Določanje inverzne funkcije njenih lastnosti in graf. Medsebojno inverzne funkcije

Naj bosta množici $X$ in $Y$ vključeni v množico realnih števil. Predstavimo pojem inverzibilne funkcije.

Opredelitev 1

Funkcija $f:X\to Y$, ki preslika množico $X$ v množico $Y$, se imenuje inverzibilna, če za kateri koli element $x_1,x_2\in X$ izhaja iz dejstva, da je $x_1\ne x_2$, da $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Zdaj lahko uvedemo pojem inverzne funkcije.

Opredelitev 2

Naj bo funkcija $f:X\to Y$, ki preslika množico $X$ v množico $Y$, inverzibilna. Nato funkcija $f^(-1):Y\to X$ preslika množico $Y$ v množico $X$ in definira pogoj $f^(-1)\left(y\right)=x$ imenujemo inverzno za $f( x)$.

Formulirajmo izrek:

Izrek 1

Naj bo definirana funkcija $y=f(x)$, monotono naraščajoča (padajoča) in neprekinjena v nekem intervalu $X$. Nato ima v ustreznem intervalu $Y$ vrednosti te funkcije inverzno funkcijo, ki je tudi monotono naraščajoča (padajoča) in neprekinjena na intervalu $Y$.

Uvedemo zdaj neposredno pojem medsebojno inverznih funkcij.

Opredelitev 3

V okviru definicije 2 se funkciji $f(x)$ in $f^(-1)\left(y\right)$ imenujeta medsebojno inverzni funkciji.

Lastnosti medsebojno inverznih funkcij

Naj sta funkciji $y=f(x)$ in $x=g(y)$ medsebojno inverzni, potem

$y=f(g\levo(y\desno))$ in $x=g(f(x))$

Domena funkcije $y=f(x)$ je enaka domeni vrednosti funkcije $\ x=g(y)$. In domena funkcije $x=g(y)$ je enaka domeni vrednosti funkcije $\ y=f(x)$.

Grafi funkcij $y=f(x)$ in $x=g(y)$ so simetrični glede na premico $y=x$.

Če se ena od funkcij poveča (zmanjša), se poveča (zmanjša) tudi druga funkcija.

Iskanje inverzne funkcije

Rešena je enačba $y=f(x)$ glede na spremenljivko $x$.

Iz dobljenih korenin najdemo tiste, ki pripadajo intervalu $X$.

Najdeni $x$ se dodeli številki $y$.

Primer 1

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=x^2$ na intervalu $X=[-1,0]$

Ker je ta funkcija padajoča in zvezna na intervalu $X$, potem na intervalu $Y=$, ki je tudi na tem intervalu padajoča in zvezna (Teorem 1).

Izračunaj $x$:

\ \

Izberite ustrezen $x$:

odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Težave pri iskanju inverznih funkcij

V tem delu obravnavamo inverzne funkcije za nekatere osnovne funkcije. Naloge bodo rešene po zgornji shemi.

Primer 2

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=x+4$

Poiščite $x$ iz enačbe $y=x+4$:

Primer 3

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=x^3$

Odločitev.

Ker je funkcija naraščajoča in zvezna na celotnem področju definicije, ima po izreku 1 na njej inverzno zvezno in naraščajočo funkcijo.

Poiščite $x$ iz enačbe $y=x^3$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Vrednost v našem primeru je primerna (ker so obseg vse številke)

Če ponovno definiramo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Primer 4

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=cosx$ na intervalu $$

Odločitev.

Razmislite o funkciji $y=cosx$ na množici $X=\left$. Je zvezna in padajoča na množici $X$ in preslika množico $X=\left$ na množico $Y=[-1,1]$, torej z izrekom o obstoju inverzne neprekinjene monotone funkcije, funkcija $y=cosx$ v množici $Y$ obstaja inverzna funkcija, ki je prav tako neprekinjena in narašča v množici $Y=[-1,1]$ ter preslika množico $[-1,1]$ na niz $\left$.

Poiščite $x$ iz enačbe $y=cosx$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Če ponovno definiramo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Primer 5

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Odločitev.

Razmislite o funkciji $y=tgx$ na množici $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Je kontinuirana in naraščajoča na množici $X$ in preslika množico $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na množico $Y =R$ ima torej po izreku o obstoju inverzne zvezne monotone funkcije funkcija $y=tgx$ v množici $Y$ inverzno funkcijo, ki je prav tako neprekinjena in narašča v množici $Y=R $ in preslika množico $R$ na množico $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Poiščite $x$ iz enačbe $y=tgx$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Če ponovno definiramo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Kaj je inverzna funkcija? Kako najti inverzno funkcijo od dane?

Opredelitev .

Naj bo funkcija y=f(x) definirana na množici D in E je množica njenih vrednosti. Inverzna funkcija glede na funkcija y=f(x) je funkcija x=g(y), ki je definirana na množici E in vsakemu y∈E dodeli vrednost x∈D, tako da je f(x)=y.

Tako je domena funkcije y=f(x) domena inverzne funkcije, domena y=f(x) pa je domena inverzne funkcije.

Če želite najti inverzno funkcijo od dane funkcije y=f(x), morate :

1) V formuli funkcije namesto y nadomestite x namesto x - y:

2) Iz nastale enakosti izrazite y v smislu x:

Poiščite inverzno funkcijo funkciji y=2x-6.

Funkciji y=2x-6 in y=0,5x+3 sta medsebojno inverzni.

Grafi neposrednih in inverznih funkcij so simetrični glede na premico y=x(simetrale I in III koordinatnih četrtin).

y=2x-6 in y=0,5x+3 - . Graf linearne funkcije je . Za risanje ravne črte vzamemo dve točki.

Možno je enolično izraziti y v smislu x, če ima enačba x=f(y) edinstveno rešitev. To je mogoče storiti, če funkcija y=f(x) vzame vsako od svojih vrednosti na eni točki svoje domene definicije (takšna funkcija se imenuje reverzibilno).

Izrek (potreben in zadosten pogoj, da je funkcija invertibilna)

Če je funkcija y=f(x) definirana in zvezna na številčnem intervalu, potem je za inverzibilnost funkcije potrebno in zadostno, da je f(x) strogo monotona.

Poleg tega, če se y=f(x) poveča na intervalu, se na tem intervalu poveča tudi funkcija, inverzna ji; če se y=f(x) zmanjšuje, se tudi inverzna funkcija zmanjšuje.

Če pogoj reverzibilnosti ni izpolnjen na celotnem področju definicije, lahko izpostavimo interval, kjer funkcija samo narašča ali samo pada, in na tem intervalu poiščemo funkcijo, inverzno dani.

Klasičen primer je. Vmes

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - liha funkcija, graf je simetričen glede na točko O (0; 0).

arcsin x = 0 pri x = 0.

arcsin x > 0 pri x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x se poveča za kateri koli x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Ark kosinus

Kosinusna funkcija se na segmentu zmanjša in prevzame vse vrednosti od -1 do 1. Zato je za vsako število a, tako da je |a|1, en sam koren v enačbi cosx=a na segmentu. To število v se imenuje arkosinus števila a in je označeno kot arcos a.

Opredelitev . Ark kosinus števila a, kjer je -1 a 1, je število iz odseka, katerega kosinus je enak a.

Lastnosti.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcija ni niti soda niti liha.
arccos x = 0 pri x = 1
arccos x > 0 pri x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x se zmanjša za kateri koli x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - padajoče.

Arktangent

Tangentna funkcija se poveča na segmentu -
, zato ima v skladu s korenskim izrekom enačba tgx \u003d a, kjer je a katero koli realno število, edinstven koren x na intervalu -. Ta koren se imenuje ločni tangent števila a in je označen z arctga.

Opredelitev. Arc tangent števila aR to število se imenuje x , katerega tangenta je a.

Lastnosti.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funkcija je liha, graf je simetričen glede na točko O (0; 0).

arctg x = 0 pri x = 0

Funkcija se poveča za kateri koli x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangenta

Kotangentna funkcija na intervalu (0;) se zmanjša in vzame vse vrednosti iz R. Zato za katero koli število a v intervalu (0;) obstaja en sam koren enačbe ctg x = a. To število a se imenuje ločni tangent števila a in je označeno z arcctg a.

Opredelitev. Ark tangenta števila a, kjer je a R, je takšno število iz intervala (0;) , katerega kotangens je a.

Lastnosti.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcija ni niti soda niti liha.

arcctg x = 0- ne obstaja.

Funkcija y = arcctg x zmanjša za katero koli х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcija je neprekinjena za kateri koli x є R.

2.3 Identitetne transformacije izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije

Primer 1. Poenostavite izraz:

a)
kje

Odločitev. Postavimo
. Potem
in
Najti
, uporabimo relacijo
Dobimo
Ampak . Na tem segmentu ima kosinus samo pozitivne vrednosti. tako,
, tj
kje
.

Odločitev.

Odločitev. Postavimo
. Potem
in
Najprej poiščemo, za kar uporabljamo formulo
, kje
Ker ima kosinus na tem intervalu samo pozitivne vrednosti, potem
.

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

oblikovati znanje o novi temi v skladu s programskim gradivom;
preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani;

Razvoj:

razviti veščine samokontrole, predmetni govor;
obvladati pojem inverzne funkcije in se naučiti metod iskanja inverzne funkcije;

Vzgojna: oblikovati komunikacijsko kompetenco.

oprema: računalnik, projektor, platno, SMART Board interaktivna tabla, izročnik (samostojno delo) za skupinsko delo.

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek.

Tarča – priprava učencev na delo v razredu:

Opredelitev odsotnega,

Odnos učencev do dela, organizacija pozornosti;

Sporočilo o temi in namenu lekcije.

2. Posodabljanje osnovnega znanja učencev. sprednja anketa.

Cilj - ugotavljati pravilnost in ozaveščenost preučenega teoretičnega gradiva, ponavljanje obravnavanega gradiva.<Приложение 1 >

Na interaktivni tabli za študente je prikazan graf funkcije. Učitelj oblikuje nalogo - razmisliti o grafu funkcije in navesti preučene lastnosti funkcije. Študentje navedejo lastnosti funkcije glede na zasnovo raziskave. Učitelj desno od grafa funkcije zapiše poimenovane lastnosti z oznako na interaktivno tablo.

Lastnosti funkcije:

Ob koncu študija učitelj poroča, da se bodo danes na lekciji seznanili še z eno lastnostjo funkcije - reverzibilnostjo. Za smiselno preučevanje nove snovi učitelj povabi otroke, da se seznanijo z glavnimi vprašanji, na katera morajo učenci odgovoriti ob koncu ure. Vprašanja so napisana na navadni tabli in vsak učenec ima izročen material (razdeljen pred poukom)

Kaj je reverzibilna funkcija?
Ali je vsaka funkcija reverzibilna?
Kakšna je inverzna dana funkcija?
Kako sta povezana domena definicije in nabor vrednosti funkcije in njene inverzne funkcije?
Če je funkcija podana analitično, kako s formulo definirate inverzno funkcijo?
Če je funkcija podana grafično, kako narisati njeno inverzno funkcijo?

3. Razlaga novega gradiva.

Tarča - oblikovati znanje o novi temi v skladu s programskim gradivom; preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani; razvijati predmet.

Učitelj izvede predstavitev snovi v skladu z gradivom odstavka. Učitelj na interaktivni tabli primerja grafe dveh funkcij, katerih domeni definicije in nizi vrednosti sta enaki, vendar je ena od funkcij monotona, druga pa ne, s čimer učence pripelje pod pojem inverzibilne funkcije. .

Učitelj nato oblikuje definicijo inverzibilne funkcije in izvede dokaz izreka o invertibilni funkciji z uporabo grafa monotone funkcije na interaktivni tabli.

Definicija 1: Klicana je funkcija y=f(x), x X reverzibilno, če vzame katero koli od svojih vrednosti samo na eni točki množice X.

Izrek: Če je funkcija y=f(x) monotona na množici X, potem je inverzibilna.

Dokaz:

Pustite funkcijo y=f(x) poveča za X naj gre x 1 ≠ x 2- dve točki niza X.
Za gotovost naj x 1< x 2.
Potem od česa x 1< x 2 sledi temu f(x 1) < f(x 2).
Tako različne vrednosti argumenta ustrezajo različnim vrednostim funkcije, t.j. funkcija je reverzibilna.

(Med dokazovanjem izreka učitelj naredi vse potrebne razlage na risbi z markerjem)

Preden oblikuje definicijo inverzne funkcije, učitelj prosi učence, naj ugotovijo, katera od predlaganih funkcij je reverzibilna? Interaktivna tabla prikazuje grafe funkcij in zapisanih je več analitično definiranih funkcij:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Učitelj predstavi definicijo inverzne funkcije.

Definicija 2: Naj bo invertibilna funkcija y=f(x) definirano na setu X in E(f)=Y. Uskladimo vsakega y od Y potem edini pomen X, pri katerem f(x)=y. Nato dobimo funkcijo, ki je definirana na Y, a X je obseg funkcije

Ta funkcija je označena x=f -1 (y) in se imenuje inverzna funkcija y=f(x).

Študentje so povabljeni, da sklepajo o razmerju med področjem definicije in nizom vrednosti inverznih funkcij.

Za preučitev vprašanja, kako najti inverzno funkcijo dane, je učitelj vključil dva učenca. Dan prej so otroci od učiteljice prejeli nalogo, da samostojno analizirajo analitično in grafično metodo za iskanje inverzne dane funkcije. Učiteljica je bila svetovalka pri pripravi učencev na pouk.

Sporočilo prvega študenta.

Opomba: monotonost funkcije je dovolj pogoj za obstoj inverzne funkcije. Ampak to ni nujen pogoj.

Študent je navedel primere različnih situacij, ko funkcija ni monotona, ampak reverzibilna, ko funkcija ni monotona in ni reverzibilna, ko je monotona in reverzibilna.

Nato študent seznani študente z metodo iskanja inverzne funkcije, podane analitično.

Iskanje algoritma

Prepričajte se, da je funkcija monotona.
Izrazite x v smislu y.
Preimenuj spremenljivke. Namesto x \u003d f -1 (y) pišejo y = f -1 (x)

Nato reši dva primera za iskanje funkcije inverzne od dane.

Primer 1: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=5x-3 in poiščite njen analitični izraz.

Odločitev. Linearna funkcija y=5x-3 je definirana na R, narašča na R, njen obseg pa je R. Zato inverzna funkcija obstaja na R. Da bi našli njen analitični izraz, rešimo enačbo y=5x-3 glede na x; dobimo To je želena inverzna funkcija. Opredeljuje in povečuje z R.

2. primer: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=x 2 , x≤0, in poiščite njen analitični izraz.

Funkcija je neprekinjena, monotona v svoji domeni definicije, zato je inverzibilna. Po analizi področij definicije in niza vrednosti funkcije pridemo do ustreznega sklepa o analitičnem izrazu za inverzno funkcijo.

Drugi učenec naredi predstavitev o grafično kako najti inverzno funkcijo. Študent pri razlagi uporablja zmožnosti interaktivne table.

Da bi dobili graf funkcije y=f -1 (x), inverzno funkciji y=f(x), je treba graf funkcije y=f(x) preoblikovati simetrično glede na ravno črto y=x.

Med razlago na interaktivni tabli se izvede naslednja naloga:

Sestavite graf funkcije in graf njene inverzne funkcije v istem koordinatnem sistemu. Zapišite analitični izraz za inverzno funkcijo.

4. Primarna fiksacija novega materiala.

Cilj - ugotavljati pravilnost in zavedanje razumevanja preučenega gradiva, ugotavljati vrzeli v primarnem razumevanju snovi, jih popraviti.

Učenci so razdeljeni v pare. Dobijo liste z nalogami, pri katerih delajo v parih. Čas za dokončanje dela je omejen (5-7 minut). En par učencev dela na računalniku, projektor je za ta čas izklopljen, ostali otroci pa ne vidijo, kako učenci delajo na računalniku.

Ob koncu časa (predvideva se, da je večina učencev delo opravila) se na interaktivni tabli (projektor se ponovno vklopi) prikaže delo učencev, kjer se med testom razjasni, da je bila naloga opravljena v pari. Po potrebi učitelj opravi korektivno, pojasnjevalno delo.

Samostojno delo v parih<Priloga 2 >

5. Rezultat lekcije. Na vprašanja, ki so bila zastavljena pred predavanjem. Razglasitev ocen za pouk.

Domača naloga §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra in začetki analize. 10. razred V 2 delih za izobraževalne ustanove (profilna raven) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova in drugi; ur. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Medsebojno inverzne funkcije.

Naj bo funkcija strogo monotona (naraščajoča ali padajoča) in zvezna na področju definicije, obseg te funkcije, nato pa je na intervalu definirana neprekinjena strogo monotona funkcija z obsegom vrednosti, ki je inverzna za .

Z drugimi besedami, smiselno je govoriti o inverzni funkciji za funkcijo na določenem intervalu, če se na tem intervalu bodisi poveča ali zmanjša.

Funkcije f in g se imenujejo vzajemni.

Zakaj sploh razmišljati o konceptu inverznih funkcij?

To je posledica problema reševanja enačb. Rešitve so samo zapisane v obliki inverznih funkcij.

Razmislite nekaj primerov iskanja inverznih funkcij .

Začnimo z linearnimi medsebojno inverznimi funkcijami.

Poiščite inverzno funkcijo za.

Ta funkcija je linearna, njen graf je ravna črta. Funkcija je torej monotona na celotnem področju definicije. Zato bomo na celotni domeni definicije poiskali funkcijo, inverzno njej.

Express x skozi y (z drugimi besedami, rešite enačbo za x ).

- to je inverzna funkcija, resnica je tukaj y je argument in x je funkcija tega argumenta. Da ne bi prekinili navad pri zapisovanju (to ni bistvenega pomena), preureditev črk x in y , bo napisal .

Tako sta in sta medsebojno inverzni funkciji.

Podamo grafično ponazoritev medsebojno inverznih linearnih funkcij.

Očitno so grafi simetrični glede na ravno črto. (simetrale prve in tretje četrtine). To je ena od lastnosti medsebojno inverznih funkcij, o kateri bomo govorili v nadaljevanju.

Poiščite inverzno funkcijo.

Ta funkcija je kvadratna, graf je parabola z vrhom v točki.

Funkcija se poveča kot in zmanjša kot . To pomeni, da lahko iščemo inverzno funkcijo za dano v enem od dveh intervalov.

Naj torej in z zamenjavo x in y dobimo inverzno funkcijo na danem intervalu: .

Poiščite inverzno funkcijo.

Ta funkcija je kubična, graf je kubična parabola z vrhom v točki.

Funkcija se poveča pri. To pomeni, da je možno iskati inverzno funkcijo za dano na celotni domeni definicije.

, in z zamenjavo x in y dobimo inverzno funkcijo.

Ponazorimo to na grafu.

Naštejmo lastnosti medsebojno inverznih funkcij in.

in.

Iz prve lastnosti je razvidno, da obseg funkcije sovpada z obsegom funkcije in obratno.

Grafi medsebojno inverznih funkcij so simetrični glede na ravno črto.

Če se poveča, potem se poveča; če se zmanjša, potem se zmanjša.

Za dano funkcijo poiščite inverzno funkcijo:

Za dano funkcijo poiščite inverzno in narišite dano in inverzno funkcijo:

Ugotovite, ali obstaja inverzna funkcija za dano funkcijo. Če je odgovor pritrdilen, nato analitično definirajte inverzno funkcijo, narišite dano in inverzno funkcijo:

Poiščite domeno in obseg funkcije, inverzno funkciji, če:

Poiščite obseg vsake od medsebojno inverznih funkcij in, če so podani njihovi razponi:

Ali so funkcije medsebojno inverzne, če:

Poiščite inverzno funkcijo od dane. Narišite na isti koordinatni sistem grafe teh medsebojno inverznih funkcij:
Ali je ta funkcija obratna sama sebi: Določite funkcijo, inverzno dani, in narišite njen graf: