Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպում. փոխակերպումների տեսակներ, օրինակներ. ռացիոնալ արտահայտություն

Հեռավոր անցյալում, երբ հաշվարկային համակարգը դեռ հորինված չէր, մարդիկ ամեն ինչ հաշվում էին մատների վրա։ Թվաբանության և մաթեմատիկայի հիմունքների գալուստով շատ ավելի հեշտ և գործնական է դարձել ապրանքների, ապրանքների և կենցաղային իրերի գրառումները: Այնուամենայնիվ, ինչ տեսք ունի ժամանակակից համակարգՀաշվարկ. ի՞նչ տեսակների են բաժանվում գոյություն ունեցող թվերը և ի՞նչ է նշանակում «թվերի ռացիոնալ ձևը»: Եկեք պարզենք այն:

Քանի՞ տեսակի թվեր կան մաթեմատիկայի մեջ:

Հենց «թիվ» հասկացությունը նշանակում է ցանկացած օբյեկտի որոշակի միավոր, որը բնութագրում է դրա քանակական, համեմատական ​​կամ հերթական ցուցանիշները։ Որոշ բաների քանակը ճիշտ հաշվելու կամ որոշակի իրագործելու համար մաթեմատիկական գործողություններթվերով (ավելացնել, բազմապատկել և այլն), նախ և առաջ պետք է ծանոթանաք այս նույն թվերի տեսակներին:

Այսպիսով, առկա թվերը կարելի է բաժանել հետևյալ կատեգորիաների.

1. Բնական թվերն այն թվերն են, որոնցով հաշվում ենք առարկաների թիվը (ամենափոքր բնական թիվը 1 է, տրամաբանական է, որ շարքը բնական թվերանսահման է, այսինքն՝ ամենամեծ բնական թիվ չկա): Բնական թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է N տառով։
2. Ամբողջ թվեր. Այս հավաքածուն ներառում է բոլորը, մինչդեռ այն ավելացված է և բացասական արժեքներ, ներառյալ «զրո» թիվը։ Ամբողջ թվերի բազմության նշումը գրված է այսպես լատինական տառԶ.
3. Ռացիոնալ թվերն այն թվերն են, որոնք մտովի կարող ենք վերածել կոտորակի, որի համարիչը կպատկանի ամբողջ թվերի բազմությանը, իսկ հայտարարը՝ բնական թվերին։ Ստորև մենք ավելի մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչ է նշանակում «ռացիոնալ թիվ», և կբերենք մի քանի օրինակ։
4. - բազմություն, որը ներառում է բոլոր ռացիոնալները և այս բազմությունը նշվում է R տառով:
5. Բարդ թվերը պարունակում են իրականի մի մասը և փոփոխականի մի մասը: Դրանք օգտագործվում են տարբեր խորանարդ հավասարումներ լուծելիս, որոնք, իրենց հերթին, կարող են բացասական արտահայտություն ունենալ բանաձևերում (i 2 = -1):

Ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ». վերլուծում ենք օրինակներով

Եթե ​​ռացիոնալ թվերն այն թվերն են, որոնք մենք կարող ենք ներկայացնել ձևով ընդհանուր կոտորակ, ստացվում է, որ բոլոր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նույնպես ներառված են ռացիոնալների բազմության մեջ։ Ի վերջո, ցանկացած ամբողջ թիվ, օրինակ 3 կամ 15, կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ հայտարարը կլինի մեկ:

Կոտորակներ՝ -9/3; 7/5, 6/55 օրինակներ են ռացիոնալ թվեր.

Ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ արտահայտություն»:

Առաջ շարժվել. Մենք արդեն քննարկել ենք, թե ինչ է նշանակում թվերի ռացիոնալ ձևը։ Եկեք հիմա պատկերացնենք մաթեմատիկական արտահայտություն, որը բաղկացած է գումարից, տարբերությունից, արտադրյալից կամ գործակիցից. տարբեր թվերև փոփոխականներ։ Ահա մի օրինակ՝ կոտորակ, որի համարիչում երկու կամ ավելի ամբողջ թվերի գումարն է, իսկ հայտարարը պարունակում է և՛ ամբողջ թիվ, և՛ որոշ փոփոխական։ Հենց այս արտահայտությունն է կոչվում ռացիոնալ։ «Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի» կանոնի հիման վրա կարող եք կռահել, որ այս փոփոխականի արժեքը չի կարող այնպիսին լինել, որ հայտարարի արժեքը դառնա զրո։ Հետևաբար, ռացիոնալ արտահայտություն լուծելիս նախ պետք է որոշել փոփոխականի տիրույթը։ Օրինակ, եթե հայտարարը պարունակում է հետևյալ արտահայտությունը՝ x+5-2, ապա ստացվում է, որ «x»-ը չի կարող հավասար լինել -3-ի։ Իրոք, այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը վերածվում է զրոյի, հետևաբար, լուծելիս անհրաժեշտ է բացառել -3 ամբողջ թիվը այս փոփոխականի համար։

Ինչպե՞ս ճիշտ լուծել ռացիոնալ հավասարումները:

Ռացիոնալ արտահայտությունները կարող են պարունակել մի քանիսը մեծ թվովթվեր և նույնիսկ 2 փոփոխականներ, ուստի երբեմն դրանց լուծումը դժվարանում է: Նման արտահայտության լուծումը հեշտացնելու համար խորհուրդ է տրվում որոշակի գործողություններ կատարել ռացիոնալ կերպով։ Այսպիսով, ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ կերպով», և ի՞նչ կանոններ պետք է կիրառել որոշում կայացնելիս։

1. Առաջին տեսակը, երբ բավական է պարզապես պարզեցնել արտահայտությունը։ Դա անելու համար դուք կարող եք դիմել համարիչի և հայտարարի անկրճատելի արժեքի կրճատման գործողության: Օրինակ, եթե համարիչը պարունակում է 18x արտահայտությունը, իսկ հայտարարը՝ 9x, ապա երկու ցուցանիշներն էլ կրճատելով 9x-ով, ստանում ենք ընդամենը 2-ի հավասար ամբողջ թիվ։
2. Երկրորդ մեթոդը գործնական է, երբ համարիչում ունենք միանդամ, իսկ հայտարարում՝ բազմանդամ։ Դիտարկենք օրինակ՝ համարիչում ունենք 5x, իսկ հայտարարում՝ 5x + 20x2: Այս դեպքում ավելի լավ է փակագծերից հանել հայտարարի փոփոխականը, ստանում ենք հայտարարի հետևյալ ձևը՝ 5x(1+4x): Եվ հիմա դուք կարող եք օգտագործել առաջին կանոնը և պարզեցնել արտահայտությունը՝ 5 անգամ կրճատելով համարիչում և հայտարարում: Արդյունքում ստանում ենք 1/1+4x ձևի կոտորակ։

Ի՞նչ գործողություններ կարելի է կատարել ռացիոնալ թվերի հետ:

Ռացիոնալ թվերի բազմությունն ունի իր մի շարք առանձնահատկություններ. Դրանցից շատերը շատ նման են այն բնութագրին, որն առկա է ամբողջ թվերի և բնական թվերի մեջ՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ վերջիններս միշտ ներառված են ռացիոնալ բազմության մեջ։ Ահա ռացիոնալ թվերի մի քանի հատկություններ, որոնց մասին իմանալով՝ հեշտությամբ կարող եք լուծել ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն։

1. Փոխադրելիության հատկությունը թույլ է տալիս գումարել երկու կամ ավելի թվեր՝ անկախ դրանց հերթականությունից։ Պարզ ասած՝ ժամկետների տեղերի փոփոխությունից գումարը չի փոխվում։
2. Բաշխման հատկությունը թույլ է տալիս լուծել խնդիրները՝ օգտագործելով բաշխիչ օրենքը:
3. Եվ վերջապես գումարման և հանման գործողությունները։

Նույնիսկ դպրոցականները գիտեն, թե ինչ է նշանակում «թվերի ռացիոնալ տեսակը» և ինչպես լուծել խնդիրները՝ հիմնվելով նման արտահայտությունների վրա, ուստի կրթված չափահասը պարզապես պետք է հիշի ռացիոնալ թվերի շարքի առնվազն հիմունքները:

ռացիոնալ արտահայտություն հանրահաշվական արտահայտությունռադիկալներ չպարունակող: Այլ կերպ ասած, դա մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ է (թվեր և տառեր), որոնք կապված են նշաններով. թվաբանական գործողություններգումարում, հանում, բազմապատկում ... ... Վիքիպեդիա

Հանրահաշվական արտահայտություն, որը չի պարունակում ռադիկալներ և ներառում է միայն գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունները։ Օրինակ՝ a2 + b, x/(y z2)… Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Հանրահաշվական արտահայտություն, որը չի պարունակում ռադիկալներ և ներառում է միայն գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունները։ Օրինակ՝ a2 + b, x/(y z2): * * * ՌԱՑԻՈՆԱԿԱՆ ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ ՌԱՑԻՈՆԱԿԱՆ ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ, հանրահաշվական արտահայտություն, որը չի պարունակում ... ... Հանրագիտարանային բառարան

Հանրահաշվական արտահայտություն, որը չի պարունակում ռադիկալներ, ինչպիսիք են a2 + b, x/(y z3): Եթե ​​ներառվի Ռ դ. տառերը համարվում են փոփոխականներ, ապա R. in. սահմանում է այս փոփոխականների ռացիոնալ ֆունկցիան (տես Ռացիոնալ ֆունկցիա): Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Հանրահաշվական արտահայտություն, որը չի պարունակում ռադիկալներ և ներառում է միայն գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունները։ Օրինակ՝ a2 + b, x/(y z2) ... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒՄ- առաջնային մաթեմատիկական հասկացություն, որը նշանակում է թվաբանական գործողությունների նշաններով միացված տառերի և թվերի գրառում, մինչդեռ կարող են օգտագործվել փակագծեր, ֆունկցիաների նշանակումներ և այլն. սովորաբար B-ն բանաձևի միլիոն մասն է: Տարբերակել (1)-ում ...... Մեծ պոլիտեխնիկական հանրագիտարան

ՌԱՑԻՈՆԱԼ- (Ռացիոնալ; Ռացիոնալ) տերմին, որն օգտագործվում է մտքին համապատասխան մտքեր, զգացմունքներ և գործողություններ նկարագրելու համար. վերաբերմունք, որը հիմնված է գործնական փորձի արդյունքում ձեռք բերված օբյեկտիվ արժեքների վրա: «Օբյեկտիվ արժեքները հաստատվում են փորձի մեջ ... ... Վերլուծական հոգեբանության բառարան

ՌԱՑԻԱԼ ԳԻՏԵԼԻՔ- մտածողության օգնությամբ ստացված օբյեկտիվ աշխարհի սուբյեկտիվ պատկեր: Մտածում - ակտիվ գործընթացիրականության ընդհանրացված և միջնորդավորված արտացոլում, որն ապահովում է նրա կանոնավոր կապերի հայտնաբերումը զգայական տվյալների հիման վրա և դրանց արտահայտումը... Գիտության և տեխնիկայի փիլիսոփայություն. թեմատիկ բառարան

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ, ՌԱՑԻԱԼ- Տրամաբանական կամ մաթեմատիկական արտահայտություն, որը հիմնված է գործընթացների վերաբերյալ (ռացիոնալ) ենթադրությունների վրա: Նման հավասարումները տարբերվում են էմպիրիկ հավասարումներից նրանով, որ դրանց պարամետրերը ստացվում են տեսական դեդուկտիվ եզրակացությունների արդյունքում: Բառարանհոգեբանության մեջ

ՌԱՑԻՈՆԱԼ, ռացիոնալ, ռացիոնալ; ռացիոնալ, ռացիոնալ, ռացիոնալ: 1. adj. ռացիոնալիզմին (գիրք). ռացիոնալ փիլիսոփայություն. 2. Բավականին ողջամիտ, հիմնավորված, նպատակահարմար։ Նա ռացիոնալ առաջարկություն արեց. Ռացիոնալ ... ... Ուշակովի բացատրական բառարան

1) R. հանրահաշվական հավասարում f (x) = 0 աստիճան p հանրահաշվական հավասարում g(y)=0 տրված հավասարումը… … Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Ամբողջական արտահայտությունը մաթեմատիկական արտահայտություն է, որը կազմված է թվերից և բառացի փոփոխականներից՝ օգտագործելով գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունները: Ամբողջ թվերը ներառում են նաև արտահայտություններ, որոնք ներառում են զրոյից տարբեր թվերի բաժանում:

Ամբողջ թվերի արտահայտման օրինակներ

Ստորև բերված են ամբողջ թվային արտահայտությունների օրինակներ.

1. 12 * ա ^ 3 + 5 * (2 * ա -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Կոտորակային արտահայտություններ

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է բաժանում ըստ փոփոխականի կամ փոփոխական պարունակող մեկ այլ արտահայտության, ապա այդպիսի արտահայտությունը ամբողջ թիվ չէ։ Նման արտահայտությունը կոչվում է կոտորակային արտահայտություն: Եկեք կոտորակային արտահայտության ամբողջական սահմանում տանք։

Կոտորակային արտահայտությունը մաթեմատիկական արտահայտություն է, որը, ի լրումն թվերի և այբբենական փոփոխականների հետ կատարված գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունների, ինչպես նաև թվի վրա բաժանելը չի զրո, պարունակում է նաև բառացի փոփոխականներով արտահայտությունների բաժանում։

Կոտորակային արտահայտությունների օրինակներ.

1. (12*ա^3 +4)/ա

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Կոտորակային և ամբողջ թվային արտահայտությունները կազմում են մաթեմատիկական արտահայտությունների երկու մեծ շարք: Եթե ​​այս բազմությունները միավորվեն, ապա մենք ստանում ենք նոր բազմություն, որը կոչվում է ռացիոնալ արտահայտություններ։ Այսինքն, ռացիոնալ արտահայտությունները բոլորն էլ ամբողջ և կոտորակային արտահայտություններ են:

Մենք գիտենք, որ ամբողջ թվային արտահայտությունները իմաստ ունեն դրանում ներառված փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար: Սա բխում է նրանից, որ ամբողջ թվային արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել գործողություններ, որոնք միշտ հնարավոր են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում զրոյից տարբեր թվով։

Կոտորակային արտահայտությունները, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, կարող են իմաստ չունենալ: Քանի որ կա փոփոխականով բաժանման գործողություն կամ փոփոխականներ պարունակող արտահայտություն, և այս արտահայտությունը կարող է վերածվել զրոյի, բայց զրոյի բաժանումն անհնար է։ Փոփոխականների արժեքները, որոնց համար կոտորակային արտահայտությունիմաստ կունենա, կանչեք փոփոխականների վավեր արժեքները:

ռացիոնալ կոտորակ

Հատուկ դեպքերից մեկը ռացիոնալ արտահայտություններկլինի կոտորակ, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են: Մաթեմատիկայում նման կոտորակի համար կա նաև անուն՝ ռացիոնալ կոտորակ։

Ռացիոնալ կոտորակը իմաստ կունենա, եթե նրա հայտարարը հավասար չէ զրոյի: Այսինքն, փոփոխականների բոլոր արժեքները, որոնց համար կոտորակի հայտարարը տարբերվում է զրոյից, վավեր կլինեն:

Այս դասը կներառի ռացիոնալ արտահայտությունների և դրանց փոխակերպումների մասին հիմնական տեղեկատվությունը, ինչպես նաև ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման օրինակներ: Այս թեման ամփոփում է մինչ այժմ մեր ուսումնասիրած թեմաները։ Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումները ներառում են գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում հանրահաշվական կոտորակներ, կրճատում, ֆակտորիզացիա և այլն: Դասի շրջանակներում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը, ինչպես նաև կվերլուծենք դրանց փոխակերպման օրինակները:

Առարկա:Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա

Դաս.Հիմնական տեղեկություններ ռացիոնալ արտահայտությունների և դրանց փոխակերպումների մասին

Սահմանում

ռացիոնալ արտահայտությունթվերից, փոփոխականներից, թվաբանական գործողություններից և աստիճանականացումից բաղկացած արտահայտություն է։

Դիտարկենք ռացիոնալ արտահայտության օրինակ.

Ռացիոնալ արտահայտությունների հատուկ դեպքեր.

1-ին աստիճան: ;

2. միանդամ՝ ;

3. կոտորակ՝ .

Ռացիոնալ արտահայտման փոխակերպումռացիոնալ արտահայտության պարզեցում է։ Գործողությունների հերթականությունը ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման ժամանակ՝ սկզբում կան գործողություններ փակագծերում, ապա բազմապատկման (բաժանման), ապա գումարման (հանման) գործողություններ։

Դիտարկենք ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1

Որոշում:

Եկեք քայլ առ քայլ լուծենք այս օրինակը։ Առաջին հերթին կատարվում է փակագծերում տրված գործողությունը:

Պատասխան.

Օրինակ 2

Որոշում:

Պատասխան.

Օրինակ 3

Որոշում:

Պատասխան. .

Նշում:երևի երբ տեսնում ես այս օրինակըԳաղափար առաջացավ՝ կրճատել կոտորակը մինչև ընդհանուր հայտարարի բերելը: Իսկապես, դա միանգամայն ճիշտ է՝ նախ ցանկալի է հնարավորինս պարզեցնել արտահայտությունը, հետո վերափոխել այն։ Փորձենք նույն օրինակը լուծել երկրորդ ճանապարհով։

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանը միանգամայն նման է ստացվել, բայց լուծումը որոշ չափով ավելի պարզ է ստացվել։

Այս դասում մենք նայեցինք ռացիոնալ արտահայտությունները և դրանց փոխակերպումները, ինչպես նաև մի քանիսը կոնկրետ օրինակներփոխակերպման տվյալներ.

Մատենագիտություն

1. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ 8-րդ դասարան. - Մ.: Լուսավորություն, 2004:

2. Դորոֆեև Գ.Վ., Սուվորովա Ս.Բ., Բունիմովիչ Է.Ա. et al. Հանրահաշիվ 8. - 5-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.

Հանրահաշվի դասընթացից դպրոցական ծրագիրԵկեք իջնենք կոնկրետություններին: Այս հոդվածում մենք մանրամասն կուսումնասիրենք հատուկ տեսակռացիոնալ արտահայտություններ - ռացիոնալ կոտորակներ, ինչպես նաև վերլուծել, թե ինչ բնութագիր է նույնական ռացիոնալ կոտորակների փոխակերպումներտեղի ունենալ.

Մենք անմիջապես նշում ենք, որ ռացիոնալ կոտորակներն այն իմաստով, որով մենք սահմանում ենք դրանք ստորև, որոշ հանրահաշվի դասագրքերում կոչվում են հանրահաշվական կոտորակներ: Այսինքն՝ այս հոդվածում մենք նույն բանը կհասկանանք ռացիոնալ և հանրահաշվական կոտորակների տակ։

Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք սահմանումով և օրինակներով: Հաջորդիվ անդրադառնանք ռացիոնալ կոտորակը նոր հայտարարի բերելու և կոտորակի անդամների նշանները փոխելու մասին։ Դրանից հետո մենք կվերլուծենք, թե ինչպես է կատարվում կոտորակների կրճատումը։ Ի վերջո, անդրադառնանք ռացիոնալ կոտորակի ներկայացմանը որպես մի քանի կոտորակների գումար: Մենք կներկայացնենք ամբողջ տեղեկատվությունը օրինակներով մանրամասն նկարագրություններլուծումներ։

Էջի նավարկություն.

Ռացիոնալ կոտորակների սահմանում և օրինակներ

8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերին ուսումնասիրվում են ռացիոնալ կոտորակները: Մենք կօգտագործենք ռացիոնալ կոտորակի սահմանումը, որը տրված է 8-րդ դասարանների հանրահաշվի դասագրքում Յու. Ն. Մակարիչևի և այլոց կողմից:

Այս սահմանումը չի հստակեցնում, թե ռացիոնալ կոտորակի համարիչի և հայտարարի բազմանդամները պետք է լինեն բազմանդամներ։ ստանդարտ տեսքկամ ոչ. Հետևաբար, մենք կենթադրենք, որ ռացիոնալ կոտորակները կարող են պարունակել ինչպես ստանդարտ, այնպես էլ ոչ ստանդարտ բազմանդամներ։

Ահա մի քանիսը ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ. Այսպիսով, x/8 և - ռացիոնալ կոտորակներ. Եվ կոտորակներ և չեն համապատասխանում ռացիոնալ կոտորակի հնչեցված սահմանմանը, քանի որ դրանցից առաջինում համարիչը բազմանդամ չէ, իսկ երկրորդում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը պարունակում են արտահայտություններ, որոնք բազմանդամ չեն:

Ռացիոնալ կոտորակի համարիչի և հայտարարի փոխակերպում

Ցանկացած կոտորակի համարիչն ու հայտարարը ինքնաբավ մաթեմատիկական արտահայտություններն են, ռացիոնալ կոտորակների դեպքում՝ բազմանդամներ, կոնկրետ դեպքում՝ միանդամներ և թվեր։ Հետևաբար, ռացիոնալ կոտորակի համարիչով և հայտարարով, ինչպես ցանկացած արտահայտություն, կարող են կատարվել նույնական փոխակերպումներ։ Այլ կերպ ասած, ռացիոնալ կոտորակի համարիչի արտահայտությունը կարող է փոխարինվել մի արտահայտությամբ, որը նույնականորեն հավասար է նրան, ինչպես հայտարարը:

Ռացիոնալ կոտորակի համարիչում և հայտարարում կարող են կատարվել նույնական փոխակերպումներ։ Օրինակ, համարիչում կարող եք խմբավորել և կրճատել նմանատիպ անդամներ, իսկ հայտարարում մի քանի թվերի արտադրյալը կարող է փոխարինվել դրա արժեքով։ Եվ քանի որ ռացիոնալ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են, հնարավոր է դրանցով կատարել բազմանդամներին բնորոշ փոխակերպումներ, օրինակ՝ վերածում ստանդարտ ձևի կամ ներկայացում որպես արտադրյալ։

Պարզության համար հաշվի առեք մի քանի օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Փոխակերպել ռացիոնալ կոտորակ այնպես որ համարիչը ստանդարտ ձևի բազմանդամն է, իսկ հայտարարը բազմանդամների արտադրյալն է։

Որոշում.

Ռացիոնալ կոտորակները նոր հայտարարի վերածելը հիմնականում օգտագործվում է ռացիոնալ կոտորակներ գումարել և հանելիս։

Կոտորակի դիմաց, ինչպես նաև դրա համարիչի և հայտարարի նշանների փոփոխություն

Կոտորակի հիմնական հատկությունը կարող է օգտագործվել կոտորակի տերմինների նշանները փոխելու համար։ Իրոք, ռացիոնալ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը -1-ով բազմապատկելը հավասարազոր է դրանց նշանները փոխելուն, և ստացվում է կոտորակ, որը նույնականորեն հավասար է տրվածին: Նման փոխակերպումը պետք է բավականին հաճախ օգտագործվի ռացիոնալ կոտորակների հետ աշխատելիս:

Այսպիսով, եթե միաժամանակ փոխեք կոտորակի համարիչի և հայտարարի նշանները, կստանաք սկզբնականին հավասար կոտորակ։ Այս հայտարարությունը համապատասխանում է հավասարությանը։

Օրինակ բերենք. Ռացիոնալ կոտորակը կարող է փոխարինվել ձևի համարիչի և հայտարարի հակադարձ նշաններով նույնական հավասար կոտորակով:

Կոտորակներով դուք կարող եք ևս մեկ բան անել ինքնության վերափոխում, որի դեպքում նշանը փոխվում է կամ համարիչով կամ հայտարարով։ Եկեք անցնենք համապատասխան կանոնին. Եթե ​​կոտորակի նշանը փոխարինեք համարիչի կամ հայտարարի նշանի հետ, կստանաք կոտորակ, որը նույնականորեն հավասար է բնօրինակին: Գրավոր հայտարարությունը համապատասխանում է հավասարություններին և .

Դժվար չէ ապացուցել այս հավասարությունները։ Ապացույցը հիմնված է թվերի բազմապատկման հատկությունների վրա։ Փաստենք դրանցից առաջինը. Նմանատիպ փոխակերպումների օգնությամբ ապացուցվում է նաև հավասարությունը։

Օրինակ, կոտորակը կարող է փոխարինվել արտահայտությամբ կամ .

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար ներկայացնում ենք ևս երկու օգտակար հավասարումներ և . Այսինքն, եթե դուք փոխում եք միայն համարիչի կամ միայն հայտարարի նշանը, ապա կոտորակը կփոխի իր նշանը։ Օրինակ, և .

Դիտարկված փոխակերպումները, որոնք թույլ են տալիս փոխել կոտորակի տերմինների նշանը, հաճախ օգտագործվում են կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունները փոխակերպելիս։

Ռացիոնալ կոտորակների կրճատում

Ռացիոնալ կոտորակների հետևյալ փոխակերպումը, որը կոչվում է ռացիոնալ կոտորակների կրճատում, հիմնված է կոտորակի նույն հիմնական հատկության վրա. Այս փոխակերպումը համապատասխանում է հավասարությանը, որտեղ a , b և c որոշ բազմանդամներ են, իսկ b և c-ն զրոյական չեն:

Վերոնշյալ հավասարությունից պարզ է դառնում, որ ռացիոնալ կոտորակի կրճատումը ենթադրում է ազատվել նրա համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցից։

Օրինակ.

Կրճատել ռացիոնալ կոտորակը:

Որոշում.

Միանգամից երևում է ընդհանուր գործոն 2-ը, փոքրացնենք (գրելիս հարմար է հատել ընդհանուր գործոնները, որոնցով կատարվում է կրճատումը)։ Մենք ունենք . Քանի որ x 2 \u003d x x և y 7 \u003d y 3 y 4 (տե՛ս անհրաժեշտության դեպքում), պարզ է, որ x-ը ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցն է, ինչպես y 3-ը: Նվազեցնենք հետևյալ գործոններով. . Սա ավարտում է կրճատումը:

Վերևում մենք հաջորդաբար կատարեցինք ռացիոնալ կոտորակի կրճատումը։ Իսկ կրճատումը հնարավոր եղավ կատարել մեկ քայլով՝ կոտորակն անմիջապես փոքրացնելով 2·x·y 3-ով։ Այս դեպքում լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը. .

Պատասխան.

.

Ռացիոնալ կոտորակները կրճատելիս հիմնական խնդիրն այն է, որ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը միշտ չէ, որ տեսանելի է։ Ավելին, դա միշտ չէ, որ գոյություն ունի։ Ընդհանուր գործակից գտնելու կամ համոզվելու համար, որ այն գոյություն չունի, պետք է ֆակտորիզացնել ռացիոնալ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը: Եթե ​​ընդհանուր գործոն չկա, ապա սկզբնական ռացիոնալ կոտորակը պետք չէ կրճատել, հակառակ դեպքում՝ կրճատումն իրականացվում է։

Ռացիոնալ կոտորակների կրճատման գործընթացում կարող են առաջանալ տարբեր նրբերանգներ. Հիմնական նրբությունները օրինակներով և մանրամասներով քննարկվում են հանրահաշվական կոտորակների կրճատման հոդվածում։

Ավարտելով ռացիոնալ կոտորակների կրճատման մասին զրույցը, մենք նշում ենք, որ այս փոխակերպումը նույնական է, և դրա իրականացման հիմնական դժվարությունը կայանում է բազմանդամների ֆակտորիզացիայի մեջ համարիչում և հայտարարում:

Ռացիոնալ կոտորակի ներկայացում որպես կոտորակների գումար

Բավականին կոնկրետ, բայց որոշ դեպքերում շատ օգտակար է ռացիոնալ կոտորակի փոխակերպումը, որը բաղկացած է նրանից, որ այն ներկայացվում է որպես մի քանի կոտորակի գումար, կամ ամբողջ թվային արտահայտության և կոտորակի գումար:

Ռացիոնալ կոտորակը, որի համարիչում կա բազմանդամ, որը մի քանի միանդամների գումար է, միշտ կարելի է գրել որպես կոտորակների գումար. նույն հայտարարները, որոնց համարիչները պարունակում են համապատասխան միանուններ։ Օրինակ, . Այս ներկայացումը բացատրվում է նույն հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարման և հանման կանոնով։

Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած ռացիոնալ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես կոտորակների գումար տարբեր ձևերով: Օրինակ, a/b կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես երկու կոտորակների գումար՝ կամայական c/d կոտորակի և a/b և c/d կոտորակների տարբերությանը հավասար կոտորակի: Այս հայտարարությունը ճիշտ է, քանի որ հավասարությունը . Օրինակ, ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես կոտորակների գումար տարբեր ճանապարհներ: Բնօրինակ կոտորակը ներկայացնում ենք որպես ամբողջ թվային արտահայտության և կոտորակի գումար: Համարիչը հայտարարի վրա սյունակի վրա բաժանելուց հետո ստանում ենք հավասարություն . Ցանկացած n ամբողջ թվի համար n 3 +4 արտահայտության արժեքը ամբողջ թիվ է։ Իսկ կոտորակի արժեքը ամբողջ թիվ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա հայտարարը 1, −1, 3 կամ −3 է։ Այս արժեքները համապատասխանում են համապատասխանաբար n=3, n=1, n=5 և n=−1 արժեքներին։

Պատասխան.

−1 , 1 , 3 , 5 .

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 7-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Ուսանողի դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ A. G. Mordkovich. - 13-րդ հրատ., Վեր. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01198-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.