Kar se imenuje kvadratni koren. Kako ročno najti kvadratni koren iz števila

Matematika se je rodila, ko se je človek zavedal samega sebe in se začel postavljati kot avtonomna enota sveta. Želja meriti, primerjati, izračunati, kaj vas obdaja - to je tisto, kar je osnova ene od temeljnih znanosti naših dni. Sprva so bili to delci osnovne matematike, ki so omogočali povezovanje števil z njihovimi fizičnimi izrazi, pozneje so sklepe začeli predstavljati le teoretično (zaradi njihove abstraktnosti), a čez nekaj časa, kot je dejal en znanstvenik, " matematika je dosegla zgornjo mejo kompleksnosti, ko so vsa števila." Koncept "kvadratnega korena" se je pojavil v času, ko ga je bilo mogoče zlahka podpreti z empiričnimi podatki, ki presegajo ravnino izračunov.

Kako se je vse začelo

Prva omemba korena, ki na ta trenutek označena z √, je bila zabeležena v spisih babilonskih matematikov, ki so postavili temelje sodobne aritmetike. Seveda so bili nekoliko podobni trenutni obliki - znanstveniki tistih let so najprej uporabili velike tablete. Toda v drugem tisočletju pr. e. pripravili so približno formulo za izračun, ki je pokazala, kako vzeti kvadratni koren. Spodnja fotografija prikazuje kamen, na katerem so babilonski znanstveniki vklesali izhodni proces √2, in se je izkazal za tako pravilnega, da je bilo neskladje v odgovoru ugotovljeno šele na deseti decimalki.

Poleg tega je bil koren uporabljen, če je bilo treba najti stranico trikotnika, pod pogojem, da sta bila druga dva znana. No, pri reševanju kvadratnih enačb ni mogoče izogniti ekstrahiranju korena.

Poleg babilonskih del je bil predmet članka preučen tudi v kitajskem delu "Matematika v devetih knjigah", stari Grki pa so prišli do zaključka, da vsako število, iz katerega se koren ne izvleče brez ostanka, daje iracionalen rezultat .

Izvor tega izraza je povezan z arabsko predstavitvijo števila: starodavni znanstveniki so verjeli, da kvadrat poljubnega števila raste iz korena, kot rastlina. V latinščini ta beseda zveni kot radix (lahko zasledimo vzorec - vse, kar ima "koreninsko" pomensko obremenitev, je soglasno, naj bo to redkev ali išias).

Znanstveniki naslednjih generacij so prevzeli to idejo in jo označili kot Rx. Na primer, v 15. stoletju, da bi označili, da je kvadratni koren vzet iz poljubnega števila a, so zapisali R 2 a. Navaden sodoben videz"klop" √ se je pojavil šele v 17. stoletju po zaslugi Reneja Descartesa.

Naši dnevi

Matematično je kvadratni koren iz y število z, katerega kvadrat je y. Z drugimi besedami, z 2 =y je enakovreden √y=z. Vendar je ta definicija pomembna samo za aritmetični koren, saj implicira nenegativno vrednost izraza. Z drugimi besedami, √y=z, kjer je z večji ali enak 0.

Na splošno, kar velja za določanje algebraičnega korena, je vrednost izraza lahko pozitivna ali negativna. Torej, zaradi dejstva, da je z 2 =y in (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ali √y=|z|.

Ker se je ljubezen do matematike z razvojem znanosti samo povečala, obstajajo različni znaki naklonjenosti do nje, ki niso izraženi v suhih izračunih. Na primer, poleg tako zanimivih dogodkov, kot je dan Pi, se praznujejo tudi prazniki kvadratnega korena. Praznujejo se devetkrat v sto letih, določene pa so po naslednjem načelu: številke, ki po vrsti označujejo dan in mesec, morajo biti kvadratni koren leta. Da, v naslednjič Ta praznik bomo praznovali 4. aprila 2016.

Lastnosti kvadratnega korena na polju R

Skoraj vsi matematični izrazi imajo geometrijsko osnovo, ta usoda ni minila in √y, ki je opredeljena kot stranica kvadrata s površino y.

Kako najti koren števila?

Obstaja več algoritmov za izračun. Najenostavnejši, a hkrati precej okoren, je običajen aritmetični izračun, ki je naslednji:

1) od števila, katerega koren potrebujemo, se po vrsti odštevajo liha števila - dokler ostanek izhoda ni manjši od odštete ali sode nič. Število premikov bo sčasoma postalo želeno število. Na primer izračun kvadratni koren od 25:

Naslednje liho število je 11, preostanek pa: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takšne primere obstaja razširitev serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kjer n prevzame vrednosti od 0 do

+∞ in |y|≤1.

Grafični prikaz funkcije z=√y

Razmislite o elementarni funkciji z=√y na polju realnih števil R, kjer je y večji ali enak nič. Njen grafikon izgleda takole:

Krivulja raste iz izhodišča in nujno prečka točko (1; 1).

Lastnosti funkcije z=√y na polju realnih števil R

1. Domena definicije obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (vključena je nič).

2. Obseg vrednosti obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnost (nič je spet vključena).

3. Funkcija prevzame najmanjšo vrednost (0) samo na točki (0; 0). Najvišje vrednosti ni.

4. Funkcija z=√y ni niti soda niti liha.

5. Funkcija z=√y ni periodična.

6. Obstaja samo ena presečna točka grafa funkcije z=√y s koordinatnimi osemi: (0; 0).

7. Presečišče grafa funkcije z=√y je tudi nič te funkcije.

8. Funkcija z=√y nenehno raste.

9. Funkcija z=√y ima samo pozitivne vrednosti, zato njen graf zaseda prvi koordinatni kot.

Možnosti za prikaz funkcije z=√y

V matematiki se za lažji izračun kompleksnih izrazov včasih uporablja potenčna oblika zapisa kvadratnega korena: √y=y 1/2. Ta možnost je priročna, na primer, pri dvigu funkcije na potencio: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ta metoda je tudi dobra predstavitev za diferenciacijo z integracijo, saj je zaradi nje kvadratni koren predstavljen z navadno močnostno funkcijo.

In pri programiranju je zamenjava za simbol √ kombinacija črk sqrt.

Omeniti velja, da je na tem področju kvadratni koren v velikem povpraševanju, saj je del večine geometrijskih formul, potrebnih za izračune. Sam algoritem štetja je precej zapleten in temelji na rekurziji (funkcija, ki kliče samo sebe).

Kvadratni koren v kompleksnem polju C

Na splošno je bil predmet tega članka, ki je spodbudil odkritje polja kompleksnih števil C, saj je matematike preganjalo vprašanje pridobivanja korena sode stopnje iz negativnega števila. Tako se je pojavila imaginarna enota i, za katero je značilna zelo zanimiva lastnost: njen kvadrat je -1. Zahvaljujoč temu so kvadratne enačbe in z negativnim diskriminantom dobili rešitev. V C so za kvadratni koren pomembne enake lastnosti kot v R, edina stvar je, da so odstranjene omejitve korenskega izraza.

Površina kvadratnega zemljišča je 81 dm². Poiščite njegovo stran. Recimo, da je dolžina stranice kvadrata X decimetrov. Potem je površina parcele X² kvadratnih decimetrov. Ker je ta površina glede na pogoj 81 dm², torej X² = 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju naloge je bilo treba najti število x, katerega kvadrat je 81, torej rešiti enačbo X² = 81. Ta enačba ima dva korena: x 1 = 9 in x 2 = - 9, saj je 9² = 81 in (- 9)² = 81. Obe številki 9 in - 9 se imenujeta kvadratni koreni števila 81.

Upoštevajte, da je eden od kvadratnih korenov X= 9 je pozitivno število. Imenuje se aritmetični kvadratni koren iz 81 in je označen z √81, torej √81 = 9.

Aritmetični kvadratni koren iz števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a.

Na primer, številki 6 in - 6 sta kvadratni koreni števila 36. V tem primeru je število 6 aritmetični kvadratni koren iz 36, saj je 6 nenegativno število in 6² \u003d 36. Število - 6 ni aritmetični koren.

Aritmetični kvadratni koren iz števila a označena takole: √ a.

Znak se imenuje aritmetični kvadratni korenski znak; a se imenuje korenski izraz. Izraz √ a preberite takole: aritmetični kvadratni koren iz števila a. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V primerih, ko je jasno, da govorimo o aritmetičnem korenu, na kratko povedo: "kvadratni koren a«.

Dejanje iskanja kvadratnega korena iz števila se imenuje odvzem kvadratnega korena. To dejanje je obratno od kvadrature.

Vsako število je lahko na kvadrat, vendar ni vsako število kvadratni koren. Na primer, nemogoče je izluščiti kvadratni koren števila - 4. Če je tak koren obstajal, ga označite s črko X, bi dobili napačno enakost x² \u003d - 4, saj je na levi strani nenegativno število, na desni pa negativno število.

Izraz √ a smiselno le takrat a ≥ 0. Definicijo kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo kot: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Enakost (√ a)² = a velja za a ≥ 0. Tako se zagotovi, da je kvadratni koren nenegativnega števila a enaka b, to je, da √ a =b, morate preveriti, ali sta izpolnjena naslednja dva pogoja: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratni koren ulomka

Izračunajmo. Upoštevajte, da je √25 = 5, √36 = 6, in preverite, ali enakost velja.

Kot in , potem je enakost resnična. torej .

izrek:Če a≥ 0 in b> 0, to je koren ulomka enaka korenu iz števca, deljeno s korenom imenovalca. Treba je dokazati, da: in .

Ker √ a≥0 in √ b> 0, potem .

Z lastnostjo povišanja ulomka na potenco in določanja kvadratnega korena izrek je dokazan. Poglejmo si nekaj primerov.

Izračunaj po dokazanem izreku .

Drugi primer: Dokaži to , če a ≤ 0, b < 0. .

Drug primer: Izračunaj.

Transformacija kvadratnega korena

Odvzem množitelja izpod znaka korena. Naj bo podan izraz. Če a≥ 0 in b≥ 0, potem lahko po izreku o korenu produkta zapišemo:

Takšna transformacija se imenuje faktorje iz korenskega znaka. Razmislite o primeru;

Izračunajte pri X= 2. Neposredna zamenjava X= 2 v radikalnem izrazu vodi do zapletenih izračunov. Te izračune lahko poenostavimo, če najprej odstranimo faktorje izpod predznaka korena: . Zdaj, če zamenjamo x = 2, dobimo:.

Torej, ko vzamemo faktor izpod predznaka korena, je radikalni izraz predstavljen kot produkt, v katerem je eden ali več faktorjev kvadrati nenegativnih števil. Nato se uporabi izrek o korenskem produktu in vzame se koren vsakega faktorja. Razmislite o primeru: Poenostavite izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako, da vzamete faktorje izpod predznaka korena v prvih dveh členih, dobimo:. Poudarjamo, da je enakost velja samo takrat a≥ 0 in b≥ 0. če a < 0, то .

Eksponentiranje pomeni, da je treba določeno število pomnožiti samo s seboj določeno število krat. Na primer, dvig številke 2 na peto potenco bi izgledal takole:

Število, ki ga je treba pomnožiti samo s seboj, se imenuje osnova stopnje, število množenja pa je njen eksponent. Dvig na potenco ustreza dvema nasprotnima dejanjima: iskanje eksponenta in iskanje osnove.

ekstrakcija korenin

Iskanje osnove eksponenta se imenuje ekstrakcija korena. To pomeni, da morate poiskati število, ki ga je treba dvigniti na n, da dobite dano.

Na primer, treba je izvleči 4. koren števila 16, t.j. če želite določiti, morate pomnožiti samo sebe 4-krat, da na koncu dobite 16. To število je 2.

Takšne aritmetična operacija je napisan s posebnim znakom - radikalom: √, nad katerim je na levi naveden eksponent.

aritmetični koren

Če je eksponent sodo število, potem sta lahko koren dve števili z enakim modulom, vendar s - pozitivnim in negativnim. Torej, v danem primeru sta lahko številki 2 in -2.

Izraz mora biti nedvoumen, t.j. imajo en rezultat. Za to je bil uveden koncept aritmetičnega korena, ki je lahko le pozitivno število. Aritmetični koren ne more biti manjši od nič.

Tako bo v zgornjem primeru samo številka 2 aritmetični koren, drugi odgovor - -2 - pa je po definiciji izključen.

Kvadratni koren

Za nekatere stopnje, ki se uporabljajo pogosteje kot druge, obstajajo posebna imena, ki so prvotno povezana z geometrijo. To je približno o dvigu na drugo in tretjo potenco.

Na drugo potenco, dolžina stranice kvadrata, ko morate izračunati njegovo površino. Če morate najti prostornino kocke, se dolžina njenega roba dvigne na tretjo potenco. Zato se imenuje kvadrat števila, tretji pa kocka.

V skladu s tem se koren druge stopnje imenuje kvadrat, koren tretje stopnje pa kubik. Kvadratni koren je edini od korenov, ki nima eksponenta nad radikalom, ko je napisan:

Torej, aritmetični kvadratni koren danega števila je pozitivno število, ki ga je treba dvigniti na drugo potenco, da dobimo dano število.

Čas je za razstavljanje metode ekstrakcije korenin. Temeljijo na lastnostih korenin, zlasti na enakosti, ki velja za vsako nenegativno število b.

Spodaj bomo obravnavali glavne metode pridobivanja korenin.

Začnimo z najpreprostejšim primerom - pridobivanje korenin iz naravnih števil s pomočjo tabele kvadratov, tabele kock itd.

Če so tabele kvadratov, kock itd. ni pri roki, je logično uporabiti metodo ekstrakcije korena, ki vključuje razgradnjo korenskega števila na preproste faktorje.

Ločeno se je vredno posvetiti, kar je možno za korenine z lihi eksponenti.

Na koncu razmislite o metodi, ki vam omogoča zaporedno iskanje števk vrednosti korena.

Začnimo.

Uporaba tabele kvadratov, tabele kock itd.

V večini preprostih primerih tabele kvadratov, kock itd. omogočajo ekstrakcijo korenin. Kakšne so te tabele?

Tabela kvadratov celih števil od 0 do vključno 99 (prikazano spodaj) je sestavljena iz dveh con. Prvo območje tabele se nahaja na sivi podlagi, uporablja izbor določen niz in poseben stolpec vam omogoča, da naredite številko od 0 do 99. Na primer, izberimo vrstico 8 desetic in stolpec s 3 enotami, s tem smo določili številko 83. Drugo območje zaseda preostali del tabele. Vsaka njena celica se nahaja na presečišču določene vrstice in določenega stolpca in vsebuje kvadrat ustrezne številke od 0 do 99. Na presečišču izbrane vrstice 8 desetic in stolpca 3 ena je celica s številko 6889, ki je kvadrat števila 83.

Tabele kock, tabele četrtih potenci števil od 0 do 99 in tako naprej so podobne tabeli kvadratov, le da vsebujejo kocke, četrte potence itd. v drugi coni. ustrezne številke.

Tabele kvadratov, kock, četrtih potencij itd. vam omogoča, da izvlečete kvadratne korene, kockastih korenin, četrte korenine itd. oziroma iz številk v teh tabelah. Pojasnimo načelo njihove uporabe pri pridobivanju korenin.

Recimo, da moramo izluščiti n-ti koren števila a, medtem ko je število a v tabeli n-tih stopinj. Po tej tabeli najdemo število b tako, da je a=b n . Potem , zato bo število b želeni koren n-te stopnje.

Kot primer pokažimo, kako se kubični koren 19683 ekstrahira s pomočjo tabele kocke. V tabeli kock najdemo številko 19 683, iz nje ugotovimo, da je to število kocka števila 27, torej .

Jasno je, da so tabele n-te stopnje zelo priročne pri ekstrakciji korenin. Vendar jih pogosto ni pri roki in njihovo sestavljanje zahteva določen čas. Poleg tega je pogosto treba izvleči korenine iz številk, ki niso v ustreznih tabelah. V teh primerih se je treba zateči k drugim metodam pridobivanja korenin.

Razgradnja korenskega števila na prafaktorje

Dovolj priročen način, ki omogoča ekstrakcijo korena iz naravnega števila (če je seveda koren ekstrahiran) je razgradnja korenskega števila na prafaktorje. Njegovo bistvo je sledeče: potem ga je precej enostavno predstaviti kot stopnjo z želenim indikatorjem, ki vam omogoča, da dobite vrednost korena. Pojasnimo to točko.

Naj se koren n-te stopnje izvleče iz naravnega števila a, njegova vrednost pa je enaka b. V tem primeru velja enakost a=b n. Številka b kot katera koli naravno število lahko predstavimo kot zmnožek vseh njegovih prafaktorjev p 1 , p 2 , ..., p m v obliki p 1 p 2 ... p m , korensko število a v tem primeru pa je predstavljeno kot (p 1 p 2 ... p m) n. Ker je razgradnja števila na prafaktorje edinstvena, bo razgradnja korenskega števila a na prafaktorje videti tako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kar omogoča izračun vrednosti korena kot .

Upoštevajte, da če faktorizacije korenskega števila a ni mogoče predstaviti v obliki (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , potem koren n-te stopnje iz takšnega števila a ni popolnoma izločen.

S tem se ukvarjamo pri reševanju primerov.

Primer.

Vzemite kvadratni koren iz 144.

Odločitev.

Če se obrnemo na tabelo kvadratov, podano v prejšnjem odstavku, se jasno vidi, da je 144=12 2 , iz česar je razvidno, da je kvadratni koren iz 144 12 .

Toda v luči te točke nas zanima, kako se koren ekstrahira z razgradnjo korenskega števila 144 na prafaktorje. Oglejmo si to rešitev.

Razgradimo 144 do primarnih faktorjev:

Se pravi, 144=2 2 2 2 3 3 . Na podlagi nastale razgradnje je mogoče izvesti naslednje transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. zato .

Z uporabo lastnosti stopnje in lastnosti korenin bi lahko rešitev formulirali nekoliko drugače: .

odgovor:

Za utrjevanje gradiva razmislite o rešitvah še dveh primerov.

Primer.

Izračunajte vrednost korena.

Odločitev.

Osnovna faktorizacija korenskega števila 243 je 243=3 5 . tako, .

odgovor:

Primer.

Ali je vrednost korena celo število?

Odločitev.

Da odgovorimo na to vprašanje, razstavimo korensko število na prafaktorje in preverimo, ali ga je mogoče predstaviti kot kocka celega števila.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Nastala razgradnja ni predstavljena kot kocka celega števila, saj stopnja primarnega faktorja 7 ni večkratnik treh. Zato kubični koren 285.768 ni v celoti vzet.

odgovor:

št.

Izvlekovanje korenin iz ulomnih števil

Čas je, da ugotovimo, kako se izvleče koren ulomno število. Naj bo delno korensko število zapisano kot p/q. Glede na lastnost korena kvocienta velja naslednja enakost. Iz te enakosti sledi pravilo korenskega ulomka: Koren ulomka je enak količniku deljenja korena števca s korenom imenovalca.

Poglejmo si primer ekstrakcije korena iz ulomka.

Primer.

Koliko je kvadratni koren navadni ulomek 25/169 .

Odločitev.

Glede na tabelo kvadratov ugotovimo, da je kvadratni koren števca prvotnega ulomka 5, kvadratni koren imenovalca pa 13. Potem . S tem se zaključi ekstrakcija korenine iz navadne frakcije 25/169.

odgovor:

Koren decimskega ulomka ali mešanega števila se ekstrahira po zamenjavi korenskih števil z navadnimi ulomki.

Primer.

Vzemite kubni koren decimalke 474,552.

Odločitev.

Predstavimo prvotno decimalko kot navadni ulomek: 474,552=474552/1000 . Potem . Ostaja še ekstrahirati kubne korene, ki so v števcu in imenovalcu nastalega ulomka. Kot 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 in 1 000=10 3 , potem in . Ostaja le dokončati izračune .

odgovor:

Ekstrahiranje korena negativnega števila

Ločeno se je vredno posvetiti pridobivanju korenin iz negativnih števil. Pri preučevanju korenin smo rekli, da če je eksponent korena liho število, je lahko negativno število pod predznakom korena. Takšnim zapisom smo dali naslednji pomen: za negativno število −a in lihi eksponent korena 2 n−1 imamo . Ta enakost daje pravilo za izločanje lihih korenov iz negativnih števil: da izvlečete koren negativnega števila, morate izvleči koren nasprotnega pozitivnega števila in pred rezultat postaviti znak minus.

Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Poiščite korensko vrednost.

Odločitev.

Pretvorimo prvotni izraz tako, da se pod korenskim znakom pojavi pozitivno število: . Zdaj zamenjamo mešano število z navadnim ulomkom: . Uporabljamo pravilo ekstrakcije korena iz navadne frakcije: . Ostaja še izračunati korenine v števcu in imenovalcu nastalega ulomka: .

Tukaj je povzetek rešitve: .

odgovor:

Bitno iskanje korenske vrednosti

V splošnem primeru je pod korenom število, ki ga z uporabo zgoraj obravnavanih tehnik ni mogoče predstaviti kot n-to potenco katerega koli števila. Toda hkrati je treba poznati vrednost določenega korena, vsaj do določenega predznaka. V tem primeru lahko za ekstrakcijo korena uporabite algoritem, ki vam omogoča dosledno pridobivanje zadostnega števila vrednosti števk želenega števila.

Na prvem koraku ta algoritem morate ugotoviti, kateri je najpomembnejši del vrednosti korena. Da bi to naredili, se števila 0, 10, 100, ... zaporedoma dvignejo na potenco n, dokler ne dobimo števila, ki presega korensko število. Potem bo številka, ki smo jo v prejšnjem koraku dvignili na n, označevala ustrezen višji red.

Na primer, upoštevajte ta korak algoritma pri ekstrakciji kvadratnega korena iz petih. Vzamemo števila 0, 10, 100, ... in jih kvadriramo, dokler ne dobimo števila, večjega od 5. Imamo 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, kar pomeni, da bo najpomembnejša številka številka enote. Vrednost tega bita, pa tudi nižjih, bomo našli v naslednjih korakih algoritma za ekstrakcijo korena.

Vsi naslednji koraki algoritma so namenjeni zaporednemu izpopolnjevanju vrednosti korena zaradi dejstva, da se najdejo vrednosti naslednjih števk želene vrednosti korena, začenši od najvišje in se pomikajo na najnižjo . Na primer, vrednost korena v prvem koraku je 2 , v drugem - 2,2 , v tretjem - 2,23 in tako naprej 2,236067977 ... . Opišimo, kako najdemo vrednosti bitov.

Iskanje števk se izvede tako, da jih naštejemo možne vrednosti 0, 1, 2, ..., 9 . V tem primeru se n-te potence ustreznih števil izračunajo vzporedno in se primerjajo s korenskim številom. Če na neki stopnji vrednost stopnje preseže radikalno število, se šteje, da je najdena vrednost števke, ki ustreza prejšnji vrednosti, in se izvede prehod na naslednji korak algoritma za ekstrakcijo korena, če se to ne zgodi, potem je vrednost te števke 9 .

Pojasnimo vse te točke na istem primeru ekstrakcije kvadratnega korena iz petih.

Najprej poiščite vrednost števke enot. Ponavljali bomo po vrednostih 0, 1, 2, …, 9, pri čemer bomo izračunali 0 2 , 1 2 , …, 9 2, dokler ne bomo dobili vrednosti, večje od radikalnega števila 5. Vsi ti izračuni so priročno predstavljeni v obliki tabele:

Torej je vrednost števke enot 2 (ker je 2 2<5 , а 2 3 >5). Pojdimo na iskanje vrednosti desetega mesta. V tem primeru bomo kvadrirali številke 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 in primerjali dobljene vrednosti s korensko številko 5:

Od 2.22<5 , а 2,3 2 >5, potem je vrednost desetega mesta 2. Lahko nadaljujete z iskanjem vrednosti stotink:

Tako najdeno naslednja vrednost koren iz petih, je enak 2,23. In tako lahko še naprej iščete vrednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Za konsolidacijo gradiva bomo analizirali ekstrakcijo korena s stotinsko natančnostjo z uporabo obravnavanega algoritma.

Najprej definiramo starejšo številko. Če želite to narediti, kockiramo števila 0, 10, 100 itd. dokler ne dobimo števila, večjega od 2.151.186. Imamo 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tako da je najpomembnejša številka številka desetic.

Določimo njegovo vrednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186, potem je vrednost števke desetic 1. Preidimo na enote.

Tako je vrednost mesta enice 2. Pojdimo na deset.

Ker je celo 12,9 3 manjše od radikalnega števila 2 151,186 , je vrednost desetega mesta 9 . Ostaja še izvesti zadnji korak algoritma, ki nam bo dal vrednost korena z zahtevano natančnostjo.

Na tej stopnji najdemo vrednost korena do stotink: .

V zaključku tega članka bi rad povedal, da obstaja veliko drugih načinov za pridobivanje korenin. Toda za večino nalog zadostujejo tiste, ki smo jih preučili zgoraj.

Bibliografija.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8 celic. izobraževalne ustanove.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razred splošnoizobraževalnih zavodov.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).