Կոտորակը բարձրացնելով խորանարդի: Հանրահաշվական կոտորակը հասցնելու աստիճանի

Ժամանակն է ծանոթանալու էրեկցիա հանրահաշվական կոտորակմի աստիճանի. Այս գործողությունը հանրահաշվական կոտորակների հետ, ըստ աստիճանի, կրճատվում է բազմապատկման նույնական կոտորակներ. Այս հոդվածում մենք կտանք համապատասխան կանոնը և կդիտարկենք հանրահաշվական կոտորակները բնական հզորությունների հասցնելու օրինակներ:

Էջի նավարկություն.

Հանրահաշվական կոտորակը աստիճանի հասցնելու կանոնը, դրա ապացույցը

Մինչև հանրահաշվական կոտորակը մինչև հզորության բարձրացնելու մասին խոսելը, վատ չէ հիշել, թե որն է նույն գործոնների արտադրյալը, որոնք կանգնած են աստիճանի հիմքում, և դրանց թիվը որոշվում է ցուցիչով: Օրինակ՝ 2 3 =2 2 2=8 .

Եվ հիմա եկեք հիշենք սովորական կոտորակի հզորության բարձրացման կանոնը. դրա համար անհրաժեշտ է առանձին բարձրացնել համարիչը նշված հզորությանը, իսկ առանձին՝ հայտարարին: Օրինակ, . Այս կանոնը վերաբերում է հանրահաշվական կոտորակը բնական հզորության բարձրացմանը:

Հանրահաշվական կոտորակի բարձրացում բնական հզորությանտալիս է նոր կոտորակ, որի համարիչում նշվում է սկզբնական կոտորակի համարիչի նշված աստիճանը, իսկ հայտարարում՝ հայտարարի աստիճանը։ Բառացի ձևով այս կանոնը համապատասխանում է հավասարությանը, որտեղ a-ն և b-ն կամայական բազմանդամներ են (առանձին դեպքերում՝ միանդամներ կամ թվեր), իսկ b-ն ոչ զրոյական բազմանդամ է, իսկ n-ը .

Հանրահաշվական կոտորակը մեծացնելու համար հնչեցված կանոնի ապացույցը հիմնված է բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանման վրա և այն բանի վրա, թե ինչպես ենք սահմանել հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը. .

Օրինակներ, լուծումներ

Նախորդ պարբերությունում ստացված կանոնը նվազեցնում է հանրահաշվական կոտորակի բարձրացումը մինչև ուժի սկզբնական կոտորակի համարիչի և հայտարարի այս աստիճանի բարձրացմանը: Եվ քանի որ սկզբնական հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են (կոնկրետ դեպքում՝ միանդամներ կամ թվեր), սկզբնական առաջադրանքը կրճատվում է բազմանդամների աստիճանի հասցնելու վրա։ Այս գործողությունը կատարելուց հետո կստացվի նոր հանրահաշվական կոտորակ, որը նույնականորեն հավասար է սկզբնական հանրահաշվական կոտորակի նշված հզորությանը:

Եկեք նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ.

Հանրահաշվական կոտորակի քառակուսի:

Որոշում.

Գրենք աստիճանը։ Այժմ մենք դիմում ենք հանրահաշվական կոտորակի աստիճանի մեծացման կանոնին, որը մեզ հավասարություն է տալիս . Մնում է ստացված կոտորակը վերածել հանրահաշվական կոտորակի ձևի՝ միանդամները հասցնելով աստիճանի: Այսպիսով .

Սովորաբար հանրահաշվական կոտորակը մեծացնելու դեպքում լուծման ընթացքը չի բացատրվում, իսկ լուծումը գրվում է հակիրճ։ Մեր օրինակը համապատասխանում է արձանագրությանը .

Պատասխան.

.

Երբ բազմանդամները, հատկապես երկանդամները, գտնվում են հանրահաշվական կոտորակի համարիչի և (կամ) հայտարարի մեջ, ապա այն աստիճանի բարձրացնելիս խորհուրդ է տրվում օգտագործել համապատասխան կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:

Օրինակ.

Բարձրացրեք հանրահաշվական կոտորակը երկրորդ աստիճանի։

Որոշում.

Կոտորակի իշխանության բարձրացման կանոնով ունենք .

Ստացված արտահայտությունը համարիչում փոխակերպելու համար մենք օգտագործում ենք տարբերության քառակուսի բանաձև, իսկ հայտարարում՝ երեք անդամների գումարի քառակուսու բանաձեւը.

Պատասխան.

Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ եթե մենք անկրճատելի հանրահաշվական կոտորակը բարձրացնենք բնական հզորության, ապա արդյունքը կլինի նաև անկրճատելի կոտորակը: Եթե ​​սկզբնական կոտորակը չեղարկվում է, ապա այն մինչև հզորության բարձրացնելը, խորհուրդ է տրվում կրճատել հանրահաշվական կոտորակը, որպեսզի կրճատումը չկատարվի մինչև հզորության բարձրացումից հետո:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Ուսանողի դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ A. G. Mordkovich. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: www.website-ի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերև արտաքին դիզայնչի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:

Թվի աստիճանի մասին զրույցի շարունակության մեջ տրամաբանական է զբաղվել աստիճանի արժեքը գտնելով։ Այս գործընթացը անվանվել է հզորացում. Այս հոդվածում մենք պարզապես կուսումնասիրենք, թե ինչպես է կատարվում աստիճանավորումը՝ միաժամանակ անդրադառնալով բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ: Եվ ըստ ավանդույթի, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք թվերը տարբեր աստիճանի բարձրացնելու օրինակների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է նշանակում «արտահայտում»:

Սկսենք բացատրելով այն, ինչ կոչվում է աստիճանականացում։ Ահա համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Էքսպոենտացիաթվի հզորության արժեքը գտնելն է:

Այսպիսով, a-ի հզորության արժեքը գտնելը r ցուցանիշով և a թիվը հասցնելով r-ի մեծության նույն բանն է։ Օրինակ, եթե առաջադրանքը «հաշվիր հզորության արժեքը (0.5) 5», ապա այն կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. «0.5 թիվը բարձրացրեք 5-ի»:

Այժմ դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել այն կանոններին, որոնցով իրականացվում է աստիճանավորումը:

Թիվը բնական ուժի հասցնելը

Գործնականում, վրա հիմնված հավասարությունը սովորաբար կիրառվում է ձևով: Այսինքն՝ a թիվը կոտորակային մ/ն աստիճանի բարձրացնելիս a թվից սկզբում հանվում է n-րդ աստիճանի արմատը, որից հետո արդյունքը հասցվում է ամբողջ թվային հզորության m։

Դիտարկենք կոտորակային հզորության բարձրացման օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Հաշվիր աստիճանի արժեքը։

Որոշում.

Մենք ցույց ենք տալիս երկու լուծում.

Առաջին ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ։ Արմատի նշանի տակ հաշվում ենք աստիճանի արժեքը, որից հետո հանում ենք խորանարդի արմատ: .

Երկրորդ ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ և արմատների հատկությունների հիման վրա հավասարությունները ճշմարիտ են . Այժմ հանեք արմատը Ի վերջո, մենք բարձրացնում ենք ամբողջ թվի հզորությունը .

Ակնհայտ է, որ կոտորակային հզորության բարձրացման ստացված արդյունքները համընկնում են։

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ցուցիչը կարող է գրվել որպես տասնորդական կոտորակ կամ խառը թիվ, այս դեպքերում այն ​​պետք է փոխարինել համապատասխան սովորական կոտորակով, այնուհետև կատարել աստիճանավորում։

Օրինակ.

Հաշվիր (44,89) 2,5 .

Որոշում.

Ցուցանիշը գրում ենք սովորական կոտորակի տեսքով (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը). . Այժմ մենք կատարում ենք բարձրացում մինչև կոտորակային հզորություն.

Պատասխան.

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Պետք է նաև ասել, որ թվերը ռացիոնալ հզորությունների հասցնելը բավականին աշխատատար գործընթաց է (հատկապես երբ կոտորակային ցուցանիշի համարիչն ու հայտարարը բավարար չափով են պարունակում. մեծ թվեր), որը սովորաբար իրականացվում է համակարգչային տեխնիկայի միջոցով։

Այս պարբերության վերջում մենք կանդրադառնանք զրոյական թվի կոտորակային հզորության կառուցմանը: Ձևի զրոյի կոտորակային աստիճանին տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ քանի որ ունենք , մինչդեռ զրոյական մ/ն հզորությունը սահմանված չէ։ Այսպիսով, զրո դրական կոտորակային հզորությանը զրո, Օրինակ, . Իսկ կոտորակային բացասական հզորության մեջ զրոն իմաստ չունի, օրինակ արտահայտություններն ու 0 -4,3-ը իմաստ չունեն։

Իռացիոնալ ուժի բարձրացում

Երբեմն անհրաժեշտ է դառնում պարզել իռացիոնալ ցուցիչով թվի աստիճանի արժեքը։ Այս դեպքում, գործնական նպատակներով, սովորաբար բավական է ստանալ աստիճանի արժեքը մինչև որոշակի նշան։ Մենք անմիջապես նշում ենք, որ այս արժեքը գործնականում հաշվարկվում է էլեկտրոնային հաշվողական տեխնոլոգիայի միջոցով՝ ir-ի բարձրացումից հետո ռացիոնալ աստիճանձեռքով պահանջում է մեծ թվովծանր հաշվարկներ. Այնուամենայնիվ, մենք նկարագրելու ենք ընդհանուր առումովգործողության էությունը.

Ա-ի հզորության մոտավոր արժեքը ստանալու համար իռացիոնալ ցուցանիշ, վերցվում է աստիճանի որոշ տասնորդական մոտարկում, և հաշվարկվում է ցուցիչի արժեքը։ Այս արժեքը իռացիոնալ ցուցիչով a թվի աստիճանի մոտավոր արժեքն է։ Ինչքան ի սկզբանե վերցվի թվի տասնորդական մոտարկումը, այնքան ավելի ճշգրիտ արժեքաստիճանը կստացվի վերջում։

Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք 2 1.174367-ի հզորության մոտավոր արժեքը... . Վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի հետևյալ տասնորդական մոտարկումը. Այժմ մենք 2-ը բարձրացնում ենք մինչև 1.17 ռացիոնալ ուժ (մենք նկարագրեցինք այս գործընթացի էությունը նախորդ պարբերությունում), ստանում ենք 2 1.17 ≈ 2.250116: Այսպիսով, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Եթե ​​վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի ավելի ճշգրիտ տասնորդական մոտարկում, օրինակ՝ , ապա մենք ստանում ենք սկզբնական աստիճանի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա Ժ դասագիրք 5 բջիջի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 7 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 8 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 9 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).

Դասը կքննարկի կոտորակների բազմապատկման ավելի ընդհանրացված տարբերակը. սա է աստիճանավորումը: Նախ կխոսենք կոտորակի բնական աստիճանի և կոտորակների հետ նմանատիպ գործողություններ ցուցադրող օրինակների մասին։ Դասի սկզբում մենք նույնպես կկրկնենք ամբողջ թվային արտահայտությունների բնական հզորության բարձրացումը և կտեսնենք, թե ինչպես է դա օգտակար հետագա օրինակներ լուծելու համար:

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա

Դաս. Հանրահաշվական կոտորակը հասցնելու աստիճանի

1. Տարրական օրինակներով կոտորակների և ամբողջ թվերի արտահայտությունները բնական ուժերին հասցնելու կանոններ.

Սովորական և հանրահաշվական կոտորակները բնական հզորությունների բարձրացնելու կանոն.

Դուք կարող եք անալոգիա նկարել ամբողջ թվի արտահայտության աստիճանի հետ և հիշել, թե ինչ է նշանակում այն ​​բարձրացնելով հզորության.

Օրինակ 1 .

Ինչպես երևում է օրինակից, կոտորակը մինչև հզորության հասցնելը նշանակում է հատուկ դեպքկոտորակների բազմապատկում, որն ուսումնասիրվել է նախորդ դասին.

Օրինակ 2. ա), բ) - մինուսը հեռանում է, քանի որ մենք արտահայտությունը հասցրեցինք հավասարաչափի։

Դիպլոմների հետ աշխատելու հարմարության համար մենք հիշում ենք բնական ուժի բարձրացման հիմնական կանոնները.

- աստիճանների արտադրանք;

- աստիճանների բաժանում;

աստիճանի բարձրացում մինչև իշխանության;

Աշխատանքի աստիճանը.

Օրինակ 3. - սա մեզ հայտնի է «Ամբողջ թվային արտահայտությունների հզորության բարձրացում» թեմայից, բացառությամբ մեկ դեպքի՝ այն գոյություն չունի։

2. Հանրահաշվական կոտորակները բնական հզորությունների հասցնելու ամենապարզ օրինակները

Օրինակ 4. Կոտորակը բարձրացրո՛ւ մեծության:

Որոշում. Երբ բարձրացվում է հավասարաչափ հզորության, մինուսը հեռանում է.

Օրինակ 5. Կոտորակը հասցրե՛ք ուժի:

Որոշում. Այժմ մենք առանց առանձին ժամանակացույցի օգտագործում ենք աստիճանը հզորության անմիջապես բարձրացնելու կանոնները.

.

Այժմ հաշվի առեք համակցված առաջադրանքները, որոնցում մեզ անհրաժեշտ կլինի կոտորակները հասցնել հզորության և բազմապատկել դրանք և բաժանել:

Օրինակ 6. Կատարել գործողություններ:

Որոշում. . Հաջորդը, դուք պետք է կրճատեք: Մենք մեկ անգամ մանրամասն կնկարագրենք, թե ինչպես ենք դա անելու, այնուհետև անալոգիայի միջոցով անմիջապես ցույց կտանք արդյունքը. Նմանապես (կամ ըստ աստիճանների բաժանման կանոնի)։ Մենք ունենք: .

Օրինակ 7. Կատարել գործողություններ:

Որոշում. . Կրճատումն իրականացվում է ավելի վաղ քննարկված օրինակի անալոգիայով:

Օրինակ 8. Կատարել գործողություններ:

Որոշում. . AT այս օրինակըմենք ևս մեկ անգամ ավելի մանրամասն նկարագրեցինք ֆրակցիաների հզորությունների կրճատման գործընթացը՝ այս մեթոդը համախմբելու համար:

3. Հանրահաշվական կոտորակները բնական հզորությունների հասցնելու ավելի բարդ օրինակներ (հաշվի առնելով նշանները և տերմինները փակագծերում)

Օրինակ 9. Կատարել գործողություններ .

Որոշում. Այս օրինակում մենք արդեն բաց կթողնենք կոտորակների առանձին բազմապատկումը և անմիջապես կօգտագործենք դրանց բազմապատկման կանոնը և կգրենք այն մեկ հայտարարի տակ։ Միևնույն ժամանակ, մենք հետևում ենք նշաններին. այս դեպքում կոտորակները բարձրացվում են նույնիսկ հզորությունների, ուստի մինուսները անհետանում են: Վերջում կրճատում անենք։

Օրինակ 10. Կատարել գործողություններ .

Որոշում. Այս օրինակում կա կոտորակների բաժանում, հիշեք, որ այս դեպքում առաջին կոտորակը բազմապատկվում է երկրորդով, բայց շրջված։

Թեման հանգում է նրան, որ պետք է միանման կոտորակները բազմապատկել։ Այս հոդվածը ձեզ կպատմի, թե ինչ կանոն պետք է օգտագործեք հանրահաշվական կոտորակները բնական ուժերին ճիշտ բարձրացնելու համար:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հանրահաշվական կոտորակը աստիճանի հասցնելու կանոնը, դրա ապացույցը

Նախքան ուժի բարձրացումը սկսելը, դուք պետք է խորացնեք ձեր գիտելիքները բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի մասին հոդվածի օգնությամբ, որտեղ կա նույնական գործոնների արտադրյալ, որոնք գտնվում են աստիճանի հիմքում, և դրանց թիվը որոշվում է: ցուցանիշով։ Օրինակ՝ 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 թիվը։

Իշխանության բարձրացման ժամանակ մենք ամենից հաճախ օգտագործում ենք կանոնը. Դա անելու համար առանձին բարձրացրեք համարիչն ու հայտարարը առանձին: Դիտարկենք օրինակ 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9: Կանոնը վերաբերում է կոտորակի բնական հզորության բարձրացմանը:

ժամը հանրահաշվական կոտորակը հասցնելով բնական հզորությանստանում ենք նորը, որտեղ համարիչն ունի սկզբնական կոտորակի աստիճանը, իսկ հայտարարը՝ հայտարարի աստիճանը։ Այս ամենը a b n = a n b n ձևն է, որտեղ a-ն և b-ը կամայական բազմանդամներ են, b-ն ոչ զրոյական է, իսկ n-ը բնական թիվ է:

Այս կանոնի ապացույցը գրվում է որպես կոտորակ, որը պետք է բարձրացվի հզորության՝ հիմնվելով բուն սահմանման վրա՝ բնական ցուցանիշով։ Այնուհետև մենք ստանում ենք a b n = a b · a b · ձևի կոտորակների բազմապատկումը: . . · a b = a · a · . . . · ա բ · բ · . . . b = a n b n

Օրինակներ, լուծումներ

Հանրահաշվական կոտորակը աստիճանի հասցնելու կանոնը կատարվում է հաջորդաբար՝ սկզբում համարիչը, այնուհետև հայտարարը։ Երբ համարիչում և հայտարարում կա բազմանդամ, ապա առաջադրանքն ինքնին կկրճատվի տրված բազմանդամը աստիճանի հասցնելու: Դրանից հետո կնշվի նոր կոտորակ, որը հավասար է սկզբնականին։

Օրինակ 1

x 2 3 y z 3 կոտորակի քառակուսում

Որոշում

Անհրաժեշտ է ամրագրել x 2 3 · y · z 3 2 աստիճանը: Համաձայն հանրահաշվական կոտորակը աստիճանի հասցնելու կանոնի՝ ստանում ենք x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ձևի հավասարություն: Այժմ անհրաժեշտ է ստացված կոտորակը աստիճանավորմամբ վերածել հանրահաշվական ձևի։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Տարբերակման բոլոր դեպքերը մանրամասն բացատրություն չեն պահանջում, ուստի լուծումն ինքնին ունի կարճ գրառում: Այսինքն՝ մենք դա ստանում ենք

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Պատասխան. x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6:

Եթե ​​համարիչն ու հայտարարը ունեն բազմանդամներ, ապա անհրաժեշտ է ամբողջ կոտորակը հասցնել աստիճանի, իսկ հետո այն պարզեցնելու համար կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը։

Օրինակ 2

Քառակուսի 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y կոտորակը:

Որոշում

Կանոնից մենք դա ունենք

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Արտահայտությունը փոխարկելու համար պետք է օգտագործել հայտարարի մեջ երեք անդամների գումարի քառակուսու բանաձևը, իսկ համարիչում՝ տարբերության քառակուսին, որը կպարզեցնի արտահայտությունը։ Մենք ստանում ենք.

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Պատասխան. 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակը բարձրացնելիս, որը մենք չենք կարող հասցնել բնական հզորության, ստանում ենք նաև անկրճատելի կոտորակ: Սա չի հեշտացնում հետագա լուծումը: Երբ տրված կոտորակը կարող է կրճատվել, ապա աստիճանավորելիս մենք գտնում ենք, որ անհրաժեշտ է կատարել հանրահաշվական կոտորակի կրճատում, որպեսզի խուսափենք կրճատումը կատարելուց հետո մինչև հզորությունը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մենք պարզեցինք, թե որն է ընդհանուր թվի աստիճանը: Այժմ մենք պետք է հասկանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել այն, այսինքն. բարձրացնել թվերը իշխանության. Այս նյութում մենք կվերլուծենք աստիճանի հաշվարկման հիմնական կանոնները ամբողջ թվի, բնական, կոտորակային, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցանիշի դեպքում։ Բոլոր սահմանումները կներկայացվեն օրինակներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հզորացման հայեցակարգը

Սկսենք հիմնական սահմանումների ձևակերպումից։

Սահմանում 1

Էքսպոենտացիաինչ-որ թվի հզորության արժեքի հաշվարկն է։

Այսինքն՝ «աստիճանի արժեքի հաշվարկ» և «աստիճանականացում» բառերը նույն բանն են նշանակում։ Այսպիսով, եթե առաջադրանքն է «Բարձրացրեք 0, 5 թիվը հինգերորդ աստիճանի», սա պետք է հասկանալ որպես «հաշվարկեք հզորության արժեքը (0, 5) 5:

Այժմ մենք տալիս ենք հիմնական կանոնները, որոնք պետք է պահպանվեն նման հաշվարկներում:

Հիշեք, թե ինչ է բնական ցուցիչով թվի ուժը: a հիմքով և n աստիճանով հզորության համար սա կլինի n-րդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Սա կարելի է գրել այսպես.

Աստիճանի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կատարել բազմապատկման գործողությունը, այսինքն՝ աստիճանի հիմքերը բազմապատկել նշված քանակով։ Բնական ցուցանիշով աստիճանի գաղափարը հիմնված է արագ բազմապատկվելու ունակության վրա: Օրինակներ բերենք.

Օրինակ 1

Վիճակը. Բարձրացնել - 2-ը 4-ի հզորության:

Որոշում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Հաջորդը, մենք պարզապես պետք է հետևենք այս քայլերին և ստանանք 16:

Բերենք ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Հաշվեք 3 2 7 2 արժեքը

Որոշում

Այս գրառումը կարող է վերաշարադրվել որպես 3 2 7 · 3 2 7: Ավելի վաղ մենք նայեցինք, թե ինչպես կարելի է ճիշտ բազմապատկել պայմանում նշված խառը թվերը։

Կատարեք այս քայլերը և ստացեք պատասխանը՝ 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Եթե ​​առաջադրանքը ցույց է տալիս իռացիոնալ թվերը բնական հզորության հասցնելու անհրաժեշտությունը, ապա մեզ անհրաժեշտ կլինի նախ կլորացնել դրանց հիմքերը մինչև այն թվանշանը, որը թույլ կտա մեզ ստանալ ցանկալի ճշգրտության պատասխանը: Օրինակ բերենք.

Օրինակ 3

Կատարի՛ր π թվի քառակուսիացում։

Որոշում

Եկեք նախ կլորացնենք այն մինչև հարյուրերորդական: Այնուհետև π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596: Եթե ​​π ≈ 3 . 14159, ապա մենք ավելի ճշգրիտ արդյունք կստանանք՝ π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281:

Նշենք, որ իռացիոնալ թվերի հզորությունները հաշվարկելու անհրաժեշտությունը գործնականում համեմատաբար հազվադեպ է առաջանում: Այնուհետև մենք կարող ենք պատասխանը գրել որպես ինքնին հզորություն (ln 6) 3 կամ հնարավորության դեպքում փոխարկել՝ 5 7 = 125 5:

Առանձին պետք է նշել, թե որն է թվի առաջին ուժը։ Այստեղ դուք կարող եք պարզապես հիշել, որ ցանկացած թիվ, որը բարձրացված է առաջին ուժին, ինքն իրեն կմնա.

Սա պարզ է արձանագրությունից։ .

Դա կախված չէ աստիճանից:

Օրինակ 4

Այսպիսով, (− 9) 1 = − 9 , իսկ 7 3-ը բարձրացված է առաջին հզորությանը հավասար է 7 3-ի:

Հարմարության համար մենք առանձին կվերլուծենք երեք դեպք՝ եթե ցուցիչը դրական ամբողջ թիվ է, եթե այն զրո է, և եթե այն բացասական ամբողջ թիվ է։

Առաջին դեպքում դա նույնն է, ինչ բնական ուժի բարձրացումը. չէ՞ որ դրական ամբողջ թվերը պատկանում են բնական թվերի բազմությանը։ Ինչպես աշխատել նման աստիճանների հետ, մենք արդեն նկարագրել ենք վերևում։

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես ճիշտ բարձրացնել զրոյական հզորությունը: Ոչ զրոյական բազայի դեպքում այս հաշվարկը միշտ տալիս է 1 ելք: Մենք նախկինում բացատրել ենք, որ a-ի 0-րդ աստիճանը կարող է սահմանվել ցանկացածի համար իրական թիվ, ոչ հավասար 0-ի, և a 0 = 1:

Օրինակ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - սահմանված չէ:

Մեզ մնում է միայն բացասական ամբողջ ցուցիչ ունեցող աստիճանի դեպքը: Մենք արդեն քննարկել ենք, որ նման աստիճանները կարելի է գրել որպես 1 a z կոտորակ, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ z-ը՝ բացասական ամբողջ թիվ։ Մենք տեսնում ենք, որ այս կոտորակի հայտարարը ոչ այլ ինչ է, քան սովորական աստիճանդրական ամբողջ թվով, և մենք արդեն սովորել ենք այն հաշվարկել: Եկեք առաջադրանքների օրինակներ բերենք.

Օրինակ 6

Բարձրացրեք 3-ը -2 հզորության:

Որոշում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. 2 - 3 = 1 2 3

Մենք հաշվարկում ենք այս կոտորակի հայտարարը և ստանում ենք 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8:

Այնուհետև պատասխանն է՝ 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Օրինակ 7

Բարձրացրեք 1, 43-ը -2 հզորության:

Որոշում

Վերաձեւակերպել՝ 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Քառակուսին հաշվում ենք հայտարարի մեջ՝ 1,43 1,43: Տասնորդական թվերը կարելի է բազմապատկել հետևյալ կերպ.

Արդյունքում ստացանք (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449: Մնում է, որ այս արդյունքը գրենք սովորական կոտորակի տեսքով, որի համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 10 հազարով (տե՛ս կոտորակների փոխարկման նյութը)։

Պատասխան՝ (1, 43) - 2 = 10000 20449

Առանձին դեպք թվի բարձրացումն է մինուս առաջին ուժի: Նման աստիճանի արժեքը հավասար է բազայի սկզբնական արժեքին հակառակ թվին. a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a:

Օրինակ 8

Օրինակ՝ 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ինչպես թիվը հասցնել կոտորակային աստիճանի

Նման գործողություն կատարելու համար մենք պետք է հիշենք աստիճանի հիմնական սահմանումը կոտորակային ցուցիչով. a m n \u003d a m n ցանկացած դրական a, ամբողջ թվի m և բնական n-ի համար:

Սահմանում 2

Այսպիսով, կոտորակային աստիճանի հաշվարկը պետք է կատարվի երկու քայլով՝ հասցնելով ամբողջ թվի և գտնել n-րդ աստիճանի արմատը։

Մենք ունենք a m n = a m n հավասարություն, որը, հաշվի առնելով արմատների հատկությունները, սովորաբար օգտագործվում է a m n = a n m ձևով խնդիրները լուծելու համար: Սա նշանակում է, որ եթե a թիվը բարձրացնենք մինչև m/n կոտորակային հզորություն, ապա սկզբում a-ից հանում ենք n-րդ աստիճանի արմատը, այնուհետև արդյունքը հասցնում ենք ամբողջ թվով m չափիչ ունեցող հզորության:

Եկեք պատկերացնենք օրինակով.

Օրինակ 9

Հաշվեք 8 - 2 3:

Որոշում

Մեթոդ 1. Ըստ հիմնական սահմանման՝ մենք կարող ենք սա ներկայացնել հետևյալ կերպ՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Հիմա եկեք հաշվարկենք արմատի տակ գտնվող աստիճանը և արդյունքից հանենք երրորդ արմատը՝ 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Մեթոդ 2. Վերափոխենք հիմնական հավասարությունը՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Դրանից հետո մենք հանում ենք 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 արմատը և քառակուսի ենք բերում արդյունքը՝ 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Մենք տեսնում ենք, որ լուծումները նույնական են։ Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ձև, որը ցանկանում եք:

Լինում են դեպքեր, երբ աստիճանն ունի խառը թվով կամ տասնորդական կոտորակի տեսքով արտահայտված ցուցիչ։ Հաշվարկի հեշտության համար ավելի լավ է այն փոխարինել սովորական կոտորակով և հաշվել, ինչպես նշված է վերևում:

Օրինակ 10

Բարձրացրեք 44,89-ը մինչև 2,5-ի հզորությունը:

Որոշում

Փոխարկեք ցուցիչի արժեքը ընդհանուր կոտորակ - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Եվ այժմ մենք կատարում ենք վերը նշված բոլոր գործողությունները հերթականությամբ. 13 501, 25107

Պատասխան՝ 13501, 25107։

Եթե ​​կոտորակային ցուցանիշի համարիչում և հայտարարում մեծ թվեր կան, ապա ռացիոնալ ցուցիչներով նման ցուցանիշները հաշվարկելը բավականին բարդ աշխատանք է։ Այն սովորաբար պահանջում է համակարգչային տեխնոլոգիա:

Առանձին-առանձին մենք կանգ ենք առնում զրոյական հիմքով և կոտորակային ցուցիչով աստիճանի վրա: 0 m n ձևի արտահայտությանը կարելի է տալ հետևյալ իմաստը. եթե m n > 0, ապա 0 m n = 0 m n = 0; եթե m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ինչպես թիվը հասցնել իռացիոնալ ուժի

Այն աստիճանի արժեքը հաշվարկելու անհրաժեշտություն, որի ցուցիչում կա իռացիոնալ թիվ, այնքան էլ հաճախ չի առաջանում։ Գործնականում առաջադրանքը սովորաբար սահմանափակվում է մոտավոր արժեքի հաշվարկով (մինչև որոշակի թվով տասնորդական տեղեր): Սա սովորաբար հաշվարկվում է համակարգչում նման հաշվարկների բարդության պատճառով, ուստի մենք մանրամասն չենք անդրադառնա դրա վրա, մենք միայն կնշենք հիմնական դրույթները:

Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է a աստիճանի արժեքը հաշվարկել a իռացիոնալ ցուցիչով, ապա վերցնում ենք աստիճանի տասնորդական մոտարկումը և հաշվում դրանից: Արդյունքը կլինի մոտավոր պատասխան։ Որքան ճշգրիտ է վերցված տասնորդական մոտարկումը, այնքան ավելի ճշգրիտ է պատասխանը: Օրինակով ցույց տանք.

Օրինակ 11

Հաշվեք 21-ի մոտավոր արժեքը 174367 ....

Որոշում

Մենք սահմանափակվում ենք տասնորդական մոտավորությամբ a n = 1, 17: Կատարենք հաշվարկները՝ օգտագործելով այս թիվը՝ 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 ։ Եթե ​​վերցնենք, օրինակ, մոտարկումը a n = 1 , 1743 , ապա պատասխանը մի փոքր ավելի ճշգրիտ կլինի՝ 2 1 , 174367։ . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter