"Wektorowy iloczyn skalarny" - Iloczyn skalarny wektorów. W trójkącie równobocznym ABC o boku 1 narysowana jest wysokość BD. Z definicji scharakteryzować kąt? między wektorami i jeśli: a) b) c) d). Przy jakiej wartości t jest wektor prostopadły do ​​wektora, jeśli (2, -1), (4, 3). Oznaczono iloczyn skalarny wektorów i .

"Geometry 9 class "Vectors"" - Odległość między dwoma punktami. Najprostsze problemy we współrzędnych. Sprawdź się! Współrzędne wektorowe. W 1903 O. Henrichi zaproponował, aby iloczyn skalarny był oznaczany symbolem (a, c). Wektor jest segmentem skierowanym. Rozkład wektora na wektory współrzędnych. Pojęcie wektora. Rozkład wektora na płaszczyźnie na dwa wektory niewspółliniowe.

"Wektor rozwiązywania problemów" - Ekspresowe wektory AM, DA, CA, MB, CD jako wektor a i wektor b. № 2 Wyraź wektory DP, DM, AC przez wektory a i b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Wyraź wektory CK, RK przez wektory a i b. BE:EC = 3: 1. K to środek DC. VK: KС = 3: 4. Wyraź wektory AK, DK przez wektory a i b. Zastosowanie wektorów do rozwiązywania problemów (część 1).

"Problemy na wektorach" - Twierdzenie. Znajdź współrzędne. Podano trzy punkty. Wierzchołki trójkąta. Znajdź współrzędne wektorów. Znajdź współrzędne punktu. Znajdź współrzędne i długość wektora. Wyraź długość wektora. Współrzędne wektorowe. Współrzędne wektorowe. Znajdź współrzędne wektora. Podano wektory. Nazwij współrzędne wektorów. Wektor ma współrzędne.

"Metoda współrzędnych na płaszczyźnie" - Narysowany zostanie okrąg. Prostopadłe. Oś współrzędnych. Wartość sinusa. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Znajdź współrzędne wierzchołków. Rozważ przykład. Rozwiązanie tego problemu. Punkty są podawane na samolocie. Wierzchołki równoległoboku. Rozwiń wektory. Oblicz. Wiele punktów. Rozwiąż graficznie układ równań.

„Dodawanie i odejmowanie wektorów” - 1. Cele lekcji. 2. Główna część. Twój bardzo, najbardziej najlepszy przyjaciel Lunatyk! Dowiedz się, jak odejmować wektory. 2. Określ wektor sumy wektorów a i b. Mój przyjaciel!! Zobaczmy, co tu mamy. Nasze cele: Wnioski. 3. Przegląd głowy. 4. Lista referencji. Podróżowanie z Lunatic. Od punktu A odkładamy oba wektory.

Łącznie w temacie jest 29 prezentacji

Podczas studiowania geometrii pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Student ma szczególne trudności, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe warunki

Przed rozważeniem kątów między wektorami konieczne jest zapoznanie się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek, który ma kierunek, to znaczy odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, to mniejszy z kątów, o który trzeba przesunąć jeden z wektorów wokół wspólnego punktu, do pozycji, w której ich kierunki się pokrywają.

Formuła rozwiązania

Gdy zrozumiesz, czym jest wektor i jak określa się jego kąt, możesz obliczyć kąt między wektorami. Wzór na rozwiązanie tego jest dość prosty, a wynikiem jego zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Z definicji jest równy ilorazowi produkt kropkowy wektory i iloczyn ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów jest uważany za sumę odpowiednich współrzędnych wektorów mnożnikowych pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego moduł oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta można obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Po ustaleniu, jak obliczyć kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu staje się proste i jednoznaczne. Jako przykład rozważ prosty problem ze znalezieniem wielkości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędnego do rozwiązania. Korzystając z powyższego opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa pożądanego kąta:

Ta liczba nie jest jedną z pięciu wspólnych wartości cosinusów, więc aby uzyskać wartość kąta, będziesz musiał użyć kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale zanim uzyskasz kąt między wektorami, wzór można uprościć, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Ostateczną odpowiedź można pozostawić w tej formie, aby zachować dokładność, lub obliczyć wartość kąta w stopniach. Według tabeli Bradisa jego wartość wyniesie około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator wskaże 116,57 stopnia.

Obliczanie kątów w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej, znacznie trudniej jest zrozumieć, o jakim kącie mówimy, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą między nimi najmniejszy kąt i będzie to pożądany. Pomimo obecności trzeciej współrzędnej w wektorze, proces obliczania kątów między wektorami nie ulegnie zmianie. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów, arcus cosinus ich ilorazu i będzie odpowiedzią na ten problem.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z najczęstszych błędów przy pisaniu odpowiedzi na zadanie mające na celu obliczenie kąta między wektorami jest decyzja o napisaniu, że wektory są równoległe, czyli pożądany kąt okazał się równy 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest błędna.

Po otrzymaniu w wyniku rozwiązania wartości kąta równej 0 stopni poprawną odpowiedzią byłoby wyznaczenie wektorów jako współkierunkowych, czyli wektory będą miały ten sam kierunek. W przypadku uzyskania 180 stopni wektory będą miały charakter przeciwnych kierunków.

Określone wektory

Znajdując kąty między wektorami, można znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej współkierowanych i przeciwnie skierowanych.

• Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się koplanarnymi.
• Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
• Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
• Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, to nazywa się to zerem, a jeśli jest jeden, to nazywa się je jeden.

Instrukcja

Niech na płaszczyźnie dane będą dwa niezerowe wektory wykreślone z jednego punktu: wektor A o współrzędnych (x1, y1) B o współrzędnych (x2, y2). Zastrzyk między nimi jest oznaczony jako θ. Aby znaleźć miarę stopnia kąta θ, musisz użyć definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi, czyli (A,B)=|A|*|B|*cos( ). Teraz musisz wyrazić cosinus kąta z tego: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Iloczyn skalarny można również znaleźć za pomocą wzoru (A,B)=x1*x2+y1*y2, ponieważ iloczyn dwóch niezerowych wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich wektorów. Jeżeli iloczyn skalarny wektorów niezerowych jest równy zero, to wektory są prostopadłe (kąt między nimi wynosi 90 stopni) i dalsze obliczenia można pominąć. Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni, to kąt między nimi wektory ostry, a jeśli ujemny, to kąt jest rozwarty.

Teraz oblicz długości wektorów A i B ze wzorów: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Długość wektora jest obliczana jako Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Podstaw znalezione wartości iloczynu skalarnego i długości wektorów do wzoru na kąt otrzymany w kroku 2, czyli cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Teraz, znając wartość , znaleźć miarę kąta między wektory musisz użyć tabeli Bradis lub wziąć z tego: θ=arccos(cos(θ)).

Jeżeli wektory A i B są podane w przestrzeni trójwymiarowej i mają odpowiednio współrzędne (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2), to przy wyznaczaniu cosinusa kąta dodawana jest jeszcze jedna współrzędna. W tym przypadku cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Pomocna rada

Jeśli dwa wektory nie są wykreślone z jednego punktu, to aby znaleźć kąt między nimi przez translację równoległą, musisz połączyć początki tych wektorów.
Kąt między dwoma wektorami nie może być większy niż 180 stopni.

Źródła:

• jak obliczyć kąt między wektorami
• Kąt między linią a płaszczyzną

Aby rozwiązać wiele problemów, zarówno aplikacyjnych, jak i teoretycznych, w fizyce i algebrze liniowej, konieczne jest obliczenie kąta między wektorami. To pozornie proste zadanie może przysporzyć wielu trudności, jeśli nie zrozumiesz do końca istoty iloczynu skalarnego i jaka wartość pojawia się w wyniku tego iloczynu.

Instrukcja

Kąt między wektorami w liniowej przestrzeni wektorowej jest minimalnym kątem przy , przy którym osiągany jest współkierunek wektorów. Jeden z wektorów jest przenoszony wokół punktu początkowego. Z definicji wynika, że ​​wartość kąta nie może przekraczać 180 stopni (patrz krok).

W tym przypadku całkiem słusznie przyjmuje się, że w przestrzeni liniowej, gdy wektory są przenoszone równolegle, kąt między nimi nie zmienia się. Dlatego dla analitycznego obliczenia kąta orientacja przestrzenna wektorów nie ma znaczenia.

Wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba, inaczej skalar. Pamiętaj (to ważne, aby wiedzieć), aby uniknąć błędów w dalszych obliczeniach. Wzór na iloczyn skalarny, znajdujący się na płaszczyźnie lub w przestrzeni wektorów, ma postać (patrz rysunek dla kroku).

Jeśli wektory znajdują się w przestrzeni, wykonaj obliczenia w podobny sposób. Jedyną rzeczą będzie pojawienie się tego terminu w dywidendzie - tak określa się wnioskodawcę, czyli trzeci składnik wektora. W związku z tym przy obliczaniu modułu wektorów należy również wziąć pod uwagę składnik z, a następnie dla wektorów znajdujących się w przestrzeni, ostatnie wyrażenie jest przekształcane w następujący sposób (patrz rysunek 6 do kroku).

Wektor to odcinek linii o określonym kierunku. Kąt między wektorami ma fizyczne znaczenie, na przykład podczas znajdowania długości rzutu wektora na oś.

Instrukcja

Kąt między dwoma niezerowymi wektorami przy użyciu obliczenia iloczynu skalarnego. Z definicji iloczyn jest równy iloczynowi długości i kąta między nimi. Z drugiej strony obliczany jest iloczyn skalarny dwóch wektorów a o współrzędnych (x1; y1) i b o współrzędnych (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Z tych dwóch sposobów iloczyn skalarny można łatwo ustawić pod kątem między wektorami.

Znajdź długości lub moduły wektorów. Dla naszych wektorów a i b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów, mnożąc ich współrzędne w parach: ab = x1x2 + y1y2. Z definicji iloczynu skalarnego ab = |a|*|b|*cos α, gdzie α jest kątem między wektorami. Wtedy otrzymujemy, że x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Wtedy cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Znajdź kąt α, korzystając z tabel Bradysa.

Powiązane wideo

Notatka

Iloczyn skalarny jest skalarną charakterystyką długości wektorów i kąta między nimi.

Płaszczyzna to jedno z podstawowych pojęć w geometrii. Płaszczyzna to powierzchnia, dla której stwierdzenie jest prawdziwe — każda linia prosta łącząca dwa jej punkty należy w całości do tej powierzchni. Samoloty są wyznaczone litery greckieα, β, γ itd. Dwie płaszczyzny zawsze przecinają się w linii prostej należącej do obu płaszczyzn.

Instrukcja

Rozważmy półpłaszczyzny α i β utworzone na przecięciu . Kąt utworzony przez linię prostą a oraz dwie półpłaszczyzny α i β przez kąt dwuścienny. W tym przypadku półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny przez ściany, linia a, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, nazywana jest krawędzią kąt dwuścienny.

Kąt dwuścienny, jak kąt płaski, w stopniach. Aby uzyskać kąt dwuścienny, należy wybrać na jego powierzchni dowolny punkt O. W obu dwóch promieniach a są przeciągnięte przez punkt O. Wynikowy kąt AOB nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego a.

Niech więc dane będą wektor V = (a, b, c) i płaszczyzna A x + B y + C z = 0, gdzie A, B i C są współrzędnymi normalnej N. Następnie cosinus kąta α między wektorami V i N wynosi: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Aby obliczyć kąt w stopniach lub radianach, musisz obliczyć funkcję odwrotną do cosinusa z otrzymanego wyrażenia, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Przykład: znajdź zastrzyk pomiędzy wektor(5, -3, 8) i samolot, dane ogólnym równaniem 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rozwiązanie: zapisz współrzędne wektora normalnego płaszczyzny N = (2, -5, 3). Zastąp wszystko znane wartości w powyższym wzorze: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Powiązane wideo

Napisz równanie i wydziel z niego cosinus. Według jednego wzoru iloczyn skalarny wektorów jest równy ich długościom pomnożonym przez siebie i przez cosinus kąt, az drugiej - suma iloczynów współrzędnych wzdłuż każdej z osi. Zrównując obie formuły, możemy stwierdzić, że cosinus kąt musi być równy stosunkowi sumy iloczynów współrzędnych do iloczynu długości wektorów.

Zapisz otrzymane równanie. Aby to zrobić, musimy wyznaczyć oba wektory. Powiedzmy, że są one podane w układzie kartezjańskim 3D, a ich punkty początkowe znajdują się w siatce. Kierunek i wielkość pierwszego wektora będzie określał punkt (X₁,Y₁,Z₁), drugiego - (X₂,Y₂,Z₂), a kąt literą γ. Wtedy długości każdego z wektorów mogą być na przykład zgodne z twierdzeniem Pitagorasa o utworzonym przez ich rzuty na każdą z osi współrzędnych: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) oraz √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Podstaw te wyrażenia we wzorze sformułowanym w poprzednim kroku, a otrzymasz równość: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²)).

Wykorzystaj fakt, że suma do kwadratu Zatoka i co Zatoka od kąt jedna wartość zawsze daje jedną. Stąd, podnosząc to, co uzyskano w poprzednim kroku dla co Zatoka do kwadratu i odjęte od jedności, a następnie

Iloczyn skalarny wektorów

Nadal mamy do czynienia z wektorami. Na pierwszej lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy pojęcie wektora, operacje na wektorach, współrzędne wektora i najprostsze problemy z wektorami. Jeśli trafiłeś na tę stronę po raz pierwszy z wyszukiwarki, gorąco polecam zapoznanie się z powyższym artykuł wprowadzający, ponieważ w celu przyswojenia materiału konieczne jest poruszanie się w terminach i notacjach, których używam, posiadanie podstawowa wiedza o wektorach i umieć rozwiązywać podstawowe problemy. Ta lekcja jest logiczną kontynuacją tematu, aw niej szczegółowo przeanalizuję typowe zadania wykorzystujące iloczyn skalarny wektorów. To jest bardzo WAŻNA aktywność . Staraj się nie pomijać przykładów, towarzyszy im przydatna premia - praktyka pomoże utrwalić omawiany materiał i "dostać rękę" w rozwiązywaniu typowych problemów geometrii analitycznej.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę…. Naiwnością byłoby sądzić, że matematycy nie wymyślili czegoś innego. Oprócz już rozważonych działań istnieje szereg innych operacji na wektorach, a mianowicie: iloczyn skalarny wektorów, iloczyn krzyżowy wektorów oraz iloczyn mieszany wektorów. Iloczyn skalarny wektorów jest nam znany ze szkoły, pozostałe dwa iloczyny są tradycyjnie związane z kursem wyższa matematyka. Tematy są proste, algorytm rozwiązywania wielu problemów jest stereotypowy i zrozumiały. Jedyną rzeczą. Jest przyzwoita ilość informacji, więc niepożądane jest próba opanowania i rozwiązania WSZYSTKIEGO I NA RAZ. Dotyczy to zwłaszcza manekinów, uwierz mi, autor absolutnie nie chce czuć się jak Chikatilo z matematyki. Cóż, oczywiście nie z matematyki też =) Bardziej przygotowani uczniowie mogą korzystać z materiałów wybiórczo, w pewnym sensie „pozyskać” brakującą wiedzę, dla Ciebie będę nieszkodliwym Hrabia Drakulą =)

Na koniec otwórzmy trochę drzwi i przyjrzyjmy się, co się dzieje, gdy spotykają się dwa wektory….

Definicja iloczynu skalarnego wektorów.
Właściwości iloczynu skalarnego. Typowe zadania

Pojęcie iloczynu skalarnego

Najpierw o kąt między wektorami. Myślę, że każdy intuicyjnie rozumie, jaki jest kąt między wektorami, ale na wszelki wypadek trochę więcej. Rozważmy wolne niezerowe wektory i . Jeśli odłożymy te wektory z dowolnego punktu, otrzymamy obraz, który wielu już przedstawiło mentalnie:

Przyznaję, tutaj opisałem sytuację tylko na poziomie zrozumienia. Jeśli potrzebujesz ścisłej definicji kąta między wektorami, zapoznaj się z podręcznikiem, ale do zadań praktycznych w zasadzie tego nie potrzebujemy. Również TUTAJ I DALEJ czasami ignoruję wektory zerowe ze względu na ich małe znaczenie praktyczne. Dokonałem rezerwacji specjalnie dla zaawansowanych odwiedzających stronę, którzy mogą mi zarzucić teoretyczną niekompletność niektórych z poniższych stwierdzeń.

może przyjmować wartości od 0 do 180 stopni (od 0 do radianów) włącznie. Analitycznie biorąc pod uwagę fakt jest zapisana jako podwójna nierówność: lub (w radianach).

W literaturze ikona kąta jest często pomijana i po prostu pisana.

Definicja: Iloczyn skalarny dwóch wektorów to LICZBA równa iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi:

To dość ścisła definicja.

Skupiamy się na istotnych informacjach:

Przeznaczenie: iloczyn skalarny jest oznaczony przez lub po prostu .

Wynikiem operacji jest LICZBA: Pomnóż wektor przez wektor, aby otrzymać liczbę. Rzeczywiście, jeśli długości wektorów są liczbami, cosinus kąta jest liczbą, to ich iloczyn będzie również liczbą.

Tylko kilka przykładów na rozgrzewkę:

Przykład 1

Decyzja: Używamy formuły . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Wartości cosinusów można znaleźć w tabela trygonometryczna. Polecam go wydrukować - będzie wymagany w prawie wszystkich częściach wieży i będzie wymagany wielokrotnie.

Z czysto matematycznego punktu widzenia iloczyn skalarny jest bezwymiarowy, to znaczy wynik w tym przypadku jest tylko liczbą i tyle. Z punktu widzenia problemów fizyki iloczyn skalarny ma zawsze pewną fizyczne znaczenie, to znaczy po wyniku należy wskazać jedną lub drugą jednostkę fizyczną. Kanoniczny przykład obliczania pracy siły można znaleźć w dowolnym podręczniku (wzór jest dokładnie iloczynem skalarnym). Praca siły jest mierzona w dżulach, dlatego odpowiedź zostanie napisana dość konkretnie, na przykład.

Przykład 2

Znajdź, jeśli , a kąt między wektorami wynosi .

To jest przykład do samodzielnego podjęcia decyzji, odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

Kąt między wektorami a wartością iloczynu skalarnego

W przykładzie 1 iloczyn skalarny okazał się dodatni, aw przykładzie 2 ujemny. Dowiedzmy się, od czego zależy znak iloczynu skalarnego. Spójrzmy na naszą formułę: . Długości niezerowych wektorów są zawsze dodatnie: , więc znak może zależeć tylko od wartości cosinusa.

Notatka: Aby lepiej zrozumieć poniższe informacje, lepiej przestudiować wykres cosinus w podręczniku Wykresy i właściwości funkcji. Zobacz, jak zachowuje się cosinus na segmencie.

Jak już wspomniano, kąt między wektorami może się różnić w granicach , a możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli zastrzyk między wektorami Pikantny: (od 0 do 90 stopni), to , oraz iloczyn kropkowy będzie pozytywny współreżyserowany, kąt między nimi jest uważany za zero, a iloczyn skalarny również będzie dodatni. Ponieważ , wzór jest uproszczony: .

2) Jeśli zastrzyk między wektorami tępy: (od 90 do 180 stopni), to i odpowiednio iloczyn skalarny jest ujemny: . Przypadek szczególny: jeśli wektory skierowane przeciwnie, wtedy uwzględniany jest kąt między nimi rozmieszczony: (180 stopni). Iloczyn skalarny jest również ujemny, ponieważ

Odwrotne stwierdzenia są również prawdziwe:

1) Jeśli , to kąt między tymi wektorami jest ostry. Alternatywnie wektory są współkierunkowe.

2) Jeśli , to kąt między tymi wektorami jest rozwarty. Alternatywnie wektory są skierowane przeciwnie.

Ale trzeci przypadek jest szczególnie interesujący:

3) Jeśli zastrzyk między wektorami prosty: (90 stopni) wtedy i iloczyn skalarny wynosi zero: . Odwrotność jest również prawdziwa: jeśli , to . Zwięzłe stwierdzenie jest sformułowane w następujący sposób: Iloczyn skalarny dwóch wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy dane wektory są ortogonalne. krótki notacja matematyczna:

! Notatka : powtarzać podstawy logiki matematycznej: dwustronna ikona konsekwencji logicznej jest zwykle czytana „jeśli i tylko wtedy”, „jeśli i tylko wtedy”. Jak widać, strzały są skierowane w obie strony - „z tego wynika to i odwrotnie - z tego wynika to”. Nawiasem mówiąc, jaka jest różnica od ikony śledzenia w jedną stronę ? Twierdzenia ikon tylko toże „z tego wynika to”, a nie fakt, że jest odwrotnie. Na przykład: , ale nie każde zwierzę jest panterą, więc w tym przypadku nie można użyć ikony. Jednocześnie zamiast ikony mogą użyj ikony jednostronnej. Na przykład podczas rozwiązywania problemu stwierdziliśmy, że doszliśmy do wniosku, że wektory są ortogonalne: - taki zapis będzie poprawny, a nawet bardziej odpowiedni niż .

Trzeci przypadek ma duże znaczenie praktyczne., ponieważ pozwala sprawdzić, czy wektory są ortogonalne, czy nie. Ten problem rozwiążemy w drugiej części lekcji.

Właściwości produktu kropkowego

Wróćmy do sytuacji, gdy dwa wektory współreżyserowany. W tym przypadku kąt między nimi zero, , a formuła iloczynu skalarnego przyjmuje postać: .

Co się stanie, jeśli wektor zostanie pomnożony przez siebie? Jasne jest, że wektor jest współkierujący ze sobą, więc posługujemy się powyższym uproszczonym wzorem:

Numer nazywa się kwadrat skalarny wektor i są oznaczone jako .

Zatem, kwadrat skalarny wektora jest równy kwadratowi długości danego wektora:

Z tej równości można uzyskać wzór na obliczenie długości wektora:

Choć wydaje się to niejasne, ale zadania lekcji ułożą wszystko na swoim miejscu. Do rozwiązywania problemów potrzebujemy również właściwości kropki.

Dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) - przestawny lub przemienny prawo produktu skalarnego.

2) - dystrybucja lub dystrybucyjny prawo produktu skalarnego. Mówiąc najprościej, możesz otworzyć nawiasy.

3) - kombinacja lub asocjacyjny prawo produktu skalarnego. Stałą można pobrać z iloczynu skalarnego.

Często wszelkiego rodzaju nieruchomości (które też trzeba udowodnić!) są postrzegane przez studentów jako: graty, który wystarczy zapamiętać i bezpiecznie zapomnieć zaraz po egzaminie. Wydawałoby się, że co tu ważne, każdy już od pierwszego stopnia wie, że produkt nie zmienia się z permutacji czynników:. Muszę cię ostrzec, w wyższej matematyce przy takim podejściu łatwo jest coś zepsuć. Na przykład przemienność nie obowiązuje dla macierze algebraiczne. To nieprawda dla iloczyn krzyżowy wektorów. Dlatego przynajmniej lepiej jest zagłębić się w dowolne właściwości, które napotkasz w trakcie wyższej matematyki, aby zrozumieć, co można, a czego nie można zrobić.

Przykład 3

.

Decyzja: Najpierw wyjaśnijmy sytuację z wektorem. O co w tym wszystkim chodzi? Suma wektorów i jest dobrze zdefiniowanym wektorem, który jest oznaczony przez . Interpretację geometryczną działań z wektorami można znaleźć w artykule Wektory dla manekinów. Ta sama pietruszka z wektorem jest sumą wektorów i .

Tak więc, zgodnie z warunkiem, wymagane jest znalezienie iloczynu skalarnego. Teoretycznie musisz zastosować działającą formułę , ale problem polega na tym, że nie znamy długości wektorów i kąta między nimi. Ale w warunku podobne parametry są podane dla wektorów, więc pójdziemy w drugą stronę:

(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .

(2) Nawiasy otwieramy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów, w artykule można znaleźć wulgarny łamacz języka Liczby zespolone lub Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej. Nie będę się powtarzał =) Nawiasem mówiąc, własność rozdzielności iloczynu skalarnego pozwala nam otworzyć nawiasy. Mamy prawo.

(3) W pierwszym i ostatnim wyrazie zapisujemy zwięźle kwadraty skalarne wektorów: . W drugim członie posługujemy się przemiennością iloczynu skalarnego: .

(4) Oto podobne terminy: .

(5) W pierwszym terminie posługujemy się formułą skalarno-kwadratową, o której nie tak dawno wspomniano. W ostatnim semestrze, odpowiednio, działa to samo: . Drugi termin jest rozszerzony zgodnie ze standardową formułą .

(6) Zastąp te warunki i STARANNIE wykonać obliczenia końcowe.

Odpowiedź:

Negatywne znaczenie iloczyn skalarny oznacza, że ​​kąt między wektorami jest rozwarty.

Zadanie jest typowe, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 4

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i , jeśli wiadomo, że .

Teraz kolejne wspólne zadanie, tylko dla nowego wzoru na długość wektora. Oznaczenia tutaj będą się trochę pokrywać, więc dla jasności przepiszę je inną literą:

Przykład 5

Znajdź długość wektora, jeśli .

Rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

(1) Podajemy wyrażenie wektorowe .

(2) Używamy wzoru na długość: , podczas gdy wektorem „ve” jest wyrażenie całkowite.

(3) Używamy wzoru szkolnego do kwadratu sumy. Zwróć uwagę na to, jak ciekawie to tutaj działa: - w rzeczywistości jest to kwadrat różnicy i w rzeczywistości tak jest. Ci, którzy chcą, mogą przestawiać wektory w miejscach: - okazało się, że to samo aż do zmiany terminów.

(4) To, co następuje, jest już znane z dwóch poprzednich problemów.

Odpowiedź:

Ponieważ mówimy o długości, nie zapomnij podać wymiaru - „jednostki”.

Przykład 6

Znajdź długość wektora, jeśli .

To jest przykład zrób to sam. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Nadal wyciskamy przydatne rzeczy z produktu skalarnego. Przyjrzyjmy się jeszcze raz naszej formule . Zgodnie z zasadą proporcji ustawiamy długości wektorów na mianownik po lewej stronie:

Zamieńmy części:

Jakie jest znaczenie tej formuły? Jeśli znane są długości dwóch wektorów i ich iloczyn skalarny, można obliczyć cosinus kąta między tymi wektorami, a w konsekwencji sam kąt.

Czy iloczyn skalarny jest liczbą? Numer. Czy długości wektorów są liczbami? Liczby. Więc ułamek to także liczba. A jeśli cosinus kąta jest znany: , a następnie za pomocą funkcja odwrotnałatwo jest znaleźć sam róg: .

Przykład 7

Znajdź kąt między wektorami i , jeśli wiadomo, że .

Decyzja: Używamy formuły:

Na ostatnie stadium W obliczeniach zastosowano technikę - eliminację irracjonalności w mianowniku. W celu wyeliminowania irracjonalności pomnożyłem licznik i mianownik przez .

Więc jeśli , następnie:

Wartości odwrotne funkcje trygonometryczne można znaleźć przez tabela trygonometryczna. Chociaż to się rzadko zdarza. W problemach geometrii analitycznej znacznie częściej pojawiają się jakieś niezdarne niedźwiedzie, a wartość kąta trzeba w przybliżeniu znaleźć za pomocą kalkulatora. W rzeczywistości zobaczymy to zdjęcie raz za razem.

Odpowiedź:

Ponownie nie zapomnij określić wymiaru - radiany i stopnie. Osobiście, aby celowo „usunąć wszystkie pytania”, wolę wskazać oba (o ile oczywiście warunkowo nie jest wymagane podawanie odpowiedzi tylko w radianach lub tylko w stopniach).

Teraz możesz sobie poradzić z więcej trudne zadanie:

Przykład 7*

Podane są długości wektorów i kąt między nimi. Znajdź kąt między wektorami , .

Zadanie jest nie tyle trudne, co wielokierunkowe.
Przeanalizujmy algorytm rozwiązania:

1) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie kąta między wektorami i , więc musisz użyć wzoru .

2) Znajdujemy iloczyn skalarny (patrz przykłady nr 3, 4).

3) Znajdź długość wektora i długość wektora (patrz przykłady nr 5, 6).

4) Zakończenie rozwiązania pokrywa się z Przykładem nr 7 - znamy liczbę , co oznacza, że ​​łatwo jest znaleźć sam kąt:

Szybkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Druga część lekcji poświęcona jest temu samemu iloczynowi skalarnemu. Współrzędne. Będzie jeszcze łatwiej niż w pierwszej części.

Iloczyn skalarny wektorów,
podane przez współrzędne w bazie ortonormalnej

Odpowiedź:

Nie trzeba dodawać, że radzenie sobie ze współrzędnymi jest znacznie przyjemniejsze.

Przykład 14

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i jeśli

To jest przykład zrób to sam. Tutaj możesz użyć asocjatywności operacji, to znaczy nie liczyć, ale natychmiast wyjąć trójkę z iloczynu skalarnego i pomnożyć przez niego jako ostatni. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Na końcu akapitu prowokacyjny przykład obliczania długości wektora:

Przykład 15

Znajdź długości wektorów , Jeśli

Decyzja: znowu pytam o sposób Poprzednia sekcja: , ale jest inny sposób:

Znajdźmy wektor:

A jego długość według banalnego wzoru :

Iloczyn skalarny w ogóle nie ma tu znaczenia!

Jak wypada przy obliczaniu długości wektora:
Zatrzymać. Dlaczego nie skorzystać z oczywistej właściwości długości wektora? Co można powiedzieć o długości wektora? Ten wektor jest 5 razy dłuższy niż wektor. Kierunek jest odwrotny, ale to nie ma znaczenia, bo mówimy o długości. Oczywiście długość wektora jest równa iloczynowi moduł liczby na długość wektora:
- znak modułu „zjada” możliwy minus liczby.

Zatem:

Odpowiedź:

Wzór na cosinus kąta między wektorami podanymi przez współrzędne

Teraz mamy pełną informację, aby wyprowadzony wcześniej wzór na cosinus kąta między wektorami wyrazić w postaci współrzędnych wektorowych:

Cosinus kąta między wektorami płaskimi i , podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:
.

Cosinus kąta między wektorami przestrzennymi, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:

Przykład 16

Podano trzy wierzchołki trójkąta. Znajdź (kąt wierzchołka ).

Decyzja: Warunek nie jest wymagany, ale nadal:

Wymagany kąt zaznaczony jest zielonym łukiem. Natychmiast przypomnij sobie szkolne oznaczenie kąta: - Specjalna uwaga na środkowy litera - jest to wierzchołek kąta, którego potrzebujemy. Dla zwięzłości można go również napisać po prostu.

Z rysunku widać, że kąt trójkąta pokrywa się z kątem między wektorami i , czyli innymi słowy: .

Pożądane jest nauczenie się wykonywania analizy wykonywanej mentalnie.

Znajdźmy wektory:

Obliczmy iloczyn skalarny:

A długości wektorów:

Cosinus kąta:

Właśnie taką kolejność zadań polecam manekinom. Bardziej zaawansowani czytelnicy mogą pisać obliczenia „w jednym wierszu”:

Oto przykład „złej” wartości cosinusa. Wynikowa wartość nie jest ostateczna, więc nie specjalne znaczenie pozbyć się irracjonalności w mianowniku.

Znajdźmy kąt:

Jeśli spojrzysz na rysunek, wynik jest całkiem prawdopodobny. Aby sprawdzić kąt można również zmierzyć kątomierzem. Nie uszkadzaj powłoki monitora =)

Odpowiedź:

W odpowiedzi nie zapomnij o tym zapytany o kąt trójkąta(a nie o kącie między wektorami), nie zapomnij podać dokładnej odpowiedzi: i przybliżonej wartości kąta: znaleźć za pomocą kalkulatora.

Ci, którym podobał się ten proces, mogą obliczyć kąty i upewnić się, że równość kanoniczna jest prawdziwa

Przykład 17

Trójkąt jest podany w przestrzeni przez współrzędne jego wierzchołków. Znajdź kąt między bokami i

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji

Mała, końcowa część poświęcona będzie projekcjom, w których „uczestniczy” również iloczyn skalarny:

Rzut wektora na wektor. Rzut wektorowy na osie współrzędnych.
Cosinusy kierunku wektora

Rozważ wektory i :

Projektujemy wektor na wektor , w tym celu pomijamy początek i koniec wektora prostopadłe na wektor (zielone linie przerywane). Wyobraź sobie, że promienie światła padają prostopadle na wektor. Wtedy odcinek (czerwona linia) będzie „cieniem” wektora. W tym przypadku rzutem wektora na wektor jest DŁUGOŚĆ segmentu. Oznacza to, że PROJEKCJA TO LICZBA.

Ta LICZBA jest oznaczona następująco: , "duży wektor" oznacza wektor KTÓRY projekt, „mały wektor indeksu dolnego” oznacza wektor NA który jest przewidywany.

Sam wpis brzmi tak: „rzut wektora „a” na wektor „być”.

Co się stanie, jeśli wektor „być” jest „zbyt krótki”? Rysujemy linię prostą zawierającą wektor „być”. A wektor „a” będzie już rzutowany w kierunku wektora „być”, po prostu - na linii prostej zawierającej wektor "być". To samo stanie się, jeśli wektor „a” zostanie odłożony na bok w trzydziestym królestwie - nadal będzie łatwo rzutowany na linię zawierającą wektor „be”.

Jeśli kąt między wektorami Pikantny(jak na zdjęciu), to

Jeśli wektory prostokątny, wtedy (rzutem jest punkt, którego wymiary przyjmuje się jako zero).

Jeśli kąt między wektorami tępy(na rysunku zmień mentalnie strzałkę wektora), a następnie (ta sama długość, ale ze znakiem minus).

Odłóż te wektory na bok z jednego punktu:

Oczywiście podczas przesuwania wektora jego rzut się nie zmienia

Kąt między dwoma wektorami , :

Jeśli kąt między dwoma wektorami jest ostry, to ich iloczyn skalarny jest dodatni; jeśli kąt między wektorami jest rozwarty, to iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy te wektory są ortogonalne.

Ćwiczenie. Znajdź kąt między wektorami i

Decyzja. Cosinus żądanego kąta

16. Obliczanie kąta między liniami prostymi, linią prostą i płaszczyzną

Kąt między linią a płaszczyzną przecięcie tej linii, a nie prostopadłe do niej, jest kątem między linią a jej rzutem na tę płaszczyznę.

Wyznaczenie kąta pomiędzy linią a płaszczyzną pozwala stwierdzić, że kąt pomiędzy linią a płaszczyzną to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami: samą linią i jej rzutem na płaszczyznę. Dlatego kąt między linią a płaszczyzną jest kątem ostrym.

Kąt między linią prostopadłą a płaszczyzną jest uważany za równy, a kąt między linią równoległą a płaszczyzną albo nie jest w ogóle określony, albo jest uważany za równy .

§ 69. Obliczanie kąta między liniami prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni jest rozwiązywany w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie (§ 32). Oznacz przez φ kąt między liniami ja 1 i ja 2 , a przez ψ - kąt między wektorami kierunku a oraz b te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ 90° (rys. 206.6), następnie φ = 180° - ψ. Jest oczywiste, że w obu przypadkach równość cos φ = |cos ψ| jest prawdziwa. Według wzoru (1) § 20 mamy

W konsekwencji,

Niech linie będą podane przez ich równania kanoniczne

Następnie kąt φ między prostymi wyznacza się ze wzoru

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest określona równaniami niekanonicznymi, to do obliczenia kąta należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie użyć wzoru (1).

17. Proste równoległe, Twierdzenia o prostych równoległych

Definicja. Nazywa się dwie linie w samolocie równoległy jeśli nie mają wspólnych punktów.

Nazywa się dwie linie w trzech wymiarach równoległy jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

Kąt między dwoma wektorami.

Z definicji iloczynu skalarnego:

.

Warunek ortogonalności dwóch wektorów:

Warunek kolinearności dla dwóch wektorów:

.

Wynika z definicji 5 - . Rzeczywiście, z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika. Dlatego w oparciu o zasadę równości wektorów piszemy , , , co implikuje . Ale wektor powstały w wyniku pomnożenia wektora przez liczbę jest współliniowy z wektorem .

Projekcja wektor-wektor:

.

Przykład 4. Podane punkty , , , .

Znajdź iloczyn skalarny.

Rozwiązanie. znajdujemy na podstawie wzoru iloczynu skalarnego wektorów podanego przez ich współrzędne. O ile

, ,

Przykład 5 Podane punkty , , , .

Znajdź projekcję.

Rozwiązanie. O ile

, ,

Na podstawie wzoru projekcyjnego mamy

.

Przykład 6 Podane punkty , , , .

Znajdź kąt między wektorami i .

Rozwiązanie. Zauważ, że wektory

, ,

nie są współliniowe, ponieważ ich współrzędne nie są proporcjonalne:

.

Te wektory również nie są prostopadłe, ponieważ ich iloczyn skalarny to .

Znajdźmy,

Zastrzyk znajdź z formuły:

.

Przykład 7 Określ, dla których wektorów i współliniowy.

Rozwiązanie. W przypadku kolinearności odpowiednie współrzędne wektorów i musi być proporcjonalny, czyli:

.

Stąd i .

Przykład 8. Określ, przy jakiej wartości wektora oraz są prostopadłe.

Rozwiązanie. Wektor i są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Z tego warunku otrzymujemy: . To jest, .

Przykład 9. Znaleźć , jeśli , , .

Rozwiązanie. Ze względu na właściwości produktu skalarnego posiadamy:

Przykład 10. Znajdź kąt między wektorami i , gdzie i - wektory jednostkowe oraz kąt między wektorami i wynosi 120o.

Rozwiązanie. Mamy: , ,

Wreszcie mamy: .

5 B. produkt wektorowy.

Definicja 21.grafika wektorowa wektor na wektor jest nazywany wektorem lub , zdefiniowanym przez następujące trzy warunki:

1) Moduł wektora to , gdzie jest kątem między wektorami i , tj. .

Wynika z tego, że moduł iloczynu wektorowego jest liczbowo równa powierzchni równoległobok zbudowany na wektorach i jak na bokach.

2) Wektor jest prostopadły do ​​każdego z wektorów i ( ; ), tj. prostopadłe do płaszczyzny równoległoboku zbudowanego na wektorach i .

3) Wektor skierowany jest w taki sposób, że patrząc od jego końca, najkrótszy skręt od wektora do wektora byłby przeciwny do ruchu wskazówek zegara (wektory , , tworzą prawą trójkę).

Jak obliczyć kąty między wektorami?

Podczas studiowania geometrii pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Student ma szczególne trudności, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe warunki

Przed rozważeniem kątów między wektorami konieczne jest zapoznanie się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek, który ma kierunek, to znaczy odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, to mniejszy z kątów, o który trzeba przesunąć jeden z wektorów wokół wspólnego punktu, do pozycji, w której ich kierunki się pokrywają.

Formuła rozwiązania

Gdy zrozumiesz, czym jest wektor i jak określa się jego kąt, możesz obliczyć kąt między wektorami. Wzór na rozwiązanie tego jest dość prosty, a wynikiem jego zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Z definicji jest równy ilorazowi iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów jest uważany za sumę odpowiednich współrzędnych wektorów mnożnikowych pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego moduł oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta można obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Po ustaleniu, jak obliczyć kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu staje się proste i jednoznaczne. Jako przykład rozważ prosty problem ze znalezieniem wielkości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędnego do rozwiązania. Korzystając z powyższego opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa pożądanego kąta:

Ta liczba nie jest jedną z pięciu wspólnych wartości cosinusów, więc aby uzyskać wartość kąta, będziesz musiał użyć kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale zanim uzyskasz kąt między wektorami, wzór można uprościć, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Ostateczną odpowiedź można pozostawić w tej formie, aby zachować dokładność, lub obliczyć wartość kąta w stopniach. Według tabeli Bradisa jego wartość wyniesie około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator wskaże 116,57 stopnia.

Obliczanie kątów w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej, znacznie trudniej jest zrozumieć, o jakim kącie mówimy, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą między nimi najmniejszy kąt i będzie to pożądany. Pomimo obecności trzeciej współrzędnej w wektorze, proces obliczania kątów między wektorami nie ulegnie zmianie. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów, arcus cosinus ich ilorazu i będzie odpowiedzią na ten problem.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z najczęstszych błędów przy pisaniu odpowiedzi na zadanie mające na celu obliczenie kąta między wektorami jest decyzja o napisaniu, że wektory są równoległe, czyli pożądany kąt okazał się równy 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest błędna.

Po otrzymaniu w wyniku rozwiązania wartości kąta równej 0 stopni poprawną odpowiedzią byłoby wyznaczenie wektorów jako współkierunkowych, czyli wektory będą miały ten sam kierunek. W przypadku uzyskania 180 stopni wektory będą miały charakter przeciwnych kierunków.

Określone wektory

Znajdując kąty między wektorami, można znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej współkierowanych i przeciwnie skierowanych.

• Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się koplanarnymi.
• Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
• Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
• Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, to nazywa się to zerem, a jeśli jest jeden, to nazywa się je jeden.

Jak znaleźć kąt między wektorami?

Pomóż mi proszę! Znam wzór, ale nie potrafię go rozgryźć
wektor a (8; 10; 4) wektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titow

Kąt między wektorami podany przez ich współrzędne znajduje się zgodnie ze standardowym algorytmem. Najpierw musisz znaleźć iloczyn skalarny wektorów aib: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Zastępujemy tutaj współrzędne tych wektorów i rozważamy:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Następnie określamy długości każdego z wektorów. Długość lub moduł wektora to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:
|a| = pierwiastek z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = pierwiastek z (8^2 + 10^2 + 4^2) = pierwiastek z (64 + 100 + 16) = pierwiastek z 180 = 6 pierwiastków z 5
|b| = pierwiastek kwadratowy z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = pierwiastek kwadratowy z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = pierwiastek kwadratowy z (25 + 400 + 100 ) = pierwiastek kwadratowy z 525 = 5 pierwiastków z 21.
Mnożymy te długości. Otrzymujemy 30 korzeni ze 105.
I na koniec dzielimy iloczyn skalarny wektorów przez iloczyn długości tych wektorów. Otrzymujemy -200 / (30 korzeni z 105) lub
- (4 pierwiastki z 105) / 63. Jest to cosinus kąta między wektorami. A sam kąt jest równy cosinusowi łuku tej liczby
f \u003d arccos (-4 korzenie 105) / 63.
Jeśli dobrze policzyłem.

Jak obliczyć sinus kąta między wektorami ze współrzędnych wektorów

Michaił Tkaczew

Mnożymy te wektory. Ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusowi kąta między nimi.
Kąt nie jest nam znany, ale współrzędne są znane.
Zapiszmy to matematycznie w ten sposób.
Niech, dane wektory a(x1;y1) i b(x2;y2)
Następnie

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Kłócimy się.
a*b-iloczyn skalarny wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych współrzędnych tych wektorów, czyli równy x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-iloczyn długości wektora jest równy √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Więc cosinus kąta między wektorami to:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Znając cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus. Porozmawiajmy, jak to zrobić:

Jeśli cosinus kąta jest dodatni, to ten kąt leży w 1 lub 4 ćwiartkach, więc jego sinus jest dodatni lub ujemny. Ale ponieważ kąt między wektorami jest mniejszy lub równy 180 stopni, to jego sinus jest dodatni. Podobnie argumentujemy, jeśli cosinus jest ujemny.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To wszystko)))) powodzenia w rozwiązaniu tego)))

Dmitrij Lewiszczow

To, że nie da się bezpośrednio sine, nie jest prawdą.
Oprócz formuły:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Jest też ten:
||=|a|*|b|*sin A
Oznacza to, że zamiast iloczynu skalarnego możesz wziąć moduł iloczynu wektorowego.