Գծերի միջև անկյունը հաշվարկելու բանաձևը. Անկյուն գծերի միջև հարթության վրա

Թող տողերը տրվեն տարածության մեջ լԵվ մ. Տարածության A կետի միջով ուղիղ գծեր ենք գծում լ 1 || լԵվ մ 1 || մ(նկ. 138):

Նշենք, որ Ա կետը կարելի է ընտրել կամայականորեն, մասնավորապես, այն կարող է ընկած լինել տրված տողերից մեկի վրա։ Եթե ուղիղ լԵվ մհատվում են, ապա A-ն կարող է ընդունվել որպես այս ուղիղների հատման կետ ( լ 1 =լԵվ մ 1 = մ).

Անկյուն ոչ զուգահեռ գծերի միջև լԵվ մուղիղ գծերի հատման արդյունքում ձևավորված հարակից անկյուններից ամենափոքր արժեքն է լ 1 Եվ մ 1 (լ 1 || լ, մ 1 || մ): Զուգահեռ ուղիղների միջև անկյունը ենթադրվում է զրոյական:

Անկյուն գծերի միջև լԵվ մնշվում է $\widehat((l;m)) $: Սահմանումից հետևում է, որ եթե այն չափվում է աստիճաններով, ապա 0 ° < $\լայնհատ((l;m)) $ < 90°, իսկ եթե ռադիաններով, ապա 0 < $\լայնհատ((l;m)) $ < π / 2 .

Առաջադրանք.Տրված է ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդը (նկ. 139):

Գտեք անկյունը AB և DC 1 ուղիղ գծերի միջև:

Ուղիղ AB և DC 1 հատում. Քանի որ DC ուղիղը զուգահեռ է AB ուղղին, AB և DC 1 ուղիղների միջև անկյունը, ըստ սահմանման, հավասար է $\widehat(C_(1)DC)$:

Ուստի $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°:

Ուղղակի լԵվ մկանչեց ուղղահայաց, եթե $\widehat((l;m)) $ = π / 2. Օրինակ՝ խորանարդի մեջ

Գծերի միջև անկյան հաշվարկ.

Տիեզերքում երկու ուղիղ գծերի անկյունը հաշվարկելու խնդիրը լուծվում է այնպես, ինչպես հարթության մեջ։ Ֆ-ով նշեք գծերի միջև եղած անկյունը լ 1 Եվ լ 2, իսկ ψ-ի միջով - ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյունը բայց Եվ բ այս ուղիղ գծերը:

Ապա եթե

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (նկ. 206.6), ապա φ = 180° - ψ. Ակնհայտ է, որ երկու դեպքում էլ cos φ = |cos ψ| հավասարությունը ճիշտ է։ Ըստ բանաձևի (միջև անկյան կոսինուս ոչ զրոյական վեկտորներ a և b հավասար են կետային արտադրանքայս վեկտորներից բաժանված նրանց երկարությունների արտադրյալի վրա) ունենք

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

հետևաբար,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Թող տողերը տրվեն իրենց կանոնական հավասարումներով

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Եվ \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Այնուհետև գծերի միջև φ անկյունը որոշվում է բանաձևով

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Եթե ուղիղներից մեկը (կամ երկուսն էլ) տրված է ոչ կանոնական հավասարումներով, ապա անկյունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այս ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները, այնուհետև օգտագործել (1) բանաձևը։

Առաջադրանք 1.Հաշվեք տողերի միջև անկյունը

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;եւ\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորներն ունեն կոորդինատներ.

a \u003d (-√2; √2; -2), բ = (√3 ; √3 ; √6 ).

Բանաձևով (1) մենք գտնում ենք

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Հետևաբար, այս տողերի միջև անկյունը 60° է:

Առաջադրանք 2.Հաշվեք տողերի միջև անկյունը

$$ \սկիզբ(դեպքեր)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(դեպքեր) և \սկիզբ(դեպքեր)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\վերջ (դեպքեր) $$

Ուղղորդող վեկտորի հետևում բայց առաջին ուղիղ գիծը վերցնում ենք նորմալ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը n 1 = (3; 0; -12) և n 2 = (1; 1; -3) հարթություններ, որոնք սահմանում են այս գիծը: $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end (vmatrix) $ բանաձևով մենք ստանում ենք.

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Նմանապես, մենք գտնում ենք երկրորդ ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Բայց բանաձևը (1) հաշվարկում է ցանկալի անկյան կոսինուսը.

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Հետևաբար, այս գծերի միջև անկյունը 90° է:

Առաջադրանք 3.Եռանկյունաձև բուրգի MAVS-ում MA, MB և MC եզրերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են (նկ. 207);

դրանց երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են 4, 3, 6-ի: D կետը միջինն է [MA]: Գտեք φ անկյունը CA և DB տողերի միջև:

Թող SA և DB լինեն SA և DB գծերի ուղղության վեկտորները:

Որպես կոորդինատների սկզբնակետ ընդունենք M կետը։ Առաջադրանքի պայմանով մենք ունենք A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0): Հետևաբար $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3): Մենք օգտագործում ենք բանաձև (1).

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Համաձայն կոսինուսների աղյուսակի, մենք գտնում ենք, որ CA և DB ուղիղ գծերի միջև անկյունը մոտավորապես 72 ° է:

Հրահանգ

Նշում

Ժամանակաշրջան եռանկյունաչափական ֆունկցիաշոշափողը հավասար է 180 աստիճանի, ինչը նշանակում է, որ ուղիղ գծերի թեքության անկյունները մոդուլով չեն կարող գերազանցել այս արժեքը։

Օգտակար խորհուրդ

Եթե թեքության գործակիցները հավասար են միմյանց, ապա այդպիսի գծերի միջև անկյունը 0 է, քանի որ այդպիսի ուղիղները կամ համընկնում են, կամ զուգահեռ են։

Հատվող գծերի միջև անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու ուղիղները (կամ դրանցից մեկը) տեղափոխել նոր դիրք՝ խաչմերուկին զուգահեռ փոխանցման մեթոդով։ Դրանից հետո դուք պետք է գտնեք անկյունը ստացված հատվող գծերի միջև:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

Քանոն, ուղղանկյուն եռանկյուն, մատիտ, անկյունաչափ։

Հրահանգ

Այսպիսով, թողնենք V = (a, b, c) վեկտորը և A x + B y + C z = 0 հարթությունը, որտեղ A, B և C նորմալ N-ի կոորդինատներն են: Ապա անկյան կոսինուսը: α V և N վեկտորների միջև հետևյալն է՝ cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)):

Անկյունի արժեքը աստիճաններով կամ ռադիաններով հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունից հաշվարկել կոսինուսին հակադարձ ֆունկցիան, այսինքն. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))):

Օրինակ՝ գտնել ներարկումմիջեւ վեկտոր(5, -3, 8) և Ինքնաթիռ, տրված է ընդհանուր հավասարմամբ 2 x - 5 y + 3 z = 0 Լուծում. գրի՛ր N = (2, -5, 3) հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Փոխարինեք ամեն ինչ հայտնի արժեքներվերը նշված բանաձեւում՝ cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°:

Առնչվող տեսանյութեր

Ուղիղ գիծը, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, շոշափում է շրջանագծին: Շոշափողի մեկ այլ առանձնահատկությունն այն է, որ այն միշտ ուղղահայաց է շփման կետին գծված շառավղին, այսինքն՝ շոշափողն ու շառավիղը ուղիղ գիծ են կազմում։ ներարկում. Եթե A կետից գծված են AB և AC շրջանագծի երկու շոշափողներ, ապա դրանք միշտ հավասար են միմյանց: Շոշափողների միջև անկյան սահմանում ( ներարկում ABC) արտադրվում է Պյութագորասի թեորեմի միջոցով:

Հրահանգ

Անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ OB և OS շրջանագծի շառավիղը և շոշափողի մեկնարկային կետի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ O: Այսպիսով, ABO և ACO անկյունները հավասար են, OB շառավիղը, օրինակ՝ 10 սմ, իսկ AO շրջանագծի կենտրոնից հեռավորությունը 15 սմ է։ Որոշե՛ք շոշափողի երկարությունը բանաձևով՝ համաձայն Պյութագորասի թեորեմի՝ AB = Քառակուսի արմատ AO2 - OB2-ից կամ 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Այս նյութը նվիրված է այնպիսի հասկացությանը, ինչպիսին է երկու հատվող ուղիղ գծերի անկյունը: Առաջին պարբերությունում մենք կբացատրենք, թե ինչ է դա և ցույց կտանք նկարազարդումներով: Այնուհետև մենք կվերլուծենք, թե ինչպես կարող եք գտնել այս անկյան սինուսը, կոսինուսը և հենց անկյունը (մենք առանձին կքննարկենք հարթության և եռաչափ տարածության դեպքերը), կտանք անհրաժեշտ բանաձևերը և օրինակներով ցույց կտանք, թե ինչպես են դրանք ճշգրիտ կիրառվում: գործնականում.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է իրենից ներկայացնում երկու ուղիղների խաչմերուկում ձևավորված անկյունը, մենք պետք է հիշենք անկյան, ուղղահայացության և հատման կետի սահմանումը:

Սահմանում 1

Մենք կոչում ենք հատվող երկու ուղիղ, եթե նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ: Այս կետը կոչվում է երկու ուղիղների հատման կետ:

Յուրաքանչյուր ուղիղ հատման կետով բաժանվում է ճառագայթների: Այս դեպքում երկու տողերն էլ կազմում են 4 անկյուն, որոնցից երկուսը ուղղահայաց են, իսկ երկուսը՝ կից։ Եթե մենք գիտենք դրանցից մեկի չափը, ապա կարող ենք որոշել մնացած մյուսները։

Ասենք գիտենք, որ անկյուններից մեկը հավասար է α-ի։ Նման դեպքում նրա նկատմամբ ուղղահայաց անկյունը նույնպես հավասար կլինի α-ի։ Մնացած անկյունները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք տարբերությունը 180 ° - α : Եթե α-ն հավասար է 90 աստիճանի, ապա բոլոր անկյունները ճիշտ կլինեն։ Ուղիղ անկյան տակ հատվող ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց (առանձին հոդված նվիրված է ուղղահայացության հասկացությանը):

Նայեք նկարին.

Անցնենք հիմնական սահմանման ձևակերպմանը։

Սահմանում 2

Երկու հատվող գծերով կազմված անկյունը այս երկու ուղիղները կազմող 4 անկյուններից փոքրի չափն է։

Սահմանումից անհրաժեշտ է կատարել կարևոր եզրակացությունԱնկյունի չափն այս դեպքում արտահայտվելու է ցանկացածով իրական թիվ(0 , 90 ] ինտերվալում։ Եթե ուղիղները ուղղահայաց են, ապա նրանց միջև անկյունը ամեն դեպքում հավասար կլինի 90 աստիճանի։

Երկու հատվող ուղիղների միջև անկյան չափը գտնելու ունակությունը օգտակար է բազմաթիվ գործնական խնդիրների լուծման համար։ Լուծման մեթոդը կարելի է ընտրել մի քանի տարբերակներից.

Սկսելու համար մենք կարող ենք վերցնել երկրաչափական մեթոդներ: Եթե մենք ինչ-որ բան գիտենք լրացուցիչ անկյունների մասին, ապա մենք կարող ենք դրանք միացնել մեզ անհրաժեշտ անկյան հետ՝ օգտագործելով հավասար կամ նման ձևերի հատկությունները: Օրինակ, եթե գիտենք եռանկյան կողմերը և պետք է հաշվարկենք այն ուղիղների միջև եղած անկյունը, որոնց վրա գտնվում են այս կողմերը, ապա կոսինուսի թեորեմը հարմար է լուծելու համար։ Եթե պայմանում ունենք ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա հաշվարկների համար մեզ անհրաժեշտ կլինի իմանալ նաև անկյան սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը։

Կոորդինատային մեթոդը նույնպես շատ հարմար է այս տեսակի խնդիրների լուծման համար։ Եկեք բացատրենք, թե ինչպես օգտագործել այն ճիշտ:

Ունենք ուղղանկյուն (կարտեզյան) կոորդինատային համակարգ O x y երկու ուղիղ գծերով։ Նշենք դրանք a և b տառերով։ Այս դեպքում ուղիղ գծերը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով ցանկացած հավասարումներ: Բնօրինակ գծերն ունեն M հատման կետ: Ինչպե՞ս որոշել այս տողերի միջև ցանկալի անկյունը (նշենք այն α):

Սկսենք տրված պայմաններում անկյուն գտնելու հիմնական սկզբունքի ձևակերպումից։

Մենք գիտենք, որ ուղղորդող և նորմալ վեկտոր հասկացությունները սերտորեն կապված են ուղիղ գիծ հասկացության հետ: Եթե մենք ունենք ինչ-որ ուղիղ գծի հավասարում, կարող ենք դրանից վերցնել այս վեկտորների կոորդինատները: Մենք կարող ենք դա անել միանգամից երկու հատվող գծերի համար:

Երկու հատվող գծերով ձևավորված անկյունը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով.

ուղղության վեկտորների միջև անկյուն;
նորմալ վեկտորների միջև անկյուն;
մի գծի նորմալ վեկտորի և մյուսի ուղղության վեկտորի միջև ընկած անկյունը:

Այժմ եկեք նայենք յուրաքանչյուր մեթոդին առանձին:

1. Ենթադրենք, մենք ունենք a ուղիղ վեկտոր a → = (a x , a y) և b ուղղություն՝ b → (b x, b y) վեկտորով: Այժմ հատման կետից առանձնացնենք a → և b → երկու վեկտորներ։ Դրանից հետո մենք կտեսնենք, որ նրանցից յուրաքանչյուրը կտեղակայվի իր գծում։ Ապա մենք ունենք չորս տարբերակ նրանց համար հարաբերական դիրք. Տես նկարազարդումը.

Եթե երկու վեկտորների միջև անկյունը բութ չէ, ապա դա կլինի մեզ անհրաժեշտ անկյունը a և b հատվող ուղիղների միջև։ Եթե այն բութ է, ապա ցանկալի անկյունը հավասար կլինի a → , b → ^ անկյան հարակից անկյունին։ Այսպիսով, α = a → , b → ^ եթե a → , b → ^ ≤ 90 ° , և α = 180 ° - a → , b → ^, եթե a → , b → ^ > 90 °:

Ելնելով այն հանգամանքից, որ հավասար անկյունների կոսինուսները հավասար են, ստացված հավասարությունները կարող ենք վերաշարադրել հետևյալ կերպ. cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^ եթե a →, b → ^ > 90 °:

Երկրորդ դեպքում օգտագործվել են կրճատման բանաձեւեր. Այս կերպ,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Բառերով գրենք վերջին բանաձևը.

Սահմանում 3

Երկու հատվող ուղիղներով ձևավորված անկյան կոսինուսը հավասար կլինի ուղղության վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի մոդուլին։

Երկու վեկտորների միջև a → = (a x, a y) և b → = (b x, b y) անկյան կոսինուսի բանաձևի ընդհանուր ձևը հետևյալն է.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Դրանից մենք կարող ենք դուրս բերել երկու տրված ուղիղների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Այնուհետև անկյունն ինքնին կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Այստեղ a → = (a x , a y) և b → = (b x, b y) տրված տողերի ուղղության վեկտորներն են։

Բերենք խնդրի լուծման օրինակ.

Օրինակ 1

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված են երկու հատվող ուղիղներ a և b։ Դրանք կարելի է նկարագրել x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R և x 5 = y - 6 - 3 պարամետրային հավասարումներով: Հաշվե՛ք այս տողերի միջև եղած անկյունը։

Լուծում

Պայմանում ունենք պարամետրային հավասարում, ինչը նշանակում է, որ այս ուղիղ գծի համար մենք կարող ենք անմիջապես գրել նրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները։ Դա անելու համար մենք պետք է վերցնենք գործակիցների արժեքները պարամետրում, այսինքն. x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ուղիղը կունենա a → = (4 , 1) ուղղության վեկտոր:

Երկրորդ ուղիղ գիծը նկարագրված է x 5 = y - 6 - 3 կանոնական հավասարման միջոցով: Այստեղ մենք կարող ենք կոորդինատները վերցնել հայտարարներից։ Այսպիսով, այս ուղիղը ունի ուղղության վեկտոր b → = (5 , - 3) .

Հաջորդը, մենք ուղղակիորեն անցնում ենք անկյունը գտնելուն: Դա անելու համար պարզապես երկու վեկտորների առկա կոորդինատները փոխարինեք վերը նշված α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 բանաձեւով: Մենք ստանում ենք հետևյալը.

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

ՊատասխանելԱյս տողերը կազմում են 45 աստիճանի անկյուն:

Մենք կարող ենք լուծել նմանատիպ խնդիր՝ գտնելով նորմալ վեկտորների միջև եղած անկյունը։ Եթե մենք ունենք a ուղիղ na → = (nax , nay) և նորմալ վեկտորով b ուղիղ nb → = (nbx, nby), ապա նրանց միջև անկյունը հավասար կլինի na → և անկյան միջև: nb → կամ անկյունը, որը կից կլինի na →, nb → ^: Այս մեթոդը ներկայացված է նկարում.

Հատվող գծերի և հենց այս անկյան միջև անկյան կոսինուսը հաշվարկելու բանաձևերը՝ օգտագործելով նորմալ վեկտորների կոորդինատները, այսպիսին են.

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Այստեղ n a → և n b → նշանակում են երկու տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները:

Օրինակ 2

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված են երկու ուղիղներ՝ օգտագործելով 3 x + 5 y - 30 = 0 և x + 4 y - 17 = 0 հավասարումները: Գտե՛ք նրանց միջև անկյան սինուսը, կոսինուսը և հենց այդ անկյան մեծությունը:

Լուծում

Բնօրինակ ուղիղ գծերը տրված են A x + B y + C = 0 ձևի սովորական ուղիղ հավասարումների միջոցով: Նշեք նորմալ վեկտորը n → = (A , B) . Գտնենք մեկ ուղիղ գծի առաջին նորմալ վեկտորի կոորդինատները և գրենք՝ n a → = (3 , 5) : Երկրորդ տողի համար x + 4 y - 17 = 0 նորմալ վեկտորը կունենա կոորդինատներ n b → = (1 , 4) : Այժմ ստացված արժեքները ավելացրեք բանաձևին և հաշվարկեք ընդհանուրը.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Եթե մենք գիտենք անկյան կոսինուսը, ապա կարող ենք հաշվարկել նրա սինուսը՝ օգտագործելով հիմնականը եռանկյունաչափական ինքնություն. Քանի որ ուղիղ գծերով ձևավորված α անկյունը բութ չէ, ապա sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34:

Այս դեպքում α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34:

Պատասխան՝ cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Վերլուծենք վերջին դեպքը՝ գտնելով ուղիղների միջև անկյունը, եթե գիտենք մի ուղիղի ուղղության վեկտորի և մյուսի նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Ենթադրենք, որ a ուղիղը ունի ուղղության վեկտոր a → = (a x , a y) , իսկ b ուղիղը ունի նորմալ վեկտոր n b → = (n b x , n b y) : Մենք պետք է հետաձգենք այս վեկտորները հատման կետից և դիտարկենք բոլոր տարբերակները դրանց հարաբերական դիրքի համար: Տես նկարը.

Եթե տրված վեկտորների միջև անկյունը 90 աստիճանից ոչ ավելի է, ապա ստացվում է, որ այն կլրացնի a-ի և b-ի միջև ուղիղ անկյունը։

a →, n b → ^ = 90 ° - α, եթե a →, n b → ^ ≤ 90 °:

Եթե այն 90 աստիճանից պակաս է, ապա մենք ստանում ենք հետևյալը.

a → , n b → ^ > 90 ° , ապա a → , n b → ^ = 90 ° + α

Օգտագործելով հավասար անկյունների կոսինուսների հավասարության կանոնը՝ գրում ենք.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = մեղք α a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .

Այս կերպ,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Եզրակացություն ձեւակերպենք.

Սահմանում 4

Հարթության մեջ հատվող երկու ուղիղների միջև անկյան սինուսը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել առաջին գծի ուղղության վեկտորի և երկրորդի նորմալ վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի մոդուլը:

Գրենք անհրաժեշտ բանաձեւերը. Գտնելով անկյան սինուսը.

sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ինքնին անկյուն գտնելը.

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Այստեղ a → առաջին տողի ուղղության վեկտորն է, իսկ n b → երկրորդի նորմալ վեկտորը։

Օրինակ 3

Երկու հատվող ուղիղներ տրված են x - 5 = y - 6 3 և x + 4 y - 17 = 0 հավասարումներով։ Գտեք հատման անկյունը:

Լուծում

Տրված հավասարումներից վերցնում ենք ուղղորդող և նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Ստացվում է a → = (- 5, 3) և n → b = (1, 4): Մենք վերցնում ենք α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 բանաձևը և համարում.

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Նկատի ունեցեք, որ մենք վերցրել ենք նախորդ խնդրի հավասարումները և ստացել ենք ճիշտ նույն արդյունքը, բայց այլ կերպ։

Պատասխան.α = a r c sin 7 2 34

Ահա ևս մեկ միջոց՝ գտնելու ցանկալի անկյունը՝ օգտագործելով տրված գծերի թեքության գործակիցները։

Մենք ունենք a ուղիղ, որը սահմանվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ օգտագործելով y = k 1 · x + b 1 հավասարումը, և b տող, որը սահմանվում է որպես y = k 2 · x + b 2: Սրանք թեքությամբ գծերի հավասարումներ են։ Խաչմերուկի անկյունը գտնելու համար օգտագործեք բանաձևը.

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , որտեղ k 1 և k 2 են թեքության գործոններտրված տողերը. Այս գրառումը ստանալու համար օգտագործվել են նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով անկյունը որոշելու բանաձևեր։

Օրինակ 4

Հարթության մեջ հատվում են երկու ուղիղ, տրված է հավասարումներով y = - 3 5 x + 6 և y = - 1 4 x + 17 4: Հաշվի՛ր հատման անկյունը։

Լուծում

Մեր գծերի թեքությունները հավասար են k 1 = - 3 5 և k 2 = - 1 4: Եկեք դրանք գումարենք α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 բանաձևին և հաշվարկենք.

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Պատասխան.α = a r c cos 23 2 34

Այս պարբերության եզրակացություններում հարկ է նշել, որ այստեղ տրված անկյունը գտնելու բանաձևերը պետք չէ անգիր սովորել: Դրա համար բավական է իմանալ տվյալ գծերի ուղեցույցների և/կամ նորմալ վեկտորների կոորդինատները և կարողանալ դրանք որոշել տարբեր տեսակներհավասարումներ։ Բայց անկյան կոսինուսի հաշվարկման բանաձևերը ավելի լավ է հիշել կամ գրել:

Ինչպես հաշվարկել տարածության մեջ հատվող գծերի անկյունը

Նման անկյան հաշվարկը կարող է կրճատվել ուղղության վեկտորների կոորդինատների հաշվարկով և այդ վեկտորների կողմից ձևավորված անկյան մեծության որոշմամբ։ Նման օրինակների համար մենք օգտագործում ենք նույն պատճառաբանությունը, որը տվել ենք նախկինում։

Ենթադրենք, մենք ունենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որը գտնվում է 3D տարածության մեջ: Այն պարունակում է երկու տող a և b՝ M հատման կետով: Ուղղության վեկտորների կոորդինատները հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք այս ուղիղների հավասարումները։ Նշեք a → = (a x, a y, a z) և b → = (b x, b y, b z) ուղղության վեկտորները: Նրանց միջև անկյան կոսինուսը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

cos α = cos a → , b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Անկյունն ինքնին գտնելու համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ բանաձևը.

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Օրինակ 5

Մենք ունենք ուղիղ գիծ, որը սահմանված է 3D տարածության մեջ՝ օգտագործելով x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 հավասարումը: Հայտնի է, որ այն հատվում է O z առանցքի հետ։ Հաշվի՛ր հատման անկյունը և այդ անկյան կոսինուսը:

Լուծում

Հաշվարկվող անկյունը նշանակենք α տառով։ Գրենք ուղղության վեկտորի կոորդինատները առաջին ուղիղ գծի համար՝ a → = (1 , - 3 , - 2) ։ Կիրառական առանցքի համար մենք կարող ենք որպես ուղեցույց վերցնել կոորդինատային վեկտորը k → = (0 , 0 , 1): Մենք ստացել ենք անհրաժեշտ տվյալները և կարող ենք դրանք ավելացնել ցանկալի բանաձևին.

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Արդյունքում մենք ստացանք, որ մեզ անհրաժեշտ անկյունը հավասար կլինի a r c cos 1 2 = 45 °:

Պատասխան. cos α = 1 2, α = 45 °:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվող յուրաքանչյուր ուսանողի օգտակար կլինի կրկնել «Գծերի միջև անկյունը գտնելը» թեման։ Ինչպես ցույց է տալիս վիճակագրությունը, սերտիֆիկացման թեստ անցնելիս ստերեոմետրիայի այս բաժնի առաջադրանքները դժվարություններ են առաջացնում մեծ թվովուսանողները. Միևնույն ժամանակ, առաջադրանքները, որոնք պահանջում են ուղիղ գծերի միջև անկյուն գտնելը, հայտնաբերվել են USE-ում և՛ հիմնական, և՛ պրոֆիլային մակարդակներում: Սա նշանակում է, որ բոլորը պետք է կարողանան լուծել դրանք։

Հիմնական պահեր

Տիեզերքում գծերի փոխադարձ դասավորության 4 տեսակ կա. Նրանք կարող են համընկնել, հատվել, լինել զուգահեռ կամ հատվող: Նրանց միջեւ անկյունը կարող է լինել սուր կամ ուղիղ:

Միասնական պետական քննության կամ, օրինակ, լուծման մեջ գծերի միջև անկյունը գտնելու համար Մոսկվայի և այլ քաղաքների դպրոցականները կարող են օգտագործել ստերեոմետրիայի այս բաժնում խնդիրների լուծման մի քանի մեթոդներ: Առաջադրանքը կարող եք կատարել դասական կոնստրուկցիաներով։ Դա անելու համար արժե սովորել ստերեոմետրիայի հիմնական աքսիոմներն ու թեորեմները։ Աշակերտը պետք է կարողանա տրամաբանորեն կառուցել հիմնավորում և գծագրեր ստեղծել՝ առաջադրանքը պլանաչափական խնդրին հասցնելու համար:

Կարող եք նաև օգտագործել վեկտոր-կոորդինատ մեթոդը՝ օգտագործելով պարզ բանաձևեր, կանոններ և ալգորիթմներ։ Հիմնական բանը այս դեպքում բոլոր հաշվարկները ճիշտ կատարելն է: Այն կօգնի ձեզ կատարելագործել ձեր հմտությունները ստերեոմետրիայի և դպրոցական դասընթացի այլ բաժինների խնդիրների լուծման գործում: ուսումնական նախագիծ«Շկոլկովո».

բայց. Թող տրվի երկու տող:Այս տողերը, ինչպես նշված է 1-ին գլխում, կազմում են տարբեր դրական և բացասական անկյուններ, որոնք այս դեպքում կարող են լինել և՛ սուր, և՛ բութ: Իմանալով այս անկյուններից մեկը՝ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել ցանկացած մյուսը:

Ի դեպ, այս բոլոր անկյունների համար շոշափողի թվային արժեքը նույնն է, տարբերությունը կարող է լինել միայն նշանի մեջ.

Գծերի հավասարումներ. Թվերը առաջին և երկրորդ տողերի ուղղորդող վեկտորների պրոյեկցիաներն են։Այս վեկտորների միջև անկյունը հավասար է ուղիղ գծերով կազմված անկյուններից մեկին։ Հետևաբար, խնդիրը կրճատվում է վեկտորների միջև անկյունը որոշելով, մենք ստանում ենք

Պարզության համար մենք կարող ենք պայմանավորվել երկու ուղիղ գծերի միջև անկյան շուրջ, որպեսզի հասկանանք սուր դրական անկյունը (ինչպես, օրինակ, Նկար 53-ում):

Այդ դեպքում այս անկյան շոշափողը միշտ դրական կլինի: Այսպիսով, եթե (1) բանաձևի աջ կողմում մինուս նշան է ստացվում, ապա մենք պետք է այն դեն նետենք, այսինքն՝ պահպանենք միայն բացարձակ արժեքը։

Օրինակ. Որոշեք գծերի միջև եղած անկյունը

Բանաձևով (1) ունենք

-ից Եթե նշված է, թե անկյան կողմերից որն է նրա սկիզբը, իսկ որը՝ վերջը, ապա, անկյան ուղղությունը միշտ հաշվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, կարող ենք (1) բանաձևերից ավելին հանել։ Ինչպես հեշտ է տեսնել Նկ. 53 (1) բանաձևի աջ կողմում ստացված նշանը ցույց կտա, թե որ մեկը՝ սուր կամ բութ, անկյունն առաջինի հետ կազմում է երկրորդ գիծը։

(Իրոք, Նկար 53-ից մենք տեսնում ենք, որ առաջին և երկրորդ ուղղության վեկտորների միջև անկյունը կամ հավասար է գծերի միջև եղած ցանկալի անկյունին, կամ տարբերվում է դրանից ±180°-ով):

դ. Եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա դրանց ուղղորդող վեկտորները նույնպես զուգահեռ են։Կիրառելով երկու վեկտորների զուգահեռության պայմանը՝ ստանում ենք.

Սա անհրաժեշտ և բավարար պայման է երկու ուղիղների զուգահեռ լինելու համար։

Օրինակ. Ուղղակի

զուգահեռ են, քանի որ

ե. Եթե ուղիղները ուղղահայաց են, ապա դրանց ուղղության վեկտորները նույնպես ուղղահայաց են։ Կիրառելով երկու վեկտորների ուղղահայացության պայմանը, մենք ստանում ենք երկու ուղիղների ուղղահայացության պայմանը, այն է.

Օրինակ. Ուղղակի

ուղղահայաց, քանի որ

Զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանների հետ կապված կլուծենք հետևյալ երկու խնդիրները.

զ. Կետով գծի՛ր տրված ուղիղին զուգահեռ ուղիղ

Որոշումն ընդունված է այսպես. Քանի որ ցանկալի ուղիղը զուգահեռ է տրվածին, ապա նրա ուղղորդող վեկտորի համար կարող ենք վերցնել նույնը, ինչ տվյալ ուղղին, այսինքն՝ A և B պրոյեկցիաներով վեկտորը: Եվ այնուհետև կգրվի ցանկալի գծի հավասարումը: ձևով (§ 1)

Օրինակ. Ուղիղ գծին զուգահեռ (1; 3) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

կլինի հաջորդը!

է. Տրված ուղղին ուղղահայաց կետի միջով ուղիղ գծի՛ր

Այստեղ այլևս հարմար չէ վեկտոր վերցնել A պրոյեկցիաներով և որպես ուղղորդող վեկտոր, բայց անհրաժեշտ է շահել դրան ուղղահայաց վեկտոր: Այսպիսով, այս վեկտորի կանխատեսումները պետք է ընտրվեն ըստ պայմանի, որ երկու վեկտորներն էլ ուղղահայաց լինեն, այսինքն՝ ըստ պայմանի.

Այս պայմանը կարող է կատարվել անսահման թվով ձևերով, քանի որ այստեղ կա մեկ հավասարում երկու անհայտով: Բայց ամենահեշտ ձևը դա վերցնելն է: Այնուհետև ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը կգրվի ձևով.

Օրինակ. Ուղղահայաց (-7; 2) կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

կլինի հետևյալը (ըստ երկրորդ բանաձևի).

հ. Այն դեպքում, երբ տողերը տրված են ձևի հավասարումներով