Ինժեներական հաշվիչ առցանց

Շտապում ենք բոլորին ներկայացնել անվճար ինժեներական հաշվիչ։ Դրա միջոցով ցանկացած ուսանող կարող է արագ և, որ ամենակարևորը, հեշտությամբ կատարել տարբեր տեսակի մաթեմատիկական հաշվարկներ առցանց:

Հաշվիչը վերցված է կայքից՝ web 2.0 գիտական ​​հաշվիչ

Պարզ և հեշտ օգտագործվող ինժեներական հաշվիչը աննկատ և ինտուիտիվ ինտերֆեյսով իսկապես օգտակար կլինի ինտերնետից օգտվողների ամենալայն շրջանակի համար: Այժմ, երբ ձեզ անհրաժեշտ է հաշվիչ, գնացեք մեր կայք և օգտագործեք անվճար ինժեներական հաշվիչը:

Ինժեներական հաշվիչը կարող է կատարել ինչպես պարզ թվաբանական գործողություններ, այնպես էլ բավականին բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ։

Web20calc-ը ինժեներական հաշվիչ է, որն ունի հսկայական թվով ֆունկցիաներ, օրինակ՝ ինչպես հաշվարկել բոլոր տարրական ֆունկցիաները: Հաշվիչը նաև աջակցում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին, մատրիցներին, լոգարիթմներին և նույնիսկ գծագրությանը:

Անկասկած, Web20calc-ը կհետաքրքրի մարդկանց այն խմբին, ովքեր պարզ լուծումներ փնտրելով որոնման համակարգերում հարցում են գրում՝ առցանց մաթեմատիկական հաշվիչ: Անվճար վեբ հավելվածը կօգնի ձեզ ակնթարթորեն հաշվարկել ցանկացած մաթեմատիկական արտահայտության արդյունքը, օրինակ՝ հանել, ավելացնել, բաժանել, հանել արմատը, բարձրացնել մինչև հզորության և այլն։

Արտահայտության մեջ կարող եք օգտագործել աստիճանականացում, գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, տոկոս, PI հաստատուն: Փակագծերը պետք է օգտագործվեն բարդ հաշվարկների համար:

Ինժեներական հաշվիչի առանձնահատկությունները.

1. հիմնական թվաբանական գործողություններ;
2. աշխատել թվերի հետ ստանդարտ ձևով;
3. եռանկյունաչափական արմատների, ֆունկցիաների, լոգարիթմների, հզորության հաշվարկ;
4. վիճակագրական հաշվարկներ՝ գումարում, միջին թվաբանական կամ ստանդարտ շեղում.
5. հիշողության բջիջի կիրառում և 2 փոփոխականների օգտատիրոջ գործառույթներ;
6. աշխատել անկյունների հետ ռադիանի և աստիճանի չափերով:

Ինժեներական հաշվիչը թույլ է տալիս օգտագործել մի շարք մաթեմատիկական գործառույթներ.

Արմատների արդյունահանում (քառակուսի արմատ, խորանարդ արմատ, ինչպես նաև n-րդ աստիճանի արմատ);
նախկին (e-ից x հզորություն), ցուցիչ;
եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ սինուս - մեղք, կոսինուս - cos, տանգենս - թան;
հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ՝ սինուս - սինհ, կոսինուս - կոշ, տանգենս - տանհ;
լոգարիթմներ. երկու հիմքի երկուական լոգարիթմը log2x է, տասը հիմքի տասը լոգարիթմը log է, բնական լոգարիթմը ln է:

Այս ինժեներական հաշվիչը ներառում է նաև քանակների հաշվիչ՝ տարբեր չափման համակարգերի համար ֆիզիկական մեծություններ փոխակերպելու ունակությամբ՝ համակարգչային միավորներ, հեռավորություն, քաշ, ժամանակ և այլն: Այս ֆունկցիայի միջոցով դուք կարող եք ակնթարթորեն փոխարկել մղոնները կիլոմետրերի, ֆունտները կիլոգրամների, վայրկյանները ժամերի և այլն:

Մաթեմատիկական հաշվարկներ կատարելու համար նախ համապատասխան դաշտում մուտքագրեք մաթեմատիկական արտահայտությունների հաջորդականությունը, ապա սեղմեք հավասարության նշանի վրա և տեսեք արդյունքը։ Դուք կարող եք արժեքներ մուտքագրել անմիջապես ստեղնաշարից (դրա համար հաշվիչի տարածքը պետք է ակտիվ լինի, հետևաբար, օգտակար կլինի կուրսորը տեղադրել մուտքագրման դաշտում): Ի թիվս այլ բաների, տվյալները կարող են մուտքագրվել հենց հաշվիչի կոճակների միջոցով:

Մուտքի դաշտում գրաֆիկներ կառուցելու համար գրեք ֆունկցիան, ինչպես նշված է օրինակի դաշտում կամ օգտագործեք դրա համար հատուկ ստեղծված գործիքագոտին (այն գնալու համար սեղմեք գրաֆիկի տեսքով պատկերակով կոճակը): Արժեքները փոխարկելու համար սեղմեք Unit, մատրիցներով աշխատելու համար՝ Matrix:

Առաջին մակարդակ

Արտահայտության փոխակերպում. Մանրամասն տեսություն (2019)

Հաճախ մենք լսում ենք այս տհաճ արտահայտությունը. «պարզեցնել արտահայտությունը».Սովորաբար, այս դեպքում մենք ունենք այսպիսի հրեշի տեսակ.

«Այո, շատ ավելի հեշտ է», - ասում ենք մենք, բայց նման պատասխանը սովորաբար չի աշխատում:

Հիմա ես ձեզ կսովորեցնեմ չվախենալ ոչ մի նման առաջադրանքից։

Ավելին, դասի վերջում դուք ինքներդ կպարզեցնեք այս օրինակը (պարզապես!) սովորական թվով (այո, դժոխք այս տառերով):

Բայց նախքան այս դասը սկսելը, դուք պետք է կարողանաք գործ ունենալ կոտորակների հետև ֆակտորիզացնել բազմանդամները.

Հետևաբար, եթե նախկինում դա չեք արել, համոզվեք, որ տիրապետում եք «» և «» թեմաներին:

Կարդա՞լ Եթե ​​այո, ուրեմն պատրաստ եք։

Եկեք գնանք (Եկեք գնանք)

Կարևոր նշում!Եթե ​​բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում)

Հիմնական արտահայտությունների պարզեցման գործողություններ

Այժմ մենք կվերլուծենք հիմնական մեթոդները, որոնք օգտագործվում են արտահայտությունները պարզեցնելու համար:

Դրանցից ամենապարզն է

1. Նմանատիպ բերելը

Որոնք են նման: Դուք այս ամենի միջով անցել եք 7-րդ դասարանում, երբ մաթեմատիկայի մեջ առաջին անգամ թվերի փոխարեն տառերը հայտնվեցին:

Նմանատիպնույն տառային մասով տերմիններ (միանուններ) են։

Օրինակ՝ գումարում նման տերմիններն են և.

Հիշե՞լ եք:

Նմանատիպ բերեք- նշանակում է ավելացնել մի քանի նմանատիպ տերմիններ միմյանց հետ և ստանալ մեկ անդամ:

Բայց ինչպե՞ս կարող ենք տառերը միասին հավաքել: -հարցնում ես։

Սա շատ հեշտ է հասկանալ, եթե պատկերացնեք, որ տառերը ինչ-որ առարկաներ են:

Օրինակ՝ նամակը աթոռ է։ Այդ դեպքում ո՞րն է արտահայտությունը։

Երկու աթոռ գումարած երեք աթոռ, ինչքա՞ն կլինի: Ճիշտ է, աթոռներ.

Այժմ փորձեք այս արտահայտությունը.

Որպեսզի չշփոթեք, թող տարբեր տառերը տարբեր առարկաներ նշանակեն։

Օրինակ, - սա (ինչպես միշտ) աթոռ է, և - սա սեղան է:

chairs tables chair tables chairs chairs tables

Կանչվում են այն թվերը, որոնցով բազմապատկվում են նման թվերով տառերը գործակիցները.

Օրինակ՝ միանդամում գործակիցը հավասար է։ Եվ նա հավասար է:

Այսպիսով, նմանատիպ բերելու կանոնը.

Օրինակներ.

Նմանատիպ բերեք.

Պատասխանները:

2. (և նման են, քանի որ, հետևաբար, այս տերմիններն ունեն նույն տառային մասը)։

2. Ֆակտորիզացիա

Սա սովորաբար արտահայտությունների պարզեցման ամենակարևոր մասը:

Նմանները տալուց հետո ամենից հաճախ անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունը գործոնացնել, այսինքն ներկայացնել որպես ապրանք:

Հատկապես սա կոտորակներում կարևոր է.քանի որ կոտորակը նվազեցնելու համար, համարիչը և հայտարարը պետք է արտահայտվեն որպես արտադրյալ:

Դուք անցել եք «» թեմայում արտահայտությունների ֆակտորինգի մանրամասն մեթոդները, այնպես որ այստեղ դուք պարզապես պետք է հիշեք, թե ինչ եք սովորել:

Դա անելու համար լուծեք մի քանի օրինակ (պետք է ֆակտորիզացնել)

Օրինակներ.

Լուծումներ:

3. Կոտորակի կրճատում.

Դե, ի՞նչ կարող է լինել ավելի լավ, քան համարիչի ու հայտարարի մի մասը հատել ու դուրս շպրտել քո կյանքից։

Դա հապավումների գեղեցկությունն է:

Դա պարզ է.

Եթե ​​համարիչն ու հայտարարը պարունակում են նույն գործակիցները, դրանք կարող են կրճատվել, այսինքն՝ հեռացնել կոտորակից։

Այս կանոնը բխում է կոտորակի հիմնական հատկությունից.

Այսինքն՝ կրճատման գործողության էությունն այն է Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք նույն թվի (կամ նույն արտահայտության) վրա։

Կոտորակը նվազեցնելու համար անհրաժեշտ է.

1) համարիչ և հայտարար գործոնացնել

2) եթե համարիչը և հայտարարը պարունակում են ընդհանուր գործոններ, դրանք կարող են ջնջվել։

Օրինակներ.

Սկզբունքը, կարծում եմ, պարզ է.

Ցանկանում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ տիպիկ սխալի վրա՝ կրճատ. Չնայած այս թեման պարզ է, բայց շատերն ամեն ինչ սխալ են անում՝ դա չգիտակցելով կտրել- դա նշանակում է բաժանելհամարիչն ու հայտարարը նույն թվով:

Հապավումներ չկան, եթե համարիչը կամ հայտարարը գումարն է:

Օրինակ՝ պետք է պարզեցնել։

Ոմանք դա անում են, ինչը բացարձակապես սխալ է:

Մեկ այլ օրինակ՝ կրճատել:

«Ամենախելացին» կանի սա.

Ասա ինձ, թե ինչն է այստեղ սխալ: Թվում է, - սա բազմապատկիչ է, այնպես որ կարող եք նվազեցնել:

Բայց ոչ. - սա համարիչում միայն մեկ անդամի գործակից է, բայց համարիչն ինքը որպես ամբողջություն չի տարրալուծվում գործոնների:

Ահա ևս մեկ օրինակ.

Այս արտահայտությունը տարրալուծվում է գործոնների, ինչը նշանակում է, որ դուք կարող եք կրճատել, այսինքն՝ բաժանել համարիչն ու հայտարարը, իսկ հետո՝

Դուք կարող եք անմիջապես բաժանել հետևյալի.

Նման սխալներից խուսափելու համար հիշեք մի պարզ միջոց՝ որոշելու, թե արդյոք արտահայտությունը գործոնավորված է.

Թվաբանական գործողությունը, որը կատարվում է վերջինը՝ արտահայտության արժեքը հաշվարկելիս, «հիմնականն» է։

Այսինքն, եթե տառերի փոխարեն փոխարինում եք որոշ (ցանկացած) թվեր և փորձում եք հաշվարկել արտահայտության արժեքը, ապա եթե վերջին գործողությունը բազմապատկվում է, ապա մենք ունենք արտադրյալ (արտահայտությունը տարրալուծվում է գործոնների)։

Եթե ​​վերջին գործողությունը գումարում կամ հանում է, դա նշանակում է, որ արտահայտությունը գործոնավորված չէ (և հետևաբար չի կարող կրճատվել):

Ինքներդ շտկելու համար մի քանի օրինակ.

Օրինակներ.

Լուծումներ:

1. Հուսով եմ, որ դուք անմիջապես չեք շտապել կտրել և. Դեռևս բավարար չէր այսպիսի միավորները «նվազեցնելը».

Առաջին քայլը պետք է լինի ֆակտորիզացնելը.

4. Կոտորակների գումարում և հանում. Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը:

Սովորական կոտորակներ գումարելը և հանելը հայտնի գործողություն է. մենք փնտրում ենք ընդհանուր հայտարար, յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկում բացակայող գործակցով և գումարում/հանում ենք համարիչները:

Հիշենք.

Պատասխանները:

1. Հայտարարները և համապարփակ են, այսինքն՝ չունեն ընդհանուր գործակիցներ։ Հետևաբար, այս թվերի LCM-ն հավասար է նրանց արտադրյալին: Սա կլինի ընդհանուր հայտարարը.

2. Այստեղ ընդհանուր հայտարարը հետևյալն է.

3. Այստեղ, առաջին հերթին, մենք խառը կոտորակները վերածում ենք ոչ պատշաճների, իսկ հետո՝ ըստ սովորական սխեմայի.

Այլ հարց է, եթե կոտորակները տառեր են պարունակում, օրինակ.

Սկսենք պարզից.

ա) Հայտարարները տառեր չեն պարունակում

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է, ինչ սովորական թվային կոտորակների դեպքում. մենք գտնում ենք ընդհանուր հայտարար, յուրաքանչյուր կոտորակը բազմապատկում ենք բացակայող գործակցով և ավելացնում/հանում ենք համարիչները.

այժմ համարիչի մեջ կարող եք բերել նմանատիպերը, եթե այդպիսիք կան, և հաշվի առնել դրանք.

Փորձեք ինքներդ.

Պատասխանները:

բ) Հայտարարները պարունակում են տառեր

Հիշենք առանց տառերի ընդհանուր հայտարար գտնելու սկզբունքը.

Առաջին հերթին մենք որոշում ենք ընդհանուր գործոնները.

Այնուհետև մենք մեկ անգամ դուրս ենք գրում բոլոր ընդհանուր գործոնները.

և բազմապատկել դրանք բոլոր այլ գործոններով, այլ ոչ թե ընդհանուր:

Հայտարարների ընդհանուր գործակիցները որոշելու համար մենք նախ դրանք բաժանում ենք պարզ գործոնների.

Մենք ընդգծում ենք ընդհանուր գործոնները.

Այժմ մենք մեկ անգամ գրում ենք ընդհանուր գործոնները և ավելացնում բոլոր ոչ ընդհանուր (չընդգծված) գործոնները.

Սա է ընդհանուր հայտարարը:

Վերադառնանք նամակներին։ Հայտարարները տրվում են ճիշտ նույն կերպ.

Մենք բաժանում ենք հայտարարները գործոնների.

որոշել ընդհանուր (նույնական) բազմապատկիչները.

մեկ անգամ դուրս գրեք բոլոր ընդհանուր գործոնները.

Մենք դրանք բազմապատկում ենք բոլոր այլ գործոններով, այլ ոչ թե ընդհանուր:

Այսպիսով, հերթականությամբ.

1) հայտարարները բաժանել գործոնների.

2) որոշել ընդհանուր (նույնական) գործոնները.

3) մեկ անգամ դուրս գրեք բոլոր ընդհանուր գործոնները և բազմապատկեք դրանք բոլոր մյուս (չընդգծված) գործոններով.

Այսպիսով, ընդհանուր հայտարարն այստեղ է: Առաջին կոտորակը պետք է բազմապատկվի, իսկ երկրորդը`

Ի դեպ, կա մեկ հնարք.

Օրինակ: .

Հայտարարների մեջ տեսնում ենք նույն գործոնները, միայն թե բոլորը տարբեր ցուցանիշներով։ Ընդհանուր հայտարարը կլինի.

չափով

չափով

չափով

աստիճանով։

Եկեք բարդացնենք խնդիրը.

Ինչպե՞ս անել, որ կոտորակները ունեն նույն հայտարարը:

Հիշենք կոտորակի հիմնական հատկությունը.

Ոչ մի տեղ չի ասվում, որ կոտորակի համարիչից և հայտարարից նույն թիվը կարելի է հանել (կամ ավելացնել): Որովհետև դա ճիշտ չէ:

Ինքներդ տեսեք՝ վերցրեք, օրինակ, ցանկացած կոտորակ և համարիչին և հայտարարին ավելացրեք մի քանի թիվ, օրինակ՝ . Ի՞նչ է սովորել։

Այսպիսով, մեկ այլ անսասան կանոն.

Երբ կոտորակները բերում եք ընդհանուր հայտարարի, օգտագործեք միայն բազմապատկման գործողությունը:

Բայց ի՞նչ է պետք բազմապատկել ստանալու համար:

Ահա և բազմապատկեք: Եվ բազմապատկեք հետևյալով.

Այն արտահայտությունները, որոնք հնարավոր չէ ֆակտորիզացնել, կկոչվեն «տարրական գործոններ»:

Օրինակ՝ տարրական գործոն է։ - նույնպես: Բայց ոչ. այն քայքայվում է գործոնների։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը: Արդյո՞ք դա տարրական է:

Ոչ, քանի որ այն կարող է ֆակտորիզացվել.

(«» թեմայում արդեն կարդացել եք ֆակտորիզացիայի մասին):

Այսպիսով, տարրական գործոնները, որոնց մեջ դուք տառերով տարրալուծում եք արտահայտությունը, պարզ գործոնների անալոգն են, որոնց մեջ դուք տարրալուծում եք թվերը: Եվ մենք նույնը կանենք նրանց հետ։

Մենք տեսնում ենք, որ երկու հայտարարներն էլ ունեն գործոն. Այն գնալու է իշխանության մեջ ընդհանուր հայտարարի (հիշում եք ինչու՞):

Բազմապատկիչը տարրական է, և նրանք չունեն այն ընդհանուր, ինչը նշանակում է, որ առաջին կոտորակը պարզապես պետք է բազմապատկվի դրանով.

Մեկ այլ օրինակ.

Որոշում:

Այս հայտարարները խուճապի մեջ բազմապատկելուց առաջ պետք է մտածել, թե ինչպես դրանք գործոնավորել։ Երկուսն էլ ներկայացնում են.

Լավ! Ապա.

Մեկ այլ օրինակ.

Որոշում:

Ինչպես միշտ, մենք գործոնացնում ենք հայտարարները: Առաջին հայտարարում մենք այն ուղղակի դնում ենք փակագծերից. երկրորդում - քառակուսիների տարբերությունը.

Թվում է, թե ընդհանուր գործոններ չկան։ Բայց եթե ուշադիր նայեք, նրանք արդեն այնքան նման են... Իսկ ճշմարտությունն այն է.

Այսպիսով, եկեք գրենք.

Այսինքն՝ ստացվեց այսպես՝ փակագծում տերմինները փոխանակեցինք, և միաժամանակ կոտորակի դիմացի նշանը փոխվեց հակառակի։ Ուշադրություն դարձրեք, դուք ստիպված կլինեք դա հաճախակի անել:

Այժմ բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Հասկացա? Հիմա եկեք ստուգենք.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Պատասխանները:

Այստեղ պետք է հիշել ևս մեկ բան՝ խորանարդների տարբերությունը.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ կոտորակի հայտարարը չի պարունակում «գումարի քառակուսի» բանաձևը: Գումարի քառակուսին այսպիսի տեսք կունենա.

A-ն գումարի այսպես կոչված թերի քառակուսին է, որի մեջ երկրորդ անդամը առաջինի և վերջինի արտադրյալն է, և ոչ թե դրանց կրկնապատկված արտադրյալը: Գումարի ոչ լրիվ քառակուսին խորանարդների տարբերության ընդլայնման գործոններից մեկն է.

Իսկ եթե արդեն երեք կոտորակ կա:

Այո, նույնը: Առաջին հերթին մենք կհամոզվենք, որ հայտարարների մեջ գործոնների առավելագույն թիվը նույնն է.

Ուշադրություն դարձրեք. եթե մեկ փակագծի ներսում նշանները փոխում եք, կոտորակի դիմացի նշանը փոխվում է հակառակի։ Երբ փոխում ենք երկրորդ փակագծի նշանները, կոտորակի դիմացի նշանը կրկին հակադարձվում է։ Արդյունքում նա (կոտորակի դիմացի նշանը) չի փոխվել։

Առաջին հայտարարն ամբողջությամբ դուրս ենք գրում ընդհանուր հայտարարի մեջ, իսկ հետո ավելացնում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք դեռ չեն գրվել՝ երկրորդից, իսկ հետո երրորդից (և այսպես շարունակ, եթե ավելի շատ կոտորակներ կան)։ Այսինքն, այն ընթանում է այսպես.

Հմմ ... Կոտորակների դեպքում պարզ է, թե ինչ անել: Բայց ինչ վերաբերում է երկուսին:

Դա պարզ է. դուք գիտեք, թե ինչպես գումարել կոտորակները, այնպես չէ՞: Այսպիսով, դուք պետք է համոզվեք, որ դյուզը դառնում է կոտորակ: Հիշեք. կոտորակը բաժանման գործողություն է (համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա, եթե հանկարծ մոռացել եք): Եվ չկա ավելի հեշտ բան, քան թիվը բաժանելը: Այս դեպքում թիվն ինքնին չի փոխվի, այլ կվերածվի կոտորակի.

Հենց այն, ինչ անհրաժեշտ է։

5. Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.

Դե, ամենադժվար մասը հիմա ավարտված է: Եվ մեր առջևում ամենապարզն է, բայց միևնույն ժամանակ ամենակարևորը.

Ընթացակարգը

Ո՞րն է թվային արտահայտությունը հաշվարկելու կարգը: Հիշեք, հաշվի առնելով նման արտահայտության արժեքը.

Դուք հաշվել եք?

Այն պետք է աշխատի:

Այսպիսով, ես ձեզ հիշեցնում եմ.

Առաջին քայլը աստիճանի հաշվարկն է:

Երկրորդը բազմապատկումն ու բաժանումն է։ Եթե ​​միաժամանակ մի քանի բազմապատկումներ և բաժանումներ կան, կարող եք դրանք կատարել ցանկացած հերթականությամբ:

Եվ վերջապես մենք կատարում ենք գումարում և հանում։ Կրկին, ցանկացած կարգով:

Բայց. փակագծերում տրված արտահայտությունը գնահատվում է անսարք:

Եթե ​​մի քանի փակագծեր բազմապատկվում կամ բաժանվում են միմյանցով, մենք նախ գնահատում ենք փակագծերից յուրաքանչյուրի արտահայտությունը, այնուհետև բազմապատկում կամ բաժանում ենք դրանք։

Իսկ եթե փակագծերի ներսում այլ փակագծեր կան: Լավ, մտածենք՝ փակագծերի ներսում ինչ-որ արտահայտություն է գրված։ Ո՞րն է առաջինը արտահայտությունը գնահատելիս: Ճիշտ է, հաշվարկիր փակագծերը։ Դե, մենք հասկացանք՝ սկզբում հաշվարկում ենք ներքին փակագծերը, հետո մնացած ամեն ինչ։

Այսպիսով, վերը նշված արտահայտության գործողությունների կարգը հետևյալն է (ընթացիկ գործողությունը ընդգծված է կարմիրով, այսինքն՝ այն գործողությունը, որը ես կատարում եմ հենց հիմա).

Լավ, ամեն ինչ պարզ է:

Բայց դա նույնը չէ, ինչ տառերով արտահայտությունը, այնպես չէ՞:

Չէ, նույնն է։ Միայն թվաբանական գործողությունների փոխարեն անհրաժեշտ է կատարել հանրահաշվական գործողություններ, այսինքն՝ նախորդ բաժնում նկարագրված գործողությունները. բերելով համանման, կոտորակների գումարում, կոտորակների կրճատում և այլն։ Միակ տարբերությունը կլինի բազմանդամների ֆակտորինգի գործողությունը (մենք հաճախ այն օգտագործում ենք կոտորակների հետ աշխատելիս): Ամենից հաճախ, ֆակտորիզացիայի համար անհրաժեշտ է օգտագործել i կամ պարզապես փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը:

Սովորաբար մեր նպատակն է արտահայտությունը ներկայացնել որպես արտադրանք կամ գործակից:

Օրինակ:

Պարզեցնենք արտահայտությունը.

1) Նախ պարզեցնում ենք փակագծերի արտահայտությունը: Այնտեղ մենք ունենք կոտորակների տարբերությունը, և մեր նպատակն է այն ներկայացնել որպես արտադրյալ կամ գործակից։ Այսպիսով, կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի և ավելացնում.

Անհնար է այս արտահայտությունն ավելի պարզեցնել, այստեղ բոլոր գործոնները տարրական են (դեռ հիշու՞մ եք, թե դա ինչ է նշանակում):

2) Մենք ստանում ենք.

Կոտորակների բազմապատկում. ինչը կարող է ավելի հեշտ լինել:

3) Այժմ կարող եք կրճատել.

վերջ։ Ոչ մի բարդ բան, չէ՞:

Մեկ այլ օրինակ.

Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Նախ, փորձեք ինքներդ լուծել այն, և միայն դրանից հետո նայեք լուծմանը:

Որոշում:

Նախ, եկեք սահմանենք ընթացակարգը.

Նախ գումարենք փակագծերում գտնվող կոտորակները, երկու կոտորակի փոխարեն կստացվի մեկը։

Հետո կկատարենք կոտորակների բաժանումը։ Դե, մենք ավելացնում ենք արդյունքը վերջին կոտորակի հետ:

Ես սխեմատիկորեն համարակալեմ քայլերը.

Այժմ ես ցույց կտամ ամբողջ գործընթացը՝ ընթացիկ գործողությունը կարմիրով ներկելով.

Ի վերջո, ես ձեզ երկու օգտակար խորհուրդ կտամ.

1. Եթե կան նմանատիպեր, ապա պետք է անհապաղ բերվեն։ Ցանկացած պահի էլ նմաններ ունենանք, ցանկալի է անմիջապես բերել։

2. Նույնը վերաբերում է կոտորակների կրճատմանը. հենց որ հնարավորություն է լինում կրճատելու, այն պետք է օգտագործել։ Բացառություն են կազմում այն ​​կոտորակները, որոնք դուք ավելացնում կամ հանում եք. եթե դրանք այժմ ունեն նույն հայտարարները, ապա կրճատումը պետք է թողնել ավելի ուշ:

Ահա մի քանի առաջադրանքներ, որոնք կարող եք ինքնուրույն լուծել.

Եվ հենց սկզբում խոստացավ.

Պատասխանները:

Լուծումներ (համառոտ).

Եթե ​​գլուխ եք հանել առնվազն առաջին երեք օրինակներից, ապա, հաշվի առեք, որ տիրապետել եք թեմային:

Այժմ սովորելու համար:

ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅԱՆ ՓՈԽԱՐԿՈՒՄ. ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ

Հիմնական պարզեցման գործողություններ.

• Նմանատիպ բերելը: նման պայմաններ ավելացնելու (նվազեցնելու) համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց գործակիցները և նշանակել տառային մասը:
• Ֆակտորիզացիա:ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը, կիրառելը և այլն։
• Կոտորակի կրճատումկոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարելի է բազմապատկել կամ բաժանել նույն ոչ զրոյական թվով, որից կոտորակի արժեքը չի փոխվում։
  1) համարիչ և հայտարար գործոնացնել
  2) եթե համարիչում և հայտարարում կան ընդհանուր գործակիցներ, դրանք կարելի է հատել:

  ԿԱՐԵՎՈՐ. միայն բազմապատկիչները կարող են կրճատվել:

• Կոտորակների գումարում և հանում.
  ;
• Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.
  ;

Դիտողություն 1

Տրամաբանական ֆունկցիան կարող է գրվել՝ օգտագործելով տրամաբանական արտահայտություն, այնուհետև կարող եք անցնել տրամաբանական միացում: Անհրաժեշտ է պարզեցնել տրամաբանական արտահայտությունները՝ հնարավորինս պարզ (և հետևաբար ավելի էժան) տրամաբանական միացում ստանալու համար։ Փաստորեն, տրամաբանական ֆունկցիան, տրամաբանական արտահայտությունը և տրամաբանական միացումը երեք տարբեր լեզուներ են, որոնք խոսում են նույն էության մասին:

Տրամաբանական արտահայտությունները պարզեցնելու համար օգտագործեք տրամաբանության հանրահաշվի օրենքները.

Որոշ փոխակերպումներ նման են դասական հանրահաշվի բանաձևերի փոխակերպումներին (ընդհանուր գործոնի փակագծում, կոմուտատիվ և ասոցիատիվ օրենքների օգտագործում և այլն), մինչդեռ մյուս փոխակերպումները հիմնված են այն հատկությունների վրա, որոնք չունեն դասական հանրահաշվի գործողությունները (օգտագործելով բաշխման օրենքը կապի համար, կլանման, սոսնձման օրենքները, դե Մորգանի կանոնները և այլն):

Տրամաբանության հանրահաշվի օրենքները ձևակերպված են հիմնական տրամաբանական գործողությունների համար՝ «ՉԻ»՝ ինվերսիա (ժխտում), «ԵՎ»՝ կապ (տրամաբանական բազմապատկում) և «ԿԱՄ»՝ դիսյունցիա (տրամաբանական գումարում):

Կրկնակի ժխտման օրենքը նշանակում է, որ «ՉԻ» գործողությունը շրջելի է. եթե այն երկու անգամ կիրառես, ապա ի վերջո տրամաբանական արժեքը չի փոխվի։

Բացառված միջինի օրենքը ասում է, որ ցանկացած տրամաբանական արտահայտություն կա՛մ ճիշտ է, կա՛մ կեղծ («երրորդ չկա»): Հետևաբար, եթե $A=1$, ապա $\bar(A)=0$ (և հակառակը), ինչը նշանակում է, որ այս մեծությունների շաղկապը միշտ հավասար է զրոյի, իսկ դիսյունկցիան հավասար է մեկի։

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Եկեք պարզեցնենք այս բանաձևը.

Նկար 3

Սա ենթադրում է, որ $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$:

Պատասխան.$B$, $C$ և $D$ ուսանողները շախմատ են խաղում, իսկ $A$ ուսանողը չի խաղում:

Տրամաբանական արտահայտությունները պարզեցնելիս կարող եք կատարել գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունը.

1. Փոխարինեք բոլոր «ոչ հիմնական» գործողությունները (համարժեքություն, ենթատեքստ, XOR և այլն) իրենց արտահայտություններով՝ ինվերսիայի, կապի և անջատման հիմնական գործողությունների միջոցով:
2. Ընդլայնել բարդ արտահայտությունների ինվերսիաները՝ ըստ դե Մորգանի կանոնների, այնպես, որ միայն առանձին փոփոխականներն ունենան ժխտման գործողություններ:
3. Այնուհետև պարզեցրեք արտահայտությունը՝ օգտագործելով փակագծերի ընդլայնումը, փակագծերում ընդհանուր գործոնները և տրամաբանության հանրահաշվի այլ օրենքները:

Օրինակ 2

Այստեղ հաջորդաբար օգտագործվում են դե Մորգանի կանոնը, բաշխման օրենքը, բացառված միջինի օրենքը, փոխադարձ օրենքը, կրկնության օրենքը, կրկին փոխադարձ օրենքը և կլանման օրենքը:

Ցանկացած լեզվի օգնությամբ դուք կարող եք նույն տեղեկատվությունը տարբեր բառերով և արտահայտություններով արտահայտել: Մաթեմատիկական լեզուն բացառություն չէ։ Բայց նույն արտահայտությունը կարելի է համարժեք գրել տարբեր ձևերով։ Իսկ որոշ իրավիճակներում գրառումներից մեկն ավելի պարզ է: Այս դասում մենք կխոսենք արտահայտությունների պարզեցման մասին:

Մարդիկ շփվում են տարբեր լեզուներով։ Մեզ համար կարևոր համեմատություն է «Ռուսաց լեզու - մաթեմատիկական լեզու» զույգը։ Նույն տեղեկատվությունը կարող է հաղորդվել տարբեր լեզուներով: Բայց, բացի սրանից, մեկ լեզվով այն կարելի է տարբեր կերպ արտասանել։

Օրինակ՝ «Պետրն ընկեր է Վասյայի հետ», «Վասյան ընկեր է Պետյայի հետ», «Պետերն ու Վասյան ընկերներ են»։ Այլ կերպ ասաց, բայց մեկ ու նույնը. Այս արտահայտություններից որևէ մեկով մենք կհասկանայինք, թե ինչն է վտանգված:

Եկեք նայենք այս արտահայտությանը. «Տղան Պետյան և տղան Վասյան ընկերներ են»: Մենք հասկանում ենք, թե ինչն է վտանգված: Այնուամենայնիվ, մեզ դուր չի գալիս, թե ինչպես է հնչում այս արտահայտությունը: Չե՞նք կարող պարզեցնել, նույնը ասել, բայց ավելի պարզ: «Տղա և տղա» - կարող եք մեկ անգամ ասել. «Տղաներ Պետյան և Վասյան ընկերներ են»:

«Տղաներ» ... Նրանց անուններից չի՞ պարզվում, որ նրանք աղջիկ չեն։ Մենք հեռացնում ենք «տղաներին»՝ «Պետյան և Վասյան ընկերներ են»։ Իսկ «ընկերներ» բառը կարելի է փոխարինել «ընկերներով»՝ «Պետյան և Վասյան ընկերներ են»։ Արդյունքում առաջին, երկար, տգեղ արտահայտությունը փոխարինվեց համարժեք արտահայտությամբ, որն ավելի հեշտ է ասել և հասկանալի: Մենք պարզեցրել ենք այս արտահայտությունը. Պարզեցնել՝ նշանակում է ավելի հեշտ ասել, բայց չկորցնել, իմաստը չխեղաթյուրել։

Նույնը տեղի է ունենում մաթեմատիկական լեզվում. Նույն բանը կարելի է տարբեր կերպ ասել. Ի՞նչ է նշանակում պարզեցնել արտահայտությունը: Սա նշանակում է, որ սկզբնական արտահայտության համար կան բազմաթիվ համարժեք արտահայտություններ, այսինքն՝ նույն բանը նշանակող արտահայտություններ։ Եվ այս ամբողջ բազմությունից մենք պետք է ընտրենք ամենապարզը, մեր կարծիքով, կամ ամենահարմարը մեր հետագա նպատակների համար։

Օրինակ, հաշվի առեք թվային արտահայտություն: Դա համարժեք կլինի.

Այն նաև համարժեք կլինի առաջին երկուսին. .

Ստացվում է, որ մենք պարզեցրել ենք մեր արտահայտությունները և գտել ամենակարճ համարժեք արտահայտությունը։

Թվային արտահայտությունների համար միշտ պետք է կատարել ամբողջ աշխատանքը և ստանալ համարժեք արտահայտությունը որպես մեկ թիվ:

Դիտարկենք բառացի արտահայտության օրինակ . Ակնհայտ է, որ դա ավելի պարզ կլինի։

Բառացի արտահայտությունները պարզեցնելիս պետք է կատարել բոլոր հնարավոր գործողությունները:

Մի՞շտ է անհրաժեշտ արտահայտությունը պարզեցնել: Ոչ, երբեմն մեզ համար ավելի հարմար կլինի համարժեք, բայց ավելի երկար նշումը։

ՕրինակԹիվը հանել թվից:

Հնարավոր է հաշվարկել, բայց եթե առաջին թիվը ներկայացվեր իր համարժեք նշումով՝ , ապա հաշվարկները կլինեն ակնթարթային՝ .

Այսինքն՝ պարզեցված արտահայտությունը միշտ չէ, որ մեզ ձեռնտու է հետագա հաշվարկների համար։

Այնուամենայնիվ, շատ հաճախ մենք բախվում ենք մի խնդրի, որը պարզապես հնչում է որպես «պարզեցնել արտահայտությունը»:

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

Որոշում

1) Կատարեք գործողություններ առաջին և երկրորդ փակագծերում.

2) Հաշվարկել արտադրանքը. .

Ակնհայտ է, որ վերջին արտահայտությունն ավելի պարզ ձև ունի, քան սկզբնականը։ Մենք դա պարզեցրել ենք։

Արտահայտությունը պարզեցնելու համար այն պետք է փոխարինել համարժեքով (հավասար):

Համարժեք արտահայտությունը որոշելու համար դուք պետք է.

1) կատարել բոլոր հնարավոր գործողությունները.

2) հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործել գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման հատկությունները.

Գումարման և հանման հատկությունները.

1. Գումարի փոխադարձ հատկություն՝ ժամկետների վերադասավորումից գումարը չի փոխվում։

2. Գումարի ասոցիատիվ հատկություն. երկու թվերի գումարին երրորդ թիվ ավելացնելու համար կարելի է առաջին թվին ավելացնել երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը։

3. Թվից գումար հանելու հատկությունը՝ թվից գումարը հանելու համար կարելի է յուրաքանչյուր անդամ հանել առանձին։

Բազմապատկման և բաժանման հատկությունները

1. Բազմապատկման կոմուտատիվ հատկություն. արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից:

2. Ասոցիատիվ հատկություն. թիվը երկու թվերի արտադրյալով բազմապատկելու համար նախ կարելի է այն բազմապատկել առաջին գործակցով, իսկ հետո ստացված արտադրյալը բազմապատկել երկրորդ գործակցով։

3. Բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը՝ թիվը գումարով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել յուրաքանչյուր անդամով առանձին։

Տեսնենք, թե իրականում ինչպես ենք մտավոր հաշվարկներ անում:

Հաշվարկել:

Որոշում

1) Պատկերացրեք, թե ինչպես

2) Ներկայացնենք առաջին բազմապատկիչը որպես բիթ անդամների գումար և կատարենք բազմապատկումը.

3) կարող եք պատկերացնել, թե ինչպես և կատարել բազմապատկում.

4) առաջին գործակիցը փոխարինել համարժեք գումարով.

Բաշխիչ օրենքը կարող է օգտագործվել նաև հակառակ ուղղությամբ.

Հետևեք այս քայլերին.

1) 2)

Որոշում

1) Հարմարության համար կարող եք օգտագործել բաշխման օրենքը, պարզապես օգտագործեք այն հակառակ ուղղությամբ՝ փակագծերից հանեք ընդհանուր գործոնը:

2) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը

Խոհանոցում և միջանցքում անհրաժեշտ է գնել լինոլեում։ Խոհանոցի տարածք - միջանցք -. Լինոլեումի երեք տեսակ կա՝ համար և ռուբլու համար։ Որքա՞ն կարժենա լինոլեումի երեք տեսակներից յուրաքանչյուրը: (նկ. 1)

Բրինձ. 1. Խնդրի վիճակի նկարազարդում

Որոշում

Մեթոդ 1. Առանձին կարող եք գտնել, թե որքան գումար կպահանջվի խոհանոցում լինոլեում գնելու համար, այնուհետև այն ավելացնել միջանցքում և գումարել ստացված աշխատանքները։

§ 1 Բառացի արտահայտությունը պարզեցնելու հայեցակարգը

Այս դասում մենք կծանոթանանք «նման տերմիններ» հասկացությանը և օրինակներով կսովորենք, թե ինչպես իրականացնել նմանատիպ տերմինների կրճատում՝ դրանով իսկ պարզեցնելով բառացի արտահայտությունները։

Եկեք պարզենք «պարզեցում» հասկացության իմաստը. «Պարզեցում» բառն առաջացել է «պարզեցնել» բառից։ Պարզեցնել նշանակում է պարզեցնել, ավելի պարզեցնել: Հետևաբար, բառացի արտահայտությունը պարզեցնելը նշանակում է այն ավելի կարճ դարձնել՝ նվազագույն թվով գործողություններով:

Դիտարկենք 9x + 4x արտահայտությունը: Սա բառացի արտահայտություն է, որը գումար է: Այստեղ տերմինները ներկայացված են որպես թվի և տառի արտադրյալներ։ Նման տերմինների թվային գործակիցը կոչվում է գործակից։ Այս արտահայտության մեջ գործակիցները կլինեն 9 և 4 թվերը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տառով ներկայացված բազմապատկիչը նույնն է այս գումարի երկու առումով:

Հիշեք բազմապատկման բաշխման օրենքը.

Գումարը թվով բազմապատկելու համար կարող եք յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել այս թվով և ավելացնել ստացված արտադրյալները:

Ընդհանուր առմամբ, այն գրված է հետևյալ կերպ. (a + b) ∙ c \u003d ac + bc:

Այս օրենքը գործում է երկու ուղղություններով ac + bc = (a + b) ∙ c

Եկեք դա կիրառենք մեր բառացի արտահայտության վրա՝ 9x-ի և 4x-ի արտադրյալների գումարը հավասար է արտադրյալին, որի առաջին գործակիցը 9-ի և 4-ի գումարն է, երկրորդը՝ x-ը։

9 + 4 = 13 կազմում է 13x:

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x:

Արտահայտության մեջ երեք գործողության փոխարեն մնաց մեկ գործողություն՝ բազմապատկում։ Այսպիսով, մենք պարզեցրել ենք մեր բառացի արտահայտությունը, այսինքն. պարզեցրեց այն:

§ 2 Նման տերմինների կրճատում

9x և 4x տերմինները տարբերվում են միայն իրենց գործակիցներով. այդպիսի տերմինները կոչվում են նմանատիպ: Նմանատիպ տերմինների տառային մասը նույնն է. Նմանատիպ տերմինները ներառում են նաև թվեր և հավասար տերմիններ:

Օրինակ, 9a + 12 - 15 արտահայտության մեջ 12 և -15 թվերը կլինեն նմանատիպ անդամներ, իսկ 12 և 6a-ի արտադրյալների գումարում 14 թվերը և 12 և 6a-ի արտադրյալները (12 ∙ 6a +): 14 + 12 ∙ 6a), հավասար անդամներ, որոնք ներկայացված են 12-ի և 6a-ի արտադրյալով:

Կարևոր է նշել, որ հավասար գործակիցներով և տարբեր բառացի գործակիցներով տերմինները նման չեն, թեև երբեմն օգտակար է դրանց նկատմամբ կիրառել բազմապատկման բաշխիչ օրենքը, օրինակ՝ 5x և 5y արտադրյալների գումարը հավասար է արտադրյալին։ 5 թվի և x-ի և y-ի գումարը

5x + 5y = 5 (x + y):

Պարզեցնենք -9a + 15a - 4 + 10 արտահայտությունը։

Այս դեպքում -9a և 15a տերմինները նման տերմիններ են, քանի որ դրանք տարբերվում են միայն իրենց գործակիցներով: Նրանք ունեն նույն տառերի բազմապատկիչը, և -4 և 10 տերմինները նույնպես նման են, քանի որ դրանք թվեր են: Մենք ավելացնում ենք նման պայմաններ.

9ա + 15ա - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Մենք ստանում ենք՝ 6a + 6:

Պարզեցնելով արտահայտությունը՝ գտանք համանման տերմինների գումարները, մաթեմատիկայի մեջ սա կոչվում է համանման տերմինների կրճատում։

Եթե ​​նման տերմիններ բերելը դժվար է, կարող ես դրանց համար բառեր հորինել և առարկաներ ավելացնել։

Օրինակ, հաշվի առեք արտահայտությունը.

Յուրաքանչյուր տառի համար վերցնում ենք մեր սեփական առարկան՝ բ-խնձոր, գ-տանձ, հետո կստացվի՝ 2 խնձոր հանած 5 տանձ գումարած 8 տանձ։

Կարո՞ղ ենք տանձը խնձորից հանել: Իհարկե ոչ. Բայց մինուս 5 տանձին կարող ենք ավելացնել 8 տանձ։

Նման պայմաններ ենք տալիս -5 տանձ + 8 տանձ։ Նման տերմինները ունեն նույն բառացի մասը, հետևաբար, նման տերմինները կրճատելիս բավական է ավելացնել գործակիցները և արդյունքին ավելացնել բառացի մասը.

(-5 + 8) տանձ - ստանում եք 3 տանձ։

Վերադառնալով մեր բառացի արտահայտությանը, մենք ունենք -5s + 8s = 3s: Այսպիսով, նմանատիպ տերմինները կրճատելուց հետո ստանում ենք 2b + 3c արտահայտությունը։

Այսպիսով, այս դասում դուք ծանոթացաք «նման տերմիններ» հասկացությանը և սովորեցիք, թե ինչպես պարզեցնել բառացի արտահայտությունները՝ բերելով նման տերմիններ:

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Մաթեմատիկա. Դասարան 6. դասագրքի դասերի պլաններ I.I. Զուբարևա, Ա.Գ. Մորդկովիչ // հեղինակ-կազմող Լ.Ա. Տոպիլին. Mnemosyne 2009 թ.
2. Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար. Ի.Ի.Զուբարևա, Ա.Գ. Մորդկովիչ.- Մ.: Մնեմոզինա, 2013 թ.
3. Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար / Գ.Վ. Դորոֆեև, Ի.Ֆ. Շարիգին, Ս.Բ. Սուվորովը և ուրիշներ / խմբագրել է Գ.Վ. Դորոֆեևա, Ի.Ֆ. Շարիգին; Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիա, Ռուսաստանի կրթության ակադեմիա. Մ.: «Լուսավորություն», 2010 թ.
4. Մաթեմատիկա. Դասարան 6: Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար / N.Ya. Վիլենկին, Վ.Ի. Ժոխով, Ա.Ս. Չեսնոկով, Ս.Ի. Շվարցբուրդ. - Մ.: Մնեմոզինա, 2013:
5. Մաթեմատիկա. Դասարան 6: Դասագիրք / Գ.Կ. Մուրավին, Օ.Վ. Անտ. - Մ.: Բուստարդ, 2014:

Օգտագործված պատկերներ.