Wzór do obliczania kąta między liniami. Kąt między liniami na płaszczyźnie

Niech linie będą podane w przestrzeni ja oraz m. Przez jakiś punkt A przestrzeni rysujemy linie proste ja 1 || ja oraz m 1 || m(ryc. 138).

Zauważ, że punkt A może być wybrany dowolnie, w szczególności może leżeć na jednej z podanych linii. Jeśli prosto ja oraz m przecinają się, to A można przyjąć jako punkt przecięcia tych prostych ( ja 1 =l oraz m 1 = m).

Kąt między liniami nierównoległymi ja oraz m jest wartością najmniejszego z sąsiednich kątów utworzonych przez przecinające się linie proste ja 1 oraz m 1 (ja 1 || ja, m 1 || m). Zakłada się, że kąt między równoległymi liniami wynosi zero.

Kąt między liniami ja oraz m oznaczone przez \(\widehat((l;m)) \). Z definicji wynika, że ​​jeśli jest mierzony w stopniach, to 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a jeśli w radianach, to 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Zadanie. Podano sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 139).

Znajdź kąt między liniami prostymi AB i DC 1 .

Proste skrzyżowanie AB i DC 1. Ponieważ prosta DC jest równoległa do prostej AB, kąt między prostymi AB i DC 1, zgodnie z definicją, jest równy \(\widehat(C_(1)DC)\).

Stąd \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Bezpośredni ja oraz m nazywa prostopadły, jeśli \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na przykład w sześcianie

Obliczanie kąta między liniami.

Problem obliczania kąta między dwiema liniami prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie. Oznacz przez φ kąt między liniami ja 1 oraz ja 2 , a przez ψ - kąt między wektorami kierunku a oraz b te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (rys. 206.6), następnie φ = 180° - ψ. Jest oczywiste, że w obu przypadkach równość cos φ = |cos ψ| jest prawdziwa. Zgodnie ze wzorem (cosinus kąta między wektory niezerowe a i b są równe produkt kropkowy z tych wektorów podzielonych przez iloczyn ich długości) mamy

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

W związku z tym,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Niech linie będą podane przez ich równania kanoniczne

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; oraz \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Następnie kąt φ między prostymi wyznacza się ze wzoru

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest określona równaniami niekanonicznymi, to do obliczenia kąta należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie użyć wzoru (1).

Zadanie 1. Oblicz kąt między liniami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Wektory kierunkowe linii prostych mają współrzędne:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Według wzoru (1) znajdujemy

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Dlatego kąt między tymi liniami wynosi 60°.

Zadanie 2. Oblicz kąt między liniami

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) i \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\koniec(przypadki) $$

Za wektorem prowadzącym a pierwsza linia prosta bierzemy iloczyn wektorowy wektorów normalnych n 1 = (3; 0; -12) i n 2 = (1; 1; -3) płaszczyzny definiujące tę linię. Ze wzoru \(=\begin(vmacierz) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmacierz) \) otrzymujemy

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobnie znajdujemy wektor kierunkowy drugiej linii prostej:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ale wzór (1) oblicza cosinus pożądanego kąta:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Dlatego kąt między tymi liniami wynosi 90°.

Zadanie 3. W trójkątnej piramidzie MAVS krawędzie MA, MB i MC są wzajemnie prostopadłe (ryc. 207);

ich długości są odpowiednio równe 4, 3, 6. Punkt D jest środkiem [MA]. Znajdź kąt φ między liniami CA i DB.

Niech SA i DB będą wektorami kierunkowymi linii SA i DB.

Przyjmijmy punkt M jako początek współrzędnych. Przy warunku zadania mamy A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Dlatego \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Używamy wzoru (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Zgodnie z tabelą cosinusów stwierdzamy, że kąt między liniami prostymi CA i DB wynosi około 72°.

Instrukcja

Uwaga

Okres funkcja trygonometryczna styczna jest równa 180 stopni, co oznacza, że ​​kąty nachylenia linii prostych nie mogą, modulo, przekraczać tej wartości.

Pomocna rada

Jeśli współczynniki nachylenia są sobie równe, to kąt między takimi liniami wynosi 0, ponieważ takie linie albo pokrywają się, albo są równoległe.

Aby określić kąt między przecinającymi się liniami, konieczne jest przeniesienie obu linii (lub jednej z nich) w nowe położenie metodą przeniesienia równoległego do przecięcia. Następnie powinieneś znaleźć kąt między powstałymi przecinającymi się liniami.

Będziesz potrzebować

• Linijka, trójkąt prostokątny, ołówek, kątomierz.

Instrukcja

Niech więc dane będą wektor V = (a, b, c) i płaszczyzna A x + B y + C z = 0, gdzie A, B i C są współrzędnymi normalnej N. Następnie cosinus kąta α między wektorami V i N wynosi: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Aby obliczyć wartość kąta w stopniach lub radianach, z otrzymanego wyrażenia należy obliczyć funkcję odwrotną do cosinusa, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Przykład: znajdź zastrzyk pomiędzy wektor(5, -3, 8) i samolot, dane ogólnym równaniem 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rozwiązanie: zapisz współrzędne wektora normalnego płaszczyzny N = (2, -5, 3). Zastąp wszystko znane wartości w powyższym wzorze: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Powiązane wideo

Linia prosta, która ma jeden wspólny punkt z okręgiem, jest styczna do okręgu. Inną cechą stycznej jest to, że jest ona zawsze prostopadła do promienia narysowanego do punktu styku, czyli styczna i promień tworzą linię prostą zastrzyk. Jeżeli dwie styczne do okręgu AB i AC są poprowadzone z jednego punktu A, to zawsze są sobie równe. Definicja kąta między stycznymi ( zastrzyk ABC) jest tworzony przy użyciu twierdzenia Pitagorasa.

Instrukcja

Aby określić kąt, musisz znać promień okręgu OB i OS oraz odległość punktu początkowego stycznej od środka okręgu - O. Zatem kąty ABO i ACO są równe, promień OB, na przykład 10 cm, a odległość do środka okręgu AO wynosi 15 cm Wyznacz długość stycznej za pomocą wzoru zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: AB = Pierwiastek kwadratowy od AO2 - OB2 lub 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Ten materiał poświęcony jest takiemu pojęciu jak kąt między dwiema przecinającymi się liniami prostymi. W pierwszym akapicie wyjaśnimy, co to jest i pokażemy na ilustracjach. Następnie przeanalizujemy, jak można znaleźć sinus, cosinus tego kąta i sam kąt (rozważymy osobno przypadki z płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową), podamy niezbędne wzory i pokażemy na przykładach, jak dokładnie są stosowane w praktyce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby zrozumieć, czym jest kąt utworzony na przecięciu dwóch linii, musimy przypomnieć sobie samą definicję kąta, prostopadłości i punktu przecięcia.

Definicja 1

Nazywamy dwie linie przecinające się, jeśli mają jeden wspólny punkt. Ten punkt nazywa się punktem przecięcia dwóch linii.

Każda linia jest podzielona przez punkt przecięcia na promienie. W tym przypadku obie linie tworzą 4 kąty, z których dwa są pionowe, a dwa przylegają do siebie. Jeśli znamy miarę jednego z nich, to możemy wyznaczyć pozostałe.

Powiedzmy, że wiemy, że jeden z kątów jest równy α. W takim przypadku kąt, który jest do niego prostopadły, również będzie równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę 180 ° - α . Jeśli α jest równe 90 stopni, to wszystkie kąty będą prawe. Linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi (osobny artykuł poświęcony jest pojęciu prostopadłości).

Spójrz na zdjęcie:

Przejdźmy do sformułowania głównej definicji.

Definicja 2

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie jest miarą mniejszego z 4 kątów, które tworzą te dwie linie.

Z definicji trzeba zrobić ważny wniosek: rozmiar narożnika w tym przypadku będzie wyrażony przez any prawdziwy numer w przedziale (0 , 90 ] . Jeśli proste są prostopadłe, to kąt między nimi będzie w każdym przypadku równy 90 stopni.

Umiejętność znalezienia miary kąta między dwiema przecinającymi się liniami jest przydatna do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Metodę rozwiązania można wybrać z kilku opcji.

Na początek możemy wziąć metody geometryczne. Jeśli wiemy coś o dodatkowych kątach, możemy je połączyć z potrzebnym nam kątem, korzystając z właściwości równych lub podobnych kształtów. Na przykład, jeśli znamy boki trójkąta i musimy obliczyć kąt między prostymi, na których te boki się znajdują, to twierdzenie cosinusowe jest odpowiednie do rozwiązania. Jeśli w warunku mamy trójkąt prostokątny, to do obliczeń będziemy potrzebowali również znać sinus, cosinus i tangens kąta.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna do rozwiązywania tego typu problemów. Wyjaśnijmy, jak z niego korzystać poprawnie.

Mamy prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych O x y z dwiema liniami prostymi. Oznaczmy je literami a i b. W takim przypadku linie proste można opisać dowolnymi równaniami. Pierwotne linie mają punkt przecięcia M . Jak określić żądany kąt (oznaczmy go jako α) między tymi liniami?

Zacznijmy od sformułowania podstawowej zasady znajdowania kąta w danych warunkach.

Wiemy, że takie pojęcia jak kierunek i wektor normalny są ściśle związane z pojęciem linii prostej. Jeśli mamy równanie jakiejś prostej, możemy z niej pobrać współrzędne tych wektorów. Możemy to zrobić dla dwóch przecinających się linii jednocześnie.

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie można znaleźć za pomocą:

• kąt między wektorami kierunku;
• kąt między wektorami normalnymi;
• kąt między wektorem normalnym jednej linii a wektorem kierunku drugiej.

Teraz spójrzmy na każdą metodę z osobna.

1. Załóżmy, że mamy prostą a z wektorem kierunkowym a → = (a x , a y) i prostą b z wektorem kierunkowym b → (b x , b y) . Odłóżmy teraz dwa wektory a → i b → od punktu przecięcia. Następnie zobaczymy, że każdy z nich będzie znajdować się na własnej linii. Następnie mamy dla nich cztery opcje względne położenie. Zobacz ilustrację:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest rozwarty, to będzie to kąt potrzebny nam między przecinającymi się liniami a i b. Jeśli jest rozwarty, pożądany kąt będzie równy kątowi sąsiadującemu z kątem a → , b → ^ . Zatem α = a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

W oparciu o fakt, że cosinusy równych kątów są równe, możemy przepisać otrzymane równości w następujący sposób: cos α = cos a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

W drugim przypadku zastosowano formuły redukcyjne. Zatem,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapiszmy słowami ostatnią formułę:

Definicja 3

Cosinus kąta utworzonego przez dwie przecinające się linie będzie równy modułowi cosinusa kąta między jego wektorami kierunkowymi.

Ogólna postać wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) wygląda następująco:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z niego możemy wyprowadzić wzór na cosinus kąta między dwoma podanymi prostymi:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Wtedy sam kąt można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + by y 2

Tutaj a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi danych linii.

Podajmy przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie podane są dwie przecinające się linie a i b. Można je opisać równaniami parametrycznymi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R oraz x 5 = y - 6 - 3 . Oblicz kąt między tymi liniami.

Decyzja

W warunku mamy równanie parametryczne, co oznacza, że ​​dla tej prostej możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora kierunkowego. Aby to zrobić, musimy wziąć wartości współczynników przy parametrze, tj. linia x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor kierunkowy a → = (4 , 1 ).

Druga prosta opisana jest równaniem kanonicznym x 5 = y - 6 - 3 . Tutaj możemy pobrać współrzędne z mianowników. Zatem linia ta ma wektor kierunkowy b → = (5 , - 3) .

Następnie przechodzimy bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, po prostu wstaw dostępne współrzędne dwóch wektorów do powyższego wzoru α = a r c cos a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + y 2 . Otrzymujemy:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odpowiedź: Linie te tworzą kąt 45 stopni.

Podobny problem możemy rozwiązać, znajdując kąt między wektorami normalnymi. Jeśli mamy prostą a z wektorem normalnym n a → = (n a x , n a y) i prostą b z wektorem normalnym n b → = (n b x , n b y) , to kąt między nimi będzie równy kątowi między n a → a n b → lub kąt, który będzie sąsiadował z n a → , n b → ^ . Ta metoda jest pokazana na obrazku:

Wzory na obliczanie cosinusa kąta między przecinającymi się prostymi i samego tego kąta za pomocą współrzędnych wektorów normalnych wyglądają tak:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj n a → i n b → oznaczają wektory normalne dwóch danych linii.

Przykład 2

Dwie linie proste są podane w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równań 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Znajdź sinus, cosinus kąta między nimi oraz wielkość samego kąta.

Decyzja

Pierwotne linie proste są podane za pomocą normalnych równań linii prostych postaci A x + B y + C = 0 . Oznaczmy wektor normalny n → = (A , B) . Znajdźmy współrzędne pierwszego wektora normalnego dla jednej prostej i zapiszmy je: n a → = (3 , 5) . Dla drugiej linii x + 4 y - 17 = 0 wektor normalny będzie miał współrzędne n b → = (1 , 4 ). Teraz dodaj otrzymane wartości​​do wzoru i oblicz sumę:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jeśli znamy cosinus kąta, to możemy obliczyć jego sinus za pomocą funkcji basic tożsamość trygonometryczna. Ponieważ kąt α utworzony przez linie proste nie jest rozwarty, to sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

W tym przypadku α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odpowiedź: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Przeanalizujmy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostymi, jeśli znamy współrzędne wektora kierunkowego jednej prostej i wektora normalnego drugiej.

Załóżmy, że prosta a ma wektor kierunkowy a → = (a x , a y) , a prosta b ma wektor normalny n b → = (n b x , n b y) . Musimy odłożyć te wektory od punktu przecięcia i rozważyć wszystkie opcje ich względnego położenia. Widzieć zdjęcie:

Jeśli kąt między podanymi wektorami nie przekracza 90 stopni, okazuje się, że dopełni kąt między aib do kąta prostego.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jeśli a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jeśli jest mniejszy niż 90 stopni, otrzymujemy:

a → , n b → ^ > 90 ° , następnie a → , n b → ^ = 90 ° + α

Korzystając z zasady równości cosinusów równych kątów piszemy:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α dla a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α w a → , n b → ^ > 90 ° .

Zatem,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujmy wniosek.

Definicja 4

Aby znaleźć sinus kąta między dwiema prostymi przecinającymi się w płaszczyźnie, musisz obliczyć moduł cosinusa kąta między wektorem kierunku pierwszej linii a wektorem normalnym drugiej.

Zapiszmy niezbędne formuły. Znalezienie sinusa kąta:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Znalezienie samego rogu:

α = a r c sin = a x n b x + a y n by a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2

Tutaj a → jest wektorem kierunku pierwszej linii, a n b → jest wektorem normalnym drugiej.

Przykład 3

Dwie przecinające się linie są podane przez równania x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Znajdź kąt przecięcia.

Decyzja

Z podanych równań pobieramy współrzędne wektora kierunkowego i normalnego. Okazuje się, że a → = (- 5 , 3) ​​i n → b = (1 , 4) . Bierzemy wzór α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n by a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2 i rozważmy:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Zauważ, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź:α = a r c sin 7 2 34

Oto inny sposób na znalezienie pożądanego kąta za pomocą współczynników nachylenia podanych linii.

Mamy prostą a , która jest zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania y = k 1 · x + b 1 , oraz prosta b , zdefiniowana jako y = k 2 · x + b 2 . Są to równania linii o nachyleniu. Aby znaleźć kąt przecięcia, użyj wzoru:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdzie k 1 i k 2 są współczynniki nachylenia podane linie. Do uzyskania tego zapisu posłużono się wzorami do wyznaczania kąta poprzez współrzędne wektorów normalnych.

Przykład 4

Na płaszczyźnie przecinają się dwie proste linie, podane przez równania y = - 3 5 x + 6 i y = -1 4 x + 17 4 . Oblicz kąt przecięcia.

Decyzja

Nachylenia naszych linii są równe k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmy je do wzoru α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i obliczmy:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Odpowiedź:α = a r c cos 23 2 34

We wnioskach z tego paragrafu należy zauważyć, że podanych tu wzorów na znalezienie kąta nie trzeba uczyć się na pamięć. W tym celu wystarczy znać współrzędne prowadnic i/lub wektorów normalnych danych prostych i umieć je wyznaczyć z różne rodzaje równania. Ale formuły obliczania cosinusa kąta lepiej zapamiętać lub zapisać.

Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Obliczenie takiego kąta można sprowadzić do obliczenia współrzędnych wektorów kierunkowych i określenia wielkości kąta utworzonego przez te wektory. W przypadku takich przykładów stosujemy to samo rozumowanie, które podaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych zlokalizowany w przestrzeni 3D. Zawiera dwie proste aib z punktem przecięcia M . Aby obliczyć współrzędne wektorów kierunkowych, musimy znać równania tych prostych. Oznacz wektory kierunkowe a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Aby obliczyć cosinus kąta między nimi, posługujemy się wzorem:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby znaleźć sam kąt, potrzebujemy tego wzoru:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 5

Mamy linię prostą zdefiniowaną w przestrzeni 3D za pomocą równania x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Wiadomo, że przecina się z osią Oz. Oblicz kąt przecięcia i cosinus tego kąta.

Decyzja

Oznaczmy kąt do obliczenia literą α. Zapiszmy współrzędne wektora kierunku dla pierwszej prostej - a → = (1 , - 3 , - 2 ). Dla osi aplikacji możemy przyjąć wektor współrzędnych k → = (0 , 0 , 1) jako przewodnik. Otrzymaliśmy niezbędne dane i możemy je dodać do pożądanej formuły:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

W rezultacie otrzymaliśmy, że potrzebny nam kąt będzie równy a r c cos 1 2 = 45 °.

Odpowiedź: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Każdemu uczniowi przygotowującemu się do egzaminu z matematyki przyda się powtórzenie tematu „Znajdowanie kąta między wierszami”. Jak pokazują statystyki, przy zdaniu egzaminu certyfikacyjnego zadania z tego działu stereometrii powodują trudności dla duża liczba studenci. Jednocześnie zadania wymagające znalezienia kąta między liniami prostymi znajdują się w USE zarówno na poziomie podstawowym, jak i profilu. Oznacza to, że każdy powinien być w stanie je rozwiązać.

Podstawowe momenty

Istnieją 4 rodzaje wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni. Mogą się pokrywać, przecinać, być równoległe lub przecinać się. Kąt między nimi może być ostry lub prosty.

Aby znaleźć kąt między liniami w Unified State Examination lub, na przykład, w rozwiązaniu, uczniowie w Moskwie i innych miastach mogą skorzystać z kilku metod rozwiązywania problemów w tej sekcji stereometrii. Możesz wykonać zadanie za pomocą klasycznych konstrukcji. W tym celu warto poznać podstawowe aksjomaty i twierdzenia stereometrii. Student musi umieć logicznie budować rozumowanie i tworzyć rysunki w celu sprowadzenia zadania do problemu planimetrycznego.

Możesz także użyć metody współrzędnych wektorów, używając prostych formuł, reguł i algorytmów. Najważniejsze w tym przypadku jest prawidłowe wykonanie wszystkich obliczeń. Pomoże Ci w doskonaleniu umiejętności rozwiązywania problemów ze stereometrii i innych części kursu szkolnego projekt edukacyjny„Szkolkowo”.

a. Podajmy dwie linie, które, jak wskazano w rozdziale 1, tworzą różne kąty dodatnie i ujemne, które w tym przypadku mogą być zarówno ostre, jak i rozwarte. Znając jeden z tych kątów, możemy łatwo znaleźć dowolny inny.

Nawiasem mówiąc, dla wszystkich tych kątów wartość liczbowa stycznej jest taka sama, różnica może być tylko w znaku

Równania prostych. Liczby są rzutami wektorów kierunkowych pierwszej i drugiej linii.Kąt między tymi wektorami jest równy jednemu z kątów utworzonych przez proste. Dlatego problem sprowadza się do określenia kąta między wektorami, Otrzymujemy

Dla uproszczenia możemy uzgodnić kąt między dwiema liniami prostymi, aby zrozumieć ostry kąt dodatni (jak na przykład na ryc. 53).

Wtedy tangens tego kąta będzie zawsze dodatni. Tak więc, jeśli uzyskamy znak minus po prawej stronie formuły (1), to musimy go odrzucić, tj. zachować tylko wartość bezwzględną.

Przykład. Określ kąt między liniami

Według wzoru (1) mamy

z. Jeżeli wskazano, który z boków kąta jest jego początkiem, a który końcem, to licząc zawsze kierunek kąta przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, możemy ze wzorów (1) wydobyć coś więcej. Jak łatwo zauważyć na ryc. 53 znak uzyskany po prawej stronie wzoru (1) wskaże, który kąt – ostry czy rozwarty – tworzy drugą linię z pierwszą.

(Rzeczywiście, z ryc. 53 widzimy, że kąt między pierwszym i drugim wektorem kierunku jest albo równy pożądanemu kątowi między liniami, albo różni się od niego o ±180°.)

d. Jeżeli proste są równoległe, to ich wektory kierunkowe są również równoległe.Stosując warunek równoległości dwóch wektorów, otrzymujemy!

Jest to warunek konieczny i wystarczający, aby dwie linie były równoległe.

Przykład. Bezpośredni

są równoległe, ponieważ

mi. Jeżeli linie są prostopadłe, to ich wektory kierunkowe również są prostopadłe. Stosując warunek prostopadłości dwóch wektorów otrzymujemy warunek prostopadłości dwóch prostych, czyli

Przykład. Bezpośredni

prostopadle, ponieważ

W związku z warunkami równoległości i prostopadłości rozwiążemy następujące dwa problemy.

f. Narysuj linię równoległą do danej linii przez punkt

Taka decyzja jest podejmowana. Ponieważ żądana prosta jest równoległa do danej, to za jej wektor kierunkowy możemy wziąć ten sam, co danej prostej, czyli wektor z rzutami A i B. A następnie zostanie zapisane równanie żądanej prostej w formie (§ 1)

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (1; 3) równoległej do prostej

będzie następny!

g. Narysuj linię przez punkt prostopadły do ​​podanej linii

Tutaj nie jest już odpowiednie branie wektora z rzutami A i jako wektora kierującego, ale konieczne jest wygranie wektora prostopadłego do niego. Rzuty tego wektora muszą zatem być wybrane zgodnie z warunkiem, że oba wektory są prostopadłe, tj. zgodnie z warunkiem

Warunek ten może być spełniony na nieskończoną liczbę sposobów, ponieważ tutaj jest jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Ale najprościej to przyjąć. Wtedy równanie pożądanej prostej zostanie zapisane w postaci

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (-7; 2) w linii prostopadłej

będzie następująca (zgodnie z drugim wzorem)!

h. W przypadku, gdy proste są podane równaniami postaci