Definicja.Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów jest prosty (równy).

Trójkąt prostokątny to szczególny przypadek zwykłego trójkąta. Dlatego zachowane są wszystkie właściwości zwykłych trójkątów dla prostokątnych. Ale istnieją pewne szczególne właściwości wynikające z obecności kąta prostego.

Wspólna notacja (ryc. 1):

- prosty kąt;

- przeciwprostokątna;

- nogi;

.

Ryż. jeden.

ZWłaściwości trójkąta prostokątnego.

Właściwość 1. Suma kątów i trójkąta prostokątnego wynosi .

Dowód. Przypomnijmy, że suma kątów dowolnego trójkąta wynosi . Biorąc pod uwagę fakt, że , otrzymujemy, że suma pozostałych dwóch kątów to To znaczy,

Właściwość 2. W prawym trójkącie przeciwprostokątna więcej niż ktokolwiek z nogi(to największa strona).

Dowód. Przypomnij sobie, że w trójkącie naprzeciwko większego kąta leży większy bok (i odwrotnie). Z udowodnionej powyżej własności 1 wynika, że ​​suma kątów i trójkąta prostokątnego jest równa . Ponieważ kąt trójkąta nie może wynosić 0, każdy z nich jest mniejszy niż . Oznacza to, że jest największy, co oznacza, że ​​największy bok trójkąta leży naprzeciwko niego. Stąd przeciwprostokątna jest największym bokiem trójkąta prostokątnego, czyli:.

Właściwość 3. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest mniejsza niż suma nóg.

Dowód. Ta właściwość staje się jasna, jeśli sobie przypomnimy nierówność trójkąta.

nierówność trójkąta

W każdym trójkącie suma dowolnych dwóch boków jest większa niż trzeciego boku.

Własność 3 bezpośrednio wynika z tej nierówności.

Notatka: pomimo tego, że każda z nóg z osobna jest mniejsza od przeciwprostokątnej, ich suma okazuje się większa. W przykładzie liczbowym wygląda to tak: , ale .

w:

1. znak (z 2 stron i kąt między nimi): jeśli dwa trójkąty mają równe boki i kąt między nimi, to takie trójkąty są przystające.

Drugi znak (z boku i dwóch sąsiednich kątów): jeśli trójkąty mają równy bok i dwa kąty sąsiadujące z danym bokiem, to takie trójkąty są przystające. Notatka: korzystając z faktu, że suma kątów trójkąta jest stała i równa , łatwo wykazać, że warunek „sąsiedztwa” kątów nie jest konieczny, to znaczy znak będzie prawdziwy w następującym sformułowaniu: "...bok i dwa kąty są równe, to...".

3. znak (z 3 stron): jeśli wszystkie trzy boki trójkąta są równe, to takie trójkąty są przystające.

Oczywiście wszystkie te znaki są prawdziwe dla trójkątów prostokątnych. Jednak trójkąty prostokątne mają jedną zasadniczą cechę - zawsze mają parę równych kątów prostych. Dlatego te znaki są dla nich uproszczone. Sformułujmy więc znaki równości trójkątów prostokątnych:

1 znak (na dwóch nogach): jeśli nogi trójkątów prostokątnych są równe parami, to takie trójkąty są sobie równe (ryc. 2).

Dany:

Ryż. 2. Ilustracja pierwszego znaku równości trójkątów prostokątnych

Udowodnić:

Dowód: w trójkątach prostokątnych: . Możemy więc użyć pierwszego znaku równości trójkątów (z 2 stron i kąta między nimi) i uzyskać: .

2-ty znak (na nodze i kącie): jeśli ramię i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są równe ramieniu i kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są sobie równe (ryc. 3).

Dany:

Ryż. 3. Ilustracja drugiego znaku równości trójkątów prostokątnych

Udowodnić:

Dowód: od razu zauważamy, że fakt, że kąty sąsiadujące z równymi ramionami są równe, nie jest fundamentalny. Rzeczywiście, suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego (według właściwości 1) jest równa . Zatem jeśli jedna para tych kątów jest równa, to druga jest równa (ponieważ ich sumy są takie same).

Dowód tej funkcji sprowadza się do używania drugi znak równości trójkątów(w 2 rogach iz boku). Rzeczywiście, pod warunkiem, nogi i para kątów sąsiednich są równe. Ale druga para kątów sąsiadujących z nimi składa się z kątów . Możemy więc użyć drugiego kryterium równości trójkątów i uzyskać: .

Trzeci znak (według przeciwprostokątnej i kąta): jeśli przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są sobie równe (ryc. 4).

Dany:

Ryż. 4. Ilustracja trzeciego znaku równości trójkątów prostokątnych

Udowodnić:

Dowód: aby udowodnić ten znak, możesz natychmiast użyć drugi znak równości trójkątów- bokiem i dwoma kątami (a dokładniej konsekwencją, która mówi, że kąty nie muszą przylegać do boku). Rzeczywiście, z warunku: , , a z własności trójkątów prostokątnych wynika, że . Możemy więc użyć drugiego kryterium równości trójkątów i uzyskać: .

Czwarty znak (po przeciwprostokątnej i nodze): jeżeli przeciwprostokątna i odnoga jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i odnodze innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są sobie równe (ryc. 5).

Dany:

Ryż. 5. Ilustracja czwartego znaku równości trójkątów prostokątnych

Udowodnić:

Dowód: Aby udowodnić ten znak, użyjemy znaku równości trójkątów, który sformułowaliśmy i udowodniliśmy w ostatniej lekcji, a mianowicie: jeśli trójkąty mają równe dwa boki i większy kąt, to takie trójkąty są równe. Rzeczywiście, pod warunkiem mamy dwie równe strony. Ponadto według właściwości trójkątów prostokątnych: . Pozostaje udowodnić, że kąt prosty jest największy w trójkącie. Załóżmy, że tak nie jest, co oznacza, że ​​musi być co najmniej jeden kąt większy niż . Ale wtedy suma kątów trójkąta będzie już większa. Ale to jest niemożliwe, co oznacza, że ​​taki kąt nie może istnieć w trójkącie. Stąd kąt prosty jest największy w trójkącie prostokątnym. Możesz więc użyć sformułowanego powyżej znaku i uzyskać: .

Sformułujemy teraz jeszcze jedną właściwość, charakterystyczną tylko dla trójkątów prostokątnych.

Nieruchomość

Noga przeciwna do kąta jest 2 razy mniejsza niż przeciwprostokątna(rys. 6).

Dany:

Ryż. 6.

Udowodnić:AB

Dowód: wykonać dodatkową konstrukcję: wydłużyć linię poza punkt o odcinek równy . Zdobądźmy punkt. Ponieważ kąty i są przyległe, ich suma jest równa . Od tego czasu kąt.

Więc prawe trójkąty (po dwóch nogach: - ogólnie, - według konstrukcji) - pierwszy znak równości trójkątów prostokątnych.

Z równości trójkątów wynika równość wszystkich odpowiadających sobie elementów. Znaczy, . Gdzie: . Ponadto (z równości wszystkich tych samych trójkątów). Oznacza to, że trójkąt jest równoramienny (ponieważ ma równe kąty u podstawy), ale trójkąt równoramienny, którego jeden z kątów jest równy, jest równoboczny. Wynika z tego w szczególności, że .

Własność nogi przeciwna do kąta in

Warto zauważyć, że prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest dwa razy większa od jednej z nóg, to kąt ostry przeciw tej nodze jest równy.

Notatka: znak oznacza, że ​​jeśli jakieś stwierdzenie jest prawdziwe, to trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Oznacza to, że funkcja pozwala zidentyfikować trójkąt prostokątny.

Ważne jest, aby nie mylić znaku z własność- to znaczy, jeśli trójkąt jest prostokątny, to ma takie właściwości ... Często znaki i właściwości są wzajemnie odwrotne, ale nie zawsze. Na przykład właściwość trójkąta równobocznego: trójkąt równoboczny ma kąt. Ale to nie będzie znak trójkąta równobocznego, ponieważ nie każdy trójkąt, który ma kąt, jest równoboczny.

Rozwiązywanie problemów geometrycznych wymaga ogromnej wiedzy. Jedną z podstawowych definicji tej nauki jest trójkąt prostokątny.

Ta koncepcja oznacza składanie się z trzech rogów i

boki, a wartość jednego z kątów wynosi 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami, podczas gdy trzecia strona, która jest przeciwna, nazywana jest przeciwprostokątną.

Jeśli nogi na takiej figurze są równe, nazywa się to równoramiennym trójkątem prostokątnym. W tym przypadku istnieje przynależność do dwóch, co oznacza, że ​​obserwowane są właściwości obu grup. Przypomnijmy, że kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są absolutnie zawsze równe, dlatego kąty ostre takiej figury będą obejmować po 45 stopni.

Obecność jednej z następujących właściwości pozwala stwierdzić, że jeden trójkąt prostokątny jest równy drugiemu:

1. nogi dwóch trójkątów są równe;
2. figurki mają tę samą przeciwprostokątną i jedną z nóg;
3. przeciwprostokątna i którykolwiek z kątów ostrych są równe;
4. obserwuje się stan równości nogi i kąta ostrego.

Pole trójkąta prostokątnego można łatwo obliczyć zarówno za pomocą standardowych wzorów, jak i jako wartość równą połowie iloczynu jego nóg.

W trójkącie prostokątnym obserwuje się następujące relacje:

1. noga jest tylko środkiem proporcjonalnym do przeciwprostokątnej i jej rzutu na nią;
2. jeśli opiszesz okrąg wokół trójkąta prostokątnego, jego środek będzie pośrodku przeciwprostokątnej;
3. wysokość narysowana pod kątem prostym jest średnią proporcjonalną do rzutów ramion trójkąta na jego przeciwprostokątną.

Interesujące jest to, że niezależnie od tego, jaki jest trójkąt prostokątny, te właściwości są zawsze obserwowane.

twierdzenie Pitagorasa

Oprócz powyższych właściwości trójkąty prostokątne charakteryzują się następującym warunkiem:

Twierdzenie to nosi imię jego założyciela - twierdzenia Pitagorasa. Odkrył tę zależność, badając właściwości kwadratów zbudowanych na

Aby udowodnić twierdzenie, konstruujemy trójkąt ABC, którego nogi oznaczamy a i b oraz przeciwprostokątną c. Następnie zbudujemy dwa kwadraty. Jedna strona będzie przeciwprostokątną, druga sumą dwóch nóg.

Wtedy pole pierwszego kwadratu można znaleźć na dwa sposoby: jako sumę pól czterech trójkątów ABC i drugiego kwadratu lub jako kwadrat boku, oczywiście te stosunki będą równe. Tj:

przy 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 przekształcamy wynikowe wyrażenie:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

W rezultacie otrzymujemy: c 2 \u003d a 2 + b 2

Zatem figura geometryczna trójkąta prostokątnego odpowiada nie tylko wszystkim właściwościom charakterystycznym dla trójkątów. Obecność kąta prostego prowadzi do tego, że postać ma inne unikalne relacje. Ich badanie jest przydatne nie tylko w nauce, ale także w życiu codziennym, ponieważ wszędzie można znaleźć taką postać, jak trójkąt prostokątny.

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W problemach kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prawy w tej formie,

i w takich

i w takich

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, jego imprezy mają specjalne, piękne imiona.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie myl: nogi - dwie, a przeciwprostokątna - tylko jedna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów dotyczących trójkąta prostokątnego. Udowodnił to Pitagoras w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przyniósł wiele korzyści tym, którzy go znają. A najlepsze w niej jest to, że jest prosta.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Pitagorejskie spodnie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te bardzo pitagorejskie spodnie i spójrzmy na nie.

Czy to naprawdę wygląda jak szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a dokładniej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. I tak to sformułował:

"Suma powierzchnia placów, zbudowany na nogach, jest równy kwadratowy obszar zbudowany na przeciwprostokątnej.

Czy to nie brzmi trochę inaczej, prawda? I tak, kiedy Pitagoras narysował stwierdzenie swojego twierdzenia, właśnie taki obraz się wyszedł.

Na tym rysunku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej zapamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o pitagorejskich spodniach.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było… algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak straszne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami??! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, aby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Cóż, omówiono najważniejsze twierdzenie o trójkącie prostokątnym. Jeśli interesuje Cię, jak to jest udowodnione, przeczytaj kolejne poziomy teorii, a teraz przejdźmy dalej... w mroczny las... trygonometrii! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwej” definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcesz, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego chodzi o róg? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak wypowiedzi 1 - 4 są napisane słowami. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy jest noga przeciwległa do narożnika, czyli przeciwna noga (do narożnika)? Oczywiście, że masz! To jest cewnik!

Ale co z kątem? Przypatrz się. Która noga przylega do narożnika? Oczywiście kot. Tak więc dla kąta noga przylega do siebie i

A teraz uwaga! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to wspaniałe:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensa.

Jak teraz ubrać to w słowa? Jaka jest noga w stosunku do narożnika? Naprzeciwko oczywiście - "leży" naprzeciw rogu. A cewnik? Przylega do rogu. Więc co dostaliśmy?

Widzisz, jak zamieniono licznik i mianownik?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Możliwe, że wielokrotnie używałeś już twierdzenia Pitagorasa, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe. Jak byś to udowodnił? Zróbmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Widzisz, jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki długości i!

Teraz połączmy zaznaczone punkty

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na zdjęcie i zastanawiasz się, dlaczego.

Jaka jest powierzchnia większego placu?

Prawidłowo .

A co z mniejszą powierzchnią?

Na pewno, .

Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy dwie z nich i oparliśmy się o siebie przeciwprostokątnymi.

Co się stało? Dwa prostokąty. Tak więc obszar „sadzonek” jest równy.

Połączmy to teraz.

Przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - udowodniliśmy jego twierdzenie w starożytny sposób.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące relacje:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

I jeszcze raz wszystko to w formie talerza:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Na dwóch nogach

II. Według nogi i przeciwprostokątnej

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i pod kątem ostrym

a)

b)

Uwaga! Tutaj bardzo ważne jest, aby nogi „odpowiadały”. Na przykład, jeśli wygląda to tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała lub w obu - przeciwnie.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów?

Spójrz na temat „i zwróć uwagę na fakt, że do równości „zwykłych” trójkątów potrzebujesz równości ich trzech elementów: dwóch boków i kąta między nimi, dwóch kątów i boku między nimi lub trzech boków.

Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiadające sobie elementy. To świetnie, prawda?

W przybliżeniu taka sama sytuacja z oznakami podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Ostry róg

II. Na dwóch nogach

III. Według nogi i przeciwprostokątnej

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Rozważ cały prostokąt zamiast trójkąta prostokątnego.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

A co z tego wynika?

Tak się złożyło, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że odwrotność również jest prawdziwa.

Co można zyskać z faktu, że mediana przyciągana do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przypatrz się. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, odległości, od których prawie wszystkie trzy wierzchołki trójkąta są równe, i to jest opisany CENTRUM OKRĘGU. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „poza…”.

Spójrzmy na ja.

Ale w podobnych trójkątach wszystkie kąty są równe!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jaki pożytek można czerpać z tego „potrójnego” podobieństwa.

Cóż, na przykład - dwie formuły na wysokość trójkąta prostokątnego.

Piszemy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Obie te formuły trzeba bardzo dobrze zapamiętać i tę, która jest wygodniejsza w aplikacji.

Zapiszmy je ponownie.

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg:.

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• na dwóch nogach:
• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej: lub
• wzdłuż ramienia i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwnego kąta ostrego: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:.

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym mediana wyciągnięta z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Obszar trójkąta prostokątnego:

• przez cewniki:
• przez nogę i kąt ostry: .

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu z budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, dożywotnio.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż osoby, które go nie otrzymały. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi znacznie więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule - 299 rubli
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — 499 rubli

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem, jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!

Strona a można zidentyfikować jako przylegający do narożnika B oraz przeciwległy róg A, i z boku b- jak przylegające do narożnika A oraz przeciwległy róg B.

Rodzaje trójkątów prostokątnych

• Jeśli długości wszystkich trzech boków trójkąta prostokątnego są liczbami całkowitymi, to trójkąt nazywa się Trójkąt pitagorejski, a długości jego boków tworzą tzw Potrójny pitagorejski.

Nieruchomości

Wysokość

Wysokość trójkąta prostokątnego.

Relacje trygonometryczne

Zostawiać h oraz s (h>s) po bokach dwóch kwadratów wpisanych w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną c. Następnie:

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy sumie promieni okręgu wpisanego i trzech okręgów opisanych.

Uwagi

Spinki do mankietów

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (angielski) na stronie Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. Podręcznik geometrii . - Ginn i spółka, 1895.

Fundacja Wikimedia. 2010 .

• prostopadłościan
• Koszty bezpośrednie

Zobacz, co „Prawy trójkąt” znajduje się w innych słownikach:

trójkąt prostokątny— — Tematy przemysł naftowy i gazowy PL trójkąt prostokątny … Podręcznik tłumacza technicznego

TRÓJKĄT- i (prosty) trójkąt, trójkąt, mąż. 1. Figura geometryczna ograniczona trzema przecinającymi się liniami prostymi tworzącymi trzy kąty wewnętrzne (mat.). Rozwarty trójkąt. Ostry trójkąt. Trójkąt prostokątny.… … Słownik wyjaśniający Uszakowa

PROSTOKĄTNY- PROSTOKĄTNE, prostokątne, prostokątne (geom.). Posiadanie kąta prostego (lub kątów prostych). Trójkąt prostokątny. Figury prostokątne. Słownik wyjaśniający Uszakowa. D.N. Uszakow. 1935 1940 ... Słownik wyjaśniający Uszakowa

Trójkąt- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Trójkąt (znaczenia). Trójkąt (w przestrzeni euklidesowej) to figura geometryczna utworzona przez trzy odcinki linii, które łączą trzy nieliniowe punkty. Trzy kropki, ... ... Wikipedia

trójkąt- ▲ najprostszym wielokątem jest wielokąt mający trójkąt trójkąciowy; dają 3 punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej. trójkątny. kąt ostry. ostrokątny. prawy trójkąt: noga. przeciwprostokątna. Trójkąt równoramienny. ▼… … Słownik ideograficzny języka rosyjskiego

TRÓJKĄT- TRÓJKĄT, mąż. 1. Figura geometryczna to wielokąt z trzema rogami, a także dowolny przedmiot, urządzenie tej formy. Prostokątna t. Drewniana t. (do rysowania). T żołnierski (list żołnierski bez koperty, złożony w róg; potoczny). 2… Słownik wyjaśniający Ożegowa

Trójkąt (wielokąt)- Trójkąty: 1 ostry, prostokątny i rozwarty; 2 regularne (równoboczne) i równoramienne; 3 dwusieczne; 4 mediany i środek ciężkości; 5 wysokości; 6 ortocentrum; 7 środkowa linia. TRÓJKĄT, wielokąt z 3 stronami. Czasami pod... Ilustrowany słownik encyklopedyczny

trójkąt słownik encyklopedyczny

trójkąt- a; m. 1) a) Figura geometryczna ograniczona trzema przecinającymi się liniami prostymi tworzącymi trzy kąty wewnętrzne. Prostokątny trójkąt równoramienny/len. Oblicz obszar trójkąta. b) ew. co lub z pok. Figura lub przedmiot o takiej formie ... ... Słownik wielu wyrażeń

Trójkąt- a; m. 1. Figura geometryczna ograniczona trzema przecinającymi się liniami prostymi tworzącymi trzy kąty wewnętrzne. Prostokątne, równoramienne m. Oblicz obszar trójkąta. // co lub z def. Figura lub przedmiot o takim kształcie. Dach T. T.… … słownik encyklopedyczny

Trójkąt prawy - trójkąt, którego jeden kąt jest prawy (równy 90 0). Dlatego pozostałe dwa kąty sumują się do 90 0 .

Boki trójkąta prostokątnego

Strona przeciwna do kąta dziewięćdziesięciu stopni nazywana jest przeciwprostokątną. Pozostałe dwie strony nazywane są nogami. Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż nogi, ale krótsza niż ich suma.

Trójkąt prostokątny. Właściwości trójkąta

Jeśli noga znajduje się pod kątem trzydziestu stopni, to jej długość odpowiada połowie długości przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że kąt przeciwległy do ​​nogi, którego długość odpowiada połowie przeciwprostokątnej, wynosi trzydzieści stopni. Noga jest równa średniej proporcjonalnej do przeciwprostokątnej i rzutu, który noga daje przeciwprostokątnej.

twierdzenie Pitagorasa

Każdy trójkąt prostokątny jest zgodny z twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie to mówi, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Jeśli założymy, że nogi są równe aib, a przeciwprostokątna to c, to piszemy: a 2 + b 2 \u003d c 2. Twierdzenie Pitagorasa służy do rozwiązywania wszystkich problemów geometrycznych, w których pojawiają się trójkąty prostokątne. Pomoże również narysować kąt prosty w przypadku braku niezbędnych narzędzi.

Wzrost i mediana

Trójkąt prostokątny charakteryzuje się tym, że jego dwie wysokości są połączone z nogami. Aby znaleźć trzecią stronę, musisz znaleźć sumę rzutów nóg na przeciwprostokątną i podzielić przez dwa. Jeśli narysujesz medianę z wierzchołka pod kątem prostym, okaże się, że jest to promień okręgu opisanego wokół trójkąta. Środek tego okręgu będzie środkiem przeciwprostokątnej.

Trójkąt prostokątny. Powierzchnia i jej obliczanie

Pole trójkątów prostokątnych oblicza się przy użyciu dowolnego wzoru na znalezienie pola trójkąta. Ponadto możesz użyć innej formuły: S \u003d a * b / 2, która mówi, że aby znaleźć obszar, musisz podzielić iloczyn długości nóg przez dwa.

Cosinus, sinus i tangens trójkąt prostokątny

Cosinus kąta ostrego to stosunek nogi przylegającej do kąta do przeciwprostokątnej. Zawsze jest mniej niż jeden. Sinus to stosunek nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej. Styczna to stosunek odnogi przeciwległej do narożnika do odnogi przylegającej do tego narożnika. Cotangens to stosunek nogi przylegającej do narożnika do nogi przeciwległej do narożnika. Cosinus, sinus, tangens i cotangens nie są zależne od rozmiaru trójkąta. Na ich wartość wpływa tylko stopień pomiaru kąta.

Rozwiązanie trójkąta

Aby obliczyć wartość ramienia przeciwległego do kąta, należy pomnożyć długość przeciwprostokątnej przez sinus tego kąta lub wielkość drugiego ramienia przez styczną tego kąta. Aby znaleźć nogę przylegającą do kąta, należy obliczyć iloczyn przeciwprostokątnej i cosinusa kąta.

Trójkąt równoramienny

Jeśli trójkąt ma kąt prosty i równe nogi, nazywa się go równoramiennym trójkątem prostokątnym. Kąty ostre takiego trójkąta są również równe - po 45 0 każdy. Mediana, dwusieczna i wysokość narysowana pod kątem prostym trójkąta równoramiennego są takie same.