Neracionalne enačbe in načini za njihovo reševanje. Iracionalne enačbe

Odgovori: x = 3.

8 metoda. Uporaba izvoda pri reševanju iracionalnih enačb

Najpogosteje se pri reševanju enačb z metodo izpeljank uporablja metoda ocenjevanja.

PRIMER 15:

Reši enačbo: (1)

Rešitev: od https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ali (2). Razmislite o funkciji ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> sploh in se zato povečuje. Zato enačba je enakovredna enačbi, ki ima koren, ki je koren prvotne enačbe.

odgovor:

PRIMER 16:

Reši iracionalno enačbo:

Domena definicije funkcije je segment. Poiščite največji in najmanjša vrednost vrednosti te funkcije na intervalu. Za to poiščemo izpeljanko funkcije f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Poiščimo vrednosti funkcije f(x) na koncih segmenta in na točki : Torej, Toda in zato je enakost možna samo pod pogojem https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Preverjanje pokaže, da je številka 3 koren te enačbe.

odgovor: x = 3.

9 metoda. Delujoč

Pri izpitih včasih ponudijo reševanje enačb, ki jih lahko zapišemo v obliki , kjer je določena funkcija.

Na primer, nekaj enačb: 1) 2) . Pravzaprav v prvem primeru , v drugem primeru . Zato rešite iracionalne enačbe z naslednjo izjavo: če je funkcija na množici strogo naraščajoča X in za katero koli , potem so enačbe itd. enakovredne na množici X .

Reši iracionalno enačbo: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> strogo narašča na snemanju R, in https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > ki ima edinstven koren Zato ima enakovredna enačba (1) tudi edinstven koren

odgovor: x = 3.

PRIMER 18:

Reši iracionalno enačbo: (1)

Na podlagi definicije kvadratnega korena dobimo, da če ima enačba (1) korenine, potem pripadajo množici DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Razmislite o funkciji https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21">, ki se strogo povečuje na tem nizu za poljubno ..gif" width="100" višina ="41"> ki ima torej en sam koren in mu enakovreden na nizu X enačba (1) ima en sam koren

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rešitev: Ta enačba je enakovredna mešanemu sistemu

Če enačba vsebuje spremenljivko pod predznakom kvadratnega korena, se enačba imenuje iracionalna.
Razmislite o iracionalni enačbi

Ta enakost po definiciji kvadratnega korena pomeni, da je 2x + 1 = 32. Pravzaprav smo od dane iracionalne enačbe prešli na racionalno enačbo 2x + 1 = 9 tako, da smo kvadrirali obe strani iracionalne enačbe. Metoda kvadriranja obeh strani enačbe je glavna metoda za reševanje iracionalnih enačb. Vendar je to razumljivo: kako se drugače znebiti znaka kvadratnega korena? Iz enačbe 2x + 1 = 9 najdemo x = 4.
To je tako koren enačbe 2x + 1 = 9 kot dane iracionalne enačbe.
Metoda kvadriranja je tehnično preprosta, vendar včasih povzroči težave. Razmislite na primer o iracionalni enačbi

Če obe strani kvadriramo, dobimo

Nato imamo:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Toda vrednost x - 1, ki je koren racionalne enačbe 2x - 5 = 4x - 7, ni koren dane iracionalne enačbe. zakaj? Če v dani iracionalni enačbi nadomestimo 1 namesto x, dobimo . Kako lahko govorimo o izpolnitvi številčne enakosti, če tako njen levi kot desni del vsebujeta izraze, ki nimajo smisla? V takih primerih pravijo: x \u003d 1 je tuj koren za dano iracionalno enačbo. Izkazalo se je, da podana iracionalna enačba nima korenin.
Rešimo iracionalno enačbo

-
Korenine te enačbe lahko najdemo ustno, kot smo to storili na koncu prejšnjega odstavka: njihov zmnožek je - 38, vsota pa - 17; enostavno je uganiti, da so to številke 2
in - 19. Torej, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Če v dani iracionalni enačbi nadomestimo vrednost 2 namesto x, dobimo

To ni res.
Če v dani iracionalni enačbi nadomestimo vrednost - 19 namesto x, dobimo

To je tudi napačno.
Kakšen je zaključek? Obe najdeni vrednosti sta tuji koreni. Z drugimi besedami, dana iracionalna enačba, tako kot prejšnja, nima korenin.
Tuji koren za vas ni nov koncept, tuje korenine smo že srečali pri reševanju racionalnih enačb, preverjanje jih pomaga odkriti. Za iracionalne enačbe je preverjanje obvezen korak pri reševanju enačbe, ki bo pomagal odkriti tuje korenine, če obstajajo, in jih zavreči (običajno pravijo "odstraniti").

Torej, iracionalno enačbo rešimo tako, da oba njena dela kvadriramo; po rešitvi nastale racionalne enačbe je treba opraviti preverjanje in odstraniti morebitne tuje korenine.

Z uporabo te izpeljave si oglejmo nekaj primerov.

Primer 1 reši enačbo

Odločitev. Kvadirajmo obe strani enačbe (1):

Naprej, zaporedoma imamo

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Pregled. Če zamenjamo x \u003d 5 v enačbo (1), dobimo - pravilno enakost. Če zamenjamo x \u003d 4 v enačbo (1), dobimo - pravilno enakost. Zato sta obe najdeni vrednosti koreni enačbe (1).
O n e t: 4; 5.

Primer 2 reši enačbo
(to enačbo smo srečali v § 22 in smo njeno rešitev »odložili« na boljše čase.) iracionalne enačbe dobimo
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Potem imamo
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Pregled. Če v dano iracionalno enačbo nadomestimo x = 80, dobimo

To je očitno napačna enakost, saj njena desna stran vsebuje negativno število, njena leva pa pozitivno število. Torej je x = 80 tuj koren za to enačbo.

Če v dano iracionalno enačbo nadomestimo x = 12, dobimo

tj. = 20, je pravilna enakost. Zato je x = 12 koren te enačbe.
Odgovor: 12.

Oba dela zadnjega člena enačbe delimo z izrazom z 2:

Pregled. Če zamenjamo vrednost x = 14 v enačbo (2), dobimo je napačna enakost, zato je x = 14 tuj koren.
Če v enačbo (2) nadomestimo vrednost x = -1, dobimo
- prava enakost. Zato je x = - 1 koren enačbe (2).
A n t e t : - 1.

Primer 4 reši enačbo

Odločitev. Seveda lahko to enačbo rešite na enak način, kot smo ga uporabili v prejšnjih primerih: prepišite enačbo kot

Kvadratirajte obe strani te enačbe, rešite nastalo racionalno enačbo in preverite najdene korene tako, da jih nadomestite v
izvirna iracionalna enačba.

Vendar bomo uporabili bolj eleganten način: uvedli bomo novo spremenljivko y = . Potem dobimo 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - kvadratno enačbo glede na spremenljivko y. Poiščimo njegove korenine: y 1 = 1, y 2 = -. Tako se je naloga zmanjšala na reševanje dveh

Iz prve enačbe najdemo x \u003d 1, druga enačba nima korenin (se spomnite, da ima samo nenegativne vrednosti).
Odgovor: 1.
Ta del zaključujemo s precej resno teoretično razpravo. Bistvo je naslednje. Pridobili ste že nekaj izkušenj pri reševanju različnih enačb: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Veste, da se pri reševanju enačb izvajajo različne transformacije,
na primer: člen enačbe se prenese iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnim predznakom; obe strani enačbe se pomnožita ali delita z istim številom, ki ni nič; znebite se imenovalca, torej enačbo = 0 zamenjajte z enačbo p (x) = 0; Obe strani enačbe sta na kvadrat.

Seveda ste opazili, da se lahko zaradi nekaterih preobrazb pojavijo tuje korenine, zato ste morali biti previdni: preverite vse najdene korenine. Zato bomo zdaj poskušali vse to razumeti s teoretičnega vidika.

Opredelitev. Dve enačbi f (x) = g (x) in r (x) = s (x) se imenujeta enakovredni, če imata enake korene (ali zlasti, če obe enačbi nimata korenin).

Običajno pri reševanju enačbe poskušajo to enačbo nadomestiti s preprostejšo, a ji enakovredno. Takšna sprememba se imenuje enakovredna transformacija enačbe.

Naslednje transformacije so enakovredne transformacije enačbe:

1. Prenos členov enačbe iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnimi predznaki.
Na primer, zamenjava enačbe 2x + 5 = 7x - 8 z enačbo 2x - 7x = - 8 - 5 je enakovredna transformacija enačbe. To pomeni, da

enačbi 2x + 5 = 7x -8 in 2x - 7x = -8 - 5 sta enakovredni.

2. Množenje ali deljenje obeh strani enačbe z istim številom, ki ni nič.
Na primer, zamenjava enačbe 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 z enačbo 5x 2 - Zx \u003d 20
(oba dela enačbe smo pomnožili člen z členom z 10) je enakovredna transformacija enačbe.

Neekvivalentne transformacije enačbe so naslednje transformacije:

1. Oprostitev imenovalcev, ki vsebujejo spremenljivke.
Na primer, zamenjava enačbe z enačbo x 2 \u003d 4 je neekvivalentna transformacija enačbe. Dejstvo je, da ima enačba x 2 \u003d 4 dva korena: 2 in - 2, in dano enačbo vrednost x = 2 ne more zadovoljiti (imenovanec izgine). V takih primerih smo rekli takole: x \u003d 2 je tuj koren.

2. Kvadriranje obeh strani enačbe.
Ne bomo navajali primerov, saj jih je bilo v tem odstavku precej.
Če je bila v procesu reševanja enačbe uporabljena ena od navedenih neekvivalentnih transformacij, je treba vse najdene korene preveriti z zamenjavo v prvotno enačbo, saj so med njimi lahko tuje korenine.

Tema: »Iracionalne enačbe obrazca , .»

(metodološki razvoj.)

Osnovni koncepti

Iracionalne enačbe imenujemo enačbe, v katerih je spremenljivka vsebovana pod predznakom korena (radikal) ali predznakom dviga na ulomno potenco.

Enačba v obliki f(x)=g(x), kjer je vsaj eden od izrazov f(x) ali g(x) iracionalen iracionalna enačba.

Osnovne lastnosti radikalov:

• Vsi radikali celo stopnjo so aritmetika, tiste. če je radikalni izraz negativen, potem radikal nima smisla (ne obstaja); če je korenski izraz enak nič, potem je tudi radikal nič; če je radikalni izraz pozitiven, potem vrednost radikala obstaja in je pozitivna.
• Vsi radikali neparna stopnja so definirane za katero koli vrednost radikalnega izraza. Poleg tega je radikal negativen, če je radikalni izraz negativen; je nič, če je korenski izraz nič; je pozitiven, če je podrejeni izraz pozitiven.

Metode reševanja iracionalnih enačb

Rešite iracionalno enačbo - pomeni najti vse realne vrednosti spremenljivke, ko jih nadomestimo v izvirno enačbo, se spremeni v pravilno numerično enakost ali dokazati, da takšne vrednosti ne obstajajo. Iracionalne enačbe se rešujejo na množici realnih števil R.

Obseg veljavnih vrednosti enačbe sestavljajo tiste vrednosti spremenljivke, za katere so vsi izrazi pod znakom radikalov sode stopnje nenegativni.

Glavne metode za reševanje iracionalnih enačb so:

a) način dviga obeh delov enačbe na enako moč;

b) način uvajanja novih spremenljivk (metoda substitucij);

c) umetne metode za reševanje iracionalnih enačb.

V tem članku se bomo osredotočili na obravnavanje enačb zgoraj definirane oblike in predstavili 6 metod za reševanje takšnih enačb.

1 metoda. kocka.

Ta metoda zahteva uporabo skrajšanih formul za množenje in ne vsebuje "pasti", tj. ne vodi do pojava tujih korenin.

Primer 1 reši enačbo

Odločitev:

Enačbo prepišemo v obrazec in kocko na obeh straneh. Dobimo enačbo, ki je enakovredna tej enačbi,

Odgovori: x=2, x=11.

Primer 2. Reši enačbo.

Odločitev:

Prepišimo enačbo v obliki in obe strani dvignimo v kocko. Dobimo enačbo, ki je enakovredna tej enačbi

in upoštevajmo nastalo enačbo kot kvadratno glede na enega od korenov

zato je diskriminant 0, enačba pa ima lahko rešitev x=-2.

izpit:

Odgovori: x=-2.

Komentar: Če je kvadratna enačba zaključena, preverjanje lahko izpustimo.

2 metoda. Kocka z uporabo formule.

Še naprej bomo kockali enačbo, hkrati pa bomo uporabljali spremenjene formule za skrajšano množenje.

Uporabimo formule:

(manjša sprememba znana formula), potem

Primer3. reši enačbo .

Odločitev:

Enačbo sestavimo v kocke z uporabo zgornjih formul.

Ampak izraz mora biti enaka desni strani. Zato imamo:

.

Zdaj, ko smo kockirani, dobimo običajno kvadratno enačbo:

, in njeni dve korenini

Obe vrednosti sta, kot kaže test, pravilni.

Odgovori: x=2, x=-33.

Toda ali so vse transformacije tukaj enakovredne? Preden odgovorimo na to vprašanje, rešimo še eno enačbo.

Primer 4. Reši enačbo.

Odločitev:

Tako kot prej oba dela dvignemo na tretjo potenco, imamo:

Od kod (glede na to, da je izraz v oklepaju ), dobimo:

Dobimo, .Naredimo preverjanje in se prepričajmo, da je x=0 tuj koren.

Odgovori: .

Odgovorimo na vprašanje: "Zakaj so nastale tuje korenine?"

Enakost vodi k enakosti . Če zamenjamo iz z -s, dobimo:

Identiteto je enostavno preveriti

Torej, če , potem bodisi , ali . Enačbo lahko predstavimo kot , .

Če zamenjamo iz z -s, dobimo: če , potem bodisi , ali

Zato je pri uporabi te metode rešitve nujno preveriti in se prepričati, da ni tujih korenin.

3 metoda. Sistemska metoda.

Primer 5 reši enačbo .

Odločitev:

Naj bo , . Nato:

Kako je to očitno

Drugo enačbo sistema dobimo tako, da linearna kombinacija radikalnih izrazov ni odvisna od izvirne spremenljivke.

Zlahka je videti, da sistem nima rešitve, zato izvirna enačba nima rešitve.

Odgovori: Brez korenin.

Primer 6 reši enačbo .

Odločitev:

Uvedemo zamenjavo, sestavimo in rešimo sistem enačb.

Naj bo , . Potem

Če se vrnemo k izvirni spremenljivki, imamo:

Odgovori: x=0.

4 metoda. Uporaba monotonosti funkcij.

Pred uporabo te metode se obrnimo na teorijo.

Potrebovali bomo naslednje lastnosti:

Primer 7 reši enačbo .

Odločitev:

Leva stran enačbe je naraščajoča funkcija, desna pa število, t.j. konstanta, zato enačba nima več kot enega korena, ki ga izberemo: x \u003d 9. Preverite, ali je koren primeren.

Enačbe imenujemo iracionalne, če vsebujejo neznano količino pod predznakom korena. To so na primer enačbe

V mnogih primerih je z enkratno ali večkratno uporabo stopnjevanja obeh delov enačbe mogoče iracionalno enačbo reducirati na algebraično enačbo te ali druge stopnje (ki je posledica prvotne enačbe). Ker se pri povišanju enačbe na potenco lahko pojavijo tuje rešitve, potem moramo po rešitvi algebraične enačbe, na katero smo zmanjšali to iracionalno enačbo, preveriti najdene korenine tako, da jih nadomestimo v prvotno enačbo in shranimo le tiste, ki jo izpolnjujejo, in zavrzite ostalo - tuje.

Pri reševanju iracionalnih enačb se omejimo le na njihove realne korenine; vse korenine sode stopnje v zapisu enačb razumemo v aritmetičnem smislu.

Razmislite o nekaterih tipični primeri iracionalne enačbe.

A. Enačbe, ki vsebujejo neznano pod predznakom kvadratnega korena. Če ta enačba vsebuje samo eno Kvadratni koren, pod znakom katerega je neznanka, je treba ta koren izolirati, torej postaviti v en del enačbe, vse druge člene pa prenesti v drug del. Po kvadriranju obeh strani enačbe smo se že osvobodili iracionalnosti in dobili algebraično enačbo za

Primer 1. Rešite enačbo.

Odločitev. Na levi strani enačbe izoliramo koren;

Dobljeno enačbo kvadriramo:

Najdemo korenine te enačbe:

Preverjanje kaže, da izpolnjuje samo prvotno enačbo.

Če enačba vključuje dva ali več korenov, ki vsebujejo x, je treba kvadriranje večkrat ponoviti.

Primer 2. Rešite naslednje enačbe:

Rešitev, a) Kvadiramo obe strani enačbe:

Ločimo koren:

Dobljena enačba je ponovno na kvadrat:

Po transformacijah dobimo naslednjo kvadratno enačbo za:

reši:

Z zamenjavo v prvotno enačbo se prepričamo, da obstaja njen koren, vendar je zanjo tuj koren.

b) Primer je mogoče rešiti na enak način, kot je bil rešen primer a). Vendar pa bomo ravnali drugače, če bomo izkoristili dejstvo, da desna stran te enačbe ne vsebuje neznane količine. Enačbo pomnožimo z izrazom, konjugiranim na njeno levo stran; dobimo

Na desni je zmnožek vsote in razlike, torej razlika kvadratov. Od tod

Na levi strani te enačbe je bila vsota kvadratnih korenov; na levi strani zdaj dobljene enačbe je razlika istih korenov. Zapišimo dane in prejete enačbe:

Če vzamemo vsoto teh enačb, dobimo

Zadnjo enačbo kvadriramo in po poenostavitvah dobimo

Od tu najdemo. S preverjanjem se prepričamo, da le število služi kot koren te enačbe. Primer 3. Rešite enačbo

Tu imamo že pod radikalnim znakom kvadratne trinome.

Odločitev. Enačbo pomnožimo z izrazom, konjugiranim z levo stranjo:

Od dane odštejte zadnjo enačbo:

Kvadirajmo to enačbo:

Iz zadnje enačbe najdemo . S preverjanjem smo prepričani, da le število x = 1 služi kot koren te enačbe.

B. Enačbe, ki vsebujejo korenine tretje stopnje. Sistemi iracionalnih enačb. Omejimo se na posamezne primere takšnih enačb in sistemov.

Primer 4. Rešite enačbo

Odločitev. Pokažimo dva načina reševanja enačbe (70.1). Prvi način. Kockajmo obe strani te enačbe (glej formulo (20.8)):

(tukaj smo zamenjali vsoto kockastih koreninštevilka 4 z uporabo enačbe).

Torej imamo

po poenostavitvah, tj.

od koder oba korena izpolnjujeta prvotno enačbo.

Drugi način. Postavimo

Enačba (70.1) bo zapisana kot . Poleg tega je jasno, da. Iz enačbe (70.1) smo prešli na sistem

Če prvo enačbo sistemskega izraza delimo z drugo, ugotovimo

Iracionalna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje funkcijo pod predznakom korena. Na primer:

Takšne enačbe se vedno rešujejo v 3 korakih:

1. Ločite koren. Z drugimi besedami, če so levo od znaka enakosti poleg korena še druga števila ali funkcije, je treba vse to premakniti v desno s spremembo predznaka. Hkrati naj na levi ostane le radikal - brez koeficientov.
2. 2. Obe strani enačbe kvadriramo. Hkrati ne pozabite, da je obseg korena vsa nenegativna števila. Od tod funkcija na desni iracionalna enačba mora biti tudi nenegativna: g (x) ≥ 0.
3. Tretji korak logično sledi drugemu: opraviti morate preverjanje. Dejstvo je, da bi v drugem koraku lahko imeli dodatne korenine. In da bi jih odrezali, je treba dobljena števila kandidatov zamenjati v izvirno enačbo in preveriti: ali je res dosežena pravilna številčna enakost?

Reševanje iracionalne enačbe

Opravimo se z našo iracionalno enačbo, podano na samem začetku lekcije. Tu je koren že osamljen: levo od znaka enakosti ni nič drugega kot koren. Kvadratirajmo obe strani:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Dobljeno kvadratno enačbo rešimo preko diskriminanta:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Ostaja le, da te številke nadomestimo v prvotni enačbi, tj. opraviti pregled. Toda tudi tukaj lahko naredite pravo stvar, da poenostavite končno odločitev.

Kako poenostaviti rešitev

Pomislimo: zakaj sploh preverjamo na koncu reševanja iracionalne enačbe? Zagotoviti želimo, da bo pri zamenjavi naših korenin desno od znaka enakosti nenegativno število. Navsezadnje že zagotovo vemo, da je na levi strani nenegativno število, saj aritmetični kvadratni koren (zaradi katerega se naša enačba imenuje iracionalna) po definiciji ne more biti manjši od nič.

Zato moramo preveriti le, da funkcija g ( x ) = 5 − x , ki je desno od znaka enakosti, ni negativna:

g(x) ≥ 0

V to funkcijo nadomestimo naše korenine in dobimo:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Iz dobljenih vrednosti sledi, da nam koren x 1 = 6 ne ustreza, saj pri zamenjavi v desno stran prvotne enačbe dobimo negativno število. Toda koren x 2 \u003d −2 je za nas zelo primeren, ker:

1. Ta koren je rešitev kvadratne enačbe, ki jo dobimo z dvigom obeh strani iracionalna enačba v kvadrat.
2. Desna stran prvotne iracionalne enačbe, ko nadomestimo koren x 2 = −2, se spremeni v pozitivno število, t.j. obseg aritmetični koren ni zlomljeno.

To je ves algoritem! Kot lahko vidite, reševanje enačb z radikali ni tako težko. Glavna stvar je, da ne pozabite preveriti prejetih korenin, sicer je zelo verjetno, da boste dobili dodatne odgovore.