Funkcja postaci , gdzie nazywa się funkcja kwadratowa.

Wykres funkcji kwadratowej − parabola.

Rozważ przypadki:

PRZYPADEK I, KLASYCZNA PARABOLA

Tj , ,

Aby zbudować, wypełnij tabelę, podstawiając wartości x do wzoru:

Zaznacz punkty (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na płaszczyźnie współrzędnych (im mniejszy krok przyjmujemy wartości x (w tym przypadku krok 1), a im więcej przyjmujemy wartości x, tym krzywa gładsza) otrzymujemy parabolę:

Łatwo zauważyć, że jeśli weźmiemy przypadek , , to znaczy, że otrzymamy parabolę, która jest symetryczna względem osi (x). Łatwo to zweryfikować, wypełniając podobną tabelę:

II PRZYPADEK „A” INNY OD JEDNEGO

Co się stanie, jeśli weźmiemy , , ? Jak zmieni się zachowanie paraboli? Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pierwszy rysunek (patrz wyżej) wyraźnie pokazuje, że punkty z tabeli dla paraboli (1;1), (-1;1) zostały przekształcone w punkty (1;4), (1;-4), czyli przy tych samych wartościach rzędna każdego punktu jest mnożona przez 4. To się stanie ze wszystkimi kluczowymi punktami oryginalnej tabeli. Podobnie argumentujemy w przypadku zdjęć 2 i 3.

A kiedy parabola „staje się szersza” parabola:

Podsumujmy:

1)Znak współczynnika odpowiada za kierunek gałęzi. Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Całkowita wartość współczynnik (moduł) odpowiada za „rozciąganie”, „ściskanie” paraboli. Im większa , im węższa parabola, im mniejsza |a|, tym szersza parabola.

PRZYPADEK III, POJAWIA SIĘ „C”

Teraz weźmy w grę (to znaczy rozważmy przypadek, w którym ), rozważymy parabole postaci . Łatwo się domyślić (zawsze można odnieść się do tabeli), że parabola będzie przesuwać się w górę lub w dół wzdłuż osi, w zależności od znaku:

PRZYPADEK IV, POJAWI SIĘ „b”

Kiedy parabola „oderwie się” od osi i wreszcie „będzie chodzić” wzdłuż całej płaszczyzny współrzędnych? Kiedy przestaje być równy.

Tutaj, aby skonstruować parabolę, potrzebujemy wzór na obliczenie wierzchołka: , .

Więc w tym momencie (jak w punkcie (0; 0) nowy system współrzędnych) zbudujemy parabolę, która jest już w naszej mocy. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem, to od góry odstawiamy jeden odcinek w prawo, jeden w górę - otrzymany punkt jest nasz (podobnie krok w lewo, krok w górę jest naszym punktem); jeśli mamy do czynienia np. to od góry odkładamy jeden pojedynczy segment w prawo, dwa – w górę itd.

Na przykład wierzchołek paraboli:

Najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że w tym wierzchołku zbudujemy parabolę zgodnie z szablonem paraboli, ponieważ w naszym przypadku.

Podczas konstruowania paraboli po znalezieniu współrzędnych wierzchołka jest bardzoWygodnie jest wziąć pod uwagę następujące punkty:

1) parabola musi przejść przez punkt . Rzeczywiście, podstawiając x=0 do wzoru, otrzymujemy . To znaczy rzędna punktu przecięcia paraboli z osią (oy), to jest. W naszym przykładzie (powyżej) parabola przecina oś y w , ponieważ .

2) oś symetrii parabole jest linią prostą, więc wszystkie punkty paraboli będą względem niej symetryczne. W naszym przykładzie od razu bierzemy punkt (0; -2) i budujemy parabolę symetryczną wokół osi symetrii, otrzymujemy punkt (4; -2), przez który parabola będzie przechodzić.

3) Przyrównując do , znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (wół). Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie. W zależności od dyskryminatora otrzymamy jeden (, ), dwa ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . W poprzednim przykładzie mamy pierwiastek z dyskryminatora - nie jest to liczba całkowita, budując go, nie ma dla nas sensu znajdowanie pierwiastków, ale wyraźnie widać, że będziemy mieli dwa punkty przecięcia z (oh) oś (od title = "(!LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Więc poćwiczmy

Algorytm konstruowania paraboli, jeśli jest podana w postaci

1) określić kierunek gałęzi (a>0 - w górę, a<0 – вниз)

2) znajdź współrzędne wierzchołka paraboli według wzoru , .

3) znajdujemy punkt przecięcia paraboli z osią (oy) przez wyraz wolny, budujemy punkt symetryczny względem zadanego względem osi symetrii paraboli (należy zauważyć, że zdarza się, że jest nieopłacalne np. zaznaczenie tego punktu, bo wartość jest duża... pomijamy ten punkt...)

4) W znalezionym punkcie - wierzchołku paraboli (jak w punkcie (0; 0) nowego układu współrzędnych) budujemy parabolę. Jeśli title="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (oy) (jeśli same jeszcze nie „wypłynęły”), rozwiązując równanie

Przykład 1

Przykład 2

Uwaga 1. Jeśli parabola zostanie nam początkowo podana w postaci , gdzie są jakieś liczby (np. ), to będzie jeszcze łatwiej ją zbudować, bo już dane nam były współrzędne wierzchołka . Czemu?

Weźmy trójmian kwadratowy i wybierzmy z niego pełny kwadrat: Spójrz, tutaj mamy , . Wcześniej nazywaliśmy szczyt paraboli, czyli teraz.

Na przykład, . Zaznaczamy szczyt paraboli na płaszczyźnie, rozumiemy, że gałęzie są skierowane w dół, parabola jest rozszerzona (względnie). Oznacza to, że wykonujemy kroki 1; 3; 4; 5 z algorytmu konstruowania paraboli (patrz wyżej).

Uwaga 2. Jeśli parabola jest podana w formie podobnej do tej (czyli reprezentowanej jako iloczyn dwóch czynników liniowych), to od razu widzimy punkty przecięcia paraboli z osią (x). W tym przypadku - (0;0) i (4;0). Resztę postępujemy zgodnie z algorytmem, otwierając nawiasy.

Każdy wie, czym jest parabola. Ale jak prawidłowo go używać, kompetentnie w rozwiązywaniu różnych praktycznych problemów, zrozumiemy poniżej.

Najpierw oznaczmy podstawowe pojęcia, które algebra i geometria nadają temu terminowi. Rozważ wszystko możliwe typy ten wykres.

Poznajemy wszystkie główne cechy tej funkcji. Rozumiemy podstawy konstruowania krzywej (geometrii). Nauczmy się, jak znaleźć górne, inne podstawowe wartości wykresu tego typu.

Dowiemy się: jak poprawnie skonstruowana jest wymagana krzywa zgodnie z równaniem, na co należy zwrócić uwagę. Zobaczmy główne praktyczne użycie ta wyjątkowa wartość w życiu człowieka.

Czym jest parabola i jak wygląda

Algebra: Termin ten odnosi się do wykresu funkcji kwadratowej.

Geometria: Jest to krzywa drugiego rzędu, która ma kilka specyficznych cech:

Kanoniczne równanie paraboli

Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych (XOY), ekstremum, kierunek rozgałęzienia funkcji rysującej wzdłuż osi odciętej.

Równanie kanoniczne to:

y 2 \u003d 2 * p * x,

gdzie współczynnik p jest ogniskowym parametrem paraboli (AF).

W algebrze zapisuje się to inaczej:

y = a x 2 + b x + c (rozpoznawalny wzór: y = x 2).

Własności i wykres funkcji kwadratowej

Funkcja ma oś symetrii i środek (ekstremum). Domeną definicji są wszystkie wartości osi x.

Zakres wartości funkcji - (-∞, M) lub (M, +∞) zależy od kierunku gałęzi krzywej. Parametr M oznacza tutaj wartość funkcji na górze wiersza.

Jak określić, gdzie skierowane są gałęzie paraboli?

Aby znaleźć kierunek tego typu krzywej z wyrażenia, musisz określić znak przed pierwszym parametrem wyrażenie algebraiczne. Jeśli ˃ 0, to są skierowane w górę. W przeciwnym razie w dół.

Jak znaleźć wierzchołek paraboli za pomocą wzoru

Znalezienie ekstremum jest głównym krokiem w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów. Oczywiście możesz otworzyć specjalne kalkulatory online ale lepiej móc zrobić to samemu.

Jak to zdefiniować? Istnieje specjalna formuła. Gdy b nie jest równe 0, musimy szukać współrzędnych tego punktu.

Formuły na znalezienie szczytu:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Przykład.

Istnieje funkcja y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Znajdźmy wierzchołki tej funkcji.

Dla takiej linii:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otrzymujemy współrzędne wierzchołka (-2, -41).

Przesunięcie paraboli

Klasyczny przypadek ma miejsce, gdy w funkcji kwadratowej y = a x 2 + b x + c, drugi i trzeci parametr mają wartość 0, a = 1 - wierzchołek znajduje się w punkcie (0; 0).

Ruch wzdłuż osi odciętych lub rzędnych jest spowodowany zmianą parametrów odpowiednio b i c. Przesunięcie linii na płaszczyźnie zostanie wykonane dokładnie o liczbę jednostek, która jest równa wartości parametru.

Przykład.

Mamy: b = 2, c = 3.

Oznacza to, że klasyczny widok krzywej przesunie się o 2 segmenty wzdłuż osi odciętej i o 3 wzdłuż osi rzędnych.

Jak zbudować parabolę za pomocą równania kwadratowego

Ważne jest, aby dzieci w wieku szkolnym nauczyły się poprawnie rysować parabolę zgodnie z podanymi parametrami.

Analizując wyrażenia i równania, możesz zobaczyć:

1. Punkt przecięcia żądanej prostej z wektorem rzędnych będzie miał wartość równą c.
2. Wszystkie punkty wykresu (wzdłuż osi x) będą symetryczne względem głównego ekstremum funkcji.

Ponadto przecięcia z OX można znaleźć znając dyskryminator (D) takiej funkcji:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Aby to zrobić, musisz zrównać wyrażenie z zero.

Obecność korzeni paraboli zależy od wyniku:

• D ˃ 0, a następnie x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, następnie x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, to nie ma punktów przecięcia z wektorem OX.

Otrzymujemy algorytm konstruowania paraboli:

• określić kierunek gałęzi;
• znajdź współrzędne wierzchołka;
• znajdź przecięcie z osią y;
• znajdź przecięcie z osią X.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę funkcję y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Konieczne jest zbudowanie paraboli. Działamy zgodnie z algorytmem:

1. a \u003d 1, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
2. współrzędne skrajne: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. przecina się z osią y przy wartości y = 4;
4. znajdź wyróżnik: D = 25 - 16 = 9;
5. szukam korzeni

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

Przykład 2

Dla funkcji y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 musisz zbudować parabolę. Działamy według powyższego algorytmu:

1. a \u003d 3, dlatego gałęzie są skierowane w górę;
2. współrzędne skrajne: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. z osią y przetnie się przy wartości y \u003d -1;
4. znajdź dyskryminator: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Więc korzenie:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Z uzyskanych punktów możesz zbudować parabolę.

Directrix, ekscentryczność, ognisko paraboli

Na podstawie równania kanonicznego ognisko F ma współrzędne (p/2, 0).

Linia prosta AB to kierownica (rodzaj paraboli o określonej długości). Jej równanie to x = -p/2.

Mimośród (stała) = 1.

Wniosek

Rozważaliśmy temat, na którym studiują studenci Liceum. Teraz już wiesz, patrząc na kwadratową funkcję paraboli, jak znaleźć jej wierzchołek, w jakim kierunku będą skierowane gałęzie, czy istnieje przesunięcie wzdłuż osi, a mając algorytm konstrukcji, możesz narysować jej wykres.

ten materiał metodyczny ma charakter informacyjny i obejmuje szeroki zakres tematów. Artykuł zawiera przegląd wykresów głównych funkcji elementarnych i rozważa najważniejszą kwestię - jak poprawnie i SZYBKO zbudować wykres. W trakcie studiów wyższa matematyka bez znajomości wykresów podstawowych funkcji elementarnych będzie to trudne, dlatego bardzo ważne jest, aby pamiętać, jak wyglądają wykresy paraboli, hiperboli, sinusa, cosinusa itp., zapamiętaj niektóre wartości funkcji. Porozmawiamy również o niektórych właściwościach głównych funkcji.

Nie pretenduję do kompletności i rzetelności naukowo materiałów, nacisk położony będzie przede wszystkim na praktykę - czyli te rzeczy, z którymi trzeba się zmierzyć dosłownie na każdym kroku, w każdym temacie wyższej matematyki. Wykresy dla manekinów? Możesz tak powiedzieć.

Na popularne żądanie czytelników klikalny spis treści:

Dodatkowo jest na ten temat bardzo krótkie streszczenie
– opanuj 16 rodzajów wykresów, studiując SZEŚĆ stron!

Poważnie sześć, nawet ja sam się zdziwiłem. To streszczenie zawiera ulepszoną grafikę i jest dostępne za symboliczną opłatą, można obejrzeć wersję demo. Wygodnie jest wydrukować plik, aby wykresy były zawsze pod ręką. Dziękujemy za wsparcie projektu!

I zaczynamy od razu:

Jak poprawnie zbudować osie współrzędnych?

W praktyce testy prawie zawsze są sporządzane przez uczniów w oddzielnych zeszytach, wyłożonych w klatce. Dlaczego potrzebujesz oznaczeń w kratkę? W końcu pracę można w zasadzie wykonać na arkuszach A4. A klatka jest niezbędna tylko do wysokiej jakości i dokładnego zaprojektowania rysunków.

Każdy rysunek wykresu funkcji zaczyna się od osi współrzędnych.

Rysunki są dwuwymiarowe i trójwymiarowe.

Rozważmy najpierw przypadek dwuwymiarowy Kartezjański układ współrzędnych:

1) Rysujemy osie współrzędnych. Oś nazywa się oś x i oś oś y . Zawsze staramy się je narysować schludny i nie krzywy. Strzały również nie powinny przypominać brody Papy Carlo.

2) Podpisujemy osie wielkie litery„x” i „y”. Nie zapomnij podpisać siekier.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi: narysuj zero i dwa jedynek. Przy wykonywaniu rysunku najwygodniejsza i najbardziej powszechna skala to: 1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej) - trzymaj się tego, jeśli to możliwe. Jednak od czasu do czasu zdarza się, że rysunek nie mieści się na kartce zeszytu - wtedy zmniejszamy skalę: 1 jednostka = 1 komórka (rysunek po prawej). Rzadko, ale zdarza się, że skalę rysunku trzeba jeszcze bardziej zmniejszyć (lub zwiększyć)

NIE bazgraj z karabinu maszynowego... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Bo współrzędna nie jest pomnikiem Kartezjusza, a uczeń nie jest gołębiem. My położyliśmy zero I dwie jednostki wzdłuż osi. czasem zamiast jednostek, wygodnie jest „wykryć” inne wartości, na przykład „dwa” na osi odciętej i „trzy” na osi rzędnych - i ten system (0, 2 i 3) również jednoznacznie ustawi siatkę współrzędnych.

Szacunkowe wymiary rysunku lepiej oszacować PRZED rysowaniem rysunku.. Na przykład, jeśli zadanie wymaga narysowania trójkąta o wierzchołkach , , , to jest całkiem jasne, że popularna skala 1 jednostka = 2 komórki nie zadziała. Czemu? Spójrzmy na punkt – tutaj trzeba odmierzyć piętnaście centymetrów w dół i oczywiście rysunek nie zmieści się (lub ledwo zmieści się) na kartce zeszytu. Dlatego natychmiast wybieramy mniejszą skalę 1 jednostka = 1 komórka.

Nawiasem mówiąc, o centymetrach i komórkach zeszytu. Czy to prawda, że ​​w 30 komórkach notebooka jest 15 centymetrów? Zmierz w zeszycie na zainteresowanie 15 centymetrów za pomocą linijki. W ZSRR być może była to prawda ... Warto zauważyć, że jeśli zmierzysz te same centymetry w poziomie i pionie, wyniki (w komórkach) będą inne! Ściśle mówiąc, nowoczesne zeszyty nie są w kratkę, ale prostokątne. Może wydawać się to nonsensem, ale rysowanie np. koła z kompasem w takich sytuacjach jest bardzo niewygodne. Szczerze mówiąc, w takich momentach zaczynasz myśleć o słuszności towarzysza Stalina, który był wysyłany do obozów za prace hakerskie w produkcji, nie mówiąc już o rodzimym przemyśle motoryzacyjnym, spadających samolotach czy wybuchających elektrowniach.

Mówiąc o jakości, lub krótka rekomendacja przez artykuły papiernicze. Do tej pory większość zeszytów w sprzedaży, nie mówiąc złych słów, to kompletne gobliny. Z tego powodu, że są mokre i to nie tylko od długopisów żelowych, ale także od długopisów! Oszczędzaj na papierze. Do odprawy kontrola działa Polecam używanie zeszytów Archangielska Pulp and Paper Mill (18 arkuszy, klatka) lub Pyaterochka, chociaż jest to droższe. Wskazane jest, aby wybrać długopis żelowy, nawet najtańszy chiński wkład żelowy jest znacznie lepszy niż długopis, który albo rozmazuje się, albo rozdziera papier. Jedynym „konkurencyjnym” długopisem w mojej pamięci jest Erich Krause. Pisze wyraźnie, pięknie i stabilnie - albo pełną łodygą, albo prawie pustą.

do tego: wizja prostokątnego układu współrzędnych widziana oczami geometrii analitycznej jest omówiona w artykule Liniowa (nie) zależność wektorów. Podstawa wektorowa, dokładna informacja o ćwiartkach współrzędnych można znaleźć w drugim akapicie lekcji Nierówności liniowe.

Sprawa 3D

Tutaj jest prawie tak samo.

1) Rysujemy osie współrzędnych. Standard: zastosować oś – skierowana w górę, oś – skierowana w prawo, oś – w dół w lewo rygorystycznie pod kątem 45 stopni.

2) Podpisujemy osie.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi. Skala wzdłuż osi - dwa razy mniejsza niż skala wzdłuż pozostałych osi. Zauważ też, że na prawym rysunku użyłem niestandardowego „szeryfowego” wzdłuż osi (ta możliwość została już wspomniana powyżej). Z mojego punktu widzenia jest dokładniejszy, szybszy i bardziej estetyczny – nie trzeba szukać środka komórki pod mikroskopem i „rzeźbić” jednostki aż do początku.

Robiąc ponownie rysunek 3D - daj priorytet skali
1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej).

Po co te wszystkie zasady? Zasady są po to, by je złamać. Co zamierzam teraz zrobić. Faktem jest, że kolejne rysunki artykułu będą wykonane przeze mnie w Excelu, a osie współrzędnych będą wyglądać niepoprawnie z punktu widzenia poprawny projekt. Mógłbym narysować wszystkie wykresy ręcznie, ale rysowanie ich jest naprawdę przerażające, ponieważ Excel niechętnie rysuje je znacznie dokładniej.

Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych

Funkcja liniowa jest określona równaniem . Wykres funkcji liniowej to bezpośredni. Aby skonstruować linię prostą wystarczy znać dwa punkty.

Przykład 1

Wykreśl funkcję. Znajdźmy dwa punkty. Korzystne jest wybranie zera jako jednego z punktów.

Jeśli następnie

Weźmy inny punkt, na przykład 1.

Jeśli następnie

Przygotowując zadania, współrzędne punktów zwykle podsumowuje się w tabeli:

A same wartości są obliczane ustnie lub na szkicu, kalkulator.

Znaleziono dwa punkty, narysujmy:

Przy sporządzaniu rysunku zawsze podpisujemy grafikę.

Nie będzie zbyteczne przywoływanie szczególnych przypadków funkcji liniowej:

Zwróć uwagę, jak umieściłem podpisy, podpisy nie powinny być dwuznaczne podczas studiowania rysunku. W tym przypadku wysoce niepożądane było umieszczanie podpisu obok punktu przecięcia linii lub w prawym dolnym rogu między wykresami.

1) Liniowa funkcja postaci () nazywana jest bezpośrednią proporcjonalnością. Na przykład, . Wykres bezpośredniej proporcjonalności zawsze przechodzi przez początek. W ten sposób konstrukcja prostej jest uproszczona - wystarczy znaleźć tylko jeden punkt.

2) Równanie postaci definiuje linię prostą równoległą do osi, w szczególności sama oś jest podana przez równanie. Wykres funkcji budowany jest natychmiast, bez znajdowania żadnych punktów. Oznacza to, że wpis należy rozumieć w następujący sposób: „y jest zawsze równe -4, dla dowolnej wartości x”.

3) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności sama oś jest podana przez równanie. Natychmiast budowany jest również wykres funkcji. Wpis należy rozumieć następująco: „x jest zawsze, dla dowolnej wartości y, równe 1.”

Niektórzy zapytają, po co pamiętasz szóstą klasę?! Tak jest, może tak, tylko w ciągu lat praktyki spotkałem kilkunastu studentów, którzy byli zakłopotani zadaniem skonstruowania wykresu typu lub .

Rysowanie linii prostej jest najczęstszą czynnością podczas wykonywania rysunków.

Linia prosta jest szczegółowo omawiana w toku geometrii analitycznej, a chętni mogą zapoznać się z artykułem Równanie prostej na płaszczyźnie.

Wykres funkcji kwadratowej, wykres funkcji sześciennej, wykres wielomianowy

Parabola. Wykres funkcji kwadratowej () jest parabolą. Rozważ słynny przypadek:

Przypomnijmy niektóre właściwości funkcji.

A więc rozwiązanie naszego równania: - w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli. Dlaczego tak jest, można się dowiedzieć z artykułu teoretycznego na temat pochodnej i lekcji na temat ekstremów funkcji. W międzyczasie obliczamy odpowiednią wartość „y”:

Więc wierzchołek jest w punkcie

Teraz znajdujemy inne punkty, bezczelnie posługując się symetrią paraboli. Należy zauważyć, że funkcja – nie jest nawet, ale mimo to nikt nie anulował symetrii paraboli.

W jakiej kolejności znaleźć pozostałe punkty, myślę, że przy stole finałowym będzie to jasne:

Ten algorytm konstrukcja może być w przenośni nazwana „wahadłem” lub zasadą „tam iz powrotem” z Anfisą Czechową.

Zróbmy rysunek:

Z rozważanych wykresów przychodzi na myśl kolejna przydatna funkcja:

Dla funkcji kwadratowej () poniższe jest prawdziwe:

Jeśli , to gałęzie paraboli skierowane są w górę.

Jeśli , to gałęzie paraboli skierowane są w dół.

Dogłębną znajomość krzywej można uzyskać w lekcji Hiperbola i parabola.

Parabolę sześcienną określa funkcja . Oto rysunek znany ze szkoły:

Podajemy główne właściwości funkcji

Wykres funkcji

Reprezentuje jedną z gałęzi paraboli. Zróbmy rysunek:

Główne właściwości funkcji:

W tym przypadku oś to pionowa asymptota dla wykresu hiperboli w .

WIELKIM błędem będzie, jeśli podczas rysowania przez zaniedbanie pozwolisz, aby wykres przecinał się z asymptotą.

Również jednostronne ograniczenia, powiedz nam, że hiperbola nieograniczony z góry I nieograniczony od dołu.

Zbadajmy funkcję w nieskończoności: to znaczy, jeśli zaczniemy poruszać się wzdłuż osi w lewo (lub w prawo) do nieskończoności, to „gry” będą smukłym krokiem nieskończenie blisko zbliżają się do zera i odpowiednio do gałęzi hiperboli nieskończenie blisko zbliżyć się do osi.

Więc oś to asymptota pozioma dla wykresu funkcji, jeśli „x” dąży do plus lub minus nieskończoności.

Funkcja to dziwne, co oznacza, że ​​hiperbola jest symetryczna względem początku. Ten fakt wynika z rysunku, a ponadto można go łatwo zweryfikować analitycznie: .

Wykres funkcji postaci () przedstawia dwie gałęzie hiperboli.

Jeśli , to hiperbola znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce współrzędnych(patrz obrazek powyżej).

Jeśli , to hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce współrzędnych.

Analiza określonej prawidłowości miejsca zamieszkania hiperboli nie jest trudna z punktu widzenia przekształceń geometrycznych grafów.

Przykład 3

Skonstruuj prawą gałąź hiperboli

Stosujemy metodę konstrukcji punktowej, przy czym korzystne jest dobranie wartości tak, aby dzieliły się całkowicie:

Zróbmy rysunek:

Skonstruowanie lewej gałęzi hiperboli nie będzie trudne, tu pomoże dziwność funkcji. Z grubsza mówiąc, w tabeli konstrukcji punktowej dodaj w myślach minus do każdej liczby, umieść odpowiednie punkty i narysuj drugą gałąź.

Szczegółowe informacje geometryczne o rozpatrywanej linii można znaleźć w artykule Hiperbola i parabola.

Wykres funkcji wykładniczej

W tym akapicie od razu rozważę funkcję wykładniczą, ponieważ w zadaniach matematyki wyższej w 95% przypadków występuje wykładnik.

Przypominam, że to jest Liczba niewymierna: , będzie to wymagane przy budowie wykresu, który w rzeczywistości zbuduję bez ceremonii. Pewnie wystarczą trzy punkty:

Zostawmy na razie wykres funkcji w spokoju, o tym później.

Główne właściwości funkcji:

Zasadniczo wykresy funkcji wyglądają tak samo itp.

Muszę powiedzieć, że w praktyce ten drugi przypadek jest mniej powszechny, ale się zdarza, dlatego uznałem, że trzeba go uwzględnić w tym artykule.

Wykres funkcji logarytmicznej

Rozważ funkcję z naturalny logarytm.
Zróbmy rysunek linii:

Jeśli zapomniałeś, czym jest logarytm, zapoznaj się z podręcznikami szkolnymi.

Główne właściwości funkcji:

Domena:

Zakres wartości: .

Funkcja nie jest ograniczona od góry: , choć powoli, ale gałąź logarytmu idzie w nieskończoność.
Zbadajmy zachowanie funkcji w pobliżu zera po prawej stronie: . Więc oś to pionowa asymptota dla wykresu funkcji z „x” dążącym do zera po prawej stronie.

Pamiętaj, aby znać i zapamiętać typową wartość logarytmu: .

Zasadniczo wykres logarytmu przy podstawie wygląda tak samo: , , (logarytm dziesiętny o podstawie 10) itd. Jednocześnie im większa podstawa, tym bardziej płaski będzie wykres.

Nie będziemy rozpatrywać sprawy, nie pamiętam, kiedy ostatnio budowałem wykres na takiej podstawie. Tak, a logarytm wydaje się być bardzo rzadkim gościem w problemach matematyki wyższej.

Na zakończenie akapitu powiem jeszcze jeden fakt: Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmicznasą dwa wzajemne funkcje odwrotne . Jeśli przyjrzysz się uważnie wykresowi logarytmu, zobaczysz, że jest to ten sam wykładnik, tylko że znajduje się trochę inaczej.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Jak zaczyna się tortura trygonometryczna w szkole? Prawidłowy. Od sinusa

Wykreślmy funkcję

Ta linia nazywa się sinusoida.

Przypominam, że „pi” to liczba niewymierna: aw trygonometrii olśniewa oczy.

Główne właściwości funkcji:

Ta funkcja jest czasopismo z kropką. Co to znaczy? Spójrzmy na cięcie. Po lewej i prawej stronie dokładnie ten sam fragment wykresu powtarza się bez końca.

Domena: , to znaczy dla każdej wartości „x” istnieje wartość sinus.

Zakres wartości: . Funkcja to ograniczony: czyli wszystkie „gry” siedzą stricte w segmencie .
Tak się nie dzieje: a dokładniej zdarza się, ale te równania nie mają rozwiązania.

Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz abrakadabra, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, najbardziej zwróć uwagę na naszego nawigatora przydatny zasób dla

Aby zrozumieć, co będzie tutaj napisane, musisz dobrze wiedzieć, czym jest funkcja kwadratowa i z czym jest zjadana. Jeśli uważasz się za profesjonalistę w funkcjach kwadratowych, witaj. Ale jeśli nie, powinieneś przeczytać wątek.

Zacznijmy od małej czeki:

1. Jak wygląda funkcja kwadratowa w postaci ogólnej (wzór)?
2. Jak nazywa się wykres funkcji kwadratowej?
3. Jak wiodący współczynnik wpływa na wykres funkcji kwadratowej?

Jeśli potrafisz odpowiedzieć na te pytania od razu, czytaj dalej. Jeśli choć jedno pytanie spowodowało trudności, przejdź do.

Więc wiesz już, jak obsługiwać funkcję kwadratową, analizować jej wykres i budować wykres punktami.

Cóż, oto on: .

Rzućmy okiem na to, co robią. szanse.

1. Współczynnik senior odpowiada za „stromość” paraboli, czyli innymi słowy za jej szerokość: im większa, tym węższa (bardziej stroma) parabola, a im mniejsza, tym szersza (bardziej płaska) parabola.
2. Wyraz swobodny jest współrzędną przecięcia paraboli z osią y.
3. A współczynnik jest w jakiś sposób odpowiedzialny za przemieszczenie paraboli ze środka współrzędnych. Oto więcej na ten temat.

Dlaczego zawsze zaczynamy budować parabolę? Co jest jej wyróżnikiem?

Ten wierzchołek. A jak znaleźć współrzędne wierzchołka, pamiętasz?

Odcięta jest wyszukiwana według następującego wzoru:

W ten sposób: co? jeszcze, tematy w lewo górna część paraboli się porusza.

Rzędną wierzchołka można znaleźć podstawiając do funkcji:

Zastąp się i policz. Co się stało?

Jeśli zrobisz wszystko dobrze i maksymalnie uprościsz wynikowe wyrażenie, otrzymasz:

Okazuje się, że im więcej modułowy, tematy nad będzie wierzchołek parabole.

Na koniec przejdźmy do kreślenia.
Najłatwiej jest zbudować parabolę zaczynając od góry.

Przykład:

Wykreśl funkcję.

Rozwiązanie:

Najpierw zdefiniujmy współczynniki: .

Teraz obliczmy współrzędne wierzchołków:

A teraz pamiętaj: wszystkie parabole o tym samym współczynniku wiodącym wyglądają tak samo. Tak więc, jeśli zbudujemy parabolę i przesuniemy jej wierzchołek do punktu, otrzymamy wykres, którego potrzebujemy:

Proste, prawda?

Pozostało tylko jedno pytanie: jak szybko narysować parabolę? Nawet jeśli narysujemy parabolę z wierzchołkiem na początku, nadal musimy ją budować punkt po punkcie, co jest długie i niewygodne. Ale wszystkie parabole wyglądają tak samo, może jest sposób na przyspieszenie ich rysowania?

Kiedy byłem w szkole, mój nauczyciel matematyki kazał wszystkim wyciąć z kartonu szablon w kształcie paraboli, aby mogli go szybko narysować. Ale nie będziesz mógł wszędzie chodzić z szablonem, a oni nie będą mogli go zabrać na egzamin. Nie będziemy więc używać ciał obcych, ale poszukamy wzoru.

Rozważ najprostszą parabolę. Zbudujmy to punktami:

Zasada jest taka. Jeśli poruszamy się od góry w prawo (wzdłuż osi) do iw górę (wzdłuż osi) do, to dojdziemy do punktu paraboli. Dalej: jeśli od tego miejsca przesuniemy się w prawo iw górę, ponownie dojdziemy do punktu paraboli. Dalej: od razu i dalej. Co dalej? Od razu i dalej. I tak dalej: przesuń się w prawo i do następnego liczba nieparzysta w górę. Następnie robimy to samo z lewą gałęzią (w końcu parabola jest symetryczna, czyli jej gałęzie wyglądają tak samo):

Świetnie, pomoże to zbudować dowolną parabolę z wierzchołka o najwyższym współczynniku równym. Na przykład dowiedzieliśmy się, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie. Skonstruuj (samodzielnie, na papierze) tę parabolę.

Wybudowany?

Powinno wyglądać tak:

Teraz łączymy uzyskane punkty:

To wszystko.

OK, teraz buduj tylko parabole z?

Oczywiście nie. Teraz zastanówmy się, co z nimi zrobić, jeśli.

Rozważmy kilka typowych przypadków.

Świetnie, nauczyliśmy się rysować parabolę, teraz poćwiczmy na rzeczywistych funkcjach.

Narysuj więc wykresy takich funkcji:

Odpowiedzi:

3. Góra: .

Czy pamiętasz, co zrobić, jeśli współczynnik seniora jest mniejszy?

Patrzymy na mianownik ułamka: jest równy. Więc poruszymy się tak:

• już zaraz
• już zaraz
• już zaraz

a także po lewej:

4. Góra: .

Och, co z tym zrobić? Jak zmierzyć komórki, jeśli wierzchołek znajduje się gdzieś pomiędzy liniami?...

A my oszukujemy. Najpierw narysujmy parabolę, a dopiero potem przesuńmy jej wierzchołek do punktu. Nawet nie, zróbmy to jeszcze trudniej: narysujmy parabolę, a potem przesuń osie:- na na dół, a - na prawidłowy:

Ta technika jest bardzo wygodna w przypadku każdej paraboli, pamiętaj o tym.

Przypomnę, że funkcję możemy przedstawić w takiej postaci:

Na przykład: .

Co nam to daje?

Faktem jest, że liczba odejmowana w nawiasach () jest odciętą wierzchołka paraboli, a wyrażenie poza nawiasami () jest rzędną wierzchołka.

Oznacza to, że po zbudowaniu paraboli wystarczy przesuń oś w lewo, a oś w dół.

Przykład: narysujmy wykres funkcji.

Wybierzmy pełny kwadrat:

Jaki numer odejmowane z nawiasów? To (a nie jak możesz zdecydować bez zastanowienia).

Tak więc budujemy parabolę:

Teraz przesuwamy oś w dół, czyli w górę:

A teraz - po lewej, czyli po prawej:

To wszystko. To to samo, co przesuwanie paraboli z jej wierzchołkiem od początku do punktu, tylko oś prosta jest znacznie łatwiejsza do przemieszczenia niż parabola przekrzywiona.

Teraz jak zwykle ja:

I nie zapomnij wymazać starych osi gumką!

jestem jak odpowiedzi dla weryfikacji napiszę Ci rzędne wierzchołków tych parabol:

Czy wszystko pasowało?

Jeśli tak, to jesteś świetny! Wiedza o tym, jak radzić sobie z parabolą, jest bardzo ważna i przydatna, a tutaj stwierdziliśmy, że wcale nie jest to trudne.

WYKREŚLANIE FUNKCJI W PROCESIE KWADRATOWYM. KRÓTKO O GŁÓWNYM

funkcja kwadratowa jest funkcją postaci, gdzie i są dowolnymi liczbami (współczynnikami), jest członem swobodnym.

Wykres funkcji kwadratowej to parabola.

Wierzchołek paraboli:
, tj. im większy \displaystyle b , tym bardziej w lewo przesuwa się górna część paraboli.
Podstaw w funkcji i uzyskaj:
, tj. im większy \displaystyle b modulo , tym wyższy będzie szczyt paraboli

Wyraz swobodny jest współrzędną przecięcia paraboli z osią y.

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za sukces zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu z budżetu i, CO NAJWAŻNIEJ, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy jej nie otrzymali. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi znacznie więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami szczegółowa analiza i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

W jaki sposób? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — Kup podręcznik - 499 rubli

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem, jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!