"Vektorski skalarni produkt" - Skalarni produkt vektorjev. V enakostraničnem trikotniku ABC s stranico 1 je narisana višina BD. Po definiciji označite kot? med vektorji in če: a) b) c) d). Pri kateri vrednosti t je vektor pravokoten na vektor, če (2, -1), (4, 3). Skalarni produkt vektorjev in je označen.

"Geometrija 9 razred "Vektorji"" - Razdalja med dvema točkama. Najpreprostejši problemi v koordinatah. Preverite sami! Vektorske koordinate. Leta 1903 je O. Henrichi predlagal, da se skalarni produkt označi s simbolom (a, c). Vektor je usmerjen segment. Dekompozicija vektorja v koordinatne vektorje. Koncept vektorja. Razgradnja vektorja na ravnini v dva nekolinearna vektorja.

"Vektor za reševanje problemov" - Izrazite vektorje AM, DA, CA, MB, CD v smislu vektorja a in vektorja b. № 2 Izrazite vektorje DP, DM, AC skozi vektorja a in b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Vektorja CK, RK izrazite skozi vektorja a in b. BE:EC = 3: 1. K je sredina DC. VK: KС = 3: 4. Izrazite vektorja AK, DK skozi vektorja a in b. Uporaba vektorjev pri reševanju problemov (1. del).

"Problemi z vektorji" - Izrek. Poiščite koordinate. Dane so tri točke. Ogljišča trikotnika. Poiščite koordinate vektorjev. Poiščite koordinate točke. Poiščite koordinate in dolžino vektorja. Izrazite dolžino vektorja. Vektorske koordinate. Vektorske koordinate. Poiščite koordinate vektorja. Podani so vektorji. Poimenujte koordinate vektorjev. Vektor ima koordinate.

"Metoda koordinat na ravnini" - Nariše se krog. Navpičnice. Koordinatna os. Vrednost sinusa. Pravokotni koordinatni sistem na ravnini. Poiščite koordinate vrha. Razmislite o primeru. Rešitev tega problema. Točke so podane na ravnini. Točki paralelograma. Razširite vektorje. Izračunaj. Veliko točk. Grafično reši sistem enačb.

"Seštevanje in odštevanje vektorjev" - 1. Cilji lekcije. 2. Glavni del. Vaš zelo, najbolj najboljši prijatelj Sleepwalker! Naučite se odštevati vektorje. 2. Določite vektor vsote vektorjev a in b. Moj prijatelj!! Poglejmo, kaj imamo tukaj. Naši cilji: Zaključek. 3. Pregled glave. 4. Seznam referenc. Potovanje z Lunatikom. Iz točke A prestavimo oba vektorja.

Skupno je v temi 29 predstavitev

Pri študiju geometrije se poraja veliko vprašanj na temo vektorjev. Učenec ima posebne težave, ko je treba najti kote med vektorjema.

Osnovni izrazi

Preden se lotimo kotov med vektorji, se je treba seznaniti z definicijo vektorja in pojmom kota med vektorji.

Vektor je segment, ki ima smer, torej segment, za katerega sta definirana njegov začetek in konec.

Kot med dvema vektorjema na ravnini, ki imata skupni izvor, je manjši od kotov, za katerega je treba enega od vektorjev premakniti okoli skupne točke, v položaj, kjer se njuni smeri ujemata.

Formula raztopine

Ko razumete, kaj je vektor in kako se določi njegov kot, lahko izračunate kot med vektorji. Formula rešitve za to je precej preprosta, rezultat njene uporabe pa bo vrednost kosinusa kota. Po definiciji je enak količniku pik produkt vektorji in zmnožek njihovih dolžin.

Skalarni zmnožek vektorjev se obravnava kot vsota ustreznih koordinat multiplikatorskih vektorjev, pomnoženih med seboj. Dolžina vektorja ali njegov modul se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat.

Ko prejmete vrednost kosinusa kota, lahko s kalkulatorjem ali s trigonometrično tabelo izračunate vrednost samega kota.

Primer

Ko ugotovite, kako izračunati kot med vektorji, postane rešitev ustreznega problema preprosta in enostavna. Kot primer razmislite o preprostem problemu iskanja velikosti kota.

Najprej bo bolj priročno izračunati vrednosti dolžin vektorjev in njihovega skalarnega produkta, potrebnega za reševanje. Z uporabo zgornjega opisa dobimo:

Z zamenjavo dobljenih vrednosti v formulo izračunamo vrednost kosinusa želenega kota:

Ta številka ni ena od petih običajnih kosinusnih vrednosti, zato boste morali za pridobitev vrednosti kota uporabiti kalkulator ali Bradisovo trigonometrično tabelo. Toda preden dobimo kot med vektorjema, lahko formulo poenostavimo, da se znebimo dodatnega negativnega predznaka:

Končni odgovor lahko pustite v tej obliki, da ohranite natančnost, ali pa izračunate vrednost kota v stopinjah. Po Bradisovi tabeli bo njegova vrednost približno 116 stopinj in 70 minut, kalkulator pa bo pokazal vrednost 116,57 stopinj.

Izračun kota v n-dimenzionalnem prostoru

Pri obravnavanju dveh vektorjev v tridimenzionalnem prostoru je veliko težje razumeti, o katerem kotu govorimo, če ne ležita v isti ravnini. Za poenostavitev zaznavanja lahko narišete dva sekajoča se segmenta, ki tvorita najmanjši kot med njima, in bo želeni. Kljub prisotnosti tretje koordinate v vektorju se postopek izračunavanja kotov med vektorji ne bo spremenil. Izračunajte skalarni produkt in module vektorjev, arkkosinus njihovega količnika in bo odgovor na ta problem.

Pri geometriji se pogosto pojavljajo težave s prostori, ki imajo več kot tri dimenzije. Toda zanje je algoritem za iskanje odgovora podoben.

Razlika med 0 in 180 stopinjami

Ena izmed pogostih napak pri pisanju odgovora na problem, ki je zasnovan za izračun kota med vektorji, je odločitev, da zapišemo, da sta vektorja vzporedna, to je, da se je želeni kot izkazal za 0 ali 180 stopinj. Ta odgovor je napačen.

Ko smo kot rezultat rešitve prejeli vrednost kota 0 stopinj, bi bil pravilen odgovor, da vektorje označimo kot sosmerne, to pomeni, da bodo vektorji imeli isto smer. V primeru pridobitve 180 stopinj bodo vektorji v naravi nasprotnih smeri.

Posebni vektorji

Z iskanjem kotov med vektorji lahko poleg zgoraj opisanih sousmerjenih in nasprotno usmerjenih najdemo enega od posebnih tipov.

• Več vektorjev, vzporednih z eno ravnino, se imenujejo komplanarni.
• Vektorji, ki so enaki po dolžini in smeri, se imenujejo enaki.
• Vektorji, ki ležijo na isti ravni črti, ne glede na smer, se imenujejo kolinearni.
• Če je dolžina vektorja nič, torej njegov začetek in konec sovpadata, se imenuje nič, in če je ena, potem se imenuje ena.

Navodilo

Naj sta na ravnini podana dva neničelna vektorja, izrisana iz ene točke: vektor A s koordinatami (x1, y1) B s koordinatami (x2, y2). Injekcija med njima je označena kot θ. Če želite najti stopinjsko mero kota θ, morate uporabiti definicijo skalarnega produkta.

Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ni nič, je število enako zmnožku dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima, to je (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Zdaj morate izraziti kosinus kota iz tega: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarni zmnožek lahko najdemo tudi s formulo (A,B)=x1*x2+y1*y2, saj je zmnožek dveh neničel vektorjev enak vsoti produktov ustreznih vektorjev. Če je skalarni produkt vektorjev, ki niso nič, enak nič, so vektorji pravokotni (kot med njima je 90 stopinj) in nadaljnje izračune je mogoče izpustiti. Če je skalarni produkt dveh vektorjev pozitiven, potem je kot med njima vektorji oster, in če je negativen, potem je kot tup.

Zdaj izračunajte dolžini vektorjev A in B po formulah: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Dolžina vektorja se izračuna kot Kvadratni koren iz vsote kvadratov njegovih koordinat.

Najdene vrednosti skalarnega produkta in dolžine vektorjev nadomestite v formulo za kot, pridobljen v koraku 2, to je cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Zdaj, vedoč vrednost , da bi našli stopnjo mero kota med vektorji morate uporabiti Bradisovo tabelo ali vzeti iz tega: θ=arccos(cos(θ)).

Če sta vektorja A in B podana v tridimenzionalnem prostoru in imata koordinate (x1, y1, z1) oziroma (x2, y2, z2), se pri iskanju kosinusa kota doda še ena koordinata. V tem primeru kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Koristni nasveti

Če dva vektorja nista izrisana iz ene točke, morate začetke teh vektorjev združiti, da bi našli kot med njima z vzporednim prevodom.
Kot med dvema vektorjema ne sme biti večji od 180 stopinj.

Viri:

• kako izračunati kot med vektorji
• Kot med črto in ravnino

Za reševanje številnih problemov, tako uporabnih kot teoretičnih, v fiziki in linearni algebri je potrebno izračunati kot med vektorji. Ta na videz preprosta naloga lahko povzroči veliko težav, če ne razumete jasno bistva skalarnega produkta in kakšne vrednosti se pojavi kot rezultat tega izdelka.

Navodilo

Kot med vektorji v linearnem vektorskem prostoru je najmanjši kot pri , pri katerem je dosežena sousmerjenost vektorjev. Eden od vektorjev se prenaša okoli svoje začetne točke. Iz definicije postane očitno, da vrednost kota ne sme presegati 180 stopinj (glej korak).

V tem primeru se povsem upravičeno domneva, da se v linearnem prostoru pri vzporednem prenosu vektorjev kot med njima ne spremeni. Zato za analitični izračun kota prostorska orientacija vektorjev ni pomembna.

Rezultat pik produkta je število, sicer skalar. Ne pozabite (to je pomembno vedeti), da preprečite napake pri nadaljnjih izračunih. Formula za skalarni produkt, ki se nahaja na ravnini ali v prostoru vektorjev, ima obliko (glej sliko za korak).

Če se vektorji nahajajo v prostoru, izvedite izračun na podoben način. Edina stvar bo pojav izraza v dividendi - to je izraz za prijavo, t.j. tretja komponenta vektorja. V skladu s tem je treba pri izračunu modula vektorjev upoštevati tudi komponento z, nato pa se za vektorje, ki se nahajajo v prostoru, zadnji izraz transformira na naslednji način (glej sliko 6 v koraku).

Vektor je odsek črte z dano smerjo. Kot med vektorjema ima fizični pomen, na primer pri iskanju dolžine projekcije vektorja na os.

Navodilo

Kot med dvema neničelnima vektorjema z izračunom produkta pik. Po definiciji je produkt enak zmnožku dolžin in kota med njimi. Po drugi strani pa se izračuna notranji produkt za dva vektorja a s koordinatami (x1; y1) in b s koordinatami (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Od teh dveh načinov je pikčasti produkt enostavno nagniti med vektorji.

Poiščite dolžine ali module vektorjev. Za naša vektorja a in b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Poiščite notranji produkt vektorjev tako, da njihove koordinate pomnožite v parih: ab = x1x2 + y1y2. Iz definicije pik produkta ab = |a|*|b|*cos α, kjer je α kot med vektorjema. Potem dobimo, da je x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Potem je cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Poiščite kot α s pomočjo Bradysovih tabel.

Povezani videoposnetki

Opomba

Skalarni produkt je skalarna značilnost dolžin vektorjev in kota med njimi.

Ravnina je eden od osnovnih pojmov v geometriji. Ravnina je površina, za katero trditev drži - vsaka ravna črta, ki povezuje dve njeni točki, v celoti pripada tej površini. Letala so označena grške črkeα, β, γ itd. Dve ravnini se vedno sekata v ravni črti, ki pripada obema ravninama.

Navodilo

Razmislite o polravnini α in β, ki nastaneta na presečišču . Kot, ki ga tvorita ravna črta a in dve polravnini α in β z diedrskim kotom. V tem primeru polravnine, ki tvorijo dvodelni kot s ploskvami, premico a, vzdolž katere se ravnine sekata, imenujemo rob diedrski kot.

Diedrski kot, kot ravni kot, v stopinjah. Za izdelavo diedričnega kota je treba na njegovi ploskvi izbrati poljubno točko O. V obeh sta skozi točko O potegnjena dva žarka a. Nastali kot AOB imenujemo linearni kot diedralnega kota a.

Torej, naj sta podani vektor V = (a, b, c) in ravnina A x + B y + C z = 0, kjer so A, B in C koordinate normale N. Potem kosinus kota α med vektorjema V in N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Če želite izračunati vrednost kota v stopinjah ali radianih, morate iz dobljenega izraza izračunati funkcijo, inverzno kosinusu, t.j. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primer: najdi injekcija med vektor(5, -3, 8) in letalo, podano s splošno enačbo 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rešitev: zapiši koordinate vektorja normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamenjajte vse znane vrednosti v zgornji formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani videoposnetki

Napišite enačbo in iz nje ločite kosinus. Po eni formuli je skalarni produkt vektorjev enak njihovim dolžinam, pomnoženim med seboj in s kosinusom kota, na drugi pa - vsota produktov koordinat vzdolž vsake od osi. Če izenačimo obe formuli, lahko sklepamo, da je kosinus kota mora biti enaka razmerju med vsoto produktov koordinat in zmnožkom dolžin vektorjev.

Zapišite dobljeno enačbo. Za to moramo označiti oba vektorja. Recimo, da so podane v 3D kartezičnem sistemu in so njihove izhodiščne točke v mreži. Smer in velikost prvega vektorja bosta podana točka (X₁,Y₁,Z₁), drugega - (X₂,Y₂,Z₂), kot pa bo označen s črko γ. Potem so lahko dolžine vsakega od vektorjev, na primer, v skladu s Pitagorejskim izrekom za oblikovane z njihovimi projekcijami na vsako od koordinatnih osi: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) in √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Te izraze nadomestite s formulo, formulirano v prejšnjem koraku, in dobite enakost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Uporabite dejstvo, da je vsota kvadratov sinus in co sinus od kota ena vrednost vedno daje eno. Zato z zvišanjem tega, kar je bilo pridobljeno v prejšnjem koraku za co sinus na kvadrat in odštej od enote, nato pa

Pik produkt vektorjev

Še naprej se ukvarjamo z vektorji. Pri prvi lekciji Vektorji za lutke obravnavali smo pojem vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate in najpreprostejše probleme z vektorji. Če ste na to stran prvič prišli iz iskalnika, toplo priporočam branje zgornjega uvodni članek, saj je za asimilacijo gradiva potrebno krmariti po izrazih in zapisih, ki jih uporabljam, imeti osnovno znanje o vektorjih in zna rešiti osnovne probleme. Ta lekcija je logično nadaljevanje teme in v njej bom podrobno analiziral tipične naloge, ki uporabljajo skalarni produkt vektorjev. To je zelo POMEMBNA dejavnost . Poskusite, da ne preskočite primerov, spremlja jih koristen bonus - praksa vam bo pomagala utrditi zajeto gradivo in se "prijeti" pri reševanju pogostih problemov analitične geometrije.

Dodajanje vektorjev, množenje vektorja s številom ... Naivno bi bilo misliti, da matematiki niso izmislili česa drugega. Poleg že obravnavanih dejanj obstajajo številne druge operacije z vektorji, in sicer: pik produkt vektorjev, navzkrižni produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev. Skalarni produkt vektorjev nam je znan iz šole, druga dva produkta sta tradicionalno povezana s predmetom višja matematika. Teme so preproste, algoritem reševanja številnih problemov je stereotipen in razumljiv. Edina stvar. Informacij je spodobno, zato je nezaželeno, da bi poskušali obvladati in rešiti VSE IN NA ENKRAT. To še posebej velja za lutke, verjemite mi, avtor se absolutno ne želi počutiti kot Chikatilo iz matematike. No, seveda tudi ne iz matematike =) Bolj pripravljeni učenci lahko gradivo uporabljajo selektivno, v določenem smislu "pridobijo" manjkajoče znanje, zate bom neškodljiv grof Drakula =)

Na koncu pa malo odprimo vrata in poglejmo, kaj se zgodi, ko se dva vektorja srečata...

Definicija skalarnega produkta vektorjev.
Lastnosti skalarnega produkta. Tipične naloge

Koncept pik produkta

Najprej o kot med vektorji. Mislim, da vsi intuitivno razumejo, kakšen je kot med vektorji, a za vsak slučaj še malo več. Razmislite o prostih neničelnih vektorjih in . Če te vektorje odložimo iz poljubne točke, dobimo sliko, ki so jo mnogi že miselno predstavili:

Priznam, tukaj sem situacijo opisal le na ravni razumevanja. Če potrebujete strogo definicijo kota med vektorji, si oglejte učbenik, za praktične naloge pa je načeloma ne potrebujemo. Tudi TUKAJ IN DALJE bom včasih zanemaril nič vektorje zaradi njihovega majhnega praktičnega pomena. Rezervacijo sem naredil posebej za napredne obiskovalce strani, ki mi lahko očitajo teoretično nepopolnost nekaterih od naslednjih trditev.

lahko sprejme vrednosti od 0 do 180 stopinj (od 0 do radianov) vključno. Analitično dano dejstvo je zapisana kot dvojna neenakost: oz (v radianih).

V literaturi je ikona kota pogosto izpuščena in preprosto zapisana.

Opredelitev: Skalarni produkt dveh vektorjev je ŠTEVILO, ki je enako zmnožku dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima:

Zdaj je to precej stroga definicija.

Osredotočamo se na bistvene informacije:

Oznaka: skalarni produkt je označen z ali preprosto .

Rezultat operacije je ŠTEVILKA: pomnožite vektor z vektorjem, da dobite številko. Dejansko, če so dolžine vektorjev številke, je kosinus kota število, potem je njihov produkt bo tudi številka.

Samo nekaj primerov ogrevanja:

Primer 1

Odločitev: Uporabljamo formulo . V tem primeru:

odgovor:

Vrednosti kosinusa lahko najdete v trigonometrična miza. Priporočam, da ga natisnete - potreben bo na skoraj vseh odsekih stolpa in bo zahtevan večkrat.

Čisto z matematičnega vidika je skalarni produkt brezrazsežen, torej je rezultat v tem primeru samo število in to je to. Z vidika problemov fizike ima skalarni produkt vedno določeno fizični pomen, torej po rezultatu je treba navesti eno ali drugo fizično enoto. Kanonični primer računanja dela sile najdete v katerem koli učbeniku (formula je natančno pik produkt). Delo sile se meri v Joulih, zato bo odgovor na primer napisan precej natančno.

Primer 2

Poiščite če , kot med vektorjema pa je .

To je primer za samoodločanje, odgovor je na koncu lekcije.

Kot med vektorji in vrednostjo dotnega produkta

V primeru 1 se je skalarni produkt izkazal za pozitiven, v primeru 2 pa za negativen. Ugotovimo, od česa je odvisen predznak skalarnega produkta. Poglejmo našo formulo: . Dolžine vektorjev, ki niso nič, so vedno pozitivne: , zato je predznak lahko odvisen samo od vrednosti kosinusa.

Opomba: Za boljše razumevanje spodnjih informacij je bolje preučiti kosinusni graf v priročniku Grafi in lastnosti funkcij. Poglejte, kako se kosinus obnaša na segmentu.

Kot smo že omenili, se lahko kot med vektorji spreminja znotraj , možni pa so naslednji primeri:

1) Če injekcija med vektorji začinjeno: (od 0 do 90 stopinj), nato , in pik produkt bo pozitiven sorežiral, potem se šteje, da je kot med njima enak nič, skalarni produkt pa bo tudi pozitiven. Ker je , potem je formula poenostavljena: .

2) Če injekcija med vektorji Top: (od 90 do 180 stopinj), nato , in ustrezno, pik produkt je negativen: . Poseben primer: če so vektorji usmerjeno nasprotno, potem se upošteva kot med njima razporejen: (180 stopinj). Skalarni produkt je tudi negativen, saj

Veljajo tudi obratne trditve:

1) Če je , potem je kot med tema vektorjema oster. Druga možnost je, da so vektorji sosmerni.

2) Če je , potem je kot med temi vektorji topov. Druga možnost je, da so vektorji usmerjeni nasprotno.

Toda tretji primer je še posebej zanimiv:

3) Če injekcija med vektorji naravnost: (90 stopinj) nato in pik produkt je nič: . Velja tudi obratno: če , potem . Kompaktna izjava je oblikovana na naslednji način: Skalarni produkt dveh vektorjev je nič, če in samo če sta dana vektorja ortogonalna. kratek matematični zapis:

! Opomba : ponovi temelje matematične logike: ikona dvostranske logične posledice se običajno bere "če in samo takrat", "če in samo če". Kot lahko vidite, so puščice usmerjene v obe smeri - "od tega sledi to, in obratno - od tega sledi to." Mimogrede, kakšna je razlika od ikone za enosmerno sledenje? Ikone trditve samo to da "iz tega sledi to", in ne dejstvo, da velja obratno. Na primer: , vendar ni vsaka žival panter, zato ikone v tem primeru ni mogoče uporabiti. Hkrati namesto ikone lahko uporabite enostransko ikono. Med reševanjem problema smo na primer ugotovili, da smo ugotovili, da so vektorji pravokotni: - tak zapis bo pravilen in še bolj primeren kot .

Tretji primer je zelo praktičen., saj omogoča preverjanje, ali so vektorji ortogonalni ali ne. To težavo bomo rešili v drugem delu lekcije.

Lastnosti pikčastih izdelkov

Vrnimo se na situacijo, ko sta dva vektorja sorežiral. V tem primeru je kot med njima nič, , in formula skalarnega produkta ima obliko: .

Kaj se zgodi, če vektor pomnožimo sam s seboj? Jasno je, da je vektor sousmerjen sam s seboj, zato uporabimo zgornjo poenostavljeno formulo:

Številka je poklicana skalarni kvadrat vektor , in so označeni kot .

tako, skalarni kvadrat vektorja je enak kvadratu dolžine danega vektorja:

Iz te enakosti lahko dobite formulo za izračun dolžine vektorja:

Čeprav se zdi nejasno, bodo naloge lekcije vse postavile na svoje mesto. Za reševanje težav potrebujemo tudi lastnosti pik.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) - premični oz komutativno skalarni produktni zakon.

2) - distribucijo oz distribucijski skalarni produktni zakon. Preprosto povedano, lahko odprete oklepaje.

3) - kombinacija oz asociativno skalarni produktni zakon. Konstanto je mogoče vzeti iz skalarnega produkta.

Pogosto vse vrste lastnosti (ki jih je treba tudi dokazati!) študenti dojemajo kot smeti, ki si ga je treba takoj po izpitu le zapomniti in varno pozabiti. Zdi se, da kar je tukaj pomembno, vsi že od prvega razreda vedo, da se izdelek ne spremeni zaradi permutacije dejavnikov:. Moram vas opozoriti, da je v višji matematiki s takšnim pristopom enostavno zmotiti stvari. Torej, na primer, komutativna lastnost ne velja za algebraične matrike. Ne drži za navzkrižni produkt vektorjev. Zato se je vsaj bolje poglobiti v vse lastnosti, ki jih boste srečali na tečaju višje matematike, da bi razumeli, kaj je mogoče in česa ne.

Primer 3

.

Odločitev: Najprej razjasnimo situacijo z vektorjem. za kaj gre? Vsota vektorjev in je dobro definiran vektor, ki je označen z . Geometrijsko interpretacijo dejanj z vektorji najdete v članku Vektorji za lutke. Isti peteršilj z vektorjem je vsota vektorjev in .

Torej, glede na pogoj je treba najti skalarni produkt. Teoretično morate uporabiti delovno formulo , težava pa je v tem, da ne poznamo dolžin vektorjev in kota med njimi. Toda v pogoju so podobni parametri podani za vektorje, zato bomo šli v drugo smer:

(1) Zamenjamo izraze vektorjev .

(2) Oklepaje odpremo po pravilu množenja polinomov, vulgarno vrtoglavico najdeš v članku Kompleksne številke oz Integracija ulomno-racionalne funkcije. Ne bom se ponavljal =) Mimogrede, distribucijska lastnost skalarnega produkta nam omogoča, da odpremo oklepaje. Imamo pravico.

(3) V prvem in zadnjem členu kompaktno zapišemo skalarne kvadrate vektorjev: . V drugem členu uporabimo komutabilnost skalarnega produkta: .

(4) Tu so podobni izrazi: .

(5) V prvem členu uporabimo formulo skalarnega kvadrata, ki je bila omenjena nedolgo nazaj. V zadnjem mandatu deluje ista stvar: . Drugi člen se razširi po standardni formuli .

(6) Te pogoje nadomestite , in PREVIDNO opravite končne izračune.

odgovor:

Negativen pomen pik produkt navaja dejstvo, da je kot med vektorjema tup.

Naloga je tipična, tukaj je primer za samostojno rešitev:

Primer 4

Poiščite skalarni produkt vektorjev in , Če je znano, da .

Zdaj še ena pogosta naloga, samo za novo formulo dolžine vektorja. Oznake se bodo tukaj nekoliko prekrivale, zato jih bom zaradi jasnosti prepisal z drugo črko:

Primer 5

Poiščite dolžino vektorja if .

Odločitev bo takole:

(1) Posredujemo vektorski izraz .

(2) Uporabimo formulo dolžine: , medtem ko imamo celoštevilski izraz kot vektor "ve".

(3) Za kvadrat vsote uporabimo šolsko formulo. Bodite pozorni na to, kako radovedno deluje tukaj: - pravzaprav je to kvadrat razlike in v resnici je tako. Tisti, ki želijo, lahko vektorje po mestih prerazporedijo: - izkazalo se je isto do prerazporeditve izrazov.

(4) To, kar sledi, je že znano iz dveh prejšnjih problemov.

odgovor:

Ker govorimo o dolžini, ne pozabite navesti dimenzije - "enote".

Primer 6

Poiščite dolžino vektorja if .

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Še naprej iztisnemo koristne stvari iz skalarnega produkta. Oglejmo si še enkrat našo formulo . Po pravilu sorazmerja ponastavimo dolžine vektorjev na imenovalec leve strani:

Zamenjajmo dele:

Kaj je pomen te formule? Če sta znani dolžini dveh vektorjev in njun skalarni produkt, je mogoče izračunati kosinus kota med tema vektorjema in posledično sam kot.

Ali je skalarni produkt število? Številka. Ali so vektorske dolžine številke? Številke. Torej je ulomek tudi število. In če je kosinus kota znan: , nato uporabite inverzna funkcija sam kotiček je enostavno najti: .

Primer 7

Poiščite kot med vektorji in , Če je znano, da .

Odločitev: Uporabljamo formulo:

Na končna faza pri izračunih je bila uporabljena tehnika - odprava neracionalnosti v imenovalcu. Da bi odpravili iracionalnost, sem števec in imenovalec pomnožil z .

Torej če , potem:

Inverzne vrednosti trigonometrične funkcije je mogoče najti z trigonometrična miza. Čeprav se to redko zgodi. Pri problemih analitične geometrije se veliko pogosteje pojavlja kakšen okorni medved, vrednost kota pa je treba približno poiskati s kalkulatorjem. Pravzaprav bomo to sliko videli znova in znova.

odgovor:

Še enkrat, ne pozabite navesti dimenzije - radiane in stopinje. Osebno, da bi namerno "odstranil vsa vprašanja", raje navedem oboje (če seveda po pogoju ni treba podati odgovora le v radianih ali samo v stopinjah).

Zdaj se lahko ukvarjate z več težka naloga:

Primer 7*

Podane so dolžine vektorjev in kot med njimi. Poiščite kot med vektorji , .

Naloga ni tako težka kot večsmerna.
Analizirajmo algoritem rešitve:

1) Glede na pogoj je treba najti kot med vektorjema in , zato morate uporabiti formulo .

2) Najdemo skalarni produkt (glej primera št. 3, 4).

3) Poišči dolžino vektorja in dolžino vektorja (glej primera št. 5, 6).

4) Konec rešitve sovpada s primerom št. 7 - poznamo številko , kar pomeni, da je sam kot enostavno najti:

Hitra rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Drugi del lekcije je posvečen istemu pikčastemu produktu. Koordinate. Še lažje bo kot v prvem delu.

pik produkt vektorjev,
podane s koordinatami v ortonormalni osnovi

odgovor:

Ni treba posebej poudarjati, da je ukvarjanje s koordinatami veliko bolj prijetno.

Primer 14

Poiščite skalarni produkt vektorjev in če

To je primer "naredi sam". Tukaj lahko uporabite asociativnost operacije, torej ne štejte, ampak takoj vzamete trojko iz skalarnega produkta in pomnožite z njo nazadnje. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Na koncu odstavka provokativen primer izračuna dolžine vektorja:

Primer 15

Poiščite dolžine vektorjev , če

Odločitev: spet sprašujem za pot prejšnji razdelek: , vendar obstaja še en način:

Poiščimo vektor:

In njegova dolžina po trivialni formuli :

Skalarni produkt tukaj sploh ni pomemben!

Kako neuspešno je pri izračunu dolžine vektorja:
Ustavi se. Zakaj ne bi izkoristili očitne lastnosti dolžine vektorja? Kaj lahko rečemo o dolžini vektorja? Ta vektor je 5-krat daljši od vektorja. Smer je nasprotna, vendar to ni pomembno, saj govorimo o dolžini. Očitno je dolžina vektorja enaka produktu modulštevila na dolžino vektorja:
- znak modula "poje" možni minus števila.

Takole:

odgovor:

Formula za kosinus kota med vektorji, ki so podani s koordinatami

Zdaj imamo popolne informacije, tako da je prej izpeljana formula za kosinus kota med vektorji izraziti v vektorskih koordinatah:

Kosinus kota med ravninskimi vektorji in , podano v ortonormalni osnovi , je izražena s formulo:
.

Kosinus kota med vektorji prostora, podano v ortonormalni osnovi , je izražena s formulo:

Primer 16

Podana so tri oglišča trikotnika. Najdi (kot oglišča).

Odločitev: Pod pogojem risba ni potrebna, vendar še vedno:

Zahtevani kot je označen z zelenim lokom. Takoj se spomnite šolske oznake kota: - Posebna pozornost na sredinačrka - to je vrh kota, ki ga potrebujemo. Zaradi kratkosti bi ga lahko napisali tudi preprosto.

Iz risbe je povsem očitno, da kot trikotnika sovpada s kotom med vektorjema in , z drugimi besedami: .

Zaželeno je, da se naučite, kako miselno opraviti analizo.

Poiščimo vektorje:

Izračunajmo skalarni produkt:

In dolžine vektorjev:

Kosinus kota:

Prav ta vrstni red naloge priporočam lutkam. Naprednejši bralci lahko napišejo izračune "v eni vrstici":

Tukaj je primer "slabe" vrednosti kosinusa. Dobljena vrednost ni končna, zato ne poseben pomen znebiti se iracionalnosti v imenovalcu.

Poiščimo kot:

Če pogledate risbo, je rezultat precej verjeten. Za preverjanje kota se lahko izmeri tudi s kotomerjem. Ne poškodujte prevleke monitorja =)

odgovor:

V odgovoru tega ne pozabite vprašal o kotu trikotnika(in ne o kotu med vektorjema), ne pozabite navesti natančnega odgovora: in približne vrednosti kota: najdemo s kalkulatorjem.

Tisti, ki so uživali v postopku, lahko izračunajo kote in se prepričajo, da je kanonična enakost resnična

Primer 17

Trikotnik je v prostoru podan s koordinatami njegovih oglišč. Poiščite kot med stranicama in

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije

Majhen zadnji del bo namenjen projekcijam, v katere je "vpleten" tudi skalarni produkt:

Projekcija vektorja na vektor. Vektorska projekcija na koordinatne osi.
Vektorski kosinus smeri

Upoštevajte vektorje in:

Vektor projiciramo na vektor, zato izpustimo začetek in konec vektorja pravokotnice na vektor (zelene pikčaste črte). Predstavljajte si, da svetlobni žarki padajo pravokotno na vektor. Potem bo segment (rdeča črta) "senca" vektorja. V tem primeru je projekcija vektorja na vektor DOLŽINA segmenta. Se pravi, PROJEKCIJA JE ŠTEVILKA.

Ta ŠTEVILKA je označena na naslednji način: , "veliki vektor" označuje vektor KATERI projekta, "small subscript vector" označuje vektor NA ki je predviden.

Sam vnos se glasi takole: "projekcija vektorja "a" na vektor "be"".

Kaj se zgodi, če je vektor "be" "prekratek"? Narišemo ravno črto, ki vsebuje vektor "be". In vektor "a" bo že projiciran v smer vektorja "be", preprosto - na ravni črti, ki vsebuje vektor "be". Enako se bo zgodilo, če bo vektor "a" odložen v tridesetem kraljestvu - še vedno bo zlahka projiciran na vrstico, ki vsebuje vektor "be".

Če je kot med vektorji začinjeno(kot na sliki), potem

Če vektorji ortogonalno, potem (projekcija je točka, katere dimenzije so predpostavljene nič).

Če je kot med vektorji Top(na sliki miselno prerazporedite puščico vektorja), nato (iste dolžine, vendar vzeto z znakom minus).

Odložite te vektorje iz ene točke:

Očitno se pri premikanju vektorja njegova projekcija ne spremeni

Kot med dvema vektorjema, :

Če je kot med dvema vektorjema oster, je njun pik produkt pozitiven; če je kot med vektorjema tup, je skalarni produkt teh vektorjev negativen. Skalarni produkt dveh neničel vektorjev je nič, če in samo če sta ta vektorja ortogonalna.

Vaja. Poiščite kot med vektorji in

Odločitev. Kosinus želenega kota

16. Izračunavanje kota med ravnimi črtami, premo in ravnino

Kot med črto in ravnino seka to premico in ne pravokotno nanjo, je kot med premico in njeno projekcijo na to ravnino.

Določanje kota med premico in ravnino nam omogoča sklepanje, da je kot med premico in ravnino kot med dvema sekajočima premicama: samo premico in njeno projekcijo na ravnino. Zato je kot med premico in ravnino oster kot.

Kot med pravokotno črto in ravnino se šteje za enakega, kot med vzporednico in ravnino pa sploh ni določen ali pa se šteje za enak .

§ 69. Izračun kota med ravnimi črtami.

Problem računanja kota med dvema ravnima v prostoru se rešuje na enak način kot v ravnini (§ 32). S φ označimo kot med črtama l 1 in l 2 , in skozi ψ - kot med vektorjema smeri a in b te ravne črte.

Potem če

ψ 90° (slika 206.6), potem je φ = 180° - ψ. Očitno je, da v obeh primerih velja enakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (1) § 20 imamo

torej,

Naj bodo vrstice podane z njihovimi kanoničnimi enačbami

Nato s formulo določimo kot φ med črtama

Če je ena od premic (ali obe) podana z nekanoničnimi enačbami, potem morate za izračun kota poiskati koordinate vektorjev smeri teh črt in nato uporabiti formulo (1).

17. Vzporedne premice, Izreki o vzporednih premicah

Opredelitev. Dve premici v ravnini se imenujeta vzporednoče nimajo skupnih točk.

Dve črti v treh dimenzijah se imenujeta vzporednoče ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Kot med dvema vektorjema.

Iz definicije pik produkta:

.

Pogoj ortogonalnosti dveh vektorjev:

Pogoj kolinearnosti za dva vektorja:

.

Sledi iz definicije 5 - . Dejansko iz definicije produkta vektorja s številom sledi. Zato na podlagi pravila vektorske enakosti zapišemo , , , kar pomeni . Toda vektor, ki je rezultat množenja vektorja s številom, je kolinearen vektorju.

Vektorska projekcija:

.

Primer 4. Glede na točke , , , .

Poiščite skalarni produkt.

Odločitev. najdemo po formuli skalarnega produkta vektorjev, ki jih podajajo njihove koordinate. V kolikor

, ,

Primer 5 Glede na točke , , , .

Poiščite projekcijo.

Odločitev. V kolikor

, ,

Na podlagi projekcijske formule imamo

.

Primer 6 Glede na točke , , , .

Poiščite kot med vektorjema in .

Odločitev. Upoštevajte, da vektorji

, ,

niso kolinearni, ker njihove koordinate niso sorazmerne:

.

Ti vektorji tudi niso pravokotni, saj je njihov pikčasti produkt .

poiščimo,

Injekcija poišči iz formule:

.

Primer 7 Ugotovite, za katere vektorje in kolinearno.

Odločitev. V primeru kolinearnosti ustrezne koordinate vektorjev in mora biti sorazmeren, to je:

.

Od tu in.

Primer 8. Ugotovite, pri kateri vrednosti vektorja in so pravokotne.

Odločitev. Vektor in sta pravokotni, če je njihov pikčasti produkt nič. Iz tega pogoja dobimo: . To je, .

Primer 9. Najti , če , , .

Odločitev. Zaradi lastnosti skalarnega produkta imamo:

Primer 10. Poiščite kot med vektorjema in , kjer in - enotnih vektorjev in kota med vektorjema in je enak 120o.

Odločitev. Imamo: , ,

Končno imamo: .

5 B. vektorski izdelek.

Opredelitev 21.vektorska umetnost vektor v vektor se imenuje vektor ali , definiran z naslednjimi tremi pogoji:

1) Modul vektorja je , kjer je kot med vektorjema in , t.j. .

Iz tega sledi, da je modul vektorskega produkta številčen enako površini paralelogram, zgrajen na vektorjih in kot na straneh.

2) Vektor je pravokoten na vsakega od vektorjev in ( ; ), t.j. pravokotno na ravnino paralelograma, zgrajenega na vektorjih in .

3) Vektor je usmerjen tako, da bi bil, če ga gledamo z njegovega konca, najkrajši obrat od vektorja do vektorja v nasprotni smeri urinega kazalca (vektorji , , tvorijo desno trojko).

Kako izračunati kote med vektorji?

Pri študiju geometrije se poraja veliko vprašanj na temo vektorjev. Učenec ima posebne težave, ko je treba najti kote med vektorjema.

Osnovni izrazi

Preden se lotimo kotov med vektorji, se je treba seznaniti z definicijo vektorja in pojmom kota med vektorji.

Vektor je segment, ki ima smer, torej segment, za katerega sta definirana njegov začetek in konec.

Kot med dvema vektorjema na ravnini, ki imata skupni izvor, je manjši od kotov, za katerega je treba enega od vektorjev premakniti okoli skupne točke, v položaj, kjer se njuni smeri ujemata.

Formula raztopine

Ko razumete, kaj je vektor in kako se določi njegov kot, lahko izračunate kot med vektorji. Formula rešitve za to je precej preprosta, rezultat njene uporabe pa bo vrednost kosinusa kota. Po definiciji je enak kvocientu skalarnega produkta vektorjev in produkta njihovih dolžin.

Skalarni zmnožek vektorjev se obravnava kot vsota ustreznih koordinat multiplikatorskih vektorjev, pomnoženih med seboj. Dolžina vektorja ali njegov modul se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat.

Ko prejmete vrednost kosinusa kota, lahko s kalkulatorjem ali s trigonometrično tabelo izračunate vrednost samega kota.

Primer

Ko ugotovite, kako izračunati kot med vektorji, postane rešitev ustreznega problema preprosta in enostavna. Kot primer razmislite o preprostem problemu iskanja velikosti kota.

Najprej bo bolj priročno izračunati vrednosti dolžin vektorjev in njihovega skalarnega produkta, potrebnega za reševanje. Z uporabo zgornjega opisa dobimo:

Z zamenjavo dobljenih vrednosti v formulo izračunamo vrednost kosinusa želenega kota:

Ta številka ni ena od petih običajnih kosinusnih vrednosti, zato boste morali za pridobitev vrednosti kota uporabiti kalkulator ali Bradisovo trigonometrično tabelo. Toda preden dobimo kot med vektorjema, lahko formulo poenostavimo, da se znebimo dodatnega negativnega predznaka:

Končni odgovor lahko pustite v tej obliki, da ohranite natančnost, ali pa izračunate vrednost kota v stopinjah. Po Bradisovi tabeli bo njegova vrednost približno 116 stopinj in 70 minut, kalkulator pa bo pokazal vrednost 116,57 stopinj.

Izračun kota v n-dimenzionalnem prostoru

Pri obravnavanju dveh vektorjev v tridimenzionalnem prostoru je veliko težje razumeti, o katerem kotu govorimo, če ne ležita v isti ravnini. Za poenostavitev zaznavanja lahko narišete dva sekajoča se segmenta, ki tvorita najmanjši kot med njima, in bo želeni. Kljub prisotnosti tretje koordinate v vektorju se postopek izračunavanja kotov med vektorji ne bo spremenil. Izračunajte skalarni produkt in module vektorjev, arkkosinus njihovega količnika in bo odgovor na ta problem.

Pri geometriji se pogosto pojavljajo težave s prostori, ki imajo več kot tri dimenzije. Toda zanje je algoritem za iskanje odgovora podoben.

Razlika med 0 in 180 stopinjami

Ena izmed pogostih napak pri pisanju odgovora na problem, ki je zasnovan za izračun kota med vektorji, je odločitev, da zapišemo, da sta vektorja vzporedna, to je, da se je želeni kot izkazal za 0 ali 180 stopinj. Ta odgovor je napačen.

Ko smo kot rezultat rešitve prejeli vrednost kota 0 stopinj, bi bil pravilen odgovor, da vektorje označimo kot sosmerne, to pomeni, da bodo vektorji imeli isto smer. V primeru pridobitve 180 stopinj bodo vektorji v naravi nasprotnih smeri.

Posebni vektorji

Z iskanjem kotov med vektorji lahko poleg zgoraj opisanih sousmerjenih in nasprotno usmerjenih najdemo enega od posebnih tipov.

• Več vektorjev, vzporednih z eno ravnino, se imenujejo komplanarni.
• Vektorji, ki so enaki po dolžini in smeri, se imenujejo enaki.
• Vektorji, ki ležijo na isti ravni črti, ne glede na smer, se imenujejo kolinearni.
• Če je dolžina vektorja nič, torej njegov začetek in konec sovpadata, se imenuje nič, in če je ena, potem se imenuje ena.

Kako najti kot med vektorji?

pomagaj mi prosim! Poznam formulo, vendar je ne morem ugotoviti
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titov

Kot med vektorji, ki jih podajajo njihove koordinate, najdemo po standardnem algoritmu. Najprej morate najti skalarni produkt vektorjev a in b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Tu nadomestimo koordinate teh vektorjev in upoštevamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Nato določimo dolžine vsakega od vektorjev. Dolžina ali modul vektorja je kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat:
|a| = koren od (x1^2 + y1^2 + z1^2) = koren od (8^2 + 10^2 + 4^2) = koren od (64 + 100 + 16) = koren od 180 = 6 korenov 5
|b| = kvadratni koren (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratni koren (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratni koren (25 + 400 + 100) ) = kvadratni koren od 525 = 5 korenov od 21.
Te dolžine pomnožimo. Dobimo 30 korenin od 105.
In končno, delimo skalarni produkt vektorjev z zmnožkom dolžin teh vektorjev. Dobimo -200 / (30 korenov od 105) oz
- (4 koreni iz 105) / 63. To je kosinus kota med vektorjema. In sam kot je enak loku kosinusa tega števila
f \u003d arccos (-4 koreni od 105) / 63.
Če sem prav štel.

Kako izračunati sinus kota med vektorji iz koordinat vektorjev

Mihail Tkačev

Te vektorje pomnožimo. Njihov pikčasti produkt je enak zmnožku dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima.
Kot nam ni znan, so pa znane koordinate.
Zapišimo matematično takole.
Naj bo dana vektorja a(x1;y1) in b(x2;y2)
Potem

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

prepiramo se.
a*b-skalarni produkt vektorjev je enak vsoti produktov ustreznih koordinat koordinat teh vektorjev, torej enak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-zmnožek vektorskih dolžin je enak √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Torej je kosinus kota med vektorjema:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Če poznamo kosinus kota, lahko izračunamo njegov sinus. Pogovorimo se, kako to storiti:

Če je kosinus kota pozitiven, potem ta kot leži v 1 ali 4 četrtinah, zato je njegov sinus pozitiven ali negativen. Ker pa je kot med vektorjema manjši ali enak 180 stopinj, je njegov sinus pozitiven. Podobno trdimo, če je kosinus negativen.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) vso srečo pri odkrivanju)))

Dmitrij Leviščev

Dejstvo, da je nemogoče neposredno sinusirati, ne drži.
Poleg formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Obstaja tudi ta:
||=|a|*|b|*greh A
To pomeni, da lahko namesto skalarnega produkta vzamete modul vektorskega produkta.