Il teorema seno è uguale a due raggi. Dimostrazione del teorema seno

Costruiamo un triangolo arbitrario inscritto in una circonferenza. Indichiamolo come ABC.
Per dimostrare l'intero teorema, poiché le dimensioni del triangolo sono scelte arbitrariamente, basta provare che il rapporto di un lato arbitrario con l'angolo opposto ad esso è uguale a 2R. Sia 2R = a / sin α, cioè se prendiamo 2R = BC / sin A secondo il disegno.

Disegna il diametro BD per il cerchio circoscritto. Il triangolo risultante BCD è rettangolo perché la sua ipotenusa si trova sul diametro del cerchio circoscritto (una proprietà degli angoli inscritti in un cerchio).

Poiché gli angoli inscritti in una circonferenza, basati sullo stesso arco, sono uguali, allora l'angolo CDB è uguale all'angolo CAB (se i punti A e D giacciono dallo stesso lato della retta BC), oppure è uguale a π - CABINA (altrimenti) .

Diamo un'occhiata alle proprietà funzioni trigonometriche. Poiché sin(π − α) = sin α, le opzioni indicate per costruire un triangolo porteranno comunque allo stesso risultato.

Calcola il valore 2R = a / sin α, secondo il disegno 2R = BC / sin A. Per fare ciò, sostituisci sin A con il rapporto dei lati corrispondenti di un triangolo rettangolo.

2R=BC/sinA
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

E poiché DB è stato costruito come il diametro di un cerchio, l'uguaglianza è vera.
Ripetendo lo stesso ragionamento per gli altri due lati del triangolo, otteniamo:

Il teorema seno è stato dimostrato.

Teorema seno

Nota. Questa è parte della lezione con problemi di geometria (sezione del teorema seno). Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria, che non è qui, scrivi al riguardo nel forum. Nelle attività, invece del simbolo "radice quadrata", viene utilizzata la funzione sqrt(), in cui sqrt è il simbolo radice quadrata, e tra parentesi è l'espressione radice.

Teorema seno:
I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti o, in una formulazione estesa:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta

Teoria - per la formulazione e la dimostrazione del teorema si veda in dettaglio il capitolo "Teorema dei seni". .

Compito

Nel triangolo XYZ angolo X=30 angolo Z=15. La perpendicolare YQ a ZY divide il lato XZ nelle parti XQ e QZ Trova XY se QZ=1,5 m

Decisione.
L'altezza formava due triangoli rettangoli XYQ e ZYQ.
Per risolvere il problema utilizziamo il teorema del seno.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 gradi, di conseguenza, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Poiché la lunghezza dell'altezza del triangolo è ora nota, troviamo XY usando lo stesso teorema del seno.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Prendiamo in considerazione i valori tabulari di alcune funzioni trigonometriche:

il seno di 30 gradi è sin(30) = 1 / 2
il seno di 90 gradi è sin(90) = 1

QY = XY sin(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Risposta: 0,8 mo 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Teorema seno (parte 2)

Nota. Questa è parte della lezione con problemi di geometria (sezione del teorema seno). Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria, che non è qui, scrivi al riguardo nel forum .

Vedi la teoria in dettaglio nel capitolo "Teorema dei seni" .

Compito

Il lato AB del triangolo ABC misura 16 cm. L'angolo A è di 30 gradi. L'angolo B è di 105 gradi. Calcola la lunghezza del lato BC.

Decisione.
Secondo il teorema del seno, i lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
a / peccato α = b / peccato β = c / peccato γ

così
BC / sin α = AB / sin γ

Troviamo il valore dell'angolo C, in base al fatto che la somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 gradi.

In cui si:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Facendo riferimento alla tabella delle funzioni trigonometriche, troviamo:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Risposta: 16 / √2

Compito.
Nel triangolo ABC, angolo A \u003d α, angolo C \u003d β, BC \u003d 7 cm, BH è l'altezza del triangolo.
Trova AN

Prima parte del teorema: lati di un triangolo arbitrario proporzionale ai seni angoli opposti, cioè:

La seconda parte del teorema: ogni frazione è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo dato, cioè: .

Commento del tutor di matematica: l'uso della seconda parte del teorema seno è posto in quasi ogni secondo problema competitivo per un cerchio. Come mai? Il fatto è che l'uguaglianza ti permette di trovare il raggio di un cerchio che ha solo due elementi del triangolo. Questo è molto spesso usato dai compilatori di problemi forti, che selezionano specificamente la condizione in modo tale che nessun altro elemento del triangolo (e dell'intera immagine) si trovi! L'"immagine" sarà fluttuante. Questa circostanza complica notevolmente il lavoro sull'esame, perché non consente di aggirare la proprietà intrinseca.

Dimostrazione del teorema seno:

secondo il libro di testo di Atanasyan
Dimostriamo che per ogni triangolo di lati a, b, c e angoli opposti A, B e C vale la seguente uguaglianza: .
Disegna un'altezza BH dal vertice B. Sono possibili due casi:
1) Il punto H giace sul lato AC (questo è possibile quando e sono acuti).
Per definizione del seno di un angolo acuto in triangolo rettangolo ABH scriviamo

Allo stesso modo, nel triangolo CBH abbiamo . Uguagliando le espressioni per BH tra loro, otteniamo:
2)Sia H sul prolungamento del lato AC (per esempio a sinistra di A). Questo accadrà se - muto. Allo stesso modo, secondo la definizione del seno di un angolo acuto A nel triangolo ABH, scriviamo l'uguaglianza , ma poiché i seni degli angoli adiacenti sono uguali, sostituendo questa uguaglianza con , otteniamo come nel primo caso. Pertanto, indipendentemente dagli angoli A e C, l'uguaglianza è vera.
Dopo aver diviso entrambe le sue parti per otteniamo . L'uguaglianza della seconda coppia di frazioni è dimostrata in modo simile

Dimostrazione del teorema seno secondo il libro di testo di Pogorelov:

Applica la formula dell'area del triangolo per due angoli A e C:

Dopo aver eguagliato le parti giuste e ridotto a otteniamo la stessa uguaglianza della dimostrazione con il primo metodo. Da esso, allo stesso modo, otteniamo l'uguaglianza delle frazioni.

Dimostrazione della seconda parte del teorema seno:

Descriviamo un cerchio attorno al triangolo dato e tracciamo il suo diametro BD attraverso B. Poiché gli angoli D e C sono basati sullo stesso arco, sono uguali (una conseguenza del teorema degli angoli inscritti). Quindi . Applichiamo la definizione del seno dell'angolo D nel triangolo ABD: questo è ciò che doveva essere dimostrato.

Compiti per la seconda parte del teorema del seno:
1) Un trapezio è inscritto in una circonferenza di raggio 15. Le lunghezze della diagonale e le altezze del trapezio sono rispettivamente 20 e 6. Trova il lato.
2) Il raggio del cerchio circoscritto attorno al trapezio è 25, e il coseno del suo angolo ottuso è -0,28 (meno!!!). La diagonale di un trapezio forma un angolo con la base. Trova l'altezza del trapezio.
3) Un trapezio è inscritto in una circonferenza di raggio 10. Le lunghezze della diagonale e della linea mediana del trapezio sono rispettivamente 15 e 12. Trova la lunghezza del lato laterale del trapezio.
4) Olimpiadi a Accademia finanziaria 2009 Le corde del cerchio si intersecano nel punto Q. È noto che il raggio del cerchio è 4 cm. Trova la lunghezza della corda PN. Olimpiadi alla Financial Academy 2009
5) Nel triangolo PST. Un cerchio di raggio 8 cm è circoscritto attorno al punto di intersezione delle sue bisettrici e dei vertici P e T. Trova il raggio del cerchio circoscritto al triangolo PST (problema dell'autore).

Un tutor di matematica ti aiuterà sempre ad analizzare in dettaglio il teorema del seno e ad ottenere la pratica necessaria per usarlo nelle attività. Il suo studio scolastico programmato si svolge nel corso di geometria di 9a elementare sul tema della risoluzione dei triangoli (per tutti i programmi). Se devi prepararti all'esame di matematica per superare l'esame con almeno 70 punti, dovrai allenarti a risolvere forti problemi planimetrici dai numeri C4. In essi, il teorema del seno viene spesso applicato a triangoli inscritti data la relazione. Ricorda questo!

Cordiali saluti, Kolpakov Aleksandr Nikolaevich,
insegnante di matematica

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La trigonometria è ampiamente utilizzata non solo nella sezione dell'algebra - l'inizio dell'analisi, ma anche nella geometria. A questo proposito, è ragionevole supporre l'esistenza di teoremi e loro dimostrazioni relative a funzioni trigonometriche. In effetti, i teoremi del coseno e del seno derivano relazioni molto interessanti e, soprattutto, utili tra i lati e gli angoli dei triangoli.

Usando questa formula, puoi ricavare uno qualsiasi dei lati del triangolo:

La dimostrazione dell'affermazione si ricava sulla base del teorema di Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Consideriamo un triangolo arbitrario ABC. Dal vertice C abbassiamo l'altezza h alla base della figura, in questo caso la sua lunghezza non è assolutamente importante. Ora, se consideriamo un triangolo arbitrario ACB, allora possiamo esprimere le coordinate del punto C attraverso il trigonometrico funzioni cos e peccato.

Richiama la definizione di coseno e scrivi il rapporto tra i lati del triangolo ACD: cos α = AD/AC | moltiplicare entrambi i membri dell'uguaglianza per AC; AD = AC * cos α.

Prendiamo la lunghezza AC come b e otteniamo l'espressione per la prima coordinata del punto C:
x = b * cos⁡α. Allo stesso modo troviamo il valore dell'ordinata C: y = b * sin α. Successivamente, applichiamo il teorema di Pitagora ed esprimiamo h alternativamente per il triangolo ACD e DCB:

Ovviamente, entrambe le espressioni (1) e (2) sono uguali tra loro. Identifichiamo i lati di destra e diamo quelli simili:

In pratica formula data ti permette di trovare la lunghezza del lato sconosciuto del triangolo di angoli dati. Il teorema del coseno ha tre conseguenze: per un angolo retto, acuto e ottuso di un triangolo.

Sostituiamo il valore di cos α con la solita variabile x, quindi per l'angolo acuto del triangolo ABC otteniamo:

Se l'angolo risulta corretto, 2bx scomparirà dall'espressione, poiché cos 90 ° \u003d 0. Graficamente, la seconda conseguenza può essere rappresentata come segue:

Nel caso di un angolo ottuso, il segno “-” davanti al doppio argomento nella formula cambierà in “+”:

Come puoi vedere dalla spiegazione, non c'è nulla di complicato nei rapporti. Il teorema del coseno non è altro che una disposizione del teorema di Pitagora in quantità trigonometriche.

Applicazione pratica del teorema

Esercizio 1. Dato un triangolo ABC di lato BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm e cos α = ½. Trova la lunghezza del lato AB.

Per calcolare correttamente, è necessario determinare l'angolo α. Per fare ciò, fare riferimento alla tabella dei valori per le funzioni trigonometriche, secondo la quale l'arcocoseno è 1/2 per un angolo di 60°. Sulla base di ciò, utilizziamo la formula del primo corollario del teorema:

Compito 2. Per il triangolo ABC sono noti tutti i lati: AB =4√2,BC=5,AC=7. È necessario trovare tutti gli angoli della figura.

In questo caso, non puoi fare a meno di un disegno delle condizioni del problema.

Poiché i valori degli angoli rimangono sconosciuti, si dovrebbe usare formula completa per un angolo acuto.

Per analogia, non è difficile formulare e calcolare i valori di altri angoli:

In sintesi i tre angoli del triangolo dovrebbero essere 180°: 53 + 82 + 45 = 180, quindi si trova la soluzione.

Teorema seno

Il teorema afferma che tutti i lati di un triangolo arbitrario sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. I rapporti sono scritti sotto forma di una tripla uguaglianza:

La classica dimostrazione dell'affermazione viene effettuata sull'esempio di una figura inscritta in un cerchio.

Per verificare la veridicità dell'affermazione utilizzando l'esempio del triangolo ABC in figura, è necessario confermare il fatto che 2R = BC / sin A. Quindi dimostrare che anche gli altri lati corrispondono ai seni di angoli opposti, come 2R o D di un cerchio.

Per fare ciò, traiamo il diametro del cerchio dal vertice B. Dalle proprietà degli angoli inscritti in un cerchio, ∠GCB è una retta e ∠CGB è uguale a ∠CAB o (π - ∠CAB). Nel caso di un seno, quest'ultima circostanza non è significativa, poiché sin (π -α) \u003d sin α. Sulla base delle conclusioni di cui sopra, si può affermare che:

sin ∠CGB = BC/ BG o sin A = BC/2R,

Se consideriamo altri angoli della figura, otteniamo la formula estesa del teorema seno: