Która z funkcji jest wzorowa. Funkcja wykładnicza, jej własności i wykres - Hipermarket Wiedzy

FUNKCJE WYKŁADNIOWE I LOGARYTMICZNE VIII

§ 179 Podstawowe właściwości funkcji wykładniczej

W tej sekcji zbadamy główne właściwości funkcji wykładniczej

y = a x (1)

Przypomnij to pod a we wzorze (1) mamy na myśli dowolną stałą liczbę dodatnią inną niż 1.

Właściwość 1. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rzeczywiście, na pozytyw a wyrażenie a x zdefiniowany dla dowolnej liczby rzeczywistej X .

Właściwość 2. Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Rzeczywiście, jeśli X > 0 zatem, jak wykazano w § 176,

a x > 0.

Jeśli X <. 0, то

a x =

gdzie - X już większe od zera. Więc a - x > 0. Ale wtedy

a x = > 0.

Wreszcie w X = 0

a x = 1.

Druga właściwość funkcji wykładniczej ma prostą interpretację graficzną. Polega ona na tym, że wykres tej funkcji (patrz ryc. 246 i 247) znajduje się całkowicie powyżej osi x.

Właściwość 3. Jeśli a >1, wtedy w X > 0 a x > 1, i w X < 0 a x < 1. Jeśli a < 1, тoch, wręcz przeciwnie, X > 0 a x < 1, i w X < 0 a x > 1.

Ta właściwość funkcji wykładniczej pozwala również na prostą interpretację geometryczną. Na a > 1 (rys. 246) krzywe y = a x znajduje się nad linią w = 1 w X > 0 i poniżej linii prostej w = 1 w X < 0.

Jeśli a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x znajduje się pod linią w = 1 w X > 0 i powyżej tej linii prostej w X < 0.

Dajmy rygorystyczny dowód trzeciej właściwości. Zostawiać a > 1 i X jest dowolną liczbą dodatnią. Pokażmy to

a x > 1.

Jeśli numer X racjonalny ( X = m / n ) , następnie a x = a m / n = n √a m .

O ile a > 1, to a m > 1, ale pierwiastek liczby większej niż jeden jest oczywiście również większy niż 1.

Jeśli X irracjonalne, to istnieją liczby wymierne dodatnie X" oraz X" , które służą jako dziesiętne przybliżenia liczby x :

X"< х < х" .

Ale wtedy, z definicji stopnia c irracjonalny wskaźnik

a x" < a x < a x"" .

Jak pokazano powyżej, liczba a x" więcej niż jeden. Dlatego liczba a x , więcej niż a x" , musi być również większe niż 1,

Tak więc pokazaliśmy, że a >1 i arbitralnie pozytywny X

a x > 1.

Jeśli liczba X była negatywna, wtedy byśmy mieli

a x =

gdzie jest numer X byłoby pozytywne. Więc a - x > 1. Dlatego

a x = < 1.

Tak więc, w a > 1 i arbitralnie negatywny x

a x < 1.

Przypadek, gdy 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Właściwość 4. Jeśli x = 0, to niezależnie od a x =1.

Wynika to z definicji stopnia zero; potęga zerowa dowolnej liczby innej niż zero jest równa 1. Graficznie ta własność wyraża się w tym, że dla any a krzywa w = a x (patrz rys. 246 i 247) przecina oś w w punkcie o rzędnej 1.

Właściwość 5. Na a >1 funkcja wykładnicza = a x wzrasta monotonicznie, a dla < 1 - monotonicznie maleje.

Ta właściwość pozwala również na prostą interpretację geometryczną.

Na a > 1 (Rys. 246) krzywa w = a x ze wzrostem X wznosi się coraz wyżej i a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Dajmy rygorystyczny dowód piątej właściwości.

Zostawiać a > 1 i X 2 > X jeden . Pokażmy to

a x 2 > a x 1

O ile X 2 > X 1., to X 2 = X 1 + d , gdzie d to jakaś liczba dodatnia. Więc

a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)

Zgodnie z drugą właściwością funkcji wykładniczej a x 1 > 0. Od d > 0, a następnie przez trzecią własność funkcji wykładniczej a d > 1. Oba czynniki w produkcie a x 1 (a d - 1) są pozytywne, dlatego sam ten produkt jest pozytywny. Znaczy, a x 2 - a x 1 > 0, lub a x 2 > a x 1, co miało zostać udowodnione.

Więc w a > 1 funkcja w = a x wzrasta monotonicznie. Podobnie udowodniono, że a < 1 функция w = a x jest monotonicznie malejąca.

Konsekwencja. Jeśli dwie potęgi o tej samej liczbie dodatniej innej niż 1 są równe, to ich wykładniki również są równe.

Innymi słowy, jeśli

a b = a c (a > 0 i a =/= 1),

b = c .

Rzeczywiście, jeśli liczby b oraz z nie były równe, to ze względu na monotoniczność funkcji w = a x większość z nich odpowiadałaby a > 1 jest większe, a przy a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , lub a b < a c . Oba te są sprzeczne z warunkiem a b = a c . Pozostaje do rozpoznania, że b = c .

Właściwość 6. Jeśli > 1, potem z nieograniczonym wzrostem argumentu X (X -> ∞ ) wartości funkcji w = a x również rosną w nieskończoność (w -> ∞ ). Z nieograniczonym spadkiem argumentacji X (X -> -∞ ) wartości tej funkcji dążą do zera, pozostając dodatnie (w->0; w > 0).

Biorąc pod uwagę udowodnioną powyżej monotoniczność funkcji w = a x , możemy powiedzieć, że w rozważanym przypadku funkcja w = a x wzrasta monotonicznie od 0 do ∞ .

Jeśli 0 <a < 1, następnie przy nieograniczonym wzroście argumentu x (x -> ∞) wartości funkcji y \u003d a x mają tendencję do zera, pozostając dodatnie (w->0; w > 0). Z nieograniczonym spadkiem argumentu x (X -> -∞ ) wartości tej funkcji rosną w nieskończoność (w -> ∞ ).

Ze względu na monotoniczność funkcji y = topór możemy powiedzieć, że w tym przypadku funkcja w = a x zmniejsza się monotonicznie od ∞ do 0.

Szósta właściwość funkcji wykładniczej jest wyraźnie odzwierciedlona na rysunkach 246 i 247. Nie będziemy tego ściśle udowadniać.

Musimy tylko ustalić zakres funkcji wykładniczej y = topór (a > 0, a =/= 1).

Powyżej udowodniliśmy, że funkcja y = topór przyjmuje tylko wartości dodatnie i albo wzrasta monotonicznie od 0 do ∞ (w a > 1) lub maleje monotonicznie od ∞ do 0 (przy 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = topór kiedy zmienisz jakieś skoki? Czy przyjmuje jakieś pozytywne wartości? Na to pytanie udzielono pozytywnej odpowiedzi. Jeśli a > 0 i a =/= 1, to niezależnie od liczby dodatniej w 0 trzeba znaleźć X 0 , taki, że

a x 0 = w 0 .

(Ze względu na monotoniczność funkcji y = topór określona wartość X Oczywiście 0 byłoby jedynym.)

Dowód na to wykracza poza zakres naszego programu. Jego interpretacja geometryczna jest taka, że ​​dla dowolnej wartości dodatniej w 0 wykres funkcji y = topór musi przecinać się z linią w = w 0, a ponadto tylko w jednym punkcie (ryc. 248).

Z tego możemy wyciągnąć następujący wniosek, który formułujemy w postaci własności 7.

Właściwość 7. Obszar zmiany funkcji wykładniczej y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)jest zbiorem wszystkich liczb dodatnich.

Ćwiczenia

1368. Znajdź domeny następujących funkcji:

1369. Która z podanych liczb jest większa od 1, a która jest mniejsza od 1:

1370. Na podstawie jakiej własności funkcji wykładniczej można stwierdzić, że

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Która liczba jest większa:

a) π - √3 lub (1 / π ) - √3; c) (2 / 3) 1 + √6 lub (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 lub ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 lub (√3) √3 - 2 ?

1372. Czy nierówności są równoważne:

1373. Co można powiedzieć o liczbach? X oraz w , jeśli x = i ty , gdzie a jest dana liczba dodatnia?

1374. 1) Czy jest to możliwe wśród wszystkich wartości funkcji? w = 2x atrakcja:

2) Czy jest to możliwe spośród wszystkich wartości funkcji? w = 2 | x| atrakcja:

a) najwyższa wartość; b) najmniejsza wartość?

Funkcja wykładnicza jest uogólnieniem iloczynu n liczb równych a :
tak (n) = a n = a a a a,
do zbioru liczb rzeczywistych x :
tak (x) = x.
Tutaj a jest naprawione prawdziwy numer, który jest nazywany podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie a jest również nazywana wykładnicza do podstawy a.

Generalizację przeprowadza się w następujący sposób.
Dla naturalnego x = 1, 2, 3,... , funkcja wykładnicza jest iloczynem x czynników:
.
Ponadto posiada właściwości (1,5-8) (), które wynikają z zasad mnożenia liczb. Na zero i wartości ujemne liczb całkowitych , funkcja wykładnicza jest określona wzorami (1,9-10). Dla wartości ułamkowych x = m/n liczby wymierne, , określa go wzór (1.11). Dla real , funkcja wykładnicza jest zdefiniowana jako limit sekwencji:
,
gdzie jest arbitralną sekwencją liczb wymiernych zbiegających się do x : .
Dzięki tej definicji funkcja wykładnicza jest zdefiniowana dla wszystkich i spełnia właściwości (1,5-8), a także dla naturalnego x .

Ścisłe matematyczne sformułowanie definicji funkcji wykładniczej i dowód jej właściwości podano na stronie „Definicja i dowód właściwości funkcji wykładniczej”.

Własności funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza y = a x ma następujące właściwości na zbiorze liczb rzeczywistych () :
(1.1) jest zdefiniowana i ciągła, dla , dla wszystkich ;
(1.2) kiedy 1 ma wiele znaczeń;
(1.3) ściśle wzrasta w , ściśle maleje w ,
jest stała w ;
(1.4) w ;
w ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Inne przydatne formuły
.
Wzór na zamianę na funkcję wykładniczą o innej podstawie potęgowej:

Dla b = e otrzymujemy wyrażenie funkcji wykładniczej w postaci wykładnika:

Wartości prywatne

, , , , .

Rysunek przedstawia wykresy funkcji wykładniczej
tak (x) = x
dla czterech wartości podstawy stopni:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i = 1/8 . Widać, że dla > 1 funkcja wykładnicza jest monotonicznie wzrastająca. Im większa podstawa stopnia a, tym silniejszy wzrost. Na 0 < a < 1 funkcja wykładnicza jest monotonicznie malejąca. Jak mniej wskaźnika stopień a , tym silniejszy spadek.

rosnąco, malejąco

Funkcja wykładnicza w jest ściśle monotoniczna, więc nie ma ekstremów. Jego główne właściwości przedstawiono w tabeli.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domena	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Zakres wartości	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotonia	wzrasta monotonicznie	maleje monotonicznie
Zera, y= 0	Nie	Nie
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funkcja odwrotna

Odwrotność funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a jest logarytmem o podstawie a.

Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.

Różniczkowanie funkcji wykładniczej

Aby zróżnicować funkcję wykładniczą, jej podstawę należy sprowadzić do liczby e, zastosować tablicę pochodnych i regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Aby to zrobić, musisz użyć właściwości logarytmów
oraz wzór z tabeli instrumentów pochodnych:
.

Niech zostanie podana funkcja wykładnicza:
.
Wprowadzamy to do bazy e:

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej. W tym celu wprowadzamy zmienną

Następnie

Z tabeli pochodnych mamy (zamień zmienną x na z):
.
Ponieważ jest stałą, pochodna z względem x to
.
Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej:
.

Pochodna funkcji wykładniczej

.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Przykład różniczkowania funkcji wykładniczej

Znajdź pochodną funkcji
y= 35x

Decyzja

Podstawę funkcji wykładniczej wyrażamy liczbą e.
3 = e log 3
Następnie
.
Wprowadzamy zmienną
.
Następnie

Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
O ile 5ln 3 jest stałą, to pochodna z względem x wynosi:
.
Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej mamy:
.

Odpowiedź

Całka

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Rozważmy funkcję liczby zespolonej z:
f (z) = az
gdzie z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Wyrażamy stałą zespoloną a w postaci modułu r oraz argumentu φ :
a = r e ja φ
Następnie


.
Argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. W ogólny widok
φ = φ 0 + 2 zł,
gdzie n jest liczbą całkowitą. Dlatego funkcja f (z) jest również niejednoznaczny. Często uważany za jego główne znaczenie
.

Rozbudowa w serii

.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.

Rozwiązanie większości problemów matematycznych jest w jakiś sposób związane z transformacją wyrażeń liczbowych, algebraicznych lub funkcyjnych. Dotyczy to zwłaszcza rozwiązania. W wariantach USE w matematyce do tego typu zadań zalicza się w szczególności zadanie C3. Nauka rozwiązywania zadań C3 jest ważna nie tylko ze względu na cel udana dostawa Ujednolicony egzamin państwowy, ale także z tego powodu, że umiejętność ta jest przydatna podczas studiowania matematyki na szkolnictwie wyższym.

Wykonując zadania C3, musisz się zdecydować Różne rodzaje równania i nierówności. Wśród nich są racjonalne, irracjonalne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, zawierające moduły (wartości bezwzględne), a także kombinowane. W artykule omówiono główne typy równań wykładniczych i nierówności, a także: różne metody ich decyzje. Przeczytaj o rozwiązywaniu innych typów równań i nierówności w nagłówku "" w artykułach poświęconych sposobom rozwiązywania zadań C3 z UŻYJ opcji matematyka.

Przed przystąpieniem do analizy konkretnego równania wykładnicze i nierówności, jako korepetytor z matematyki sugeruję, abyś odświeżył trochę materiał teoretyczny których będziemy potrzebować.

Funkcja wykładnicza

Co to jest funkcja wykładnicza?

Zobacz funkcję tak = x, gdzie a> 0 i a≠ 1, zwany funkcja wykładnicza.

Główny wykładnicze właściwości funkcji tak = x:

Wykres funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej to wystawca:

Wykresy funkcji wykładniczych (wykładniki)

Rozwiązanie równań wykładniczych

orientacyjny zwane równaniami, w których nieznana zmienna znajduje się tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Dla rozwiązań równania wykładnicze musisz znać i umieć zastosować następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie 1. równanie wykładnicze a f(x) = a g(x) (gdzie a > 0, a≠ 1) jest równoważne równaniu f(x) = g(x).

Ponadto warto zapamiętać podstawowe formuły i działania ze stopniami:

Title="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Przykład 1 Rozwiązać równanie:

Decyzja: użyj powyższych wzorów i podstawień:

Równanie staje się wtedy:

Otrzymany wyróżnik równanie kwadratowe pozytywny:

Title="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Oznacza to, że to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdujemy je:

Wracając do substytucji, otrzymujemy:

Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w całej dziedzinie definicji. Rozwiążmy drugi:

Biorąc pod uwagę to, co zostało powiedziane w Twierdzeniu 1, przechodzimy do równoważnego równania: x= 3. To będzie odpowiedź na zadanie.

Odpowiedź: x = 3.

Przykład 2 Rozwiązać równanie:

Decyzja: równanie nie ma ograniczeń co do obszaru dopuszczalnych wartości, ponieważ wyrażenie pierwiastkowe ma sens dla każdej wartości x(funkcja wykładnicza tak = 9 4 -x dodatnia i nie równa zeru).

Równanie rozwiązujemy za pomocą przekształceń równoważnych, korzystając z zasad mnożenia i dzielenia potęg:

Ostatnie przejście zostało przeprowadzone zgodnie z Twierdzeniem 1.

Odpowiedź:x= 6.

Przykład 3 Rozwiązać równanie:

Decyzja: obie strony oryginalnego równania można podzielić przez 0,2 x. To przejście będzie równoważne, ponieważ to wyrażenie jest większe od zera dla dowolnej wartości x(funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w swojej dziedzinie). Wtedy równanie przyjmuje postać:

Odpowiedź: x = 0.

Przykład 4 Rozwiązać równanie:

Decyzja: równanie upraszczamy do elementarnego przez przekształcenia równoważne, korzystając z podanych na początku artykułu reguł dzielenia i mnożenia potęg:

Dzielenie obu stron równania przez 4 x, podobnie jak w poprzednim przykładzie, jest przekształceniem równoważnym, ponieważ to wyrażenie nie jest równe zero dla żadnej wartości x.

Odpowiedź: x = 0.

Przykład 5 Rozwiązać równanie:

Decyzja: funkcjonować tak = 3x, stojący po lewej stronie równania, rośnie. Funkcjonować tak = —x-2/3, stojąca po prawej stronie równania, maleje. Oznacza to, że jeśli wykresy tych funkcji przecinają się, to co najwyżej w jednym punkcie. W tym przypadku łatwo się domyślić, że wykresy przecinają się w punkcie x= -1. Nie będzie innych korzeni.

Odpowiedź: x = -1.

Przykład 6 Rozwiązać równanie:

Decyzja: upraszczamy równanie przez równoważne przekształcenia, pamiętając wszędzie, że funkcja wykładnicza jest ściśle większa od zera dla dowolnej wartości x oraz stosując zasady obliczania iloczynu i uprawnień cząstkowych podane na początku artykułu:

Odpowiedź: x = 2.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

orientacyjny zwane nierównościami, w których nieznana zmienna zawiera się tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Dla rozwiązań wykładnicze nierówności wymagana jest znajomość następującego twierdzenia:

Twierdzenie 2. Jeśli a> 1, to nierówność a f(x) > a g(x) jest równoznaczne z nierównością o tym samym znaczeniu: f(x) > g(x). Jeśli 0< a < 1, то nierówność wykładnicza a f(x) > a g(x) jest równoznaczne z nierównością o przeciwnym znaczeniu: f(x) < g(x).

Przykład 7 Rozwiąż nierówność:

Decyzja: reprezentują pierwotną nierówność w postaci:

Podziel obie strony tej nierówności przez 3 2 x, i (ze względu na pozytywność funkcji tak= 3 2x) znak nierówności nie zmieni się:

Użyjmy podstawienia:

Wtedy nierówność przybiera postać:

Tak więc rozwiązaniem nierówności jest przedział:

przechodząc do odwrotnego podstawienia, otrzymujemy:

Lewa nierówność, ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej, jest wypełniana automatycznie. Wykorzystując znana nieruchomość logarytm, przechodzimy do nierówności równoważnej:

Ponieważ podstawą stopnia jest liczba większa niż jeden, równoważne (według Twierdzenia 2) będzie przejście do następującej nierówności:

Więc w końcu dostajemy odpowiedź:

Przykład 8 Rozwiąż nierówność:

Decyzja: korzystając z własności mnożenia i dzielenia potęg, przepisujemy nierówność w postaci:

Wprowadźmy nową zmienną:

Dzięki tej substytucji nierówność przyjmuje postać:

Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez 7, otrzymamy następującą nierówność równoważną:

Więc nierówność jest usatysfakcjonowana następujące wartości zmienny t:

Następnie wracając do podmiany, otrzymujemy:

Ponieważ podstawa stopnia jest tutaj większa niż jeden, równoważne jest (według Twierdzenia 2) przejście do nierówności:

Wreszcie dostajemy odpowiedź:

Przykład 9 Rozwiąż nierówność:

Decyzja:

Obie strony nierówności dzielimy przez wyrażenie:

Jest zawsze większy od zera (ponieważ funkcja wykładnicza jest dodatnia), więc znak nierówności nie musi być zmieniany. Otrzymujemy:

t , które są w przedziale:

Przechodząc do odwrotnego podstawienia, stwierdzamy, że pierwotna nierówność dzieli się na dwa przypadki:

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej. Rozwiążmy drugi:

Przykład 10 Rozwiąż nierówność:

Decyzja:

Gałęzie paraboli tak = 2x+2-x 2 są skierowane w dół, stąd są ograniczone od góry wartością, jaką osiąga w wierzchołku:

Gałęzie paraboli tak = x 2 -2x+2, które znajdują się na wskaźniku, są skierowane w górę, co oznacza, że ​​są ograniczone od dołu przez wartość, którą osiąga na górze:

Jednocześnie okazuje się, że funkcja jest ograniczona od dołu tak = 3 x 2 -2x+2 po prawej stronie równania. Dociera do niej najmniejsza wartość w tym samym punkcie co parabola w wykładniku, a ta wartość wynosi 3 1 = 3. Tak więc pierwotna nierówność może być prawdziwa tylko wtedy, gdy funkcja po lewej stronie i funkcja po prawej przyjmą w jednym punkcie wartość 3 (przez przecięcie zakresów tych funkcji to tylko ta liczba). Warunek ten jest spełniony w jednym punkcie x = 1.

Odpowiedź: x= 1.

Aby dowiedzieć się, jak rozwiązać równania i nierówności wykładnicze, musisz stale szkolić się w ich rozwiązaniu. W tej trudnej sprawie różne pomoc naukowa, zeszyty problemowe z matematyki podstawowej, zbiory zadań konkursowych, zajęcia z matematyki w szkole, a także sesje indywidualne z profesjonalnym korepetytorem. Serdecznie życzę powodzenia w przygotowaniach i genialne wyniki na egzaminie.

Sergey Valerievich

PS Drodzy Goście! Prosimy nie pisać w komentarzach próśb o rozwiązanie równań. Niestety w ogóle nie mam na to czasu. Takie wiadomości zostaną usunięte. Przeczytaj artykuł. Być może znajdziesz w nim odpowiedzi na pytania, które nie pozwoliły Ci samodzielnie rozwiązać zadania.

Znajdź wartość wyrażenia dla różnych wartości wymiernych zmiennej x=2; 0; -3; -

Zauważ, że bez względu na to, jaką liczbę podstawimy zamiast zmiennej x, zawsze możesz znaleźć wartość tego wyrażenia. Rozważamy więc funkcję wykładniczą (y równa się trzy do potęgi x), zdefiniowaną na zbiorze liczb wymiernych: .

Zbudujmy wykres tej funkcji, tworząc tabelę jej wartości.

Narysujmy gładką linię przechodzącą przez te punkty (ryc. 1)

Korzystając z wykresu tej funkcji, rozważ jej właściwości:

3. Zwiększa się na całym obszarze definicji.

1. zakres od zera do plus nieskończoności.

8. Funkcja jest wypukła w dół.

Jeśli w jednym układzie współrzędnych do budowania wykresów funkcji; y=(y równa się dwa do potęgi x, y równa się pięć do potęgi x, y równa się siedem do potęgi x), widać, że mają te same właściwości co y=(y równa się trzy do potęgi x) ( Rys. .2), czyli wszystkie funkcje postaci y = (y jest równe a do potęgi x, z większą niż jeden) będą miały takie własności

Wykreślmy funkcję:

1. Zestawienie tabeli jego wartości.

Uzyskane punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych.

Narysujmy gładką linię przechodzącą przez te punkty (ryc. 3).

Korzystając z wykresu tej funkcji, wskazujemy jej właściwości:

1. Dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2. Nie jest ani parzyste, ani nieparzyste.

3. Spadki w całej dziedzinie definicji.

4. Nie ma ani największych, ani najmniejszych wartości.

5. Ograniczony od dołu, ale nie ograniczony od góry.

6. Ciągła w całej dziedzinie definicji.

7. zakres wartości od zera do plus nieskończoności.

8. Funkcja jest wypukła w dół.

Podobnie, jeśli w jednym układzie współrzędnych budować wykresy funkcji; y=(y równa się jednej sekundzie potęgi x, y równa się jednej piątej potęgi x, y równa się jednej siódmej do potęgi x), widać, że mają one takie same właściwości jak y=(y równa się jednej trzeciej do potęgi x). potęga x).x) (ryc. 4), czyli wszystkie funkcje postaci y \u003d (y jest równe jednemu podzielonemu przez a do potęgi x, z wartością większą niż zero, ale mniejszą niż jeden) mają takie właściwości

Skonstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych

oznacza to, że wykresy funkcji y=y= również będą symetryczne (y jest równe a do potęgi x i y równy jeden podzielone przez a do potęgi x) dla tej samej wartości a.

Podsumowujemy to, co zostało powiedziane, podając definicję funkcji wykładniczej i wskazując jej główne właściwości:

Definicja: Funkcja postaci y \u003d, gdzie (y jest równe a do potęgi x, gdzie a jest dodatnie i różne od jedności), nazywana jest funkcją wykładniczą.

Należy pamiętać o różnicach między funkcją wykładniczą y= a funkcją potęgową y=, a=2,3,4,…. zarówno słuchowo, jak i wizualnie. Funkcja wykładnicza X jest stopniem i funkcja zasilania X jest podstawą.

Przykład 1: Rozwiąż równanie (trzy do potęgi x równa się dziewięć)

(y równa się trzy do potęgi x, a y równa się dziewięć) rys.7

Zauważ, że mają one jeden wspólny punkt M (2; 9) (em o współrzędnych dwa; dziewięć), co oznacza, że ​​odcięta punktu będzie pierwiastkiem podane równanie. Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek x = 2.

Przykład 2: Rozwiąż równanie

W jednym układzie współrzędnych zbudujemy dwa wykresy funkcji y \u003d (y jest równe pięciu do potęgi x, a y jest równe jednej dwudziestej piątej) Ryc.8. Wykresy przecinają się w jednym punkcie T (-2; (te ze współrzędnymi minus dwa; jedna dwudziesta piąta). Stąd pierwiastek równania to x \u003d -2 (liczba minus dwa).

Przykład 3: Rozwiąż nierówności

W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d

(y równa się trzy do potęgi x, a y równa się dwadzieścia siedem).

Rys.9 Wykres funkcji znajduje się nad wykresem funkcji y=kiedy

x Dlatego rozwiązaniem nierówności jest przedział (od minus nieskończoności do trzech)

Przykład 4: Rozwiąż nierówności

W jednym układzie współrzędnych zbudujemy dwa wykresy funkcji y \u003d (y jest równe jednej czwartej potęgi x, a y jest równe szesnastu). (rys. 10). Wykresy przecinają się w jednym punkcie K (-2;16). Oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest przedział (-2; (od minus dwa do plus nieskończoności), ponieważ wykres funkcji y \u003d znajduje się poniżej wykresu funkcji w punkcie x

Nasze rozumowanie pozwala nam zweryfikować słuszność następujących twierdzeń:

Terem 1: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy m=n.

Twierdzenie 2: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy (rys. *)

Twierdzenie 4: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy (Rys.**), nierówność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy Twierdzenie 3: Jeśli jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy m=n.

Przykład 5: Wykres funkcji y=

Modyfikujemy funkcję przez zastosowanie własności stopnia y=

Zbudujmy dodatkowy system współrzędne i w nowy system współrzędne, wykreślimy funkcję y \u003d (y jest równe dwa do potęgi x) Ryc.11.

Przykład 6: Rozwiąż równanie

W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d

(Y równa się siedem do potęgi x, a Y równa się osiem minus x) Rys.12.

Wykresy przecinają się w jednym punkcie E (1; (e o współrzędnych jeden; siedem). Stąd pierwiastek równania to x = 1 (x równy jeden).

Przykład 7: Rozwiąż nierówności

W jednym układzie współrzędnych konstruujemy dwa wykresy funkcji y \u003d

(Y równa się jednej czwartej potęgi x, a Y równa się x dodać pięć). Wykres funkcji y= znajduje się poniżej wykresu funkcji y=x+5 w, rozwiązaniem nierówności jest przedział x (od minus jeden do plus nieskończoności).