno))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( poravnaj)\]

Tukaj bi bili mnogi zmedeni, kaj se je izkazalo iracionalno število. Da, zgodi se: korena se nismo mogli popolnoma znebiti, a smo vsaj bistveno poenostavili izraz.

Primer 3. Poenostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \desno))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

To je tisto, na kar bi vas rad opozoril. Tukaj sta dve točki:

  1. Pod korenom ni določeno število ali stopnja, temveč spremenljivka $a$. Na prvi pogled je to nekoliko nenavadno, v resnici pa se boste morali pri reševanju matematičnih problemov najpogosteje ukvarjati s spremenljivkami.
  2. Na koncu nam je uspelo »zmanjšati« korenski eksponent in stopnjo v radikalnem izrazu. To se zgodi precej pogosto. In to pomeni, da je bilo mogoče znatno poenostaviti izračune, če ne uporabljate glavne formule.

Na primer, lahko storite to:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \desno))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(poravnaj)\]

Pravzaprav so bile vse transformacije izvedene le z drugim radikalom. In če vseh vmesnih korakov ne naslikate podrobno, se bo na koncu količina izračunov znatno zmanjšala.

Pravzaprav smo pri reševanju primera $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ že naleteli na podobno nalogo zgoraj. Zdaj se lahko veliko lažje zapiše:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\levo(((5)^(2))\cdot 3 \desno))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(poravnaj)\]

No, ugotovili smo množenje korenin. Zdaj razmislite o obratni operaciji: kaj storiti, ko je delo pod korenom?

V matematiki so korenine lahko kvadratne, kubične ali imajo kateri koli drug eksponent (potenco), ki je napisan na levi nad znakom korena. Izraz pod korenskim znakom se imenuje korenski izraz. Dodajanje korena je podobno seštevanju izrazov. algebraični izraz, to pomeni, da zahteva definicijo podobnih korenin.

Koraki

1. del od 2: Iskanje korenin

Oznaka korena. Izraz pod korenskim znakom () pomeni, da je treba iz tega izraza izluščiti koren določene stopnje.

  • Koren je označen z znakom.
  • Indeks (stopnja) korena je napisan na levi nad znakom korena. Na primer, kubni koren iz 27 je zapisan kot: (27)
  • Če je eksponent (stopnja) korena odsoten, se šteje, da je eksponent enak 2, torej je kvadratni koren (ali koren druge stopnje).
  • Število, zapisano pred korenskim znakom, se imenuje množitelj (to je, da se to število pomnoži s korenom), na primer 5 (2)
  • Če pred korenom ni faktorja, je ta enak 1 (spomnimo se, da je vsako število, pomnoženo z 1, enako samo sebi).
  • Če prvič delate s koreninami, naredite ustrezne opombe o množitelju in eksponentu korena, da se ne boste zmedli in bolje razumeli njihov namen.

Ne pozabite, katere korenine je mogoče zložiti in katere ne. Tako kot ne morete dodati različnih izrazov izraza, na primer 2a + 2b 4ab, ne morete dodati različnih korenov.

  • Koren ne morete dodati z različnimi korenskimi izrazi, na primer (2) + (3) (5). Lahko pa dodate številke pod istim korenom, na primer (2 + 3) = (5) (kvadratni koren iz 2 je približno 1,414, kvadratni koren iz 3 je približno 1,732 in kvadratni koren iz 5 je približno 2,236 ).
  • Koren ne morete sešteti z enakimi korenskimi izrazi, ampak z različnimi eksponenti, na primer (64) + (64) (ta vsota ni enaka (64), saj je kvadratni koren iz 64 8, kubni koren iz 64 je 4, 8 + 4 = 12, kar je veliko večje od petega korena iz 64, kar je približno 2,297).
    • 2. del od 2: poenostavitev in dodajanje korenin

    Identificirajte in združite podobne korenine. Podobne korenine so korenine, ki imajo enake eksponente in enake korenske izraze. Upoštevajte na primer izraz:
    2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

    • Najprej prepišite izraz tako, da so korenine z enakim eksponentom v seriji.
      2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
    • Nato prepišite izraz tako, da sta koreni z enakim eksponentom in istim korenskim izrazom v seriji.
      2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

    Poenostavite svoje korenine.Če želite to narediti, razgradite (kjer je mogoče) radikalne izraze na dva faktorja, od katerih je eden vzet izpod korena. V tem primeru se upodobljeno število in korenski faktor pomnožita.

  • V zgornjem primeru razporedite število 50 v 2*25 in število 32 v 2*16. Iz 25 in 16 lahko izvlečete kvadratne korene (5 oziroma 4) in izpod korena vzamete 5 in 4 ter ju pomnožite s faktorji 2 in 1. Tako dobite poenostavljen izraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
  • Število 81 lahko razčlenite v 3 * 27, iz števila 27 pa lahko vzamete kubni koren iz 3. To število 3 lahko vzamete izpod korena. Tako dobite še bolj poenostavljen izraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

    • Dodajte faktorje podobnih korenin. V našem primeru so podobni kvadratni koreni iz 2 (lahko jih seštevamo) in podobni kvadratni koreni iz 3 (lahko jih tudi seštevamo). Pri kockasti koren od 3 takih korenin ni.

  • 10 (2) + 4 (2) = 14 (2).
  • 2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).
  • Končni poenostavljeni izraz: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)
    • Ni splošno sprejetih pravil za vrstni red, v katerem so korenine zapisane v izrazu. Zato lahko pišete korenine v naraščajočem vrstnem redu njihovih eksponentov in v naraščajočem vrstnem redu radikalnih izrazov.

    Pozor, samo DANES!

    Vse zanimivo

    Številka, ki je pod znakom korena, pogosto moti rešitev enačbe, z njo je neprijetno delati. Tudi če je povišan na potenc, ulomek ali ga do določene mere ni mogoče predstaviti kot celo število, ga lahko poskušamo izpeljati iz ...

    Koren števila x je število, ki bo, če ga dvignemo na potenco korena, enako x. Množitelj je število, ki se množi. To pomeni, da morate v izrazu, kot je x*ª-&radic-y, dodati x pod koren. Navodilo 1 Določite stopnjo ...

    Če korenski izraz vsebuje nabor matematičnih operacij s spremenljivkami, potem je včasih zaradi njegove poenostavitve mogoče dobiti relativno preprosto vrednost, katere del je mogoče vzeti izpod korena. Ta poenostavitev je uporabna ...

    Aritmetične operacije s koreninami različnih stopenj lahko močno poenostavijo izračune v fiziki in tehnologiji ter jih naredijo natančnejše. Pri množenju in deljenju je bolj priročno, da ne izvlečete korena iz vsakega faktorja ali dividende in delitelja, ampak najprej ...

    Kvadratni koren števila x je število a, ki, če se pomnoži s sabo, da število x: a * a = a^2 = x, x = a. Kot pri vsakem številu lahko izvajate aritmetične operacije seštevanja in odštevanja na kvadratnih korenih. Navodilo...

    Koren v matematiki ima lahko dva pomena: je aritmetična operacija in vsaka od rešitev enačbe, algebraične, parametrične, diferencialne ali katere koli druge. Navodilo 1 Koren n-te stopnje števila a je takšno število, da ...

    Pri izvajanju različnih aritmetične operacije s koreninami je pogosto treba biti sposoben preoblikovati radikalne izraze. Za poenostavitev izračunov bo morda treba faktor odstraniti iz predznaka radikala ali ga postaviti pod. To dejanje lahko ...

    Koren je ikona, ki predstavlja matematična operacija iskanje takšnega števila, katerega konstrukcija na potencijo, ki je navedena pred znakom korena, bi morala dati številko, navedeno pod tem znakom. Pogosto za reševanje težav, v katerih so ...

    Znak korena v matematičnih znanostih se imenuje simbol za korenine. Število pod korenskim znakom se imenuje radikalni izraz. Če ni eksponenta, je koren kvadrat, sicer številka označuje ...

    Aritmetika koren n-tega stopinj od pravo število a je tako nenegativno število x, n. stopnje ki je enako številu a. tiste. (n) a = x, x^n = a. Obstajati različne načine dodatki aritmetični koren in racionalno število...

    n-ti koren realnega števila a je število b, za katerega velja enakost b^n = a. Neparne korenine obstajajo za negativna in pozitivna števila, sode pa le za pozitivna števila.

    Kvadratni koren iz števila x je število a, ki, če se pomnoži s sabo, da število x: a * a = a^2 = x, √x = a. Kot pri vsakem številu lahko izvajate aritmetične operacije seštevanja in odštevanja na kvadratnih korenih.

    Navodilo

    • Najprej, ko dodajate kvadratne korene, poskusite izvleči te korenine. To bo mogoče, če so številke pod korenskim znakom popolni kvadrati. Naj bo na primer podan izraz √4 + √9. Prvo število 4 je kvadrat števila 2. Drugo število 9 je kvadrat števila 3. Tako se izkaže, da je: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
    • Če pod korenskim znakom ni polnih kvadratov, poskusite vzeti množitelj števila izpod korenskega znaka. Recimo, da je dano √24 + √54. Faktorizirajte števila: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Število 24 ima faktor 4, ki ga lahko vzamete iz predznaka kvadratnega korena. Število 54 ima faktor 9. Tako se izkaže, da: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . V tem primeru se je zaradi odstranitve množitelja iz korenskega znaka izkazalo, da poenostavi dani izraz.
    • Naj bo vsota dveh kvadratnih korenov imenovalec ulomka, na primer A / (√a + √b). In naj bo vaša naloga, da se "znebite iracionalnosti v imenovalcu." Nato lahko uporabite naslednjo metodo. Pomnožite števec in imenovalec ulomka z izrazom √a - √b. Tako bomo v imenovalcu dobili formulo za skrajšano množenje: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Po analogiji, če je razlika korenov podana v imenovalcu: √a - √b, je treba števec in imenovalec ulomka pomnožiti z izrazom √a + √b. Na primer, glede na ulomek 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
    • Razmislite o bolj zapletenem primeru, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu. Naj bo podan ulomek 12 / (√2 + √3 + √5). Števec in imenovalec ulomka je treba pomnožiti z izrazom √2 + √3 - √5:
      12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
    • In končno, če potrebujete samo približno vrednost, lahko izračunate kvadratne korene na kalkulatorju. Izračunajte vrednosti ločeno za vsako število in jih zapišite z zahtevano natančnostjo (na primer dve decimalni mesti). In nato izvedite zahtevane aritmetične operacije, kot pri navadnih številih. Recimo, da želite vedeti približno vrednost izraza √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

    Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

    Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

    Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

    Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

    V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

    Katere osebne podatke zbiramo:

    • Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

    Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

    • Zbrano pri nas osebne informacije nam omogoča, da vas kontaktiramo in vas obvestimo o edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
    • Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
    • Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
    • Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

    Razkritje tretjim osebam

    Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

    Izjeme:

    • Po potrebi - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
    • V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

    Zaščita osebnih podatkov

    Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

    Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

    Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, svojim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.

    Priporočamo tudi

    Nalaganje...Nalaganje...