Formula za iskanje kosinusa med vektorji. Pik produkt vektorjev

Navodilo

Naj sta na ravnini podana dva neničelna vektorja, izrisana iz ene točke: vektor A s koordinatami (x1, y1) B s koordinatami (x2, y2). Injekcija med njima je označena kot θ. Če želite najti stopinjsko mero kota θ, morate uporabiti definicijo skalarnega produkta.

Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ni nič, je število enako zmnožku dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima, to je (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Zdaj morate izraziti kosinus kota iz tega: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarni produkt je mogoče najti tudi s formulo (A,B)=x1*x2+y1*y2, saj je produkt dveh neničelni vektorji je enak vsoti produktov ustreznih vektorjev. Če je skalarni produkt vektorjev, ki niso nič, enak nič, so vektorji pravokotni (kot med njima je 90 stopinj) in nadaljnje izračune je mogoče izpustiti. Če je skalarni produkt dveh vektorjev pozitiven, potem je kot med njima vektorji oster, in če je negativen, potem je kot tup.

Zdaj izračunajte dolžini vektorjev A in B po formulah: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Dolžina vektorja se izračuna kot Kvadratni koren iz vsote kvadratov njegovih koordinat.

Najdene vrednosti skalarnega produkta in dolžine vektorjev nadomestite v formulo za kot, pridobljen v koraku 2, to je cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Zdaj, vedoč vrednost , da bi našli stopnjo mero kota med vektorji morate uporabiti Bradisovo tabelo ali vzeti iz tega: θ=arccos(cos(θ)).

Če sta vektorja A in B podana v tridimenzionalnem prostoru in imata koordinate (x1, y1, z1) oziroma (x2, y2, z2), se pri iskanju kosinusa kota doda še ena koordinata. V tem primeru kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Koristni nasveti

Če dva vektorja nista izrisana iz ene točke, morate začetke teh vektorjev združiti, da bi našli kot med njima z vzporednim prevodom.
Kot med dvema vektorjema ne sme biti večji od 180 stopinj.

Viri:

kako izračunati kot med vektorji
Kot med črto in ravnino

Za reševanje številnih problemov, tako uporabnih kot teoretičnih, v fiziki in linearni algebri je potrebno izračunati kot med vektorji. Ta na videz preprosta naloga lahko povzroči veliko težav, če ne razumete jasno bistva skalarnega produkta in kakšne vrednosti se pojavi kot rezultat tega izdelka.

Navodilo

Kot med vektorji v linearnem vektorskem prostoru je najmanjši kot pri , pri katerem je dosežena sousmerjenost vektorjev. Eden od vektorjev se prenaša okoli svoje začetne točke. Iz definicije postane očitno, da vrednost kota ne sme presegati 180 stopinj (glej korak).

V tem primeru se povsem upravičeno domneva, da se v linearnem prostoru pri vzporednem prenosu vektorjev kot med njima ne spremeni. Zato za analitični izračun kota prostorska orientacija vektorjev ni pomembna.

Rezultat pik produkta je število, sicer skalar. Ne pozabite (to je pomembno vedeti), da preprečite napake pri nadaljnjih izračunih. Formula za skalarni produkt, ki se nahaja na ravnini ali v prostoru vektorjev, ima obliko (glej sliko za korak).

Če se vektorji nahajajo v prostoru, izvedite izračun na podoben način. Edina stvar bo pojav izraza v dividendi - to je izraz za prijavo, t.j. tretja komponenta vektorja. V skladu s tem je treba pri izračunu modula vektorjev upoštevati tudi komponento z, nato pa se za vektorje, ki se nahajajo v prostoru, zadnji izraz transformira na naslednji način (glej sliko 6 v koraku).

Vektor je odsek črte z dano smerjo. Kot med vektorjema ima fizični pomen, na primer pri iskanju dolžine projekcije vektorja na os.

Navodilo

Kot med dvema neničelnima vektorjema z izračunom produkta pik. Po definiciji je produkt enak zmnožku dolžin in kota med njimi. Po drugi strani pa se izračuna notranji produkt za dva vektorja a s koordinatami (x1; y1) in b s koordinatami (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Od teh dveh načinov je pikčasti produkt enostavno nagniti med vektorji.

Poiščite dolžine ali module vektorjev. Za naša vektorja a in b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Poiščite notranji produkt vektorjev tako, da njihove koordinate pomnožite v parih: ab = x1x2 + y1y2. Iz definicije pik produkta ab = |a|*|b|*cos α, kjer je α kot med vektorjema. Potem dobimo, da je x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Potem je cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Poiščite kot α s pomočjo Bradysovih tabel.

Povezani videoposnetki

Opomba

Skalarni produkt je skalarna značilnost dolžin vektorjev in kota med njimi.

Ravnina je eden od osnovnih pojmov v geometriji. Ravnina je površina, za katero trditev drži - vsaka ravna črta, ki povezuje dve njeni točki, v celoti pripada tej površini. Letala so označena grške črkeα, β, γ itd. Dve ravnini se vedno sekata v ravni črti, ki pripada obema ravninama.

Navodilo

Razmislite o polravnini α in β, ki nastaneta na presečišču . Kot, ki ga tvorita ravna črta a in dve polravnini α in β z diedrskim kotom. V tem primeru polravnine, ki tvorijo dvodelni kot s ploskvami, premico a, vzdolž katere se ravnine sekata, imenujemo rob diedrski kot.

Diedrski kot, kot ravni kot, v stopinjah. Za izdelavo diedričnega kota je treba na njegovi ploskvi izbrati poljubno točko O. V obeh sta skozi točko O potegnjena dva žarka a. Nastali kot AOB imenujemo linearni kot diedralnega kota a.

Torej, naj sta podani vektor V = (a, b, c) in ravnina A x + B y + C z = 0, kjer so A, B in C koordinate normale N. Potem kosinus kota α med vektorjema V in N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Če želite izračunati vrednost kota v stopinjah ali radianih, morate iz dobljenega izraza izračunati funkcijo, inverzno kosinusu, t.j. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primer: najdi injekcija med vektor(5, -3, 8) in letalo, podano s splošno enačbo 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rešitev: zapiši koordinate vektorja normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamenjajte vse znane vrednosti v zgornji formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani videoposnetki

Napišite enačbo in iz nje ločite kosinus. Po eni formuli je skalarni produkt vektorjev enak njihovim dolžinam, pomnoženim med seboj in s kosinusom kotiček, na drugi pa - vsota produktov koordinat vzdolž vsake od osi. Če izenačimo obe formuli, lahko sklepamo, da je kosinus kotiček mora biti enaka razmerju med vsoto produktov koordinat in zmnožkom dolžin vektorjev.

Zapišite dobljeno enačbo. Za to moramo označiti oba vektorja. Recimo, da so podane v 3D kartezičnem sistemu in so njihove izhodiščne točke v mreži. Smer in velikost prvega vektorja bosta podani s točko (X₁,Y₁,Z₁), drugega - (X₂,Y₂,Z₂), kot pa bo označen s črko γ. Potem so lahko dolžine vsakega od vektorjev, na primer, v skladu s Pitagorejskim izrekom za oblikovane z njihovimi projekcijami na vsako od koordinatnih osi: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) in √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Te izraze nadomestite s formulo, formulirano v prejšnjem koraku, in dobite enakost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Uporabite dejstvo, da je vsota kvadratov sinus in co sinus od kotiček ena vrednost vedno daje eno. Zato z zvišanjem tega, kar je bilo pridobljeno v prejšnjem koraku za co sinus na kvadrat in odštej od enote, nato pa

Pri študiju geometrije se poraja veliko vprašanj na temo vektorjev. Učenec ima posebne težave, ko je treba najti kote med vektorjema.

Osnovni izrazi

Preden se lotimo kotov med vektorji, se je treba seznaniti z definicijo vektorja in pojmom kota med vektorji.

Vektor je segment, ki ima smer, torej segment, za katerega sta definirana njegov začetek in konec.

Kot med dvema vektorjema na ravnini, ki imata skupni izvor, je manjši od kotov, za katerega je treba enega od vektorjev premakniti okoli skupne točke, v položaj, kjer se njuni smeri ujemata.

Formula raztopine

Ko razumete, kaj je vektor in kako se določi njegov kot, lahko izračunate kot med vektorji. Formula rešitve za to je precej preprosta, rezultat njene uporabe pa bo vrednost kosinusa kota. Po definiciji je enak kvocientu skalarnega produkta vektorjev in produkta njihovih dolžin.

Skalarni zmnožek vektorjev se obravnava kot vsota ustreznih koordinat multiplikatorskih vektorjev, pomnoženih med seboj. Dolžina vektorja ali njegov modul se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat.

Ko prejmete vrednost kosinusa kota, lahko izračunate vrednost samega kota s kalkulatorjem ali z trigonometrična miza.

Primer

Ko ugotovite, kako izračunati kot med vektorji, postane rešitev ustreznega problema preprosta in enostavna. Kot primer razmislite o preprostem problemu iskanja velikosti kota.

Najprej bo bolj priročno izračunati vrednosti dolžin vektorjev in njihovega skalarnega produkta, potrebnega za reševanje. Z uporabo zgornjega opisa dobimo:

Z zamenjavo dobljenih vrednosti v formulo izračunamo vrednost kosinusa želenega kota:

Ta številka ni ena od petih običajnih kosinusnih vrednosti, zato boste morali za pridobitev vrednosti kota uporabiti kalkulator ali Bradisovo trigonometrično tabelo. Toda preden dobimo kot med vektorjema, lahko formulo poenostavimo, da se znebimo dodatnega negativnega predznaka:

Končni odgovor lahko pustite v tej obliki, da ohranite natančnost, ali pa izračunate vrednost kota v stopinjah. Po Bradisovi tabeli bo njegova vrednost približno 116 stopinj in 70 minut, kalkulator pa bo pokazal vrednost 116,57 stopinj.

Izračun kota v n-dimenzionalnem prostoru

Pri obravnavanju dveh vektorjev v tridimenzionalnem prostoru je veliko težje razumeti, o katerem kotu govorimo, če ne ležita v isti ravnini. Za poenostavitev zaznavanja lahko narišete dva sekajoča se segmenta, ki tvorita najmanjši kot med njima, in bo želeni. Kljub prisotnosti tretje koordinate v vektorju se postopek izračunavanja kotov med vektorji ne bo spremenil. Izračunajte skalarni produkt in module vektorjev, arkkosinus njihovega količnika in bo odgovor na ta problem.

Pri geometriji se pogosto pojavljajo težave s prostori, ki imajo več kot tri dimenzije. Toda zanje je algoritem za iskanje odgovora podoben.

Razlika med 0 in 180 stopinjami

Ena izmed pogostih napak pri pisanju odgovora na problem, ki je zasnovan za izračun kota med vektorji, je odločitev, da zapišemo, da sta vektorja vzporedna, to je, da se je želeni kot izkazal za 0 ali 180 stopinj. Ta odgovor je napačen.

Ko smo kot rezultat rešitve prejeli vrednost kota 0 stopinj, bi bil pravilen odgovor, da vektorje označimo kot sosmerne, to pomeni, da bodo vektorji imeli isto smer. V primeru pridobitve 180 stopinj bodo vektorji v naravi nasprotnih smeri.

Posebni vektorji

Z iskanjem kotov med vektorji lahko poleg zgoraj opisanih sousmerjenih in nasprotno usmerjenih najdemo enega od posebnih tipov.

Več vektorjev, vzporednih z eno ravnino, se imenujejo komplanarni.
Vektorji, ki so enaki po dolžini in smeri, se imenujejo enaki.
Vektorji, ki ležijo na isti ravni črti, ne glede na smer, se imenujejo kolinearni.
Če je dolžina vektorja nič, torej njegov začetek in konec sovpadata, se imenuje nič, in če je ena, potem se imenuje ena.

Kot med dvema vektorjema, :

Če je kot med dvema vektorjema oster, je njun pik produkt pozitiven; če je kot med vektorjema tup, je skalarni produkt teh vektorjev negativen. Skalarni produkt dveh neničel vektorjev je nič, če in samo če sta ta vektorja ortogonalna.

Vaja. Poiščite kot med vektorji in

Odločitev. Kosinus želenega kota

16. Izračunavanje kota med ravnimi črtami, premo in ravnino

Kot med črto in ravnino seka to premico in ne pravokotno nanjo, je kot med premico in njeno projekcijo na to ravnino.

Določanje kota med premico in ravnino nam omogoča sklepanje, da je kot med premico in ravnino kot med dvema sekajočima premicama: samo premico in njeno projekcijo na ravnino. Zato je kot med premico in ravnino oster kot.

Kot med pravokotno črto in ravnino se šteje za enakega, kot med vzporednico in ravnino pa sploh ni določen ali pa se šteje za enak .

§ 69. Izračun kota med ravnimi črtami.

Problem računanja kota med dvema ravnima v prostoru se rešuje na enak način kot v ravnini (§ 32). S φ označimo kot med črtama l 1 in l 2 , in skozi ψ - kot med vektorjema smeri a in b te ravne črte.

Potem če

ψ 90° (slika 206.6), potem je φ = 180° - ψ. Očitno je, da v obeh primerih velja enakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (1) § 20 imamo

torej,

Naj bodo vrstice podane z njihovimi kanoničnimi enačbami

Nato s formulo določimo kot φ med črtama

Če je ena od vrstic (ali obe) podana z nekanoničnimi enačbami, potem morate za izračun kota poiskati koordinate vektorjev smeri teh črt in nato uporabiti formulo (1).

17. Vzporedne premice, Izreki o vzporednih premicah

Opredelitev. Dve premici v ravnini se imenujeta vzporednoče nimajo skupnih točk.

Dve črti v treh dimenzijah se imenujeta vzporednoče ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Kot med dvema vektorjema.

Iz definicije pik produkta:

Pogoj ortogonalnosti dveh vektorjev:

Pogoj kolinearnosti za dva vektorja:

Sledi iz definicije 5 - . Dejansko iz definicije produkta vektorja s številom sledi. Zato na podlagi pravila vektorske enakosti zapišemo , , , kar pomeni . Toda vektor, ki je rezultat množenja vektorja s številom, je kolinearen vektorju.

Vektorska projekcija:

Primer 4. Dane točke , , , .

Poiščite skalarni produkt.

Odločitev. najdemo po formuli skalarnega produkta vektorjev, ki jih podajajo njihove koordinate. V kolikor

, ,

Primer 5 Dane točke , , , .

Poiščite projekcijo.

Odločitev. V kolikor

, ,

Na podlagi projekcijske formule imamo

Primer 6 Dane točke , , , .

Poiščite kot med vektorjema in .

Odločitev. Upoštevajte, da vektorji

, ,

niso kolinearni, ker njihove koordinate niso sorazmerne:

Ti vektorji tudi niso pravokotni, saj je njihov pikčasti produkt .

poiščimo,

Injekcija poišči iz formule:

Primer 7 Ugotovite, za katere vektorje in kolinearno.

Odločitev. V primeru kolinearnosti ustrezne koordinate vektorjev in mora biti sorazmeren, to je:

Od tu in.

Primer 8. Ugotovite, pri kateri vrednosti vektorja in so pravokotne.

Odločitev. Vektor in sta pravokotni, če je njihov pikčasti produkt nič. Iz tega pogoja dobimo: . To je, .

Primer 9. Najti , če , , .

Odločitev. Zaradi lastnosti skalarnega produkta imamo:

Primer 10. Poiščite kot med vektorjema in , kjer in - enotnih vektorjev in kota med vektorjema in je enak 120o.

Odločitev. Imamo: , ,

Končno imamo: .

5 B. vektorski izdelek.

Opredelitev 21.vektorska umetnost vektor v vektor se imenuje vektor ali , definiran z naslednjimi tremi pogoji:

1) Modul vektorja je , kjer je kot med vektorjema in , t.j. .

Iz tega sledi, da je modul vektorskega produkta številčen enako površini paralelogram, zgrajen na vektorjih in kot na straneh.

2) Vektor je pravokoten na vsakega od vektorjev in ( ; ), t.j. pravokotno na ravnino paralelograma, zgrajenega na vektorjih in .

3) Vektor je usmerjen tako, da bi bil, če ga gledamo z njegovega konca, najkrajši obrat od vektorja do vektorja v nasprotni smeri urinega kazalca (vektorji , , tvorijo desno trojko).

Kako izračunati kote med vektorji?

Pri študiju geometrije se poraja veliko vprašanj na temo vektorjev. Učenec ima posebne težave, ko je treba najti kote med vektorjema.

Osnovni izrazi

Preden se lotimo kotov med vektorji, se je treba seznaniti z definicijo vektorja in pojmom kota med vektorji.

Vektor je segment, ki ima smer, torej segment, za katerega sta definirana njegov začetek in konec.

Kot med dvema vektorjema na ravnini, ki imata skupni izvor, je manjši od kotov, za katerega je treba enega od vektorjev premakniti okoli skupne točke, v položaj, kjer se njuni smeri ujemata.

Formula raztopine

Ko prejmete vrednost kosinusa kota, lahko s kalkulatorjem ali s trigonometrično tabelo izračunate vrednost samega kota.

Primer

Ko ugotovite, kako izračunati kot med vektorji, postane rešitev ustreznega problema preprosta in enostavna. Kot primer razmislite o preprostem problemu iskanja velikosti kota.

Najprej bo bolj priročno izračunati vrednosti dolžin vektorjev in njihovega skalarnega produkta, potrebnega za reševanje. Z uporabo zgornjega opisa dobimo:

Z zamenjavo dobljenih vrednosti v formulo izračunamo vrednost kosinusa želenega kota:

Izračun kota v n-dimenzionalnem prostoru

Pri geometriji se pogosto pojavljajo težave s prostori, ki imajo več kot tri dimenzije. Toda zanje je algoritem za iskanje odgovora podoben.

Razlika med 0 in 180 stopinjami

Posebni vektorji

Z iskanjem kotov med vektorji lahko poleg zgoraj opisanih sousmerjenih in nasprotno usmerjenih najdemo enega od posebnih tipov.

Več vektorjev, vzporednih z eno ravnino, se imenujejo komplanarni.
Vektorji, ki so enaki po dolžini in smeri, se imenujejo enaki.
Vektorji, ki ležijo na isti ravni črti, ne glede na smer, se imenujejo kolinearni.
Če je dolžina vektorja nič, torej njegov začetek in konec sovpadata, se imenuje nič, in če je ena, potem se imenuje ena.

Kako najti kot med vektorji?

pomagaj mi prosim! Poznam formulo, vendar je ne morem ugotoviti
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titov

Kot med vektorji, ki jih podajajo njihove koordinate, najdemo po standardnem algoritmu. Najprej morate najti skalarni produkt vektorjev a in b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Tu nadomestimo koordinate teh vektorjev in upoštevamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Nato določimo dolžine vsakega od vektorjev. Dolžina ali modul vektorja je kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat:
|a| = koren od (x1^2 + y1^2 + z1^2) = koren od (8^2 + 10^2 + 4^2) = koren od (64 + 100 + 16) = koren od 180 = 6 korenov 5
|b| = kvadratni koren (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratni koren (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratni koren (25 + 400 + 100) ) = kvadratni koren od 525 = 5 korenov od 21.
Te dolžine pomnožimo. Dobimo 30 korenin od 105.
In končno, delimo skalarni produkt vektorjev z zmnožkom dolžin teh vektorjev. Dobimo -200 / (30 korenov od 105) oz
- (4 koreni iz 105) / 63. To je kosinus kota med vektorjema. In sam kot je enak loku kosinusa tega števila
f \u003d arccos (-4 koreni od 105) / 63.
Če sem prav štel.

Kako izračunati sinus kota med vektorji iz koordinat vektorjev

Mihail Tkačev

Te vektorje pomnožimo. Njihov pikčasti produkt je enak zmnožku dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima.
Kot nam ni znan, so pa znane koordinate.
Zapišimo matematično takole.
Naj bo dana vektorja a(x1;y1) in b(x2;y2)
Potem

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

prepiramo se.
a*b-skalarni produkt vektorjev je enak vsoti produktov ustreznih koordinat koordinat teh vektorjev, torej enak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-zmnožek vektorskih dolžin je enak √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Torej je kosinus kota med vektorjema:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Če poznamo kosinus kota, lahko izračunamo njegov sinus. Pogovorimo se, kako to storiti:

Če je kosinus kota pozitiven, potem ta kot leži v 1 ali 4 četrtinah, zato je njegov sinus pozitiven ali negativen. Ker pa je kot med vektorjema manjši ali enak 180 stopinj, je njegov sinus pozitiven. Podobno trdimo, če je kosinus negativen.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) vso srečo pri odkrivanju)))

Dmitrij Leviščev

Dejstvo, da je nemogoče neposredno sinusirati, ne drži.
Poleg formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Obstaja tudi ta:
||=|a|*|b|*greh A
To pomeni, da lahko namesto skalarnega produkta vzamete modul vektorskega produkta.

"Vektorski skalarni produkt" - Skalarni produkt vektorjev. V enakostraničnem trikotniku ABC s stranico 1 je narisana višina BD. Po definiciji označite kot? med vektorji in če: a) b) c) d). Pri kateri vrednosti t je vektor pravokoten na vektor, če (2, -1), (4, 3). Skalarni produkt vektorjev in je označen.

"Geometrija 9 razred "Vektorji"" - Razdalja med dvema točkama. Najpreprostejši problemi v koordinatah. Preverite sami! Vektorske koordinate. Leta 1903 je O. Henrichi predlagal, da se skalarni produkt označi s simbolom (a, c). Vektor je usmerjen segment. Dekompozicija vektorja v koordinatne vektorje. Koncept vektorja. Razgradnja vektorja na ravnini v dva nekolinearna vektorja.

"Vektor za reševanje problemov" - Izrazite vektorje AM, DA, CA, MB, CD v smislu vektorja a in vektorja b. № 2 Izrazite vektorje DP, DM, AC skozi vektorja a in b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Vektorja CK, RK izrazite skozi vektorja a in b. BE:EC = 3: 1. K je sredina DC. VK: KС = 3: 4. Vektorja AK, DK izrazite skozi vektorja a in b. Uporaba vektorjev pri reševanju problemov (1. del).

"Problemi z vektorji" - Izrek. Poiščite koordinate. Dane so tri točke. Ogljišča trikotnika. Poiščite koordinate vektorjev. Poiščite koordinate točke. Poiščite koordinate in dolžino vektorja. Izrazite dolžino vektorja. Vektorske koordinate. Vektorske koordinate. Poiščite koordinate vektorja. Podani so vektorji. Poimenujte koordinate vektorjev. Vektor ima koordinate.

"Metoda koordinat na ravnini" - Nariše se krog. Navpičnice. Koordinatna os. Vrednost sinusa. Pravokotni koordinatni sistem na ravnini. Poiščite koordinate vrha. Razmislite o primeru. Rešitev tega problema. Točke so podane na ravnini. Točki paralelograma. Razširite vektorje. Izračunaj. Veliko točk. Grafično reši sistem enačb.

"Seštevanje in odštevanje vektorjev" - 1. Cilji lekcije. 2. Glavni del. Vaš zelo, najbolj najboljši prijatelj Sleepwalker! Naučite se odštevati vektorje. 2. Določite vektor vsote vektorjev a in b. Moj prijatelj!! Poglejmo, kaj imamo tukaj. Naši cilji: Zaključek. 3. Pregled glave. 4. Seznam referenc. Potovanje z Lunatikom. Iz točke A prestavimo oba vektorja.

Skupno je v temi 29 predstavitev