doma > matematika

Stopnja z možnostjo racionalnega indikatorja 3. Stopnja števila: definicije, poimenovanje, primeri

Iz celoštevilskih eksponentov števila a se kaže prehod na racionalni eksponent. Spodaj definiramo stopnjo z racionalnim eksponentom in to bomo naredili tako, da se ohranijo vse lastnosti stopnje s celim eksponentom. To je potrebno, ker so cela števila del racionalnih števil.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih in ulomnih števil in vsakega ulomno število lahko predstavimo kot pozitivno ali negativno navadni ulomek. Stopnjo smo definirali s celim eksponentom v prejšnjem odstavku, zato moramo za dokončanje definicije stopnje z racionalnim eksponentom podati pomen stopnje števila a z ulomkom m/n, kje m je celo število in n- naravno. Naredimo to.

Razmislite o stopnji z delnim eksponentom oblike. Da bi lastnost stopnje v stopnji ostala veljavna, mora veljati enakost . Če upoštevamo nastalo enakost in kako smo določili koren n-te stopnje, potem je logično sprejeti, če s podatki m, n in a izraz ima smisel.

Preprosto je preveriti, ali so vse lastnosti stopnje s celim eksponentom veljavne za as (to se naredi v razdelku o lastnostih stopnje z racionalnim eksponentom).

Zgornje sklepanje nam omogoča, da naredimo naslednje sklep: če je dano m, n in a izraz ima smisel, potem pa moč števila a z ulomkom m/n imenovan koren n th stopnja a do te mere m.

Ta izjava nas približa definiciji stopnje z delnim eksponentom. Ostaja samo opisati, pod čim m, n in a izraz ima smisel. Odvisno od postavljenih omejitev m, n in a obstajata dva glavna pristopa.

1. Najlažji način je uvesti omejitev za a, sprejemanje a≥0 za pozitivno m in a>0 za negativno m(ker pri m≤0 stopnje 0 m nedoločeno). Nato dobimo naslednjo definicijo stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Stopnja pozitivnega števila a z ulomkom m/n , kje m je celota in n je naravno število, imenovano koren n-th od med a do te mere m, torej .



Delna stopnja nič je prav tako definirana z edino opozorilo, da mora biti eksponent pozitiven.

Opredelitev.

Moč nič z ulomnim pozitivnim eksponentom m/n , kje m je pozitivno celo število in n je naravno število, opredeljeno kot .
Ko stopnja ni definirana, torej stopnja števila nič z ulomnim negativnim eksponentom ni smiselna.

Treba je opozoriti, da pri takšni definiciji stopnje z delnim eksponentom obstaja en odtenek: za nekatere negativne a in nekaj m in n izraz ima smisel in te primere smo zavrgli z uvedbo pogoja a≥0. Na primer, smiselno je pisati ali , in zgornja definicija nas sili, da rečemo stopnje z delnim eksponentom oblike so brez pomena, saj osnova ne sme biti negativna.

2. Drug pristop k določanju stopnje z delnim eksponentom m/n sestoji iz ločenega upoštevanja sodih in lihih eksponentov korena. Ta pristop zahteva dodatni pogoj: stopnja a, katerega kazalnik je zmanjšan navadni ulomek, se šteje za potenco števila a, katerega indikator je ustrezen neredčljivi ulomek (pomembnost tega pogoja bo razložena spodaj). Se pravi, če m/n je nezmanjšljiv ulomek, potem za katero koli naravno število k stopnje se predhodno nadomesti z .

Za celo n in pozitivno m izraz je smiseln za vsako nenegativno a(koren sode stopnje negativnega števila nima smisla), z negativnim mštevilko a mora biti še vedno drugačna od nič (sicer bo deljenje z nič). In za nenavadno n in pozitivno mštevilko a je lahko kar koli (koren lihe stopnje je definiran za vsako realno število) in za negativno mštevilko a mora biti drugačen od nič (da ni deljenja z nič).

Zgornje sklepanje nas pripelje do takšne definicije stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Naj bo m/n- nezmanjšljiv ulomek m je celota in n- naravno število. Za kateri koli navadni ulomek, ki ga je mogoče zmanjšati, se stopnja nadomesti z . Stopnja a z nezmanjšljivim ulomnim eksponentom m/n- to je za

o poljubno pravo število a, celo število pozitivno m in nenavadno naravno n, Na primer, ;

o poljubno realno število, ki ni nič a, celo število negativno m in nenavadno n, na primer ;

o katero koli nenegativno število a, celo število pozitivno m in celo n, Na primer, ;

o kakršno koli pozitivno a, celo število negativno m in celo n, na primer ;

o v drugih primerih stopnja z delnim eksponentom ni definirana, kot npr. stopnje niso definirane .a vnosom ne pripisujemo nobenega pomena, definiramo stopnjo nič za pozitivne delne eksponente m/n kot , za negativne ulomne eksponente stopnja števila nič ni definirana.

V zaključku tega odstavka bodimo pozorni na dejstvo, da lahko ulomni eksponent zapišemo kot decimalni ulomek ali mešano število, npr. . Če želite izračunati vrednosti tovrstnih izrazov, morate eksponent napisati kot navaden ulomek in nato uporabiti definicijo stopnje z ulomnim eksponentom. Za te primere imamo in


Po določitvi stopnje števila je logično govoriti o lastnosti stopnje. V tem članku bomo podali osnovne lastnosti stopnje števila in se dotaknili vseh možnih eksponentov. Tukaj bomo podali dokaze o vseh lastnostih stopnje in pokazali, kako se te lastnosti uporabljajo pri reševanju primerov.

Navigacija po straneh.

Lastnosti stopinj z naravnimi kazalniki

Po definiciji stopnje z naravnim eksponentom je stopnja a n produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a . Na podlagi te definicije in uporabe lastnosti množenja realne številke , lahko dobimo in utemeljimo naslednje lastnosti stopnje z naravnim eksponentom:

  1. glavna lastnost stopnje a m ·a n =a m+n , njena posplošitev ;
  2. lastnost parcialnih potenk z enakimi osnovami a m:a n =a m−n ;
  3. lastnost stopnje produkta (a b) n =a n b n , njena razširitev ;
  4. količnik lastnost v naravi (a:b) n =a n:b n ;
  5. eksponentacija (a m) n =a m n , njena posplošitev (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. primerjava stopnje z ničlo:
    • če je a>0, potem a n >0 za kateri koli naravni n;
    • če je a=0, potem je a n =0;
    • če<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, če a<0 и показатель степени есть liho število 2 m−1 , nato a 2 m−1<0 ;
  7. če sta a in b pozitivni števili in a
  8. če sta m in n naravni števili, tako da je m>n , potem pri 0 0 je neenakost a m >a n resnična.

Takoj opazimo, da so vse zapisane enakosti identična pod določenimi pogoji, njihov desni in levi del pa je mogoče zamenjati. Na primer, glavna lastnost ulomka a m a n = a m + n with poenostavitev izrazov pogosto se uporablja v obliki a m+n = a m a n .

Zdaj pa si oglejmo vsakega od njih podrobno.

    Začnimo z lastnostjo produkta dveh potenk z enakimi osnovami, ki se imenuje glavna lastnost diplome: za vsako realno število a in poljubna naravna števila m in n velja enakost a m ·a n =a m+n.

    Dokažimo glavno lastnost diplome. Po definiciji stopnje z naravnim eksponentom lahko zmnožek potenk z enakimi osnovami oblike a m ·a n zapišemo kot produkt. Zaradi lastnosti množenja lahko dobljeni izraz zapišemo kot , in ta produkt je moč a z naravnim eksponentom m+n , to je a m+n . S tem je dokaz končan.

    Naj podamo primer, ki potrjuje glavno lastnost diplome. Vzemimo stopnje z enakimi osnovami 2 in naravnimi potenci 2 in 3, glede na glavno lastnost stopnje lahko zapišemo enakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Preverimo njegovo veljavnost, za kar izračunamo vrednosti izrazov 2 2 ·2 3 in 2 5 . Izvajanje eksponentiranja, imamo 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 in 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, ker so pridobljene enake vrednosti, je enakost 2 2 2 3 \u003d 2 5 pravilna in potrdi glavno lastnost stopnje.

    Glavno lastnost stopnje, ki temelji na lastnostih množenja, je mogoče posplošiti na produkt treh ali več potenk z enakimi osnovami in naravnimi eksponenti. Torej za poljubno število k naravnih števil n 1 , n 2 , …, n k enakost a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    na primer (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Lahko se premaknete na naslednjo lastnost stopinj z naravnim indikatorjem - lastnost delnih potenk z enakimi osnovami: za vsako realno število a, ki ni nič, in poljubni naravni števili m in n, ki izpolnjujeta pogoj m>n , velja enakost a m:a n =a m−n.

    Preden podamo dokaz te lastnosti, se pogovorimo o pomenu dodatnih pogojev v izjavi. Pogoj a≠0 je nujen, da se izognemo delitvi z nič, saj je 0 n =0, in ko smo se seznanili z deljenjem, smo se strinjali, da ni mogoče deliti z nič. Pogoj m>n uvedemo zato, da ne presežemo naravnih eksponentov. Dejansko je za m>n eksponent a m−n naravno število, sicer bo nič (kar se zgodi, ko je m − n ) ali negativno število (kar se zgodi, ko m

    Dokaz. Glavna lastnost ulomka nam omogoča, da zapišemo enakost a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobljene enakosti a m−n ·a n =a m in iz nje sledi, da je a m−n količnik potenk a m ​​in a n . To dokazuje lastnost delnih potenk z enakimi osnovami.

    Vzemimo primer. Vzemimo dve stopnji z enakimi osnovami π in naravnimi eksponenti 5 in 2, obravnavana lastnost stopnje ustreza enakosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Zdaj razmislite lastnost stopnje izdelka: naravna stopnja n produkta poljubnih dveh realnih števil a in b je enaka zmnožku stopenj a n in b n , to je (a b) n =a n b n .

    Dejansko imamo po definiciji stopnje z naravnim eksponentom . Zadnji produkt, ki temelji na lastnostih množenja, lahko prepišemo kot , kar je enako a n b n .

    Tukaj je primer: .

    Ta lastnost se razširi na stopnjo produkta treh ali več faktorjev. To pomeni, da je naravna lastnost moči n produkta k faktorjev zapisana kot (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Zaradi jasnosti prikazujemo to lastnost s primerom. Za produkt treh faktorjev na potenco 7 imamo .

    Naslednja lastnost je naravna lastnina: kvocient realnih števil a in b , b≠0 na naravno potenco n je enak količniku potenk a n in b n , to je (a:b) n =a n:b n .

    Dokaz se lahko izvede z uporabo prejšnje lastnosti. Torej (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, in enakost (a:b) n b n =a n pomeni, da je (a:b) n količnik a n, deljeno z b n .

    Zapišimo to lastnost na primeru določenih številk: .

    Zdaj pa se oglasimo lastnost eksponentacije: za vsako realno število a in kateri koli naravni števili m in n je moč a m na potenco n enaka moči a z eksponentom m·n , to je (a m) n =a m·n .

    Na primer, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Dokaz lastnosti moči v stopnji je naslednja veriga enakosti: .

    Obravnavana lastnost se lahko razširi na stopnjo znotraj stopnje in tako naprej. Na primer, za poljubna naravna števila p, q, r in s je enakost . Za večjo jasnost je tukaj primer s posebnimi številkami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Ostaja se še podrobneje o lastnostih primerjave stopinj z naravnim eksponentom.

    Začnemo z dokazovanjem primerjalne lastnosti nič in moči z naravnim eksponentom.

    Najprej utemeljimo, da je a n >0 za kateri koli a>0.

    Zmnožek dveh pozitivnih števil je pozitivno število, kot izhaja iz definicije množenja. To dejstvo in lastnosti množenja nam omogočajo, da trdimo, da bo rezultat množenja poljubnega števila pozitivnih števil tudi pozitivno število. In moč a z naravnim eksponentom n je po definiciji produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a. Ti argumenti nam omogočajo, da trdimo, da je za vsako pozitivno bazo a stopnja a n pozitivno število. Na podlagi dokazane lastnosti 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 in .

    Povsem očitno je, da je za vsak naravni n z a=0 stopnja a n nič. Dejansko je 0 n =0·0·…·0=0 . Na primer, 0 3 =0 in 0 762 = 0 .

    Pojdimo na negativne osnove.

    Začnimo s primerom, ko je eksponent sodo število, označimo ga kot 2 m , kjer je m naravno število. Potem . Za vsak od produktov oblike a·a je enak zmnožku modulov števil a in a je torej pozitivno število. Zato bo izdelek tudi pozitiven. in stopnja a 2 m. Tu so primeri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 in .

    Končno, ko je osnova a negativno število in eksponent je liho število 2 m−1, potem . Vsi produkti a·a so pozitivna števila, zmnožek teh pozitivnih števil je tudi pozitiven in njegovo pomnoževanje s preostalim negativnim številom a povzroči negativno število. Zaradi te lastnosti (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Obrnemo se na lastnost primerjave stopenj z enakimi naravnimi eksponenti, ki ima naslednjo formulacijo: od dveh stopenj z enakimi naravnimi eksponenti je n manjši od tiste, katere osnova je manjša, in večja od tiste, katere osnova je večja. Dokažimo.

    Neenakost a n lastnosti neenakosti dokazana neenakost v obliki a n (2,2) 7 in .

    Ostaja še dokazati zadnjo od naštetih lastnosti potenk z naravnimi eksponenti. Formulirajmo ga. Od dveh stopenj z naravnimi kazalniki in enakimi pozitivnimi osnovami, manjšimi od ene, je večja stopnja, katere kazalnik je manjši; in pri dveh stopnjah z naravnimi kazalniki in enakimi osnovami, večjimi od ene, je stopnja večja, katere kazalnik je večji. Obrnemo se na dokaz te lastnosti.

    Dokažimo, da za m>n in 0 0 zaradi začetnega pogoja m>n , od koder sledi, da pri 0

    Drugi del premoženja je treba še dokazati. Dokažimo, da je za m>n in a>1 a m >a n res. Razlika a m −a n potem, ko vzamemo n iz oklepajev, dobi obliko a n ·(a m−n −1) . Ta produkt je pozitiven, saj je za a>1 stopnja a n pozitivno število, razlika a m−n −1 pa je pozitivno število, saj je m−n>0 zaradi začetnega pogoja in za a>1, stopnja a m−n je večja od ena. Torej a m − a n >0 in a m >a n , kar je bilo treba dokazati. To lastnost ponazarja neenakost 3 7 >3 2 .

Lastnosti stopinj s celimi eksponenti

Ker so pozitivna cela števila naravna števila, potem vse lastnosti potenk s celimi pozitivnimi eksponenti natančno sovpadajo z lastnostmi potenk z naravnimi eksponenti, naštetimi in dokazanimi v prejšnjem odstavku.

Stopnjo z negativnim celim eksponentom, kot tudi stopnjo z ničelnim eksponentom, smo definirali tako, da ostanejo veljavne vse lastnosti stopenj z naravnimi eksponenti, izraženimi z enačbami. Zato vse te lastnosti veljajo tako za ničelne eksponente kot za negativne eksponente, medtem ko so osnove stopenj seveda različne.

Torej, za vsa realna in ničelna števila a in b, kot tudi vsa cela števila m in n, velja naslednje lastnosti stopinj s celimi eksponenti:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n;
  5. (a m) n = a m n ;
  6. če je n pozitivno celo število, sta a in b pozitivni števili in a b-n;
  7. če sta m in n celi števili in m>n , potem pri 0 1 je neenakost a m >a n izpolnjena.

Za a=0 sta potenci a m in a n smiselna le, če sta tako m kot n pozitivna cela števila, torej naravna števila. Tako pravkar zapisane lastnosti veljajo tudi za primere, ko sta a=0 in sta števili m in n pozitivna cela števila.

Vsake od teh lastnosti ni težko dokazati, za to je dovolj, da uporabimo definicije stopnje z naravnim in celim eksponentom ter lastnosti dejanj z realnimi števili. Za primer dokažimo, da lastnost moči velja tako za pozitivna kot za nepozitivna cela števila. Če želite to narediti, moramo pokazati, da če je p nič ali naravno število in je q nič ali naravno število, potem so enakosti (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) in (a−p)−q =a (−p) (−q). Naredimo to.

Za pozitivna p in q je bila v prejšnjem pododdelku dokazana enakost (a p) q =a p·q. Če je p=0 , potem imamo (a 0) q =1 q =1 in a 0 q =a 0 =1 , od koder (a 0) q =a 0 q . Podobno, če je q=0, potem je (a p) 0 =1 in a p 0 =a 0 =1, od koder je (a p) 0 =a p 0 . Če sta oba p=0 in q=0 , potem (a 0) 0 =1 0 =1 in a 0 0 =a 0 =1 , od koder (a 0) 0 =a 0 0 .

Dokažimo zdaj, da je (a −p) q =a (−p) q . Po definiciji stopnje z negativnim celim eksponentom , potem . Glede na lastnost količnika v stopnji imamo . Ker je 1 p =1·1·…·1=1 in , Potem . Zadnji izraz je po definiciji potenca oblike a −(p q) , ki jo lahko na podlagi pravil množenja zapišemo kot (−p) q .

podobno .

in .

Po istem principu je mogoče dokazati vse druge lastnosti stopnje s celim eksponentom, zapisanim v obliki enačb.

Pri predzadnji izmed zapisanih lastnosti se je vredno posvetiti dokazu neenakosti a −n >b −n , ki velja za vsako negativno celo število −n in vsako pozitivno a in b, za katero je izpolnjen pogoj a . Ker po pogoju a 0 . Zmnožek a n ·b n je pozitiven tudi kot zmnožek pozitivnih števil a n in b n . Potem je dobljeni ulomek pozitiven kot količnik pozitivnih števil b n − a n in a n b n . Od kod torej a −n >b −n , kar je bilo treba dokazati.

Zadnja lastnost stopenj s celimi eksponenti je dokazana na enak način kot analogna lastnost stopenj z naravnimi eksponenti.

Lastnosti potenk z racionalnimi eksponenti

Stopnjo smo definirali z ulomnim eksponentom tako, da smo nanjo razširili lastnosti stopnje s celim eksponentom. Z drugimi besedami, stopnje z delnimi eksponenti imajo enake lastnosti kot stopnje s celimi eksponenti. in sicer:

Dokaz lastnosti stopinj z ulomnim eksponentom temelji na definiciji stopnje z ulomnim eksponentom, na in na lastnostih stopnje s celim eksponentom. Dajmo dokaz.

Po definiciji stopnje z delno eksponent in , Potem . Lastnosti aritmetičnega korena nam omogočajo, da zapišemo naslednje enakosti. Nadalje, z uporabo lastnosti stopnje s celim eksponentom dobimo , od koder po definiciji stopnje z delnim eksponentom imamo , eksponent pridobljene stopnje pa je mogoče pretvoriti na naslednji način: . S tem je dokaz končan.

Druga lastnost potencij z delnimi eksponenti je dokazana na popolnoma enak način:

Preostale enakosti se dokazujejo s podobnimi načeli:

Obrnemo se na dokaz naslednje lastnosti. Dokažimo, da za vsako pozitivno a in b , a b p . Zapišimo racionalno število p kot m/n , kjer je m celo število in n naravno število. Pogoji str<0 и p>0 bo v tem primeru enakovredna pogojem m<0 и m>0 oz. Za m>0 in a

Podobno za m<0 имеем a m >b m , od koder , to je in a p > b p .

Ostaja še dokazati zadnjo od naštetih lastnosti. Dokažimo, da je za racionalna števila p in q p>q za 0 0 – neenakost a p >a q . Racionalni števili p in q lahko vedno zmanjšamo na skupni imenovalec, dobimo navadne ulomke in, kjer sta m 1 in m 2 celi števili, n pa naravno število. V tem primeru bo pogoj p>q ustrezal pogoju m 1 >m 2, ki izhaja iz . Nato z lastnostjo primerjave potenk z istimi bazami in naravnimi eksponenti pri 0 1 – neenakost a m 1 >a m 2 . Te neenakosti glede na lastnosti korenin lahko prepišemo kot in . In definicija stopnje z racionalnim eksponentom nam omogoča, da preidemo na neenakosti oz. Iz tega sklepamo končni zaključek: za p>q in 0 0 – neenakost a p >a q .

Lastnosti stopinj z iracionalnimi eksponenti

Iz tega, kako je opredeljena stopnja z iracionalnim eksponentom, je mogoče sklepati, da ima vse lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti. Torej za poljubne a>0, b>0 in iracionalna števila p in q velja naslednje lastnosti stopinj s iracionalni kazalniki :

  1. a p a q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. za poljubna pozitivna števila a in b , a 0 neenakost a p b p ;
  7. za iracionalna števila p in q , p>q pri 0 0 – neenakost a p >a q .

Iz tega lahko sklepamo, da imajo moči s poljubnimi realnimi eksponenti p in q za a>0 enake lastnosti.

Bibliografija.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Učbenik matematike Zh za 5 celic. izobraževalne ustanove.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 7 celic. izobraževalne ustanove.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8 celic. izobraževalne ustanove.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 9 celic. izobraževalne ustanove.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razred splošnoizobraževalnih zavodov.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

MBOU "Sidorskaya

srednja šola»

Razvoj načrta-orisa odprta lekcija

pri algebri v 11. razredu na temo:

Pripravljen in izveden

učitelj matematike

Iskhakova E.F.

Oris odprte lekcije algebre v 11. razredu.

Zadeva : "Stopnja z racionalnim eksponentom".

Vrsta lekcije : Učenje nove snovi

Cilji lekcije:

    Študente seznaniti s pojmom stopnje z racionalnim kazalnikom in njenimi glavnimi lastnostmi na podlagi predhodno preučenega gradiva (diploma s celim indikatorjem).

    Razviti računalniške sposobnosti in sposobnost pretvorbe in primerjave števil z racionalnim eksponentom.

    Vzgojiti matematično pismenost in zanimanje za matematiko pri učencih.

oprema : Karte z nalogami, predstavitev študenta o stopnji s celim kazalnikom, predstavitev učitelja o stopnji z racionalnim indikatorjem, prenosni računalnik, multimedijski projektor, ekran.

Med poukom:

    Organiziranje časa.

Preverjanje asimilacije teme, ki jo pokrivajo posamezne naloge.

Naloga številka 1.

=2;

B) = x + 5;

Rešite sistem iracionalne enačbe: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Naloga številka 2.

Reši iracionalno enačbo: = - 3;

B) = x - 2;

Reši sistem iracionalnih enačb: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Predstavitev teme in ciljev pouka.

Tema naše današnje lekcije Stopnja z racionalnim eksponentom».

    Razlaga novega gradiva na primeru predhodno preučenega.

Pojem stopnje s celim eksponentom že poznate. Kdo mi jih lahko pomaga zapomniti?

Ponavljanje s predstavitvijo Stopnja s celim eksponentom».

Za poljubna števila a, b in vsa cela števila m in n veljajo enakosti:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Danes bomo posplošili pojem stopnje števila in dali pomen izrazom, ki imajo delni eksponent. Naj se predstavimo opredelitev stopnje z racionalnim indikatorjem (predstavitev "Stopnja z racionalnim indikatorjem"):

Stopnja a > 0 z racionalnim eksponentom r = , kje m je celo število in n - naravno ( n > 1), klical številko m .

Torej, po definiciji to dobimo = m .

Poskusimo uporabiti to definicijo pri izvajanju naloge.

PRIMER #1

Kot koren števila izrazim izraz:

AMPAK) B) AT) .

Zdaj pa poskusimo uporabiti to definicijo v obratni smeri

II Izraz izrazite kot potenco z racionalnim eksponentom:

AMPAK) 2 B) AT) 5 .

Moč 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.

0 r= 0 za katero koli r> 0.

Z uporabo te definicije, Hiše opravili boste #428 in #429.

Pokažimo zdaj, da zgornja definicija stopnje z racionalnim eksponentom ohranja osnovne lastnosti stopenj, ki veljajo za kateri koli eksponent.

Za katera koli racionalna števila r in s ter kateri koli pozitivni a in b veljajo enakosti:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRIMER: *

20 . a r: a s =a r-s;

PRIMER: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

PRIMER: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRIMER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRIMER uporabe več lastnosti hkrati: * : .

    Fizkultminutka.

Na mizo smo dali pisala, poravnali hrbta in zdaj segamo naprej, želimo se dotakniti plošče. In zdaj smo se dvignili in nagnili v desno, v levo, naprej, nazaj. Pokazali so mi peresa, zdaj pa mi pokažite, kako lahko vaši prsti plešejo.

    Delajte na materialu

Opažamo še dve lastnosti potenk z racionalnimi eksponenti:

60 . Naj bo r je racionalno število in 0< a < b . Тогда

a r < b r pri r> 0,

a r < b r pri r< 0.

7 0 . Za poljubna racionalna številar in s iz neenakosti r> s sledi temu

a r> a r za a > 1,

a r < а r ob 0< а < 1.

PRIMER: Primerjaj številke:

in ; 2 300 in 3 200 .

    Povzetek lekcije:

Danes v lekciji smo se spomnili lastnosti stopnje s celim eksponentom, spoznali definicijo in osnovne lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom, razmislili o uporabi tega teoretično gradivo v praksi med vadbo. Želim vas opozoriti na dejstvo, da je tema "Stopnja z racionalnim indikatorjem" obvezna USE naloge. V pripravi Domača naloga (št. 428 in št. 429

Video lekcija "Stopnja z racionalnim indikatorjem" vsebuje vizual izobraževalno gradivo poučevati na to temo. Video lekcija vsebuje informacije o konceptu stopnje z racionalnim eksponentom, lastnosti, takšne stopnje, pa tudi primere, ki opisujejo uporabo izobraževalnega gradiva za reševanje praktičnih problemov. Naloga te video lekcije je jasno in jasno predstaviti učno gradivo, olajšati njegov razvoj in pomnjenje učencem, oblikovati sposobnost reševanja problemov z uporabo naučenih konceptov.

Glavne prednosti video lekcije so zmožnost vizualnih transformacij in izračunov, zmožnost uporabe animacijskih učinkov za izboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovna spremljava pomaga razviti pravilen matematični govor, omogoča pa tudi nadomestitev učiteljeve razlage in ga osvobodi za individualno delo.

Video vadnica se začne z uvedbo teme. Povezovalna študija nova tema pri predhodno preučenem gradivu se predlaga, da se spomnimo, da je n √ a sicer označen z 1/n za naravni n in pozitivno a. Ta predstavitev korena n je prikazana na zaslonu. Nadalje se predlaga, da razmislimo, kaj pomeni izraz a m / n, v katerem je a pozitivno število, m / n pa ulomek. Definicija stopnje, označene v polju, je podana z racionalnim eksponentom kot a m/n = n √ a m . Opozoriti je treba, da je n lahko naravno število, m pa celo število.

Po določitvi stopnje z racionalnim eksponentom njen pomen razkrijejo primeri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Prikazan je tudi primer, v katerem se stopnja, predstavljena z decimalko, pretvori v navadni ulomek, ki se predstavi kot koren: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 in primer iz negativna vrednost stopinje: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Ločeno je značilnost določenega primera označena, ko je osnova stopnje nič. Opozoriti je treba, da je ta stopnja smiselna le s pozitivnim ulomnim eksponentom. V tem primeru je njegova vrednost enaka nič: 0 m/n =0.

Opažena je še ena značilnost stopnje z racionalnim eksponentom - da stopnje z ulomnim eksponentom ni mogoče obravnavati z ulomnim eksponentom. Navedeni so primeri napačnega zapisa stopnje: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Nadalje v video lekciji so obravnavane lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom. Opozoriti je treba, da bodo lastnosti stopnje s celim eksponentom veljavne tudi za stopnjo z racionalnim eksponentom. Predlaga se, da se spomni seznama lastnosti, ki veljajo tudi v tem primeru:

  1. Pri množenju moči z enakimi osnovami se njihovi kazalniki seštejejo: a p a q \u003d a p + q.
  2. Delitev stopenj z enakimi osnovami se zmanjša na stopnjo z dano bazo in razliko v eksponentih: a p:a q =a p-q .
  3. Če moč dvignemo na določeno potenco, potem kot rezultat dobimo moč z dano bazo in produktom eksponentov: (a p) q =a pq .

Vse te lastnosti veljajo za stopnje z racionalnimi eksponenti p, q in pozitivno bazo a>0. Tudi transformacije stopinj ostanejo resnične pri odpiranju oklepajev:

  1. (ab) p =a p b p - dvig produkta dveh števil na določeno potenco z racionalnim eksponentom se reducira na zmnožek števil, od katerih se vsako dvigne na dano potenco.
  2. (a/b) p =a p /b p - stopnjevanje z racionalnim eksponentom ulomka se zmanjša na ulomek, katerega števec in imenovalec se dvigneta na dano potenco.

Video vadnica obravnava rešitev primerov, ki uporabljajo obravnavane lastnosti stopinj z racionalnim eksponentom. V prvem primeru je predlagano, da poiščemo vrednost izraza, ki vsebuje spremenljivke x na ulomno moč: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Kljub zapletenosti izraza se z uporabo lastnosti stopinj rešuje precej preprosto. Rešitev naloge se začne s poenostavitvijo izraza, ki uporablja pravilo dviganja stopnje z racionalnim eksponentom na stepen, kot tudi množenje stopinj z ista osnova. Po zamenjavi dane vrednosti x=8 v poenostavljen izraz x 1/3 +48, ​​je enostavno dobiti vrednost - 50.

V drugem primeru je potrebno zmanjšati ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta stopnje z racionalnim eksponentom. S pomočjo lastnosti stopnje iz razlike izberemo faktor x 1/3, ki ga nato zmanjšamo v števcu in imenovalcu, s formulo razlike kvadratov pa števec razstavimo na faktorje, kar daje več redukcij enaki faktorji v števcu in imenovalcu. Rezultat takšnih transformacij je kratek ulomek x 1/4 +3.

Namesto učiteljeve razlage nove teme lekcije lahko uporabite video lekcijo "Stopnja z racionalnim indikatorjem". Ta priročnik vsebuje tudi dovolj informacij za samoučenještudent. Gradivo je lahko uporabno pri učenju na daljavo.

Priporočamo tudi

Nalaganje...Nalaganje...