Որի արմատը կոտորակ է։ Ամենապարզ ռացիոնալ հավասարումները

Հավասարումների լուծում կոտորակներովեկեք նայենք օրինակներին. Օրինակները պարզ են և պատկերավոր։ Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք հասկանալ առավել հասկանալի ձևով,.
Օրինակ, դուք պետք է լուծեք պարզ հավասարում x/b + c = d:

Այս տեսակի հավասարումը կոչվում է գծային, քանի որ հայտարարը պարունակում է միայն թվեր:

Լուծումը կատարվում է հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով b-ով, այնուհետև հավասարումը ստանում է x = b*(d – c) ձևը, այսինքն. կրճատվում է ձախ կողմի կոտորակի հայտարարը:

Օրինակ, ինչպես լուծել կոտորակային հավասարում:
x/5+4=9
Երկու մասերը բազմապատկում ենք 5-ով։ Ստանում ենք.
x+20=45
x=45-20=25

Մեկ այլ օրինակ, որտեղ անհայտը հայտարարի մեջ է.

Այս տեսակի հավասարումները կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ կամ պարզապես կոտորակային:

Կոտորակային հավասարումը կլուծեինք՝ ազատվելով կոտորակներից, որից հետո այս հավասարումը, ամենից հաճախ, վերածվում է գծային կամ քառակուսի հավասարման, որը լուծվում է սովորական եղանակով։ Պետք է հաշվի առնել միայն հետևյալ կետերը.

• փոփոխականի արժեքը, որը հայտարարը դարձնում է 0, չի կարող արմատ լինել.
• դուք չեք կարող բաժանել կամ բազմապատկել հավասարումը =0 արտահայտությամբ:

Այստեղ ուժի մեջ է մտնում այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է թույլատրելի արժեքների տարածքը (ODZ) - սրանք այն հավասարման արմատների արժեքներն են, որոնց համար հավասարումը իմաստ ունի:

Այսպիսով, լուծելով հավասարումը, անհրաժեշտ է գտնել արմատները, այնուհետև ստուգել դրանք ODZ-ի հետ համապատասխանության համար: Այն արմատները, որոնք չեն համապատասխանում մեր DHS-ին, բացառվում են պատասխանից։

Օրինակ, դուք պետք է լուծեք կոտորակային հավասարում.

Ելնելով վերը նշված կանոնից՝ x-ը չի կարող լինել = 0, այսինքն. ODZ այս դեպքում՝ x - զրոյից տարբերվող ցանկացած արժեք:

Մենք ազատվում ենք հայտարարից՝ հավասարման բոլոր անդամները x-ով բազմապատկելով

Եվ լուծեք սովորական հավասարումը

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Պատասխան՝ x = 1/3

Եկեք ավելի բարդ լուծենք հավասարումը.

Այստեղ առկա է նաև ՕՁՀ՝ x -2։

Այս հավասարումը լուծելով՝ մենք ամեն ինչ չենք տեղափոխի մեկ ուղղությամբ և կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի։ Մենք անհապաղ բազմապատկում ենք հավասարման երկու կողմերը մի արտահայտությամբ, որը կնվազեցնի միանգամից բոլոր հայտարարները:

Հայտարարները կրճատելու համար հարկավոր է ձախ կողմը բազմապատկել x + 2-ով, իսկ աջ կողմը 2-ով: Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը պետք է բազմապատկվեն 2-ով (x + 2):

Սա կոտորակների ամենատարածված բազմապատկումն է, որը մենք արդեն քննարկել ենք վերևում:

Մենք գրում ենք նույն հավասարումը, բայց մի փոքր այլ կերպ:

Ձախ կողմը կրճատվում է (x + 2), իսկ աջ կողմը 2-ով: Կրճատումից հետո ստանում ենք սովորական գծային հավասարումը.

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, որը համապատասխանում է մեր ODZ-ին

Պատասխան՝ x = 2:

Հավասարումների լուծում կոտորակներովոչ այնքան դժվար, որքան կարող է թվալ: Այս հոդվածում մենք դա ցույց տվեցինք օրինակներով: Եթե ​​որևէ դժվարություն ունեք ինչպես լուծել հավասարումները կոտորակներով, ապա չեղարկեք բաժանորդագրությունը մեկնաբանություններում։

«Ռացիոնալ հավասարումներ. Ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ և օրինակներ» թեմայով շնորհանդես և դաս.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 8-րդ դասարանի համար
Ձեռնարկ Makarychev Yu.N. դասագրքի համար Ձեռնարկ դասագրքի համար Մորդկովիչ Ա.Գ.

Ներածություն իռացիոնալ հավասարումների

Տղերք, մենք սովորեցինք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ: Բայց մաթեմատիկան դրանցով չի սահմանափակվում։ Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես լուծել ռացիոնալ հավասարումներ: հայեցակարգ ռացիոնալ հավասարումներշատ նման է հայեցակարգին ռացիոնալ թվեր. Միայն թվերից բացի, այժմ մենք ներկայացրել ենք $x$ որոշ փոփոխական։ Եվ այսպիսով մենք ստանում ենք արտահայտություն, որտեղ կան գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և ամբողջ թվի բարձրացման գործողություններ:

Թող լինի $r(x)$ ռացիոնալ արտահայտություն . Նման արտահայտությունը կարող է լինել պարզ բազմանդամ $x$ փոփոխականում կամ բազմանդամների հարաբերակցություն (ներդրված է բաժանման գործողությունը, ինչպես ռացիոնալ թվերի դեպքում)։
Կանչվում է $r(x)=0$ հավասարումը ռացիոնալ հավասարում.
$p(x)=q(x)$ ձևի ցանկացած հավասարում, որտեղ $p(x)$ և $q(x)$ ռացիոնալ արտահայտություններ են, նույնպես կլինի. ռացիոնալ հավասարում.

Դիտարկենք ռացիոնալ հավասարումների լուծման օրինակներ:

Օրինակ 1
Լուծե՛ք հավասարումը $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$:

Որոշում.
Բոլոր արտահայտությունները տեղափոխենք ձախ կողմ՝ $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$։
Եթե ​​սովորական թվերը ներկայացված լինեին հավասարման ձախ կողմում, ապա երկու կոտորակ կբերեինք ընդհանուր հայտարարի:
Եկեք սա անենք՝ $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ստացանք հավասարումը` $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$:

Կոտորակը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կոտորակի համարիչը զրո, իսկ հայտարարը տարբերվում է զրոյից։ Ապա առանձին հավասարեցրեք համարիչը զրոյի և գտեք համարիչի արմատները։
$3(x^2+2x-3)=0$ կամ $x^2+2x-3=0$:
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$:
Այժմ ստուգենք կոտորակի հայտարարը՝ $(x-3)*x≠0$։
Երկու թվերի արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ այդ թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի: Այնուհետև՝ $x≠0$ կամ $x-3≠0$:
$x≠0$ կամ $x≠3$:
Համարիչում և հայտարարում ստացված արմատները չեն համընկնում։ Այսպիսով, ի պատասխան մենք գրում ենք համարիչի երկու արմատները:
Պատասխան՝ $x=1$ կամ $x=-3$։

Եթե ​​հանկարծ համարիչի արմատներից մեկը համընկավ հայտարարի արմատի հետ, ապա այն պետք է բացառել։ Նման արմատները կոչվում են կողմնակի:

Ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Հավասարման մեջ պարունակվող բոլոր արտահայտությունները պետք է փոխանցվեն ձախ կողմհավասարության նշանից։
2. Հավասարման այս մասը փոխարկեք հանրահաշվական կոտորակ$\frac(p(x))(q(x))=0$:
3. Ստացված համարիչը հավասարեցրե՛ք զրոյի, այսինքն՝ լուծե՛ք $p(x)=0$ հավասարումը։
4. Հավասարեցրո՛ւ հայտարարը զրոյի և լուծի՛ր ստացված հավասարումը: Եթե ​​հայտարարի արմատները համընկել են համարիչի արմատների հետ, ապա դրանք պետք է բացառվեն պատասխանից։

Օրինակ 2
Լուծե՛ք հավասարումը $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$:

Որոշում.
Կլուծենք ըստ ալգորիթմի կետերի.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$:
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$:
3. Համարիչը հավասարեցնել զրոյի՝ $3x^2+7x-10=0$։
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3);1$.
4. Հավասարեցնել հայտարարը զրոյի.
$(x-1)(x+1)=0$:
$x=1$ և $x=-1$։
$x=1$ արմատներից մեկը համընկել է համարիչի արմատի հետ, այնուհետև այն չենք գրում ի պատասխան։
Պատասխան՝ $x=-1$։

Հարմար է ռացիոնալ հավասարումները լուծել փոփոխականների փոփոխության մեթոդով։ Եկեք դա ցույց տանք։

Օրինակ 3
Լուծե՛ք հավասարումը $x^4+12x^2-64=0$։

Որոշում.
Ներկայացնում ենք փոխարինում՝ $t=x^2$:
Այնուհետև մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
$t^2+12t-64=0$-ը սովորական քառակուսի հավասարում է։
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 դոլար։
Ներկայացնենք հակադարձ փոխարինում՝ $x^2=4$ կամ $x^2=-16$։
Առաջին հավասարման արմատները $x=±2$ զույգ թվեր են։ Երկրորդն արմատներ չունի։
Պատասխան՝ $x=±2$:

Օրինակ 4
Լուծե՛ք հավասարումը $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$:
Որոշում.
Ներկայացնենք նոր փոփոխական՝ $t=x^2+x+1$։
Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ $t=\frac(15)(t+2)$։
Հաջորդը, մենք կգործենք ըստ ալգորիթմի.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$:
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$։
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 դոլար։
4. $t≠-2$ - արմատները չեն համընկնում:
Մենք ներկայացնում ենք հակադարձ փոխարինում:
$x^2+x+1=-5$։
$x^2+x+1=3$.
Յուրաքանչյուր հավասարում լուծենք առանձին.
$x^2+x+6=0$:
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ոչ արմատները.
Իսկ երկրորդ հավասարումը` $x^2+x-2=0$:
Արմատավորված տրված հավասարումըկլինեն $x=-2$ և $x=1$ թվեր։
Պատասխան՝ $x=-2$ և $x=1$:

Օրինակ 5
Լուծե՛ք հավասարումը $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$:

Որոշում.
Մենք ներկայացնում ենք փոխարինում՝ $t=x+\frac(1)(x)$:
Ապա.
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ կամ $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$:
Ստացանք հավասարումը` $t^2-2+t=4$:
$t^2+t-6=0$.
Այս հավասարման արմատները զույգն են.
$t=-3$ և $t=2$:
Ներկայացնենք հակադարձ փոխարինումը.
$x+\frac(1)(x)=-3$:
$x+\frac(1)(x)=2$:
Առանձին կորոշենք։
$x+\frac(1)(x)+3=0$:
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$:
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$:
Լուծենք երկրորդ հավասարումը.
$x+\frac(1)(x)-2=0$:
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$:
$\frac((x-1)^2)(x)=0$:
Այս հավասարման արմատը $x=1$ թիվն է։
Պատասխան՝ $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Լուծել հավասարումներ.

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$:

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$:
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$։
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$:

Մենք վերը նշված հավասարումը ներկայացրեցինք § 7-ում: Նախ, մենք հիշում ենք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը: Սա - հանրահաշվական արտահայտություն, որը կազմված է թվերից և x փոփոխականից՝ օգտագործելով գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և հզորացման գործողությունները բնական ցուցիչով։

Եթե ​​r(x)-ը ռացիոնալ արտահայտություն է, ապա r(x) = 0 հավասարումը կոչվում է ռացիոնալ հավասարում:

Այնուամենայնիվ, գործնականում ավելի հարմար է մի փոքր ավելի շատ օգտագործել լայն մեկնաբանությունտերմին «ռացիոնալ հավասարում». սա h(x) = q(x) ձևի հավասարումն է, որտեղ h(x) և q(x) ռացիոնալ արտահայտություններ են:

Մինչ այժմ մենք չէինք կարող լուծել որևէ ռացիոնալ հավասարում, այլ միայն մեկը, որը տարբեր փոխակերպումների և դատողությունների արդյունքում վերածվեց. գծային հավասարում. Այժմ մեր հնարավորությունները շատ ավելի մեծ են. մենք կկարողանանք լուծել ռացիոնալ հավասարում, որը վերածվում է ոչ միայն գծային.
mu, այլ նաև քառակուսի հավասարման:

Հիշեք, թե ինչպես էինք ավելի վաղ լուծել ռացիոնալ հավասարումները և փորձեք ձևակերպել լուծման ալգորիթմ:

Օրինակ 1լուծել հավասարումը

Որոշում. Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով

Այս դեպքում, ինչպես միշտ, մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ A \u003d B և A - B \u003d 0 հավասարությունները արտահայտում են նույն հարաբերությունները A-ի և B-ի միջև: Սա թույլ տվեց մեզ փոխանցել տերմինը հավասարման ձախ կողմում. հակառակ նշան.

Կատարենք հավասարման ձախ կողմի փոխակերպումներ։ Մենք ունենք

Հիշեք հավասարության պայմանները կոտորակներըզրո. եթե և միայն այն դեպքում, երբ երկու հարաբերությունները միաժամանակ բավարարված են.

1) կոտորակի համարիչը զրո է (a = 0); 2) կոտորակի հայտարարը տարբերվում է զրոյից):
Հավասարեցնելով (1) հավասարման ձախ կողմի կոտորակի համարիչը, ստանում ենք.

Մնում է ստուգել վերը նշված երկրորդ պայմանի կատարումը։ Հարաբերակցությունը (1) հավասարման համար նշանակում է, որ . x 1 = 2 և x 2 = 0.6 արժեքները բավարարում են նշված հարաբերությունները և, հետևաբար, ծառայում են որպես (1) հավասարման արմատներ, և միևնույն ժամանակ տվյալ հավասարման արմատներ:

1) Փոխակերպենք հավասարումը ձևի

2) Կատարենք այս հավասարման ձախ կողմի փոխակերպումները.

(միաժամանակ փոխել են համարիչի նշանները և
կոտորակներ):
Այսպիսով, տրված հավասարումըվերցնում է ձևը

3) Լուծի՛ր x 2 - 6x + 8 = 0 հավասարումը. Գտիր

4) Գտնված արժեքների համար ստուգեք պայմանը . 4 թիվը բավարարում է այս պայմանին, իսկ 2 թիվը՝ ոչ։ Այսպիսով, 4-ը տրված հավասարման արմատն է, իսկ 2-ը՝ կողմնակի արմատ:
Պատասխան՝ 4.

2. Ռացիոնալ հավասարումների լուծում՝ նոր փոփոխականի ներմուծմամբ

Նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը ձեզ ծանոթ է, մենք այն օգտագործել ենք մեկից ավելի անգամ։ Օրինակներով ցույց տանք, թե ինչպես է այն օգտագործվում ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս:

Օրինակ 3Լուծե՛ք x 4 + x 2 - 20 = 0 հավասարումը:

Որոշում. Մենք ներկայացնում ենք նոր փոփոխական y \u003d x 2: Քանի որ x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, ապա տրված հավասարումը կարող է վերաշարադրվել ձևով.

y 2 + y - 20 = 0:

Սա քառակուսի հավասարում է, որի արմատները մենք կգտնենք՝ օգտագործելով հայտնիը բանաձեւեր; մենք ստանում ենք y 1 = 4, y 2 = - 5:
Բայց y \u003d x 2, ինչը նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվել է երկու հավասարումների լուծման վրա.
x2=4; x 2 \u003d -5.

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք, որ երկրորդ հավասարումն արմատներ չունի:
Պատասխան.
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ձևի հավասարումը կոչվում է երկքառակուսի հավասարում («բի» - երկու, այսինքն, կարծես «երկու անգամ քառակուսի» հավասարում): Հենց նոր լուծված հավասարումը ճիշտ երկքառակուսի էր: Ցանկացած երկքառակուսի հավասարում լուծվում է այնպես, ինչպես օրինակ 3-ի հավասարումը. ներմուծվում է նոր փոփոխական y \u003d x 2, արդյունքում ստացված քառակուսի հավասարումը լուծվում է y փոփոխականի նկատմամբ, այնուհետև վերադարձվում է x փոփոխականին:

Օրինակ 4լուծել հավասարումը

Որոշում. Նկատի ունեցեք, որ նույն x 2 + 3x արտահայտությունն այստեղ հանդիպում է երկու անգամ: Հետևաբար, իմաստ ունի ներմուծել նոր փոփոխական y = x 2 + Zx: Սա մեզ թույլ կտա վերաշարադրել հավասարումը ավելի պարզ և հաճելի ձևով (որը, ըստ էության, նպատակ է հետապնդում ներմուծել նոր փոփոխական- և ձայնագրությունն ավելի հեշտ է
, և հավասարման կառուցվածքն ավելի պարզ է դառնում).

Իսկ այժմ մենք կօգտագործենք ռացիոնալ հավասարումը լուծելու ալգորիթմը։

1) Եկեք հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխենք մեկ մաս.

= 0
2) Փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը

Այսպիսով, մենք տրված հավասարումը վերածել ենք ձևի

3) 7y 2 + 29y -4 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք (մենք արդեն բավականին շատ քառակուսի հավասարումներ ենք լուծել, ուստի, հավանաբար, չարժե միշտ մանրամասն հաշվարկներ տալ դասագրքում):

4) Ստուգենք գտնված արմատները՝ օգտագործելով 5 (y - 3) (y + 1) պայմանը։ Երկու արմատներն էլ բավարարում են այս պայմանին։
Այսպիսով, y նոր փոփոխականի քառակուսային հավասարումը լուծված է.
Քանի որ y \u003d x 2 + Zx, և y, ինչպես մենք հաստատել ենք, վերցնում է երկու արժեք՝ 4 և, - մենք դեռ պետք է լուծենք երկու հավասարումներ՝ x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Առաջին հավասարման արմատները 1 և - 4 թվերն են, երկրորդ հավասարման արմատները՝ թվերը։

Դիտարկված օրինակներում նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը, ինչպես մաթեմատիկոսներն են սիրում ասել, համարժեք էր իրավիճակին, այսինքն՝ լավ էր համապատասխանում դրան։ Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ նույն արտահայտությունը մի քանի անգամ հստակորեն հանդիպել է հավասարումների գրառման մեջ, և խելամիտ էր այս արտահայտությունը նշանակել նոր տառով: Բայց միշտ չէ, որ այդպես է, երբեմն նոր փոփոխական է «հայտնվում» միայն փոխակերպումների գործընթացում։ Սա հենց այն է, ինչ տեղի կունենա հաջորդ օրինակում:

Օրինակ 5լուծել հավասարումը
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24:
Որոշում. Մենք ունենք
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2:

Այսպիսով, տրված հավասարումը կարող է վերագրվել այսպես

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Այժմ «հայտնվել է» նոր փոփոխական՝ y = x 2 - Zx:

Նրա օգնությամբ հավասարումը կարող է վերաշարադրվել y (y + 2) \u003d 24 և ապա y 2 + 2y - 24 \u003d 0 ձևով: Այս հավասարման արմատները 4 և -6 թվերն են:

Վերադառնալով սկզբնական x փոփոխականին, մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ x 2 - Zx \u003d 4 և x 2 - Zx \u003d - 6: Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; երկրորդ հավասարումը արմատներ չունի։

Պատասխան՝ 4, - 1։

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր

Ծանոթանանք ռացիոնալ և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներին, տանք դրանց սահմանումը, բերենք օրինակներ, ինչպես նաև վերլուծենք խնդիրների ամենատարածված տեսակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ռացիոնալ հավասարում. Սահմանում և օրինակներ

Ռացիոնալ արտահայտությունների հետ ծանոթությունը սկսվում է դպրոցի 8-րդ դասարանից։ Այս պահին, հանրահաշվի դասերին, ուսանողներն ավելի ու ավելի են սկսում կատարել առաջադրանքներ հավասարումների հետ, որոնք իրենց գրառումներում պարունակում են ռացիոնալ արտահայտություններ: Եկեք թարմացնենք մեր հիշողությունը, թե ինչ է դա:

Սահմանում 1

ռացիոնալ հավասարումհավասարում է, որի երկու կողմերն էլ պարունակում են ռացիոնալ արտահայտություններ:

Տարբեր ձեռնարկներում կարող եք գտնել մեկ այլ ձևակերպում.

Սահմանում 2

ռացիոնալ հավասարում- սա հավասարություն է, որի ձախ կողմի գրառումը պարունակում է ռացիոնալ արտահայտություն, իսկ աջը պարունակում է զրո:

Ռացիոնալ հավասարումների համար մեր տված սահմանումները համարժեք են, քանի որ դրանք նույն բանն են նշանակում։ Մեր խոսքերի ճիշտությունը հաստատվում է նրանով, որ ցանկացած ռացիոնալ արտահայտությունների համար Պև Քհավասարումներ P=Qև P - Q = 0կլինեն համարժեք արտահայտություններ.

Այժմ անդրադառնանք օրինակներին։

Օրինակ 1

Ռացիոնալ հավասարումներ.

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3:

Ռացիոնալ հավասարումները, ինչպես մյուս տեսակների հավասարումները, կարող են պարունակել 1-ից մի քանի փոփոխականների ցանկացած քանակ: Սկզբից մենք կքննարկենք պարզ օրինակներ, որում հավասարումները կպարունակեն միայն մեկ փոփոխական։ Եվ հետո մենք սկսում ենք աստիճանաբար բարդացնել խնդիրը:

Ռացիոնալ հավասարումները բաժանվում են երկու մեծ խմբի՝ ամբողջ թվային և կոտորակային։ Տեսնենք, թե որ հավասարումները կկիրառվեն խմբերից յուրաքանչյուրի համար։

Սահմանում 3

Ռացիոնալ հավասարումը կլինի ամբողջ թիվ, եթե նրա ձախ և աջ մասերի գրառումը պարունակում է ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություններ:

Սահմանում 4

Ռացիոնալ հավասարումը կոտորակային կլինի, եթե դրա մասերից մեկը կամ երկուսը պարունակում են կոտորակ:

Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները անպայման պարունակում են բաժանում փոփոխականով, կամ փոփոխականը առկա է հայտարարի մեջ: Ամբողջ թվային հավասարումներ գրելու մեջ նման բաժանում չկա։

Օրինակ 2

3 x + 2 = 0և (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5ամբողջ ռացիոնալ հավասարումներ են: Այստեղ հավասարման երկու մասերն էլ ներկայացված են ամբողջ թվային արտահայտություններով։

1 x - 1 = x 3 և x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ են։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումները ներառում են գծային և քառակուսային հավասարումներ:

Ամբողջ թվերի հավասարումների լուծում

Նման հավասարումների լուծումը սովորաբար վերածվում է համարժեք հանրահաշվական հավասարումների։ Դրան կարելի է հասնել՝ կատարելով հավասարումների համարժեք փոխակերպումներ հետևյալ ալգորիթմի համաձայն.

• նախ հավասարման աջ կողմում զրո ենք ստանում, դրա համար անհրաժեշտ է հավասարման աջ կողմում գտնվող արտահայտությունը տեղափոխել ձախ կողմ և փոխել նշանը.
• այնուհետև հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը վերածում ենք բազմանդամի ստանդարտ տեսք.

Մենք պետք է ստանանք հանրահաշվական հավասարում. Այս հավասարումը համարժեք կլինի սկզբնական հավասարման նկատմամբ: Հեշտ դեպքերը թույլ են տալիս լուծել խնդիրը՝ ամբողջ հավասարումը նվազեցնելով գծային կամ քառակուսայինի: Ընդհանուր դեպքում լուծում ենք աստիճանի հանրահաշվական հավասարում n.

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է գտնել ամբողջ հավասարման արմատները 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Որոշում

Եկեք վերափոխենք սկզբնական արտահայտությունը՝ դրան համարժեք հանրահաշվական հավասարում ստանալու համար։ Դա անելու համար մենք հավասարման աջ կողմում պարունակվող արտահայտությունը կտեղափոխենք ձախ կողմ և նշանը կփոխենք հակառակի վրա։ Արդյունքում մենք ստանում ենք. 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Այժմ մենք ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունը կվերածենք ստանդարտ ձևի բազմանդամի և կատարենք անհրաժեշտ գործողություններայս բազմանդամով.

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Մեզ հաջողվեց սկզբնական հավասարման լուծումը հասցնել լուծման քառակուսային հավասարումբարի x 2 − 5 x − 6 = 0. Այս հավասարման տարբերակիչը դրական է. D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49:Սա նշանակում է, որ կլինեն երկու իրական արմատներ. Եկեք դրանք գտնենք՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը.

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 կամ x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 կամ x 2 = - 1

Ստուգենք լուծման ընթացքում գտած հավասարման արմատների ճիշտությունը։ Այս թվի համար, որը մենք ստացել ենք, մենք փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3և 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Առաջին դեպքում 63 = 63 , երկրորդում 0 = 0 . Արմատներ x=6և x = − 1իսկապես օրինակի պայմանում տրված հավասարման արմատներն են:

Պատասխան. 6 , − 1 .

Եկեք տեսնենք, թե ինչ է նշանակում «ամբողջ հավասարման ուժը»: Այս տերմինին հաճախ կհանդիպենք այն դեպքերում, երբ պետք է մի ամբողջ հավասարում ներկայացնել հանրահաշվականի տեսքով։ Եկեք սահմանենք հայեցակարգը.

Սահմանում 5

Ամբողջ թվի հավասարման աստիճանըաստիճանն է հանրահաշվական հավասարում, որը համարժեք է սկզբնական ամբողջ հավասարմանը։

Եթե ​​նայեք վերը նշված օրինակի հավասարումներին, կարող եք հաստատել. այս ամբողջ հավասարման աստիճանը երկրորդն է:

Եթե ​​մեր դասընթացը սահմանափակվեր երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծմամբ, ապա թեմայի քննարկումը կարող էր ավարտվել այստեղ։ Բայց ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ. Երրորդ աստիճանի հավասարումների լուծումը հղի է դժվարություններով. Իսկ չորրորդ աստիճանից բարձր հավասարումների համար այն ընդհանրապես գոյություն չունի ընդհանուր բանաձևերարմատները. Այս առումով երրորդ, չորրորդ և այլ աստիճանների ամբողջ հավասարումների լուծումը մեզանից պահանջում է օգտագործել մի շարք այլ տեխնիկա և մեթոդներ:

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման առավել հաճախ օգտագործվող մոտեցումը հիմնված է ֆակտորիզացիայի մեթոդի վրա: Գործողությունների ալգորիթմը այս դեպքում հետևյալն է.

• մենք արտահայտությունը փոխանցում ենք աջ կողմից ձախ կողմ, որպեսզի զրո մնա ռեկորդի աջ կողմում.
• մենք ձախ կողմի արտահայտությունը ներկայացնում ենք որպես գործոնների արտադրյալ, այնուհետև անցնում ենք մի քանի ավելի պարզ հավասարումների բազմությանը:

Օրինակ 4

Գտե՛ք (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) հավասարման լուծումը։

Որոշում

Արտահայտությունը ձայնագրության աջից տեղափոխում ենք ձախ կողմ՝ հակառակ նշանով. (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Ձախ կողմը ստանդարտ ձևի բազմանդամի վերածելը անիրագործելի է, քանի որ դա մեզ կտա չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Փոխակերպման հեշտությունը չի արդարացնում նման հավասարումը լուծելու բոլոր դժվարությունները:

Շատ ավելի հեշտ է այլ ճանապարհով գնալ՝ մենք հանում ենք ընդհանուր գործոնը x 2 − 10 x + 13.Այսպիսով, մենք հասնում ենք ձևի հավասարմանը (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Այժմ ստացված հավասարումը փոխարինում ենք երկու քառակուսի հավասարումների բազմությամբ x 2 - 10 x + 13 = 0և x 2 − 2 x − 1 = 0և տարբերակիչի միջոցով գտե՛ք դրանց արմատները՝ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 :

Պատասխան. 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2:

Նմանապես, մենք կարող ենք օգտագործել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը: Այս մեթոդը մեզ թույլ է տալիս անցնել համարժեք հավասարումների, որոնց հզորություններն ավելի ցածր են, քան սկզբնական ամբողջ հավասարման մեջ:

Օրինակ 5

Արդյո՞ք հավասարումը արմատներ ունի: (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Որոշում

Եթե ​​հիմա փորձենք մի ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը կրճատել հանրահաշվականի, ապա կստանանք 4-րդ աստիճանի հավասարում, որը ռացիոնալ արմատներ չունի։ Հետևաբար, մեզ համար ավելի հեշտ կլինի գնալ այլ ճանապարհով. ներմուծել նոր փոփոխական y, որը կփոխարինի հավասարման արտահայտությունը: x 2 + 3 x.

Այժմ մենք կաշխատենք ամբողջ հավասարմամբ (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Հավասարման աջ կողմը հակառակ նշանով տեղափոխում ենք ձախ կողմ և կատարում անհրաժեշտ փոխակերպումները։ Մենք ստանում ենք. y 2 + 4 y + 3 = 0. Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները. y = − 1և y = − 3.

Հիմա եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը: Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ x 2 + 3 x = − 1և x 2 + 3 x = - 3:Եկեք դրանք վերագրենք x 2 + 3 x + 1 = 0 և x 2 + 3 x + 3 = 0. Ստացված առաջին հավասարման արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը՝ - 3 ± 5 2: Երկրորդ հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է: Սա նշանակում է, որ երկրորդ հավասարումը չունի իրական արմատներ:

Պատասխան.- 3 ± 5 2

Խնդիրներում բավականին հաճախ հանդիպում են բարձր աստիճանի ամբողջ թվային հավասարումներ: Նրանցից վախենալ պետք չէ։ Դուք պետք է պատրաստ լինեք կիրառել դրանք լուծելու ոչ ստանդարտ մեթոդ, ներառյալ մի շարք արհեստական ​​փոխակերպումներ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Այս ենթաթեմայի մեր դիտարկումը սկսում ենք p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմով, որտեղ p(x)և q(x)ամբողջ թվով ռացիոնալ արտահայտություններ են։ Այլ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումը միշտ կարող է կրճատվել նշված ձևի հավասարումների լուծմանը:

p (x) q (x) = 0 հավասարումների լուծման առավել հաճախ օգտագործվող մեթոդը հիմնված է հետևյալ հայտարարության վրա՝ թվային կոտորակ. u v, որտեղ vզրոյից տարբերվող թիվ է, որը հավասար է զրոյի միայն այն դեպքերում, երբ կոտորակի համարիչը հավասար է զրոյի։ Հետևելով վերը նշված հայտարարության տրամաբանությանը, կարող ենք պնդել, որ p (x) q (x) = 0 հավասարման լուծումը կարող է կրճատվել մինչև երկու պայման. p(x)=0և q(x) ≠ 0. Դրա վրա կառուցված է p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

• մենք գտնում ենք ողջ ռացիոնալ հավասարման լուծումը p(x)=0;
• մենք ստուգում ենք, թե արդյոք պայմանը բավարարված է լուծման ընթացքում հայտնաբերված արմատների համար q(x) ≠ 0.

Եթե ​​այս պայմանը կատարվում է, ապա գտնված արմատը, եթե ոչ, ապա արմատը խնդրի լուծում չէ:

Օրինակ 6

Գտե՛ք 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 հավասարման արմատները:

Որոշում

Մենք գործ ունենք p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման հետ, որում p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0: Սկսենք լուծել գծային հավասարումը 3 x - 2 = 0. Այս հավասարման արմատը կլինի x = 2 3.

Ստուգենք գտնված արմատը, արդյոք այն բավարարում է պայմանին 5 x 2 - 2 ≠ 0. Դա անելու համար փոխարինեք թվային արժեքը արտահայտության մեջ: Մենք ստանում ենք՝ 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0:

Պայմանը բավարարված է. Դա նշանակում է որ x = 2 3սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան. 2 3 .

Կա կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մեկ այլ տարբերակ p (x) q (x) = 0: Հիշեցնենք, որ այս հավասարումը համարժեք է ամբողջ հավասարմանը p(x)=0սկզբնական հավասարման x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքի վրա: Սա մեզ թույլ է տալիս p(x) q(x) = 0 հավասարումները լուծելիս օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը.

• լուծել հավասարումը p(x)=0;
• գտեք x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքը.
• մենք վերցնում ենք արմատները, որոնք գտնվում են x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների շրջանում, որպես սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներ:

Օրինակ 7

Լուծե՛ք x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 հավասարումը:

Որոշում

Նախ՝ լուծենք քառակուսի հավասարումը x 2 − 2 x − 11 = 0. Դրա արմատները հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը զույգ երկրորդ գործակցի համար: Մենք ստանում ենք D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12և x = 1 ± 2 3:

Այժմ մենք կարող ենք գտնել x-ի ODV-ը սկզբնական հավասարման համար: Սրանք բոլորը թվեր են, որոնց համար x 2 + 3 x ≠ 0. Դա նույնն է, ինչ x (x + 3) ≠ 0, որտեղից x ≠ 0, x ≠ − 3:

Այժմ եկեք ստուգենք, արդյոք լուծման առաջին փուլում ստացված x = 1 ± 2 3 արմատները գտնվում են x փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքում: Մենք տեսնում ենք, թե ինչ է մտնում: Սա նշանակում է, որ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի երկու արմատ x = 1 ± 2 3:

Պատասխան. x = 1 ± 2 3

Նկարագրված լուծման երկրորդ մեթոդը ավելի հեշտ, քան առաջինըայն դեպքերում, երբ հեշտ է գտնել x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների տարածքը և հավասարման արմատները. p(x)=0իռացիոնալ. Օրինակ՝ 7 ± 4 26 9: Արմատները կարող են լինել ռացիոնալ, բայց մեծ համարիչով կամ հայտարարով: Օրինակ, 127 1101 և − 31 59 . Սա ժամանակ է խնայում վիճակը ստուգելու համար: q(x) ≠ 0Ըստ ODZ-ի, շատ ավելի հեշտ է բացառել արմատները, որոնք չեն համապատասխանում:

Երբ հավասարման արմատները p(x)=0ամբողջ թվեր են, p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարումների լուծման համար ավելի նպատակահարմար է օգտագործել նկարագրված ալգորիթմներից առաջինը։ Ավելի արագ գտնել ամբողջ հավասարման արմատները p(x)=0, այնուհետև ստուգեք՝ արդյոք պայմանը բավարարված է նրանց համար q(x) ≠ 0, և չգտնել ODZ-ը, այնուհետև լուծել հավասարումը p(x)=0այս ՕՁ-ի վրա։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում սովորաբար ավելի հեշտ է ստուգում կատարել, քան ODZ-ը գտնելը։

Օրինակ 8

Գտե՛ք (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 հավասարման արմատները. = 0.

Որոշում

Մենք սկսում ենք հաշվի առնելով ամբողջ հավասարումը (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0և գտնելով դրա արմատները: Դրա համար մենք կիրառում ենք ֆակտորիզացիայի միջոցով հավասարումների լուծման մեթոդը։ Ստացվում է, որ սկզբնական հավասարումը համարժեք է չորս հավասարումների բազմությանը 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, որոնցից երեքը գծային են և մեկը քառակուսի է: Մենք գտնում ենք արմատները՝ առաջին հավասարումից x = 1 2, երկրորդից x=6, երրորդից - x \u003d 7, x \u003d - 2, չորրորդից - x = − 1.

Ստուգենք ստացված արմատները։ Մեզ համար դժվար է որոշել ODZ-ն այս դեպքում, քանի որ դրա համար մենք ստիպված կլինենք լուծել հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում։ Ավելի հեշտ կլինի ստուգել այն պայմանը, ըստ որի կոտորակի հայտարարը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, չպետք է անհետանա։

Իր հերթին, արտահայտության մեջ փոխարինեք արմատները x փոփոխականի փոխարեն x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112և հաշվարկել դրա արժեքը.

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0։

Կատարված ստուգումը թույլ է տալիս մեզ պարզել, որ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատներն են 1 2, 6 և − 2 .

Պատասխան. 1 2 , 6 , - 2

Օրինակ 9

Գտե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0:

Որոշում

Սկսենք հավասարումից (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Գտնենք դրա արմատները։ Մեզ համար ավելի հեշտ է այս հավասարումը ներկայացնել որպես քառակուսի և գծային հավասարումների համակցություն 5 x 2 - 7 x - 1 = 0և x − 2 = 0.

Արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը։ Առաջին հավասարումից ստանում ենք երկու արմատ x = 7 ± 69 10, իսկ երկրորդից. x=2.

Արմատների արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելը պայմանները ստուգելու համար բավականին դժվար կլինի մեզ համար: Ավելի հեշտ կլինի որոշել x փոփոխականի LPV-ն: Այս դեպքում x փոփոխականի DPV-ն բոլոր թվերն են, բացառությամբ նրանց, որոնց համար պայմանը բավարարված է. x 2 + 5 x − 14 = 0. Ստանում ենք՝ x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ :

Հիմա եկեք ստուգենք, արդյոք մեր գտած արմատները պատկանում են x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքին:

Արմատները x = 7 ± 69 10 - պատկանում են, հետևաբար, դրանք սկզբնական հավասարման արմատներն են, և x=2- չի պատկանում, հետևաբար, դա կողմնակի արմատ է:

Պատասխան. x = 7 ± 69 10:

Առանձին քննենք այն դեպքերը, երբ p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման համարիչը պարունակում է թիվ։ Նման դեպքերում, եթե համարիչը զրոյից բացի այլ թիվ է պարունակում, ապա հավասարումը արմատներ չի ունենա։ Եթե ​​այս թիվը հավասար է զրոյի, ապա հավասարման արմատը կլինի ODZ-ից ցանկացած թիվ:

Օրինակ 10

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 :

Որոշում

Այս հավասարումը արմատներ չի ունենա, քանի որ հավասարման ձախ մասի կոտորակի համարիչը պարունակում է ոչ զրոյական թիվ։ Սա նշանակում է, որ x-ի ցանկացած արժեքի դեպքում խնդրի պայմանում տրված կոտորակի արժեքը հավասար չի լինի զրոյի:

Պատասխան.ոչ մի արմատ:

Օրինակ 11

Լուծե՛ք 0 x 4 + 5 x 3 = 0 հավասարումը:

Որոշում

Քանի որ կոտորակի համարիչը զրո է, ապա հավասարման լուծումը կլինի x-ի ցանկացած արժեք ODZ x փոփոխականից:

Հիմա եկեք սահմանենք ODZ-ը: Այն կներառի բոլոր x արժեքները, որոնց համար x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Հավասարումների լուծումներ x 4 + 5 x 3 = 0են 0 և − 5 , քանի որ այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը x 3 (x + 5) = 0, և դա, իր հերթին, համարժեք է երկու հավասարումների բազմությանը x 3 = 0 և x + 5 = 0որտեղ տեսանելի են այս արմատները: Մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ընդունելի արժեքների ցանկալի միջակայքը ցանկացած x է, բացառությամբ x=0և x = -5.

Ստացվում է, որ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ունի անսահման թվով լուծումներ, որոնք ցանկացած թիվ են, բացի զրոյից և - 5-ից:

Պատասխան. - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Այժմ խոսենք կամայական ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների և դրանց լուծման մեթոդների մասին: Նրանք կարող են գրվել որպես r(x) = s(x), որտեղ r(x)և s(x)ռացիոնալ արտահայտություններ են, և դրանցից առնվազն մեկը կոտորակային է: Նման հավասարումների լուծումը կրճատվում է p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարումների լուծմանը:

Մենք արդեն գիտենք, որ կարող ենք համարժեք հավասարում ստանալ՝ արտահայտությունը հավասարման աջ կողմից հակառակ նշանով ձախ կողմ տեղափոխելով։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը r(x) = s(x)համարժեք է հավասարմանը r (x) - s (x) = 0. Մենք նաև արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես կարելի է ռացիոնալ արտահայտությունը ռացիոնալ կոտորակի վերածել: Դրա շնորհիվ մենք կարող ենք հեշտությամբ վերափոխել հավասարումը r (x) - s (x) = 0 p (x) q (x) ձևի իր նույնական ռացիոնալ կոտորակի մեջ:

Այսպիսով, մենք շարժվում ենք սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումից r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարմանը, որը մենք արդեն սովորել ենք լուծել:

Հարկ է նշել, որ անցումներ կատարելիս r (x) - s (x) = 0դեպի p (x) q (x) = 0 և ապա դեպի p(x)=0մենք կարող ենք հաշվի չառնել x փոփոխականի վավեր արժեքների տիրույթի ընդլայնումը:

Միանգամայն իրատեսական է, որ սկզբնական հավասարումը r(x) = s(x)և հավասարումը p(x)=0վերափոխումների արդյունքում դրանք կդադարեն համարժեք լինել։ Այնուհետև հավասարման լուծումը p(x)=0կարող է մեզ արմատներ տալ, որոնք օտար կլինեն r(x) = s(x). Այս առումով, յուրաքանչյուր դեպքում անհրաժեշտ է ստուգում իրականացնել վերը նկարագրված մեթոդներից որևէ մեկով:

Թեման ուսումնասիրելը ձեզ համար հեշտացնելու համար մենք ամբողջ տեղեկատվությունը ընդհանրացրել ենք ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմի մեջ: r(x) = s(x):

• արտահայտությունը աջ կողմից փոխանցում ենք հակառակ նշանով և աջից ստանում զրո;
• մենք սկզբնական արտահայտությունը փոխակերպում ենք ռացիոնալ կոտորակի p (x) q (x)՝ հաջորդաբար գործողություններ կատարելով կոտորակների և բազմանդամների հետ.
• լուծել հավասարումը p(x)=0;
• մենք բացահայտում ենք կողմնակի արմատները՝ ստուգելով դրանց պատկանելությունը ODZ-ին կամ փոխարինելով սկզբնական հավասարմանը:

Տեսողականորեն գործողությունների շղթան այսպիսի տեսք կունենա.

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → դուրս գալը r o n d e r o o n s

Օրինակ 12

Լուծեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը x x + 1 = 1 x + 1:

Որոշում

Անցնենք x x + 1 - 1 x + 1 = 0 հավասարմանը: Փոխակերպենք հավասարման ձախ մասի կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունը p (x) q (x) ձևի:

Դա անելու համար մենք պետք է ռացիոնալ կոտորակները դարձնենք ընդհանուր հայտարարի և պարզեցնենք արտահայտությունը.

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

2 x - 1 x (x + 1) = 0 հավասարման արմատները գտնելու համար մենք պետք է լուծենք հավասարումը. − 2 x − 1 = 0. Մենք ստանում ենք մեկ արմատ x = - 1 2.

Մեզ մնում է ստուգումը կատարել ցանկացած եղանակով։ Դիտարկենք երկուսն էլ։

Ստացված արժեքը փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1: Մենք եկել ենք ճիշտ թվային հավասարության − 1 = − 1 . Դա նշանակում է որ x = − 1 2սկզբնական հավասարման արմատն է։

Այժմ մենք ստուգելու ենք ODZ-ի միջոցով: Եկեք սահմանենք x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքը: Սա կլինի թվերի ամբողջությունը, բացառությամբ − 1-ի և 0-ի (երբ x = − 1 և x = 0, կոտորակների հայտարարները անհետանում են): Արմատը, որը մենք ստացել ենք x = − 1 2պատկանում է ՕՁ-ին։ Սա նշանակում է, որ դա սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան. − 1 2 .

Օրինակ 13

Գտե՛ք x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x հավասարման արմատները:

Որոշում

Մենք գործ ունենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման հետ։ Հետևաբար, մենք կգործենք ըստ ալգորիթմի:

Արտահայտությունը աջ կողմից տեղափոխենք ձախ հակառակ նշանով՝ x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Կատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները՝ x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x:

Մենք գալիս ենք հավասարմանը x=0. Այս հավասարման արմատը զրո է։

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս արմատը օտար է սկզբնական հավասարման համար: Փոխարինեք արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ՝ 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0: Ինչպես տեսնում եք, ստացված հավասարումը իմաստ չունի։ Սա նշանակում է, որ 0-ը կողմնակի արմատ է, իսկ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը արմատներ չունի:

Պատասխան.ոչ մի արմատ:

Եթե ​​մենք ալգորիթմում չենք ներառել այլ համարժեք փոխակերպումներ, դա ամենևին չի նշանակում, որ դրանք չեն կարող օգտագործվել։ Ալգորիթմը ունիվերսալ է, բայց այն նախատեսված է ոչ թե սահմանափակելու, այլ օգնելու համար:

Օրինակ 14

Լուծե՛ք 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 հավասարումը

Որոշում

Ամենահեշտ ձևը տրված կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ըստ ալգորիթմի լուծելն է։ Բայց կա ևս մեկ ճանապարհ. Եկեք այն համարենք.

Աջ և ձախ մասերից հանում ենք 7-ը, ստանում ենք՝ 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24:

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ ձախ կողմի հայտարարի արտահայտությունը պետք է հավասար լինի աջ կողմի թվի փոխադարձ թվին, այսինքն՝ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7:

3-րդ երկու մասից հանել՝ 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7: Ըստ անալոգիայի 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, որտեղից 1 5 - x 2 \u003d 1 3, և հետագա 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Եկեք ստուգենք՝ պարզելու համար, թե արդյոք հայտնաբերված արմատները սկզբնական հավասարման արմատներն են։

Պատասխան. x = ± 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածում ես ձեզ ցույց կտամ յոթ տեսակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ, որոնք փոփոխականների փոփոխության միջոցով վերածվում են քառակուսուների։ Շատ դեպքերում, փոխակերպումները, որոնք հանգեցնում են փոխարինման, շատ աննշան են, և դրանց մասին ինքնուրույն կռահելը բավականին դժվար է:

Հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի համար ես կբացատրեմ, թե ինչպես կարելի է փոփոխականի փոփոխություն կատարել դրանում, այնուհետև համապատասխան վիդեո ձեռնարկում ցույց կտամ մանրամասն լուծումը։

Դուք հնարավորություն ունեք ինքներդ շարունակել լուծել հավասարումները, այնուհետև ստուգել ձեր լուծումը տեսանյութի ձեռնարկով։

Այսպիսով, եկեք սկսենք:

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Նկատի ունեցեք, որ չորս փակագծերի արտադրյալը հավասարման ձախ կողմում է, իսկ թիվը՝ աջ կողմում։

1. Փակագծերը խմբավորենք երկուսի, որպեսզի ազատ անդամների գումարը նույնն է։

2. Բազմապատկեք դրանք:

3. Ներկայացնենք փոփոխականի փոփոխություն։

Մեր հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք երրորդի հետ, իսկ երկրորդը՝ չորրորդին, քանի որ (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Այս պահին փոփոխական փոփոխությունը ակնհայտ է դառնում.

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Պատասխան.

2 .

Այս տեսակի հավասարումը նման է նախորդին մեկ տարբերությամբ. հավասարման աջ կողմում թվի արտադրյալն է: Եվ դա լուծվում է բոլորովին այլ կերպ.

1. Փակագծերը խմբավորում ենք երկուսի, որպեսզի ազատ տերմինների արտադրյալը նույնն է։

2. Մենք բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր զույգ փակագծերը:

3. Յուրաքանչյուր գործոնից փակագծից հանում ենք x-ը:

4. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք .

5. Ներկայացնում ենք փոփոխականի փոփոխություն։

Այս հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք չորրորդով, իսկ երկրորդը՝ երրորդով, քանի որ.

Նկատի ունեցեք, որ յուրաքանչյուր փակագծում գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են: Յուրաքանչյուր փակագծից հանենք բազմապատկիչը.

Քանի որ x=0 սկզբնական հավասարման արմատը չէ, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք . Մենք ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Պատասխան.

3 .

Նշենք, որ երկու կոտորակների հայտարարները պարունակում են քառակուսի եռանկյուններ, որի առաջատար գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են։ Փակագծից հանում ենք, ինչպես երկրորդ տեսակի հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել փոփոխականի փոփոխություն.

Մենք ստանում ենք t փոփոխականի հավասարումը.

4 .

Նշենք, որ հավասարման գործակիցները սիմետրիկ են կենտրոնականի նկատմամբ։ Նման հավասարումը կոչվում է վերադարձելի .

Այն լուծելու համար

1. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք (Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x=0 հավասարման արմատը չէ։) Ստանում ենք.

2. Պայմանները խմբավորել այս կերպ.

3. Յուրաքանչյուր խմբում մենք հանում ենք ընդհանուր գործոնը.

4. Ներկայացնենք փոխարինում.

5. Արտահայտությունը արտահայտենք t-ով.

Այստեղից

Մենք ստանում ենք t-ի հավասարումը.

Պատասխան.

5. Միատարր հավասարումներ.

Միատարրի կառուցվածք ունեցող հավասարումների կարելի է հանդիպել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական հավասարումներ, ուստի այն պետք է ճանաչել։

Միատարր հավասարումները ունեն հետևյալ կառուցվածքը.

Այս հավասարության մեջ A, B և C թվեր են, և նույն արտահայտությունները նշվում են քառակուսիով և շրջանով: Այսինքն՝ միատարր հավասարման ձախ կողմում նույն աստիճանն ունեցող միանդամների գումարն է (այս դեպքում միանդամների աստիճանը 2 է), իսկ ազատ անդամ չկա։

Միատարր հավասարումը լուծելու համար երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Ուշադրություն. Հավասարման աջ և ձախ կողմերը անհայտ պարունակող արտահայտությամբ բաժանելիս կարող եք կորցնել արմատները: Ուստի անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք այն արտահայտության արմատները, որոնցով մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը, բուն հավասարման արմատներն են։

Եկեք գնանք առաջին ճանապարհով: Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք փոփոխականի փոխարինում.

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և ստացե՛ք t-ի երկքառակուսի հավասարում.

Պատասխան.կամ

7 .

Այս հավասարումն ունի հետևյալ կառուցվածքը.

Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հավասարման ձախ կողմում գտնվող լրիվ քառակուսին:

Ամբողջական քառակուսի ընտրելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել կամ հանել կրկնակի արտադրյալը: Այնուհետև մենք ստանում ենք գումարի կամ տարբերության քառակուսին: Սա շատ կարևոր է փոփոխականի հաջող փոխարինման համար:

Սկսենք կրկնակի արտադրյալը գտնելուց: Դա կլինի փոփոխականը փոխարինելու բանալին: Մեր հավասարման մեջ կրկնակի արտադրյալն է

Հիմա եկեք պարզենք, թե որն է մեզ համար ավելի հարմար՝ գումարի քառակուսի՞ն, թե՞ տարբերության: Դիտարկենք, սկզբի համար, արտահայտությունների գումարը.

Լավ! այս արտահայտությունը ճիշտ հավասար է արտադրյալի կրկնակի: Այնուհետև փակագծերում գումարի քառակուսին ստանալու համար անհրաժեշտ է գումարել և հանել կրկնակի արտադրյալը.