Kaj je derivat ulomka. Kako najti izvod ulomka

Popolnoma nemogoče je reševati fizične probleme ali primere v matematiki brez znanja o izpeljanki in metodah za njeno izračun. Izpeljanka je eden najpomembnejših konceptov matematična analiza. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je derivat, kaj je njegov fizični in geometrijski smisel kako izračunati izpeljavo funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizični pomen izpeljanke

Naj obstaja funkcija f(x) , podano v nekem intervalu (a,b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni funkcija sama. Sprememba argumenta - razlika njegovih vrednosti x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali prirast funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Definicija izpeljanke:

Derivat funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer pa se lahko zapiše takole:

Kaj je smisel iskati takšno mejo? ampak kateri:

izvod funkcije v točki je enak tangenti kota med osjo OX in tangenti na graf funkcije v dani točki.

fizični pomen izpeljanka: časovna izpeljanka poti je enaka hitrosti premočrtnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost zasebna pot. x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost za nekaj časa:

Da bi ugotovili hitrost gibanja naenkrat t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: odstranite konstanto

Konstanto je mogoče vzeti iz predznaka odvoda. Poleg tega je treba to storiti. Pri reševanju primerov iz matematike vzemite praviloma - če lahko poenostavite izraz, se prepričajte, da ga poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: izpeljanka vsote funkcij

Derivat vsote dveh funkcij je enak vsoti izpeljank teh funkcij. Enako velja za izvod razlike funkcij.

Tega izreka ne bomo dokazovali, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite izpeljavo funkcije:

Tretje pravilo: izpeljanka produkta funkcij

Izvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite izpeljanko funkcije:

Odločitev:

Tukaj je pomembno povedati o izračunu derivatov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument z izvodom vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali izvod takega izraza, najprej upoštevamo izpeljanko zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z izpeljanko samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: izpeljanka kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje izvoda količnika dveh funkcij:

O izpeljankah za lutke smo poskušali govoriti iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se sliši, zato bodite opozorjeni: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Za vsa vprašanja o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežji nadzor in se spopasti z nalogami, tudi če se še nikoli niste ukvarjali z izračunom izpeljank.

Opredelitev. Naj bo funkcija $y = f(x) $ definirana v nekem intervalu, ki vsebuje točko $x_0 $ znotraj. Povečajmo $\Delta x $ na argument, da ne zapustimo tega intervala. Poiščite ustrezen prirast funkcije $\Delta y $ (pri prehodu iz točke $x_0 $ v točko $x_0 + \Delta x $) in sestavite relacijo $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Če obstaja meja te relacije pri $\Delta x \rightarrow 0 $, se navedena meja imenuje izpeljanka funkcija$y=f(x) $ v točki $x_0 $ in označimo $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se pogosto uporablja za označevanje izpeljanke. Upoštevajte, da je y" = f(x). nova funkcija, vendar naravno povezano s funkcijo y = f(x), definirano na vseh točkah x, na katerih obstaja zgornja meja. Ta funkcija se imenuje takole: izpeljanka funkcije y = f (x).

Geometrijski pomen izpeljanke je sestavljen iz naslednjega. Če lahko tangento, ki ni vzporedna z osjo y, narišemo na graf funkcije y \u003d f (x) v točki z absciso x \u003d a, potem f (a) izraža naklon tangente:
$k = f"(a)$

Ker $k = tg(a) $, je enakost $f"(a) = tg(a) $ resnična.

In zdaj razlagamo definicijo izpeljanke v smislu približnih enakosti. Naj ima funkcija $y = f(x) $ izvod v določeni točki $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To pomeni, da je blizu točke x približna enakost $\frac(\Delta y)(\Delta x) \približno f"(x) $, to je $\Delta y \pribl. f"(x) \cdot \Deltax$. Smiseln pomen dobljene približne enakosti je naslednji: prirast funkcije je »skoraj sorazmeren« prirastku argumenta, koeficient sorazmernosti pa je vrednost odvoda v dano točko X Na primer, za funkcijo $y = x^2 $ velja približna enakost $\Delta y \približno 2x \cdot \Delta x $. Če natančno analiziramo definicijo izpeljanke, bomo ugotovili, da vsebuje algoritem za njeno iskanje.

Formulirajmo ga.

Kako najti izvod funkcije y = f (x)?

1. Popravite vrednost $x $, poiščite $f(x) $
2. Povečajte $x $ argument $\Delta x $, premaknite se na novo točko $x+ \Delta x $, poiščite $f(x+ \Delta x) $
3. Poiščite prirast funkcije: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Sestavite relacijo $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Izračunaj $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta meja je izpeljanka funkcije pri x.

Če ima funkcija y = f(x) izvod v točki x, se imenuje diferenciabilna v točki x. Pokliče se postopek za iskanje izvoda funkcije y = f (x). diferenciacijo funkcije y = f(x).

Razpravljajmo o naslednjem vprašanju: kako sta povezani kontinuiteta in diferenciabilnost funkcije v točki?

Naj bo funkcija y = f(x) diferencibilna v točki x. Nato lahko na graf funkcije v točki M (x; f (x)) narišemo tangento in spomnimo se, da je naklon tangente enak f "(x). Takšen graf se ne more "prelomiti" pri točka M, torej funkcija mora biti neprekinjena pri x.

Šlo je za sklepanje "na prste". Naj predstavimo bolj strog argument. Če je funkcija y = f(x) diferencibilna v točki x, potem velja približna enakost $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $. nič, potem \(\Delta y \ ) bo tudi težil k nič, kar je pogoj za kontinuiteto funkcije v točki.

torej če je funkcija diferencibilna v točki x, je tudi na tej točki neprekinjena.

Nasprotno ne drži. Na primer: funkcija y = |x| je neprekinjena povsod, zlasti v točki x = 0, vendar tangenta na graf funkcije v »skopski točki« (0; 0) ne obstaja. Če na neki točki ni mogoče narisati tangente na funkcijski graf, potem na tej točki ni izvoda.

Še en primer. Funkcija $y=\sqrt(x) $ je neprekinjena na celotni številski premici, vključno s točko x = 0. Tangenta na graf funkcije obstaja na kateri koli točki, vključno s točko x = 0 . Toda na tej točki tangenta sovpada z osjo y, to pomeni, da je pravokotna na os abscise, njena enačba ima obliko x \u003d 0. Za tako ravno črto ni naklona, kar pomeni, da \ ( f "(0) \) tudi ne obstaja

Tako smo se seznanili z novo lastnostjo funkcije - diferenciabilnostjo. Kako lahko ugotovite, ali se funkcija razlikuje od grafa funkcije?

Odgovor je dejansko podan zgoraj. Če lahko na neki točki narišemo tangento na graf funkcije, ki ni pravokotna na os x, potem je na tej točki funkcija diferencibilna. Če v nekem trenutku tangenta na graf funkcije ne obstaja ali pa je pravokotna na os x, potem funkcija na tej točki ni diferencibilna.

Pravila diferenciacije

Operacija iskanja izpeljanke se imenuje diferenciacijo. Pri izvajanju te operacije morate pogosto delati s količniki, vsotami, produkti funkcij, pa tudi s "funkcijami funkcij", torej kompleksnimi funkcijami. Na podlagi definicije izpeljanke lahko izpeljemo pravila diferenciacije, ki olajšajo to delo. Če je C konstantno število in so f=f(x), g=g(x) nekaj diferenciabilnih funkcij, potem velja naslednje pravila diferenciacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \desno) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ izpeljanka sestavljene funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela izpeljank nekaterih funkcij

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Izračun izpeljanke je ena najpomembnejših operacij v diferencialnem računu. Spodaj je tabela za iskanje izpeljank preproste funkcije. Za bolj zapletena pravila diferenciacije glejte druge lekcije:

Tabela odvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij

Uporabite dane formule kot referenčne vrednosti. Pomagali bodo pri reševanju diferencialnih enačb in problemov. Na sliki, v tabeli izpeljank preprostih funkcij, je "cheat sheet" glavnih primerov iskanja izpeljanke v obliki, ki je razumljiva za uporabo, zraven pa so pojasnila za vsak primer.

Izpeljanke preprostih funkcij

1. Izpeljanka števila nič
с´ = 0
Primer:
5' = 0

Pojasnilo:
Izpeljanka prikazuje hitrost, s katero se vrednost funkcije spremeni, ko se spremeni argument. Ker se število v nobenem primeru ne spremeni pod nobenim pogojem, je hitrost njegove spremembe vedno enaka nič.

2. Izpeljanka spremenljivke enako ena
x' = 1

Pojasnilo:
Z vsakim povečanjem argumenta (x) za eno se vrednost funkcije (rezultat izračuna) poveča za enako količino. Tako je hitrost spremembe vrednosti funkcije y = x natančno enaka hitrosti spremembe vrednosti argumenta.

3. Izvod spremenljivke in faktorja je enak temu faktorju
сx´ = с
Primer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Pojasnilo:
V tem primeru vsakič argument funkcije ( X) njegova vrednost (y) raste z enkrat. Tako je stopnja spremembe vrednosti funkcije glede na hitrost spremembe argumenta natančno enaka vrednosti z.

Od koder to sledi
(cx + b)" = c
to pomeni, da je diferencial linearne funkcije y=kx+b enak kotni koeficient naklon premice (k).

4. Modulo izpeljanka spremenljivke je enak količniku te spremenljivke njenemu modulu
|x|"= x / |x| pod pogojem, da je x ≠ 0
Pojasnilo:
Ker je izpeljanka spremenljivke (glej formulo 2) enaka ena, se izpeljanka modula razlikuje le v tem, da se vrednost stopnje spremembe funkcije pri prečkanju izhodiščne točke spremeni v nasprotno (poskusite narisati graf funkcije y = |x| in se prepričajte sami. To je točno vrednost in vrne izraz x / |x| Ko je x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ena. To je pri negativne vrednosti spremenljivka x, z vsakim povečanjem spremembe argumenta se vrednost funkcije zmanjša za popolnoma enako vrednost, pri pozitivnih pa se, nasprotno, poveča, vendar za popolnoma enako vrednost.

5. Izvod moči spremenljivke je enak zmnožku števila te moči in spremenljivke v potencu, zmanjšanem za ena
(x c)"= cx c-1, pod pogojem, da sta x c in cx c-1 definirana in c ≠ 0
Primer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Za zapomnitev formule:
Vzemite eksponent spremenljivke "down" kot množitelj in nato zmanjšajte eksponent sam za eno. Na primer, za x 2 - dva je bila pred x, nato pa nam je zmanjšana moč (2-1=1) dala le 2x. Enako se je zgodilo za x 3 - znižamo trojko, zmanjšamo za eno in namesto kocke imamo kvadrat, torej 3x 2. Malo "neznanstveno", a zelo enostavno zapomniti.

6.Derivat frakcije 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primer:
Ker lahko ulomek predstavimo kot dvig na negativno potenco
(1/x)" = (x -1)" , potem lahko uporabite formulo iz 5. pravila tabele izpeljank
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat frakcije s spremenljivko poljubne stopnje v imenovalcu
(1/x c)" = - c / x c+1
Primer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. koreninski derivat(izpeljanka spremenljivke pod kvadratni koren)
(√x)" = 1 / (2√x) ali 1/2 x -1/2
Primer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da lahko uporabite formulo iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Izpeljanka spremenljivke pod korenom poljubne stopnje
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)