Care dintre funcții este exemplară. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia - Knowledge Hypermarket

FUNCȚII EXPONENȚIALE ȘI LOGARITMICE VIII

§ 179 Proprietăţile de bază ale funcţiei exponenţiale

În această secțiune, vom studia principalele proprietăți ale funcției exponențiale

y = a X (1)

Amintiți-vă că mai jos A în formula (1) ne referim la orice număr pozitiv fix, altul decât 1.

Proprietatea 1. Domeniul funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.

Într-adevăr, pentru un pozitiv A expresie A X definit pentru orice număr real X .

Proprietatea 2. Functie exponentiala ia doar valori pozitive.

Într-adevăr, dacă X > 0, deci, după cum s-a dovedit în § 176,

A X > 0.

Dacă X <. 0, то

A X =

Unde - X deja mai mare decât zero. Asa de A - X > 0. Dar atunci

A X = > 0.

În cele din urmă, la X = 0

A X = 1.

A 2-a proprietate a funcției exponențiale are o interpretare grafică simplă. Constă în faptul că graficul acestei funcții (vezi Fig. 246 și 247) este situat în întregime deasupra axei x.

Proprietatea 3. În cazul în care un A >1, apoi la X > 0 A X > 1, iar la X < 0 A X < 1. Dacă A < 1, тo, dimpotriva, X > 0 A X < 1, iar la X < 0 A X > 1.

Această proprietate a funcției exponențiale admite și o interpretare geometrică simplă. La A > 1 (fig. 246) curbe y = a X situat deasupra liniei la = 1 la X > 0 și sub linia dreaptă la = 1 la X < 0.

Dacă A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a X situat sub linie la = 1 la X > 0 și deasupra acestei linii drepte la X < 0.

Să dăm o dovadă riguroasă a celei de-a treia proprietăți. Lasa A > 1 și X este un număr pozitiv arbitrar. Să arătăm asta

A X > 1.

Dacă numărul X rațional ( X = m / n ) , apoi A X = A m/ n = n √A m .

În măsura în care A > 1, atunci A m > 1, dar rădăcina unui număr mai mare decât unu este evident și mai mare decât 1.

În cazul în care un X irațional, atunci există numere raționale pozitive X" și X" , care servesc ca aproximări zecimale ale numărului X :

X"< х < х" .

Dar apoi, prin definiția gradului c indicator irațional

A X" < A X < A X"" .

După cum se arată mai sus, numărul A X" mai mult de o. Prin urmare, numărul A X , mai mult decât A X" , trebuie să fie, de asemenea, mai mare decât 1,

Deci, noi am arătat asta A >1 și pozitiv arbitrar X

A X > 1.

Dacă numărul X a fost negativ, atunci am avea

A X =

unde este numărul X ar fi pozitiv. Asa de A - X > 1. Prin urmare,

A X = < 1.

Astfel, la A > 1 și negativ arbitrar X

A X < 1.

Cazul când 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Proprietatea 4. Dacă x = 0, atunci indiferent de a A X =1.

Aceasta rezultă din definiția gradului zero; puterea zero a oricărui număr altul decât zero este egală cu 1. Grafic, această proprietate este exprimată prin faptul că pentru orice A curba la = A X (vezi fig. 246 și 247) traversează axa la în punctul cu ordonata 1.

Proprietatea 5. La A >1 functie exponentiala = A X este monoton în creștere, iar pentru a < 1 - monoton în scădere.

Această proprietate permite, de asemenea, o interpretare geometrică simplă.

La A > 1 (Fig. 246) curbă la = A X cu crestere X se ridică din ce în ce mai sus și A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Să dăm o dovadă riguroasă a celei de-a 5-a proprietăți.

Lasa A > 1 și X 2 > X unu . Să arătăm asta

A X 2 > A X 1

În măsura în care X 2 > X 1., atunci X 2 = X 1 + d , Unde d este un număr pozitiv. Asa de

A X 2 - A X 1 = A X 1 + d - A X 1 = A X 1 (A d - 1)

Conform proprietății a 2-a a funcției exponențiale A X 1 > 0. Din moment ce d > 0, apoi prin a 3-a proprietate a funcției exponențiale A d > 1. Ambii factori din produs A X 1 (A d - 1) sunt pozitive, prin urmare acest produs în sine este pozitiv. Mijloace, A X 2 - A X 1 > 0 sau A X 2 > A X 1, ceea ce urma să fie dovedit.

Deci, la A > 1 functie la = A X este în creștere monoton. În mod similar, se dovedește că A < 1 функция la = A X este monoton în scădere.

Consecinţă. Dacă două puteri ale aceluiași număr pozitiv, altele decât 1, sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali.

Cu alte cuvinte, dacă

A b = A c (A > 0 și A =/= 1),

b = c .

Într-adevăr, dacă numerele b și cu nu erau egale, atunci din cauza monotonității funcției la = A X cele mai multe dintre ele ar corespunde A >1 este mai mare, iar la A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A c , sau A b < A c . Ambele contrazic condiția A b = A c . Rămâne de recunoscut că b = c .

Proprietatea 6. În cazul în care un > 1, apoi cu o creştere nelimitată a argumentului X (X -> ∞ ) valorile funcției la = A X cresc, de asemenea, la infinit (la -> ∞ ). Cu o scădere nelimitată a argumentului X (X -> -∞ ) valorile acestei funcții tind spre zero, rămânând în același timp pozitive (la->0; la > 0).

Ținând cont de monotonitatea mai sus dovedită a funcției la = A X , putem spune că în cazul luat în considerare, funcția la = A X creste monoton de la 0 la ∞ .

În cazul în care un 0 <A < 1, apoi, cu o creștere nelimitată a argumentului x (x -> ∞), valorile funcției y \u003d a x tind spre zero, rămânând în același timp pozitive (la->0; la > 0). Cu o scădere nelimitată a argumentului x (X -> -∞ ) valorile acestei funcții cresc la nesfârșit (la -> ∞ ).

Datorită monotonității funcției y = un x putem spune că în acest caz funcţia la = A X scade monoton de la ∞ la 0.

A șasea proprietate a funcției exponențiale este reflectată clar în figurile 246 și 247. Nu o vom demonstra strict.

Trebuie doar să stabilim intervalul funcției exponențiale y = un x (A > 0, A =/= 1).

Mai sus am demonstrat că funcția y = un x ia doar valori pozitive și fie crește monoton de la 0 la ∞ (la A > 1), sau scade monoton de la ∞ la 0 (la 0< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = un x cand schimbi vreun salt? Este nevoie de valori pozitive? La această întrebare se răspunde pozitiv. Dacă A > 0 și A =/= 1, atunci oricare ar fi numărul pozitiv la 0 trebuie găsit X 0, astfel încât

A X 0 = la 0 .

(Datorită monotonității funcției y = un x valoare specificată X 0 ar fi singurul, desigur.)

Dovada acestui fapt depășește scopul programului nostru. Interpretarea sa geometrică este aceea pentru orice valoare pozitivă la Graficul funcției 0 y = un x trebuie să se intersecteze cu linia la = la 0 şi, în plus, doar într-un punct (Fig. 248).

Din aceasta putem trage următoarea concluzie, pe care o formulăm sub forma proprietății 7.

Proprietatea 7. Aria de modificare a funcției exponențiale y \u003d a x (A > 0, A =/= 1)este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Exerciții

1368. Găsiți domeniile următoarelor funcții:

1369. Care dintre numerele date este mai mare decât 1 și care este mai mică decât 1:

1370. Pe baza ce proprietăţi a funcţiei exponenţiale se poate afirma că

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Care număr este mai mare:

A) π - √3 sau (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 sau (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 sau ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 sau (√3) √3 - 2 ?

1372. Sunt inegalitățile echivalente:

1373. Ce se poate spune despre numere X și la , dacă un x = și y , Unde A este un număr pozitiv dat?

1374. 1) Este posibil între toate valorile unei funcții la = 2X a sublinia:

2) Este posibil între toate valorile funcției la = 2 | x| a sublinia:

A) cea mai mare valoare; b) cea mai mică valoare?

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este fix numar real, Care e numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponențial la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La zero și valori negative numere întregi , funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n numere rationale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1) este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) crește strict la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:

Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcția exponențială este monoton în scădere. Cum mai puțin indicator gradul a , cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	Nu	Nu
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea funcției exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a funcției exponențiale

.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y= 35 x

Decizie

Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
În măsura în care 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. LA vedere generala
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.

Extindere în serie

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Rezolvarea majorității problemelor matematice este oarecum legată de transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Acest lucru se aplică mai ales soluției. În variantele USE în matematică, acest tip de sarcină include, în special, sarcina C3. Învățarea cum să rezolvi sarcinile C3 este importantă nu numai pentru scop livrare cu succes Examenul Unificat de Stat, dar și pentru motivul că această abilitate este utilă atunci când studiezi un curs de matematică în învățământul superior.

Efectuând sarcinile C3, trebuie să decideți tipuri diferite ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații și inegalități exponențiale, precum și diverse metode deciziile lor. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități la titlul „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din UTILIZAȚI opțiuni matematică.

Înainte de a trece la analiza specifice ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de profesor de matematică, vă sugerez să periați câteva material teoretic de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția de vizualizare y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1, numit functie exponentiala.

Principal proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este expozant:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

indicativ numite ecuații în care variabila necunoscută se găsește numai în exponenții oricăror puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să puteți utiliza următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și acțiunile de bază cu grade:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1 Rezolvați ecuația:

Decizie: utilizați formulele de mai sus și înlocuiți:

Ecuația devine atunci:

Primit discriminant ecuație pătratică pozitiv:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Revenind la înlocuire, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă pe întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația:

Decizie: ecuația nu are restricții asupra zonei valorilor admisibile, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația:

Decizie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă pe domeniul său). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația:

Decizie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația:

Decizie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3, stând în partea dreaptă a ecuației, este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult la un moment dat. În acest caz, este ușor de ghicit că graficele se intersectează în punct X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația:

Decizie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul al produsului și puterilor parțiale date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

indicativ numite inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2.În cazul în care un A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то inegalitatea exponenţială A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de sens opus: f(X) < g(X).

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea:

Decizie: reprezentați inegalitatea inițială sub forma:

Împărțiți ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, și (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va modifica:

Să folosim o înlocuire:

Atunci inegalitatea ia forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

trecând la substituția inversă, obținem:

Inegalitatea din stânga, datorită pozitivității funcției exponențiale, este îndeplinită automat. A profita proprietate cunoscută logaritm, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) va fi trecerea la următoarea inegalitate:

Așa că în sfârșit obținem Răspuns:

Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea:

Decizie: folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Cu această înlocuire, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci inegalitatea este satisfăcută următoarele valori variabil t:

Apoi, revenind la substituție, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, este echivalent (prin teorema 2) să treci la inegalitatea:

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (deoarece funcția exponențială este pozitivă), astfel încât semnul inegalității nu trebuie schimbat. Primim:

t , care sunt în intervalul:

Trecând la substituția inversă, constatăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, deci este mărginit de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2, care se află în indicator, sunt direcționate în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge în partea de sus:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2 în partea dreaptă a ecuației. Ea ajunge la ea cea mai mică valoareîn același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea 3 la un moment dat (prin intersecția intervalelor acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța cum să rezolvi ecuații exponențiale și inegalități, trebuie să te antrenezi constant în soluția lor. În această problemă dificilă, diverse mijloace didactice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, ore de matematică la școală, precum și sesiuni individuale cu un tutore profesionist. Vă doresc din suflet succes în pregătirile voastre și rezultate geniale la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru rezolvarea ecuațiilor dvs. în comentarii. Din păcate, nu am timp deloc pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în ea veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Găsiți valoarea expresiei pentru diferite valori raționale ale variabilei x=2; 0; -3; -

Rețineți, indiferent de numărul pe care îl înlocuim în loc de variabila x, puteți găsi întotdeauna valoarea acestei expresii. Deci, luăm în considerare o funcție exponențială (y egal cu trei cu puterea x), definită pe mulțimea numerelor raționale: .

Să construim un grafic al acestei funcții făcând un tabel cu valorile acesteia.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 1)

Folosind graficul acestei funcții, luați în considerare proprietățile acesteia:

3. Creșteri pe întreaga zonă de definiție.

1. interval de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

Dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu doi la puterea x, y este egal cu cinci la puterea x, y este egal cu șapte la puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu trei la puterea x) ( Fig. .2), adică toate funcțiile de forma y = (y este egal cu a cu puterea lui x, cu o mai mare decât unu) vor avea astfel de proprietăți

Să diagramăm funcția:

1. Alcătuirea unui tabel cu valorile acestuia.

Marcam punctele obtinute pe planul de coordonate.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 3).

Folosind graficul acestei funcții, indicăm proprietățile acesteia:

1. Domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale.

2. Nu este nici par, nici impar.

3. Scăderi pe întregul domeniu de definire.

4. Nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori.

5. Limitat de jos, dar nu limitat de sus.

6. Continuă pe întregul domeniu de definire.

7. interval de valori de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

În mod similar, dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu o secundă cu puterea x, y este egal cu o cincime cu puterea x, y este egal cu o șapte cu puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu o treime cu puterea x). puterea lui x). x) (Fig. 4), adică toate funcțiile de forma y \u003d (y este egal cu unul împărțit la puterea lui x, cu o mai mare decât zero, dar mai mică de unu) au astfel de proprietăți

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

aceasta înseamnă că graficele funcțiilor y=y= vor fi și ele simetrice (y este egal cu a cu puterea lui x și y egal cu unuîmpărțit cu a la puterea x) pentru aceeași valoare a lui a.

Rezum ceea ce s-a spus dând o definiție a unei funcții exponențiale și indicând principalele sale proprietăți:

Definiție: O funcție de forma y \u003d, unde (y este egală cu a cu puterea lui x, unde a este pozitivă și diferită de unul), se numește funcție exponențială.

Este necesar să ne amintim diferențele dintre funcția exponențială y= și funcția de putere y=, a=2,3,4,…. atât auditiv cât și vizual. Funcția exponențială X este o diplomă și functie de putere X este baza.

Exemplul 1: Rezolvați ecuația (trei la puterea lui x este egal cu nouă)

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu nouă) fig.7

Rețineți că au un punct comun M (2; 9) (em cu coordonatele două; nouă), ceea ce înseamnă că abscisa punctului va fi rădăcina ecuația dată. Adică, ecuația are o singură rădăcină x = 2.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu cinci cu puterea lui x și y este egal cu o douăzeci și cinci) Fig.8. Graficele se intersectează într-un punct T (-2; (te cu coordonatele minus două; o douăzeci și cinci). Prin urmare, rădăcina ecuației este x \u003d -2 (numărul minus doi).

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu douăzeci și șapte).

Fig.9 Graficul funcției este situat deasupra graficului funcției y=când

x Prin urmare, soluția inegalității este intervalul (de la minus infinit la trei)

Exemplul 4: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu o pătrime din puterea lui x și y este egal cu șaisprezece). (Fig. 10). Graficele se intersectează într-un punct K (-2;16). Aceasta înseamnă că soluția inegalității este intervalul (-2; (de la minus doi la plus infinit), deoarece graficul funcției y \u003d este situat sub graficul funcției la x

Raționamentul nostru ne permite să verificăm validitatea următoarelor teoreme:

Terem 1: Dacă este adevărat dacă și numai dacă m=n.

Teorema 2: Dacă este adevărată dacă și numai dacă, atunci inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă (Fig. *)

Teorema 4: Dacă este adevărată dacă și numai dacă (Fig.**), inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă Teorema 3: Dacă este adevărată dacă și numai dacă m=n.

Exemplul 5: Trasează funcția y=

Modificăm funcția aplicând proprietatea gradului y=

Să construim sistem suplimentar coordonate și în sistem nou coordonate, vom reprezenta grafic funcția y \u003d (y este egal cu doi cu puterea lui x) Fig.11.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu șapte cu puterea lui x și Y este egal cu opt minus x) Fig.12.

Graficele se intersectează într-un punct E (1; (e cu coordonatele unu; șapte). Prin urmare, rădăcina ecuației este x = 1 (x egal cu unu).

Exemplul 7: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu un sfert cu puterea lui x și Y este egal cu x plus cinci). Graficul funcției y \u003d este situat sub graficul funcției y \u003d x + 5 la, soluția inegalității este intervalul x (de la minus unu la plus infinit).