V praktičnih dejavnostih mora človek meriti različne količine, upoštevati materiale in izdelke dela, pridelke različni izračuni. Rezultati različnih meritev, štetja in izračunov so številke. Številke, pridobljene kot rezultat meritve, le približno, z določeno stopnjo natančnosti, označujejo želene vrednosti. Natančne meritve zaradi netočnosti niso možne merilni instrumenti, nepopolnosti naših vidnih organov in sami merjeni predmeti nam včasih ne omogočajo, da bi natančno določili njihovo velikost.

Tako je na primer znano, da je dolžina Sueškega prekopa 160 km, razdalja vzdolž železnica od Moskve do Leningrada 651 km. Tukaj imamo rezultate meritev z natančnostjo do kilometra. Če je npr. dolžina pravokotno območje 29 m, širina 12 m, potem so bile verjetno meritve opravljene z natančnostjo do metra, delci metra pa so bili zanemarjeni,

Pred vsako meritvijo se je treba odločiti, s kakšno natančnostjo jo je treba izvesti, tj. katere ulomke merske enote je treba upoštevati, katere pa zanemariti.

Če obstaja kakšna vrednost a, katere resnična vrednost ni znana, približna vrednost (približek) te vrednosti pa je enaka X, oni pišejo a x.

Z različnimi meritvami iste količine bomo dobili različne približke. Vsak od teh približkov se bo razlikoval od prave vrednosti izmerjene vrednosti, enak je npr. a, za določen znesek, ki ga bomo poklicali napaka. Opredelitev. Če je število x približna vrednost (približek) neke količine, katere prava vrednost je enaka številu a, potem modul razlike številk, a in X poklical absolutna napaka dani približek in označeni a x: ali preprosto a. Tako je po definiciji

a x = a-x (1)

Iz te definicije izhaja, da

a = x a x (2)

Če je znano, o kateri količini govorimo, potem v zapisu a x indeks a je izpuščena in enakost (2) se zapiše takole:

a = x x (3)

Ker je prava vrednost želene količine največkrat neznana, ni mogoče najti absolutne napake pri aproksimaciji te količine. V vsakem posameznem primeru lahko navedete samo pozitivno število, večje od katerega je to absolutna napaka ne more biti. To število imenujemo meja absolutne napake približevanja količine a in označena h a. Torej, če x je poljuben približek vrednosti a za dani postopek za pridobivanje približkov, potem

a x = a-x h a (4)

Iz navedenega sledi, da če h a je meja absolutne napake aproksimacije količine a, potem katero koli število, večje od h a, bo tudi meja absolutne napake aproksimacije količine a.

V praksi je običajno, da za mejo absolutne napake izberemo najmanjše število, ki izpolnjuje neenakost (4).

Reševanje neenakosti a-x h a to dobimo a vsebovana znotraj meja

x-h a a x + h a (5)

Strožji koncept meje absolutne napake je mogoče podati, kot sledi.

Naj bo X- veliko možnih približkov X količine a za dani postopek za pridobitev približka. Nato poljubno število h, ki izpolnjuje pogoj a-x h a za katero koli xX, se imenuje meja absolutne napake približkov iz množice X. Označi z h a najmanjše znano število h. Ta številka h a in je v praksi izbrana kot meja absolutne napake.

Absolutna napaka približevanja ne označuje kakovosti meritev. Dejansko, če merimo katero koli dolžino z natančnostjo 1 cm, potem v primeru, ko govorimo glede določanja dolžine svinčnika bo slaba natančnost. Če z natančnostjo 1 cm določite dolžino ali širino igrišča za odbojko, bo to visoka natančnost.

Za karakterizacijo merilne natančnosti je uveden koncept relativne napake.

Opredelitev. Če a x: obstaja absolutna napaka približevanja X neka količina, katere prava vrednost je enaka številu a, nato razmerje a x na modul števila X se imenuje relativna napaka približevanja in je označena a x oz x.

Tako je po definiciji

Relativna napaka je običajno izražena v odstotkih.

Za razliko od absolutne napake, ki je največkrat dimenzijska količina, je relativna napaka brezdimenzionalna količina.

V praksi se ne upošteva relativna napaka, ampak tako imenovana meja relativne napake: takšno število E a, ki ne more biti večja od relativne napake aproksimacije želene vrednosti.

tako, a x E a .

Če h a-- meja absolutne napake približkov količine a, potem a x h a in zato

Očitno katera koli številka E, ki izpolnjuje pogoj, bo meja relativne napake. V praksi je običajno znan kakšen približek X količine a in meja absolutne napake. Nato številka

1. Številke so natančne in približne. Številke, ki jih srečamo v praksi, so dve vrsti. Nekateri navajajo pravo vrednost količine, drugi le približno. Prvi se imenuje natančen, drugi - približen. Najpogosteje je priročno uporabiti približno število namesto natančnega, še posebej, ker v mnogih primerih točna številka na splošno nemogoče najti.

Rezultati operacij s številkami dajejo: s približnimi številkami približne številke. Na primer. Med epidemijo 60 % prebivalcev Sankt Peterburga zboli za gripo. To je približno 3 milijone ljudi. z natančnimi številkami natančnimi številkami Npr. Na predavanju matematike je med občinstvom 65 ljudi. približne številke Npr. Povprečna telesna temperatura bolnika čez dan 37,3: zjutraj: 37,2; dan: 36.8 ; zvečer 38.

Teorija približnih izračunov omogoča: 1) poznavanje stopnje točnosti podatkov, za oceno stopnje točnosti rezultatov; 2) vzame podatke z ustrezno stopnjo natančnosti, ki zadostuje za zagotovitev zahtevane točnosti rezultata; 3) racionalizirati postopek izračuna in ga osvoboditi tistih izračunov, ki ne bodo vplivali na točnost rezultata.

1) če je prva (leva) od zavrženih števk manjša od 5, se zadnja preostala številka ne spremeni (zaokroži navzdol); 2) če je prva zavržena številka večja od 5 ali enaka 5, se zadnja preostala številka poveča za eno (zaokroževanje). Zaokroževanje: a) na desetinke 12,34 12,3; b) do stotink 3,2465 3,25; 1038,79. c) do tisočink 3,4335 3,434. d) do tisoč; To upošteva naslednje:

Količine, ki se najpogosteje merijo v medicini: masa m, dolžina l, hitrost procesa v, čas t, temperatura t, prostornina V itd. Meriti fizikalno količino pomeni primerjati jo s homogeno količino, vzeto kot enoto. 9 Merske enote fizikalnih veličin: Osnovna dolžina - 1 m - (meter) Čas - 1 s - (sekunda) Masa - 1 kg - (kilogram) Produkti Volumen - 1 m³ - (kubični meter) Hitrost - 1 m/s - (meter na sekundo)

Predpone za imena enot: Več predpon - povečajte za 10, 100, 1000 itd. krat g - hekto (×100) k - kilogram (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometer) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g zmanjšaj za 10 , 100, 1000 itd. krat d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decimeter) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimeter) 1 cm = 0,01 m 1 mm (milimeter) 1 mm = 0,001 m

Za diagnosticiranje, zdravljenje, preprečevanje bolezni v medicini se uporablja različna merilna medicinska oprema.

Termometer. Najprej morate upoštevati zgornjo in spodnjo mejo merjenja. Spodnja meja je najmanjša, zgornja pa največja merljiva vrednost. Če pričakovana vrednost izmerjene vrednosti ni znana, je bolje vzeti napravo z "maržo". Na primer merjenje temperature vroča voda ne izvajajte z uličnim ali sobnim termometrom. Bolje je najti napravo z zgornjo mejo 100 ° C. Drugič, razumeti morate, kako natančno je treba izmeriti količino. Ker je merilna napaka odvisna od vrednosti delitve, za več natančne meritve izbran je instrument z najmanjšim intervalom lestvice.

Merilne napake. Za merjenje različnih diagnostičnih parametrov potrebujete lastno napravo. Dolžina se na primer meri z ravnilom, temperatura pa s termometrom. Toda ravnila, termometri, tonometri in druge naprave so različni, zato morate za merjenje katere koli fizične količine izbrati napravo, ki je primerna za to meritev.

Cena delitve naprave. Temperaturo človeškega telesa je treba natančno določiti, zdravila je treba dajati v strogo določeni količini, zato je cena delitev lestvice merilne naprave pomembna lastnost vsake naprave. Pravilo za izračun cenovne delitve naprave Za izračun cene delitev lestvice morate: a) izbrati dve najbližji digitalizirani potezi na lestvici; b) preštejte število delitev med njimi; c) Razliko v vrednostih okoli izbranih potez razdelite s številom delitev.

Cena delitve naprave. Vrednost delitve (50-30)/4=5 (ml) Vrednost delitve: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Določite ceno delitve naprav: 16

Absolutna merilna napaka. Pri vsakem merjenju se zagotovo pojavijo napake. Te napake so posledica različnih dejavnikov. Vse dejavnike lahko razdelimo na tri dele: napake zaradi nepopolnosti instrumentov; napake zaradi nepopolnosti merilnih metod; napake zaradi vpliva naključnih dejavnikov, ki jih ni mogoče odpraviti. Ko merimo katero koli vrednost, želimo vedeti ne le njeno vrednost, ampak tudi, koliko tej vrednosti lahko zaupamo, kako točna je. Za to je treba vedeti, koliko se lahko dejanska vrednost količine razlikuje od izmerjene. Za te namene je uveden koncept absolutnih in relativnih napak.

Absolutne in relativne napake. Absolutna napaka kaže, koliko je realna vrednost fizična količina drugačna od izmerjene. Odvisno je od same naprave (instrumentalna napaka) in od merilnega procesa (napaka pri odčitavanju na tehtnici). Instrumentalna napaka mora biti navedena v potnem listu instrumenta (praviloma je enaka delitvi lestvice instrumenta). Napaka pri branju je običajno enaka polovici vrednosti delitve. Absolutna napaka približne vrednosti je razlika Δ x \u003d | x - x 0 |, kjer je x 0 približna vrednost, x pa je natančna vrednost izmerjene vrednosti ali včasih namesto x uporabljajo A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Absolutne in relativne napake. Primer. Znano je, da je -0,333 približna vrednost za -1/3. Potem po definiciji absolutne napake Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. V mnogih praktično pomembnih primerih je nemogoče najti absolutno napako približevanja zaradi dejstva, da natančna vrednost količine ni znana. Lahko pa določite pozitivno število, več kot je ta absolutna napaka ne more biti. To je poljubno število h, ki izpolnjuje neenakost | ∆x | h Imenuje se meja absolutne napake.

V tem primeru pravijo, da je vrednost x približno do h enaka x 0. x \u003d x 0 ± h ali x 0 - h x x 0 + h

Absolutne instrumentalne napake merilnih instrumentov

Ocena instrumentalnih napak merjenih veličin. Pri večini merilnih instrumentov je napaka instrumenta enaka njegovi delitvi lestvice. Izjema so digitalni instrumenti in merilniki. Pri digitalnih napravah je napaka navedena v njihovem potnem listu in je običajno nekajkrat višja od delitve merila naprave. Pri merilnih instrumentih s kazalcem je napaka določena z njihovim razredom točnosti, ki je označen na lestvici instrumenta, in mejo merjenja. Razred točnosti je na lestvici naprave označen kot številka, ki ni obdana z nobenim okvirjem. Na primer, na prikazani sliki je razred točnosti manometra 1,5. Razred točnosti kaže, koliko odstotkov je napaka naprave od meje njenih meritev. Za merilni manometer je meja merjenja 3 atm, napaka pri merjenju tlaka je 1,5% od 3 atm, to je 0,045 atm. Treba je opozoriti, da se pri večini kazalnih naprav njihova napaka izkaže za enako vrednost delitve naprave. Kot v našem primeru, kjer je cena delitve barometra 0,05 atm.

Absolutne in relativne napake. Absolutna napaka je potrebna za določitev obsega, v katerem lahko pade dejanska vrednost, vendar za oceno točnosti rezultata kot celote ni zelo okvirna. Navsezadnje je merjenje dolžine 10 m z napako 1 mm zagotovo zelo natančno, hkrati pa je merjenje dolžine 2 mm z napako 1 mm očitno skrajno nenatančno. Absolutna merilna napaka je običajno zaokrožena na eno pomembno številko ΔA 0,17 0,2. Številčna vrednost meritvenega rezultata je zaokrožena tako, da je njena zadnja številka enaka številki napake A=10,332 10,3

Absolutne in relativne napake. Poleg absolutne napake je običajno upoštevati relativno napako, ki je enaka razmerju med absolutno napako in vrednostjo same količine. Relativna napaka približnega števila je razmerje med absolutno napako približnega števila in samim tem številom: E = Δx. 100 % x 0 Relativna napaka kaže, v kolikšnem odstotku same vrednosti bi lahko nastala napaka in je okvirna pri ocenjevanju kakovosti eksperimentalnih rezultatov.

Primer. Pri merjenju dolžine in premera kapilare smo dobili l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Katera od teh meritev je natančnejša? Pri merjenju dolžine kapilare je dovoljena absolutna napaka 10 mm na 100 mm, zato je absolutna napaka 10/100=0,1=10%. Pri merjenju premera kapilar je dopustna absolutna napaka 0,1/2,5=0,04=4 % Zato je meritev premera kapilar natančnejša.

V mnogih primerih ni mogoče najti absolutne napake. Od tod relativna napaka. Lahko pa najdete mejo relativne napake. Vsako število δ, ki izpolnjuje neenakost | ∆x | / | x o | δ je meja relativne napake. Zlasti, če je h meja absolutne napake, potem je število δ= h/| x o |, je meja relativne napake aproksimacije x o. Od tod. Poznavanje meje rel.p-i. δ, najdemo mejo absolutne napake h. h=δ | x o |

Primer. Znano je, da je 2=1,41… Poiščite relativno natančnost približne enakosti oziroma mejo relativne napake približne enakosti 2 1,41. Tukaj je x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Očitno 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, meja absolutne napake je 0,01, meja relativne napake je 1/141

Primer. Pri branju odčitka z lestvice je pomembno, da vaš pogled pade pravokotno na lestvico inštrumenta, medtem ko bo napaka manjša. Za določitev odčitka termometra: 1. določite število delitev, 2. jih pomnožite s ceno delitve 3. upoštevajte napako 4. zapišite končni rezultat. t = 20 °C ± 1,5 °C To pomeni, da je temperatura med 18,5° in 21,5°. To pomeni, da je lahko na primer 19, 20 in 21 stopinj Celzija. Za povečanje natančnosti meritev je običajno, da jih ponovite vsaj trikrat in izračunate povprečno vrednost izmerjene vrednosti

N A C O R D E N I A N E D E N G O N I N I O N I Merilni rezultati C 1 = 34,5 C 2 = 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 = 33 ,5 C 5 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d najti c povprečno vrednost 1 +. 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Poiščite odstopanje vrednosti od povprečne vrednosti Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Poiščite absolutno napako Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc = (0,6 + 0,4): 4 = 0,275 0,3 g) Poiščite relativno napako δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100 % = 0,9 % e) Zapišite končni odgovor c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

DOMAČA NALOGA Pripravite se na praktična lekcija na podlagi predavanja. Izvedite nalogo. Poiščite srednjo vrednost in napako: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Ustvarite predstavitve na teme: "Zaokroževanje vrednosti v medicini", "Napake pri merjenju", "Medicinska merilna oprema"

Uvod

Absolutna napaka- je ocena absolutne napake merjenja. Izračunano različne poti. Metoda izračuna je določena z distribucijo naključne spremenljivke. V skladu s tem je lahko velikost absolutne napake, odvisno od porazdelitve naključne spremenljivke, različna. Če je izmerjena vrednost in je prava vrednost, mora neenakost veljati z neko verjetnostjo blizu 1. Če naključna vrednost porazdeljeno po normalnem zakonu, potem se običajno njegov standardni odklon vzame kot absolutna napaka. Absolutna napaka se meri v enakih enotah kot sama vrednost.

Obstaja več načinov za pisanje količine skupaj z njeno absolutno napako.

· Običajno se uporablja zapis z znakom ±. Na primer, rekord na 100 m, postavljen leta 1983, je 9,930±0,005 s.

· Za beleženje vrednosti, izmerjenih z zelo visoko natančnostjo, se uporablja še en zapis: številke, ki ustrezajo napaki zadnjih števk mantise, se dodajo v oklepaje. Na primer, izmerjena vrednost Boltzmannove konstante je 1,380 6488 (13)?10?23 J/K, kar se lahko zapiše tudi veliko dlje kot 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Relativna napaka- merilna napaka, izražena kot razmerje med absolutno merilno napako in dejansko ali povprečno vrednostjo izmerjene količine (RMG 29-99):.

Relativna napaka je brezdimenzionalna količina ali pa se meri v odstotkih.

Približek

Preveč in premalo? V procesu izračunov se je treba pogosto ukvarjati s približnimi številkami. Naj bo AMPAK- točna vrednost določene količine, v nadaljnjem besedilu točno število a. Pod okvirno vrednostjo količine AMPAK, oz približne številke poklicali številko a, ki nadomesti natančno vrednost količine AMPAK.Če a< AMPAK, potem a se imenuje približna vrednost števila In zaradi pomanjkanja.Če a> AMPAK,- potem v presežku. Na primer, 3,14 je približek števila R zaradi pomanjkanja in 3,15 zaradi presežka. Za opis stopnje natančnosti tega približka se uporablja koncept napake oz napake.

Napaka D a približno število a se imenuje razlika oblike

D a = A-a,

kje AMPAK je ustrezna natančna številka.

Slika prikazuje, da je dolžina segmenta AB med 6 cm in 7 cm.

To pomeni, da je 6 približna vrednost dolžine segmenta AB (v centimetrih)\u003e s pomanjkanjem, 7 pa s presežkom.

Če označujemo dolžino segmenta s črko y, dobimo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentu AB (glej sliko 149) je bližje 6 cm kot 7 cm Približno enako 6 cm Pravijo, da je bilo število 6 pridobljeno z zaokroževanjem dolžine segmenta na cela števila.

Absolutna vrednost razlike med približno in natančno (resnično) vrednostjo količine se imenuje absolutna napaka približna vrednost. na primerče je točna številka 1,214 zaokrožimo na desetinke, dobimo približno število 1,2 . V tem primeru bo absolutna napaka približnega števila 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Toda v večini primerov natančna vrednost obravnavane količine ni znana, ampak le približna. Potem je tudi absolutna napaka neznana. V teh primerih navedite meja ki jih ne presega. Ta številka se imenuje mejna absolutna napaka. Pravijo, da je natančna vrednost števila enaka njeni približni vrednosti z napako, manjšo od mejne napake. na primer, številka 23,71 je približna vrednost števila 23,7125 do 0,01 , saj je absolutna napaka približevanja enaka 0,0025 in manj 0,01 . Tukaj je mejna absolutna napaka enaka 0,01 .*

(* Absolutno napaka je tako pozitivna kot negativna. na primer, 1,68 ≈ 1,7 . Absolutna napaka je 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Meja napaka je vedno pozitivna).

Mejna absolutna napaka približnega števila " a » je označen s simbolom Δ a . Snemanje

x ≈ a ( Δ a)

je treba razumeti takole: natančna vrednost količine X je vmes a +Δ a in a –Δ a, ki so poimenovani oz dno in Zgornja meja X in označi H G X in AT G X .

na primer, če X≈ 2,3 ( 0,1), potem 2,2 < X < 2,4 .

Nasprotno, če 7,3 < X < 7,4, potem X≈ 7,35 ( 0,05).

Absolutna ali mejna absolutna napaka ne označuje kakovost meritve. Enako absolutno napako lahko štejemo za pomembno in nepomembno, odvisno od števila, ki izraža izmerjeno vrednost.

na primer, če merimo razdaljo med dvema mestoma z natančnostjo enega kilometra, potem taka natančnost za to meritev povsem zadostuje, hkrati pa bo pri merjenju razdalje med dvema hišama na isti ulici taka natančnost nesprejemljiva .

Posledično je natančnost približne vrednosti količine odvisna ne le od velikosti absolutne napake, temveč tudi od vrednosti merjene količine. Torej merilo točnosti je relativna napaka.

Relativna napaka je razmerje med absolutno napako in vrednostjo približnega števila. Imenuje se razmerje mejne absolutne napake in približnega števila mejna relativna napaka; označi takole: Δ a/a. Običajno so izražene relativne in mejne relativne napake v odstotkih.

na primerče meritve pokažejo, da je razdalja med dvema točkama večja od 12,3 km, vendar manj 12,7 km, potem za približen njen pomen je sprejet povprečno ti dve številki, tj. njim polovična vsota, potem meja absolutna napaka je polrazlika te številke. V tem primeru X≈ 12,5 ( 0,2). Tukaj je meja absolutno napaka je 0,2 km in meja

Za sodobne naloge za njihovo reševanje je treba uporabiti kompleksen matematični aparat in razvite metode. V tem primeru se pogosto srečujemo s problemi, za katere je analitična rešitev, tj. rešitev v obliki analitičnega izraza, ki povezuje začetne podatke z zahtevanimi rezultati, je sploh nemogoča ali pa je izražena v tako okornih formulah, da jih je nepraktično uporabljati v praktične namene.

V tem primeru se uporabljajo numerične metode reševanja, ki omogočajo preprosto pridobitev numerične rešitve problema. Numerične metode se izvajajo z uporabo računskih algoritmov.

Celotna raznolikost numeričnih metod je razdeljena v dve skupini:

Točno - domnevajo, da če se izračuni izvedejo natančno, potem lahko s pomočjo končnega števila aritmetičnih in logičnih operacij dobimo natančne vrednosti želenih količin.

Približno - ki vam, tudi ob predpostavki, da se izračuni izvajajo brez zaokroževanja, omogočajo rešitev problema le z dano natančnostjo.

1. vrednost in število. Količina je nekaj, kar je mogoče izraziti kot število v določenih enotah.

Ko govorijo o vrednosti količine, mislijo na določeno število, imenovano številčna vrednost količine, in njeno mersko enoto.

Tako je količina značilnost lastnosti predmeta ali pojava, ki je skupna mnogim predmetom, vendar ima za vsakega od njih posamezne vrednosti.

Vrednosti so lahko konstantne ali spremenljive. Če pod določenimi pogoji količina prevzame samo eno vrednost in je ne more spremeniti, se imenuje konstantna, če pa lahko prevzame različni pomeni, potem je spremenljivka. Ja, pospešek prosti pad telo v to mesto zemeljska površina je konstantna vrednost, ki prevzame eno številčno vrednost g = 9,81 ... m / s2, medtem ko je pot s, prehojena materialna točka med svojim gibanjem je spremenljivka.

2. približne vrednosti številk. Vrednost količine, v resničnost katere ne dvomimo, imenujemo eksaktna. Pogosto pa se pri iskanju vrednosti količine dobi le njena približna vrednost. V praksi izračunov se je treba pogosto ukvarjati s približnimi vrednostmi številk. Torej je p natančno število, vendar se zaradi njegove iracionalnosti lahko uporabi le njegova približna vrednost.

Pri mnogih problemih se zaradi kompleksnosti, pogosto pa tudi nezmožnosti pridobivanja natančnih rešitev, uporabljajo metode približne rešitve, med katerimi so: približna rešitev enačb, interpolacija funkcij, približen izračun integralov itd.

Glavna zahteva za približne izračune je skladnost z določeno natančnostjo vmesnih izračunov in končnega rezultata. Hkrati sta enako nesprejemljiva tako povečanje napak (napake) z neupravičenim grobim izračunom kot zadrževanje odvečnih številk, ki ne ustrezajo dejanski točnosti.

Obstajata dva razreda napak, ki izhajata iz izračunov in zaokroževanja števil – absolutne in relativne.

1. Absolutna napaka (napaka).

Naj uvedemo zapis:

Naj bo A natančna vrednost neke količine, Zapiši a »A Brali bomo "a je približno enako A". Včasih bomo zapisali A = a, pri čemer bomo upoštevali, da govorimo o približni enakosti.

Če je znano, da je a< А, то а называют približna vrednost A s pomanjkljivostjo.Če je a > A, se kliče a približna vrednost presežka A.

Razlika med natančno in približno vrednostjo količine se imenuje napaka približevanja in je označena z D, t.j.

D \u003d A - a (1)

Napaka D aproksimacije je lahko pozitivna in negativna.

Za karakterizacijo razlike med približno vrednostjo količine in natančno vrednostjo je pogosto dovolj, da navedemo absolutno vrednost razlike med natančno in približno vrednostjo.

Absolutna vrednost razlike med približnimi a in natančen AMPAKštevilske vrednosti se imenuje absolutna napaka (napaka) približevanja in označeno z D a:

D a = ½ a – AMPAK½ (2)

Primer 1 Pri merjenju črte l uporabili ravnilo, katerega vrednost delitve je 0,5 cm Dobili smo okvirno vrednost za dolžino segmenta a= 204 cm.

Jasno je, da bi se med merjenjem lahko zmotili za največ 0,5 cm, t.j. absolutna merilna napaka ne presega 0,5 cm.

Običajno je absolutna napaka neznana, saj ni znana natančna vrednost števila A. Zato nekaj ocena absolutna napaka:

D a <= Da prej. (3)

kjer je D prej. – mejna napaka (število, več nič), ki se nastavi ob upoštevanju gotovosti, s katero je znano število a.

Imenuje se tudi omejevalna absolutna napaka stopnja napake. Torej, v danem primeru,
D prej. = 0,5 cm.

Iz (3) dobimo: D a = ½ a – AMPAK½<= Da prej. . in potem

a-D a prej. ≤ AMPAK≤ a+ D a prej. . (4)

pomeni, a-D a prej. bo približek AMPAK s slabostjo in a + D a prej – približna vrednost AMPAK v presežku. Uporabljajo tudi stenografijo: AMPAK= a±D a prej (5)

Iz definicije omejevalne absolutne napake izhaja, da so števila D a prej, ki izpolnjuje neenakost (3), bo obstajala neskončna množica. V praksi poskušamo izbirati mogoče manj iz številk D prej, ki izpolnjuje neenakost D a <= Da prej.

Primer 2 Določimo mejno absolutno napako števila a=3,14, vzeta kot približna vrednost števila π.

Znano je, da 3,14<π<3,15. Iz tega sledi

|a – π |< 0,01.

Število D lahko vzamemo kot mejno absolutno napako a = 0,01.

Vendar, če to upoštevamo 3,14<π<3,142 , potem dobimo boljšo oceno :D a= 0,002, torej π ≈3,14 ±0,002.

Relativna napaka (napaka). Poznavanje samo absolutne napake ni dovolj za karakterizacijo kakovosti meritve.

Naj na primer pri tehtanju dveh teles dobimo naslednje rezultate:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Čeprav so absolutne merilne napake obeh rezultatov enake, bo kakovost meritve v prvem primeru boljša kot v drugem. Zanj je značilna relativna napaka.

Relativna napaka (napaka) približek števila AMPAK se imenuje absolutno razmerje napak D a približek absolutni vrednosti števila A:

Ker natančna vrednost količine običajno ni znana, se nadomesti s približno vrednostjo in nato:

Omejitev relativne napake oz meja relativne napake približevanja, poklicali številko d in prej.>0, tako da:

d a<= d in prej.

Za omejevalno relativno napako lahko očitno vzamemo razmerje med mejno absolutno napako in absolutno vrednostjo približne vrednosti:

Iz (9) zlahka dobimo naslednjo pomembno relacijo:

∆in prej. = |a| d in prej.

Mejna relativna napaka je običajno izražena v odstotkih:

Primer. Osnova naravnih logaritmov za izračun je enaka e=2,72. Za natančno vrednost smo vzeli e m = 2,7183. Poiščite absolutne in relativne napake približnega števila.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Vrednost relativne napake ostane nespremenjena s sorazmerno spremembo najbolj približnega števila in njegove absolutne napake. Torej, za število 634,7, izračunano z absolutno napako D = 1,3, in za število 6347 z napako D = 13, so relativne napake enake: d= 0,2.