Formule di colata con spiegazione completa dei gradi. Formule di riduzione: dimostrazione, esempi, regola mnemonica

Argomento della lezione

Modifica di seno, coseno e tangente all'aumentare dell'angolo.

Obiettivi della lezione

Familiarizzare con nuove definizioni e ricordarne alcune già studiate.
Familiarizzare con lo schema dei cambiamenti nei valori di seno, coseno e tangente con angolo crescente.
Sviluppo - per sviluppare l'attenzione, la perseveranza, la perseveranza degli studenti, pensiero logico, discorso matematico.
Educativo - attraverso la lezione per coltivare un atteggiamento attento l'uno verso l'altro, per instillare la capacità di ascoltare i compagni, l'assistenza reciproca, l'indipendenza.

Obiettivi della lezione

Metti alla prova le conoscenze degli studenti.

Piano di lezione

Ripetizione di materiale precedentemente appreso.
Compiti ripetitivi.
Modifica di seno, coseno e tangente all'aumentare dell'angolo.
Uso pratico.

Ripetizione di materiale precedentemente studiato

Cominciamo dall'inizio e ricordiamo cosa sarà utile per rinfrescare la memoria. Che cos'è seno, coseno e tangente e a quale sezione della geometria appartengono questi concetti.

Trigonometria- é così complicato Parola greca: trigonon - triangolo, metro - misura. Pertanto, in greco significa: misurato da triangoli.

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Trigonometria Formule di riduzione.

Le formule di casting non hanno bisogno di essere insegnate, hanno bisogno di essere comprese. Comprendere l'algoritmo per il loro output. È molto facile!

Prendiamo un cerchio unitario e posizioniamo tutte le misure dei gradi (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) su di esso.

Analizziamo le funzioni sin(a) e cos(a) in ogni trimestre.

Ricorda che osserviamo la funzione sin (a) lungo l'asse Y e la funzione cos (a) lungo l'asse X.

Nel primo trimestre, si può vedere che la funzione peccato(a)>0
E funzione cos(a)>0
Il primo quarto può essere descritto attraverso una misura di grado, come (90-α) o (360+α).

Nel secondo trimestre, si può vedere che la funzione peccato(a)>0, perché l'asse y è positivo in quel trimestre.
Una funzione cos(a) perché l'asse x è negativo in quel trimestre.
Il secondo quarto può essere descritto attraverso una misura di grado, come (90+α) o (180-α).

Nel terzo trimestre, si può vedere che le funzioni peccato(a) Il terzo quarto può essere descritto in termini di gradi come (180+α) o (270-α).

Nel quarto trimestre, si può vedere che la funzione sin(a) perché l'asse y è negativo in quel trimestre.
Una funzione cos(a)>0, perché l'asse x è positivo in quel trimestre.
Il quarto quarto può essere descritto in termini di gradi come (270+α) o (360-α).

Ora diamo un'occhiata alle formule di riduzione stesse.

Ricordiamo un semplice algoritmo:
1. Trimestre.(Guarda sempre in che quartiere ti trovi).
2. Cartello.(Per un quarto, vedere funzioni coseno o seno positive o negative).
3. Se hai (90° o π/2) e (270° o 3π/2) tra parentesi, allora cambia la funzione.

E così iniziamo a smontare questo algoritmo in quarti.

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione cos(90-α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Un quarto.

Volere cos(90-α) = sin(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione sin (90-α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Un quarto.

Volere sin(90-α) = cos(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione cos(360+α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Un quarto.
2. Nel primo trimestre il segno della funzione coseno è positivo.

Volere cos(360+α) = cos(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione sin (360 + α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Un quarto.
2. Nel primo trimestre il segno della funzione seno è positivo.
3. Non ci sono (90° o π/2) e (270° o 3π/2) tra parentesi, quindi la funzione non cambia.
Volere sin(360+α) = sin(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione cos(90+α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Secondo quarto.

3. C'è (90 ° o π / 2) tra parentesi, quindi la funzione cambia da coseno a seno.
Volere cos(90+α) = -sin(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione sin (90 + α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Secondo quarto.

3. C'è (90 ° o π / 2) tra parentesi, quindi la funzione cambia da seno a coseno.
Volere sin(90+α) = cos(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione cos(180-α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Secondo quarto.
2. Nel secondo trimestre, il segno della funzione coseno è negativo.
3. Non ci sono (90° o π/2) e (270° o 3π/2) tra parentesi, quindi la funzione non cambia.
Volere cos(180-α) = cos(α)

Scopri a cosa sarà uguale l'espressione sin (180-α).
Parliamo dell'algoritmo:
1. Secondo quarto.
2. Nel secondo trimestre il segno della funzione seno è positivo.
3. Non ci sono (90° o π/2) e (270° o 3π/2) tra parentesi, quindi la funzione non cambia.
Volere sin(180-α) = sin(α)

Sto parlando del terzo e quarto trimestre in modo simile, faremo una tabella:

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Definizione. Le formule di riduzione sono formule che ti permettono di partire funzioni trigonometriche gentile con le funzioni degli argomenti. Con il loro aiuto, seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo arbitrario possono essere ridotti al seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo da 0 a 90 gradi (da 0 a radianti). Pertanto, le formule di riduzione ci consentono di passare a lavorare con angoli entro 90 gradi, il che è senza dubbio molto conveniente.

Formule di colata:

Esistono due regole per l'utilizzo delle formule cast.

1. Se l'angolo può essere rappresentato come (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), allora il nome della funzione cambia sin a cos, cos a sin, tg a ctg, ctg a tg. Se l'angolo può essere rappresentato come (π ±a) o (2*π ±a), allora il nome della funzione rimane invariato.

Guarda la figura sotto, mostra schematicamente quando il segno dovrebbe essere cambiato e quando no.

2. Segno di funzione ridotta rimane lo stesso. Se la funzione originale aveva un segno più, anche la funzione ridotta ha un segno più. Se la funzione originale aveva un segno meno, anche la funzione ridotta ha un segno meno.

La figura seguente mostra i segni delle principali funzioni trigonometriche a seconda del trimestre.

Esempio:

Calcolare

Usiamo le formule di riduzione:

Sin(150˚) è nel secondo quarto, possiamo vedere dalla figura che il segno del peccato in questo quarto è uguale a "+". Ciò significa che anche la funzione precedente avrà un segno "+". Abbiamo applicato la seconda regola.

Ora 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ è π/2. Cioè, abbiamo a che fare con il caso π / 2 + 60, quindi, secondo la prima regola, cambiamo la funzione da sin a cos. Di conseguenza, otteniamo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lezione e presentazione sul tema: "Applicazione delle formule di riduzione nella risoluzione dei problemi"

Materiali aggiuntivi
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Cosa studieremo:
1. Ripetiamo un po'.
2. Regole per le formule di riduzione.
3. Tabella delle trasformazioni per formule di riduzione.
4. Esempi.

Ripetizione di funzioni trigonometriche

Ragazzi, vi siete già imbattuti in formule fantasma, ma non sono ancora state chiamate così. Dove pensi?

Guarda i nostri disegni. Esatto, quando hanno introdotto le definizioni delle funzioni trigonometriche.

Regola per le formule di riduzione

Introduciamo la regola di base: se il segno della funzione trigonometrica contiene un numero della forma π×n/2 + t, dove n è un qualsiasi intero, allora la nostra funzione trigonometrica può essere ridotta a più in piena vista, che conterrà solo l'argomento t. Tali formule sono chiamate formule fantasma.

Ricordiamo alcune formule:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

ci sono molte formule fantasma, facciamo una regola in base alla quale determineremo le nostre funzioni trigonometriche durante l'utilizzo formule fantasma:

Se il segno della funzione trigonometrica contiene numeri della forma: π + t, π - t, 2π + t e 2π - t, la funzione non cambierà, ovvero, ad esempio, il seno rimarrà un seno, il cotangente rimarrà una cotangente.
Se il segno della funzione trigonometrica contiene numeri della forma: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t e 3π/2 - t, allora la funzione cambierà in una correlata, cioè il seno diventerà un coseno, la cotangente diventerà una tangente.
Prima della funzione risultante, devi mettere il segno che avrebbe la funzione convertita se 0

Queste regole si applicano anche quando l'argomento della funzione è in gradi!

Possiamo anche fare una tabella di conversioni di funzioni trigonometriche:

Esempi di utilizzo di formule di riduzione

1. Trasformiamo cos(π + t). Il nome della funzione rimane, ad es. otteniamo cos(t). Supponiamo quindi che π/2

2. Trasforma sin(π/2 + t). Il nome della funzione viene modificato, ad es. otteniamo cos(t). Supponiamo inoltre che 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Trasformiamo tg(π + t). Il nome della funzione rimane, ad es. otteniamo tg(t). Supponiamo inoltre che 0

4. Trasformiamo ctg(270 0 + t). Il nome della funzione cambia, cioè otteniamo tg(t). Supponiamo inoltre che 0

Problemi con formule di riduzione per soluzione indipendente

Ragazzi, convertitevi usando le nostre regole:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) peccato(2π + t),
7) peccato(π/2 + 5t),
8) peccato(π/2 - t),
9) peccato(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Appartengono alla sezione "trigonometria" della matematica. La loro essenza è portare le funzioni trigonometriche degli angoli a una forma più "semplice". Si può scrivere molto sull'importanza della loro conoscenza. Ci sono 32 di queste formule!

Non preoccuparti, non hai bisogno di impararle, come tante altre formule nel corso di matematica. Non è necessario riempirsi la testa di informazioni non necessarie, è necessario memorizzare le “chiavi” o le leggi, e ricordare o ricavare la formula desiderata non sarà un problema. A proposito, quando scrivo negli articoli "... devi imparare !!!" - questo significa che è proprio necessario impararlo.

Se non hai familiarità con le formule di riduzione, la semplicità della loro derivazione ti sorprenderà piacevolmente: esiste una "legge" con cui è facile farlo. E scriverai una qualsiasi delle 32 formule in 5 secondi.

Elencherò solo alcuni dei compiti che saranno all'esame di matematica, dove senza la conoscenza di queste formule c'è un'alta probabilità di fallire nella soluzione. Per esempio:

- compiti per risolvere un triangolo rettangolo, dove stiamo parlando di un angolo esterno, e compiti per angoli interni alcune di queste formule sono anche necessarie.
- compiti per il calcolo dei valori delle espressioni trigonometriche; trasformazioni di espressioni trigonometriche numeriche; trasformazioni di espressioni trigonometriche letterali.
– compiti per tangente e significato geometrico tangente, è richiesta una formula di riduzione per la tangente, così come altre attività.
- problemi stereometrici, nel corso della risoluzione è spesso necessario determinare il seno o coseno di un angolo compreso tra 90 e 180 gradi.

E questi sono solo quei punti che riguardano l'esame. E nel corso dell'algebra stessa ci sono molti problemi, la cui soluzione, senza la conoscenza delle formule di riduzione, è semplicemente impossibile da fare.

Quindi a cosa porta e in che modo le formule stabilite ci semplificano la soluzione dei problemi?

Ad esempio, è necessario determinare il seno, il coseno, la tangente o la cotangente di qualsiasi angolo compreso tra 0 e 450 gradi:

l'angolo alfa varia da 0 a 90 gradi

* * *

Quindi, è necessario capire la "legge" che funziona qui:

1. Determinare il segno della funzione nel trimestre corrispondente.

Lascia che gli ricordi:

2. Ricorda quanto segue:

la funzione cambia in co-funzione

la funzione non cambia in co-funzione

Cosa significa il concetto: una funzione si trasforma in una cofunzione?

Risposta: seno cambia in coseno o viceversa, tangente a cotangente o viceversa.

È tutto!

Ora, secondo la legge presentata, scriviamo diverse formule di riduzione indipendentemente:

Questo angolo si trova nel terzo quarto, il coseno nel terzo quarto è negativo. Non cambiamo la funzione per la cofunzione, poiché abbiamo 180 gradi, il che significa:

L'angolo si trova nel primo quarto, il seno nel primo quarto è positivo. Non cambiamo la funzione in una cofunzione, poiché abbiamo 360 gradi, il che significa:

Ecco un'altra ulteriore conferma che i seni degli angoli adiacenti sono uguali:

L'angolo si trova nel secondo quarto, il seno nel secondo quarto è positivo. Non cambiamo la funzione in una cofunzione, poiché abbiamo 180 gradi, il che significa:

Elabora ogni formula mentalmente o per iscritto e vedrai che non c'è nulla di complicato.

***

Nell'articolo sulla soluzione, è stato notato un fatto del genere: il seno di un angolo acuto in triangolo rettangoloè uguale al coseno di un altro angolo acuto in esso.