Oh-oh-oh-oh-oh ... no, droben je, kot da bi si prebral stavek =) Bo pa potem sprostitev pomagala, sploh ker sem danes kupila primerne dodatke. Zato nadaljujmo s prvim razdelkom, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.

Medsebojna razporeditev dveh ravnih črt

Primer, ko dvorana poje v zboru. Dve vrstici lahko:

1) tekmo;

2) biti vzporedni: ;

3) ali sekajo v eni točki: .

Pomoč za lutke : prosim zapomnite si matematični znak križišča, pojavlja se zelo pogosto. Vnos pomeni, da se premica seka s črto v točki.

Kako določiti relativni položaj dveh črt?

Začnimo s prvim primerom:

Dve vrstici sovpadata, če in samo če sta njuna koeficienta sorazmerna, torej obstaja tako število "lambda", da so enakosti

Oglejmo si ravne črte in iz ustreznih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.

Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe pomnožimo z -1 (spremenimo predznake) in vse koeficiente enačbe zmanjšamo za 2, dobimo enako enačbo: .

Drugi primer, ko sta premici vzporedni:

Dve premici sta vzporedni, če in samo če so njuni koeficienti pri spremenljivkah sorazmerni: , ampak.

Kot primer upoštevajte dve ravni črti. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke:

Vendar pa je jasno, da.

In tretji primer, ko se vrstice sekata:

Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, torej NI takšne vrednosti "lambda", da bi bile enakosti izpolnjene

Torej, za ravne črte bomo sestavili sistem:

Iz prve enačbe sledi, da , in iz druge enačbe: , torej, sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti pri spremenljivkah niso sorazmerni.

Zaključek: črte se sekajo

Pri praktičnih problemih se lahko uporabi pravkar obravnavana shema rešitev. Mimogrede, zelo je podoben algoritmu za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo ga obravnavali v lekciji. Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Vektorska osnova. Vendar obstaja bolj civiliziran paket:

Primer 1

Ugotovite relativni položaj vrstic:

Odločitev temelji na študiji usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

a) Iz enačb najdemo vektorje smeri premic: .

, tako da vektorji niso kolinearni in se premici sekata.

Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen s kazalci:

Ostali skočijo čez kamen in sledijo, naravnost do Kaščeja Brezsmrtnega =)

b) Poiščite vektorje smeri premic:

Premici imata enak vektor smeri, kar pomeni, da sta bodisi vzporedni bodisi enaki. Tu determinanta ni potrebna.

Očitno so koeficienti neznank sorazmerni, medtem ko .

Ugotovimo, ali je enakost resnična:

tako,

c) Poiščite vektorje smeri premic:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev:
, zato so vektorji smeri kolinearni. Črte so bodisi vzporedne bodisi sovpadajo.

Faktor sorazmernosti "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja kolinearnih vektorjev smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: .

Zdaj pa ugotovimo, ali je enakost resnična. Oba prosta izraza sta nič, torej:

Dobljena vrednost zadovolji to enačbo(na splošno ustreza kateri koli številki).

Tako črte sovpadajo.

Odgovori:

Zelo kmalu se boste naučili (ali pa ste se že naučili) rešiti obravnavani problem ustno dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudili nekaj za samostojno rešitev, bolje je položiti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:

Kako narisati črto, vzporedno z dano?

Zaradi nepoznavanja te najpreprostejše naloge Slavec Razbojnik strogo kaznuje.

Primer 2

Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za vzporednico, ki poteka skozi točko.

Odločitev: Neznano vrstico označi s črko . Kaj pogoj pove o tem? Premica poteka skozi točko. In če sta premici vzporedni, potem je očitno, da je usmerjevalni vektor premice "ce" primeren tudi za konstruiranje črte "de".

Vektor smeri vzamemo iz enačbe:

Odgovori:

Geometrija primera je videti preprosta:

Analitično preverjanje je sestavljeno iz naslednjih korakov:

1) Preverimo, da imata premici enak vektor smeri (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bodo vektorji kolinearni).

2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi.

Analitično preverjanje je v večini primerov enostavno opraviti ustno. Poglejte si dve enačbi in mnogi od vas bodo hitro ugotovili, kako sta premici vzporedni brez kakršne koli risbe.

Primeri za samoreševanje bodo danes ustvarjalni. Ker še vedno moraš tekmovati z Babo Yago, ona pa je, veš, ljubiteljica vseh vrst ugank.

Primer 3

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, vzporedno s premico, če

Obstaja racionalen in ne preveč racionalen način reševanja. Najkrajša pot je na koncu lekcije.

Malo smo delali z vzporednimi črtami in se jim bomo vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt je malo zanimiv, zato razmislite o problemu, ki vam je dobro znan šolski kurikulum:

Kako najti točko presečišča dveh premic?

Če naravnost sekajo v točki , potem so njene koordinate rešitev sistemi linearnih enačb

Kako najti točko presečišča črt? Rešite sistem.

Za vas geometrijski pomen dve linearne enačbe z dvema neznankama sta dve sekajoči se (najpogosteje) ravni črti na ravnini.

Primer 4

Poiščite točko presečišča premic

Odločitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.

Grafični način je preprosto narisati dane črte in ugotoviti točko presečišča neposredno iz risbe:

Tukaj je naša točka: . Če želite preveriti, morate v vsako enačbo ravne črte nadomestiti njene koordinate, prilegajo se tako tam kot tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. Pravzaprav smo upoštevali grafični način reševanja sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.

Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazne pomanjkljivosti. Ne, ni bistvo v tem, da se tako odločajo sedmošolci, ampak v tem, da je pravilno in TOČNA risbačas bo minil. Poleg tega nekaterih črt ni tako enostavno zgraditi, sama presečišča pa je lahko nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.

Zato je bolj smiselno iskati presečišče analitična metoda. Rešimo sistem:

Za reševanje sistema je bila uporabljena metoda terminskega seštevanja enačb. Če želite razviti ustrezne veščine, obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?

Odgovori:

Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo izpolnjevati vsako enačbo sistema.

Primer 5

Poiščite točko presečišča premic, če se sekata.

To je primer "naredi sam". Priročno je težavo razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Napiši enačbo ravne črte.
2) Napiši enačbo ravne črte.
3) Ugotovite relativni položaj vrstic.
4) Če se premici sekata, poiščite točko presečišča.

Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.

Celotna rešitev in odgovor na koncu vadnice:

Par čevljev še ni bil obrabljen, saj smo prišli do drugega dela lekcije:

Navpične črte. Razdalja od točke do premice.
Kot med črtami

Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili, kako zgraditi ravno črto, vzporedno z dano, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:

Kako narisati črto pravokotno na dano?

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za pravokotno premico, ki poteka skozi točko.

Odločitev: Znano je po predpostavki . Lepo bi bilo najti vektor smeri premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:

Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.

Sestavimo enačbo premice s točko in usmerjevalnim vektorjem:

Odgovori:

Razgrnimo geometrijsko skico:

Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.

Analitično preverjanje rešitve:

1) Iz enačb izločite vektorje smeri in s pomočjo pik produkt vektorjev sklepamo, da sta premici res pravokotni: .

Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.

2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi .

Preverjanje je spet enostavno izvesti ustno.

Primer 7

Poiščite presečišče pravokotnih premic, če je enačba znana in pika.

To je primer "naredi sam". V nalogi je več dejanj, zato je rešitev primerno razporediti po točkah.

Je naš zabavno potovanje nadaljuje:

Razdalja od točke do črte

Pred nami je ravni pas reke in naša naloga je, da jo dosežemo po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo gibanje vzdolž pravokotnika. To pomeni, da je razdalja od točke do premice dolžina pravokotnega segmenta.

Razdalja v geometriji je tradicionalno označena grško pismo"ro", na primer: - razdalja od točke "em" do premice "de".

Razdalja od točke do črte je izražena s formulo

Primer 8

Poiščite razdaljo od točke do premice

Odločitev: vse kar potrebujete je, da natančno vstavite številke v formulo in naredite izračune:

Odgovori:

Izvajajmo risbo:

Razdalja, ki jo najdemo od točke do črte, je natančno enaka dolžini rdečega segmenta. Če naredite risbo na karirasti papir v merilu 1 enote. \u003d 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.

Razmislite o drugi nalogi po isti risbi:

Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na premico . Predlagam, da dejanja izvedete sami, vendar bom opisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:

1) Poiščite premico, ki je pravokotna na premico.

2) Poiščite točko presečišča premic: .

Obe akciji sta podrobno obravnavani v tej lekciji.

3) Točka je sredina segmenta. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor formule za koordinate sredine segmenta najti .

Ne bo odveč preveriti, ali je razdalja enaka tudi 2,2 enote.

Pri izračunih se lahko pojavijo težave, vendar v stolpu veliko pomaga mikrokalkulator, ki vam omogoča štetje navadni ulomki. Velikokrat sem svetoval in še enkrat priporočam.

Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?

Primer 9

Poiščite razdaljo med dvema vzporednima črtama

To je še en primer za samostojno rešitev. Majhen namig: načinov za rešitev je neskončno veliko. Povzetek na koncu lekcije, a bolje, da poskusite sami uganiti, mislim, da vam je uspelo dobro razpršiti svojo iznajdljivost.

Kot med dvema črtama

Ne glede na kot, potem podboj:


V geometriji se kot med dvema ravnima vzame kot MANJŠI kot, iz katerega samodejno sledi, da ne more biti tup. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočimi se črtami. In njen “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeniškrlatni kotiček.

Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.

Kako se koti razlikujejo? Usmerjenost. Prvič, smer "pomikanja" vogala je bistveno pomembna. Drugič, negativno usmerjen kot je napisan z znakom minus, na primer, če .

Zakaj sem to rekel? Zdi se, da se lahko znebite običajnega koncepta kota. Dejstvo je, da v formulah, po katerih bomo našli kote, zlahka dobimo negativen rezultat in to vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi za negativni kot je nujno s puščico označiti njegovo usmerjenost (v smeri urinega kazalca).

Kako najti kot med dvema črtama? Obstajata dve delovni formuli:

Primer 10

Poiščite kot med črtami

Odločitev in Prva metoda

Razmislite o dveh ravnih črtah, podani z enačbami v splošni obliki:

Če naravnost ne pravokotno, potem usmerjeno kot med njima je mogoče izračunati s formulo:

Bodimo zelo pozorni na imenovalec – točno to je skalarni produkt vektorji smeri ravnih črt:

Če , potem imenovalec formule izgine, vektorji pa bodo pravokotni in vrstice pravokotne. Zato je bil narejen pridržek glede nepravokotnosti črt v formulaciji.

Na podlagi zgoraj navedenega je rešitev priročno formalizirana v dveh korakih:

1) Izračunajte skalarni produkt usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
tako da črte niso pravokotne.

2) Kot med črtami najdemo po formuli:

Preko inverzna funkcija enostavno najti sam vogal. V tem primeru uporabimo liho tangenta loka (glej sl. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):

Odgovori:

V odgovoru navedite točna vrednost, kot tudi približno vrednost (po možnosti v stopinjah in radianih), izračunano s kalkulatorjem.

No, minus, tako minus, v redu je. Tukaj je geometrijska ilustracija:

Ni presenetljivo, da se je kot izkazal za negativno usmerjenost, saj je v pogoju problema prva številka ravna črta in "zavijanje" kota se je začelo prav iz nje.

Če res želite dobiti pozitiven kot, morate zamenjati ravne črte, torej vzeti koeficiente iz druge enačbe in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim .

Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice od točke do premice. V deskriptivni geometriji je določena grafično po spodnjem algoritmu.

algoritem

1. Premica se prenese v položaj, v katerem bo vzporedna s katero koli projekcijsko ravnino. Če želite to narediti, uporabite metode preoblikovanja ortogonalnih projekcij.
2. Iz točke na premico narišite pravokotnik. Ta konstrukcija temelji na izreku o projekciji pravega kota.
3. Dolžino pravokotnice določimo s pretvorbo njenih projekcij ali z uporabo metode pravokotnega trikotnika.

Naslednja slika prikazuje kompleksna risba točka M in premica b podani s segmentom CD. Najti morate razdaljo med njimi.

Po našem algoritmu je prva stvar, ki jo naredimo, premakniti črto v položaj, vzporeden s projekcijsko ravnino. Pomembno je razumeti, da se po transformacijah dejanska razdalja med točko in črto ne sme spremeniti. Zato je tukaj priročno uporabiti metodo zamenjave ravnine, ki ne vključuje premikanja figur v prostoru.

Spodaj so prikazani rezultati prve faze gradnje. Slika prikazuje, kako se vzporedno z b uvede dodatna čelna ravnina P 4. AT nov sistem(P 1 , P 4) točke C"" 1, D"" 1, M"" 1 so na enaki razdalji od osi X 1 kot C"", D"", M"" od osi X.

Pri izvedbi drugega dela algoritma iz M"" 1 spustimo navpičnico M"" 1 N"" 1 na premico b"" 1, saj je pravi kot MND med b in MN projiciran na ravnino P 4 v polna velikost. Določimo položaj točke N" vzdolž komunikacijske črte in narišemo projekcijo M"N" odseka MN.

Na končna faza treba je določiti vrednost segmenta MN po njegovih projekcijah M"N" in M"" 1 N"" 1 . Za to gradimo pravokotni trikotnik M"" 1 N"" 1 N 0 , katerega krak N"" 1 N 0 je enak razliki (Y M 1 – Y N 1) odstranitve točk M" in N" z osi X 1. Dolžina hipotenuze M"" 1 N 0 trikotnika M"" 1 N"" 1 N 0 ustreza želeni razdalji od M do b.

Drugi način reševanja

• Vzporedno s CD uvedemo novo čelno ravnino П 4 . Seka P 1 vzdolž osi X 1 in X 1 ∥C"D". V skladu z načinom zamenjave ravnin določimo projekcije točk C "" 1, D"" 1 in M"" 1, kot je prikazano na sliki.
• Pravokotno na C "" 1 D "" 1 zgradimo dodatno vodoravno ravnino P 5, na katero je ravna črta b projicirana na točko C" 2 \u003d b" 2.
• Razdalja med točko M in premico b je določena z dolžino odseka M "2 C" 2, označenega z rdečo.

Povezane naloge:

Ta članek govori o tej temi « razdalja od točke do črte », opredelitve razdalje od točke do premice obravnavamo z ilustriranimi primeri po metodi koordinat. Vsak blok teorije na koncu prikazuje primere reševanja podobnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razdaljo od točke do premice najdemo tako, da določimo razdaljo od točke do točke. Razmislimo podrobneje.

Naj obstajata premica a in točka M 1, ki ne pripadata dani premici. Skozi njo narišite črto, ki je pravokotna na črto a. Vzemite točko presečišča premic kot H 1. Dobimo, da je M 1 H 1 pravokotnica, ki je bila spuščena iz točke M 1 na premico a.

Opredelitev 1

Razdalja od točke M 1 do premice a imenujemo razdalja med točkama M 1 in H 1 .

Obstajajo zapisi definicije s številko dolžine navpičnice.

2. opredelitev

Razdalja od točke do črte je dolžina navpičnice, potegnjene iz dane točke na dano premico.

Definicije so enakovredne. Upoštevajte spodnjo sliko.

Znano je, da je razdalja od točke do premice najmanjša od vseh možnih. Poglejmo si to s primerom.

Če vzamemo točko Q, ki leži na premici a in ne sovpada s točko M 1, potem dobimo, da se segment M 1 Q imenuje poševno, spuščeno od M 1 na premico a. Treba je navesti, da je navpičnica iz točke M 1 manjša od katere koli druge poševne, vlečene od točke do premice.

Če želite to dokazati, upoštevajte trikotnik M 1 Q 1 H 1 , kjer je M 1 Q 1 hipotenuza. Znano je, da je njegova dolžina vedno večja od dolžine katere koli noge. Torej imamo M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Začetni podatki za iskanje od točke do ravne črte omogočajo uporabo več metod reševanja: prek Pitagorejskega izreka, definicij sinusa, kosinusa, tangenta kota in drugih. Večina tovrstnih nalog se rešuje v šoli pri pouku geometrije.

Kadar je pri iskanju razdalje od točke do premice mogoče vnesti pravokotni koordinatni sistem, se uporabi koordinatna metoda. V tem odstavku obravnavamo dve glavni metodi za iskanje želene razdalje od dane točke.

Prva metoda vključuje iskanje razdalje kot navpičnice, potegnjene iz M 1 na premico a. Druga metoda uporablja normalno enačbo premice a za iskanje zahtevane razdalje.

Če je na ravnini točka s koordinatami M 1 (x 1, y 1), ki se nahaja v pravokotnem koordinatnem sistemu, ravna črta a, in morate najti razdaljo M 1 H 1, lahko izračunate na dva načina. Upoštevajmo jih.

Prvi način

Če so koordinate točke H 1 enake x 2, y 2, se razdalja od točke do črte izračuna iz koordinat po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Zdaj pa pojdimo na iskanje koordinat točke H 1.

Znano je, da ravna črta v O x y ustreza enačbi premice v ravnini. Oglejmo si način, da definiramo premico a tako, da napišemo splošno enačbo premice ali enačbe z naklonom. Sestavimo enačbo premice, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na dano premico a. Označimo črto z bukev b . H 1 je presečišče premic a in b, zato morate za določitev koordinat uporabiti artikel, v katerem pod vprašajem na koordinatah presečišč dveh premic.

Vidimo, da se algoritem za iskanje razdalje od dane točke M 1 (x 1, y 1) do premice a izvede glede na točke:

Opredelitev 3

• iskanje splošne enačbe premice a , ki ima obliko A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ali enačbo s koeficientom naklona, ​​ki ima obliko y = k 1 x + b 1;
• pridobitev splošne enačbe premice b, ki ima obliko A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ali enačbo z naklonom y = k 2 x + b 2, če premica b seka točko M 1 in je pravokotna na dano premico a;
• določimo koordinate x 2, y 2 točke H 1, ki je presečišče a in b, za to je rešen sistem linearnih enačb A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ali y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračun zahtevane razdalje od točke do premice po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Izrek lahko pomaga odgovoriti na vprašanje iskanja razdalje od dane točke do dane premice na ravnini.

Izrek

Pravokotni koordinatni sistem ima O x y točko M 1 (x 1, y 1), iz katere je na ravnino potegnjena premica a, podana z normalno enačbo ravnine, ki ima obliko cos α x + cos β y - p \u003d 0, enako modulu vrednosti, dobljene na levi strani enačbe normalne premice, izračunane pri x = x 1, y = y 1, pomeni, da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Premica a ustreza normalni enačbi ravnine, ki ima obliko cos α x + cos β y - p = 0, potem n → = (cos α , cos β) velja za normalni vektor premice a pri a razdalja od izhodišča do premice a s p enotami . Na sliki je treba prikazati vse podatke, dodati točko s koordinatami M 1 (x 1, y 1) , kjer je vektor polmera točke M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Od točke do premice je treba narisati ravno črto, ki jo bomo označili z M 1 H 1 . Treba je prikazati projekciji M 2 in H 2 točk M 1 in H 2 na premico, ki poteka skozi točko O z usmerjevalnim vektorjem oblike n → = (cos α , cos β) , in označimo numerična projekcija vektorja kot O M 1 → = (x 1 , y 1) v smer n → = (cos α , cos β) kot n p n → O M 1 → .

Različice so odvisne od lokacije same točke M 1. Upoštevajte spodnjo sliko.

Rezultate popravimo s formulo M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Nato privedemo enakost v to obliko M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, da dobimo n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Rezultat skalarnega produkta vektorjev je transformirana formula v obliki n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , ki je produkt v koordinatni obliki oblika n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Tako dobimo, da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz tega sledi, da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Izrek je dokazan.

Dobimo, da je treba za iskanje razdalje od točke M 1 (x 1, y 1) do premice a na ravnini izvesti več dejanj:

Opredelitev 4

• pridobitev normalne enačbe premice a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod pogojem, da ni v nalogi;
• izračun izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kjer dobljena vrednost prevzame M 1 H 1 .

Uporabimo te metode za reševanje problemov z iskanjem razdalje od točke do ravnine.

Primer 1

Poiščite razdaljo od točke s koordinatami M 1 (- 1 , 2) do premice 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Odločitev

Za rešitev uporabimo prvo metodo.

Če želite to narediti, morate najti splošno enačbo premice b, ki poteka skozi dano točko M 1 (- 1 , 2) pravokotno na premico 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iz pogoja je razvidno, da je premica b pravokotna na premico a, potem ima njen vektor smeri koordinate enake (4, - 3) . Tako imamo možnost zapisati kanonično enačbo premice b na ravnini, saj obstajajo koordinate točke M 1, pripada premici b. Določimo koordinate usmerjevalnega vektorja premice b . Dobimo, da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Nastalo kanonično enačbo je treba pretvoriti v splošno. Potem dobimo to

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Poiščimo koordinate presečišč premic, ki jih bomo vzeli kot oznako H 1. Preobrazbe izgledajo takole:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz zgornjega izhaja, da so koordinate točke H 1 (- 5; 5) .

Treba je izračunati razdaljo od točke M 1 do premice a. Imamo koordinate točk M 1 (- 1, 2) in H 1 (- 5, 5), nato pa v formulo za iskanje razdalje nadomestimo in dobimo, da

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 \u003d 5

Druga rešitev.

Za drugačno rešitev je potrebno dobiti normalno enačbo premice. Izračunamo vrednost normalizacijskega faktorja in pomnožimo obe strani enačbe 4 x - 3 y + 35 = 0 . Od tu dobimo, da je normalizacijski faktor - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , normalna enačba pa bo v obliki - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

V skladu z algoritmom za izračun je treba dobiti normalno enačbo premice in jo izračunati z vrednostmi x = - 1 , y = 2 . Potem dobimo to

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Od tu dobimo, da ima razdalja od točke M 1 (- 1 , 2) do dane premice 4 x - 3 y + 35 = 0 vrednost - 5 = 5 .

odgovor: 5 .

Vidimo, da je pri tej metodi pomembna uporaba normalne enačbe premice, saj je ta metoda najkrajša. Toda prva metoda je priročna, ker je dosledna in logična, čeprav ima več računskih točk.

Primer 2

Na ravnini je pravokotni koordinatni sistem O x y s točko M 1 (8, 0) in premico y = 1 2 x + 1. Poiščite razdaljo od določene točke do premice.

Odločitev

Rešitev na prvi način pomeni zmanjšanje dano enačbo z naklonom k ​​enačbi splošni pogled. Za poenostavitev lahko to storite drugače.

Če ima produkt pobočij pravokotnih črt vrednost - 1, potem naklon premica, pravokotna na dano y = 1 2 x + 1, ima vrednost 2 . Zdaj dobimo enačbo premice, ki poteka skozi točko s koordinatami M 1 (8, 0) . Imamo, da je y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nadaljujemo z iskanjem koordinat točke H 1, to je presečišč y = 2 x + 16 in y = 1 2 x + 1. Sestavimo sistem enačb in dobimo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz tega sledi, da je razdalja od točke s koordinatami M 1 (8 , 0) do premice y = 1 2 x + 1 enaka razdalji od začetne in končne točke s koordinatama M 1 (8 , 0) in H 1 (6, 4) . Izračunajmo in dobimo, da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rešitev na drugi način je prehod iz enačbe s koeficientom v njeno normalno obliko. To pomeni, da dobimo y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, potem bo vrednost normalizacijskega faktorja - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Iz tega sledi, da ima normalna enačba ravne črte obliko - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Izračunajmo od točke M 1 8, 0 do ravne črte oblike - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dobimo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 \u003d 2 5

odgovor: 2 5 .

Primer 3

Treba je izračunati razdaljo od točke s koordinatami M 1 (- 2 , 4) do ravnih črt 2 x - 3 = 0 in y + 1 = 0 .

Odločitev

Dobimo enačbo normalne oblike premice 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Nato nadaljujemo z izračunom razdalje od točke M 1 - 2, 4 do premice x - 3 2 = 0. Dobimo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Enačba ravne črte y + 1 = 0 ima normalizacijski faktor z vrednostjo -1. To pomeni, da bo enačba dobila obliko - y - 1 = 0 . Nadaljujemo z izračunom razdalje od točke M 1 (- 2 , 4) do premice - y - 1 = 0 . Dobimo, da je enako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 in 5 .

Podrobno razmislimo o določitvi razdalje od dane točke ravnine do koordinatnih osi O x in O y.

V pravokotnem koordinatnem sistemu ima os O y enačbo ravne črte, ki je nepopolna in ima obliko x \u003d 0 in O x - y \u003d 0. Enačbe so normalne za koordinatne osi, potem je treba najti razdaljo od točke s koordinatami M 1 x 1 , y 1 do ravnih črt. To se naredi na podlagi formul M 1 H 1 = x 1 in M ​​1 H 1 = y 1 . Upoštevajte spodnjo sliko.

Primer 4

Poiščite razdaljo od točke M 1 (6, - 7) do koordinatnih črt, ki se nahajajo v ravnini O x y.

Odločitev

Ker se enačba y \u003d 0 nanaša na premico O x, lahko s formulo najdete razdaljo od M 1 z danimi koordinatami do te črte. Dobimo, da je 6 = 6.

Ker se enačba x \u003d 0 nanaša na premico O y, lahko s formulo najdete razdaljo od M 1 do te črte. Potem dobimo, da je -7 = 7.

odgovor: razdalja od M 1 do O x ima vrednost 6, od M 1 do O y pa 7.

Ko imamo v tridimenzionalnem prostoru točko s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1), je treba najti razdaljo od točke A do premice a.

Razmislite o dveh načinih, ki vam omogočata izračun razdalje od točke do ravne črte a, ki se nahaja v prostoru. Prvi primer obravnava razdaljo od točke M 1 do premice, kjer se točka na premici imenuje H 1 in je osnova navpičnice, potegnjene iz točke M 1 na premico a. Drugi primer kaže, da je treba točke te ravnine iskati kot višino paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo, da je razdalja od točke M 1, ki se nahaja na ravni črti a, dolžina pravokotnice M 1 H 1, nato dobimo to z najdenimi koordinatami točke H 1, nato pa najdemo razdaljo med M 1 (x 1, y 1, z 1 ) in H 1 (x 1, y 1, z 1) na podlagi formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dobimo, da gre celotna rešitev za iskanje koordinat osnove navpičnice, vlečene iz M 1 na premico a. To se naredi na naslednji način: H 1 je točka, kjer se premica a seka z ravnino, ki poteka skozi dano točko.

To pomeni, da algoritem za določanje razdalje od točke M 1 (x 1, y 1, z 1) do premice a prostora vključuje več točk:

Definicija 5

• sestavljanje enačbe ravnine χ kot enačbe ravnine, ki poteka skozi dano točko, pravokotno na premico;
• določitev koordinat (x 2 , y 2 , z 2), ki pripadajo točki H 1, ki je presečišče premice a in ravnine χ ;
• izračun razdalje od točke do premice po formuli M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi način

Iz pogoja imamo premico a, potem lahko določimo vektor smeri a → = a x, a y, a z s koordinatami x 3, y 3, z 3 in določeno točko M 3, ki pripada premici a. Glede na koordinate točk M 1 (x 1 , y 1) in M ​​3 x 3 lahko izračunamo y 3 , z 3 , M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vektorje a → = a x, a y, a z in M ​​3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 je treba odložiti iz točke M 3, povezati in dobiti paralelogram slika. M 1 H 1 je višina paralelograma.

Upoštevajte spodnjo sliko.

Imamo, da je višina M 1 H 1 želena razdalja, potem jo morate poiskati s formulo. To pomeni, da iščemo M 1 H 1 .

Območje paralelograma označimo s črko S , najdemo ga s formulo z vektorjem a → = (a x , a y , a z) in M ​​3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula površine ima obliko S = a → × M 3 M 1 → . Tudi površina figure je enaka zmnožku dolžin njenih stranic in višine, dobimo, da je S \u003d a → M 1 H 1 z a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, kar je dolžina vektorja a → \u003d (a x, a y, a z), pri čemer je enaka stran paralelogram. Zato je M 1 H 1 razdalja od točke do premice. Najdemo ga po formuli M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Če želite najti razdaljo od točke s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravne črte a v prostoru, morate izvesti več točk algoritma:

Opredelitev 6

• določitev vektorja smeri premice a - a → = (a x , a y , a z) ;
• izračun dolžine smernega vektorja a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• pridobivanje koordinat x 3 , y 3 , z 3 , ki pripadajo točki M 3 , ki se nahaja na premici a;
• izračun koordinat vektorja M 3 M 1 → ;
• iskanje navzkrižnega produkta vektorjev a → (a x, a y, a z) in M ​​3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 kot a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, da dobimo dolžino po formuli a → × M 3 M 1 → ;
• izračun razdalje od točke do premice M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Reševanje nalog pri iskanju razdalje od dane točke do dane premice v prostoru

Primer 5

Poiščite razdaljo od točke s koordinatami M 1 2 , - 4 , - 1 do premice x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Odločitev

Prva metoda se začne s pisanjem enačbe ravnine χ, ki poteka skozi M 1 in je pravokotna na dano točko. Dobimo izraz, kot je:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Treba je najti koordinate točke H 1, ki je presečišče ravnine χ z premico, ki jo poda pogoj. Iz kanonične oblike se je treba premakniti v presečno obliko. Nato dobimo sistem enačb v obliki:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Izračunati je treba sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 po Cramerjevi metodi, potem dobimo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Torej imamo, da je H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugo metodo je treba začeti z iskanjem koordinat v kanonični enačbi. Če želite to narediti, bodite pozorni na imenovalce ulomka. Potem je a → = 2 , - 1 , 5 vektor smeri premice x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Dolžino je treba izračunati po formuli a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je, da premica x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 seka točko M 3 (- 1 , 0 , - 5), zato imamo vektor z izhodiščem M 3 (- 1 , 0 , - 5) in njen konec v točki M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Poiščite vektorski produkt a → = (2, - 1, 5) in M ​​3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dobimo izraz v obliki a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dobimo, da je dolžina križnega produkta a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Imamo vse podatke za uporabo formule za izračun razdalje od točke za ravno črto, zato jo uporabimo in dobimo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Prva stopnja

Koordinate in vektorji. Celovit vodnik (2019)

V tem članku bomo z vami začeli razpravo o eni "čarobni palici", ki vam bo omogočila, da številne težave v geometriji zmanjšate na preprosto aritmetiko. Ta »palica« vam lahko precej olajša življenje, še posebej, če se počutite negotovi pri gradnji prostorskih figur, prerezov itd. Vse to zahteva določeno domišljijo in praktične spretnosti. Metoda, ki jo bomo začeli obravnavati tukaj, vam bo omogočila, da se skoraj popolnoma abstrahirate od vseh vrst geometrijskih konstrukcij in sklepanja. Metoda se imenuje "koordinatna metoda". V tem članku bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke in vektorji na ravnini
3. Sestavljanje vektorja iz dveh točk
4. Dolžina vektorja (razdalja med dvema točkama).
5. Koordinate sredine
6. Pik produkt vektorjev
7. Kot med dvema vektorjema

Mislim, da ste že uganili, zakaj se koordinatna metoda tako imenuje? Res je, da je dobil tako ime, saj ne deluje z geometrijskimi predmeti, temveč z njihovimi številčnimi značilnostmi (koordinatami). In sama transformacija, ki omogoča prehod iz geometrije v algebro, je sestavljena iz uvedbe koordinatnega sistema. Če je bila prvotna figura ravna, so koordinate dvodimenzionalne, če pa je figura tridimenzionalna, potem so koordinate tridimenzionalne. V tem članku bomo obravnavali samo dvodimenzionalni primer. In glavni namen članka je naučiti vas, kako uporabljati nekatere osnovne tehnike koordinatne metode (včasih se izkažejo za uporabne pri reševanju problemov v planimetriji v delu B enotnega državnega izpita). Naslednja dva razdelka na to temo sta posvečena razpravi o metodah reševanja problemov C2 (problem stereometrije).

Kje bi bilo logično začeti razpravo o koordinatni metodi? Verjetno s konceptom koordinatnega sistema. Spomni se, ko si jo prvič srečal. Zdi se mi, da ste v 7. razredu, ko ste izvedeli za obstoj linearne funkcije npr. Naj vas spomnim, da ste jo zgradili točko za točko. Ali se spomniš? Izbrali ste poljubno število, ga nadomestili v formulo in izračunali na ta način. Na primer, če, potem, če, potem itd. Kaj ste dobili kot rezultat? In prejeli ste točke s koordinatami: in. Nato ste narisali »križ« (koordinatni sistem), na njem izbrali merilo (koliko celic boste imeli v enem segmentu) in na njem označili točke, ki ste jih prejeli, ki ste jih nato povezali z ravno črto, nastalo črto je graf funkcije.

Nekaj ​​stvari vam je treba malo bolj podrobno razložiti:

1. Izbereš en sam segment zaradi udobja, tako da se vse lepo in kompaktno prilega sliki

2. Predpostavlja se, da gre os od leve proti desni, os pa od spodaj navzgor

3. Sekajo se pod pravim kotom, točka njunega presečišča pa se imenuje izhodišče. Označena je s črko.

4. V zapisu koordinate točke je na primer na levi v oklepaju koordinate točke vzdolž osi, na desni pa ob osi. Zlasti preprosto pomeni, da je točka

5. Če želite nastaviti katero koli točko na koordinatni osi, morate določiti njene koordinate (2 številki)

6. Za katero koli točko, ki leži na osi,

7. Za katero koli točko, ki leži na osi,

8. Os se imenuje os x

9. Os se imenuje os y

Zdaj pa z vami naredimo naslednji korak: označite dve točki. Ti dve točki povežite s črto. In postavimo puščico, kot da bi risali segment od točke do točke: to pomeni, da bomo naš segment usmerili!

Se spomnite, kakšno je drugo ime za usmerjeni segment? Tako je, temu se reče vektor!

Torej, če povežemo piko s piko, in začetek bo točka A, konec pa točka B, potem dobimo vektor. Tudi to konstrukcijo ste naredili v 8. razredu, se spomnite?

Izkazalo se je, da lahko vektorje, tako kot točke, označimo z dvema številkama: te številke imenujemo koordinate vektorja. Vprašanje: ali menite, da je dovolj, da poznamo koordinate začetka in konca vektorja, da najdemo njegove koordinate? Izkazalo se je, da ja! In to je zelo enostavno narediti:

Ker je v vektorju točka začetek in konec, ima vektor naslednje koordinate:

Na primer, če, potem koordinate vektorja

Zdaj pa naredimo nasprotno, poiščimo koordinate vektorja. Kaj moramo za to spremeniti? Da, zamenjati morate začetek in konec: zdaj bo začetek vektorja v točki, konec pa v točki. Nato:

Poglejte natančno, kakšna je razlika med vektorji in? Njihova edina razlika so znaki v koordinatah. Nasproti so. To dejstvo je zapisano takole:

Včasih, če ni posebej navedeno, katera točka je začetek vektorja in katera konec, potem vektorji niso označeni z dvema velikima črkama, ampak z eno malo črko, na primer: itd.

Zdaj pa malo praksa in poiščite koordinate naslednjih vektorjev:

izpit:

Zdaj rešite težavo nekoliko težje:

Vektorski torus z on-cha-scrap na točki ima co-or-di-on-you. Najdi-di-te abs-cis-su točke.

Vse isto je precej prozaično: Naj so koordinate točke. Potem

Sistem sem sestavil tako, da sem določil, katere so koordinate vektorja. Potem ima točka koordinate. Zanima nas abscisa. Potem

odgovor:

Kaj še lahko storite z vektorji? Da, skoraj vse je enako kot pri navadnih številih (razen tega, da ne morete deliti, lahko pa pomnožite na dva načina, od katerih bomo enega obravnavali tukaj malo kasneje)

1. Vektorje je mogoče zlagati med seboj
2. Vektorje lahko odštejemo drug od drugega
3. Vektorje je mogoče pomnožiti (ali deliti) s poljubnim številom, ki ni nič
4. Vektorje je mogoče množiti med seboj

Vse te operacije imajo precej vizualno geometrijsko predstavitev. Na primer, pravilo trikotnika (ali paralelograma) za seštevanje in odštevanje:

Vektor se raztegne ali skrči ali spremeni smer, ko ga pomnožimo ali delimo s številom:

Vendar nas bo tukaj zanimalo vprašanje, kaj se zgodi s koordinatami.

1. Pri seštevanju (odštevanju) dveh vektorjev seštevamo (odštevamo) njune koordinate element za elementom. jaz:

2. Pri množenju (deljenju) vektorja s številom se vse njegove koordinate pomnožijo (delijo) s tem številom:

Na primer:

· Najdi-di-vsoto ko-or-di-nat stoletja do-ra.

Najprej poiščimo koordinate vsakega od vektorjev. Oba imata isti izvor – izhodiščno točko. Njihovi konci so različni. Nato, . Zdaj izračunamo koordinate vektorja. Potem je vsota koordinat nastalega vektorja enaka.

odgovor:

Zdaj sami rešite naslednjo težavo:

· Poišči vsoto koordinat vektorja

Preverimo:

Poglejmo zdaj naslednji problem: imamo dve točki na koordinatni ravnini. Kako najti razdaljo med njima? Naj bo prva točka in druga. Označimo razdaljo med njima kot . Za jasnost naredimo naslednjo risbo:

Kaj sem naredil? Najprej sem se povezal točke in, a iz točke narisal tudi črto, vzporedno z osjo, in iz točke narisal črto, vzporedno z osjo. Ali sta se na neki točki križala in tvorila čudovito figuro? Zakaj je čudovita? Ja, ti in jaz vemo skoraj vse o pravokotnem trikotniku. No, Pitagorejev izrek, zagotovo. Željeni segment je hipotenuza tega trikotnika, segmenti pa kraki. Kakšne so koordinate točke? Da, na sliki jih je enostavno najti: Ker so segmenti vzporedni z osemi in je njihovo dolžino enostavno najti: če označujemo dolžine segmentov skozi, potem

Zdaj pa uporabimo Pitagorov izrek. Poznamo dolžine nog, našli bomo hipotenuzo:

Tako je razdalja med dvema točkama korenska vsota kvadratov razlik iz koordinat. Ali - razdalja med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Preprosto je videti, da razdalja med točkami ni odvisna od smeri. Nato:

Iz tega sklepamo tri zaključke:

Malo se vadimo pri izračunu razdalje med dvema točkama:

Na primer, če, potem je razdalja med in je

Ali pa pojdimo drugače: poiščite koordinate vektorja

In poiščite dolžino vektorja:

Kot vidite, je isto!

Zdaj malo vadite sami:

Naloga: poišči razdaljo med danimi točkami:

Preverimo:

Tukaj je še nekaj težav za isto formulo, čeprav zvenijo nekoliko drugače:

1. Najdi-di-te kvadrat dolžine veke-to-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dolžine veke do-ra

Predvidevam, da jih zlahka obvladaš? Preverimo:

1. In to je za pozornost) Koordinate vektorjev smo že našli: . Potem ima vektor koordinate. Kvadrat njegove dolžine bo:

2. Poiščite koordinate vektorja

Potem je kvadrat njegove dolžine

Nič zapletenega, kajne? Enostavna aritmetika, nič več.

Naslednjih nalog ni mogoče nedvoumno razvrstiti, prej so splošna erudicija in sposobnost risanja preprostih slik.

1. Poišči-di-tiste sinuse kota na-klo-na-od-reza, poveži-eno-n-to točko z abscisno osjo.

in

Kako bomo to naredili tukaj? Najti morate sinus kota med in osjo. In kje lahko iščemo sinus? Tako je, v pravokotnem trikotniku. Kaj moramo torej storiti? Zgradite ta trikotnik!

Ker so koordinate točke in, je odsek enak in segment. Najti moramo sinus kota. Naj vas spomnim, da je sinus torej razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo

Kaj nam preostane? Poiščite hipotenuzo. To lahko storite na dva načina: z uporabo Pitagorejskega izreka (noge so znane!) ali s formulo za razdaljo med dvema točkama (pravzaprav enako kot pri prvi metodi!). Grem po drugi poti:

odgovor:

Naslednja naloga se vam bo zdela še lažja. Ona - na koordinatah točke.

2. naloga. Od točke se per-pen-di-ku-lar spusti na os abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Naredimo risbo:

Osnova navpičnice je točka, v kateri seka os x (os) zame je to točka. Slika prikazuje, da ima koordinate: . Zanima nas abscisa - torej komponenta "X". Ona je enaka.

odgovor: .

3. naloga. Pod pogoji prejšnjega problema poiščite vsoto razdalj od točke do koordinatnih osi.

Naloga je praviloma elementarna, če veste, kolikšna je razdalja od točke do osi. Ti veš? Upam, a vas vseeno spomnim:

Torej, na svoji risbi, ki se nahaja nekoliko višje, sem že upodobil eno takšno pravokotno? Katera os je? na os. In kakšna je potem njegova dolžina? Ona je enaka. Zdaj sami narišite pravokotno na os in poiščite njeno dolžino. Bo enakovreden, kajne? Potem je njihova vsota enaka.

odgovor: .

4. naloga. V pogojih 2. problema poiščite ordinato točke, ki je simetrična točki okoli osi x.

Mislim, da intuitivno razumete, kaj je simetrija? Ima ga zelo veliko predmetov: številne zgradbe, mize, letala, številne geometrijske oblike: krogla, valj, kvadrat, romb itd. V grobem simetrijo lahko razumemo takole: figura je sestavljena iz dveh (ali več) enake polovice. Ta simetrija se imenuje aksialna. Kaj je potem os? Točno to je črta, vzdolž katere je mogoče lik, relativno rečeno, "razrezati" na enake polovice (na tej sliki je os simetrije ravna):

Zdaj pa se vrnimo k naši nalogi. Vemo, da iščemo točko, ki je simetrična glede na os. Potem je ta os simetrična os. Torej moramo označiti točko tako, da os razreže segment na dva enaka dela. Poskusite sami označiti takšno točko. Zdaj pa primerjaj z mojo rešitvijo:

Ste storili enako? no! Na najdeni točki nas zanima ordinata. Ona je enaka

odgovor:

Zdaj mi povej, potem ko sem za trenutek razmišljal, kakšna bo abscisa točke, simetrične s točko A glede na os y? Kakšen je vaš odgovor? Pravilen odgovor: .

Na splošno lahko pravilo zapišemo takole:

Točka, simetrična točki okoli osi x, ima koordinate:

Točka, simetrična točki okoli osi y, ima koordinate:

No, zdaj je pa res strašljivo. nalogo: Poiščite koordinate točke, ki je simetrična glede na izhodišče. Najprej pomislite sami, potem pa poglejte mojo risbo!

odgovor:

zdaj problem paralelograma:

5. naloga: Točke so ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi-dee-te ali-dee-on-tu točke.

To težavo lahko rešite na dva načina: logično in koordinatno metodo. Najprej bom uporabil koordinatno metodo, nato pa vam bom povedal, kako se lahko odločite drugače.

Povsem jasno je, da je abscisa točke enaka. (leži na pravokotnici, potegnjeni iz točke na os x). Najti moramo ordinato. Izkoristimo dejstvo, da je naša figura paralelogram, kar pomeni, da. Poiščite dolžino segmenta s formulo za razdaljo med dvema točkama:

Spustimo navpičnico, ki povezuje točko z osjo. Točka presečišča je označena s črko.

Dolžina segmenta je enaka. (poiščite težavo sami, kjer smo razpravljali o tem trenutku), potem bomo s Pitagorovim izrekom našli dolžino segmenta:

Dolžina segmenta je popolnoma enaka njegovi ordinati.

odgovor: .

Druga rešitev (prinesla bom samo sliko, ki jo ponazarja)

Napredek rešitve:

1. Porabite

2. Poiščite koordinate in dolžino točke

3. Dokaži to.

Še en problem dolžine reza:

Točke so-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Poiščite dolžino njegove srednje črte, par-ral-lel-noy.

Se spomnite, kakšna je srednja črta trikotnika? Potem je za vas ta naloga osnovna. Če se ne spomnite, vas bom spomnil: srednja črta trikotnika je črta, ki povezuje središča nasprotnih strani. Je vzporedna z osnovo in enaka njeni polovici.

Osnova je segment. Prej smo morali iskati njeno dolžino, enaka je. Potem je dolžina srednje črte pol krajša in enaka.

odgovor: .

Komentar: Ta problem je mogoče rešiti na drug način, ki ga bomo obravnavali malo kasneje.

Medtem pa je tukaj nekaj nalog za vas, vadite na njih, so precej preproste, a pomagajo, da si "napolnite roko" s koordinatno metodo!

1. Točke se pojavljajo-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Poiščite dolžino njegove srednje črte.

2. Točke in yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi-dee-te ali-dee-on-tu točke.

3. Poiščite dolžino iz reza, povežite drugo točko in

4. Poiščite-di-te območje za-rdeče-shen-noy fi-gu-ry na ravnini ko-or-di-nat-noy.

5. Krog s središčem na-cha-le ko-or-di-nat poteka skozi točko. Najdi-de-te njene ra-di-brke.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy v bližini pravega kota-no-ka, vrhovi-shi-ny nečesa-ro-go imajo so-or - di-na-ti so-od-odgovora-ampak

rešitve:

1. Znano je, da je srednja črta trapeza enaka polovici vsote njegovih osnov. Osnova je enaka, vendar osnova. Potem

odgovor:

2. Najlažji način za rešitev tega problema je, da opazite (pravilo paralelograma). Izračunaj koordinate vektorjev in ni težko: . Pri dodajanju vektorjev se dodajo koordinate. Potem ima koordinate. Točka ima enake koordinate, saj je začetek vektorja točka s koordinatami. Zanima nas ordinata. Ona je enaka.

odgovor:

3. Takoj ukrepamo po formuli za razdaljo med dvema točkama:

odgovor:

4. Poglej sliko in povej, med katerima dvema figurama je »stisnjeno« osenčeno območje? Je stisnjena med dvema kvadratoma. Potem je površina želene figure enaka površini velikega kvadrata minus površini majhnega. Stran majhnega kvadrata je segment, ki povezuje točke in njegova dolžina je

Potem je površina majhnega kvadrata

Enako naredimo z velikim kvadratom: njegova stranica je segment, ki povezuje točke, njegova dolžina pa je enaka

Potem je površina velikega kvadrata

Območje želene figure najdemo s formulo:

odgovor:

5. Če ima krog središče izvora in gre skozi točko, bo njegov polmer natančno enak dolžini segmenta (narišite risbo in razumeli boste, zakaj je to očitno). Poiščite dolžino tega segmenta:

odgovor:

6. Znano je, da je polmer kroga, opisanega okoli pravokotnika, enak polovici njegove diagonale. Poiščite dolžino katere koli od dveh diagonal (navsezadnje sta enaki v pravokotniku!)

odgovor:

No, ti je uspelo vse? Ni bilo tako težko ugotoviti, kajne? Tukaj obstaja samo eno pravilo - da lahko naredite vizualno sliko in preprosto "preberete" vse podatke iz nje.

Ostalo nam je zelo malo. Dobesedno sta še dve točki, o katerih bi rad razpravljal.

Poskusimo rešiti to preprosto težavo. Pustite dve točki in dajte. Poiščite koordinate sredine segmenta. Rešitev tega problema je naslednja: naj bo točka želena sredina, potem ima koordinate:

jaz: koordinate sredine odseka = aritmetična sredina ustreznih koordinat koncev segmenta.

To pravilo je zelo preprosto in študentom običajno ne povzroča težav. Poglejmo, v kakšnih težavah in kako se uporablja:

1. Poiščite-di-te ali-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Točke so yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Najdi-di-te ali-di-na-tu točke re-re-se-che-niya njegovega dia-go-on-lei.

3. Poiščite-di-te abs-cis-su središča kroga, opišite-san-noy blizu pravokotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go co-or-di- na-ti so-od-vet-stvenno-ampak.

rešitve:

1. Prva naloga je samo klasika. Takoj ukrepamo tako, da določimo sredino segmenta. Ima koordinate. Ordinata je enaka.

odgovor:

2. Zlahka je videti, da je dani štirikotnik paralelogram (celo romb!). To lahko dokažete sami, tako da izračunate dolžine stranic in jih primerjate med seboj. Kaj vem o paralelogramu? Njegove diagonale so prepolovljene s presečiščem! Aha! Kaj je torej točka presečišča diagonal? To je sredina katere koli diagonale! Izbral bom predvsem diagonalo. Potem ima točka koordinate. Ordinata točke je enaka.

odgovor:

3. Kakšno je središče kroga, opisanega okoli pravokotnika? Sovpada s točko presečišča njenih diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika? So enaki in presečišče je razdeljeno na polovico. Naloga je bila skrčena na prejšnjo. Vzemite na primer diagonalo. Potem, če je središče opisanega kroga, potem je sredina. Iščem koordinate: Abscisa je enaka.

odgovor:

Zdaj pa malo vadite sami, na vsako težavo bom dal le odgovore, da se lahko sami preverite.

1. Nai-di-te ra-di-us krog-no-sti, opiši-san-noy blizu trikotnika-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imajo ko-or-di -no gospodov

2. Poiščite-di-te ali-di-na-tu središče kroga, opišite san-noy blizu trikotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go koordinate

3. Kakšen ra-di-y-sa naj bo krog s središčem v točki, da se dotika osi abs-ciss?

4. Najdi-di-te ali-di-na-to točko ponovnega ponovnega se-če-inga osi in od-reza, poveži-nya-yu-th-to točko in

odgovori:

Se je vse izšlo? Resnično upam na to! Zdaj - zadnji pritisk. Zdaj bodite še posebej previdni. Gradivo, ki ga bom zdaj razložil, ni neposredno povezano samo z njim preproste naloge na koordinatno metodo iz dela B, vendar se pojavlja tudi povsod v problemu C2.

Katere od svojih obljub še nisem izpolnil? Se spomnite, katere operacije z vektorji sem obljubil uvesti in katere sem na koncu uvedel? Ali sem prepričan, da nisem ničesar pozabil? Pozabil! Pozabil sem razložiti, kaj pomeni množenje vektorjev.

Vektor lahko pomnožite z vektorjem na dva načina. Glede na izbrano metodo bomo dobili predmete drugačne narave:

Vektorski produkt je precej težaven. Kako to storiti in zakaj je to potrebno, bomo razpravljali z vami v naslednjem članku. In pri tem se bomo osredotočili na skalarni produkt.

Obstajata že dva načina, ki nam omogočata izračun:

Kot ste uganili, bi moral biti rezultat enak! Torej, poglejmo najprej prvi način:

Točkovni produkt prek koordinat

Poiščite: - skupno oznako pik produkt

Formula za izračun je naslednja:

Se pravi, pik produkt = vsota produktov koordinat vektorjev!

Primer:

Najdi-dee-te

Odločitev:

Poiščite koordinate vsakega od vektorjev:

Skalarni produkt izračunamo po formuli:

odgovor:

Vidite, popolnoma nič zapletenega!

No, zdaj pa poskusite sami:

Najdi-di-te skalarno-noe pro-od-ve-de-nie stoletja do jarka in

Vam je uspelo? Mogoče je opazil majhen trik? Preverimo:

Vektorske koordinate, kot v prejšnji nalogi! Odgovor: .

Poleg koordinate obstaja še en način za izračun skalarnega produkta, in sicer preko dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi:

Označuje kot med vektorjema in.

To pomeni, da je skalarni produkt enak produktu dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi.

Zakaj potrebujemo to drugo formulo, če imamo prvo, ki je veliko enostavnejša, vsaj kosinusov v njej ni. In potrebujemo ga, da lahko iz prve in druge formule razberemo, kako najti kot med vektorji!

Nato si zapomnite formulo za dolžino vektorja!

Potem, če te podatke vstavim v formulo pik, dobim:

Ampak po drugi strani:

Torej, kaj imamo? Zdaj imamo formulo za izračun kota med dvema vektorjema! Včasih je za kratkost napisano tudi takole:

To pomeni, da je algoritem za izračun kota med vektorji naslednji:

1. Skozi koordinate izračunamo skalarni produkt
2. Poiščite dolžine vektorjev in jih pomnožite
3. Rezultat točke 1 delite z rezultatom točke 2

Vadimo s primeri:

1. Poiščite kot med vekami-to-ra-mi in. Odgovor navedite v stopinjah.

2. Pod pogoji prejšnjega problema poiščite kosinus med vektorjema

Naredimo to: pomagal vam bom rešiti prvi problem, drugega pa poskusite rešiti sami! Strinjam se? Potem pa začnimo!

1. Ti vektorji so naši stari prijatelji. Njihov skalarni produkt smo že upoštevali in je bil enak. Njihove koordinate so: , . Nato najdemo njihove dolžine:

Nato iščemo kosinus med vektorjema:

Kolikšen je kosinus kota? To je vogal.

odgovor:

No, zdaj pa sami rešite drugo težavo in potem primerjajte! Podal bom samo zelo kratko rešitev:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Naj je kot med vektorji in, potem

odgovor:

Treba je opozoriti, da so naloge neposredno na vektorjih in metodi koordinat v delu B izpitno delo precej redko. Vendar pa je veliko večino problemov C2 mogoče enostavno rešiti z uvedbo koordinatnega sistema. Zato lahko ta članek obravnavate kot temelj, na podlagi katerega bomo naredili precej zapletene konstrukcije, ki jih moramo rešiti zahtevne naloge.

KOORDINATE IN VEKTORI. VMESNA STOPNJA

Ti in jaz nadaljujemo s preučevanjem metode koordinat. V zadnjem delu smo izpeljali številne pomembne formule, ki omogočajo:

1. Poiščite vektorske koordinate
2. Poiščite dolžino vektorja (druga možnost: razdalja med dvema točkama)
3. Dodajte, odštejte vektorje. Pomnožite jih z realnim številom
4. Poiščite sredino segmenta
5. Izračunajte pik produkt vektorjev
6. Poiščite kot med vektorji

Seveda celotna koordinatna metoda ne sodi v teh 6 točk. Podlaga tako znanost, kot je analitična geometrija, s katero se boste seznanili na univerzi. Želim samo zgraditi temelj, ki vam bo omogočil reševanje težav v eni državi. izpit. Naloge dela B smo ugotovili v Zdaj je čas, da preidemo na kakovost nova raven! Ta članek bo posvečen metodi za reševanje tistih problemov C2, pri katerih bi bilo smiselno preiti na koordinatno metodo. Ta razumnost je določena s tem, kaj je treba najti v problemu, in kakšna številka je navedena. Torej bi uporabil koordinatno metodo, če so vprašanja:

1. Poiščite kot med dvema ravninama
2. Poiščite kot med premico in ravnino
3. Poiščite kot med dvema črtama
4. Poiščite razdaljo od točke do ravnine
5. Poiščite razdaljo od točke do premice
6. Poiščite razdaljo od premice do ravnine
7. Poiščite razdaljo med dvema črtama

Če je figura, podana v pogoju problema, telo vrtenja (kroglica, valj, stožec ...)

Primerne številke za koordinatno metodo so:

1. kockasto
2. Piramida (trikotna, štirikotna, šesterokotna)

Tudi po mojih izkušnjah je neprimerno uporabljati koordinatno metodo za:

1. Iskanje območij odsekov
2. Izračuni prostornine teles

Vendar je treba takoj opozoriti, da so tri »neugodne« situacije za koordinatno metodo v praksi precej redke. Pri večini nalog lahko postane vaš rešitelj, še posebej, če niste zelo močni v tridimenzionalnih konstrukcijah (ki so včasih precej zapletene).

Katere so vse številke, ki sem jih navedel zgoraj? Niso več ravne, kot so kvadrat, trikotnik, krog, ampak obsežne! V skladu s tem moramo upoštevati ne dvodimenzionalni, ampak tridimenzionalni koordinatni sistem. Zgrajena je precej enostavno: poleg abscise in ordinat bomo uvedli še eno os, aplikativno os. Slika shematično prikazuje njihov relativni položaj:

Vsi so medsebojno pravokotni, sekajo se v eni točki, ki jo bomo imenovali izvor. Abscisna os bo, kot prej, označena, ordinatna os - , in uvedena aplikativna os - .

Če je bila prej vsako točko na ravnini označena z dvema številkama - abscisa in ordinata, potem je vsaka točka v prostoru že opisana s tremi številkami - abscisa, ordinata, aplikacija. Na primer:

V skladu s tem je abscisa točke enaka, ordinata je , in applicate je .

Včasih se abscisa točke imenuje tudi projekcija točke na abscisno os, ordinata je projekcija točke na ordinatno os, aplikacija pa je projekcija točke na apliktno os. V skladu s tem, če je podana točka, potem točka s koordinatami:

imenujemo projekcija točke na ravnino

imenujemo projekcija točke na ravnino

Postavlja se naravno vprašanje: ali so vse formule, izpeljane za dvodimenzionalni primer, veljavne v prostoru? Odgovor je pritrdilen, so pač in imajo enak videz. Za majhno podrobnost. Mislim, da ste že uganili, katero. V vse formule bomo morali dodati še en izraz, ki je odgovoren za aplikativno os. Namreč.

1. Če sta podani dve točki: , potem:

• Vektorske koordinate:
• Razdalja med dvema točkama (ali vektorska dolžina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Če sta podana dva vektorja: in, potem:

• Njihov pikčasti produkt je:
• Kosinus kota med vektorjema je:

Vendar pa prostor ni tako preprost. Kot razumete, dodajanje ene dodatne koordinate uvaja veliko raznolikost v spekter figur, ki "živijo" v tem prostoru. In za nadaljnjo pripoved moram uvesti nekaj, grobo rečeno, "posplošitve" ravne črte. Ta "posplošitev" bo letalo. Kaj veš o letalu? Poskusite odgovoriti na vprašanje, kaj je letalo? Zelo težko je reči. Vendar si vsi intuitivno predstavljamo, kako izgleda:

Grobo rečeno, to je nekakšen neskončen "list", potisnjen v vesolje. "Neskončnost" je treba razumeti, da se ravnina razteza v vse smeri, to pomeni, da je njeno območje enako neskončnosti. Vendar ta razlaga "na prstih" ne daje niti najmanjšega pojma o strukturi letala. In to nas bo zanimalo.

Spomnimo se enega od osnovnih aksiomov geometrije:

• v dveh različne točke na ravnini poteka ravna črta, poleg tega le ena:

Ali njegov analog v vesolju:

Seveda se spomnite, kako iz dveh danih točk izpeljati enačbo premice, to sploh ni težko: če ima prva točka koordinate: in druga, bo enačba premice naslednja:

Skozi to ste šli v 7. razredu. V prostoru je enačba premice videti takole: imamo dve točki s koordinatami: , potem ima enačba premice, ki poteka skozi njiju, obliko:

Na primer, črta poteka skozi točke:

Kako je treba to razumeti? To je treba razumeti takole: točka leži na premici, če njene koordinate izpolnjujejo naslednji sistem:

Enačba premice nas ne bo preveč zanimala, pozorni pa moramo biti na zelo pomemben koncept usmerjevalnega vektorja premice. - kaj neničelni vektor ki ležijo na dani premici ali vzporedno z njo.

Oba vektorja sta na primer smerna vektorja ravne črte. Naj je točka, ki leži na ravni črti, in je njen usmerjevalni vektor. Nato lahko enačbo ravne črte zapišemo v naslednji obliki:

Še enkrat, enačba ravne črte me ne bo preveč zanimala, ampak res moram, da se spomnite, kaj je smerni vektor! Ponovno: to je KATER koli neničelni vektor, ki leži na premici ali je vzporeden z njo.

Dvigniti tritočkovna enačba ravnine ni več tako nepomembno in običajno to vprašanje na tečaju ni obravnavano Srednja šola. Ampak zaman! Ta tehnika je ključnega pomena, ko se zatečemo k koordinatni metodi za reševanje kompleksnih problemov. Vendar predvidevam, da ste polni želje po učenju česa novega? Poleg tega boste lahko navdušili svojega učitelja na univerzi, ko se bo izkazalo, da že znate uporabljati tehniko, ki se običajno preučuje v okviru analitične geometrije. Pa začnimo.

Enačba ravnine se ne razlikuje preveč od enačbe ravne črte na ravnini, in sicer ima obliko:

nekatere številke (ne vse nič), in spremenljivke, na primer: itd. Kot lahko vidite, se enačba ravnine ne razlikuje veliko od enačbe ravne črte (linearna funkcija). Vendar se spomnite, kaj smo se prepirali z vami? Rekli smo, da če imamo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti, potem je enačba ravnine enolično obnovljena iz njih. Ampak kako? Poskušal ti bom razložiti.

Ker je enačba ravnine:

In točke pripadajo tej ravnini, potem bi morali pri zamenjavi koordinat vsake točke v enačbo ravnine dobiti pravilno identiteto:

Tako je treba rešiti tri enačbe že z neznankami! Dilema! Vendar pa lahko vedno domnevamo, da (za to moramo deliti z). Tako dobimo tri enačbe s tremi neznankami:

Vendar takšnega sistema ne bomo rešili, ampak zapisali kriptični izraz, ki izhaja iz njega:

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matrika)) \desno| = 0\]

Ustavi se! Kaj je še to? Zelo nenavaden modul! Vendar predmet, ki ga vidite pred seboj, nima nič opraviti z modulom. Ta predmet se imenuje determinanta tretjega reda. Odslej, ko se boste ukvarjali z metodo koordinat na ravnini, boste pogosto naleteli prav na te determinante. Kaj je determinanta tretjega reda? Čudno je, da je samo številka. Še vedno je treba razumeti, katero specifično število bomo primerjali z determinanto.

Najprej zapišimo determinanto tretjega reda v bolj splošni obliki:

Kje so nekatere številke. Poleg tega s prvim indeksom mislimo na številko vrstice, z indeksom pa na številko stolpca. Na primer, to pomeni, da je podana številka na presečišču druge vrstice in tretjega stolpca. Postavimo si naslednje vprašanje: kako natančno bomo izračunali tako determinanto? Se pravi, s katero konkretno številko jo bomo primerjali? Za determinanto natančno tretjega reda obstaja hevristično (vizualno) pravilo trikotnika, ki izgleda takole:

1. Zmnožek elementov glavne diagonale (od zgornje leve proti spodnjemu desnemu) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik "pravokotno" na glavno diagonalo, produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik "pravokotno" na glavno diagonala
2. Zmnožek elementov sekundarne diagonale (od zgornje desne proti spodnji levi) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik "pravokotno" na sekundarno diagonalo, produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik "pravokotno" na sekundarna diagonala
3. Potem je determinanta enaka razliki med vrednostmi, dobljenimi na koraku in

Če vse to zapišemo s številkami, dobimo naslednji izraz:

Vendar vam ni treba zapomniti metode izračuna v tej obliki, dovolj je, da obdržite trikotnike v glavi in ​​samo idejo, kaj se čemu doda in kaj se od česa nato odšteje).

Ponazorimo metodo trikotnika s primerom:

1. Izračunaj determinanto:

Ugotovimo, kaj dodamo in kaj odštejemo:

Izrazi, ki imajo "plus":

To je glavna diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokotno na glavno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokotno na glavno diagonalo: produkt elementov je

Dodamo tri številke:

Izrazi z "minusom"

To je stranska diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokotno na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokotno na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Dodamo tri številke:

Vse, kar je treba narediti, je, da od vsote plus členov odštejemo vsoto minus členov:

tako,

Kot lahko vidite, pri izračunu determinant tretjega reda ni nič zapletenega in nadnaravnega. Preprosto je pomembno, da se spomnimo na trikotnike in da ne delamo aritmetičnih napak. Zdaj poskusite sami izračunati:

Preverimo:

1. Prvi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
2. Drugi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
3. Vsota plus pogojev:
4. Prvi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
5. Drugi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
6. Vsota izrazov z minusom:
7. Vsota plus členov minus vsota minus členov:

Tukaj je še nekaj determinant za vas, sami izračunajte njihove vrednosti in primerjajte z odgovori:

odgovori:

No, se je vse ujemalo? Super, potem lahko greš naprej! Če obstajajo težave, potem je moj nasvet naslednji: na internetu je veliko programov za izračun determinante na spletu. Vse kar potrebujete je, da pripravite svojo determinanto, jo sami izračunate in nato primerjate s tem, kar izračuna program. In tako naprej, dokler se rezultati ne začnejo ujemati. Prepričan sem, da ta trenutek ne bo dolgo trajal!

Zdaj pa se vrnimo k determinanti, ki sem jo zapisal, ko sem govoril o enačbi ravnine, ki poteka skozi tri danih točk:

Vse kar morate storiti je, da neposredno izračunate njegovo vrednost (po metodi trikotnika) in rezultat nastavite na nič. Seveda, ker so spremenljivke, boste dobili izraz, ki je odvisen od njih. Prav ta izraz bo enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na eni ravni črti!

Ponazorimo to s preprostim primerom:

1. Sestavi enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

Sestavimo determinanto za te tri točke:

Poenostavitev:

Zdaj ga izračunamo neposredno po pravilu trikotnikov:

\[(\left| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(matrika)) \ desno| = \left((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tako je enačba ravnine, ki poteka skozi točke:

Zdaj poskusite sami rešiti eno težavo, nato pa bomo o njej razpravljali:

2. Poišči enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

No, zdaj pa se pogovorimo o rešitvi:

Naredimo determinanto:

In izračunaj njegovo vrednost:

Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali pa, če zmanjšamo za, dobimo:

Zdaj dve nalogi za samokontrolo:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke:

odgovori:

Se je vse ujemalo? Še enkrat, če obstajajo določene težave, potem je moj nasvet naslednji: vzamete tri točke iz glave (z veliko stopnjo verjetnosti ne bodo ležale na eni ravni črti), na njih zgradite ravnino. In potem se preveri na spletu. Na primer na spletnem mestu:

Vendar s pomočjo determinant ne bomo zgradili le enačbe ravnine. Ne pozabite, rekel sem vam, da za vektorje ni definiran le produkt pik. Obstaja tudi vektor, pa tudi mešani izdelek. In če bo skalarni produkt dveh vektorjev število, bo vektorski produkt dveh vektorjev vektor in ta vektor bo pravokoten na dane:

In njegov modul bo enako površini paralelogram, zgrajen na vektorjih in. Ta vektor bomo potrebovali za izračun razdalje od točke do premice. Kako lahko izračunamo navzkrižni produkt vektorjev in če so podane njihove koordinate? Na pomoč nam spet priskoči determinanta tretjega reda. Preden pa preidem na algoritem za izračun navzkrižnega produkta, moram narediti majhno lirično digresijo.

Ta odmik se nanaša na osnovne vektorje.

Shematično so prikazani na sliki:

Zakaj mislite, da se imenujejo osnovne? Dejstvo je, da:

Ali pa na sliki:

Veljavnost te formule je očitna, ker:

vektorski izdelek

Zdaj lahko začnem predstavljati navzkrižni izdelek:

Vektorski produkt dveh vektorjev je vektor, ki se izračuna po naslednjem pravilu:

Zdaj pa dajmo nekaj primerov izračunavanja navzkrižnega produkta:

Primer 1: Poiščite navzkrižni produkt vektorjev:

Rešitev: naredim determinanto:

In izračunam:

Zdaj, od pisanja preko baznih vektorjev, se bom vrnil k običajnemu vektorskemu zapisu:

Takole:

Zdaj pa poskusi.

pripravljeni? Preverimo:

In tradicionalno dva naloge za nadzor:

1. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:
2. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:

odgovori:

Mešani produkt treh vektorjev

Zadnja konstrukcija, ki jo potrebujem, je mešani produkt treh vektorjev. Tako kot skalar je število. Obstajata dva načina za izračun. - skozi determinanto, - skozi mešani produkt.

Recimo, da imamo tri vektorje:

Nato lahko mešani produkt treh vektorjev, označenih z, izračunamo kot:

1. - to pomeni, da je mešani produkt skalarni produkt vektorja in vektorski produkt dveh drugih vektorjev

Na primer, mešani produkt treh vektorjev je:

Poskusite ga izračunati sami z uporabo vektorskega produkta in se prepričajte, da se rezultati ujemajo!

In spet - dva primera za samostojno rešitev:

odgovori:

Izbira koordinatnega sistema

No, zdaj imamo vso potrebno osnovo znanja za reševanje kompleksnih stereometričnih problemov v geometriji. Vendar pa, preden nadaljujemo neposredno s primeri in algoritmi za njihovo reševanje, verjamem, da se bo koristno poglobiti pri naslednjem vprašanju: kako natančno izberite koordinatni sistem za določeno figuro. Navsezadnje je izbira relativne lege koordinatnega sistema in figure v prostoru tista, ki bo na koncu določila, kako okorni bodo izračuni.

Spomnim vas, da v tem razdelku razmišljamo o naslednjih oblikah:

1. kockasto
2. Ravna prizma (trikotna, šestkotna ...)
3. Piramida (trikotna, štirikotna)
4. Tetraeder (enako kot trikotna piramida)

Za kvader ali kocko priporočam naslednjo konstrukcijo:

To pomeni, da bom figuro postavil "v kot". Kocka in škatla sta zelo dobri figuri. Zanje lahko vedno zlahka najdete koordinate njegovih vozlišč. Na primer, če (kot je prikazano na sliki)

potem so koordinate vrha:

Seveda se vam tega ni treba spomniti, vendar je zaželeno, da se spomnite, kako najbolje postaviti kocko ali pravokotno škatlo.

ravna prizma

Prizma je bolj škodljiva figura. V prostoru ga lahko razporedite na različne načine. Vendar menim, da je najboljša možnost naslednja:

Trikotna prizma:

To pomeni, da eno od stranic trikotnika v celoti postavimo na os, eno od oglišč pa sovpada z izvorom.

Šestkotna prizma:

To pomeni, da eno od vozlišč sovpada z izvorom, ena od stranic pa leži na osi.

Štirikotna in šesterokotna piramida:

Situacija, podobna kocki: združimo dve strani osnove s koordinatnimi osemi, eno od oglišč združimo z izhodiščem. Edina majhna težava bo izračunati koordinate točke.

Za šesterokotno piramido - enako kot za šesterokotno prizmo. Glavna naloga bo spet iskanje koordinat oglišča.

Tetraeder (trikotna piramida)

Situacija je zelo podobna tisti, ki sem jo dal za trikotno prizmo: eno točko sovpada z izhodiščem, ena stran leži na koordinatni osi.

No, zdaj sva ti in jaz končno blizu tega, da začnemo reševati probleme. Iz tega, kar sem povedal na samem začetku članka, bi lahko sklepali: večina težav s C2 spada v 2 kategoriji: težave za kot in težave za razdaljo. Najprej bomo razmislili o težavah za iskanje kota. Po drugi strani so razdeljeni v naslednje kategorije (ko se kompleksnost povečuje):

Težave pri iskanju vogalov

1. Iskanje kota med dvema črtama
2. Iskanje kota med dvema ravninama

Oglejmo si te probleme zaporedno: začnimo z iskanjem kota med dvema ravnima črtama. Dajte no, spomnite se, ali sva z vami že reševala podobne primere? Se spomnite, saj smo že imeli nekaj podobnega ... Iskali smo kot med dvema vektorjema. Spomnim vas, če sta podana dva vektorja: in, potem kot med njima najdemo iz razmerja:

Zdaj imamo cilj - najti kot med dvema ravnima črtama. Obrnimo se na "plosko sliko":

Koliko kotov dobimo, ko se dve premici sekata? Že stvari. Res je, le dva od njih nista enaka, drugi pa so navpični (in zato z njimi sovpadajo). Kakšen kot naj torej upoštevamo kot med dvema ravnima: ali? Tukaj je pravilo: kot med dvema ravnima je vedno največ stopinj. To pomeni, da bomo iz dveh kotov vedno izbrali kot z najmanjšo mero stopinj. To pomeni, da je na tej sliki kot med obema črtama enak. Da se ne bi obremenjevali z iskanjem najmanjšega od obeh kotov vsakič, so zvit matematiki predlagali uporabo modula. Tako je kot med dvema ravnima črtama določen s formulo:

Kot pozoren bralec bi se moral zastaviti vprašanje: kje pravzaprav dobimo prav te številke, ki jih potrebujemo za izračun kosinusa kota? Odgovor: vzeli jih bomo iz smernih vektorjev črt! Tako je algoritem za iskanje kota med dvema črtama naslednji:

1. Uporabljamo formulo 1.

Ali bolj podrobno:

1. Iščemo koordinate smernega vektorja prve premice
2. Iščemo koordinate smernega vektorja druge vrstice
3. Izračunajte modul njihovega skalarnega produkta
4. Iščemo dolžino prvega vektorja
5. Iščemo dolžino drugega vektorja
6. Rezultate iz točke 4 pomnožite z rezultati točke 5
7. Rezultat točke 3 delimo z rezultatom točke 6. Dobimo kosinus kota med premici
8. Če dani rezultat vam omogoča natančen izračun kota, ga iščemo
9. V nasprotnem primeru pišemo skozi arkosinus

No, zdaj je čas, da preidemo na naloge: rešitev prvih dveh bom podrobno prikazal, rešitev druge bom predstavil v povzetek, za zadnji dve težavi pa bom dal le odgovore, vse izračune morate opraviti sami.

Naloge:

1. V desni tet-ra-ed-re poiščite-di-te kot med vi-so-to tet-ra-ed-ra in me-di-a-noy bo-ko-how stranjo.

2. V desno-naprej šesti premog-pi-ra-mi-de so sto-ro-na-os-no-va-niya nekako enake, stranska rebra pa enaka, poiščite kot med ravnino črte in.

3. Dolžine vseh robov desnega štiri-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy so med seboj enake. Poiščite kot med ravnima črtama in če je od-re-zok - vi-tako dano pi-ra-mi-dy, je točka se-re-di-na njenem bo-ko- th rebru

4. Na robu kocke od-me-che- do točke, tako da Najdi-di-te kot med ravnima in

5. Točka - se-re-di-na robovih kocke Nai-di-te kot med ravnima črtama in.

Ni naključje, da sem naloge postavila v ta vrstni red. Medtem ko še niste imeli časa, da bi začeli krmariti po koordinatni metodi, bom sam analiziral najbolj "problematične" številke in vam prepustil, da se ukvarjate z najpreprostejšo kocko! Postopoma se morate naučiti delati z vsemi figurami, od teme do teme bom povečal kompleksnost nalog.

Začnimo reševati težave:

1. Nariši tetraeder, ga postavi v koordinatni sistem, kot sem predlagal prej. Ker je tetraeder pravilen, so vse njegove ploskve (vključno z osnovo) pravilni trikotniki. Ker nam dolžina stranice ni podana, jo lahko vzamem za enako. Mislim, da razumete, da kot v resnici ne bo odvisen od tega, koliko bo naš tetraeder "raztegnjen" ?. Narisal bom tudi višino in mediano v tetraedru. Spotoma mu bom narisal osnovo (tudi nam bo prišel prav).

Moram najti kot med in. Kaj vemo? Poznamo samo koordinate točke. Torej moramo najti več koordinat točk. Zdaj mislimo: točka je presečišče višin (ali simetral ali median) trikotnika. Pika je povišana točka. Točka je sredina segmenta. Nato moramo končno najti: koordinate točk: .

Začnimo z najpreprostejšim: točkovnimi koordinatami. Poglejte sliko: Jasno je, da je uporaba točke enaka nič (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je enaka (ker je mediana). Težje je najti njeno absciso. Vendar je to enostavno narediti na podlagi Pitagorejskega izreka: Razmislite o trikotniku. Njegova hipotenuza je enaka in eden od krakov je enak Potem:

Končno imamo:

Zdaj poiščimo koordinate točke. Jasno je, da je njegova aplikacija spet enaka nič, njena ordinata pa je enaka kot pri točki, tj. Poiščimo njeno absciso. To se naredi precej trivialno, če se tega spomnite višine enakostraničnega trikotnika se delijo s presečiščem v razmerjuštetje od vrha. Ker:, potem je želena abscisa točke, enaka dolžini segmenta, enaka:. Tako so koordinate točke:

Poiščimo koordinate točke. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. In aplikacija je enaka dolžini segmenta. - to je ena od nog trikotnika. Hipotenuza trikotnika je segment - krak. Išče se po razlogih, ki sem jih poudaril krepko:

Točka je sredina segmenta. Nato si moramo zapomniti formulo za koordinate sredine segmenta:

To je to, zdaj lahko iščemo koordinate vektorjev smeri:

No, vse je pripravljeno: vse podatke nadomestimo v formulo:

tako,

odgovor:

Takšnih "groznih" odgovorov se ne smete bati: za težave C2 je to običajna praksa. Najraje bi bil presenečen nad "lepim" odgovorom v tem delu. Prav tako, kot ste ugotovili, se praktično nisem zatekel k ničemur drugemu kot k Pitagorejevemu izreku in lastnosti višin enakostraničnega trikotnika. Se pravi, da sem rešil stereometrični problem, sem uporabil minimalno stereometrijo. Dobiček pri tem delno "ugasnejo" s precej okornimi izračuni. So pa precej algoritemski!

2. Nariši pravilno šesterokotno piramido skupaj s koordinatnim sistemom in njeno osnovo:

Najti moramo kot med črtami in. Tako se naša naloga zmanjša na iskanje koordinat točk: . Koordinate zadnjih treh bomo našli iz majhne risbe, koordinato oglišča pa bomo našli skozi koordinato točke. Veliko dela, vendar je treba začeti!

a) Koordinata: jasno je, da sta njen aplikat in ordinata nič. Poiščimo absciso. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku. Aja, v njej poznamo samo hipotenuzo, ki je enaka. Poskusili bomo najti krak (ker je jasno, da nam bo dvakratna dolžina kraka dala absciso točke). Kako jo lahko iščemo? Spomnimo se, kakšno figuro imamo na dnu piramide? To je navaden šesterokotnik. Kaj to pomeni? To pomeni, da so vse stranice in vsi koti enaki. Poiskati moramo en tak kotiček. Kaj idej? Idej je veliko, vendar obstaja formula:

Vsota kotov pravilnega n-kotnika je .

Tako je vsota kotov pravilnega šesterokotnika stopinj. Potem je vsak od kotov enak:

Poglejmo si še enkrat sliko. Jasno je, da je segment simetrala kota. Potem je kot stopinj. Nato:

Potem kje.

Torej ima koordinate

b) Sedaj zlahka najdemo koordinato točke: .

c) Poiščite koordinate točke. Ker njegova abscisa sovpada z dolžino segmenta, je enaka. Iskanje ordinate prav tako ni zelo težko: če povežemo točke in in označimo točko presečišča premice, recimo za. (naredite sami preprosto konstrukcijo). Potem je torej ordinata točke B enaka vsoti dolžin segmentov. Oglejmo si še enkrat trikotnik. Potem

Potem od Potem ima točka koordinate

d) Zdaj poiščite koordinate točke. Razmislite o pravokotniku in dokažite, da so koordinate točke:

e) Ostaja še najti koordinate oglišča. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. Poiščimo aplikacijo. Od takrat. Razmislite o pravokotnem trikotniku. Glede na stanje problema bočni rob. To je hipotenuza mojega trikotnika. Potem je višina piramide noga.

Potem ima točka koordinate:

To je to, imam koordinate vseh točk, ki me zanimajo. Iščem koordinate usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

Iščemo kot med temi vektorji:

odgovor:

Spet pri reševanju tega problema nisem uporabil nobenih prefinjenih trikov, razen formule za vsoto kotov pravilnega n-kotnika, pa tudi definicije kosinusa in sinusa pravokotnega trikotnika.

3. Ker nam spet niso podane dolžine robov v piramidi, jih bom preštel enako ena. Ker so torej VSI robovi, in ne le stranski, enaki drug drugemu, potem na dnu piramide in mene leži kvadrat, stranske ploskve pa so pravilni trikotniki. Upodobimo tako piramido, pa tudi njeno osnovo na ravnini, pri čemer označimo vse podatke, navedene v besedilu problema:

Iščemo kot med in. Ko bom iskal koordinate točk, bom naredil zelo kratke izračune. Morali jih boste "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Dolžino odseka bom našel s pomočjo Pitagorovega izreka v trikotniku. Po Pitagorejevem izreku bom našel v trikotniku.

Koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate so

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Iskanje kota:

kocka - najpreprostejša figura. Prepričan sem, da lahko to ugotoviš sam. Odgovora na težavi 4 in 5 sta naslednja:

Iskanje kota med premico in ravnino

No, čas preprostih ugank je minil! Zdaj bodo primeri še težji. Če želimo najti kot med črto in ravnino, bomo ravnali na naslednji način:

1. S pomočjo treh točk sestavimo enačbo ravnine
   ,
   z uporabo determinante tretjega reda.
2. Z dvema točkama iščemo koordinate usmerjevalnega vektorja premice:
3. Za izračun kota med ravno črto in ravnino uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je ta formula zelo podobna tisti, ki smo jo uporabili za iskanje kotov med dvema črtama. Struktura desne strani je enaka, na levi pa zdaj iščemo sinus in ne kosinus, kot prej. No, dodano je bilo eno grdo dejanje - iskanje enačbe ravnine.

Ne odlagajmo reševanje primerov:

1. Os-no-va-ni-em naravnost-moja nagrada-smo-la-et-xia enaki-ampak-ubogi-ren-ny trikotnik-nick ti-s-to nagrado-smo enakovredni. Poiščite kot med ravno črto in ravnino

2. V pravokotnem pa-ral-le-le-pi-pe-de z zahoda Nai-di-te kot med premo in ravnino

3. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi enaki. Poiščite kot med ravno črto in ravnino.

4. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em od zahodnega kota rebra Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ravnina os. -no-va-niya in naravnost-my, ki poteka skozi se-re-di-na reber in

5. Dolžini vseh robov desnega štirikotnega pi-ra-mi-dyja z vrhom sta med seboj enaki. Poiščite kot med ravno črto in ravnino, če je točka se-re-di-na bo-ko-in-th robu pi-ra-mi-dy.

Spet bom prva dva problema rešil podrobno, tretji - na kratko, zadnja dva pa prepuščam, da ga rešite sami. Poleg tega ste se že morali ukvarjati s trikotnimi in štirikotne piramide, a s prizmami - še ne.

rešitve:

1. Nariši prizmo, pa tudi njeno osnovo. Združimo ga s koordinatnim sistemom in označimo vse podatke, ki so podani v stavki problema:

Opravičujem se za nekaj neupoštevanja proporcev, a za rešitev problema to pravzaprav ni tako pomembno. Letalo je samo " zadnja stena» moje prizme. Dovolj je preprosto uganiti, da ima enačba takšne ravnine obliko:

Vendar pa se to lahko prikaže tudi neposredno:

Izberemo poljubne tri točke na tej ravnini: na primer .

Naredimo enačbo ravnine:

Vaja za vas: to determinanto izračunajte sami. Vam je uspelo? Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali preprosto

tako,

Za rešitev primera moram najti koordinate usmerjevalnega vektorja premice. Ker je točka sovpadala z izhodiščem, bodo koordinate vektorja preprosto sovpadale s koordinatami točke.Za to najprej poiščemo koordinate točke.

Če želite to narediti, upoštevajte trikotnik. Z vrha narišemo višino (to je tudi mediana in simetrala). Ker je potem ordinata točke enaka. Da bi našli absciso te točke, moramo izračunati dolžino segmenta. Po Pitagorejevem izreku imamo:

Potem ima točka koordinate:

Pika je "dvignjena" na piki:

Nato koordinate vektorja:

odgovor:

Kot lahko vidite, pri reševanju takšnih težav ni nič bistveno težko. Pravzaprav "naravnost" figure, kot je prizma, nekoliko bolj poenostavi postopek. Zdaj pa pojdimo na naslednji primer:

2. Narišemo paralelepiped, vanj narišemo ravnino in ravno črto ter ločeno narišemo tudi njegovo spodnjo osnovo:

Najprej najdemo enačbo ravnine: koordinate treh točk, ki ležijo v njej:

(dobljeni sta prvi dve koordinati očiten način, in z lahkoto najdete zadnjo koordinato s slike iz točke). Nato sestavimo enačbo ravnine:

Izračunamo:

Iščemo koordinate vektorja smeri: Jasno je, da njegove koordinate sovpadajo s koordinatami točke, kajne? Kako najti koordinate? To so koordinate točke, dvignjene vzdolž aplikativne osi za eno! . Nato iščemo želeni kot:

odgovor:

3. Nariši pravilno šesterokotno piramido, nato pa vanjo nariši ravnino in ravno črto.

Tukaj je celo problematično narisati ravnino, da ne omenjam rešitve tega problema, a koordinatni metodi je vseeno! Prav v vsestranskosti je njegova glavna prednost!

Letalo poteka skozi tri točke: . Iščemo njihove koordinate:

ena) . Koordinate za zadnji dve točki prikažite sami. Za to boste morali rešiti problem s šesterokotno piramido!

2) Sestavimo enačbo ravnine:

Iščemo koordinate vektorja: . (Spet si oglejte problem trikotne piramide!)

3) Iščemo kot:

odgovor:

Kot vidite, pri teh nalogah ni nič nadnaravno težkega. Samo s koreninami morate biti zelo previdni. Na zadnji dve težavi bom dal le odgovore:

Kot lahko vidite, je tehnika reševanja problemov povsod enaka: glavna naloga je najti koordinate vozlišč in jih nadomestiti v nekatere formule. Ostaja nam, da razmislimo o še enem razredu problemov za izračun kotov, in sicer:

Izračunavanje kotov med dvema ravninama

Algoritem rešitve bo naslednji:

1. Za tri točke iščemo enačbo prve ravnine:
2. Za ostale tri točke iščemo enačbo druge ravnine:
3. Uporabljamo formulo:

Kot vidite, je formula zelo podobna prejšnjima, s pomočjo katerih smo iskali kote med ravnimi črtami ter med premo in ravnino. Torej se tega ne boste mogli spomniti posebno delo. Skočimo takoj na problem:

1. Sto-ro-na podlagi desne trikotne prizme je enaka in diagonal stranske ploskve je enak. Poiščite kot med ravnino in ravnino osnove nagrade.

2. V desno naprej štiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de so vsi robovi nekoga enaki, poiščite sinus kota med ravnino in ravnino Ko-Stu, ki poteka skozi točka per-pen-di-ku-lyar-ampak naravnost-moj.

3. V pravilni prizmi s štirimi premogi so stranice os-no-va-nia enake, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-če-do točke, tako da. Poiščite kot med ravninama in

4. V desni štirikotni prizmi so stranice osnov enake, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-che-do točke, tako da Poiščite kot med ravninama in.

5. V kocki poiščite kosinus kota med ravninama in

Rešitve težav:

1. Narišem pravega (na dnu je enakostranični trikotnik) trikotna prizma in na njem označim ravnine, ki se pojavijo v stanju problema:

Najti moramo enačbe dveh ravnin: Osnovno enačbo dobimo trivialno: lahko naredite ustrezno determinanto za tri točke, vendar bom enačbo naredil takoj:

Zdaj poiščimo enačbo. Točka ima koordinate. Točka - Ker - mediana in višina trikotnika, jo je enostavno najti po Pitagorejevem izreku v trikotniku. Potem ima točka koordinate: Poiščite aplikacijo točke. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku

Nato dobimo naslednje koordinate: Sestavimo enačbo ravnine.

Izračunamo kot med ravninama:

odgovor:

2. Izdelava risbe:

Najtežje je razumeti, kakšna skrivnostna ravnina je, ki poteka skozi točko pravokotno. No, glavna stvar je, kaj je to? Glavna stvar je pozornost! Pravzaprav je črta pravokotna. Črta je tudi pravokotna. Potem bo ravnina, ki poteka skozi ti dve premici, pravokotna na premico in bo mimogrede šla skozi točko. Ta ravnina poteka tudi skozi vrh piramide. Potem želeno letalo - In letalo nam je že dano. Iščemo koordinate točk.

Skozi točko najdemo koordinato točke. Iz majhne risbe je enostavno razbrati, da bodo koordinate točke naslednje: Kaj je še ostalo za najti, da bi našli koordinate vrha piramide? Še vedno je treba izračunati njegovo višino. To se naredi z uporabo istega Pitagorejskega izreka: najprej to dokaži (trivialno iz majhnih trikotnikov, ki tvorijo kvadrat na dnu). Ker imamo po pogoju:

Zdaj je vse pripravljeno: koordinate vrhov:

Sestavimo enačbo ravnine:

Ste že strokovnjak za izračun determinant. Preprosto boste prejeli:

Ali drugače (če oba dela pomnožimo s korenom iz dveh)

Zdaj poiščimo enačbo ravnine:

(Niste pozabili, kako dobimo enačbo ravnine, kajne? Če ne razumete, od kod ta minus ena, potem se vrnite k definiciji enačbe ravnine! Vedno se je izkazalo pred tem da je moje letalo pripadalo izvoru!)

Izračunamo determinanto:

(Morda opazite, da je enačba ravnine sovpadala z enačbo premice, ki poteka skozi točke in! Pomislite, zakaj!)

Zdaj izračunamo kot:

Najti moramo sinus:

odgovor:

3. Težko vprašanje: kaj je pravokotna prizma, kako se ti zdi? To vam je samo dobro znan paralelepiped! Risanje takoj! Osnove celo ne morete prikazati ločeno, tukaj je od nje malo koristi:

Ravnina, kot smo že omenili, je zapisana kot enačba:

Zdaj naredimo letalo

Takoj sestavimo enačbo ravnine:

Išče se kot

Zdaj pa odgovori na zadnji dve težavi:

No, zdaj je čas za oddih, saj sva ti in jaz super in sva opravila odlično delo!

Koordinate in vektorji. Napredni nivo

V tem članku bomo z vami razpravljali o drugem razredu problemov, ki jih je mogoče rešiti s koordinatno metodo: problemi na daljavo. Upoštevali bomo namreč naslednje primere:

1. Izračun razdalje med poševnimi črtami.

Dane naloge sem naročal, ko se njihova kompleksnost povečuje. Najlažje je najti razdalja od točke do ravnine in najtežje je najti razdalja med sekajočimi se črtami. Čeprav, seveda, nič ni nemogoče! Ne odlašajmo in takoj nadaljujmo k obravnavi prvega razreda težav:

Izračunavanje razdalje od točke do ravnine

Kaj potrebujemo za rešitev tega problema?

1. Koordinate točke

Torej, takoj ko dobimo vse potrebne podatke, uporabimo formulo:

Morali bi že vedeti, kako sestavimo enačbo ravnine iz prejšnjih problemov, ki sem jih analiziral v zadnjem delu. Takoj se lotimo posla. Shema je naslednja: 1, 2 - pomagam vam pri odločitvi, in v nekaj podrobnostih, 3, 4 - samo odgovor, sami se odločite in primerjate. Začelo!

Naloge:

1. Podane kocke. Dolžina roba kocke je Najdi-di-te razdaljo od se-re-di-ny od reza do ravne

2. Glede na desno-vil-naya štiri-you-rekh-premog-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe rob sto-ro-na os-no-va-nia je enak. Poiščite-di-tiste razdalje od točke do ravnine, kjer - se-re-di-na robovih.

3. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em je drugi rob enak in sto-ro-on os-no-vaniya je enak. Poiščite-di-te razdalje od vrha do ravnine.

4. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi enaki. Najdi-di-te razdalje od točke do ravnine.

rešitve:

1. Nariši kocko z enojnimi robovi, sestavi segment in ravnino, sredino segmenta označi s črko

.

Najprej začnimo z enostavnim: poiščite koordinate točke. Od takrat (ne pozabite na koordinate sredine segmenta!)

Zdaj sestavimo enačbo ravnine na treh točkah

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(matrika)) \right| = 0\]

Zdaj lahko začnem iskati razdaljo:

2. Ponovno začnemo z risbo, na kateri označimo vse podatke!

Za piramido bi bilo koristno narisati njeno osnovo ločeno.

Tudi dejstvo, da rišem kot piščančja taca, nam ne bo preprečilo, da bi zlahka rešili ta problem!

Zdaj je enostavno najti koordinate točke

Ker so koordinate točke

2. Ker so koordinate točke a sredina segmenta, potem

Z lahkoto najdemo koordinate še dveh točk na ravnini, sestavimo enačbo ravnine in jo poenostavimo:

\[\levo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(matrika)) \right|) \right| = 0\]

Ker ima točka koordinate: , potem izračunamo razdaljo:

Odgovor (zelo redko!):

No, si razumel? Zdi se mi, da je tukaj vse tako tehnično kot v primerih, ki smo jih z vami obravnavali v prejšnjem delu. Zato sem prepričan, da če obvladate to snov, vam ne bo težko rešiti preostalih dveh težav. dal ti bom samo odgovore:

Izračunavanje razdalje od premice do ravnine

Pravzaprav tukaj ni nič novega. Kako se lahko premica in ravnina nahajata drug glede drugega? Imajo vse možnosti: sekati ali pa je ravna črta vzporedna z ravnino. Kakšna je po vašem mnenju razdalja od premice do ravnine, s katero se seka dana premica? Zdi se mi, da je jasno, da je takšna razdalja enaka nič. Nezanimiv primer.

Drugi primer je bolj zapleten: tu je razdalja že drugačna od nič. Ker pa je premica vzporedna z ravnino, je vsaka točka premice enako oddaljena od te ravnine:

Takole:

In to pomeni, da je bila moja naloga zmanjšana na prejšnjo: iščemo koordinate katere koli točke na premici, iščemo enačbo ravnine, izračunamo razdaljo od točke do ravnine. Pravzaprav so takšne naloge na izpitu izjemno redke. Uspelo mi je najti samo en problem, podatki v njem pa so bili takšni, da koordinatna metoda zanj ni bila zelo uporabna!

Zdaj pa preidimo na drugo, veliko pomembnejšo vrsto težav:

Izračunavanje razdalje točke do črte

Kaj bomo potrebovali?

1. Koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Koordinate katere koli točke, ki leži na ravni črti

3. Vektorske koordinate premice

Kakšno formulo uporabljamo?

Kaj vam pomeni imenovalec tega ulomka in bi moralo biti jasno: to je dolžina usmerjevalnega vektorja premice. Tukaj je zelo zapleten števec! Izraz pomeni modul (dolžino) vektorskega produkta vektorjev in Kako izračunati vektorski produkt, smo preučili v prejšnjem delu dela. Osvežite svoje znanje, zdaj nam bo zelo koristilo!

Tako bo algoritem za reševanje problemov naslednji:

1. Iščemo koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Iščemo koordinate katere koli točke na premici, do katere iščemo razdaljo:

3. Gradnja vektorja

4. Gradimo smerni vektor premice

5. Izračunajte navzkrižni produkt

6. Iščemo dolžino nastalega vektorja:

7. Izračunaj razdaljo:

Imamo veliko dela in primeri bodo precej zapleteni! Zato zdaj osredotočite vso svojo pozornost!

1. Dana je desni trikotni pi-ra-mi-da z vrhom. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy je enako, ti-so-ta je enako. Poišči-di-te razdalje od se-re-di-ny bo-ko-th roba do ravne črte, kjer sta točki in se-re-di-ny reber in so-od- vet -stven-ampak.

2. Dolžini reber in pravega kota-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sta enaki in Find-di-te razdalja od top-shi-ny do straight-my

3. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi roja enaki, najdi-di-tiste razdalje od točke do premice

rešitve:

1. Naredimo lepo risbo, na kateri označimo vse podatke:

Imamo veliko dela za vas! Najprej bi želel z besedami opisati, kaj bomo iskali in v kakšnem vrstnem redu:

1. Koordinate točk in

2. Koordinate točke

3. Koordinate točk in

4. Koordinate vektorjev in

5. Njihov navzkrižni produkt

6. Dolžina vektorja

7. Dolžina vektorskega produkta

8. Razdalja od do

No, čaka nas veliko dela! Zavihajmo rokave!

1. Da bi našli koordinate višine piramide, moramo poznati koordinate točke, njena aplikacija je nič, ordinata pa je enaka njeni abscisi. Končno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

sredinska točka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunaj vektorski produkt:

6. Dolžina vektorja: najlažje je zamenjati, da je segment srednja črta trikotnika, kar pomeni, da je enak polovici osnove. Torej to.

7. Upoštevamo dolžino vektorskega produkta:

8. Končno poiščite razdaljo:

Uf, to je vse! Iskreno, povem vam: reševanje tega problema s tradicionalnimi metodami (s konstrukcijami) bi bilo veliko hitreje. Ampak tukaj sem vse zmanjšal na že pripravljen algoritem! Mislim, da ti je algoritem rešitve jasen? Zato vas bom prosil, da preostala dva problema rešite sami. Primerjaj odgovore?

Še enkrat ponavljam: te probleme je lažje (hitreje) reševati s konstrukcijami, ne pa s koordinatno metodo. Ta način reševanja sem pokazal samo zato, da bi vam pokazal univerzalno metodo, ki vam omogoča, da "ničesar ne dokončate."

Na koncu razmislite o zadnjem razredu težav:

Izračun razdalje med poševnimi črtami

Tu bo algoritem za reševanje problemov podoben prejšnjemu. kaj imamo:

3. Vsak vektor, ki povezuje točki prve in druge vrstice:

Kako najdemo razdaljo med vrsticami?

Formula je:

Števec je modul mešanega produkta (uvedli smo ga v prejšnjem delu), imenovalec pa kot v prejšnji formuli (modul vektorskega produkta usmerjevalnih vektorjev premic, razdalja med katerimi iščemo za).

na to vas bom spomnil

potem formulo za razdaljo lahko prepišemo kot:

To determinanto delimo z determinanto! Čeprav, če sem iskren, tukaj nisem razpoložen za šale! Ta formula, je pravzaprav zelo okoren in vodi do precej zapletenih izračunov. Na tvojem mestu bi ga uporabil le kot zadnjo možnost!

Poskusimo rešiti nekaj težav z zgornjo metodo:

1. V desni trikotni prizmi so vsi robovi nekako enaki, poiščite razdaljo med ravnima in.

2. Glede na desno predhodno oblikovano trikotno prizmo so vsi robovi os-no-va-niya nekoga enaki Se-che-tion, ki potekajo skozi drugo rebro in se-re-di-nu rebra so yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Najdi-di-te dis-sto-I-nie med naravnost-mi-mi in

Jaz se odločim za prvo, na podlagi tega pa za drugo!

1. Narišem prizmo in označim črte in

Koordinate točke C: potem

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(matrika)(*(20)(l))(\begin(matrika)(*(20)(c))0&1&0\end(matrika))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(matrika))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(matrika))\konec(matrika)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Upoštevamo navzkrižni produkt med vektorji in

\[\puščica nad desno (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(matrika)\\\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matrika)\end(matrika) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Zdaj upoštevamo njegovo dolžino:

odgovor:

Zdaj poskusite previdno opraviti drugo nalogo. Odgovor na to bo:.

Koordinate in vektorji. Kratek opis in osnovne formule

Vektor je usmerjen segment. - začetek vektorja, - konec vektorja.
Vektor je označen z oz.

Absolutna vrednost vektor - dolžina segmenta, ki predstavlja vektor. Označeno kot.

Vektorske koordinate:

,
kjer so konci vektorja \displaystyle a .

Vsota vektorjev: .

Produkt vektorjev:

Pik produkt vektorjev: