Koefisien terkemuka dari persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya di teks "KU". Teman-teman, tampaknya dalam matematika itu bisa lebih mudah daripada menyelesaikan persamaan seperti itu. Tetapi sesuatu mengatakan kepada saya bahwa banyak orang memiliki masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan yang diberikan Yandex per permintaan per bulan. Inilah yang terjadi, lihatlah:

Apa artinya? Ini berarti bahwa sekitar 70.000 orang per bulan mencari informasi ini, apa hubungannya musim panas ini dengannya, dan apa yang akan terjadi di antara tahun ajaran- permintaan akan dua kali lebih besar. Ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang telah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan ujian mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materi. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya atas permintaan ini; kedua, di artikel lain, ketika muncul ucapan “KU”, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda sedikit lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,bdan dengan angka arbitrer, dengan a≠0.

Dalam kursus sekolah, materi diberikan dalam bentuk berikut - pembagian persamaan menjadi tiga kelas dilakukan secara kondisional:

1. Memiliki dua akar.

2. * Hanya memiliki satu root.

3. Tidak memiliki akar. Perlu dicatat di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminan. Di bawah kata "mengerikan" ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

*Formula ini harus hafal.

Anda dapat segera menuliskan dan memutuskan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Oleh kesempatan ini ketika pembeda nol, kursus sekolah mengatakan bahwa satu akar diperoleh, ini sama dengan sembilan. Itu benar, itu, tapi...

Representasi ini agak salah. Sebenarnya, ada dua akar. Iya iya jangan kaget ternyata dua akar yang sama, dan secara matematis tepat, dua akar harus ditulis dalam jawaban:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah, Anda dapat menulis dan mengatakan bahwa hanya ada satu akar.

Sekarang contoh berikut:

Seperti yang kita ketahui, akar dari bilangan negatif tidak diekstraksi, sehingga tidak ada solusi dalam kasus ini.

Itulah seluruh proses keputusan.

Fungsi kuadrat.

Berikut adalah bagaimana solusinya terlihat secara geometris. Ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel, kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari bentuk:

di mana x dan y adalah variabel

a, b, c - nomor yang diberikan, dimana 0

Grafiknya berbentuk parabola:

Artinya, ternyata dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan "y" sama dengan nol, kami menemukan titik potong parabola dengan sumbu x. Mungkin ada dua dari titik ini (diskriminan positif), satu (diskriminan adalah nol) atau tidak sama sekali (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Pertimbangkan contoh:

Contoh 1: Putuskan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = -12

* Anda dapat langsung membagi ruas kiri dan kanan persamaan dengan 2, yaitu, sederhanakan. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapatkan x 1 \u003d 11 dan x 2 \u003d 11

Dalam jawabannya, diperbolehkan untuk menulis x = 11.

Jawab: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminan negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminan adalah negatif. Ada solusi!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan dalam kasus ketika diskriminan negatif diperoleh. Apakah Anda tahu sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran dan kebutuhan khusus mereka dalam matematika, ini adalah topik untuk artikel terpisah yang besar.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan dengan bentuk

z = a + bi

dimana a dan b adalah bilangan asli, i adalah apa yang disebut satuan imajiner.

a+bi adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Dapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Pertimbangkan kasus khusus, ini adalah ketika koefisien "b" atau "c" sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Mereka diselesaikan dengan mudah tanpa diskriminan.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Transformasikan, faktorkan:

*Produknya sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan koefisien besar.

sebuahx 2 + bx+ c=0 persamaan

sebuah + b+ c = 0, kemudian

— jika untuk koefisien persamaan sebuahx 2 + bx+ c=0 persamaan

sebuah+ dengan =b, kemudian

Sifat-sifat ini membantu memecahkan jenis persamaan tertentu.

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah koefisiennya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, jadi

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Persamaan sebuah+ dengan =b, cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0 koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

ax 2 + (a 2 +1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 - bx + c \u003d 0, koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 + 1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam persamaan ax 2 + bx - c = 0 koefisien "b" sama (a 2 – 1), dan koefisien “c” numerik sama dengan koefisien "a", maka akar-akarnya sama

ax 2 + (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 - bx - c \u003d 0, koefisien "b" sama dengan (a 2 - 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai ahli matematika Prancis terkenal Francois Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, seseorang dapat menyatakan jumlah dan produk dari akar-akar KU arbitrer dalam hal koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Singkatnya, angka 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat dengan segera secara lisan.

Teorema Vieta, apalagi. nyaman karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini sepanjang waktu.

METODE TRANSFER

Dengan metode ini, koefisien "a" dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" ke sana, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang paling penting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika sebuah sebuah± b+c 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menurut teorema Vieta dalam persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Akar persamaan yang diperoleh harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah:

Jika Anda melihat akar persamaan, maka hanya penyebut yang berbeda yang diperoleh, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien di x 2:

Akar kedua (dimodifikasi) 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita menggulung three of a kind, maka hasilnya kita bagi dengan 3, dan seterusnya.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi ur-yaitu dan ujian.

Saya akan mengatakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir, Anda perlu mengetahui rumus akar dan pembeda dengan hati. Banyak tugas yang merupakan bagian dari tugas USE turun ke penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk yang geometris).

Apa yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk persamaan bisa "implisit". Misalnya, entri berikut dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standar (agar tidak bingung saat menyelesaikannya).

2. Ingat bahwa x adalah nilai yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h, dan lainnya.

Persamaan kuadrat tidak lengkap berbeda dari persamaan klasik (lengkap) karena faktor atau suku bebasnya sama dengan nol. Grafik fungsi tersebut adalah parabola. Tergantung pada penampilan umum, mereka dibagi menjadi 3 kelompok. Prinsip penyelesaian untuk semua jenis persamaan adalah sama.

Tidak ada yang sulit dalam menentukan jenis polinomial tidak lengkap. Yang terbaik adalah mempertimbangkan perbedaan utama dalam contoh ilustratif:

1. Jika b = 0, maka persamaannya adalah ax2 + c = 0.
2. Jika c = 0, maka ekspresi ax 2 + bx = 0 harus diselesaikan.
3. Jika b = 0 dan c = 0, maka polinomial tersebut menjadi suatu persamaan yang bertipe ax 2 = 0.

Kasus terakhir lebih merupakan kemungkinan teoretis dan tidak pernah terjadi dalam tes pengetahuan, karena satu-satunya nilai sebenarnya dari x dalam ekspresi adalah nol. Di masa depan, metode dan contoh penyelesaian masalah yang tidak lengkap akan dipertimbangkan. persamaan kuadrat 1) dan 2) spesies.

Algoritma Umum untuk Menemukan Variabel dan Contoh dengan Solusi

Terlepas dari jenis persamaan, algoritma solusi direduksi menjadi langkah-langkah berikut:

1. Bawa ekspresi ke bentuk yang nyaman untuk menemukan akar.
2. Membuat perhitungan.
3. Tuliskan jawabannya.

Menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap paling mudah dengan memfaktorkan ruas kiri dan meninggalkan nol di ruas kanan. Jadi, rumus persamaan kuadrat tidak lengkap untuk mencari akar-akarnya direduksi menjadi menghitung nilai x untuk masing-masing faktor.

Anda dapat mempelajari cara menyelesaikan hanya dalam praktik, jadi pertimbangkan contoh spesifik mencari akar-akar persamaan yang tidak lengkap:

Seperti yang Anda lihat, dalam hal ini b = 0. Kami memfaktorkan sisi kiri dan mendapatkan ekspresi:

4(x - 0,5) (x + 0,5) = 0.

Jelas, produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Persyaratan serupa dipenuhi oleh nilai variabel x1 = 0,5 dan (atau) x2 = -0,5.

Untuk dengan mudah dan cepat mengatasi tugas dekomposisi trinomial persegi pengganda, Anda harus mengingat rumus berikut:

Jika tidak ada istilah bebas dalam ekspresi, tugasnya sangat disederhanakan. Itu akan cukup hanya untuk menemukan dan mengambil penyebut yang sama. Untuk kejelasan, perhatikan contoh cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk ax2 + bx = 0.

Mari kita keluarkan variabel x dari tanda kurung dan dapatkan ekspresi berikut:

x (x + 3) = 0.

Berdasarkan logika, kami menyimpulkan bahwa x1 = 0 dan x2 = -3.

Cara tradisional untuk menyelesaikan dan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Apa yang akan terjadi jika kita menerapkan rumus diskriminan dan mencoba mencari akar polinomial, dengan koefisien sama dengan nol? Mari kita ambil contoh dari kumpulan tugas umum untuk Unified State Examination dalam matematika tahun 2017, kita akan menyelesaikannya menggunakan rumus standar dan metode faktorisasi.

7x 2 - 3x = 0.

Hitung nilai diskriminannya: D = (-3)2 - 4 (-7) 0 = 9. Ternyata polinomial tersebut memiliki dua akar:

Sekarang, selesaikan persamaan dengan memfaktorkan dan membandingkan hasilnya.

X (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Seperti yang Anda lihat, kedua metode memberikan hasil yang sama, tetapi cara kedua untuk menyelesaikan persamaan ternyata jauh lebih mudah dan lebih cepat.

teorema Vieta

Tapi apa yang harus dilakukan dengan teorema Vieta tercinta? Bisakah metode ini diterapkan dengan trinomial yang tidak lengkap? Mari kita coba memahami aspek pengurangan persamaan tidak lengkap ke bentuk klasik ax2 + bx + c = 0.

Faktanya, teorema Vieta dapat diterapkan dalam kasus ini. Anda hanya perlu membawa ekspresi ke bentuk umum, mengganti istilah yang hilang dengan nol.

Misalnya, dengan b = 0 dan a = 1, untuk menghilangkan kemungkinan kebingungan, tugas harus ditulis dalam bentuk: ax2 + 0 + c = 0. Kemudian rasio jumlah dan produk dari akar dan faktor polinomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

Perhitungan teoretis membantu berkenalan dengan esensi masalah, dan selalu membutuhkan pengembangan keterampilan saat memecahkan tugas tertentu. Mari kita kembali ke buku referensi tugas-tugas khas untuk ujian dan menemukan contoh yang cocok:

Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang nyaman untuk menerapkan teorema Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Langkah selanjutnya adalah membuat sistem kondisi:

Jelas, akar polinomial kuadrat adalah x 1 \u003d 4 dan x 2 \u003d -4.

Sekarang, mari kita berlatih membawa persamaan ke bentuk umum. Ambil contoh berikut: 1/4× x 2 – 1 = 0

Untuk menerapkan teorema Vieta ke ekspresi, Anda harus menyingkirkan pecahan. Kalikan ruas kiri dan kanan dengan 4, dan lihat hasilnya: x2 - 4 = 0. Persamaan yang dihasilkan siap untuk diselesaikan dengan teorema Vieta, tetapi jauh lebih mudah dan lebih cepat untuk mendapatkan jawabannya hanya dengan mentransfer c = 4 ke ruas kanan persamaan: x2 = 4.

Kesimpulannya, harus dikatakan bahwa jalan terbaik solusi persamaan tidak lengkap adalah faktorisasi, adalah yang paling sederhana dan metode cepat. Jika Anda mengalami kesulitan dalam proses mencari akar, Anda dapat merujuk ke metode tradisional menemukan akar melalui diskriminan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk a*x^2 +b*x+c=0, di mana a,b,c adalah bilangan real (riil) arbitrer, dan x adalah variabel. Dan angka a tidak sama dengan 0.

Bilangan a,b,c disebut koefisien. Angka a - disebut koefisien utama, angka b adalah koefisien di x, dan angka c disebut anggota bebas. Nama lain juga ditemukan dalam beberapa literatur. Angka a disebut koefisien pertama, dan angka b disebut koefisien kedua.

Klasifikasi persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki klasifikasinya sendiri.

Dengan adanya koefisien:

1. Penuh

2. Tidak lengkap

Dengan nilai koefisien derajat tertinggi yang tidak diketahui(dengan nilai koefisien terkemuka):

1. Diberikan

2. Tidak berkurang

Persamaan kuadrat disebut lengkap jika mengandung ketiga koefisien dan tidak nol. Bentuk umum persamaan kuadrat penuh: a*x^2 +b*x+c=0;

Persamaan kuadrat disebut tidak lengkap jika dalam persamaan a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 salah satu koefisien b atau c sama dengan nol (b \u003d 0 atau c \u003d 0), namun, persamaan kuadrat yang tidak lengkap juga akan menjadi persamaan di mana kedua koefisien b dan koefisien c secara bersamaan sama dengan nol (keduanya b=0 dan c=0).

Perlu dicatat bahwa tidak ada yang dikatakan tentang koefisien terkemuka di sini, karena, menurut definisi persamaan kuadrat, itu harus berbeda dari nol.

diberikan jika koefisien utamanya sama dengan satu(a=1). Gambaran umum persamaan kuadrat yang diberikan: x^2 +d*x+e=0.

Persamaan kuadrat disebut tidak berkurang, jika koefisien terdepan dalam persamaan bukan nol. Gambaran umum persamaan kuadrat tak tereduksi: a*x^2 +b*x+c=0.

Perlu dicatat bahwa setiap persamaan kuadrat yang tidak tereduksi dapat direduksi menjadi persamaan tereduksi. Untuk melakukan ini, perlu untuk membagi koefisien persamaan kuadrat dengan koefisien terkemuka.

Contoh kuadrat

Pertimbangkan sebuah contoh: kita memiliki persamaan 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Mari kita ubah ke persamaan di atas. Koefisien utama adalah 2. Mari kita bagi koefisien persamaan kita dengannya dan tuliskan jawabannya.

x^2 - 3*x+3.5 =0;

Seperti yang Anda perhatikan, di sisi kanan persamaan kuadrat terdapat polinomial derajat kedua a * x ^ 2 + b * x + c. Ini juga disebut trinomial persegi.

Topik ini mungkin tampak rumit pada awalnya karena banyaknya rumus yang tidak begitu sederhana. Persamaan kuadrat tidak hanya memiliki entri yang panjang, tetapi akarnya juga ditemukan melalui diskriminan. Ada tiga formula baru secara total. Tidak terlalu mudah untuk diingat. Ini hanya mungkin setelah solusi yang sering dari persamaan tersebut. Maka semua rumus akan diingat dengan sendirinya.

Pandangan umum dari persamaan kuadrat

Di sini notasi eksplisit mereka diusulkan, ketika derajat terbesar ditulis terlebih dahulu, dan kemudian - dalam urutan menurun. Seringkali ada situasi ketika istilah berdiri terpisah. Maka lebih baik untuk menulis ulang persamaan dalam urutan derajat variabel.

Mari kita perkenalkan notasi. Mereka disajikan dalam tabel di bawah ini.

Jika kita menerima notasi ini, semua persamaan kuadrat direduksi menjadi notasi berikut.

Selain itu, koefisien a 0. Biarkan rumus ini dilambangkan dengan nomor satu.

Ketika persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak akar jawaban. Karena salah satu dari tiga opsi selalu memungkinkan:

• solusinya akan memiliki dua akar;
• jawabannya akan menjadi satu nomor;
• Persamaan tidak memiliki akar sama sekali.

Dan sementara keputusan tidak dibawa ke akhir, sulit untuk memahami opsi mana yang akan jatuh dalam kasus tertentu.

Jenis catatan persamaan kuadrat

Tugas mungkin memiliki entri yang berbeda. Mereka tidak selalu terlihat seperti rumus umum persamaan kuadrat. Kadang-kadang akan kekurangan beberapa istilah. Apa yang tertulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika Anda menghapus istilah kedua atau ketiga di dalamnya, Anda mendapatkan sesuatu yang lain. Catatan ini juga disebut persamaan kuadrat, hanya saja tidak lengkap.

Selain itu, hanya suku yang koefisien "b" dan "c" yang dapat dihilangkan. Angka "a" tidak boleh sama dengan nol dalam keadaan apa pun. Karena dalam hal ini rumus berubah menjadi persamaan linier. Rumus untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah sebagai berikut:

Jadi, hanya ada dua jenis, selain yang lengkap, ada juga persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Biarkan rumus pertama menjadi nomor dua, dan yang kedua nomor tiga.

Diskriminan dan ketergantungan jumlah akar pada nilainya

Angka ini harus diketahui untuk menghitung akar persamaan. Itu selalu dapat dihitung, apa pun rumus persamaan kuadratnya. Untuk menghitung diskriminan, Anda harus menggunakan persamaan yang tertulis di bawah ini, yang akan memiliki angka empat.

Setelah mengganti nilai koefisien ke dalam rumus ini, Anda bisa mendapatkan angka dengan tanda yang berbeda. Jika jawabannya ya, maka jawaban persamaan tersebut akan menjadi dua akar yang berbeda. Dengan angka negatif, akar persamaan kuadrat tidak akan ada. Jika sama dengan nol, jawabannya adalah satu.

Bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat lengkap?

Bahkan, pertimbangan masalah ini sudah dimulai. Karena pertama Anda perlu mencari diskriminan. Setelah diklarifikasi bahwa ada akar persamaan kuadrat, dan jumlahnya diketahui, Anda perlu menggunakan rumus untuk variabel. Jika ada dua akar, maka Anda perlu menerapkan formula seperti itu.

Karena mengandung tanda “±”, maka akan ada dua nilai. Ekspresi bertanda akar pangkat dua adalah diskriminan. Oleh karena itu, rumus dapat ditulis ulang dengan cara yang berbeda.

Formula lima. Dari catatan yang sama dapat dilihat bahwa jika diskriminan adalah nol, maka kedua akar akan mengambil nilai yang sama.

Jika solusi persamaan kuadrat belum diselesaikan, maka lebih baik menuliskan nilai semua koefisien sebelum menerapkan rumus diskriminan dan variabel. Nanti momen ini tidak akan menimbulkan kesulitan. Tapi di awal ada kebingungan.

Bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap?

Semuanya jauh lebih sederhana di sini. Bahkan tidak perlu formula tambahan. Dan Anda tidak akan membutuhkan yang telah ditulis untuk diskriminan dan yang tidak diketahui.

Pertimbangkan dulu persamaan tidak lengkap di nomor dua. Dalam persamaan ini, seharusnya mengambil nilai yang tidak diketahui dari kurung dan menyelesaikan persamaan linier, yang akan tetap berada di dalam kurung. Jawabannya akan memiliki dua akar. Yang pertama tentu sama dengan nol, karena ada faktor yang terdiri dari variabel itu sendiri. Yang kedua diperoleh dengan memecahkan persamaan linier.

Persamaan yang tidak lengkap pada nomor tiga diselesaikan dengan memindahkan nomor dari sisi kiri persamaan ke kanan. Maka Anda perlu membagi dengan koefisien di depan yang tidak diketahui. Tetap hanya mengekstrak akar kuadrat dan jangan lupa untuk menuliskannya dua kali dengan tanda yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa tindakan yang membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis persamaan yang berubah menjadi persamaan kuadrat. Mereka akan membantu siswa untuk menghindari kesalahan karena kurangnya perhatian. Kekurangan-kekurangan inilah yang menyebabkan nilai jelek saat mempelajari topik ekstensif "Persamaan Kuadrat (Kelas 8)". Selanjutnya, tindakan ini tidak perlu dilakukan terus-menerus. Karena akan ada kebiasaan yang stabil.

• Pertama, Anda perlu menulis persamaan dalam bentuk standar. Artinya, pertama istilah dengan derajat terbesar dari variabel, dan kemudian - tanpa derajat dan yang terakhir - hanya angka.

• Jika minus muncul sebelum koefisien "a", maka itu dapat mempersulit pekerjaan seorang pemula untuk mempelajari persamaan kuadrat. Lebih baik untuk menyingkirkan itu. Untuk tujuan ini, semua persamaan harus dikalikan dengan "-1". Artinya, semua suku akan berubah tanda menjadi kebalikannya.

• Dengan cara yang sama, disarankan untuk menyingkirkan pecahan. Cukup kalikan persamaan dengan faktor yang sesuai sehingga penyebutnya hilang.

Contoh

Persamaan kuadrat berikut harus diselesaikan:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 - 7x \u003d 0. Ini tidak lengkap, oleh karena itu diselesaikan seperti yang dijelaskan untuk rumus nomor dua.

Setelah dikurung, ternyata: x (x - 7) \u003d 0.

Akar pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Akar kedua akan ditemukan dari persamaan linier: x - 7 = 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya itu yang diselesaikan seperti yang dijelaskan untuk rumus ketiga.

Setelah memindahkan 30 ke ruas kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang kamu perlu membagi dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawabannya adalah bilangan: x 1 = 6, x 2 = - 6.

Persamaan ketiga: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Di sini dan di bawah, solusi persamaan kuadrat akan dimulai dengan menulis ulang dalam tampilan standar: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sekarang saatnya menggunakan yang kedua saran yang bermanfaat dan kalikan semuanya dengan minus satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Menurut rumus keempat, Anda perlu menghitung diskriminan: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Ini adalah nomor positif. Dari apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan memiliki dua akar. Mereka perlu dihitung sesuai dengan rumus kelima. Menurutnya, ternyata x \u003d (-2 ± 64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x \u003d 0 dikonversi menjadi ini: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminannya sama dengan nilai ini: -23. Karena angka ini negatif, jawaban untuk tugas ini adalah entri berikut: "Tidak ada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 harus ditulis ulang sebagai berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Setelah menerapkan rumus untuk diskriminan, diperoleh angka nol. Ini berarti akan memiliki satu root, yaitu: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Persamaan keenam (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) membutuhkan transformasi, yang terdiri dari fakta bahwa Anda perlu membawa suku yang sama, sebelum membuka tanda kurung. Sebagai ganti yang pertama akan ada ekspresi seperti ini: x 2 + 2x + 1. Setelah persamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Setelah suku-suku serupa dihitung, persamaan akan berbentuk: x 2 - x \u003d 0. Sudah tidak lengkap . Mirip dengan itu telah dianggap sedikit lebih tinggi. Akar dari ini akan menjadi angka 0 dan 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 atau x - 4 = 0

x = ± 25/4

Setelah belajar memecahkan persamaan tingkat pertama, tentu saja, saya ingin bekerja dengan orang lain, khususnya, dengan persamaan tingkat kedua, yang disebut kuadrat.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bertipe ax² + bx + c = 0, dimana variabelnya adalah x, bilangannya adalah - a, b, c, dimana a tidak sama dengan nol.

Jika dalam persamaan kuadrat satu atau koefisien lainnya (c atau b) sama dengan nol, maka persamaan ini akan mengacu pada persamaan kuadrat tidak lengkap.

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap jika siswa hanya dapat menyelesaikan persamaan tingkat pertama sejauh ini? Pertimbangkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap jenis yang berbeda dan cara sederhana keputusan mereka.

a) Jika koefisien c sama dengan 0, dan koefisien b tidak sama dengan nol, maka ax ² + bx + 0 = 0 direduksi menjadi persamaan berbentuk ax ² + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, Anda perlu mengetahui rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, yang terdiri dari penguraian sisi kiri menjadi faktor dan kemudian menggunakan kondisi bahwa produk sama dengan nol.

Misalnya, 5x ² - 20x \u003d 0. Kami menguraikan sisi kiri persamaan menjadi faktor, sambil melakukan yang biasa operasi matematika: keluarkan faktor persekutuan dari kurung

5x (x - 4) = 0

Kami menggunakan kondisi bahwa produk sama dengan nol.

5 x = 0 atau x - 4 = 0

Jawabannya adalah: akar pertama adalah 0; akar kedua adalah 4.

b) Jika b \u003d 0, dan suku bebas tidak sama dengan nol, maka persamaan ax ² + 0x + c \u003d 0 direduksi menjadi persamaan berbentuk ax ² + c \u003d 0. Selesaikan persamaan dalam dua cara: a) menguraikan polinomial persamaan di sisi kiri menjadi faktor ; b) menggunakan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Persamaan tersebut diselesaikan dengan salah satu metode, misalnya:

x = ± 25/4

x = ± 5/2. Jawabannya adalah: akar pertama adalah 5/2; akar kedua adalah - 5/2.

c) Jika b sama dengan 0 dan c sama dengan 0, maka ax² + 0 + 0 = 0 direduksi menjadi persamaan berbentuk ax² = 0. Dalam persamaan tersebut, x akan sama dengan 0.

Seperti yang Anda lihat, persamaan kuadrat tidak lengkap dapat memiliki paling banyak dua akar.