Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. persamaan kuadrat

Masalah ini diketahui dari matematika. Data awal disini adalah koefisien a, b, c. Solusi dalam kasus umum adalah dua akar x 1 dan x 2, yang dihitung dengan rumus:

Semua nilai yang digunakan dalam program ini bertipe real.

alga akar persamaan kuadrat

hal a, b, c, x1, x2, d

lebih awal masukan a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

keluaran x1, x2

Kelemahan dari algoritma semacam itu terlihat dengan mata telanjang. Dia tidak memiliki properti yang paling penting diterapkan pada algoritma kualitatif: universalitas dalam kaitannya dengan data awal. Berapa pun nilai data awal, algoritma harus mengarah pada hasil tertentu dan mencapai akhir. Hasilnya mungkin berupa jawaban numerik, tetapi bisa juga berupa pesan bahwa dengan data seperti itu masalahnya tidak memiliki solusi. Berhenti di tengah algoritma karena ketidakmungkinan melakukan beberapa operasi tidak diperbolehkan. Properti yang sama dalam literatur tentang pemrograman disebut efektivitas algoritma (dalam hal apapun, beberapa hasil harus diperoleh).

Untuk membangun algoritma universal, pertama-tama perlu menganalisis konten matematika dari masalah dengan cermat.

Solusi persamaan tergantung pada nilai koefisien a, b, c. Berikut adalah analisis masalah ini (kami membatasi diri hanya untuk menemukan akar nyata):

jika a=0, b=0, c=0, maka setiap x adalah solusi persamaan;

jika a=0, b=0, c¹0, maka persamaan tidak memiliki solusi;

jika a=0, b¹0, maka ini persamaan linier, yang memiliki satu solusi: x=–c/b;

jika a¹0 dan d=b 2 -4ac³0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real (rumus diberikan di atas);

jika a¹0 dan d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Blok diagram dari algoritma:

Algoritma yang sama dalam bahasa algoritmik:

alga akar persamaan kuadrat

hal a, b, c, d, x1, x2

lebih awal masukan a, b, c

jika a=0

lalu jika b=0

lalu jika c=0

kemudian output "setiap x adalah solusi"

sebaliknya keluaran "tidak ada solusi"

sebaliknya x:= -c/b

sebaliknya d:=b2–4ac

jika dan d<0

kemudian output "tidak ada akar nyata"

sebaliknya e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

keluaran “x1=”,x1, “x2=”,x2

Algoritma ini menggunakan kembali perintah struktur cabang. Tampilan umum dari perintah cabang dalam diagram alur dan dalam bahasa algoritmik adalah sebagai berikut:

Pertama, "kondisi" diperiksa (relasi, ekspresi logis dihitung). Jika kondisinya benar, maka "seri 1" dijalankan - urutan perintah yang ditunjukkan oleh panah dengan tulisan "ya" (cabang positif). Jika tidak, "seri 2" (cabang negatif) akan dieksekusi. Di EL, kondisi ditulis setelah kata layanan "jika", cabang positif - setelah kata "maka", cabang negatif - setelah kata "sebaliknya". Huruf "kv" menunjukkan akhir cabang.

Jika cabang dari satu cabang berisi cabang lain, maka algoritma tersebut memiliki struktur cabang bersarang. Struktur inilah yang dimiliki oleh algoritma "akar persamaan kuadrat". Di dalamnya, untuk singkatnya, alih-alih kata "ya" dan "tidak", masing-masing, "+" dan "-" digunakan.

Pertimbangkan masalah berikut: diberikan bilangan bulat positif n. Diperlukan untuk menghitung n! (n-faktorial). Ingat definisi faktorial.

Di bawah ini adalah diagram blok dari algoritma tersebut. Ia menggunakan tiga variabel tipe integer: n adalah argumen; i adalah variabel perantara; F adalah hasilnya. Sebuah tabel jejak dibangun untuk memeriksa kebenaran dari algoritma. Dalam tabel seperti itu, untuk nilai spesifik dari data awal, perubahan variabel yang termasuk dalam algoritma dilacak dengan langkah-langkah. Tabel ini dikompilasi untuk kasus n=3.

Jejak membuktikan kebenaran algoritma. Sekarang mari kita menulis algoritma ini dalam bahasa algoritmik.

alga Faktorial

utuh n, saya, F

lebih awal masukan n

P:=1; saya:=1

Selamat tinggal saya £n, ulang

nc F:=F´i

Algoritma ini memiliki struktur siklik. Algoritme menggunakan perintah struktural "loop-sementara" atau "loop dengan prasyarat". Tampilan umum dari perintah “loop-bye” di flowchart dan di EL adalah sebagai berikut:

Eksekusi serangkaian perintah (loop body) diulang selama kondisi loop benar. Ketika kondisi menjadi salah, loop berakhir. Kata layanan "nts" dan "kts" masing-masing menunjukkan awal siklus dan akhir siklus.

Loop dengan prasyarat adalah yang utama, tetapi bukan satu-satunya bentuk organisasi dari algoritma siklik. Pilihan lainnya adalah loop dengan postcondition. Mari kembali ke algoritma untuk memecahkan persamaan kuadrat. Hal ini dapat didekati dari posisi ini: jika a=0, maka ini bukan lagi persamaan kuadrat dan dapat diabaikan. Dalam hal ini, kami akan menganggap bahwa pengguna melakukan kesalahan saat memasukkan data dan harus diminta untuk mengulang entri. Dengan kata lain, algoritme akan menyediakan kontrol keandalan data awal, memberikan pengguna kesempatan untuk memperbaiki kesalahan. Adanya kontrol tersebut merupakan tanda lain dari kualitas program yang baik.

Secara umum, perintah struktural "loop with postcondition" atau "loop-before" direpresentasikan sebagai berikut:

Di sinilah kondisi terminasi loop digunakan. Ketika itu menjadi benar, loop berakhir.

Mari kita buat algoritma untuk menyelesaikan masalah berikut: diberikan dua bilangan asli M dan N. Hal ini diperlukan untuk menghitung pembagi persekutuan terbesarnya - gcd(M,N).

Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan metode yang dikenal sebagai Algoritma Euclid. Idenya didasarkan pada sifat bahwa jika M>N, maka gcd(M

1) jika jumlahnya sama, maka ambil nilai totalnya sebagai jawaban; jika tidak, lanjutkan eksekusi algoritma;

2) menentukan yang lebih besar dari angka;

3) mengganti angka yang lebih besar dengan selisih antara nilai yang lebih besar dan lebih kecil;

4) kembali ke implementasi paragraf 1.

Diagram blok dan algoritma dalam AL adalah sebagai berikut:

Algoritma ini memiliki struktur loop dengan percabangan bersarang. Lakukan penelusuran Anda sendiri terhadap algoritme ini untuk kasus M=18, N=12. Hasilnya adalah gcd=6, yang jelas benar.

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Solusi persamaan kuadrat// Ilmuwan muda. - 2016. - No. 6.1. - S.17-20..04.2019).

Proyek kami didedikasikan untuk cara memecahkan persamaan kuadrat. Tujuan dari proyek ini: untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semua cara yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan pelajari cara menggunakannya sendiri dan perkenalkan teman sekelas pada metode ini.

Apa itu "persamaan kuadrat"?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana sebuah, b, c- beberapa angka ( sebuah 0), x- tidak dikenal.

Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

a disebut koefisien pertama;
b disebut koefisien kedua;
c - anggota bebas.

Dan siapa yang pertama "menemukan" persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk memecahkan persamaan linear dan kuadrat sudah dikenal sejak 4000 tahun yang lalu di Babel Kuno. Tablet tanah liat Babilonia kuno yang ditemukan, bertanggal antara 1800 dan 1600 SM, adalah bukti paling awal dari studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk memecahkan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia dari sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid datang dengan metode solusi geometris yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi untuk persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar adalah seorang ilmuwan India. Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ax2 + bx = c, a>0

Dalam persamaan ini, koefisien bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.

Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: "Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang daripada kemuliaannya dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar." Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Dalam risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linear dan kuadrat diberikan. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:

1) “Persegi sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.

2) “Persegi sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.

3) "Akar sama dengan bilangan", yaitu ax2 = c.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari tipe pertama, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat pada model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dijelaskan dalam “Book of the Abacus”, yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari buku ini dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropa abad ke-14-17. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat kerja Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lain, cara memecahkan persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Pertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Cara standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

Faktorisasi ruas kiri persamaan.
Metode seleksi persegi penuh.
Solusi persamaan kuadrat dengan rumus.
Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita membahas lebih detail tentang solusi persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, cukup untuk menemukan dua bilangan sedemikian rupa sehingga produknya sama dengan suku bebas, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan.

Contoh.x 2 -5x+6=0

Anda perlu menemukan angka yang produknya 6 dan jumlahnya 5. Angka-angka ini adalah 3 dan 2.

jawaban: x 1 =2,x 2 =3.

Tetapi Anda dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama yang tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Kami mengambil koefisien pertama dan mengalikannya dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasilkalinya - 15, dan jumlahnya - 2. Angka-angka ini adalah 5 dan 3. Untuk menemukan akar-akar persamaan awal, kita bagi akar-akar yang diperoleh dengan koefisien pertama.

jawaban: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Penyelesaian persamaan dengan metode "transfer".

Pertimbangkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mengalikan kedua bagiannya dengan a, kita mendapatkan persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, dari mana x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, yang ekivalen dengan yang diberikan. Kami menemukan akarnya di 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" padanya, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita "transfer" koefisien 2 ke suku bebas dan dengan menggantinya kita mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Menurut teorema invers Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Biarkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 diberikan.

1. Jika a + b + c \u003d 0 (yaitu, jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 \u003d 1.

2. Jika a - b + c \u003d 0, atau b \u003d a + c, maka x 1 \u003d - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), maka x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), lalu x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. tetapi penggunaannya lebih rumit.

8. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Ini adalah metode lama dan saat ini terlupakan untuk memecahkan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk Pemecahan Persamaan z2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dengan koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Asumsi OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 kesamaan segitiga SAN dan CDF kita mendapatkan proporsi

dimana, setelah substitusi dan penyederhanaan, persamaan berikut: z 2 + pz + q = 0, dan surat z berarti label dari setiap titik pada skala melengkung.

Beras. 2 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8,0 dan z 2 = 1,0

Jawaban: 8.0; 1.0.

2) Memecahkan persamaan menggunakan nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam aslinya, masalah ini dirumuskan sebagai berikut: "Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39."

Perhatikan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibangun pada sisi-sisinya sehingga sisi lainnya masing-masing adalah 2,5, oleh karena itu, luas masing-masing adalah 2,5x. Angka yang dihasilkan kemudian ditambahkan ke persegi ABCD baru, melengkapi empat persegi yang sama di sudut-sudut, sisi masing-masing adalah 2,5, dan luasnya adalah 6,25

Beras. 3 Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4 2,5x = 10x) dan empat persegi terlampir (6,25 4 = 25), mis. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Mengganti x 2 + 10x dengan angka 39, kita mendapatkan S \u003d 39 + 25 \u003d 64, yang menyiratkan bahwa sisi persegi ABCD, mis. segmen AB \u003d 8. Untuk sisi x yang diinginkan dari bujur sangkar asli, kita dapatkan

10. Penyelesaian persamaan menggunakan teorema Bezout.

teorema Bezout. Sisanya setelah membagi polinomial P(x) dengan binomial x - sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = ).

Jika bilangan adalah akar dari polinomial P(x), maka polinomial ini habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

(x)= x²-4x+3, : ±1,±3, =1, 1-4+3=0. Bagi P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; jawaban: x1 = 2, x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional hanya diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, misalnya persamaan rasional pecahan, persamaan pangkat lebih tinggi, persamaan bikuadrat, dan dalam persamaan trigonometri, eksponensial, dan logaritma sekolah menengah. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan dengan properti koefisien (7), karena mereka lebih mudah diakses untuk dipahami .

Literatur:

Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pencerahan, 2015
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Sebuah panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.

geser 2

Siklus persamaan kuadrat pelajaran aljabar di kelas 8 menurut buku teks karya A.G. Mordkovich

Guru sekolah menengah MBOU Grushevskaya Kireeva T.A.

geser 3

Tujuan: untuk memperkenalkan konsep persamaan kuadrat, akar dari persamaan kuadrat; menunjukkan solusi persamaan kuadrat; membentuk kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat; tunjukkan cara menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

geser 4

geser 5

Sedikit sejarah persamaan kuadrat di Babel Kuno. Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua, bahkan di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi. dan matematika itu sendiri. Orang Babilonia tahu bagaimana memecahkan persamaan kuadrat sekitar 2000 tahun sebelum iman kita. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, dapat dikatakan bahwa dalam teks-teks runcing mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap.

geser 6

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babilonia, konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak ada dalam teks runcing.

Geser 7

Definisi 1. Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan bentuk di mana koefisien a, b, c adalah bilangan real apa pun, dan Polinomialnya disebut trinomial bujur sangkar. a adalah koefisien pertama atau tertinggi c adalah koefisien kedua c adalah suku bebas

Geser 8

Definisi 2. Suatu persamaan kuadrat disebut tereduksi jika koefisien utamanya sama dengan 1; persamaan kuadrat disebut tidak tereduksi jika koefisien terdepannya berbeda dari 1. Contoh. 2 - 5 + 3 = 0 - persamaan kuadrat tak tereduksi - persamaan kuadrat tereduksi

Geser 9

Definisi 3. Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang memiliki ketiga suku. a + in + c \u003d 0 Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan yang tidak memiliki ketiga suku; adalah persamaan yang setidaknya salah satu koefisiennya, dengan nol.

Geser 10

Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

geser 11

Memecahkan tugas No. 24.16 (a, b) Memecahkan persamaan: atau Jawaban. atau Jawaban.

geser 12

Definisi 4 Akar persamaan kuadrat adalah setiap nilai variabel x di mana trinomial bujur sangkar menghilang; nilai variabel x seperti itu juga disebut akar trinomial kuadrat Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semua akarnya atau menetapkan bahwa tidak ada akar.

geser 13

Diskriminan persamaan kuadrat D 0 D=0 Persamaan tidak memiliki akar Persamaan memiliki dua akar Persamaan memiliki satu akar Rumus akar persamaan kuadrat

Geser 14

D>0 persamaan kuadrat memiliki dua akar, yang ditemukan dengan rumus Contoh. Memecahkan persamaan Solusi. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Jawaban: 1; -3

geser 15

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 1. Hitung diskriminan D menggunakan rumus D = 2. Jika D 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Kemampuan untuk menyelesaikannya sangat penting.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana koefisien a , b dan c adalah bilangan arbitrer, dan a 0.

Sebelum mempelajari metode solusi spesifik, kami mencatat bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

Tidak memiliki akar;
Mereka memiliki tepat satu akar;
Mereka memiliki dua akar yang berbeda.

Ini adalah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan linier, di mana akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - pembeda.

diskriminan

Misalkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya adalah bilangan D = b 2 4ac .

Rumus ini harus diketahui dengan hati. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan, Anda dapat menentukan berapa banyak akar persamaan kuadrat. Yaitu:

Jika D< 0, корней нет;
Jika D = 0, ada tepat satu akar;
Jika D > 0, akan ada dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan sama sekali bukan tandanya, seperti yang dipikirkan banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contoh-contoh dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 6x + 9 = 0.

Kami menulis koefisien untuk persamaan pertama dan menemukan diskriminannya:
a = 1, b = 8, c = 12;
D = (−8) 2 4 1 12 = 64 48 = 16

Jadi, diskriminannya positif, sehingga persamaan memiliki dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir tetap:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 4 1 9 = 36 36 = 0.

Diskriminan sama dengan nol - akarnya adalah satu.

Perhatikan bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan - tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan tidak membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda "mengisi tangan Anda", setelah beberapa saat Anda tidak perlu lagi menulis semua koefisien. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini di suatu tempat setelah persamaan diselesaikan 50-70 - secara umum, tidak begitu banyak.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Rumus dasar untuk akar persamaan kuadrat

Ketika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu dari rumus ini - Anda mendapatkan angka yang sama, yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

persamaan pertama:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = 2; c = -3;
D = (−2) 2 4 1 (−3) = 16.

D > 0 persamaan memiliki dua akar. Mari temukan mereka:

Persamaan kedua:
15 2x x 2 = 0 a = 1; b = 2; c = 15;
D = (−2) 2 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 persamaan kembali memiliki dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 4 1 36 = 0.

D = 0 persamaan memiliki satu akar. Formula apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda tahu rumus dan bisa menghitung, tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi ketika koefisien negatif disubstitusikan ke dalam rumus. Di sini, sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat formula secara harfiah, lukis setiap langkah - dan singkirkan kesalahan segera.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat agak berbeda dari apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

x2 + 9x = 0;
x2 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu istilah hilang dalam persamaan ini. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak perlu menghitung diskriminan. Jadi mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu koefisien variabel x atau elemen bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit dimungkinkan ketika kedua koefisien ini sama dengan nol: b \u003d c \u003d 0. Dalam hal ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 \u003d 0. Jelas, persamaan seperti itu memiliki satu akar: x \u003d 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lain. Biarkan b \u003d 0, maka kita mendapatkan persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c \u003d 0. Mari kita ubah sedikit:

Karena aritmatika Akar pangkat dua hanya ada dari bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a ) 0. Kesimpulan:

Jika persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 memenuhi pertidaksamaan (−c / a ) 0, akan ada dua akar. Rumus diberikan di atas;
Jika (−c / a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan - tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c / a ) 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, akan ada dua akar. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana elemen bebas sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup memfaktorkan polinomialnya:

Mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung

Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, kami akan menganalisis beberapa persamaan ini: