Vektor smeri premice l vsi so poklicani neničelni vektor (m, n) vzporedno s to črto.

Pustite točko M 1 (x 1 , y 1) in vektor smeri ( m, n), nato enačba premice, ki poteka skozi točko M 1 v smeri vektorja ima obliko: . Ta enačba se imenuje kanonična enačba premice.

Primer. Poišči enačbo premice z vektorjem smeri (1, -1) in poteka skozi točko A(1, 2).

Enačbo želene ravne črte bomo poiskali v obliki: Ax+By+C= 0. Napišimo kanonično enačbo premice , jo preoblikujemo. Pridobite x + y - 3 = 0

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki

Naj sta na ravnini podani dve točki M 1 (x 1 , y 1) in M 2 (x 2, y 2), potem ima enačba premice, ki poteka skozi te točke, obliko: . Če je kateri koli imenovalec enak nič, je treba ustrezni števec nastaviti na nič.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1, 2) in B(3, 4).

Z uporabo zgornje formule dobimo:

Enačba premice iz točke in pobočja

Če je splošna enačba premice Ah + Wu + C= 0 pripeljemo do oblike: in označimo , potem se nastala enačba imenuje enačba premice z naklonom k.

Enačba premice v segmentih

Če je v splošni enačbi črta Ah + Wu + C= 0 koeficient Z¹ 0, potem, če delimo s C, dobimo: ali , kje

geometrijski smisel koeficientov pri tem koeficient a je koordinata presečišča premice z osjo Oh, a b- koordinata presečišča premice z osjo OU.

Primer. Podana je splošna enačba premice X – pri+ 1 = 0. Poišči enačbo te premice v segmentih. A = -1, B = 1, C = 1, torej a = -1, b= 1. Enačba premice v segmentih bo imela obliko .

Primer. Podana so oglišča trikotnika A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Poiščite enačbo za višino, potegnjeno iz oglišča C.

Najdemo enačbo stranice AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Želena višinska enačba ima obliko: Ax+By+C= 0 oz y = kx + b.

k= . Potem y= . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate izpolnjujejo to enačbo: kje b= 17. Skupaj: .

Odgovor: 3 x + 2y – 34 = 0.

Vadba #7

Ime razreda: Krivulje drugega reda.

Namen lekcije: Naučite se narediti krivulje 2. reda, jih zgradite.

Priprava na lekcijo: Ponovi teoretično gradivo na temo "Krivulje 2. reda"

Literatura:

1. Dadayan A.A. "Matematika", 2004

Naloga za lekcijo:

Vrstni red lekcije:

1. Pridobite dovoljenje za delo
2. Dokončajte naloge
3. Odgovori na varnostna vprašanja.

1. Ime, namen lekcije, naloga;
2. Opravljena naloga;
3. Odgovori na kontrolna vprašanja.

testna vprašanja za odmik:

1. Določite krivulje drugega reda (krog, elipsa, hiperbola, parabola), zapišite njihove kanonske enačbe.
2. Kako se imenuje ekscentričnost elipse ali hiperbole? Kako ga najti?
3. Napiši enačbo enakostranične hiperbole

PRILOGA

obseg je množica vseh točk ravnine, enako oddaljenih od ene točke, ki se imenuje središče.

Naj bo središče kroga točka O(a; b), in razdaljo do katere koli točke M(x; y) krog je enak R. Potem ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – kanonična enačba kroga s središčem O(a; b) in polmer R.

Primer. Poiščite koordinate središča in polmer kroga, če je njegova enačba podana kot: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Najti koordinate središča in polmera kroga dano enačbo je treba zmanjšati na kanonično obliko. Če želite to narediti, izberite celotne kvadratke:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Od tu najdemo koordinate središča O(2; -5/4); polmer R = 11/4.

Elipsa se imenuje niz točk v ravnini, vsota razdalj od vsake od teh do dveh danih točk (imenovanih žarišča) je konstantna vrednost, večja od razdalje med žariščema.

Fokusi so označeni s črkami F 1 , F z, je vsota razdalj od katere koli točke elipse do žarišč 2 a (2a > 2c), a- velika polos; b- majhna polos.

Kanonična enačba elipse je: , kjer a, b in c med seboj povezani z enakostmi: a 2 - b 2 \u003d c 2 (ali b 2 - a 2 \u003d c 2).

Obliko elipse določa značilnost, ki je razmerje med goriščno razdaljo in dolžino glavne osi in se imenuje ekscentričnost. ali .

Ker po definiciji 2 a> 2c, potem je ekscentričnost vedno izražena kot pravi ulomek, t.j. .

Primer. Napišite enačbo za elipso, če so njena žarišča F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), glavna os je 2.

Enačba elipse ima obliko: .

Razdalja med fokusi: 2 c= , torej, a 2 – b 2 = c 2 = . Glede na pogoj 2 a= 2, torej a = 1, b= Želena enačba elipse bo imela obliko: .

Hiperbola imenovana množica točk v ravnini, je razlika v razdaljah od vsake do dveh danih točk, imenovanih žarišča, konstantna vrednost, manjša od razdalje med žariščema.

Kanonična enačba hiperbole ima obliko: ali , kjer a, b in c povezana z enakostjo a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola je simetrična glede na sredino segmenta, ki povezuje žarišča, in glede na koordinatne osi. Fokusi so označeni s črkami F 1 , F 2, razdalja med žarišči - 2 z, je razlika v razdaljah od katere koli točke hiperbole do žarišč 2 a (2a < 2c). 2. os a imenovana realna os hiperbole, os 2 b je imaginarna os hiperbole. Hiperbola ima dve asimptoti, katerih enačbi sta

Ekscentričnost hiperbole je razmerje med razdaljo med žarišči in dolžino realne osi: oz. Ker po definiciji 2 a < 2c, potem je ekscentričnost hiperbole vedno izražena kot nepravilen ulomek, t.j. .

Če je dolžina realne osi enaka dolžini namišljene osi, t.j. a = b, ε = , potem se imenuje hiperbola enakostranski.

Primer. Napišite kanonično enačbo hiperbole, če je njena ekscentričnost 2 in žarišča sovpadajo z žarišči elipse z enačbo

Najdemo Goriščna razdalja c 2 = 25 – 9 = 16.

Za hiperbolo: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Nato - želena enačba hiperbole.

parabola je množica točk v ravnini, ki je enako oddaljena od dano točko, ki se imenuje fokus, in dana ravna črta, imenovana direktrisa.

Težišče parabole je označeno s črko F, direktor - d, razdalja od fokusa do direktrise je R.

Kanonična enačba parabole, katere žarišče je na osi x, je:

y 2 = 2px oz y 2 = -2px

x = -str/2, x = str/2

Kanonična enačba parabole, katere fokus je na osi y, je:

X 2 = 2py oz X 2 = -2py

Directrix enačbe oz pri = -str/2, pri = str/2

Primer. Na paraboli pri 2 = 8X poiščite točko, katere oddaljenost od direktrise je 4.

Iz enačbe parabole to dobimo R = 4. r=x + str/2 = 4; torej:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Iskalne točke: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Vadba #8

Ime razreda: Dejanja nad kompleksnimi števili v algebraični obliki. Geometrijska interpretacija kompleksnih števil.

Namen lekcije: Naučite se delovati s kompleksnimi številkami.

Priprava na lekcijo: Ponovite teoretično gradivo na temo "Kompleksna števila".

Literatura:

1. Grigoriev V.P., Dubinski Yu.A. "Elementi višja matematika«, 2008

Naloga za lekcijo:

1. Izračunaj:

1) jaz 145 + jaz 147 + jaz 264 + jaz 345 + jaz 117 ;

2) (jaz 64 + jaz 17 + jaz 13 + jaz 82)( jaz 72 – jaz 34);

Naj premica poteka skozi točki M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2). Enačba premice, ki poteka skozi točko M 1, ima obliko y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kje k - še neznan koeficient.

Ker premica poteka skozi točko M 2 (x 2 y 2), morajo koordinate te točke izpolnjevati enačbo (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Od tu najdemo Zamenjava najdene vrednosti k v enačbo (10.6) dobimo enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 in M ​​2:

Predpostavlja se, da v tej enačbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Če je x 1 \u003d x 2, je ravna črta, ki poteka skozi točki M 1 (x 1, y I) in M ​​2 (x 2, y 2), vzporedna z osjo y. Njena enačba je x = x 1 .

Če y 2 = y I, potem lahko enačbo ravne črte zapišemo kot y = y 1, ravna črta M 1 M 2 je vzporedna z osjo x.

Enačba premice v segmentih

Naj ravna črta seka os Ox v točki M 1 (a; 0), os Oy pa v točki M 2 (0; b). Enačba bo imela obliko:
tiste.
. Ta enačba se imenuje enačba ravne črte v segmentih, ker številki a in b označujeta, katere odseke seka ravna črta na koordinatnih osih.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dani vektor

Poiščimo enačbo premice, ki poteka skozi dano točko Mo (x O; y o) pravokotno na dani neničelni vektor n = (A; B).

Vzemite poljubno točko M(x; y) na ravni črti in upoštevajte vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (glej sliko 1). Ker sta vektorja n in M ​​o M pravokotna, je njihov skalarni produkt enak nič: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Enačba (10.8) se imenuje enačba premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dani vektor .

Vektor n = (A; B), pravokoten na premico, se imenuje normalen normalni vektor te črte .

Enačbo (10.8) lahko prepišemo kot Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kjer sta A in B koordinate normalnega vektorja, C \u003d -Ax o - Vu o - prosti član. Enačba (10.9) je splošna enačba ravne črte(glej sliko 2).

sl.1 sl.2

Kanonične enačbe premice

,

Kje
so koordinate točke, skozi katero poteka črta, in
- vektor smeri.

Krivulje kroga drugega reda

Krog je množica vseh točk ravnine, ki je enako oddaljena od dane točke, ki se imenuje središče.

Kanonična enačba kroga s polmerom R osredotočeno na točko
:

Zlasti, če središče vložka sovpada z izvorom, bo enačba videti tako:

Elipsa

Elipsa je niz točk v ravnini, vsota razdalj od vsake od njih do dveh danih točk in , ki se imenujejo žarišča, je konstantna vrednost
, večja od razdalje med žarišči
.

Kanonična enačba elipse, katere žarišča ležijo na osi Ox in katere izvor je na sredini med žarišči, ima obliko
G de a dolžina glavne polose; b je dolžina pomožne polose (slika 2).

Enačba premice, ki poteka skozi t.u A (ha; wah) in imajo naklon k, je napisan v obliki

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki t. A (x 1; y 1) itd. B (x 2; y 2), ima obliko

Če točke AMPAK in AT definiraj ravno črto vzporedno z osjo Ox (y 1 \u003d y 2) oz os y (x 1 = x 2), potem se enačba takšne premice zapiše v obliki:

y = y 1 oz x = x 1(7)

Normalna enačba ravne črte

Naj bo podana premica C, ki poteka skozi dano točko Mo(Xo; V0) in je pravokotna na vektor (A; B). Vsak vektor, pravokoten na dano premico, se imenuje njegov normalni vektor. Izberimo poljubno točko M na premici (x; y). Potem, kar pomeni, da skalarni produkt. To enakost lahko zapišemo v koordinatah

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Enačba (8) se imenuje normalna enačba ravne črte .

Parametrične in kanonične enačbe premice

Pustite črto l podano z izhodiščem M 0 (x 0; y 0) in vektor smeri ( a 1; a 2),. Naj t. M(x; y)- katera koli točka na premici l Potem je vektor kolinearen vektorju. Zato je =. Če to enačbo zapišemo v koordinatah, dobimo parametrično enačbo premice

Parameter t izključimo iz enačbe (9). To je mogoče, ker je vektor in zato vsaj ena od njegovih koordinat nenič.

Naj in , potem , in zato,

Enačba (10) se imenuje kanonično enačbo premice z vodilnim vektorjem

\u003d (a 1; a 2).Če a 1 = 0 in , potem enačbe (9) dobijo obliko

Te enačbe definirajo ravno črto, vzporedno z osjo, OU in prehod skozi točko

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Če , , potem imajo enačbe (9) obliko

Te enačbe definirajo ravno črto, vzporedno z osjo O X in prehod skozi točko

M 0 (x 0; y 0). Kanonična enačba takšne premice ima obliko

y=y 0(12)

Kot med črtami. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh

neposredno

Naj sta podani dve ravni črti, podani s splošnimi enačbami:

in

Nato kot φ med njimi je določena s formulo:

(13)

Vzporedno stanje 2 ravni črti: (14)

Pravokotno stanje 2 ravni črti: (15)

Vzporedno stanje v tem primeru ima obliko: (17)

Pravokotno stanje naravnost: (18)

Če sta dve vrstici podani s kanoničnimi enačbami:

in

potem je kot φ med tema črtama določen s formulo:

(19)

Vzporedno stanje naravnost: (20)

Pravokotno stanje neposredno: (21)

Razdalja od točke do črte

Razdalja d iz točke M (x 1; y 1) na naravnost Ax+By+C=0 izračunano po formuli

(22)

Primer izvedbe praktično delo

Primer 1 Zgradite linijo 3 X- 2pri+6=0.

Rešitev: Za konstruiranje premice je dovolj poznati kateri koli dve njeni točki, na primer točki njenega presečišča s koordinatnimi osemi. Točko A presečišča premice z osjo Ox lahko dobimo, če v enačbi premice vzamemo y \u003d 0. Potem imamo 3 X+6=0, tj. X=-2. tako, AMPAK(–2;0).

Potem AT presečišče premice z osjo OU ima absciso X=0; torej ordinata točke AT najdemo iz enačbe -2 y+ 6=0, tj. y=3. tako, AT(0;3).

Primer 2 Napišite enačbo premice, ki seka na negativni polravnini OU segment, enak 2 enoti, in tvori z osjo Oh kot φ =30˚.

Rešitev: Črta prečka os OU na točki AT(0;–2) in ima naklon k=tg φ= = . Ob predpostavki v enačbi (2) k= in b= –2, dobimo želeno enačbo

ali .

Primer 3 AMPAK(–1; 2) in

AT(0;–3). (pri pričevanja: naklon premice najdemo s formulo (3))

Odločitev: .Od tu imamo . Zamenjava koordinat v to enačbo t.V, dobimo: , tj. začetna ordinata b= -3 . Potem dobimo enačbo.

Primer 4 Splošna enačba premice 2 X – 3pri– 6 = 0 vodi do enačbe v segmentih.

Rešitev: to enačbo zapišemo v obliki 2 X– 3pri=6 in delimo oba njegova dela s prostim členom: . To je enačba te ravne črte v segmentih.

Primer 5 Skozi piko AMPAK(1;2) narišite ravno črto, ki odreže enake segmente na pozitivnih poloseh koordinat.

Rešitev: Naj ima enačba želene premice obliko Po pogoju a=b. Zato enačba postane X+ pri= a. Ker točka A (1; 2) pripada tej premici, potem njene koordinate izpolnjujejo enačbo X + pri= a; tiste. 1 + 2 = a, kje a= 3. Torej, želena enačba je zapisana na naslednji način: x + y = 3 oz x + y - 3 = 0.

Primer 6 Za naravnost zapiši enačbo v segmentih. Izračunajte površino trikotnika, ki ga tvorita ta črta in koordinatne osi.

Rešitev: Pretvorimo to enačbo na naslednji način: , oz .

Kot rezultat dobimo enačbo , ki je enačba dane premice v segmentih. Trikotnik, ki ga tvorita dana črta in koordinatne osi, je pravokotni trikotnik s krakoma 4 in 3, zato je njegova površina enaka S= (kv. enote)

Primer 7 Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točko (–2; 5) in generatriko z osjo Oh kot 45º.

Rešitev: naklon želene ravne črte k= tg 45º = 1. Zato z uporabo enačbe (5) dobimo y - 5 = x- (-2), oz x - y + 7 = 0.

Primer 8 Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točke AMPAK(–3; 5) in AT( 7; –2).

Rešitev: Uporabimo enačbo (6):

, ali , od koder 7 X + 10pri – 29 = 0.

Primer 9 Preverite, ali točke ležijo AMPAK(5; 2), AT(3; 1) in Z(–1; –1) na eni ravni črti.

Rešitev: Sestavi enačbo premice, ki poteka skozi točke AMPAK in Z:

, oz

V to enačbo nadomestimo koordinate točke AT (xB= 3 in y B = 1), dobimo (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), tj. dobimo pravilno enakost. Torej koordinate točke AT zadovoljiti enačbo ravne črte ( AC), tj. .

Primer 10: Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi t. A (2; -3).

Pravokotno =(-1;5)

Rešitev: S formulo (8) poiščemo enačbo te premice -1(x-2)+5(y+3)=0,

ali končno, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Primer 11: Podane točke M 1(2;-1) in M 2(4; 5). Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na vektor Rešitev: Normalni vektor želene premice ima koordinate (2; 6), zato po formuli (8) dobimo enačbo 2(x-2)+6(y+1)=0 oz x+3y +1=0.

Primer 12: in .

Odločitev: ; .

Primer 13:

Rešitev: a) ;

Primer 14: Izračunajte kot med črtami

Odločitev:

Primer 15: Da ugotovimo medsebojni dogovor neposredno:

Odločitev:

Primer 16: poiščite kot med črtami in .

Odločitev: .

Primer 17: ugotovite relativni položaj vrstic:

Rešitev: a ) - črte so vzporedne;

b) pomeni, da sta premici pravokotni.

Primer 18: Izračunajte razdaljo od točke M(6; 8) do premice

Rešitev: po formuli (22) dobimo: .

Naloge za praktična seja:

1. možnost

1. Splošno enačbo premice 2x+3y-6=0 pripeljemo do enačbe v segmentih in iz ustreznega koordinatnega kota izračunamo površino trikotnika, ki ga odseka ta premica;

2. V ∆ABC imajo oglišča koordinate točke A (-3;4), točke B (-4;-3), točke C (8;1). Sestavite enačbe stranice (AB), višine (VC) in mediane (CM);

3. Izračunajte naklon premice, ki poteka skozi točko M 0 (-2; 4) in je vzporedna z vektorjem (6; -1);

4. Izračunaj kot med črtama

4. Izračunaj kot med črtama:

a) 2x - 3y + 7 = 0 in 3x - y + 5 = 0; b) in y = 2x – 4;

5. Določi relativni položaj 2 ravnih črt in;

, če sta znani koordinate koncev odseka t.A (18; 8) in t. B (-2; -6).

3. možnost

1. Splošno enačbo premice 4x-5y+20=0 pripeljemo do enačbe v segmentih in iz ustreznega koordinatnega kota izračunamo površino trikotnika, ki ga odseka ta premica;

2. V ∆ABC imajo oglišča koordinate točke A (3;-2), točke B (7;3), točke

C(0;8). Sestavite enačbe stranice (AB), višine (VC) in mediane (CM);

3. Izračunajte naklon premice, ki poteka skozi točko M 0 (-1;-2) in

vzporedno z vektorjem (3;-5);

4. Izračunaj kot med črtama

a) 3x + y - 7 = 0 in x - y + 4 = 0; b) in;

5. Določi relativni položaj 2 premici in y = 5x + 3;

6. Izračunaj razdaljo od sredine odseka AB do premice , če sta znani koordinate koncev odseka t.A (4; -3) in t.B (-6; 5).

4. možnost

1. Splošno enačbo premice 12x-5y+60=0 prinesemo k enačbi v segmentih in izračunamo dolžino odseka, ki je od te premice odrezan z ustreznim koordinatnim kotom;

2. V ∆ABC imajo oglišča koordinate točke A (0;-2), točke B (3;6), točke C (1;-4). Sestavite enačbe stranice (AB), višine (VC) in mediane (CM);

3. Izračunajte naklon premice, ki poteka skozi točko M 0 (4;4) in je vzporedna z vektorjem (-2;7);

4. Izračunaj kot med črtama

a) x +4 y + 8 = 0 in 7x - 3y + 5 = 0; b) in;

5. Določi relativni položaj 2 ravnih črt in;

6. Izračunaj razdaljo od sredine odseka AB do premice , če sta znani koordinate koncev odseka t.A (-4; 8) in t.B (0; 4).

testna vprašanja

1. Poimenuj enačbe premice v ravnini, ko sta znana točka, skozi katero poteka, in njen usmerjevalni vektor;

2. Kaj je normalna, splošna enačba premice na ravnini;

3. Poimenujte enačbo premice, ki poteka skozi dve točki, enačbo premice v odsekih, enačbo premice z naklonom;

4. Naštej formule za izračun kota med črtami, dane enačbe s faktorjem kota. Formulirajte pogoje za vzporednost in pravokotnost dveh premic.

5. Kako najti razdaljo od točke do premice?

Naj bosta podani dve točki M(X 1 ,Pri 1) in N(X 2,y 2). Poiščimo enačbo premice, ki poteka skozi te točke.

Ker ta premica poteka skozi točko M, potem ima po formuli (1.13) njena enačba obliko

Pri – Y 1 = K(X-x 1),

Kje K je neznana strmina.

Vrednost tega koeficienta se določi iz pogoja, da skozi točko poteka želena ravna črta N, kar pomeni, da njegove koordinate izpolnjujejo enačbo (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Od tu lahko najdete naklon te črte:

,

Ali po konverziji

(1.14)

Formula (1.14) opredeljuje Enačba premice, ki poteka skozi dve točki M(X 1, Y 1) in N(X 2, Y 2).

V posebnem primeru, ko so točke M(A, 0), N(0, B), AMPAK ¹ 0, B¹ 0, ležijo na koordinatnih osi, enačba (1.14) ima enostavnejšo obliko

Enačba (1.15) poklical Enačba premice v segmentih, tukaj AMPAK in B označujemo segmente, odrezane z ravno črto na oseh (slika 1.6).

Slika 1.6

Primer 1.10. Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točke M(1, 2) in B(3, –1).

. Po (1.14) ima enačba želene premice obliko

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Če vse člene prenesemo na levo stran, končno dobimo želeno enačbo

3X + 2Y – 7 = 0.

Primer 1.11. Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko M(2, 1) in točko presečišča premic X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Koordinate presečišča premic najdemo tako, da skupaj rešimo te enačbe

Če te enačbe seštejemo člen za členom, dobimo 2 X+ 1 = 0, od koder . Če najdeno vrednost nadomestimo v katero koli enačbo, najdemo vrednost ordinate Pri:

Zdaj pa napišimo enačbo premice, ki poteka skozi točke (2, 1) in :

ali .

Zato ali -5( Y – 1) = X – 2.

Na koncu dobimo enačbo želene premice v obliki X + 5Y – 7 = 0.

Primer 1.12. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točke M(2.1) in N(2,3).

S formulo (1.14) dobimo enačbo

Ni smiselno, ker je drugi imenovalec nič. Iz pogoja problema je razvidno, da imata abscisi obeh točk enako vrednost. Zato je zahtevana črta vzporedna z osjo OY in njegova enačba je: x = 2.

Komentar . Če se pri pisanju enačbe premice po formuli (1.14) izkaže, da je eden od imenovalcev enak nič, potem lahko želeno enačbo dobimo z enačitvijo ustreznega števca na nič.

Razmislimo o drugih načinih postavitve ravne črte na ravnini.

1. Naj je vektor, ki ni nič, pravokoten na dano premico L, in točka M 0(X 0, Y 0) leži na tej premici (slika 1.7).

Slika 1.7

Označi M(X, Y) poljubna točka na premici L. Vektorji in Ortogonalno. Z uporabo pogojev ortogonalnosti za te vektorje dobimo oz AMPAK(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo enačbo premice, ki poteka skozi točko M 0 je pravokotna na vektor. Ta vektor se imenuje Normalni vektor na ravno črto L. Nastalo enačbo lahko prepišemo kot

Oh + Wu + Z= 0, kjer Z = –(AMPAKX 0 + Avtor 0), (1.16),

Kje AMPAK in AT so koordinate normalnega vektorja.

Dobimo splošno enačbo premice v parametrični obliki.

2. Premo na ravnini lahko definiramo na naslednji način: naj bo vektor, ki ni nič, vzporeden z dano premico L in pika M 0(X 0, Y 0) leži na tej črti. Spet vzemite poljubno točko M(X, y) na ravni črti (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektorji in kolinearno.

Zapišimo pogoj kolinearnosti teh vektorjev: , kjer T je poljubna številka, ki se imenuje parameter. Zapišimo to enakost v koordinatah:

Te enačbe se imenujejo Parametrične enačbe naravnost. Iz teh enačb izključimo parameter T:

Te enačbe lahko zapišemo v obliki

. (1.18)

Nastala enačba se imenuje Kanonična enačba ravne črte. Vektorski klic Vektor smeri naravnost .

Komentar . Preprosto je videti, da je if normalni vektor na vrstico L, potem je njegov vektor smeri lahko vektor , saj je , tj.

Primer 1.13. Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točko M 0(1, 1) vzporedno s črto 3 X + 2Pri– 8 = 0.

Odločitev . Vektor je normalni vektor na dane in želene vrstice. Uporabimo enačbo premice, ki poteka skozi točko M 0 z danim normalnim vektorjem 3( X –1) + 2(Pri– 1) = 0 ali 3 X + 2 let- 5 \u003d 0. Dobili smo enačbo želene ravne črte.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , y 1) v določeni smeri, ki jo določa naklon k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik premic, ki potekajo skozi točko A(x 1 , y 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , y 1) in B(x 2 , y 2) je napisano takole:

Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo ravno črto A okoli točke presečišča teh premic v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve premici podani z enačbami naklona

y = k 1 x + B 1 ,