Sposobnost izračunavanja prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših oblik je piramida. V tem članku bomo obravnavali piramide, tako polne kot okrnjene.

Piramida kot tridimenzionalna figura

Vsi vedo o Egipčanske piramide, zato je dobro predstavljeno, o kateri številki bo govora. Kljub temu so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.

Geometrijski predmet, ki ga obravnavamo v splošnem primeru, je poligonalna osnova, katere vsako oglišče je povezano z neko točko v prostoru, ki ne pripada osnovni ravnini. Ta definicija vodi do figure, sestavljene iz enega n-kotnika in n trikotnikov.

Vsaka piramida je sestavljena iz n+1 ploskve, 2*n robov in n+1 oglišč. Ker je obravnavana slika popoln polieder, število označenih elementov ustreza Eulerjevi enačbi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon, ki se nahaja na dnu, daje ime piramidi, na primer trikotna, peterokotna itd. Komplet piramid z različne podlage prikazano na spodnji fotografiji.

Točka, na kateri sta povezana n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če z njega spustimo pravokotnico na osnovo in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna slika imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, potem obstaja nagnjena piramida.

Ravna figura, katere osnovo tvori enakostranični (enakokotni) n-kotnik, se imenuje pravilna.

Formula piramidnega volumna

Za izračun prostornine piramide uporabljamo integralni račun. Da bi to naredili, lik razdelimo s sekantnimi ravninami, vzporednimi z osnovo, na neskončno število tankih plasti. Spodnja slika prikazuje štirikotno piramido višine h in dolžine stranice L, v kateri označuje štirikotnik tanek sloj odsekov.

Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati po formuli:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Tukaj je A 0 površina osnove, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z = 0, potem formula daje vrednost A 0 .

Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Z zamenjavo odvisnosti A(z) in izračunom antiderivata pridemo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, je dovolj, da višino figure pomnožite s površino osnove in nato rezultat delite s tri.

Upoštevajte, da je dobljeni izraz veljaven za izračun prostornine piramide poljubnega tipa. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.

in njen volumen

Prejeto v zgornjem odstavku splošna formula za prostornino je mogoče določiti v primeru piramide s pravi temelj. Površina takšne osnove se izračuna po naslednji formuli:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Tukaj je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je število pi.

Če zamenjamo izraz za A 0 v splošno formulo, dobimo prostornino pravilne piramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primer, za trikotno piramido ta formula vodi do naslednjega izraza:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilno štirikotno piramido ima formula prostornine obliko:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.

Piramida okrnjena

Recimo, da smo vzeli poljubno piramido in odrezali del njene stranske površine, ki vsebuje vrh. Preostala figura se imenuje okrnjena piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih baz in n trapeza, ki ju povezujeta. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z osnovo figure, se oblikuje okrnjena piramida z vzporednimi podobnimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani enega od njih dobimo tako, da pomnožimo dolžine drugega z nekim koeficientom k.

Zgornja slika prikazuje okrnjenega pravilnega, vidno je, da njegovo zgornjo osnovo tako kot spodnjo tvori pravilen šesterokotnik.

Formula, ki jo je mogoče izpeljati z uporabo integralnega računa, podobnega podanemu, je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Kjer sta A 0 in A 1 površini spodnje (velike) in zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h označuje višino okrnjene piramide.

Prostornina Keopsove piramide

Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo vsebuje največja egipčanska piramida.

Leta 1984 sta ustanovila britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman točne dimenzije Keopsova piramida. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno okoli 137 metrov). Povprečna dolžina vsaka od štirih strani konstrukcije je bila 230.363 metrov. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.

S pomočjo podanih številk določimo prostornino tega kamnitega velikana. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:

Če dodamo številke, dobimo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Prostornina Keopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m 3. Za primerjavo ugotavljamo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m 3. To pomeni, da bo za zapolnitev celotne Cheopsove piramide potrebnih več kot 1000 takšnih bazenov!

• 09.10.2014

  Predojačevalnik, prikazan na sliki, je zasnovan za uporabo s 4 vrstami zvočnih virov, kot so mikrofon, CD predvajalnik, magnetofon itd. Hkrati ima predojačevalnik en vhod, ki lahko spremeni občutljivost od 50mV do 500mV. . izhodna napetost ojačevalnika je 1000mV. Povezovanje različnih virov signal pri preklopu stikala SA1, bomo vedno dobili ...

• 20.09.2014

  Napajalnik je zasnovan za obremenitev z močjo 15 ... 20 vatov. Vir je izdelan po shemi enocikličnega impulznega visokofrekvenčnega pretvornika. Na tranzistorju je sestavljen oscilator, ki deluje pri frekvenci 20 ... 40 kHz. Frekvenca se prilagaja s kapacitivnostjo C5. Elementi VD5, VD6 in C6 tvorijo vezje za zagon oscilatorja. V sekundarnem tokokrogu je za mostnim usmernikom na mikrovezju običajen linearni stabilizator, ki vam omogoča ...

• 28.09.2014

  Slika prikazuje generator na čipu K174XA11, katerega frekvenco nadzira napetost. S spreminjanjem kapacitivnosti C1 s 560 na 4700pF lahko dosežemo široko frekvenčno območje, frekvenco pa prilagajamo s spreminjanjem upora R4. Na primer, avtor je ugotovil, da je pri C1 = 560pF frekvenco generatorja mogoče spremeniti s pomočjo R4 od 600Hz do 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enota je zasnovana za napajanje močnega ULF, zasnovana je za izhodno napetost ± 27 V in tako obremeni do 3 A na vsako roko. Napajalnik je bipolarni, izdelan na kompletnih kompozitnih tranzistorjih KT825-KT827. Obe kraki stabilizatorja sta izdelani po isti shemi, vendar v drugi roki (ni prikazana) se spremeni polarnost kondenzatorjev in se uporabljajo tranzistorji drugega ...

piramida. Okrnjena piramida

piramida se imenuje polieder, katerega ena od ploskov je mnogokotnik ( bazo ), vse druge ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranske ploskve ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče osnove (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, v kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Stransko rebro piramida se imenuje stran stranske ploskve, ki ne pripada podnožju Višina piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine osnove. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Imenuje se višina stranske ploskve pravilne piramide, vlečene iz vrha apotema . diagonalni prerez Presek piramide se imenuje ravnina, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Površina stranske površine piramida se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskov. območje polna površina je vsota površin vseh stranskih ploskov in osnove.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni k ravnini osnove, potem je vrh piramide projiciran v središče opisanega kroga blizu osnove.

2. Če imajo v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, se vrh piramide projicira v središče opisanega kroga blizu osnove.

3. Če so v piramidi vse ploskve enako nagnjene k ravnini osnove, potem se vrh piramide projicira v središče kroga, vpisanega v osnovo.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

kje V- prostornina;

S glavni- osnovna površina;

H je višina piramide.

Za navadno piramido veljajo naslednje formule:

kje str- obod osnove;

h a- apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S glavni- osnovna površina;

V je prostornina pravilne piramide.

okrnjena piramida imenujemo del piramide, zaprt med osnovo in rezalno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna okrnjena piramida imenujemo del pravilne piramide, zaprt med osnovo in rezalno ravnino, vzporedno z osnovo piramide.

Temelji okrnjena piramida - podobni poligoni. Stranski obrazi - trapez. Višina okrnjena piramida se imenuje razdalja med njenimi osnovami. Diagonala Okrnjena piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. diagonalni prerez Presek okrnjene piramide imenujemo ravnina, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za okrnjeno piramido veljajo formule:

(4)

kje S 1 , S 2 - območja zgornje in spodnje podlage;

S poln je skupna površina;

S stran je stranska površina;

H- višina;

V je prostornina okrnjene piramide.

Za običajno okrnjeno piramido velja naslednja formula:

kje str 1 , str 2 - osnovni obod;

h a- apotem pravilne okrnjene piramide.

Primer 1 V pravilni trikotni piramidi je kot diedra pri dnu 60°. Poiščite tangento kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

Odločitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni, da je osnova enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa enakokraki trikotniki. Diedrski kot na dnu - to je kot naklona stranske ploskve piramide do ravnine osnove. Linearni kot bo kot a med dvema pravokotnicama: t.j. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in vpisan krog v trikotniku ABC). Kot naklona stranskega rebra (npr SB) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na osnovno ravnino. Za rebra SB ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge TAKO in OB. Naj bo dolžina segmenta BD je 3 a. pika O odsek črte BD je razdeljen na dele: in Od najdemo TAKO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2 Poiščite prostornino pravilne prirezane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov cm in cm in višina 4 cm.

Odločitev. Za določitev prostornine okrnjene piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površine baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranici osnov sta 2 cm oziroma 8 cm, kar pomeni površine baz in Če v formulo nadomestimo vse podatke, izračunamo prostornino okrnjene piramide:

odgovor: 112 cm3.

Primer 3 Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere osnovni strani sta 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

Odločitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Za izračun površine trapeza morate poznati osnove in višino. Osnove so podane s pogojem, neznana ostane le višina. Najdi od kod AMPAK 1 E pravokotno iz točke AMPAK 1 na ravnini spodnje osnove, A 1 D- pravokotno od AMPAK 1 na AC. AMPAK 1 E\u003d 2 cm, saj je to višina piramide. Za iskanje DE izdelali bomo dodatno risbo, na kateri bomo upodobili pogled od zgoraj (slika 20). Dot O- projekcija središč zgornje in spodnje baze. saj (glej sliko 20) in Po drugi strani v redu je polmer vpisane krožnice in OM je polmer vpisanega kroga:

MK=DE.

Po Pitagorejskem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4 Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove a in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite skupno površino piramide.

Odločitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD je enak vsoti površin in površine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene k ravnini osnove, se oglišče projicira v središče kroga, vpisanega v osnovo. Dot O- projekcija vrhov S na dnu piramide. trikotnik SOD je ortogonalna projekcija trikotnika CSD na osnovno ravnino. Po izreku o območju pravokotne projekcije ravne figure dobimo:

Podobno pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje površine trapeza ABCD. Narišite trapez ABCD ločeno (slika 22). Dot O je središče kroga, vpisanega v trapez.

Ker je krog mogoče vpisati v trapez, potem ali Po Pitagorejevem izreku imamo