Բնական թվերի թիվը. Ի՞նչ է բնական թիվը: Պատմություն, շրջանակ, հատկություններ

Ամբողջ թվերմեզ շատ ծանոթ և բնական: Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ նրանց հետ ծանոթությունը սկսվում է մեր կյանքի առաջին տարիներից՝ ինտուիտիվ մակարդակով։

Այս հոդվածի տեղեկատվությունը ստեղծում է բնական թվերի հիմնական պատկերացում, բացահայտում դրանց նպատակը, սերմանում բնական թվեր գրելու և կարդալու հմտություններ: Համար ավելի լավ ձուլումնյութը, բերված են անհրաժեշտ օրինակներ և նկարազարդումներ։

Էջի նավարկություն.

Բնական թվերը ընդհանուր ներկայացում են:

Հետևյալ կարծիքը զուրկ չէ հիմնավոր տրամաբանությունից՝ հանգեցրել է առարկաների հաշվման խնդրի առաջացումը (առաջին, երկրորդ, երրորդ օբյեկտ և այլն) և առարկաների թիվը (մեկ, երկու, երեք առարկա և այլն) նշելու խնդիրը։ դրա լուծման համար գործիք ստեղծելու համար այս գործիքն էր ամբողջ թվեր.

Այս առաջարկը ցույց է տալիս բնական թվերի հիմնական նպատակը- պարունակել տեղեկատվություն ցանկացած առարկայի քանակի կամ տվյալ ապրանքի հերթական համարի մասին դիտարկվող առարկաների հավաքածուում:

Որպեսզի մարդն օգտագործի բնական թվեր, դրանք պետք է ինչ-որ կերպ հասանելի լինեն թե՛ ընկալման, թե՛ վերարտադրության համար։ Եթե ​​հնչեցնում եք յուրաքանչյուր բնական թիվ, ապա այն ընկալելի կդառնա ականջով, իսկ եթե բնական թիվ եք պատկերում, ապա այն կարելի է տեսնել։ Սրանք բնական թվերը փոխանցելու և ընկալելու ամենաբնական եղանակներն են։

Այսպիսով, եկեք սկսենք ձեռք բերել բնական թվեր պատկերելու (գրելու) և բարձրաձայնելու (կարդալու) հմտություններ՝ միաժամանակ սովորելով դրանց նշանակությունը։

Բնական թվի տասնորդական նշում:

Նախ պետք է որոշենք, թե բնական թվեր գրելիս ինչի վրա ենք հիմնվելու։

Եկեք անգիր սովորենք հետևյալ նիշերի պատկերները (ցուցադրում ենք դրանք բաժանված ստորակետերով). 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ցուցադրված պատկերները արձանագրում են այսպես կոչված թվեր. Եկեք միանգամից պայմանավորվենք գրելիս թվերը չշրջել, թեքել կամ այլ կերպ չաղավաղել:

Այժմ մենք համաձայն ենք, որ ցանկացած բնական թվի նշման մեջ կարող են լինել միայն նշված թվանշանները, և այլ նշաններ չեն կարող լինել: Համաձայն ենք նաև, որ բնական թվի նշման թվանշաններն ունեն նույն բարձրությունը, դասավորված են իրար հետևից տողով (գրեթե առանց նահանջների), իսկ ձախ կողմում կա թվանշանից տարբերվող թվանշան։ 0 .

Ահա բնական թվերի ճիշտ նշման օրինակներ. 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (նշում. թվերի միջև ներքևերը միշտ չէ, որ նույնն են, այս մասին ավելին կքննարկվի վերանայման ժամանակ): Վերոնշյալ օրինակներից կարելի է տեսնել, որ բնական թիվը պարտադիր չէ, որ պարունակի բոլոր թվանշանները 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; Բնական թվեր գրելու մեջ ներգրավված որոշ կամ բոլոր թվանշանները կարող են կրկնվել:

Գրառումներ 014 , 0005 , 0 , 0209 բնական թվերի գրառումներ չեն, քանի որ ձախ կողմում թվանշան կա 0 .

Բնական թվի գրառումը, որը կատարվում է հաշվի առնելով սույն պարբերությունում նկարագրված բոլոր պահանջները, կոչվում է բնական թվի տասնորդական նշում.

Այնուհետև մենք չենք տարբերի բնական թվերը և դրանց նշումը: Հստակեցնենք սա՝ տեքստի հետագա հատվածում «տրված բնական թիվ 582 », ինչը կնշանակի, որ տրված է բնական թիվ, որի նշումն ունի ձև 582 .

Բնական թվեր՝ առարկաների քանակի իմաստով:

Ժամանակն է զբաղվելու այն քանակական նշանակությամբ, որ կրում է գրանցված բնական թիվը։ Բնական թվերի նշանակությունը առարկաների համարակալման առումով դիտարկվում է բնական թվերի համեմատության հոդվածում։

Սկսենք բնական թվերից, որոնց մուտքերը համընկնում են թվանշանների, այսինքն՝ թվերի հետ։ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Եվ 9 .

Պատկերացրեք, որ մենք բացեցինք մեր աչքերը և տեսանք ինչ-որ առարկա, օրինակ՝ այսպես. Այս դեպքում մենք կարող ենք գրել այն, ինչ տեսնում ենք 1 առարկա. Բնական թիվ 1-ը կարդացվում է որպես « մեկ(«մեկ» թվի անկումը, ինչպես նաև այլ թվեր, մենք կտանք պարբերությունում), թվի համար. 1 ընդունեց մեկ այլ անուն. միավոր».

Այնուամենայնիվ, «միավոր» տերմինը բազմարժեք է, բացի բնական թվից 1 , կոչվում են մի բան, որը համարվում է որպես ամբողջություն։ Օրինակ, դրանց հավաքածուից ցանկացած տարր կարելի է անվանել միավոր: Օրինակ՝ շատ խնձորներից ցանկացած խնձոր մեկ է, թռչունների երամը շատ թռչունների երամից նույնպես մեկն է և այլն։

Այժմ մենք բացում ենք մեր աչքերը և տեսնում ենք. Այսինքն՝ մենք տեսնում ենք մի առարկա և մեկ այլ առարկա։ Այս դեպքում մենք կարող ենք գրել այն, ինչ տեսնում ենք 2 առարկա. Բնական թիվ 2 , կարդում է այսպես երկու».

Նմանապես, - 3 թեմա (կարդա" երեք" առարկա), - 4 (« չորս«») առարկայի, - 5 (« հինգ»), - 6 (« վեց»), - 7 (« յոթ»), - 8 (« ութ»), - 9 (« ինը») իրեր:

Այսպիսով, դիտարկված դիրքից բնական թվերը 1 , 2 , 3 , …, 9 նշել թիվիրեր.

Թիվ, որի նշումը համընկնում է թվանշանի հետ 0 , կոչվում է « զրո«. Զրո թիվը բնական թիվ ՉԷ, սակայն սովորաբար այն դիտարկվում է բնական թվերի հետ միասին։ Հիշեք՝ զրո նշանակում է ինչ-որ բանի բացակայություն: Օրինակ, զրոյական տարրերը մեկ առարկա չեն:

Հոդվածի հաջորդ պարբերություններում կշարունակենք բացահայտել բնական թվերի նշանակությունը քանակի նշման առումով։

միանիշ բնական թվեր.

Ակնհայտ է, որ բնական թվերից յուրաքանչյուրի գրառումը 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 բաղկացած է մեկ նշանից՝ մեկ թվանշանից։

Սահմանում.

Միանիշ բնական թվերբնական թվեր են, որոնց գրառումը բաղկացած է մեկ նշանից՝ մեկ թվանշանից։

Թվարկենք բոլոր միանիշ բնական թվերը. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Կան ինը միանիշ բնական թվեր:

Երկնիշ և եռանիշ բնական թվեր.

Նախ՝ տալիս ենք երկնիշ բնական թվերի սահմանումը։

Սահմանում.

Երկնիշ բնական թվեր- սրանք բնական թվեր են, որոնց գրառումը երկու նիշ է՝ երկու նիշ (տարբեր կամ նույնական):

Օրինակ՝ բնական թիվ 45 - երկնիշ, թվեր 10 , 77 , 82 նաև երկնիշ 5 490 , 832 , 90 037 - ոչ երկնիշ:

Եկեք պարզենք, թե ինչ նշանակություն են կրում երկնիշ թվերը, մինչդեռ կսկսենք մեզ արդեն հայտնի միանիշ բնական թվերի քանակական նշանակությունից։

Նախ, եկեք ներկայացնենք հայեցակարգը տասը.

Եկեք պատկերացնենք նման իրավիճակ՝ մենք բացեցինք մեր աչքերը և տեսանք ինը առարկաներից և ևս մեկ առարկայից բաղկացած հավաքածու։ Այս դեպքում խոսվում է 1 տասը (մեկ տասնյակ) իրեր. Եթե ​​մեկը միասին համարում է մեկ տասը և մեկ տասը, ապա խոսում է դրա մասին 2 տասնյակ (երկու տասնյակ): Եթե ​​երկու տասնյակին գումարենք ևս տասը, կունենանք երեք տասնյակ։ Այս ընթացքը շարունակելով՝ մենք կստանանք չորս տասնյակ, հինգ տասնյակ, վեց տասնյակ, յոթ տասնյակ, ութ տասնյակ և վերջապես ինը տասնյակ։

Այժմ մենք կարող ենք անցնել երկնիշ բնական թվերի էությանը:

Դա անելու համար երկնիշ թիվը համարեք երկու միանիշ թվեր- մեկը ձախ կողմում է երկնիշ թվի նշումով, մյուսը՝ աջ կողմում։ Ձախ կողմի թիվը ցույց է տալիս տասնյակների թիվը, իսկ աջում՝ միավորների թիվը։ Ընդ որում, եթե երկնիշ թվի գրառման մեջ աջ կողմում թվանշան կա 0 , ապա սա նշանակում է միավորների բացակայություն։ Սա երկնիշ բնական թվերի ամբողջ կետն է՝ գումարը նշելու առումով։

Օրինակ՝ երկնիշ բնական թիվ 72 համապատասխանում է 7 տասնյակ և 2 միավորներ (այսինքն. 72 խնձորը յոթ տասնյակ խնձորի և ևս երկու խնձորի հավաքածու է), և համարը 30 պատասխանները 3 տասնյակ և 0 չկան միավորներ, այսինքն միավորներ, որոնք միավորված չեն տասնյակներով։

Պատասխանենք հարցին՝ «Քանի՞ երկնիշ բնական թիվ կա»։ Պատասխան՝ նրանք 90 .

Մենք դիմում ենք եռանիշ բնական թվերի սահմանմանը:

Սահմանում.

Բնական թվեր, որոնց նշումը բաղկացած է 3 նշաններ - 3 թվանշանները (տարբեր կամ կրկնվող) կոչվում են եռանիշ.

Բնական եռանիշ թվերի օրինակներն են 372 , 990 , 717 , 222 . Ամբողջ թվեր 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 եռանիշ չեն:

Եռանիշ բնական թվերին բնորոշ նշանակությունը հասկանալու համար մեզ անհրաժեշտ է հայեցակարգը հարյուրավոր.

Տասը տասնյակից բաղկացած հավաքածուն է 1 հարյուր (հարյուր). Հարյուր հարյուր է 2 հարյուրավոր. Երկու հարյուր և հարյուրը երեք հարյուր է: Եվ այսպես շարունակ, մենք ունենք չորս հարյուր, հինգ հարյուր, վեց հարյուր, յոթ հարյուր, ութ հարյուր և վերջապես ինը հարյուր:

Հիմա եկեք դիտարկենք եռանիշ բնական թիվը որպես երեք միանիշ բնական թվեր՝ մեկը մյուսի հետևից աջից ձախ անցնելով եռանիշ բնական թվի նշումով։ Աջ թիվը ցույց է տալիս միավորների թիվը, հաջորդ թիվը՝ տասնյակների թիվը, հաջորդ թիվը՝ հարյուրավորների թիվը։ Թվեր 0 եռանիշ թվի գրառումում նշանակում է տասնյակների և (կամ) միավորների բացակայություն:

Այսպիսով, եռանիշ բնական թիվ 812 համապատասխանում է 8 հարյուրավոր 1 առաջին տասնյակը և 2 միավորներ; թիվ 305 - երեք հարյուր 0 տասնյակները, այսինքն՝ տասնյակները չմիացված հարյուրավորներին, ոչ) և 5 միավորներ; թիվ 470 - չորս հարյուր յոթ տասնյակ (չկան միավորներ, որոնք միավորված չեն տասնյակի մեջ); թիվ 500 - հինգ հարյուր (տասնյակները չեն միավորվում հարյուրավորների մեջ, և միավորները չեն միավորվում տասնյակների մեջ, ոչ):

Նմանապես, կարելի է սահմանել քառանիշ, հնգանիշ, վեցանիշ և այլն: բնական թվեր.

Բազմարժեք բնական թվեր.

Այսպիսով, մենք դիմում ենք բազմարժեք բնական թվերի սահմանմանը:

Սահմանում.

Բազմարժեք բնական թվեր- սրանք բնական թվեր են, որոնց գրառումը բաղկացած է երկուսից կամ երեքից կամ չորսից և այլն։ նշաններ. Այսինքն՝ բազմանիշ բնական թվերը լինում են երկնիշ, եռանիշ, քառանիշ և այլն։ թվեր։

Միանգամից ասենք, որ տասը հարյուրից բաղկացած հավաքածուն է հազար, հազար հազար է մեկ միլիոն, հազար միլիոն է մեկ բիլիոն, հազար միլիարդ է մեկ տրիլիոն. Հազար տրիլիոն, հազար հազար տրիլիոն և այլն նույնպես կարող են տրվել իրենց անունները, բայց դրա կարիքը առանձնապես չկա:

Այսպիսով, ո՞րն է բազմարժեք բնական թվերի իմաստը:

Եկեք նայենք բազմանիշ բնական թվին որպես աջից ձախ մեկը մյուսի հետևից հաջորդող միանիշ բնական թվեր։ Աջ կողմի թիվը ցույց է տալիս միավորների թիվը, հաջորդ թիվը տասնյակների թիվն է, հաջորդը հարյուրների թիվը, հետո հազարների թիվը, հաջորդը տասնյակ հազարների թիվը, հաջորդը հարյուր հազարների թիվը: , հաջորդը միլիոնների թիվն է, հաջորդը՝ տասնյակ միլիոնների թիվը, հաջորդը՝ հարյուրավոր միլիոնների, հաջորդը՝ միլիարդների, հետո՝ տասնյակ միլիարդների, հետո՝ հարյուրավոր միլիարդների, հետո - տրիլիոններ, հետո - տասնյակ տրիլիոններ, հետո - հարյուրավոր տրիլիոններ և այլն:

Օրինակ՝ բազմանիշ բնական թիվ 7 580 521 համապատասխանում է 1 միավոր, 2 տասնյակ, 5 հարյուրավոր 0 հազարավոր 8 տասնյակ հազարավոր 5 հարյուր հազարավոր և 7 միլիոններ։

Այսպիսով, մենք սովորեցինք միավորները խմբավորել տասնյակների, տասնյակները՝ հարյուրների, հարյուրավորները՝ հազարների, հազարները՝ տասնյակ հազարների և այլն, և պարզեցինք, որ բազմանիշ բնական թվի գրառման թվերը ցույց են տալիս համապատասխան թիվը։ վերը նշված խմբերը:

Բնական թվերի ընթերցում, դասեր.

Մենք արդեն նշել ենք, թե ինչպես են ընթերցվում միանիշ բնական թվերը։ Եկեք անգիր սովորենք հետևյալ աղյուսակների բովանդակությունը։

Իսկ ինչպե՞ս են կարդացվում մյուս երկնիշ թվերը։

Բացատրենք օրինակով. Բնական թվի ընթերցում 74 . Ինչպես պարզեցինք վերևում, այս թիվը համապատասխանում է 7 տասնյակ և 4 միավորներ, այսինքն. 70 Եվ 4 . Մենք դիմում ենք հենց նոր գրված աղյուսակներին և թվին 74 մենք կարդում ենք «Յոթանասունչորս» (մենք չենք արտասանում «և» միությունը): Եթե ​​ուզում եք մի թիվ կարդալ 74 նախադասության մեջ՝ «Ոչ 74 խնձոր» (գենիտատիվ), ապա կհնչի այսպես՝ «Յոթանասունչորս խնձոր չկա»։ Մեկ այլ օրինակ. Թիվ 88 - սա 80 Եվ 8 , ուրեմն կարդում ենք՝ «ութսունութ»։ Եվ ահա մի նախադասության օրինակ՝ «Նա մտածում է ութսունութ ռուբլու մասին»։

Անցնենք եռանիշ բնական թվերի ընթերցմանը։

Դա անելու համար մենք ստիպված կլինենք սովորել ևս մի քանի նոր բառ:

Մնում է ցույց տալ, թե ինչպես են կարդացվում մնացած եռանիշ բնական թվերը։ Այս դեպքում մենք կօգտագործենք արդեն ձեռք բերված հմտությունները միանիշ և երկնիշ թվեր կարդալու գործում։

Օրինակ բերենք. Կարդանք թիվը 107 . Այս թիվը համապատասխանում է 1 հարյուր և 7 միավորներ, այսինքն. 100 Եվ 7 . Անդրադառնալով աղյուսակներին՝ կարդում ենք՝ «Հարյուր յոթ»։ Հիմա ասենք թիվը 217 . Այս թիվն է 200 Եվ 17 , ուստի կարդում ենք՝ «երկու հարյուր տասնյոթ»։ Նմանապես, 888 - սա 800 (ութ հարյուր) և 88 (ութսունութ), կարդում ենք՝ «Ութ հարյուր ութսունութ»։

Մենք դիմում ենք բազմանիշ թվերի ընթերցմանը:

Ընթերցանության համար բազմանիշ բնական թվի գրառումը աջից սկսած բաժանվում է երեք նիշանոց խմբերի, մինչդեռ ձախակողմյան նման խմբում կարող է լինել կամ. 1 , կամ 2 , կամ 3 թվեր։ Այս խմբերը կոչվում են դասեր. Աջ կողմում գտնվող դասարանը կոչվում է միավոր դաս. Հաջորդ դասը (աջից ձախ) կոչվում է հազարավոր դաս, հաջորդ դասն է միլիոնանոց դաս, հաջորդ - միլիարդների դաս, հետո գնում է տրիլիոն դաս. Կարող եք տալ հետևյալ դասերի անունները, բայց բնական թվեր, որոնց գրառումը բաղկացած է 16 , 17 , 18 և այլն: նշանները սովորաբար չեն կարդացվում, քանի որ դրանք շատ դժվար է ընկալել ականջով:

Նայեք բազմանիշ թվերը դասերի բաժանելու օրինակներին (հստակության համար դասերը միմյանցից բաժանվում են փոքր նահանջով). 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Արձանագրված բնական թվերը դնենք աղյուսակի մեջ, ըստ որի հեշտ է սովորել դրանք կարդալ։

Բնական թիվը կարդալու համար ձախից աջ զանգում ենք այն կազմող թվերն ըստ դասարանների և ավելացնում դասի անվանումը։ Միևնույն ժամանակ, մենք չենք արտասանում միավորների դասի անունը, ինչպես նաև բաց ենք թողնում այն ​​դասերը, որոնք կազմում են երեք նիշ 0 . Եթե ​​դասի գրառումը ձախ կողմում թվանշան ունի 0 կամ երկու նիշ 0 , ապա անտեսեք այս թվերը 0 և կարդացեք այս թվանշանները հեռացնելով ստացված թիվը 0 . Օրինակ, 002 կարդալ որպես «երկու», և 025 - ինչպես «քսանհինգ»:

Կարդանք թիվը 489 002 ըստ տրված կանոնների։

Կարդում ենք ձախից աջ,

• կարդալ համարը 489 , որը ներկայացնում է հազարների դասը, «չորս հարյուր ութսունինը» է.
• ավելացնել դասարանի անունը, ստանում ենք «չորս հարյուր ութսունինը հազար»;
• հետագա միավորների դասում մենք տեսնում ենք 002 , զրոները ձախ կողմում են, հետևաբար մենք անտեսում ենք դրանք 002 կարդալ որպես «երկու»;
• միավորի դասի անվանումը պետք չէ ավելացնել.
• արդյունքում ունենք 489 002 - չորս հարյուր ութսունինը հազար երկու.

Սկսենք կարդալ համարը 10 000 501 .

• Միլիոնների դասի ձախ կողմում մենք տեսնում ենք թիվը 10 , կարդում ենք «տասը»;
• ավելացրե՛ք դասարանի անունը, մենք ունենք «տասը միլիոն»;
• հաջորդիվ տեսնում ենք ռեկորդը 000 հազարավորների դասում, քանի որ բոլոր երեք թվանշանները թվանշաններ են 0 , ապա մենք բաց ենք թողնում այս դասը և անցնում հաջորդին;
• միավոր դասը ներկայացնում է թիվը 501 , որը մենք կարդում ենք «հինգ հարյուր մեկ»;
• այսպիսով, 10 000 501 տասը միլիոն հինգ հարյուր մեկ.

Եկեք դա անենք առանց մանրամասն բացատրությունների. 1 789 090 221 214 - «մեկ տրիլիոն յոթ հարյուր ութսունինը միլիարդ իննսուն միլիոն երկու հարյուր քսանմեկ հազար երկու հարյուր տասնչորս»:

Այսպիսով, բազմանիշ բնական թվեր կարդալու հմտությունը հիմնված է բազմանիշ թվերը դասերի բաժանելու, դասերի անունների իմացության և եռանիշ թվեր կարդալու կարողության վրա:

Բնական թվի թվանշանները, թվանշանի արժեքը։

Բնական թիվ գրելիս յուրաքանչյուր թվանշանի արժեքը կախված է իր դիրքից։ Օրինակ՝ բնական թիվ 539 համապատասխանում է 5 հարյուրավոր 3 տասնյակ և 9 միավորներ, հետևաբար պատկերը 5 համարի մուտքագրում 539 սահմանում է հարյուրավորների թիվը, թվանշան 3 տասնյակների թիվն է, իսկ թվանշանը 9 - միավորների քանակը. Ասվում է, որ թիվը 9 կանգնած է միավորների թվանշանև համարը 9 է միավոր թվանշանի արժեքը, թիվ 3 կանգնած է տասնյակ տեղև համարը 3 է տասնյակ տեղարժեքև համարը 5 - մեջ հարյուրավոր տեղև համարը 5 է հարյուրավոր տեղային արժեք.

Այս կերպ, արտանետում- սա, մի կողմից, թվանշանի դիրքն է բնական թվի նշման մեջ, իսկ մյուս կողմից՝ այս թվի արժեքը՝ որոշված ​​իր դիրքով:

Շարքերին տրվել են անուններ. Եթե ​​նայեք բնական թվի գրանցման թվերին աջից ձախ, ապա դրանց կհամապատասխանեն հետևյալ թվանշանները՝ միավորներ, տասնյակ, հարյուրավոր, հազարավոր, տասնյակ հազարավոր, հարյուր հազարավորներ, միլիոններ, տասնյակ միլիոններ և այսպես շարունակ։

Կատեգորիաների անվանումները հարմար է հիշել, երբ դրանք ներկայացված են աղյուսակի տեսքով։ Գրենք աղյուսակ, որը պարունակում է 15 թվանշանների անուններ։

Նկատի ունեցեք, որ տվյալ բնական թվի թվանշանների թիվը հավասար է այս թիվը գրելու մեջ ներգրավված նիշերի թվին: Այսպիսով, գրանցված աղյուսակը պարունակում է բոլոր բնական թվերի թվանշանների անվանումները, որոնց գրառումը պարունակում է մինչև 15 նիշ։ Հետևյալ թվանշանները նույնպես ունեն իրենց անունները, բայց դրանք շատ հազվադեպ են օգտագործվում, ուստի անիմաստ է դրանք նշել:

Օգտագործելով թվանշանների աղյուսակը՝ հարմար է որոշել տրված բնական թվի թվանշանները։ Դա անելու համար հարկավոր է այս բնական թիվը գրել այս աղյուսակում այնպես, որ յուրաքանչյուր թվի մեջ լինի մեկ նիշ, իսկ ամենաաջ թվանշանը՝ միավորների թվանշանում:

Օրինակ բերենք. Գրենք բնական թիվ 67 922 003 942 աղյուսակում, և այս թվանշանների թվերն ու արժեքները հստակ տեսանելի կդառնան:

Այս թվի գրառման մեջ թվանշանը 2 կանգնած է միավորների տեղում, թվանշան 4 - տասնյակների տեղում, թվանշան 9 - հարյուրավոր տեղում և այլն: Ուշադրություն դարձրեք թվերին 0 , որոնք տասնյակ հազարավոր և հարյուր հազարավոր թվերով են։ Թվեր 0 այս թվանշաններում նշանակում է այս թվանշանների միավորների բացակայություն:

Պետք է նշել նաև բազմարժեք բնական թվի այսպես կոչված ամենացածր (ցածր) և ամենաբարձր (ամենաբարձր) կատեգորիաները։ Ստորին (կրտսեր) կոչումցանկացած բազմարժեք բնական թիվ միավորների թվանշանն է: Բնական թվի ամենաբարձր (ամենաբարձր) թվանշանըայս թվի գրառման մեջ ամենաաջ թվանշանին համապատասխանող թվանշանն է: Օրինակ՝ 23004 բնական թվի ամենաքիչ նշանակալից թվանշանը միավորների թվանշանն է, իսկ ամենաբարձր թվանշանը՝ տասնյակ հազարավոր թվանշանները։ Եթե ​​բնական թվի նշումով մենք թվերով շարժվում ենք ձախից աջ, ապա յուրաքանչյուր հաջորդ նիշ ցածր (կրտսեր)նախորդը. Օրինակ՝ հազարների թվանշանը փոքր է տասնյակ հազարների թվից, հատկապես հազարների թվանշանը փոքր է հարյուր հազարների, միլիոնների, տասնյակ միլիոնների թվից և այլն։ Եթե ​​բնական թվի նշումով մենք թվանշաններով շարժվում ենք աջից ձախ, ապա յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշան ավելի բարձր (ավելի հին)նախորդը. Օրինակ՝ հարյուրավոր թվանշանն ավելի հին է, քան տասնյակը, և առավել ևս՝ այն ավելի հին է, քան մեկական թվանշանը։

Որոշ դեպքերում (օրինակ՝ գումարում կամ հանում կատարելիս) օգտագործվում է ոչ թե բուն բնական թիվը, այլ այս բնական թվի բիթերի գումարը։

Համառոտ տասնորդական թվային համակարգի մասին.

Այսպիսով, մենք ծանոթացանք բնական թվերին, դրանց բնորոշ իմաստին և տասը նիշով բնական թվերը գրելու եղանակին։

Ընդհանուր առմամբ, նշանների միջոցով թվեր գրելու մեթոդը կոչվում է թվային համակարգ. Թվերի մուտքագրման մեջ թվի արժեքը կարող է կախված լինել կամ չկախված լինել դրա դիրքից: Թվային համակարգերը, որոնցում թվանշանի արժեքը կախված է իր դիրքից, կոչվում են դիրքային.

Այսպիսով, մեր դիտարկած բնական թվերը և դրանք գրելու եղանակը ցույց են տալիս, որ մենք օգտագործում ենք դիրքային թվային համակարգ։ Հարկ է նշել, որ հատուկ տեղայս թվային համակարգում ունի համար 10 . Իսկապես, հաշիվը պահվում է տասնյակներով՝ տասը միավորը միավորվում է տասի մեջ, տասը տասնյակը՝ հարյուրի, տասը հարյուրը՝ հազարի և այլն։ Թիվ 10 կանչեց հիմքտրված թվային համակարգ, և հենց թվային համակարգը կոչվում է տասնորդական.

Բացի տասնորդական թվային համակարգից, կան նաև ուրիշներ, օրինակ, համակարգչային գիտության մեջ օգտագործվում է երկուական դիրքային թվային համակարգ, և մենք հանդիպում ենք սեքսեսիմալ համակարգի, երբ. մենք խոսում ենքժամանակի չափման մասին.

Մատենագիտություն.

• Մաթեմատիկա. Ուսումնական հաստատությունների 5 դասի ցանկացած դասագրքեր.

Բնական թվերը կարող են օգտագործվել հաշվելու համար (մեկ խնձոր, երկու խնձոր և այլն)

Ամբողջ թվեր(լատ. բնական- բնական; բնական թվեր) - թվեր, որոնք բնականաբար առաջանում են հաշվելիս (օրինակ՝ 1, 2, 3, 4, 5 ...): Աճման կարգով դասավորված բոլոր բնական թվերի հաջորդականությունը կոչվում է բնական կողք կողքի.

Բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում կա.

• հաշվում (համարակալում)իրեր ( առաջին, երկրորդ, երրորդը, չորրորդ, հինգերորդ»…);
• բնական թվեր - թվեր, որոնք առաջանում են, երբ քանակի նշանակումիրեր ( 0 հատ, 1 հատ, 2 հատ, 3 հատ, 4 հատ, 5 հատ»...):

Առաջին դեպքում բնական թվերի շարքը սկսվում է մեկից, երկրորդում՝ զրոյից։ Մաթեմատիկոսների մեծամասնության համար ընդհանուր կարծիք չկա առաջին կամ երկրորդ մոտեցման (այսինքն՝ զրոն բնական թիվ համարել, թե ոչ) նախընտրության վերաբերյալ։ Ռուսական աղբյուրների ճնշող մեծամասնությունը ավանդաբար որդեգրել է առաջին մոտեցումը։ Երկրորդ մոտեցումը, օրինակ, օգտագործվում է Նիկոլա Բուրբակիի աշխատություններում, որտեղ բնական թվերը սահմանվում են որպես վերջավոր բազմությունների կարդինալություններ։

Բացասական և ոչ ամբողջական (ռացիոնալ, իրական, ...) թվերը բնական թվերին չեն պատկանում։

Բոլոր բնական թվերի բազմությունըընդունված է նշել N նշանը (\displaystyle \mathbb (N) ) (լատ. բնական- բնական): Բնական թվերի բազմությունը անսահման է, քանի որ ցանկացած բնական թվի համար n (\displaystyle n) կա n-ից մեծ բնական թիվ (\displaystyle n):

Զրոյի առկայությունը հեշտացնում է բազմաթիվ թեորեմների ձևակերպումը և ապացուցումը բնական թվերի թվաբանության մեջ, ուստի առաջին մոտեցումը ներկայացնում է օգտակար հասկացությունը. ընդլայնված բնական շարք, ներառյալ զրո: Ընդլայնված տողը նշվում է N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) կամ Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)):

Աքսիոմներ, որոնք հնարավորություն են տալիս սահմանել բնական թվերի բազմությունը

Պյանո աքսիոմներ բնական թվերի համար

Հիմնական հոդված. Պեանոյի աքսիոմները

N բազմությունը (\displaystyle \mathbb (N)) կկոչվի բնական թվերի բազմություն, եթե որոշ տարր ամրագրված է: 1 (մեկ) պատկանում է N-ին (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), և S ֆունկցիա (\displaystyle S) N տիրույթով (\displaystyle \mathbb): (N) ) և N միջակայքը (\displaystyle \mathbb (N)) (կոչվում է հաջորդականության ֆունկցիա; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N))), որպեսզի պահպանվում են հետևյալ պայմանները.

1. միավորը բնական թիվ է (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. բնական թվին հաջորդող թիվը նույնպես բնական է (եթե x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ), ապա S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N))) ;
3. մեկը չի հետևում որևէ բնական թվի (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. եթե բնական թիվը a (\displaystyle a) անմիջապես հաջորդում է բնական թվին b (\displaystyle b) և c բնական թվին (\displaystyle c), ապա b = c (\displaystyle b=c) (եթե S (b) = a. (\displaystyle S(b)=a) և S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , ապա b = c (\displaystyle b=c));
5. (ինդուկցիայի աքսիոմա) եթե որևէ նախադասություն (հայտարարություն) P (\displaystyle P) ապացուցված է n = 1 բնական թվի համար (\displaystyle n=1) ( ինդուկցիոն հիմք) և եթե այն ենթադրությունը, որ դա ճիշտ է մեկ այլ բնական թվի համար (\displaystyle n) ենթադրում է, որ դա ճիշտ է n-ին հաջորդող բնական թվի համար (\displaystyle n) ( ինդուկցիոն վարկած), ապա այս դրույթը ճշմարիտ է բոլոր բնական թվերի համար (թող P (n) (\displaystyle P(n)) լինի ինչ-որ մեկտեղանոց (ունավոր) պրեդիկատ, որի պարամետրը բնական թիվ է n (\displaystyle n): Ապա, եթե P (1 ) (\displaystyle P(1)) և ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , ապա ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))):

Վերոնշյալ աքսիոմները արտացոլում են բնական շարքի և թվային գծի մեր ինտուիտիվ ըմբռնումը:

Հիմնարար փաստն այն է, որ այս աքսիոմները էապես եզակիորեն որոշում են բնական թվերը (Պեանոյի աքսիոմների համակարգի կատեգորիկ բնույթը)։ Մասնավորապես, կարելի է ապացուցել (տես նաև կարճ ապացույցը), որ եթե (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) և (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )), (\tilde (1)), (\tilde (S)))) Peano աքսիոմային համակարգի երկու մոդելներ են, ապա դրանք անպայմանորեն իզոմորֆ են, այսինքն՝ գոյություն ունի շրջելի քարտեզագրում։ (բիժեկտիվ) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) այնպիսին, որ f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) և f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)) ) բոլորի համար x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Հետևաբար, բավական է ամրագրել որպես N (\displaystyle \mathbb (N) ) բնական թվերի բազմության որևէ կոնկրետ մոդել։

Բնական թվերի բազմությունների տեսական սահմանում (Ֆրեգե-Ռասելի սահմանում)

Համաձայն բազմությունների տեսության՝ ցանկացած մաթեմատիկական համակարգերի կառուցման միակ օբյեկտը բազմությունն է։

Այսպիսով, ներմուծվում են նաև բնական թվեր՝ հիմնվելով բազմության հայեցակարգի վրա, երկու կանոնների համաձայն.

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \ձախ\(n\աջ\)) .

Այս կերպ սահմանված թվերը կոչվում են կարգային։

Եկեք նկարագրենք առաջին մի քանի հերթական թվերը և դրանց համապատասխան բնական թվերը.

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing);
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\ցուցադրման ոճ 2=\ձախ\(0,1\աջ\)=(\մեծ \()\varnothing,\;\ձախ\(\varnothing \ ճիշտ\)(\մեծ \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\ցուցադրման ոճ 3=\ձախ\(0,1,2\աջ\)=(\Մեծ \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Զրոն որպես բնական թիվ

Երբեմն, հատկապես արտասահմանյան և թարգմանական գրականության մեջ, Պեանոյի առաջին և երրորդ աքսիոմները մեկը փոխարինում են զրոյով։ Այս դեպքում զրոն համարվում է բնական թիվ։ Երբ սահմանվում է համարժեք բազմությունների դասերով, զրոն ըստ սահմանման բնական թիվ է: Անբնական կլիներ այն հատուկ հրաժարվելը: Բացի այդ, դա էապես կբարդացներ տեսության հետագա կառուցումն ու կիրառումը, քանի որ շինությունների մեծ մասում զրոն, ինչպես դատարկ բազմությունը, մեկուսացված բան չէ: Զրոն որպես բնական թիվ դիտարկելու մյուս առավելությունն այն է, որ N (\displaystyle \mathbb (N) ) ձևավորում է մոնոիդ։

Ռուսական գրականության մեջ զրոն սովորաբար բացառվում է բնական թվերի թվից (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), իսկ զրոյով բնական թվերի բազմությունը նշվում է որպես N 0 (\displaystyle \mathbb): (N) _(0) ) . Եթե ​​բնական թվերի սահմանման մեջ զրոն ներառված է, ապա բնական թվերի բազմությունը գրվում է N (\displaystyle \mathbb (N) ) , իսկ առանց զրոյի՝ N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

Միջազգային մաթեմատիկական գրականության մեջ, հաշվի առնելով վերը նշվածը և երկիմաստություններից խուսափելու համար, բազմությունը ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) սովորաբար կոչվում է դրական ամբողջ թվերի բազմություն և նշվում է. Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Բազմությունը ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) հաճախ կոչվում է ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմություն և նշվում է Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ գեքսլանտ 0)) .

Բնական թվերի բազմության դիրքը (N (\displaystyle \mathbb (N) )) ամբողջ թվերի բազմությունների մեջ (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), ռացիոնալ թվեր(Q (\displaystyle \mathbb (Q))), իրական թվեր(R (\displaystyle \mathbb (R) )) և իռացիոնալ թվեր(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q)))

Բնական թվերի բազմության արժեքը

Անսահման բազմության չափը բնութագրվում է «բազմության ուժ» հասկացությամբ, որը վերջավոր բազմության տարրերի թվի ընդհանրացումն է անվերջ բազմությունների։ Չափով (այսինքն՝ կարդինալությամբ) բնական թվերի բազմությունը մեծ է ցանկացած վերջավոր բազմությունից, բայց փոքր է ցանկացած միջակայքից, օրինակ՝ միջակայքը (0, 1) (\displaystyle (0,1)): Բնական թվերի բազմությունն ունի նույն կարդինալությունը, ինչ ռացիոնալ թվերի բազմությունը։ Նույն կարդինալության բազմությունը, ինչ բնական թվերի բազմությունը, կոչվում է հաշվելի բազմություն։ Այսպիսով, ցանկացած հաջորդականության տերմինների բազմությունը հաշվելի է: Միևնույն ժամանակ կա մի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր բնական թիվ հանդիպում է անվերջ թվով անգամ, քանի որ բնական թվերի բազմությունը կարող է ներկայացվել որպես անհամար հաշվելի բազմությունների հաշվելի միավորում (օրինակ՝ N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\աջ))).

Գործողություններ բնական թվերի վրա

Բնական թվերի վրա փակ գործողությունները (գործողությունները, որոնք արդյունք չեն տալիս բնական թվերի բազմությունից) ներառում են հետևյալ թվաբանական գործողությունները.

• հավելումտերմին + ժամկետ = գումար;
• բազմապատկումբազմապատկիչ × բազմապատկիչ = արտադրյալ;
• հզորացում a b (\displaystyle a^(b)) , որտեղ a (\displaystyle a) ցուցանիշի հիմքն է, b (\displaystyle b) ցուցանիշը։ Եթե ​​a (\displaystyle a) և b (\displaystyle b) բնական թվեր են, ապա արդյունքը նույնպես բնական թիվ է։

Բացի այդ, դիտարկվում են ևս երկու գործողություններ (ձևական տեսանկյունից դրանք բնական թվերի վրա գործողություններ չեն, քանի որ դրանք սահմանված չեն. բոլորըթվերի զույգեր (երբեմն դրանք կան, երբեմն՝ ոչ)).

• հանում: minuend - subtrahend = տարբերություն: Այս դեպքում, մինուենդը պետք է լինի ավելի մեծ, քան ենթակետը (կամ հավասար լինի դրան, եթե զրոն համարենք որպես բնական թիվ);
• բաժանում մնացորդով: դիվիդենտ / բաժանարար = (քանակ, մնացորդ): p (\displaystyle p) գործակիցը և r մնացորդը (\displaystyle r), երբ a (\displaystyle a) բաժանվում է b-ի (\displaystyle b) սահմանվում են հետևյալ կերպ. a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r), ընդ որում, 0 ⩽ rb (\displaystyle 0\leqslant r-ը կարող է ներկայացվել որպես a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a), այսինքն՝ ցանկացած թիվ կարող է լինել համարվում է մասնավոր, իսկ մնացածը a (\displaystyle a) .

Հարկ է նշել, որ գումարման և բազմապատկման գործողությունները հիմնարար են։ Մասնավորապես, ամբողջ թվերի օղակը սահմանվում է ճշգրիտ գումարման և բազմապատկման երկուական գործողությունների միջոցով:

Հիմնական հատկություններ

• Հավելման փոխադարձություն.

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Բազմապատկման փոխադարձություն.

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Հավելման ասոցիատիվություն.

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Բազմապատկման ասոցիատիվություն.

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Բազմապատկման բաշխվածությունը գումարման նկատմամբ.

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(դեպքեր)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end (դեպքեր))) .

Հանրահաշվական կառուցվածք

Գումարը բնական թվերի բազմությունը վերածում է միասնությամբ կիսախմբի, միասնության դերը խաղում է. 0 . Բազմապատկումը նաև փոխակերպում է բնական թվերի բազմությունը միավորով կիսախմբի, մինչդեռ նույնական տարրը՝ 1 . Գումարում-հանում և բազմապատկում-բաժանում գործողությունների ներքո փակումը հանգեցնում է Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) ամբողջ թվերի խմբերի և Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) համապատասխանաբար: .

Բազմությունների տեսական սահմանումներ

Եկեք օգտագործենք բնական թվերի սահմանումը որպես վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասեր: Եթե ​​նշանակենք բազմության համարժեքության դասը Ա, գեներացվել է բիեկցիաների միջոցով՝ օգտագործելով քառակուսի փակագծեր. Ա], հիմնական թվաբանական գործողությունները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\ցուցադրման ոճ ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - բազմությունների անսխալ միավորում;
• A × B (\displaystyle A\time B) - ուղղակի արտադրանք;
• A B (\displaystyle A^(B)) - ցուցադրությունների հավաքածու Բմեջ Ա.

Կարելի է ցույց տալ, որ դասերի վրա ստացված գործողությունները ճիշտ են ներկայացվում, այսինքն՝ դրանք կախված չեն դասի տարրերի ընտրությունից և համընկնում են ինդուկտիվ սահմանումների հետ։

Ի՞նչ է բնական թիվը: Պատմություն, շրջանակ, հատկություններ

Մաթեմատիկան առաջացել է ընդհանուր փիլիսոփայությունից մոտ մ.թ.ա վեցերորդ դարում: ե., և այդ պահից սկսվեց նրա հաղթական երթը աշխարհով մեկ։ Զարգացման յուրաքանչյուր փուլ ներմուծում էր մի նոր բան. տարրական հաշիվը զարգանում էր, վերածվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի, փոխվում էին դարեր, բանաձևերը դառնում էին ավելի ու ավելի շփոթեցնող, և եկավ պահը, երբ «ամենա բարդ մաթեմատիկա«Բոլոր թվերն անհետացել են դրանից»: Բայց ի՞նչն էր հիմքը։

Ժամանակի Սկիզբ

Բնական թվերը հայտնվեցին առաջին մաթեմատիկական գործողությունների հետ մեկտեղ: Մի անգամ ողնաշար, երկու ողնաշար, երեք ողնաշար ... Նրանք հայտնվեցին հնդիկ գիտնականների շնորհիվ, ովքեր մշակեցին առաջին դիրքային թվային համակարգը:
«Դիրքորոշում» բառը նշանակում է, որ թվի մեջ յուրաքանչյուր թվանշանի գտնվելու վայրը խստորեն սահմանված է և համապատասխանում է իր կատեգորիային։ Օրինակ՝ 784 և 487 թվերը նույն թվերն են, բայց թվերը համարժեք չեն, քանի որ առաջինը ներառում է 7 հարյուր, իսկ երկրորդը՝ ընդամենը 4։ Արաբներն ընդունեցին հնդկացիների նորամուծությունը, որոնք թվերը հասցրին ձևի։ որ մենք հիմա գիտենք:

Հնում թվերին տրվել է առեղծվածային նշանակություն, ամենամեծ մաթեմատիկոս Պյութագորասը կարծում էր, որ թիվն ընկած է աշխարհի ստեղծման հիմքում հիմնական տարրերի հետ միասին՝ կրակ, ջուր, հող, օդ: Եթե ​​ամեն ինչ դիտարկենք միայն մաթեմատիկական կողմից, ապա ո՞րն է բնական թիվը։ Բնական թվերի դաշտը նշանակվում է N-ով և թվերի անվերջ շարք է, որոնք ամբողջ և դրական են՝ 1, 2, 3, … + ∞: Զրոն բացառված է։ Այն հիմնականում օգտագործվում է իրերը հաշվելու և կարգը նշելու համար։

Ի՞նչ է բնական թիվը մաթեմատիկայի մեջ: Պեանոյի աքսիոմները

N դաշտը այն բազային դաշտն է, որի վրա հիմնված է տարրական մաթեմատիկան։ Ժամանակի ընթացքում առանձնացվել են ամբողջ թվերի, ռացիոնալ, բարդ թվերի դաշտերը։

Իտալացի մաթեմատիկոս Ջուզեպպե Պեանոյի աշխատանքը հնարավոր դարձրեց թվաբանության հետագա կառուցվածքը, հասավ նրա ձևականությանը և ճանապարհ հարթեց հետագա եզրակացությունների համար, որոնք դուրս էին գալիս N. Թե որն է բնական թիվը, ավելի վաղ պարզաբանվեց պարզ լեզվով, ստորև մենք կքննարկենք մաթեմատիկական սահմանումը, որը հիմնված է Պեանոյի աքսիոմների վրա:

• Մեկը համարվում է բնական թիվ։
• Բնական թվին հաջորդող թիվը բնական թիվ է։
• Մեկից առաջ բնական թիվ չկա։
• Եթե ​​b թիվը հաջորդում է և՛ c թվին, և՛ d թվին, ապա c=d:
• Ինդուկցիայի աքսիոմը, որն իր հերթին ցույց է տալիս, թե ինչ է բնական թիվը. եթե պարամետրից կախված որոշ պնդումներ ճշմարիտ են 1 թվի համար, ապա մենք ենթադրում ենք, որ այն գործում է նաև N բնական թվերի դաշտից n թվի համար։ պնդումը ճիշտ է նաև N բնական թվերի դաշտից n =1-ի համար:

Հիմնական գործողություններ բնական թվերի դաշտի համար

Քանի որ N դաշտը դարձավ առաջինը մաթեմատիկական հաշվարկների համար, դրան են վերաբերում ինչպես սահմանման տիրույթները, այնպես էլ ստորև բերված մի շարք գործողությունների արժեքների միջակայքերը: Նրանք փակ են և ոչ։ Հիմնական տարբերությունն այն է, որ փակ գործողությունները երաշխավորված են արդյունք թողնել N բազմության ներսում, անկախ նրանից, թե ինչ թվեր են ներգրավված: Բավական է, որ դրանք բնական են։ Մնացած թվային փոխազդեցությունների արդյունքն այլևս այնքան էլ միանշանակ չէ և ուղղակիորեն կախված է նրանից, թե ինչպիսի թվեր են ներգրավված արտահայտության մեջ, քանի որ այն կարող է հակասել հիմնական սահմանմանը: Այսպիսով, փակ գործողություններ.

• գումարում – x + y = z, որտեղ x, y, z ներառված են N դաշտում;
• բազմապատկում - x * y = z, որտեղ x, y, z ներառված են N դաշտում;
• աստիճանականացում - xy, որտեղ x, y ներառված են N դաշտում:

Մնացած գործողությունները, որոնց արդյունքը կարող է գոյություն չունենալ «ինչ է բնական թիվ» սահմանման համատեքստում, հետևյալն են.

N դաշտին պատկանող թվերի հատկությունները

Հետագա բոլոր մաթեմատիկական հիմնավորումները հիմնված կլինեն հետևյալ հատկությունների վրա՝ ամենաչնչին, բայց ոչ պակաս կարևոր:

• Գումարման կոմուտատիվ հատկությունն է x + y = y + x, որտեղ x, y թվերը ներառված են N դաշտում կամ հայտնի «գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերի փոփոխությունից»։
• Բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունն է x * y = y * x, որտեղ x, y թվերը ներառված են N դաշտում։
• Ավելացման ասոցիատիվ հատկությունն է (x + y) + z = x + (y + z), որտեղ x, y, z-ն ներառված են N դաշտում:
• Բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունն է (x * y) * z = x * (y * z), որտեղ N դաշտում ներառված են x, y, z թվերը։
• բաշխման հատկություն - x (y + z) = x * y + x * z, որտեղ N դաշտում ներառված են x, y, z թվերը:

Պյութագորասի սեղան

Դպրոցականների կողմից տարրական մաթեմատիկայի ամբողջ կառուցվածքի իմացության առաջին քայլերից մեկը, այն բանից հետո, երբ նրանք իրենք իրենց համար հասկացան, թե որ թվերն են կոչվում բնական, Պյութագորասի աղյուսակն է: Այն կարելի է համարել ոչ միայն գիտության տեսանկյունից, այլեւ արժեքավոր գիտական ​​հուշարձան։

Այս բազմապատկման աղյուսակը ժամանակի ընթացքում ենթարկվել է մի շարք փոփոխությունների. զրոն հանվել է դրանից, իսկ 1-ից 10 թվերը նշանակում են իրենց՝ առանց հաշվի առնելու պատվերները (հարյուրներ, հազարներ ...): Այն աղյուսակ է, որտեղ տողերի և սյունակների վերնագրերը թվեր են, և դրանց հատման բջիջների պարունակությունը հավասար է դրանց արտադրյալին:

Վերջին տասնամյակների ուսուցման պրակտիկայում Պյութագորասի աղյուսակը «հերթով» անգիր անելու անհրաժեշտություն է առաջացել, այսինքն՝ անգիրն առաջ է գնացել։ Բազմապատկումը 1-ով բացառվել է, քանի որ արդյունքը եղել է 1 կամ ավելի: Մինչդեռ անզեն աչքով աղյուսակում կարելի է տեսնել մի օրինաչափություն՝ թվերի արտադրյալն աճում է մեկ քայլով, որը հավասար է տողի վերնագրին։ Այսպիսով, երկրորդ գործոնը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ պետք է առաջինը վերցնենք ցանկալի ապրանքը ստանալու համար։ Այս համակարգըի տարբերություն միջնադարում կիրառվողի. նույնիսկ հասկանալով, թե ինչ է բնական թիվը և որքան աննշան է այն, մարդիկ կարողացան բարդացնել իրենց ամենօրյա հաշվումը երկուսի հզորության վրա հիմնված համակարգի միջոցով:

Ենթաբազմություն՝ որպես մաթեմատիկայի բնօրրան

Վրա այս պահին N բնական թվերի դաշտը համարվում է միայն որպես բարդ թվերի ենթաբազմություններից մեկը, սակայն դա նրանց պակաս արժեքավոր չի դարձնում գիտության մեջ։ Բնական թիվն առաջին բանն է, որ երեխան սովորում է՝ ուսումնասիրելով իրեն և շրջապատող աշխարհը: Մեկ մատ, երկու մատ... Նրա շնորհիվ մարդու մոտ զարգանում է տրամաբանական մտածողությունը, ինչպես նաև պատճառը որոշելու և հետևանքը եզրակացնելու կարողությունը՝ ճանապարհ հարթելով մեծ բացահայտումների համար:

Քննարկում.Բնական թիվ

Հակասություն զրոյի շուրջ

Չգիտես ինչու, ես չեմ կարող զրոն պատկերացնել որպես բնական թիվ… Թվում է, թե հին մարդիկ ընդհանրապես զրո չգիտեին: Այո, և TSB-ն զրոն բնական թիվ չի համարում։ Այսպիսով, առնվազն վիճելի հարց է: Կարո՞ղ եք ավելի չեզոք բան ասել զրոյի մասին: Կամ կա՞ն լավ փաստարկներ։ --.:Աջվոլ:. 18:18, 9 Սեպտ. 2004 (UTC)

ետ գլորվեց վերջին փոփոխությունը. --Maxal 20:24 Սեպ 9, 2004 (UTC)

Ֆրանսիական ակադեմիան ժամանակին հատուկ հրամանագիր արձակեց, ըստ որի 0-ը ներառված էր բնական թվերի բազմության մեջ։ Հիմա սա է չափանիշը, իմ կարծիքով ոչ թե պետք է ներմուծել «ռուսական բնական թիվ» հասկացությունը, այլ հավատարիմ մնալ այս ստանդարտին։ Բնականաբար, պետք է նշել, որ ժամանակին այդպես չէր (ոչ միայն Ռուսաստանում, այլ ամենուր)։ Tosha 23:16, 9 սեպտեմբերի 2004 (UTC)

Ֆրանսիական ակադեմիան մեզ համար հրամանագիր չէ. Անգլալեզու մաթեմատիկական գրականության մեջ նույնպես այս հարցի վերաբերյալ հաստատված կարծիք չկա։ Տես օրինակ --Maxal 23:58, 9 սեպտեմբերի 2004 (UTC)

Այնտեղ ինչ-որ տեղ ասվում է. «Եթե հոդված եք գրում վիճելի հարցի մասին, ապա փորձեք ներկայացնել բոլոր տեսակետները՝ հղումներ տալով տարբեր կարծիքների»։ Բես կղզի 23:15, 25 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Ես դա այստեղ չեմ տեսնում վիճելի հարց, բայց ես տեսնում եմ՝ 1) անհարգալից վերաբերմունք այլ մասնակիցների նկատմամբ՝ էականորեն փոխելով / ջնջելով նրանց տեքստը (սովորական է դրանք քննարկել նախքան էական փոփոխություններ կատարելը); 2) խիստ սահմանումների փոխարինում (նշելով բազմությունների կարդինալությունը) անորոշներով (մեծ տարբերություն կա՞ «համարակալման» և «քանակի նշման» միջև)։ Հետևաբար, նորից հետ եմ անում, սակայն վերջին դիտողությունն եմ թողնում. --Maxal 23:38, 25 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Անհարգալից վերաբերմունքն այն է, թե ինչպես եմ ես դիտարկում ձեր ատկատները: Այսպիսով, եկեք չխոսենք դրա մասին: Իմ խմբագրումը չի փոխում էությունըհոդվածում, այն միայն հստակ ձևակերպում է երկու սահմանում. Հոդվածի նախորդ տարբերակը ձևակերպել էր «առանց զրոյի» սահմանումը որպես հիմնական, իսկ «զրոյով»՝ որպես այլախոհության տեսակ։ Սա բացարձակապես չի համապատասխանում Վիքիպեդիայի պահանջներին (տե՛ս վերը նշված մեջբերումը), ինչպես նաև ոչ այնքան գիտական ​​ոճհայտարարությունները նախորդ տարբերակը. Ես ավելացրեցի «կոմպլեկտի կարդինալություն» ձևակերպումը որպես «քանակության նշանակում» բացատրություն, իսկ «թվարկում»՝ «համարակալում»: Իսկ եթե տարբերություն չեք տեսնում «համարակալման» և «քանակի նշանակման» միջև, ապա, թույլ տվեք հարցնել, ինչու՞ եք այդ դեպքում խմբագրում մաթեմատիկական հոդվածները։ Բես կղզի 23:58, 25 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Ինչ վերաբերում է «էությունը չի փոխում», ապա նախորդ տարբերակում ընդգծվում էր, որ սահմանումների տարբերությունը միայն բնական թվերին զրո հղում տալու մեջ է։ Ձեր տարբերակում սահմանումները ներկայացվում են որպես արմատապես տարբեր։ Ինչ վերաբերում է «հիմնական» սահմանմանը, ապա դա այդպես էլ պետք է լինի, քանի որ այս հոդվածը 2010 թ ռուսերենՎիքիպեդիա, ինչը նշանակում է, որ հիմնականում դուք պետք է հավատարիմ մնաք ձեր ասածին ընդհանուր ընդունված է ռուսական մաթեմատիկական դպրոցներում. Ես անտեսում եմ արշավանքները: --Maxal 00:15, 26 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Իրականում սա ընդամենը զրոյի տարբերություն է։ Փաստորեն, սա հենց այն հիմնական տարբերությունն է, որը բխում է բնական թվերի բնույթի տարբեր ըմբռնումից. մեկ տարբերակում՝ որպես քանակություններ; մյուսում՝ որպես թվեր։ Սա բացարձակապես տարբեր հասկացություններորքան էլ փորձես թաքցնել, որ դա չես հասկանում:

Այն մասին, որ ռուսերեն Վիքիպեդիայում պահանջվում է որպես գերիշխող նշել ռուսական տեսակետը։ Ուշադիր նայեք այստեղ։ Նայեք Սուրբ Ծննդյան մասին անգլերեն հոդվածին: Այն չի ասում, որ Սուրբ Ծնունդը պետք է նշվի դեկտեմբերի 25-ին, քանի որ այդպես են նշում Անգլիայում և ԱՄՆ-ում։ Այնտեղ երկու տեսակետն էլ տրված է (և տարբերվում են ոչ ավել և ոչ պակաս, քան «զրոյով» և «առանց զրոյի» բնական թվերը), և ոչ մի բառ այն մասին, թե դրանցից որն է իբր ավելի ճիշտ։

Հոդվածի իմ տարբերակում երկու տեսակետներն էլ նշանակված են որպես անկախ և հավասարապես վավեր: Ռուսական ստանդարտը նշվում է ձեր վերը նշված բառերով:

Թերևս փիլիսոփայական տեսանկյունից բնական թվեր հասկացություններն իսկապես կան բացարձակապեստարբեր են, բայց հոդվածն առաջարկում է հիմնականում մաթեմատիկական սահմանումներ, որտեղ տարբերությունը 0 ∈ N է (\displaystyle 0\in \mathbb (N)) կամ 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N)): Գերիշխող տեսակետը, թե ոչ, նուրբ հարց է։ Ես գնահատում եմ արտահայտությունը դեկտեմբերի 25-ին դիտվել է արևմտյան աշխարհի մեծ մասումՍուրբ Ծննդյան մասին անգլերեն հոդվածից, որպես գերիշխող տեսակետ արտահայտող, առանց առաջին պարբերության մեջ նշված այլ ամսաթվերի: Ի դեպ, բնական թվերի մասին հոդվածի նախորդ տարբերակում նույնպես ուղղակի ցուցումներ չեն եղել, թե ինչպես անհրաժեշտԲնական թվերը որոշելու համար պարզապես առանց զրոյի սահմանումը ներկայացվեց որպես ավելի տարածված (Ռուսաստանում)։ Ամեն դեպքում, լավ է, որ փոխզիջում է գտնվել։ --Maxal 00:53, 26 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Ինչ-որ չափով տհաճորեն զարմանալի է «Ռուս գրականության մեջ զրոն սովորաբար բացառվում է բնական թվերից» արտահայտությունը, պարոնայք, զրոն ամբողջ աշխարհում բնական թիվ չի համարվում, եթե այլ բան նշված չէ։ Նույն ֆրանսերենը, որքան ես կարդացի, կոնկրետ ամրագրում են զրոյի ընդգրկումը։ Իհարկե, N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) ավելի հաճախ օգտագործվում է, բայց եթե, օրինակ, ես սիրում եմ կանանց, ես տղամարդկանց չեմ փոխի կանանց: դրուիդ. 2014-02-23

Բնական թվերի հանրաճանաչությունը

Ինձ թվում է, որ բնական թվերը մաթեմատիկական հոդվածներում ոչ հանրաճանաչ թեմա են (գուցե ոչ միայն մեկ սահմանման բացակայության պատճառով): Իմ փորձից ես հաճախ եմ հանդիպում մաթեմատիկական հոդվածների տերմիններին ամբողջ թվով ոչ բացասական թվերԵվ ամբողջ դրական թվեր(որոնք մեկնաբանվում են միանշանակ), քան ամբողջ թվեր. Խնդրվում է շահագրգիռ կողմերին հայտնել իրենց (ան)համաձայնությունը այս դիտարկման հետ։ Եթե ​​այս դիտարկումը աջակցություն է գտնում, ապա իմաստ ունի այն նշել հոդվածում։ --Maxal 01:12, 26 Դեկտեմբեր 2004 (UTC)

Անկասկած, դուք ճիշտ եք ձեր հայտարարության ամփոփ հատվածում։ Այս ամենը պայմանավորված է սահմանման տարբերություններով: Ես ինքս որոշ դեպքերում նախընտրում եմ նշել «դրական ամբողջ թվեր» կամ «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» ոչ թե «բնական»՝ զրոյի ընդգրկման հետ կապված անհամապատասխանություններից խուսափելու համար։ Իսկ օպերատիվ մասի հետ ընդհանուր առմամբ համաձայն եմ։ Bes island 01:19, 26 Դեկտեմբերի 2004 (UTC) Հոդվածներում՝ այո, երևի այդպես է։ Այնուամենայնիվ, ավելի ծավալուն տեքստերում, ինչպես նաև այնտեղ, որտեղ հայեցակարգը հաճախ օգտագործվում է, նրանք սովորաբար դեռ օգտագործում են ամբողջ թվեր, նախնական, սակայն, բացատրելով, թե «ինչ» բնական թվերի մասին է խոսքը՝ զրոյով, թե առանց։ LoKi 19:31 Հուլիսի 30, 2005 (UTC)

Թվեր

Արժե՞ թվերի (մեկ, երկու, երեք և այլն) անունները թվարկել այս հոդվածի վերջին մասում։ Ավելի խելամիտ չի՞ լինի սա դնել Թիվ հոդվածում։ Այնուամենայնիվ, այս հոդվածը, իմ կարծիքով, պետք է ավելի մաթեմատիկական բնույթ կրի: Ինչպես եք կարծում? --LoKi 19:32, հուլիսի 30, 2005 (UTC)

Ընդհանրապես տարօրինակ է, թե ինչպես կարելի է *դատարկ* բազմություններից սովորական բնական թիվ ստանալ։ Ընդհանրապես ինչքան դատարկություն ու դատարկություն չեն համատեղվում, բացի դատարկությունից, ոչինչ չի ստացվի։ Դա ընդհանրապես այլընտրանքային սահմանում չէ՞։ Տեղադրվել է 21:46, 17 հուլիսի, 2009 (Մոսկվա)

Պեանոյի աքսիոմների համակարգի կատեգորիկ բնույթը

Պեանոյի աքսիոմների համակարգի կատեգորիկ բնույթի մասին դիտողություն ավելացրի, որն, իմ կարծիքով, հիմնարար է։ Խնդրում ենք ճիշտ ձևաչափել գրքի հղումը[[User:A_Devyatkov 06:58, հունիսի 11, 2010 (UTC)]]

Պեանոյի աքսիոմները

Գրեթե բոլոր արտասահմանյան գրականության մեջ և Վիքիպեդիայում Պեանոյի աքսիոմները սկսվում են «0-ը բնական թիվ է» բառով։ Իրոք, սկզբնաղբյուրում գրված է «1-ը բնական թիվ է»։ Սակայն 1897 թվականին Պեանոն փոփոխություն կատարեց և փոխեց 1-ը 0-ի: Այս մասին գրված է «Formulaire de mathematikes» հատոր II-ում: էջ 81. Սա հղում է աջ էջի էլեկտրոնային տարբերակին.

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr):

Այս փոփոխությունների բացատրությունները տրված են «Rivista di matematica», հատոր 6-7, 1899 թ., էջ 76: Նաև աջ էջում գտնվող էլեկտրոնային տարբերակի հղումը.

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (իտալերեն):

0=0

Որո՞նք են «թվային շրջադարձային աքսիոմները»:

Ես կցանկանայի հոդվածը վերադարձնել վերջին պարեկային տարբերակին: Նախ, ինչ-որ մեկը Փեանոյի աքսիոմները վերանվանեց դաշնամուրի աքսիոմների, ինչի պատճառով հղումը դադարեց աշխատել։ Երկրորդը, ինչ-որ Քուրդ հոդվածում շատ մեծ տեղեկատվություն է ավելացրել, որը, իմ կարծիքով, այս հոդվածում բոլորովին անտեղի է։ Գրված է ոչ հանրագիտարանով, բացի այդ, տրված են անձամբ Տվորոգովի արդյունքները և հղում սեփական գրքին։ Ես պնդում եմ, որ այս հոդվածից պետք է հանել «Թվային շրջադարձային աքսիոմներ» բաժինը։ P.s. Ինչո՞ւ հանվեց զրոյական թվի մասին բաժինը։ mesyarik 14:58, 12 Մարտի 2014 (UTC)

Թեման չի բացահայտվում, բնական թվերի հստակ սահմանում է պետք

Խնդրում եմ հերետիկոսություն չգրել, ինչպես « Բնական թվեր (բնական թվեր) - թվեր, որոնք բնականաբար առաջանում են հաշվելիս:«Բնական ճանապարհով ուղեղում ոչինչ չի առաջանում, կլինի հենց այն, ինչ կդնես։

Իսկ հինգ տարեկան երեխայի համար ինչպե՞ս բացատրել, թե ո՞ր թիվն է բնական թիվ։ Ի վերջո, կան մարդիկ, որոնց պետք է բացատրել որպես հինգ տարեկան: Ինչո՞վ է բնական թիվը տարբերվում սովորական թվից: Օրինակներ են անհրաժեշտ։ 1, 2, 3-ը բնական է, իսկ 12-ը՝ բնական, իսկ -12-ը։ իսկ երեք չորրորդը, թե օրինակ 4.25 բնական? 95.181.136.132 15:09 Նոյեմբերի 6, 2014 (UTC)

• Բնական թվերը հիմնարար հասկացություն են, սկզբնական աբստրակցիա։ Դրանք չեն կարող սահմանվել: Դուք կարող եք կամայականորեն խորանալ փիլիսոփայության մեջ, բայց վերջիվերջո կամ պետք է ընդունեք (հավատքով ընդունե՞ք) ինչ-որ կոշտ մետաֆիզիկական վերաբերմունք, կամ ընդունեք, որ բացարձակ սահմանում չկա, բնական թվերը արհեստական ​​ֆորմալ համակարգի, մոդելի մասն են։ որը հորինել է մի մարդ (կամ Աստված): Ահա թեմայի վերաբերյալ հետաքրքիր տրակտատ. Ինչպե՞ս է ձեզ դուր գալիս, օրինակ, այս տարբերակը. «Բնական շարքը ցանկացած կոնկրետ Peano համակարգ է, այսինքն՝ Պեանոյի աքսիոմատիկ տեսության մոդել»։ Լավ զգալ? RomanSuzi 17:52, 6 Նոյեմբերի 2014 (UTC)
  • Թվում է, թե ձեր մոդելներով և աքսիոմատիկ տեսություններով դուք միայն բարդացնում եք ամեն ինչ։ Այս սահմանումը կհասկանա լավագույն դեպքըհազար մարդուց երկուսը։ Հետևաբար, կարծում եմ, որ առաջին պարբերությունում բացակայում է նախադասությունը. Պարզ բառերովԲնական թվերը դրական ամբողջ թվեր են, որոնք սկսվում են մեկ ներառյալ: Նման սահմանումը շատերի համար նորմալ է թվում: Եվ դա հիմք չի տալիս կասկածելու բնական թվի սահմանմանը: Ի վերջո, հոդվածը կարդալուց հետո ես իսկապես չհասկացա մինչև վերջ, թե ինչ են բնական թվերը, իսկ 807423 թիվը բնական է, կամ բնական թվերն են, որոնցից բաղկացած է այս թիվը, այսինքն՝ 8 0 7 4 2 3: Հաճախ բարդությունները միայն փչացնում են ամեն ինչ: Բնական թվերի մասին ինֆա-ն պետք է լինի այս էջում և ոչ թե բազմաթիվ հղումներում: դեպի այլ էջեր.95.181.136.132 10:03, 7 Նոյեմբերի 2014 (UTC)
    • Այստեղ անհրաժեշտ է տարբերակել երկու առաջադրանք. (1) հստակ (թեկուզ ոչ խիստ) մաթեմատիկայից հեռու ընթերցողին բացատրել, թե ինչ է բնական թիվը, որպեսզի նա քիչ թե շատ ճիշտ հասկանա. (2) տալ բնական թվի այնպիսի խիստ սահմանում, որից հետևում են նրա հիմնական հատկությունները: Դուք իրավացի եք նախաբանի առաջին տարբերակի օգտին, բայց հենց դա է տրված հոդվածում. բնական թիվը հաշվարկի մաթեմատիկական ձևակերպումն է՝ մեկ, երկու, երեք և այլն: Ձեր օրինակը (807423) կարող է. անշուշտ ստացվում է հաշվելիս, ինչը նշանակում է, որ սա նույնպես բնական թիվ է։ Ինձ համար անհասկանալի է, թե ինչու եք թվերի մեջ խառնում թիվն ու ինչպես է գրվում, սա առանձին թեմա է, ուղղակիորեն կապված չէ թվի սահմանման հետ։ Ձեր բացատրությունը. Բնական թվերը դրական ամբողջ թվեր են՝ սկսած մեկ ներառյալ» լավ չէ, քանի որ դուք չեք կարող սահմանել ավելի քիչ, քան ընդհանուր հայեցակարգ(բնական թիվ) ավելի ընդհանուր (թիվ) միջոցով դեռ չսահմանված. Ինձ համար դժվար է պատկերացնել ընթերցողի, ով գիտի, թե ինչ է դրական ամբողջ թիվը, բայց չի պատկերացնում, թե ինչ է բնական թիվը: LGB 12:06 Նոյեմբերի 7, 2014 (UTC)
      • Բնական թվերը չեն կարող սահմանվել ամբողջ թվերով։ RomanSuzi 17:01, 7 Նոյեմբերի 2014 (UTC)

• «Բնականաբար, ուղեղում ոչինչ չի պատահում»: Վերջին ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս (հիմա չեմ կարողանում հղումներ գտնել), որ մարդու ուղեղը պատրաստ է օգտագործել լեզուն: Այսպիսով, բնական ճանապարհով, մեր գեներում արդեն կա լեզվին տիրապետելու պատրաստակամությունը։ Դե, բնական թվերի համար սա այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է: «1» հասկացությունը կարելի է ցույց տալ ձեռքով, իսկ հետո՝ ինդուկցիայի միջոցով, ավելացնել ձողիկներ, ստանալով 2, 3 և այլն։ Կամ՝ I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Բայց միգուցե հոդվածը բարելավելու կոնկրետ առաջարկներ ունեք՝ հիմնված հեղինակավոր աղբյուրների վրա։ RomanSuzi 17:57, 6 Նոյեմբերի 2014 (UTC)

Ի՞նչ է բնական թիվը մաթեմատիկայի մեջ:

Վլադիմիր Զ

Բնական թվերն օգտագործվում են առարկաները հաշվելու և դրանց թիվը հաշվելու համար։ Համարակալման համար օգտագործվում են դրական ամբողջ թվեր՝ սկսած 1-ից։

Իսկ թիվը հաշվելու համար այստեղ ներառված է նաև 0-ը՝ նշելով օբյեկտների բացակայությունը։

Արդյոք բնական թվեր հասկացությունը պարունակում է 0 թիվը, կախված է աքսիոմատիկայից: Եթե ​​որևէ մաթեմատիկական տեսության ներկայացման համար անհրաժեշտ է բնական թվերի բազմության մեջ 0-ի առկայությունը, ապա դա ամրագրված է և համարվում է անվիճելի ճշմարտություն (աքսիոմա) այս տեսության շրջանակներում։ Սրան շատ մոտ է 0 թվի սահմանումը, թե՛ դրական, թե՛ բացասական։ Եթե ​​բնական թվերի սահմանումը վերցնենք որպես բոլոր ՈՉ ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ամբողջ թվերի բազմություն, ապա հարց է առաջանում՝ ո՞րն է 0 թիվը՝ դրական, թե բացասական։

IN գործնական կիրառություն, որպես կանոն, օգտագործվում է առաջին սահմանումը, որը չի ներառում 0 թիվը։

Մատիտ

Բնական թվերը դրական ամբողջ թվեր են: Բնական թվերն օգտագործվում են օբյեկտները հաշվելու (համարելու) կամ առարկաների թիվը կամ ցանկում առարկայի հերթական համարը նշելու համար։ Որոշ հեղինակներ արհեստականորեն զրո են ներառում «բնական թվեր» հասկացության մեջ։ Մյուսներն օգտագործում են «բնական թվեր և զրո» ձևակերպումը։ Սա անսկզբունքային է։ Բնական թվերի բազմությունը անսահման է, քանի որ ցանկացած կամայական մեծ բնական թվի դեպքում կարելի է կատարել գումարման գործողություն մեկ այլ բնական թվի հետ և ստանալ ավելի մեծ թիվ։

Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը ներառված չեն բնական թվերի բազմության մեջ։

Սայանները

Բնական թվերը թվեր են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու համար: Նրանք կարող են լինել միայն դրական և ամբողջական: Ի՞նչ է սա նշանակում օրինակով: Քանի որ այս թվերն օգտագործվում են հաշվելու համար, եկեք փորձենք ինչ-որ բան հաշվարկել։ Ի՞նչ կարելի է հաշվել: Օրինակ՝ մարդիկ։ Կարող ենք հաշվել այսպիսի մարդկանց՝ 1 հոգի, 2 հոգի, 3 հոգի և այլն։ Հաշվելու համար օգտագործվող 1, 2, 3 և այլ թվերը բնական կլինեն։ Մենք երբեք չենք ասում -1 (մինուս մեկ) մարդ կամ 1,5 (մեկ ու կես) մարդ (ներողություն բառախաղի համար :), այնպես որ -1-ը և 1,5-ը (ինչպես բոլոր բացասական և կոտորակային թվերը) բնական թվեր չեն։

Լորելեյ

Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են առարկաները հաշվելիս։

Ամենափոքր բնական թիվը մեկն է։ Հաճախ հարց է առաջանում՝ արդյոք զրոն բնական թիվ է։ Ոչ, դա ռուսական աղբյուրների մեծ մասում չէ, բայց այլ երկրներում զրոյական թիվը ճանաչվում է որպես բնական ...

Մորելյուբա

Մաթեմատիկայում բնական թվերը թվեր են, որոնք օգտագործվում են ինչ-որ բան կամ ինչ-որ մեկին հաջորդաբար հաշվելու համար: Մեկը համարվում է ամենափոքր բնական թիվը։ Զրոն շատ դեպքերում չի պատկանում բնական թվերի կատեգորիային։ Բացասական թվերն այստեղ նույնպես ներառված չեն։

Ողջույններ սլավոններ:

Բնական թվերը, դրանք նույնպես բնական են, այն թվերն են, որոնք հաշվելու ժամանակ առաջանում են սովորական ձևով, որոնք զրոյից մեծ են։ Աճման կարգով դասավորված յուրաքանչյուր բնական թվի հաջորդականությունը կկոչվի բնական շարք։

Ելենա Նիկիտյուկ

Մաթեմատիկայում օգտագործվում է բնական թիվ տերմինը։ Դրական ամբողջ թիվը կոչվում է բնական թիվ: Ամենափոքր բնական թիվը համարվում է «0»: Որևէ բան հաշվարկելու համար նրանք օգտագործում են նույնը` բնական թվերը, օրինակ 1,2,3... և այլն:

Բնական թվերն այն թվերն են, որոնցով մենք ստեղծում ենք հաշիվը, այսինքն՝ isla մեկ, երկու, երեք, չորս, հինգ և մյուսները բնական թվեր են:

Սրանք անպայման զրոյից մեծ դրական թվեր են։

Բնական թվերի բազմությանը չեն պատկանում նաև կոտորակային թվերը։

- Խոլորձ -

Ինչ-որ բան հաշվելու համար բնական թվեր են անհրաժեշտ։ Դրանք միայն դրական թվերի շարք են՝ սկսած մեկից։ Կարևոր է իմանալ, որ այս թվերը բացառապես ամբողջ թվեր են։ Բնական թվերով ամեն ինչ կարելի է հաշվել։

Մառլենա

Բնական թիվը մի ամբողջ թիվ է, որը մենք սովորաբար օգտագործում ենք ցանկացած առարկա հաշվելիս։ Զրոն որպես այդպիսին ներառված չէ բնական թվերի տիրույթում, քանի որ մենք սովորաբար այն չենք օգտագործում հաշվարկներում։

Ինարա-պդ

Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք մենք օգտագործում ենք հաշվելու համար՝ մեկ, երկու, երեք և այլն:

Բնական թվերն առաջացել են մարդու գործնական կարիքներից։

Բնական թվերը գրվում են տասը թվանշաններով։

Զրոն բնական թիվ չէ։

Ի՞նչ է բնական թիվը:

Նաումենկո

Թվերը կոչվում են բնական թվեր։ օգտագործվում է բնական (ծաղիկ, ծառ, կենդանի, թռչուն և այլն) առարկաները համարակալելու և հաշվելու համար։

Ամբողջ թվերը կոչվում են թվերը ԲՆԱԿԱՆ, ԴՐԱՆՔ ՀԱԿԱՌԱԿ ԵՎ ԶՐՈ,

Բացատրիր. այն, ինչ բնական է ամբողջ թվերի միջոցով, սխալ է!! !

Զույգ թվերը բաժանվում են 2-ի, իսկ կենտները չեն բաժանվում 2-ի:

Թվերը կոչվում են պարզ թվեր։ ունենալով ընդամենը 2 բաժանարար՝ մեկը և ինքն իրեն...
Ձեր հավասարումներից առաջինը լուծումներ չունի: երկրորդ x=6 6 բնական թվի համար.

Բնական թվեր (բնական թվեր) - թվեր, որոնք բնականորեն առաջանում են հաշվելու ժամանակ (ինչպես թվարկման, այնպես էլ հաշվարկի իմաստով):

Բոլոր բնական թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է \mathbb(N)-ով։ Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է, քանի որ ցանկացած բնական թվի համար կա ավելի մեծ բնական թիվ։

Աննա Սեմենչենկո

թվեր, որոնք բնականաբար առաջանում են հաշվելու ժամանակ (թե՛ թվարկման, թե՛ հաշվարկի իմաստով)։
Բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում կա՝ թվերը, որոնք օգտագործվում են.
կետերի թվարկում (համարակալում) (առաջին, երկրորդ, երրորդ, ...);
ապրանքների քանակի նշանակում (առանց ապրանքների, մեկ ապրանքի, երկու ապրանքի, ...): Ընդունված է Բուրբակիի աշխատություններում, որտեղ բնական թվերը սահմանվում են որպես վերջավոր բազմությունների ուժեր։
Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը (ռացիոնալ, իրական, ...) թվերը բնական չեն։
Բոլոր բնական թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է նշանով։ Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է, քանի որ ցանկացած բնական թվի համար կա ավելի մեծ բնական թիվ։

Ամբողջ թվեր

Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու համար տարբեր իրերկամ նմանատիպ կամ միատարր առարկաների շարքային համարը նշելու համար:

Բնական թվերը կարելի է գրել՝ օգտագործելով առաջին տասը թվանշանները.

Պարզ բնական թվեր գրելու համար ընդունված է օգտագործել դիրքային տասնորդական հաշվարկ, որտեղ ցանկացած թվանշանի արժեքը որոշվում է գրառման մեջ նրա տեղով։

Բնական թվերը ամենապարզ թվերն են, որոնք մենք հաճախ օգտագործում ենք Առօրյա կյանք. Այս թվերի օգնությամբ մենք կատարում ենք հաշվարկներ, հաշվում առարկաները, որոշում դրանց քանակը, կարգը և թիվը։

Բնական թվերի հետ սկսում ենք ծանոթանալ վաղ մանկությունից, ուստի յուրաքանչյուրիս համար դրանք ծանոթ ու բնական են։

Բնական թվերի ընդհանուր պատկերացում

Բնական թվերը նախատեսված են առարկաների քանակի, դրանց սերիայի համարի և առարկաների բազմության մասին տեղեկատվություն կրելու համար:

Մարդը օգտագործում է բնական թվեր, քանի որ դրանք հասանելի են նրան և՛ ընկալման, և՛ վերարտադրության մակարդակում։ Ցանկացած բնական թիվ հնչեցնելիս մենք հեշտությամբ կարող ենք այն ականջով բռնել, իսկ բնական թիվ պատկերելով՝ տեսնում ենք այն։

Բոլոր բնական թվերը դասավորված են աճման կարգով և կազմում են թվային շարք՝ սկսած ամենափոքր բնական թվից, որը մեկն է։

Եթե ​​մենք որոշել ենք ամենափոքր բնական թիվը, ապա ամենամեծի հետ ավելի դժվար կլինի, քանի որ այդպիսի թիվ գոյություն չունի, քանի որ բնական թվերի շարքն անվերջ է։

Երբ բնական թվին մեկ գումարում ենք, ստացվում է այն թիվը, որը հաջորդում է տրված թվին:

Այնպիսի թիվը, ինչպիսին 0-ն է, բնական թիվ չէ, այլ միայն ծառայում է «զրո» թիվը նշանակելու համար և նշանակում է «ոչ մեկը»: 0 նշանակում է այս շարքի միավորների թվերի բացակայություն տասնորդական նշումներում:

Բոլոր բնական թվերը նշվում են մեծատառերով։ Լատինական տառՆ.

Պատմական տեղեկանք բնական թվերի նշանակման համար

Հին ժամանակներում մարդիկ դեռ չգիտեին, թե ինչ է թիվը և ինչպես հաշվել առարկաների քանակը: Բայց արդեն այդ ժամանակ հաշվելու անհրաժեշտություն առաջացավ, և տղամարդը հասկացավ, թե ինչպես հաշվել բռնած ձուկը, հավաքված հատապտուղները և այլն։

Քիչ անց, հին մարդեկել է այն եզրակացության, որ իրեն անհրաժեշտ գումարն ավելի հեշտ է գրել։ Այս նպատակների համար պարզունակ մարդիկնրանք սկսեցին օգտագործել խճաքարեր, իսկ հետո փայտիկներ, որոնք պահպանվել էին հռոմեական թվերով։

Հաշվային համակարգի զարգացման հաջորդ պահը այբուբենի տառերի օգտագործումն էր որոշ թվերի նշումներում:

Հաշվարկի առաջին համակարգերը ներառում են տասնորդական հնդկական համակարգը և սեքսեմալ բաբելոնական համակարգը:

Հաշվի ժամանակակից համակարգը, թեև արաբերեն է կոչվում, իրականում հնդկականի տարբերակներից մեկն է։ Ճիշտ է, իր հաշվարկման համակարգում զրո թիվ չկա, բայց արաբներն այն ավելացրել են, և համակարգը ձեռք է բերել ներկայիս ձևը։

Տասնորդական համակարգ

Մենք արդեն հանդիպել ենք բնական թվերի և սովորել ենք դրանք գրել տասը թվանշաններով: Դուք նաև արդեն գիտեք, որ նշաններով թվեր գրելը կոչվում է թվային համակարգ։

Թվերի մուտքագրման մեջ թվանշանի արժեքը կախված է նրա դիրքից և կոչվում է դիրքային: Այսինքն՝ բնական թվեր գրելիս օգտագործում ենք դիրքային հաշվարկը։

Այս համակարգը հիմնված է բիթերի խորության և տասնորդականի վրա: Տասնորդական համակարգում դրա կառուցման հիմքը կլինեն 0-ից 9 թվերը:

Նման համակարգում առանձնահատուկ տեղ է հատկացվում 10 թվին, քանի որ, հիմնականում, հաշիվը պահվում է տասնյակներով։

Դասերի և կատեգորիաների աղյուսակ.

Այսպիսով, օրինակ, 10 միավորը միավորվում է տասնյակների, ապա հարյուրավորների, հազարավորների և այլնի: Հետևաբար, 10 թիվը հաշվարկային համակարգի հիմքն է և կոչվում է տասնորդական հաշվարկային համակարգ։

Ամբողջ թվեր- թվեր, որոնք օգտագործվում են օբյեկտները հաշվելու համար . Ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել տասով թվանշաններ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Թվերի նման գրառումը կոչվում է. տասնորդական.

Բոլոր բնական թվերի հաջորդականությունը կոչվում է բնական կողք կողքի .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Մեծ մասը փոքրբնական թիվը մեկն է (1): Բնական շարքում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ 1-ով ավելի է նախորդից։ բնական շարք անվերջամենամեծ թիվ չկա։

Թվանշանի նշանակությունը կախված է թվի նշման մեջ նրա տեղից։ Օրինակ՝ 4 թիվը նշանակում է՝ 4 միավոր, եթե այն կանգնած է վերջին տեղըհամարի մուտքագրում (միավորների տեղում); 4 տասը,եթե նա վերջին տեղում է (տասնյակների տեղում); 4 հարյուրավոր,եթե վերջից երրորդ տեղում է (մեջ հարյուրավոր տեղ):

0 թվանշանը նշանակում է այս կատեգորիայի միավորների բացակայությունըթվի տասնորդական նշումով: Այն նաև ծառայում է թիվը նշելու համար: զրո«. Այս թիվը նշանակում է «ոչ մեկը»: Հաշիվը՝ 0:3 ֆուտբոլային հանդիպումըասում է, որ առաջին թիմը ոչ մի գոլ չի խփել մրցակցին։

Զրո չեն ներառումբնական թվերին։ Եվ իսկապես իրերի հաշվումը երբեք զրոյից չի սկսվում։

Եթե ​​բնական թիվն ունի միայն մեկ թվանշան – մեկ նիշ, ապա այն կոչվում է միանշանակ.Նրանք. միանշանակբնական թիվ- բնական թիվ, որի գրառումը բաղկացած է մեկ նշանից – մեկ նիշ. Օրինակ՝ 1, 6, 8 թվերը միանիշ են։

երկնիշբնական թիվ- բնական թիվ, որի գրառումը բաղկացած է երկու նիշից՝ երկու նիշից։

Օրինակ՝ 12, 47, 24, 99 թվերը երկնիշ են։

Նաև, ըստ տրված թվի նիշերի քանակի, անունները տրվում են այլ թվերի.

326, 532, 893 համարներ - եռանիշ;

համարներ 1126, 4268, 9999 - քառանիշև այլն:

Երկու նիշ, եռանիշ, չորս նիշ, հինգ նիշ և այլն: թվերը կոչվում են բազմանիշ թվեր .

Բազմանիշ թվերը կարդալու համար դրանք աջից սկսած բաժանվում են երեք նիշանոց խմբերի (ձախ խումբը կարող է բաղկացած լինել մեկ կամ երկու թվանշանից)։ Այս խմբերը կոչվում են դասեր.

միլիոնավորհազար հազար է (1000 հազար), գրված է 1 միլիոն կամ 1.000.000։

միլիարդավորկազմում է 1000 մլն. Այն արձանագրվում է 1 միլիարդով կամ 1.000.000.000-ով։

Աջ կողմի առաջին երեք թվանշանները կազմում են միավորների դասը, հաջորդ երեքը՝ հազարների դասը, հետո կան միլիոնների, միլիարդների դասերը և այլն։ (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Միլիոնների դաս, հազարների դաս և միավորների դաս (ձախից աջ)

Բիթային ցանցում գրված է 15389000286 թիվը (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Թվային ցանց՝ թիվ 15 միլիարդ 389 միլիոն 286

Այս թիվը մեկ դասում ունի 286 միավոր, հազարավորների դասում՝ զրոյական, միլիոնների դասում՝ 389 և միլիարդների դասում՝ 15։

հինգերորդ դարում մ.թ.ա հին հույն փիլիսոփաԶենոն Էլեյացին ձևակերպել է իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիան է։ Ահա թե ինչպես է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն ​​կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « Քննարկումները ներկայումս շարունակվում են, գիտական ​​հանրությունը դեռ չի կարողացել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության մասին… մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, նոր ֆիզիկական և փիլիսոփայական մոտեցումներ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Ինչքան հասկացա կիրառման մաթեմատիկական ապարատը փոփոխական միավորներչափումը կամ դեռ մշակված չէ, կամ այն ​​չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա: Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից թվում է, որ ժամանակը դանդաղում է մինչև լրիվ կանգ առնում այն ​​պահին, երբ Աքիլեսը հասնում է կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը նախորդից տասն անգամ պակաս է։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից: մնալ հաստատուն միավորներժամանակի չափումներ և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով այն ունի հետևյալ տեսքը.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին անհրաժեշտ է հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ։ Հաջորդ ժամանակային միջակայքում, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետն անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն գտնվում է հանգստի վիճակում, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահին, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է։ Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ անհրաժեշտ է միաժամանակ երկու լուսանկար՝ արված տիեզերքի տարբեր կետերից, բայց դրանցից շարժման փաստը չես կարող որոշել (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի քեզ) . Ինչի վրա եմ ուզում կենտրոնանալ Հատուկ ուշադրություն, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք հետազոտության տարբեր հնարավորություններ են տալիս:

չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Շատ լավ է, որ տարբերությունները set-ի և multiset-ի միջև նկարագրված են Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտը չի կարող ունենալ երկու միանման տարր», բայց եթե հավաքածուում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»։ Խելամիտ էակները երբեք չեն հասկանա աբսուրդի նման տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների ու վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որում միտքը բացակայում է «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամրջի փորձարկումների ժամանակ նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե ​​կամուրջը փլուզվեց, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե ​​կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:

Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այստեղ մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար։ Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերի մեջ, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և տալիս մաթեմատիկոսին իր «մաթեմատիկական աշխատավարձի հավաքածուն»։ Մաթեմատիկան բացատրում ենք, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը։ Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Նախ կգործի պատգամավորների տրամաբանությունը՝ «դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև, կսկսվեն հավաստիացումները, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր թղթադրամների համարներ, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույնական տարրեր: Դե, մենք աշխատավարձը հաշվում ենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը խելագարորեն կհիշի ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմների դասավորությունը յուրաքանչյուր մետաղադրամի համար յուրահատուկ է…

Իսկ հիմա ես ամենաշատն ունեմ հետաքրքրություն Հարցրեքորտե՞ղ է այն սահմանը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտերը: Դաշտերի տարածքը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան է ստացվում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն միաժամանակ և՛ բազմախումբ է, և՛ բազմաբնույթ: Որքանո՞վ ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շալլերը իր թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մեկ հարցին՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց նրանք դրա համար շամաններ են, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան։

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որով կարելի է գտնել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը։ Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել տարրական կարգով:

Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք թվանշանների գումարը տրված համարը. Եվ այսպես, ենթադրենք ունենք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։

1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք թվային գրաֆիկական նշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։

3. Անհատական ​​գրաֆիկական նիշերը վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4. Գումարի՛ր ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:

12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք մենք գրում թիվը։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերհաշվի առնելով՝ նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ԻՑ մեծ թվով 12345 Ես չեմ ուզում գլուխս խաբել, հաշվի առեք 26 թիվը հոդվածի մասին: Այս թիվը գրենք երկուական, ութնյակային, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերում։ Մենք յուրաքանչյուր քայլ մանրադիտակի տակ չենք դիտարկելու, մենք դա արդեն արել ենք։ Եկեք նայենք արդյունքին:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նույնն է, որ դուք բոլորովին այլ արդյունքներ ստանաք ուղղանկյան մակերեսը մետրերով և սանտիմետրերով որոշելիս:

Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ . Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակվում այն, ինչը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից, ոչինչ գոյություն չունի: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար՝ ոչ։ Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե ​​նույն մեծության տարբեր չափման միավորներով նույն գործողությունները հանգեցնում են տարբեր արդյունքներդրանք համեմատելուց հետո, ուրեմն դա մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի արժեքից, օգտագործված չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։

Ստորագրեք դռան վրա Բացում է դուռը և ասում.

Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելիս հոգիների անորոշ սրբությունն ուսումնասիրելու համար: Նիմբուս վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական... Վերևում լուսապսակ և ներքև սլաքը արական է:

Եթե ​​դուք ունեք նման դիզայներական ստեղծագործություն, որը փայլում է ձեր աչքի առաջ օրը մի քանի անգամ,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ինքս ինձ վրա ջանք եմ գործադրում թուխ մարդու մեջ տեսնել մինուս չորս աստիճան (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կազմություն. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Իսկ այս աղջկան ես հիմար չեմ համարում, ով ֆիզիկա չգիտի։ Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման աղեղային կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները մեզ անընդհատ դա են սովորեցնում: Ահա մի օրինակ.

1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թափող մարդ» է կամ տասնվեցական թվային համակարգում «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։