Kaj je v osnovi pravilne prizme. Prizma

Veja matematike, ki proučuje lastnosti različnih oblik (točke, črte, koti, dvodimenzionalni in tridimenzionalni predmeti), njihove velikosti in relativni položaj. Zaradi lažjega poučevanja je geometrija razdeljena na planimetrijo in trdno geometrijo. NA… … Enciklopedija Collier

geometrija prostorov dimenzij, večjih od treh; izraz se uporablja za tiste prostore, katerih geometrija je bila prvotno razvita za primer treh dimenzij in šele nato posplošena na število dimenzij n> 3, predvsem evklidov prostor, ... ... Matematična enciklopedija

N-dimenzionalna evklidska geometrija posplošitev evklidske geometrije na prostor več meritve. Čeprav je fizični prostor tridimenzionalen in so človeška čutila zasnovana za zaznavanje treh dimenzij, je N dimenzionalen ... ... Wikipedia

Ta izraz ima druge pomene, glej Pyramidatsu (pomeni). Zanesljivost tega dela članka je bila pod vprašajem. Potrebno je preveriti točnost dejstev, navedenih v tem razdelku. Na pogovorni strani so lahko pojasnila ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija, ki se uporablja pri modeliranju trdne snovi. Geometrija strukturnih blokov je pogosto, vendar ne vedno, tehnika modeliranja v 3D grafiki in CAD. Omogoča vam ustvarjanje kompleksne scene ali ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) je tehnologija, ki se uporablja pri modeliranju trdnih teles. Geometrija strukturnih blokov je pogosto, vendar ne vedno, tehnika modeliranja v 3D grafiki in CAD. Ona ... ... Wikipedia

Ta izraz ima druge pomene, glejte Obseg (pomene). Volumen je aditivna funkcija niza (mere), ki označuje zmogljivost območja prostora, ki ga zaseda. Sprva je nastal in se uporabljal brez strogih ... ... Wikipedije

Tip kocke Pravilni polieder Face kvadrat Vertices Robovi Faces ... Wikipedia

Volumen je aditivna funkcija niza (mere), ki označuje zmogljivost območja prostora, ki ga zaseda. Sprva je nastal in je bil uporabljen brez stroge definicije v zvezi s tridimenzionalnimi telesi tridimenzionalnega evklidskega prostora. ... ... Wikipedia.

Del prostora, omejen z zbirko končnega števila ravninskih mnogokotnikov (glej GEOMETRIJA), povezanih tako, da je vsaka stran katerega koli mnogokotnika stran natanko enega drugega mnogokotnika (imenovanega ... ... Enciklopedija Collier

knjige

Komplet miz. Geometrija. 10. razred. 14 tabel + metodologija, . Tabele so tiskane na debel poligrafski karton dimenzij 680 x 980 mm. Brošura z smernice za učitelja. Študijski album 14 listov...

predavanje: Prizma, njene osnove, stranski robovi, višina, stranska površina; ravna prizma; desna prizma

Prizma

Če ste se iz prejšnjih vprašanj pri nas naučili ravnih figur, ste popolnoma pripravljeni na študij tridimenzionalnih figur. Prva trdna snov, ki se jo bomo naučili, bo prizma.

Prizma je obsežno telo, ki ima veliko število obrazi.

Ta figura ima na osnovah dva mnogokotnika, ki sta nameščena v vzporednih ravninah, vse stranske ploskve pa so v obliki paralelograma.

Slika 1. Sl. 2

Torej, ugotovimo, iz česa je sestavljena prizma. Če želite to narediti, bodite pozorni na sl.1

Kot smo že omenili, ima prizma dve osnovi, ki sta med seboj vzporedni - to sta petkotnik ABCEF in GMNJK. Poleg tega so ti poligoni med seboj enaki.

Vse druge ploskve prizme imenujemo stranske ploskve - sestavljene so iz paralelogramov. Na primer, BMNC, AGKF, FKJE itd.

Skupna površina vseh stranskih ploskov se imenuje stranska površina.

Vsak par sosednjih obrazov ima skupno stran. Takšna skupna stran se imenuje rob. Na primer, MB, CE, AB itd.

Če sta zgornja in spodnja osnova prizme povezani s pravokotnico, se bo imenovala višina prizme. Na sliki je višina označena kot ravna črta OO 1.

Obstajata dve glavni vrsti prizme: poševna in ravna.

Če stranski robovi prizme niso pravokotni na osnove, se taka prizma imenuje poševno.

Če so vsi robovi prizme pravokotni na osnove, se taka prizma imenuje naravnost.

Če so osnove prizme pravilni mnogokotniki (tisti z enakimi stranicami), se taka prizma imenuje pravilno.

Če osnove prizme niso vzporedne med seboj, se taka prizma imenuje okrnjeno.

Vidite ga lahko na sl.2

Formule za iskanje prostornine, površine prizme

Obstajajo tri osnovne formule za iskanje prostornine. Med seboj se razlikujejo po svoji uporabi:

Podobne formule za iskanje površine prizme:

Vsak mnogokotnik lahko leži na dnu prizme - trikotnik, štirikotnik itd. Obe bazi sta popolnoma enaki, zato sta koti vzporednih ploskov med seboj povezani, vedno vzporedni. Na dnu pravilne prizme leži pravilen mnogokotnik, to je tak, pri katerem so vse stranice enake. V ravni prizmi so robovi med stranskimi ploskvami pravokotni na osnovo. V tem primeru lahko poligon s poljubnim številom kotov leži na dnu ravne prizme. Prizma, katere osnova je paralelogram, se imenuje paralelepiped. Pravokotnik - poseben primer paralelogram. Če ta figura leži na dnu in so stranske ploskve nameščene pravokotno na osnovo, se paralelepiped imenuje pravokoten. Drugo ime tega geometrijskega telesa je pravokotno.

Kako izgleda

Obkrožene so pravokotne prizme sodobnega človeka kar nekaj. To je na primer običajen karton izpod čevljev, računalniških komponent itd. Poglej okoli. Tudi v sobi boste zagotovo videli veliko pravokotnih prizm. To je računalniško ohišje, knjižna polica, hladilnik, omara in številni drugi predmeti. Obrazec je izjemno priljubljen predvsem zato, ker omogoča čim bolj učinkovito uporabo prostora, ne glede na to, ali pred selitvijo okrasite notranjost ali pakirate stvari v karton.

Lastnosti pravokotne prizme

Pravokotna prizma ima številko specifične lastnosti. Vsak par obrazov lahko služi kot njegov, saj so vse sosednje ploskve nameščene pod enakim kotom med seboj in je ta kot 90 °. Prostornino in površino pravokotne prizme je lažje izračunati kot katero koli drugo. Vzemite kateri koli predmet, ki ima obliko pravokotne prizme. Izmerite njegovo dolžino, širino in višino. Če želite najti prostornino, je dovolj, da te meritve pomnožite. To pomeni, da je formula videti takole: V \u003d a * b * h, kjer je V prostornina, a in b strani osnove, h je višina, ki sovpada s stranskim robom tega geometrijskega telesa. Osnovna površina se izračuna po formuli S1=a*b. Če želite dobiti stransko površino, morate najprej izračunati obseg osnove po formuli P=2(a+b) in jo nato pomnožiti z višino. Izkazalo se je, da je formula S2=P*h=2(a+b)*h. Za izračun polna površina Za pravokotno prizmo dodajte dvakratno površino osnove in površino stranske površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

AT šolski kurikulum v okviru geometrije trdnih snovi se preučevanje tridimenzionalnih figur običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka mnogokotnika, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegove osnove sta 2 enaka pravilna štirikotnika, na katera sta pravokotni strani, ki imata obliko paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).

Kako izgleda prizma

Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, na dnu katerega sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijski lik- ravni paralelepiped.

Slika, ki prikazuje štirikotno prizmo, je prikazana spodaj.

Vidite tudi na sliki bistvenih elementov, ki sestavljajo geometrijsko telo. Običajno jih imenujemo:

Včasih lahko v težavah v geometriji najdete koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: prerez so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Presek je pravokoten (prečka robove figure pod kotom 90 stopinj). Za pravokotno prizmo se upošteva tudi diagonalni prerez (največje število odsekov, ki jih je mogoče zgraditi, je 2), ki poteka skozi 2 robova in diagonale osnove.

Če je odsek narisan tako, da rezalna ravnina ni vzporedna niti z osnovami niti s stranskimi ploskvami, je rezultat okrnjena prizma.

Za iskanje reduciranih prizmatičnih elementov se uporabljajo različna razmerja in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).

Površina in prostornina

Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:

V = Sprim h

Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko napišete v bolj podrobni obliki:

V = a² h

Če govorimo o kocki - navadni prizmi z enako dolžino, širino in višino, se prostornina izračuna na naslednji način:

Če želite razumeti, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen zamah.

Iz risbe je razvidno, da je stranska površina sestavljena iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek oboda osnove in višine figure:

Stranska stran = Pos h

Ker je obseg kvadrata P = 4a, formula ima obliko:

Sside = 4a h

za kocko:

Stranska stran = 4a²

Če želite izračunati skupno površino prizme, dodajte 2 osnovni površini stranski površini:

Polno = Sside + 2Sbase

Glede na štirikotno pravilno prizmo ima formula obliko:

Polno = 4a h + 2a²

Za površino kocke:

Polno = 6a²

Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijsko telo.

Iskanje elementov prizme

Pogosto se pojavijo težave, pri katerih je podana prostornina ali je znana vrednost stranske površine, kjer je treba določiti dolžino stranice podlage ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:

dolžina osnovne strani: a = Sside / 4h = √(V / h);
višina ali dolžina stranskega rebra: h = Sside / 4a = V / a²;
osnovna površina: Sprim = V / h;
stranska površina obraza: Stranski gr = stranska / 4.

Če želite ugotoviti, koliko ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. torej:

Sdiag = ah√2

Za izračun diagonale prizme se uporablja formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Če želite razumeti, kako uporabiti zgornja razmerja, lahko vadite in rešite nekaj preprostih nalog.

Primeri težav z rešitvami

Tukaj je nekaj nalog, ki se pojavljajo na državnih zaključnih izpitih iz matematike.

vaja 1.

Pesek se vlije v škatlo v obliki pravilne štirikotne prizme. Višina njegovega nivoja je 10 cm.Kolikšen bo nivo peska, če ga premaknete v posodo enake oblike, vendar z 2-krat daljšo dolžino osnove?

Treba je trditi, kot sledi. Količina peska v prvi in drugi posodi se ni spremenila, torej je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino osnove lahko določite kot a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina nivoja peska ni znana:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

V kolikor V₁ = V₂, lahko izraze enačimo:

10a² = 4ha²

Ko zmanjšamo obe strani enačbe za a², dobimo:

Kot rezultat nova raven pesek bo h = 10 / 4 = 2,5 cm.

2. naloga.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.

Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.

Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je osnova kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve ima enako vrednost, zato ima stranska ploskev tudi obliko kvadrata, ki je enak osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Skupno površino najdemo po formuli za kocko:

Polno = 6a² = 6 6² = 216

3. naloga.

Soba je v prenovi. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšni so najnižji stroški tapetiranja prostora, če 1 m² stane 50 rubljev?

Ker sta tla in strop kvadrata, torej pravilna štirikotnika, njegove stene pa pravokotne na vodoravne ploskve, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.

Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.

Kvadrat bo prekrit s tapetami Stran = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50 30 = 1500 rubljev.

Tako je za reševanje problemov na pravokotni prizmi dovolj, da znamo izračunati površino in obseg kvadrata in pravokotnika ter poznati formule za iskanje prostornine in površine.

Kako najti površino kocke

Opredelitev. Prizma- to je polieder, katerega vsa oglišča se nahajajo v dveh vzporednih ravninah, v istih dveh ravninah pa sta dve ploskvi prizme, ki sta enaka mnogokotnika z vzporednimi stranicami, in vsi robovi, ki ne ležijo v teh ravnine so vzporedne.

Dva enaka obraza se imenujeta osnove prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Vse druge ploskve prizme se imenujejo stranske ploskve(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Oblikujejo se vse stranske ploskve stranska površina prizme .

Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami .

Robovi, ki ne ležijo na osnovah, se imenujejo stranski robovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prizme imenujemo segment, katerega konca sta dve oglišči prizme, ki ne ležita na eni od njenih ploskva (AD 1).

Dolžina segmenta, ki povezuje osnovo prizme in pravokotno na obe bazi hkrati, se imenuje višina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najprej so v vrstnem redu obvoza označena oglišča ene baze, nato pa v enakem vrstnem redu oglišča druge; konca vsakega stranskega roba sta označena z istimi črkami, le oglišča, ki ležijo v ena osnova je označena s črkami brez indeksa, v drugi pa z indeksom)

Ime prizme je povezano s številom kotov na sliki, ki leži na njeni podlagi, na primer na sliki 1 je osnova petkotnik, zato se prizma imenuje peterokotna prizma. Ampak odkar taka prizma ima 7 ploskov, potem jo sedemeder(2 ploskvi sta osnovi prizme, 5 ploskov je paralelogramov, so njene stranske ploskve)

Med ravnimi prizmami izstopa zasebni pogled: pravilne prizme.

Imenuje se ravna prizma pravilno,če so njegove osnove pravilni mnogokotniki.

Pravilna prizma ima vse stranske ploskve enake pravokotnike. Poseben primer prizme je paralelepiped.

Paralelepiped

Paralelepiped- Tole štirikotna prizma, ki temelji na paralelogramu (poševni paralelepiped). Desni paralelepiped- paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na ravnine osnove.

kockasto- desni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik.

Lastnosti in izreki:

Nekatere lastnosti paralelepipeda so podobne znane lastnosti pravokotni paralelogram, ki ima enake mere, se imenujejo kocka .Vse ploskve kocke so enake kvadratom. Kvadrat diagonale je enak vsoti kvadratov njenih treh dimenzij

kjer je d diagonala kvadrata;
a - stran kvadrata.

Idejo prizme daje:

različne arhitekturne strukture;
Otroške igrače;
škatle za pakiranje;
dizajnerski predmeti itd.

Skupna in stranska površina prizme

Skupna površina prizme je vsota površin vseh njegovih obrazov Bočna površina se imenuje vsota površin njegovih stranskih ploskov. osnove prizme so enaki mnogokotniki, potem so njihove površine enake. Torej

S polno \u003d S stransko + 2S glavno,

kje S poln- skupna površina, S stran- stranska površina, S glavni- osnovna površina

Površina stranske površine ravne prizme je enaka zmnožku oboda osnove in višine prizme.

S stran\u003d P glavni * h,

kje S stran je površina stranske površine ravne prizme,

P glavni - obod osnove ravne prizme,

h je višina ravne prizme, enaka stranskemu robu.