Կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունների օրինակներ լուծումներով. ռացիոնալ արտահայտություն

Հոդվածում խոսվում է վերափոխման մասին ռացիոնալ արտահայտություններ. Դիտարկենք ռացիոնալ արտահայտությունների տեսակները, դրանց փոխակերպումները, խմբավորումները՝ փակագծելով ընդհանուր գործոնը: Եկեք սովորենք, թե ինչպես ներկայացնել կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունները ձևով ռացիոնալ կոտորակներ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ռացիոնալ արտահայտությունների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում 1

Այն արտահայտությունները, որոնք կազմված են թվերից, փոփոխականներից, փակագծերից, աստիճաններից՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում կոտորակային տողի առկայությամբ, կոչվում են. ռացիոնալ արտահայտություններ.

Օրինակ, մենք ունենք, որ 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3:

Այսինքն՝ սրանք արտահայտություններ են, որոնք չունեն բաժանում փոփոխականներով արտահայտությունների։ Ռացիոնալ արտահայտությունների ուսումնասիրությունը սկսվում է 8-րդ դասարանից, որտեղ դրանք կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ:Հատուկ ուշադրություն է դարձվում համարիչի կոտորակներին, որոնք փոխակերպվում են փոխակերպման կանոններով:

Սա մեզ թույլ է տալիս անցնել կամայական ձևի ռացիոնալ կոտորակների փոխակերպմանը: Նման արտահայտությունը կարելի է համարել որպես ռացիոնալ կոտորակների առկայությամբ արտահայտություն և գործողության նշաններ ունեցող ամբողջ թվային արտահայտություններ։

Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Ռացիոնալ արտահայտություններն օգտագործվում են միանման փոխակերպումներ, խմբավորումներ, նմանների ձուլում և թվերի հետ այլ գործողություններ կատարելու համար: Նման արտահայտությունների նպատակը պարզեցնելն է.

Օրինակ 1

Փոխակերպել ռացիոնալ արտահայտությունը 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1:

Որոշում

Կարելի է տեսնել, որ նման ռացիոնալ արտահայտությունը 3 · x x · y - 1 և 2 · x x · y - 1 տարբերությունն է: Ուշադրություն դարձրեք, որ նրանք ունեն նույն հայտարարը: Սա նշանակում է, որ նմանատիպ տերմինների կրճատումը ձև է ստանում

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Պատասխան. 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1:

Օրինակ 2

Կատարեք փոխակերպումը 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Որոշում

Սկզբում մենք կատարում ենք գործողություններ 3 · x − x = 2 · x փակագծերում: Այս արտահայտությունը ներկայացված է որպես 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x: Մենք հասնում ենք մի արտահայտության, որը պարունակում է մեկ փուլով գործողություններ, այսինքն՝ ունի գումարում և հանում։

Ազատվեք փակագծերից՝ կիրառելով բաժանման հատկությունը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x:

Թվային գործակիցները խմբավորում ենք x փոփոխականով, որից հետո կարող ենք հզորություններով գործողություններ կատարել։ Մենք դա հասկանում ենք

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Պատասխան. 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4:

Օրինակ 3

Փոխակերպեք x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 ձևի արտահայտությունը:

Որոշում

Նախ փոխարկենք համարիչն ու հայտարարը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք (x (x + 3) - (3 x + 1)) ձևի արտահայտությունը՝ 1 2 x 4 + 2, և առաջինը կատարվում են փակագծերի գործողությունները։ Համարիչում կատարվում են գործողություններ և խմբավորվում գործոնները: Այնուհետև մենք ստանում ենք x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 ձևի արտահայտությունը. x + 2.

Մենք վերափոխում ենք համարիչի քառակուսիների տարբերության բանաձևը, այնուհետև ստանում ենք դա

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Պատասխանել x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2:

Ներկայացում որպես ռացիոնալ կոտորակ

Հանրահաշվական կոտորակը լուծելիս ամենից հաճախ ենթարկվում է պարզեցման։ Ամեն ռացիոնալ հանգում է դրան տարբեր ճանապարհներ. Ամեն ինչ պետք է անել անհրաժեշտ գործողություններբազմանդամների հետ այնպես, որ ռացիոնալ արտահայտությունը ի վերջո կարող է տալ ռացիոնալ կոտորակ:

Օրինակ 4

Արտահայտե՛ք ռացիոնալ կոտորակի տեսքով a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Որոշում

Այս արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a: Բազմապատկումը կատարվում է առաջին հերթին ըստ կանոնների։

Պետք է սկսել բազմապատկմամբ, հետո կստանանք դա

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 (a + 3) a (a + 5) = ա - 5 (ա + 3) ա

Մենք արտադրում ենք բնօրինակով ստացված արդյունքի ներկայացում: Մենք դա հասկանում ենք

ա + 5 ա (ա - 3) - ա 2 - 25 ա + 3 1 ա 2 + 5 ա = ա + 5 ա ա - 3 - ա - 5 ա + 3 ա

Հիմա կատարենք հանումը.

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Դրանից հետո ակնհայտ է, որ սկզբնական արտահայտությունը կունենա 16 ա 2 - 9 ձև։

Պատասխան. a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9:

Օրինակ 5

Արտահայտեք x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x որպես ռացիոնալ կոտորակ:

Որոշում

Տրված արտահայտությունը գրվում է կոտորակի տեսքով, որի համարիչում կա x x + 1 + 1, իսկ հայտարարում 2 x - 1 1 + x։ Անհրաժեշտ է կատարել փոխակերպումներ x x + 1 + 1: Դա անելու համար հարկավոր է ավելացնել կոտորակ և թիվ: Մենք ստանում ենք, որ x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Հետևում է, որ x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Ստացված կոտորակը կարելի է գրել 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x:

Բաժանումից հետո մենք հասնում ենք ձևի ռացիոնալ մասի

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Դուք կարող եք դա լուծել այլ կերպ:

2 x - 1 1 + x-ով բաժանելու փոխարեն մենք բազմապատկում ենք 1 + x 2 x - 1-ի փոխադարձությամբ: Կիրառելով բաշխման հատկությունը՝ մենք ստանում ենք դա

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Պատասխան. x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասը կներառի ռացիոնալ արտահայտությունների և դրանց փոխակերպումների մասին հիմնական տեղեկատվությունը, ինչպես նաև ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման օրինակներ: Այս թեման ամփոփում է մինչ այժմ մեր ուսումնասիրած թեմաները։ Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումները ներառում են գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում հանրահաշվական կոտորակներ, կրճատում, ֆակտորիզացիա և այլն: Դասի շրջանակներում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը, ինչպես նաև կվերլուծենք դրանց փոխակերպման օրինակները:

Առարկա:Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա

Դաս.Հիմնական տեղեկություններ ռացիոնալ արտահայտությունների և դրանց փոխակերպումների մասին

Սահմանում

ռացիոնալ արտահայտությունթվերից, փոփոխականներից, թվաբանական գործողություններից և աստիճանականացումից բաղկացած արտահայտություն է։

Դիտարկենք ռացիոնալ արտահայտության օրինակ.

Ռացիոնալ արտահայտությունների հատուկ դեպքեր.

1-ին աստիճան: ;

2. միանդամ՝ ;

3. կոտորակ՝ .

Ռացիոնալ արտահայտման փոխակերպումռացիոնալ արտահայտության պարզեցում է։ Գործողությունների հաջորդականությունը ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման ժամանակ՝ նախ՝ փակագծերում կան գործողություններ, ապա բազմապատկման (բաժանման), ապա գումարման (հանման) գործողություններ։

Դիտարկենք ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1

Որոշում:

Եկեք քայլ առ քայլ լուծենք այս օրինակը։ Առաջին հերթին կատարվում է փակագծերում տրված գործողությունը:

Պատասխան.

Օրինակ 2

Որոշում:

Պատասխան.

Օրինակ 3

Որոշում:

Պատասխան. .

Նշում:երևի երբ տեսնում ես այս օրինակըՄի միտք առաջացավ՝ կրճատել կոտորակը մինչև ընդհանուր հայտարարի բերելը։ Իսկապես, դա միանգամայն ճիշտ է՝ նախ ցանկալի է հնարավորինս պարզեցնել արտահայտությունը, հետո վերափոխել այն։ Փորձենք նույն օրինակը լուծել երկրորդ ճանապարհով։

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանը միանգամայն նման է ստացվել, բայց լուծումը որոշ չափով ավելի պարզ է ստացվել։

Այս դասում մենք նայեցինք ռացիոնալ արտահայտությունները և դրանց փոխակերպումները, ինչպես նաև մի քանիսը կոնկրետ օրինակներփոխակերպման տվյալներ.

Մատենագիտություն

1. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ 8-րդ դասարան. - Մ.: Լուսավորություն, 2004:

2. Դորոֆեև Գ.Վ., Սուվորովա Ս.Բ., Բունիմովիչ Է.Ա. et al. Հանրահաշիվ 8. - 5-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.

Այս հոդվածը վերաբերում է ռացիոնալ արտահայտությունների վերափոխում, հիմնականում կոտորակային ռացիոնալը, 8-րդ դասարանների հանրահաշվի դասընթացի առանցքային հարցերից մեկն է: Նախ, մենք հիշում ենք, թե ինչպիսի արտահայտություններ են կոչվում ռացիոնալ: Հաջորդիվ, մենք կկենտրոնանանք ռացիոնալ արտահայտություններով ստանդարտ փոխակերպումների իրականացման վրա, ինչպիսիք են տերմինների խմբավորումը, փակագծերից ընդհանուր գործոնները հանելը, նմանատիպ տերմինների կրճատումը և այլն: Ի վերջո, մենք կսովորենք, թե ինչպես ներկայացնել կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունները որպես ռացիոնալ կոտորակներ:

Էջի նավարկություն.

Ռացիոնալ արտահայտությունների սահմանում և օրինակներ

Ռացիոնալ արտահայտությունները դպրոցում հանրահաշվի դասերին ուսումնասիրվող արտահայտությունների տեսակներից են։ Տանք սահմանում.

Սահմանում.

Արտահայտություններ, որոնք կազմված են թվերից, փոփոխականներից, փակագծերից, աստիճաններից՝ ամբողջ թվային ցուցիչներով, կապված նշանների միջոցով թվաբանական գործողություններ+, − և:, որտեղ բաժանումը կարելի է ցույց տալ կոտորակի բարով, կոչվում են ռացիոնալ արտահայտություններ.

Ահա ռացիոնալ արտահայտությունների մի քանի օրինակներ.

Ռացիոնալ արտահայտությունները սկսում են նպատակային ուսումնասիրել 7-րդ դասարանից։ Ավելին, 7-րդ դասարանում աշխատելու հիմունքները այսպես կոչված ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություններ, այսինքն՝ ռացիոնալ արտահայտություններով, որոնք չեն պարունակում բաժանում փոփոխականներով արտահայտությունների։ Դրա համար հետևողականորեն ուսումնասիրվում են միանդամներն ու բազմանդամները, ինչպես նաև դրանցով գործողություններ կատարելու սկզբունքները։ Այս ամբողջ գիտելիքն ի վերջո թույլ է տալիս կատարել ամբողջ թվային արտահայտությունների փոխակերպումը:

8-րդ դասարանում նրանք անցնում են փոփոխականներով արտահայտությամբ բաժանում պարունակող ռացիոնալ արտահայտությունների ուսումնասիրությանը, որոնք կոչվում են. կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ. Որտեղ Հատուկ ուշադրությունտրված այսպես կոչված ռացիոնալ կոտորակներ(Կոչվում է նաեւ հանրահաշվական կոտորակներ), այսինքն՝ կոտորակներ, որոնց համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ։ Սա, ի վերջո, հնարավորություն է տալիս իրականացնել ռացիոնալ կոտորակների փոխակերպումը:

Ձեռք բերված հմտությունները թույլ են տալիս անցնել կամայական ձևի ռացիոնալ արտահայտությունների վերափոխմանը։ Սա բացատրվում է նրանով, որ ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է համարել որպես ռացիոնալ կոտորակներից և ամբողջ թվային արտահայտություններից կազմված արտահայտություն՝ կապված թվաբանական գործողությունների նշաններով։ Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես աշխատել ամբողջ թվային արտահայտությունների և հանրահաշվական կոտորակների հետ:

Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Ռացիոնալ արտահայտություններով դուք կարող եք իրականացնել ինքնության հիմնական փոխակերպումներից որևէ մեկը, լինի դա տերմինների կամ գործոնների խմբավորում, նմանատիպ տերմիններ բերելը, թվերի հետ գործողություններ կատարելը և այլն: Որպես կանոն, այդ փոխակերպումների նպատակն է ռացիոնալ արտահայտման պարզեցում.

Օրինակ.

.

Որոշում.

Հասկանալի է, որ այս ռացիոնալ արտահայտությունը երկու արտահայտությունների տարբերությունն է, և ավելին, այս արտահայտությունները նման են, քանի որ ունեն նույն բառական մասը։ Այսպիսով, մենք կարող ենք կատարել նմանատիպ տերմինների կրճատում.

Պատասխան.

.

Հասկանալի է, որ ռացիոնալ արտահայտություններով փոխակերպումներ կատարելիս, ինչպես, իսկապես, ցանկացած այլ արտահայտություն, պետք է մնալ գործողությունների ընդունված կարգի շրջանակներում։

Օրինակ.

Փոխակերպել ռացիոնալ արտահայտությունը:

Որոշում.

Մենք գիտենք, որ առաջին հերթին կատարվում են փակագծերում տրված գործողությունները։ Ուստի առաջին հերթին փոխակերպում ենք արտահայտությունը փակագծերում՝ 3 x − x=2 x ։

Այժմ դուք կարող եք փոխարինել արդյունքը սկզբնական ռացիոնալ արտահայտությամբ. Այսպիսով, մենք հասանք մի արտահայտության, որը պարունակում է մեկ փուլի գործողություններ՝ գումարում և բազմապատկում:

Ազատվենք արտահայտության վերջում դրված փակագծերից՝ կիրառելով բաժանում առ արտադրյալ հատկությունը՝ .

Ի վերջո, մենք կարող ենք խմբավորել թվային գործակիցները և x գործակիցները, ապա կատարել համապատասխան գործողություններ թվերի վրա և կիրառել.

Սա ավարտում է ռացիոնալ արտահայտության փոխակերպումը, և արդյունքում ստացանք մոնոմին։

Պատասխան.

Օրինակ.

Փոխակերպել ռացիոնալ արտահայտությունը .

Որոշում.

Նախ փոխարկում ենք համարիչն ու հայտարարը։ Կոտորակների փոխակերպման այս կարգը բացատրվում է նրանով, որ կոտորակի հարվածը, ըստ էության, մեկ այլ բաժանման նշանակում է, և սկզբնական ռացիոնալ արտահայտությունը, ըստ էության, որոշակի ձև է: , և առաջինը կատարվում են փակագծերում տրված գործողությունները:

Այսպիսով, համարիչում կատարում ենք գործողություններ բազմանդամների հետ, սկզբում բազմապատկում, հետո հանում, իսկ հայտարարում խմբավորում ենք թվային գործակիցները և հաշվում դրանց արտադրյալը. .

Պատկերացնենք նաև ստացված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը որպես արտադրյալ՝ հանկարծ հնարավոր է կրճատել հանրահաշվական կոտորակը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք համարիչում քառակուսիների տարբերության բանաձևը, իսկ հայտարարում փակագծերից հանում ենք դյուզը, ունենք .

Պատասխան.

.

Այսպիսով, ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման հետ նախնական ծանոթությունը կարելի է կայացած համարել։ Անցնում ենք, այսպես ասած, ամենաքաղցրին։

Ներկայացում որպես ռացիոնալ կոտորակ

Արտահայտությունների փոխակերպման ամենատարածված վերջնական նպատակը դրանց ձևի պարզեցումն է: Այս լույսի ներքո ամենաշատը պարզ տեսարան, որին կարող է փոխարկվել կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունը, ռացիոնալ (հանրահաշվական) կոտորակն է, իսկ կոնկրետ դեպքում՝ բազմանդամ, միանդամ կամ թիվ։

Հնարավո՞ր է որևէ ռացիոնալ արտահայտություն ներկայացնել որպես ռացիոնալ կոտորակ: Պատասխանը այո է: Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես:

Ինչպես արդեն ասացինք, ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է համարել բազմանդամներ և ռացիոնալ կոտորակներ, որոնք կապված են գումարած, մինուս նշաններով, բազմապատկել և բաժանել։ Բոլոր համապատասխան գործողությունները բազմանդամների վրա տալիս են բազմանդամ կամ ռացիոնալ կոտորակ: Իր հերթին ցանկացած բազմանդամ կարող է վերածվել հանրահաշվական կոտորակի՝ այն գրելով 1 հայտարարով։ Իսկ ռացիոնալ կոտորակների գումարումը, հանումը, բազմապատկումը և բաժանումը հանգեցնում են նոր ռացիոնալ կոտորակի: Ուստի բազմանդամների և ռացիոնալ կոտորակների հետ բոլոր գործողությունները ռացիոնալ արտահայտությամբ կատարելուց հետո ստանում ենք ռացիոնալ կոտորակ։

Օրինակ.

Արտահայտե՛ք արտահայտությունը ռացիոնալ կոտորակի տեսքով .

Որոշում.

Բնօրինակ ռացիոնալ արտահայտությունը կոտորակի և ձևի կոտորակների արտադրյալի տարբերությունն է . Գործողությունների հերթականության համաձայն նախ պետք է կատարենք բազմապատկումը, իսկ հետո միայն գումարումը։

Մենք սկսում ենք հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելով.

Ստացված արդյունքը փոխարինում ենք սկզբնական ռացիոնալ արտահայտությամբ.

Մենք հասանք հանրահաշվական կոտորակների հանմանը տարբեր հայտարարներ:

Այսպիսով, կատարելով գործողություններ ռացիոնալ կոտորակներով, որոնք կազմում են սկզբնական ռացիոնալ արտահայտությունը, մենք այն ներկայացրեցինք որպես ռացիոնալ կոտորակ։

Պատասխան.

.

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք մեկ այլ օրինակի լուծում:

Օրինակ.

Ռացիոնալ արտահայտությունն արտահայտե՛ք ռացիոնալ կոտորակի տեսքով:

Ցանկացած կոտորակային արտահայտություն(կետ 48) կարելի է գրել որպես , որտեղ P-ն և Q-ն ռացիոնալ արտահայտություններ են, իսկ Q-ն անպայման պարունակում է փոփոխականներ: Նման կոտորակը կոչվում է ռացիոնալ կոտորակ:

Ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ.

Կոտորակի հիմնական հատկությունն արտահայտվում է նույնությամբ, որը վավեր է այստեղի պայմաններում՝ մի ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություն: Սա նշանակում է, որ ռացիոնալ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարելի է բազմապատկել կամ բաժանել նույն ոչ զրոյական թվով, միանդամով կամ բազմանդամով։

Օրինակ, կոտորակի հատկությունը կարող է օգտագործվել կոտորակի անդամների նշանները փոխելու համար։ Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն -1-ով, կստանանք Այսպիսով, կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե միաժամանակ փոխվեն համարիչի և հայտարարի նշանները: Եթե ​​փոխում եք միայն համարիչի կամ միայն հայտարարի նշանը, ապա կոտորակը կփոխի իր նշանը.

Օրինակ,

60. Ռացիոնալ կոտորակների կրճատում.

Կոտորակը փոքրացնելը նշանակում է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ընդհանուր գործակցի վրա: Նման կրճատման հնարավորությունը պայմանավորված է ֆրակցիայի հիմնական հատկությամբ։

Ռացիոնալ կոտորակը նվազեցնելու համար պետք է ֆակտորիզացնել համարիչն ու հայտարարը: Եթե ​​պարզվի, որ համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր գործակիցներ, ապա կոտորակը կարող է կրճատվել։ Եթե ​​չկան ընդհանուր գործոններ, ապա կոտորակի փոխարկումը կրճատմամբ անհնար է։

Օրինակ. Կրճատել կոտորակը

Որոշում. Մենք ունենք

Կոտորակի կրճատումը կատարվում է պայմանով .

61. Ռացիոնալ կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելը.

Մի քանի ռացիոնալ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը ողջ ռացիոնալ արտահայտությունն է, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա (տե՛ս կետ 54):

Օրինակ, բազմանդամը ծառայում է որպես կոտորակների ընդհանուր հայտարար, քանի որ այն բաժանվում է բազմանդամի և բազմանդամի և բազմանդամի վրա և այլն: Սովորաբար այնպիսի ընդհանուր հայտարար է ընդունվում, որ ցանկացած այլ ընդհանուր հայտարար բաժանվում է. Էխոսեն. Այս ամենապարզ հայտարարը երբեմն անվանում են նվազագույն ընդհանուր հայտարար:

Վերոնշյալ օրինակում ընդհանուր հայտարարը մենք ունենք

Այս կոտորակները ընդհանուր հայտարարի հասցնելը ձեռք է բերվում առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը 2-ով բազմապատկելով: Իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը Բազմանդամներով կոչվում են հավելյալ գործակիցներ համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ կոտորակների համար: Տվյալ կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը հավասար է ընդհանուր հայտարարը տվյալ կոտորակի հայտարարի վրա բաժանելու գործակիցին։

Մի քանի ռացիոնալ կոտորակները ընդհանուր հայտարարի հասցնելու համար անհրաժեշտ է.

1) յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը բաժանել գործոնների.

2) կատարել ընդհանուր հայտարար՝ որպես գործոններ ներառելով ընդարձակումների 1) կետով ստացված բոլոր գործոնները. եթե որոշակի գործոն գոյություն ունի մի քանի ընդլայնումների մեջ, ապա այն վերցվում է առկաներից ամենամեծին հավասար ցուցիչով.

3) կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար լրացուցիչ գործակիցներ գտնելը (դրա համար ընդհանուր հայտարարը բաժանվում է կոտորակի հայտարարի վրա).

4) յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկելով լրացուցիչ գործակցով, կոտորակը բերեք ընդհանուր հայտարարի.

Օրինակ. Կրճատել կոտորակի ընդհանուր հայտարարի

Որոշում. Եկեք գործոնացնենք հայտարարները.

Ընդհանուր հայտարարի մեջ պետք է ներառվեն հետևյալ գործոնները՝ և 12, 18, 24 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այսինքն. Այսպիսով, ընդհանուր հայտարարն է

Լրացուցիչ բազմապատկիչներ. առաջին կոտորակի համար երկրորդի համար երրորդի համար Այսպիսով, մենք ստանում ենք.

62. Ռացիոնալ կոտորակների գումարում և հանում.

հետ երկու (և ընդհանրապես ցանկացած վերջավոր թվով) ռացիոնալ կոտորակների գումարը նույն հայտարարներընույնականորեն հավասար է նույն հայտարար ունեցող կոտորակի և ավելացված կոտորակների համարիչների գումարին հավասար համարիչով.

Իրավիճակը նման է նույն հայտարարներով կոտորակները հանելիս.

Օրինակ 1. Պարզեցնել արտահայտությունը

Որոշում.

Տարբեր հայտարարներով ռացիոնալ կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար նախ պետք է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, իսկ հետո ստացված կոտորակների վրա կատարել գործողություններ նույն հայտարարներով:

Օրինակ 2. Պարզեցնել արտահայտությունը

Որոշում. Մենք ունենք

63. Ռացիոնալ կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.

Երկու (և ընդհանրապես ցանկացած վերջավոր թվի) ռացիոնալ կոտորակների արտադրյալը նույնականորեն հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը բազմապատկված կոտորակների հայտարարների արտադրյալն է.

Երկու ռացիոնալ կոտորակների բաժանման գործակիցը նույնականորեն հավասար է այն կոտորակի, որի համարիչը հավասար է առաջին կոտորակի համարիչի արտադրյալին երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ հայտարարը առաջին կոտորակի հայտարարի արտադրյալն է. երկրորդ կոտորակի համարիչ.

Բազմապատկման և բաժանման ձևակերպված կանոնները կիրառվում են նաև բազմանդամով բազմապատկելու կամ բաժանելու դեպքում՝ բավական է այս բազմանդամը գրել որպես 1 հայտարար ունեցող կոտորակ։

Հաշվի առնելով ռացիոնալ կոտորակի կրճատման հնարավորությունը, որը ստացվում է ռացիոնալ կոտորակները բազմապատկելով կամ բաժանելով, սովորաբար փորձում են ֆակտորիզացնել սկզբնական կոտորակների համարիչներն ու հայտարարները մինչ այդ գործողությունները կատարելը:

Օրինակ 1. Բազմապատկել

Որոշում. Մենք ունենք

Օգտագործելով կոտորակների բազմապատկման կանոնը՝ ստանում ենք.

Օրինակ 2. Կատարել բաժանում

Որոշում. Մենք ունենք

Օգտագործելով բաժանման կանոնը, մենք ստանում ենք.

64. Ռացիոնալ կոտորակի բարձրացումն ամբողջ թվով:

Ռացիոնալ կոտորակը բարձրացնելու համար - բնական ուժի, դուք պետք է առանձին-առանձին բարձրացնեք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը այս հզորությանը. առաջին արտահայտությունը համարիչն է, իսկ երկրորդ արտահայտությունը՝ արդյունքի հայտարարը.

Օրինակ 1. Կոտորակի վերածել 3-ի հզորությունը:

Լուծում Լուծում.

Կոտորակը բացասական ամբողջ թվի հզորության բարձրացնելիս օգտագործվում է նույնականություն, որը վավեր է այն փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնց համար .

Օրինակ 2. Արտահայտությունը փոխարկեք կոտորակի

65. Ռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպում.

Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտության փոխակերպումը հանգում է բանական կոտորակների գումարմանը, հանմանը, բազմապատկմանը և բաժանմանը, ինչպես նաև կոտորակը բնական ուժի հասցնելուն: Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարող է վերածվել կոտորակի, որի համարիչը և հայտարարը ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություններ են. սովորաբար սա է նպատակը նույնական փոխակերպումներռացիոնալ արտահայտություններ.

Օրինակ. Պարզեցնել արտահայտությունը

66. Թվաբանական արմատների (արմատական) ամենապարզ փոխակերպումները.

Թվաբանական կորիաները փոխակերպելիս օգտագործվում են դրանց հատկությունները (տես կետ 35):

Դիտարկենք հատկությունների օգտագործման մի քանի օրինակ թվաբանական արմատներռադիկալների ամենապարզ փոխակերպումների համար։ Այս դեպքում բոլոր փոփոխականները կդիտարկվեն որպես միայն ոչ բացասական արժեքներ:

Օրինակ 1. Արտահանեք արտադրանքի արմատը

Որոշում. Կիրառելով հատկությունը 1°, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2. Արմատի նշանի տակից հանել գործակիցը

Որոշում.

Նման փոխակերպումը կոչվում է ֆակտորինգ դուրս արմատային նշանի տակից: Փոխակերպման նպատակը արմատական ​​արտահայտությունը պարզեցնելն է։

Օրինակ 3. Պարզեցնել:

Որոշում. Ըստ 3° հատկության՝ մենք սովորաբար փորձում ենք պարզեցնել արմատական ​​արտահայտությունը, որի համար կորիումի նշանից այն կողմ հանում են բազմապատկիչները։ Մենք ունենք

Օրինակ 4. Պարզեցնել

Որոշում. Արտահայտությունը փոխակերպում ենք՝ արմատի նշանի տակ գործակից ներմուծելով՝ ըստ հատկության 4° ունենք

Օրինակ 5. Պարզեցնել

Որոշում. Ըստ 5° հատկության՝ մենք իրավունք ունենք արմատի արտահայտիչն ու արմատային արտահայտության աստիճանը նույնի բաժանել։ բնական թիվ. Եթե ​​դիտարկվող օրինակում նշված ցուցանիշները բաժանենք 3-ի, ապա կստանանք .

Օրինակ 6. Պարզեցնել արտահայտությունները.

Լուծում, ա) 1° հատկությամբ ստանում ենք, որ նույն աստիճանի արմատները բազմապատկելու համար բավական է բազմապատկել արմատային արտահայտությունները և ստացված արդյունքից հանել նույն աստիճանի արմատը։ Նշանակում է,

բ) Առաջին հերթին պետք է ռադիկալները իջեցնենք մեկ ցուցանիշի։ Ըստ 5° հատկության՝ արմատի չափանիշը կարող ենք բազմապատկել նույն բնական թվով։ Հետևաբար, Հաջորդը, մենք այժմ ունենք արմատի ցուցիչները և արմատական ​​արտահայտության աստիճանը 3-ի բաժանելով ստացված արդյունքը, ստանում ենք .