Վեկտորների միջև կոսինուսը գտնելու բանաձևը. Վեկտորների կետային արտադրյալ

Հրահանգ

Թող հարթության վրա տրված են երկու ոչ զրոյական վեկտորներ՝ գծագրված մեկ կետից՝ A վեկտորը կոորդինատներով (x1, y1) B կոորդինատներով (x2, y2): Ներարկումնրանց միջև նշվում է θ. θ անկյան աստիճանի չափումը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել սկալյար արտադրյալի սահմանումը:

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը մի թիվ է, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին, այսինքն՝ (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Այժմ դուք պետք է արտահայտեք անկյան կոսինուսը սրանից՝ cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|):

Սկալյար արտադրյալը կարելի է գտնել նաև օգտագործելով (A,B)=x1*x2+y1*y2 բանաձևը, քանի որ երկուսի արտադրյալը ոչ զրոյական վեկտորներհավասար է համապատասխան վեկտորների արտադրյալների գումարին։ Եթե ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի, ապա վեկտորները ուղղահայաց են (նրանց միջև անկյունը 90 աստիճան է) և հետագա հաշվարկները կարելի է բաց թողնել։ Եթե երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը դրական է, ապա դրանց միջև եղած անկյունը վեկտորներսուր, իսկ եթե բացասական է, ապա անկյունը բութ է:

Այժմ հաշվարկեք A և B վեկտորների երկարությունները՝ օգտագործելով բանաձևերը՝ |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²): Վեկտորի երկարությունը հաշվարկվում է որպես Քառակուսի արմատիր կոորդինատների քառակուսիների գումարից։

Փոխարինեք սկալյար արտադրյալի և վեկտորների երկարությունների արժեքները 2-րդ քայլում ստացված անկյան բանաձևի մեջ, այսինքն՝ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+): y1²)+√(x2²+y2²)): Այժմ, իմանալով արժեքը, գտնել անկյան աստիճանի չափումը վեկտորներդուք պետք է օգտագործեք Bradis աղյուսակը կամ վերցնեք դրանից՝ θ=arccos(cos(θ)):

Եթե A և B վեկտորները տրված են եռաչափ տարածության մեջ և ունեն համապատասխանաբար (x1, y1, z1) և (x2, y2, z2) կոորդինատներ, ապա անկյան կոսինուսը գտնելիս ավելացվում է ևս մեկ կոորդինատ։ Այս դեպքում կոսինուս՝ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)):

Օգտակար խորհուրդ

Եթե երկու վեկտորներ չեն գծագրվում մեկ կետից, ապա զուգահեռ թարգմանությամբ նրանց միջև եղած անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ է միավորել այդ վեկտորների սկիզբները:
Երկու վեկտորների միջև անկյունը չի կարող լինել 180 աստիճանից մեծ։

Աղբյուրներ:

Ինչպես հաշվարկել անկյունը վեկտորների միջև
Անկյուն գծի և հարթության միջև

Ֆիզիկայի և գծային հանրահաշվի թե՛ կիրառական, թե՛ տեսական բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը։ Այս պարզ թվացող խնդիրը կարող է շատ դժվարություններ առաջացնել, եթե դուք հստակ չեք հասկանում սկալյար արտադրանքի էությունը և ինչ արժեք է հայտնվում այս արտադրանքի արդյունքում:

Հրահանգ

Գծային վեկտորային տարածության մեջ վեկտորների միջև անկյունը նվազագույն անկյունն է , որի դեպքում ձեռք է բերվում վեկտորների համատեղ ուղղությունը: Վեկտորներից մեկը տեղափոխվում է իր սկզբնակետի շուրջ: Սահմանումից ակնհայտ է դառնում, որ անկյան արժեքը չի կարող գերազանցել 180 աստիճանը (տես քայլը)։

Այս դեպքում միանգամայն ճիշտ է ենթադրվում, որ գծային տարածության մեջ, երբ վեկտորները փոխանցվում են զուգահեռ, նրանց միջև անկյունը չի փոխվում։ Հետեւաբար, անկյան անալիտիկ հաշվարկի համար վեկտորների տարածական կողմնորոշումը նշանակություն չունի։

Կետային արդյունքի արդյունքը թիվ է, հակառակ դեպքում՝ սկալյար։ Հիշեք (սա կարևոր է իմանալ) հետագա հաշվարկներում սխալները կանխելու համար: Սկալյար արտադրյալի բանաձևը, որը գտնվում է հարթության վրա կամ վեկտորների տարածության մեջ, ունի ձևը (տես քայլի նկարը):

Եթե վեկտորները գտնվում են տարածության մեջ, ապա հաշվարկը կատարեք նույն կերպ։ Միակ բանը կլինի ժամկետի հայտնվելը դիվիդենտում. սա հայտի ժամկետն է, այսինքն. վեկտորի երրորդ բաղադրիչը. Համապատասխանաբար, վեկտորների մոդուլը հաշվարկելիս պետք է հաշվի առնել նաև z բաղադրիչը, այնուհետև տարածության մեջ գտնվող վեկտորների համար վերջին արտահայտությունը փոխակերպվում է հետևյալ կերպ (տես քայլի նկար 6-ը):

Վեկտորը տրված ուղղությամբ ուղիղ հատված է: Վեկտորների միջև անկյունն ունի ֆիզիկական իմաստ, օրինակ՝ առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի երկարությունը գտնելիս։

Հրահանգ

Անկյուն երկու ոչ զրոյական վեկտորների միջև՝ օգտագործելով կետային արդյունքի հաշվարկը: Ըստ սահմանման՝ արտադրյալը հավասար է երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյան արտադրյալին։ Մյուս կողմից, (x1; y1) և b կոորդինատներով (x2; y2) կոորդինատներով երկու վեկտորների ներքին արտադրյալը հաշվարկվում է՝ ab = x1x2 + y1y2: Այս երկու եղանակներից կետային արդյունքը հեշտ է անկյունավորել վեկտորների միջև:

Գտեք վեկտորների երկարությունները կամ մոդուլները: Մեր a և b վեկտորների համար՝ |a| = (x1² + y1²)^1/2, |բ| = (x2² + y2²)^1/2.

Գտե՛ք վեկտորների ներքին արտադրյալը՝ բազմապատկելով նրանց կոորդինատները զույգերով՝ ab = x1x2 + y1y2: Կետային արտադրյալի սահմանումից ab = |a|*|b|*cos α, որտեղ α-ն վեկտորների միջև եղած անկյունն է: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α: Այնուհետև cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2:

Գտե՛ք α անկյունը՝ օգտագործելով Բրեդիս աղյուսակները:

Առնչվող տեսանյութեր

Նշում

Սկալյար արտադրյալը վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան սկալյար բնութագրիչն է:

Հարթությունը երկրաչափության հիմնական հասկացություններից մեկն է։ Հարթությունը մակերես է, որի համար հայտարարությունը ճշմարիտ է. ցանկացած ուղիղ գիծ, որը կապում է դրա երկու կետերը, ամբողջությամբ պատկանում է այս մակերեսին: Ինքնաթիռները նշանակված են Հունարեն տառերα, β, γ և այլն: Երկու հարթություններ միշտ հատվում են ուղիղ գծով, որը պատկանում է երկու հարթություններին:

Հրահանգ

Դիտարկենք α և β-ի խաչմերուկում գոյացած կիսահավասարությունները: Անկյուն, որը ձևավորվում է a ուղիղ գծով, իսկ α և β երկու կիսաանվտանգավոր անկյան տակ: Այս դեպքում երեսներով երկանկյուն անկյուն կազմող կիսահարթությունները, a ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են, կոչվում է եզր։ dihedral անկյուն.

Երկկողմանի անկյունը, ինչպես հարթ անկյունը, աստիճաններով: Երկկողմանի անկյուն կազմելու համար անհրաժեշտ է նրա երեսի վրա ընտրել կամայական O կետ, երկուսում էլ O կետով գծված են երկու a ճառագայթներ։ Ստացված AOB անկյունը կոչվում է երկփեղկ անկյան գծային անկյուն a.

Այսպիսով, թողնենք V = (a, b, c) վեկտորը և A x + B y + C z = 0 հարթությունը, որտեղ A, B և C նորմալ N-ի կոորդինատներն են: Ապա անկյան կոսինուսը: α V և N վեկտորների միջև հետևյալն է՝ cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)):

Անկյունը աստիճաններով կամ ռադիաններով հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունից հաշվարկել կոսինուսի հակադարձ ֆունկցիան, այսինքն. arccosine. α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))):

Օրինակ՝ գտնել ներարկումմիջեւ վեկտոր(5, -3, 8) և Ինքնաթիռ, տրված է ընդհանուր հավասարմամբ 2 x - 5 y + 3 z = 0 Լուծում. գրի՛ր N = (2, -5, 3) հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Փոխարինեք ամեն ինչ հայտնի արժեքներվերը նշված բանաձեւում՝ cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°:

Առնչվող տեսանյութեր

Գրի՛ր հավասարում և դրանից առանձնացրո՛ւ կոսինուսը: Ըստ մեկ բանաձևի՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է նրանց երկարություններին, որոնք բազմապատկվում են միմյանցով և կոսինուսով. անկյուն, իսկ մյուս կողմից՝ առանցքներից յուրաքանչյուրի երկայնքով կոորդինատների արտադրյալների գումարը։ Հավասարեցնելով երկու բանաձևերը՝ կարող ենք եզրակացնել, որ կոսինուսը անկյունպետք է հավասար լինի կոորդինատների արտադրյալների գումարի և վեկտորների երկարությունների արտադրյալի հարաբերությանը։

Գրի՛ր ստացված հավասարումը։ Դա անելու համար մենք պետք է նշանակենք երկու վեկտորները: Ենթադրենք, դրանք տրված են 3D դեկարտյան համակարգով, և դրանց ելակետերը գտնվում են ցանցի մեջ: Առաջին վեկտորի ուղղությունը և մեծությունը կտրվի (X1,Y1,Z1) կետով, երկրորդը՝ (X2,Y2,Z2), իսկ անկյունը կնշանակվի γ տառով։ Այնուհետև վեկտորներից յուրաքանչյուրի երկարությունները կարող են լինել, օրինակ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, որը ձևավորվում է կոորդինատներից յուրաքանչյուրի վրա դրանց կանխատեսումներով. Փոխարինեք այս արտահայտությունները նախորդ քայլում ձևակերպված բանաձևով և կստանաք հավասարություն՝ cos(γ) = (X₁*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2) / (√(X12 + Y12 + Z1²) * √(X₂² + Y₂² + Z2² )):

Օգտագործեք այն փաստը, որ քառակուսու գումարը սինուսեւ համ սինուս-ից անկյունմեկ արժեքը միշտ տալիս է մեկին: Հետևաբար, նախորդ քայլում ձեռք բերվածը բարձրացնելով կո սինուսքառակուսի և հանել միասնությունից, իսկ հետո

Երկրաչափություն ուսումնասիրելիս շատ հարցեր են առաջանում վեկտորների թեմայով։ Աշակերտը առանձնահատուկ դժվարություններ է ունենում, երբ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորների միջև եղած անկյունները:

Հիմնական տերմիններ

Նախքան վեկտորների միջև անկյունները դիտարկելը, անհրաժեշտ է ծանոթանալ վեկտորի սահմանմանը և վեկտորների միջև անկյան հասկացությանը:

Վեկտորը այն հատվածն է, որն ունի ուղղություն, այսինքն՝ հատված, որի համար սահմանված են նրա սկիզբն ու վերջը։

Ընդհանուր ծագում ունեցող հարթության վրա երկու վեկտորների միջև անկյունն այն անկյուններից փոքրն է, որով պահանջվում է վեկտորներից մեկը տեղափոխել ընդհանուր կետի շուրջը մի դիրք, որտեղ նրանց ուղղությունները համընկնում են:

Լուծման բանաձև

Երբ հասկանաք, թե ինչ է վեկտորը և ինչպես է որոշվում նրա անկյունը, կարող եք հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը: Սրա լուծման բանաձևը բավականին պարզ է, և դրա կիրառման արդյունքը կլինի անկյան կոսինուսի արժեքը: Ըստ սահմանման՝ այն հավասար է վեկտորների սկալյար արտադրյալի և դրանց երկարությունների արտադրյալի գործակցին։

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը դիտվում է որպես բազմապատկիչ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարը՝ միմյանցով բազմապատկված։ Վեկտորի երկարությունը կամ նրա մոդուլը հաշվարկվում է որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ:

Ստանալով անկյան կոսինուսի արժեքը, դուք կարող եք հաշվարկել հենց անկյան արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ կամ օգտագործելով եռանկյունաչափական աղյուսակ.

Օրինակ

Այն բանից հետո, երբ դուք պարզում եք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վեկտորների միջև անկյունը, համապատասխան խնդրի լուծումը դառնում է պարզ և պարզ: Որպես օրինակ՝ դիտարկենք անկյան մեծությունը գտնելու պարզ խնդիրը:

Առաջին հերթին, ավելի հարմար կլինի հաշվարկել վեկտորների երկարությունների և դրանց լուծման համար անհրաժեշտ սկալյար արտադրյալի արժեքները: Օգտագործելով վերը նշված նկարագրությունը, մենք ստանում ենք.

Ստացված արժեքները փոխարինելով բանաձևով, մենք հաշվարկում ենք ցանկալի անկյան կոսինուսի արժեքը.

Այս թիվը հինգ ընդհանուր կոսինուսի արժեքներից չէ, ուստի անկյան արժեքը ստանալու համար դուք պետք է օգտագործեք հաշվիչ կամ Բրադիսի եռանկյունաչափական աղյուսակը: Բայց նախքան վեկտորների միջև անկյունը ստանալը, բանաձևը կարելի է պարզեցնել՝ լրացուցիչ բացասական նշանից ազատվելու համար.

Վերջնական պատասխանը կարելի է թողնել այս ձևով՝ ճշգրտությունը պահպանելու համար, կամ կարող եք հաշվարկել անկյան արժեքը աստիճաններով: Ըստ Bradis աղյուսակի՝ դրա արժեքը կլինի մոտավորապես 116 աստիճան 70 րոպե, իսկ հաշվիչը ցույց կտա 116,57 աստիճան արժեքը։

Անկյունի հաշվարկ n-չափ տարածությունում

Եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտոր դիտարկելիս շատ ավելի դժվար է հասկանալ, թե որ անկյան մասին է խոսքը, եթե դրանք նույն հարթության մեջ չեն: Ընկալումը պարզեցնելու համար դուք կարող եք նկարել երկու հատվող հատվածներ, որոնք կազմում են նրանց միջև ամենափոքր անկյունը, և դա կլինի ցանկալիը: Չնայած վեկտորում երրորդ կոորդինատի առկայությանը, վեկտորների միջև անկյունների հաշվարկման գործընթացը չի փոխվի: Հաշվեք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և մոդուլները, դրանց գործակիցի արկկոսինը և կլինի այս խնդրի պատասխանը:

Երկրաչափության մեջ հաճախ խնդիրներ են առաջանում երեքից ավելի հարթություններ ունեցող տարածությունների հետ: Բայց նրանց համար պատասխանը գտնելու ալգորիթմը նման է:

Տարբերությունը 0-ից 180 աստիճանի միջև

Վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու համար նախատեսված խնդրի պատասխանը գրելիս տարածված սխալներից մեկը որոշումն է գրել, որ վեկտորները զուգահեռ են, այսինքն՝ ցանկալի անկյունը ստացվել է 0 կամ 180 աստիճան: Այս պատասխանը ճիշտ չէ։

Լուծման արդյունքում ստանալով 0 աստիճան անկյան արժեք՝ ճիշտ պատասխանը կլինի վեկտորները նշանակել որպես համուղղորդված, այսինքն՝ վեկտորները կունենան նույն ուղղությունը։ 180 աստիճան ստանալու դեպքում վեկտորները կլինեն հակադիր ուղղությունների բնույթ։

Հատուկ վեկտորներ

Գտնելով վեկտորների միջև անկյունները, կարելի է գտնել հատուկ տեսակներից մեկը, ի լրումն վերը նկարագրված համակցված և հակառակ ուղղորդվածների:

Մի հարթությանը զուգահեռ մի քանի վեկտորներ կոչվում են համահավասար:
Երկարությամբ և ուղղությամբ նույն վեկտորները կոչվում են հավասար:
Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, անկախ ուղղությունից, կոչվում են համագիծ:
Եթե վեկտորի երկարությունը զրո է, այսինքն՝ նրա սկիզբն ու վերջը համընկնում են, ապա այն կոչվում է զրո, իսկ եթե մեկ է, ապա կոչվում է մեկ։

Անկյուն երկու վեկտորների միջև.

Եթե երկու վեկտորների միջև անկյունը սուր է, ապա դրանց կետային արդյունքը դրական է. եթե վեկտորների միջև անկյունը բութ է, ապա այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալը բացասական է: Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ վեկտորները ուղղանկյուն են:

Առաջադրանքը.Գտե՛ք անկյունը վեկտորների միջև և

Լուծում.Ցանկալի անկյան կոսինուս

16. Ուղիղ գծերի, ուղիղ գծի և հարթության անկյունի հաշվարկը

Անկյուն գծի և հարթության միջևԱյս ուղիղը հատող և դրան ուղղահայաց չէ գծի և այս հարթության վրա դրա պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյունը:

Գծի և հարթության միջև անկյունը որոշելը մեզ թույլ է տալիս եզրակացնել, որ գծի և հարթության անկյունը երկու հատվող գծերի՝ հենց գծի և հարթության վրա դրա ելքի անկյունն է: Հետևաբար, ուղիղի և հարթության անկյունը սուր անկյուն է։

Ուղղահայաց ուղիղի և հարթության անկյունը համարվում է հավասար, իսկ զուգահեռ ուղիղի և հարթության անկյունը կամ ընդհանրապես որոշված չէ, կամ համարվում է հավասար:

§ 69. Ուղիղ գծերի միջև անկյան հաշվարկ.

Տիեզերքում երկու ուղիղների միջև անկյունը հաշվարկելու խնդիրը լուծվում է այնպես, ինչպես հարթության մեջ (§ 32): Ֆ-ով նշեք գծերի միջև եղած անկյունը լ 1 և լ 2, իսկ ψ-ի միջով - ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյունը բայց Եվ բ այս ուղիղ գծերը:

Հետո եթե

ψ 90° (նկ. 206.6), ապա φ = 180° - ψ. Ակնհայտ է, որ երկու դեպքում էլ cos φ = |cos ψ| հավասարությունը ճիշտ է։ Բանաձևով (1) § 20 մենք ունենք

հետևաբար,

Թող տողերը տրվեն իրենց կանոնական հավասարումներով

Այնուհետև գծերի միջև φ անկյունը որոշվում է բանաձևով

Եթե ուղիղներից մեկը (կամ երկուսն էլ) տրված է ոչ կանոնական հավասարումներով, ապա անկյունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այս ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները, այնուհետև օգտագործել (1) բանաձևը։

17. Զուգահեռ ուղիղներ, Թեորեմներ զուգահեռ ուղիղների մասին

Սահմանում.Հարթության մեջ երկու տող են կոչվում զուգահեռեթե նրանք չունեն ընդհանուր կետեր.

Երեք չափերով երկու տող կոչվում են զուգահեռեթե նրանք պառկած են նույն հարթության վրա և չունեն ընդհանուր կետեր:

Անկյուն երկու վեկտորների միջև:

Կետային արտադրանքի սահմանումից.

Երկու վեկտորների ուղղանկյունության պայման:

Կոլինայնության պայման երկու վեկտորների համար.

Բխում է 5-րդ սահմանումից - . Իսկապես, վեկտորի արտադրյալի թվի սահմանումից հետևում է. Ուստի վեկտորի հավասարության կանոնի հիման վրա գրում ենք , , , որը ենթադրում է . Բայց վեկտորը թվով բազմապատկելուց առաջացող վեկտորը համագիծ է վեկտորին:

Վեկտորից վեկտոր պրոյեկցիա.

Օրինակ 4. Տրված միավորներ , , , .

Գտեք սկալյար արտադրանքը:

Լուծում. մենք գտնում ենք վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևով, որը տրված է նրանց կոորդինատներով: Այնքանով, որքանով

, ,

Օրինակ 5Տրված միավորներ , , , .

Գտեք պրոյեկցիա:

Լուծում. Այնքանով, որքանով

, ,

Ելնելով պրոյեկցիոն բանաձեւից՝ ունենք

Օրինակ 6Տրված միավորներ , , , .

Գտե՛ք վեկտորների և .

Լուծում. Նշենք, որ վեկտորները

, ,

համագիծ չեն, քանի որ դրանց կոորդինատները համաչափ չեն.

Այս վեկտորները նույնպես ուղղահայաց չեն, քանի որ դրանց կետային արտադրյալը .

Եկեք գտնենք,

Ներարկում գտնել բանաձևից.

Օրինակ 7Որոշեք, թե որ վեկտորների և համագիծ.

Լուծում. Կոլայնության դեպքում վեկտորների համապատասխան կոորդինատները և պետք է լինի համամասնական, այսինքն.

Այստեղից և.

Օրինակ 8. Որոշեք, թե վեկտորի ինչ արժեքով Եվ ուղղահայաց են.

Լուծում. Վեկտոր և ուղղահայաց են, եթե դրանց կետային արտադրյալը զրո է: Այս պայմանից մենք ստանում ենք. Այն է, .

Օրինակ 9. Գտնել , եթե , , .

Լուծում. Սկալյար արտադրանքի հատկությունների շնորհիվ մենք ունենք.

Օրինակ 10. Գտեք անկյունը վեկտորների և , որտեղ և - միավոր վեկտորները և վեկտորների միջև եղած անկյունը և հավասար է 120o:

Լուծում. Մենք ունենք: , ,

Վերջապես մենք ունենք. .

5 Բ. վեկտորային արտադրանք.

Սահմանում 21.վեկտորային արվեստվեկտորից վեկտոր կոչվում է վեկտոր, կամ սահմանվում է հետևյալ երեք պայմաններով.

1) Վեկտորի մոդուլն է, որտեղ է անկյունը վեկտորների և , այսինքն. .

Դրանից բխում է, որ վեկտորի արտադրյալի մոդուլը թվային է մակերեսին հավասարզուգահեռագիծ, որը կառուցված է վեկտորների և կողմերի վրա:

2) Վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներից յուրաքանչյուրին և ( ; ), այսինքն. վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի հարթությանը ուղղահայաց և .

3) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ եթե դիտենք նրա ծայրից, ապա վեկտորից վեկտոր ամենակարճ պտույտը կլինի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (վեկտորները , , կազմում են աջ եռակի):

Ինչպե՞ս հաշվարկել անկյունները վեկտորների միջև:

Հիմնական տերմիններ

Վեկտորը այն հատվածն է, որն ունի ուղղություն, այսինքն՝ հատված, որի համար սահմանված են նրա սկիզբն ու վերջը։

Լուծման բանաձև

Ստանալով անկյան կոսինուսի արժեքը, դուք կարող եք հաշվարկել հենց անկյան արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ կամ օգտագործելով եռանկյունաչափական աղյուսակը:

Օրինակ

Ստացված արժեքները փոխարինելով բանաձևով, մենք հաշվարկում ենք ցանկալի անկյան կոսինուսի արժեքը.

Անկյունի հաշվարկ n-չափ տարածությունում

Տարբերությունը 0-ից 180 աստիճանի միջև

Հատուկ վեկտորներ

Մի հարթությանը զուգահեռ մի քանի վեկտորներ կոչվում են համահավասար:
Երկարությամբ և ուղղությամբ նույն վեկտորները կոչվում են հավասար:
Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, անկախ ուղղությունից, կոչվում են համագիծ:
Եթե վեկտորի երկարությունը զրո է, այսինքն՝ նրա սկիզբն ու վերջը համընկնում են, ապա այն կոչվում է զրո, իսկ եթե մեկ է, ապա կոչվում է մեկ։

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը վեկտորների միջև:

Օգնեցեք, խնդրում եմ! Ես գիտեմ բանաձևը, բայց չեմ կարողանում պարզել
վեկտոր a (8; 10; 4) վեկտոր b (5; -20; -10)

Ալեքսանդր Տիտով

Նրանց կոորդինատներով տրված վեկտորների միջև անկյունը հայտնաբերվում է ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն: Նախ պետք է գտնել a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2: Մենք այստեղ փոխարինում ենք այս վեկտորների կոորդինատները և համարում.
(ա,բ) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200:
Այնուհետև մենք որոշում ենք վեկտորներից յուրաքանչյուրի երկարությունը: Վեկտորի երկարությունը կամ մոդուլը նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատն է.
|ա| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) = արմատը (8^2 + 10^2 + 4^2) = արմատը (64 + 100 + 16) = արմատը 180 = 6 արմատը հինգ
|բ| = քառակուսի արմատ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = քառակուսի արմատ (25 + 400 + 100) ) = քառակուսի արմատ 525-ից = 5 արմատ 21-ից:
Մենք բազմապատկում ենք այս երկարությունները: 105-ից ստանում ենք 30 արմատ։
Եվ վերջապես, մենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը բաժանում ենք այս վեկտորների երկարությունների արտադրյալի վրա։ Մենք ստանում ենք -200 / (105-ից 30 արմատ) կամ
- (105-ի 4 արմատ) / 63. Սա վեկտորների միջև անկյան կոսինուսն է: Իսկ անկյունն ինքնին հավասար է այս թվի աղեղային կոսինուսին
f \u003d arccos (-4 արմատ 105) / 63.
Եթե ես ճիշտ հաշվեմ.

Ինչպես հաշվարկել վեկտորների միջև անկյան սինուսը վեկտորների կոորդինատներից

Միխայիլ Տկաչև

Մենք բազմապատկում ենք այս վեկտորները: Նրանց կետային արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։
Անկյունը մեզ անհայտ է, բայց կոորդինատները հայտնի են։
Եկեք մաթեմատիկորեն գրենք այսպես.
Թող տրված վեկտորները a(x1;y1) և b(x2;y2)
Հետո

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Մենք վիճում ենք.
a*b-վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների կոորդինատների համապատասխան կոորդինատների արտադրյալների գումարին, այսինքն՝ հավասար է x1*x2+y1*y2-ի։

|a|*|b|-վեկտորի երկարությունների արտադրյալը հավասար է √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2):

Այսպիսով, վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը հետևյալն է.

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Իմանալով անկյան կոսինուսը՝ կարող ենք հաշվել նրա սինուսը։ Եկեք քննարկենք, թե ինչպես դա անել.

Եթե անկյան կոսինուսը դրական է, ապա այս անկյունը գտնվում է 1 կամ 4 քառորդում, ուստի նրա սինուսը կա՛մ դրական է, կա՛մ բացասական: Բայց քանի որ վեկտորների միջև անկյունը փոքր է կամ հավասար է 180 աստիճանի, ուրեմն դրա սինուսը դրական է։ Նմանապես մենք վիճում ենք, եթե կոսինուսը բացասական է:

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ահա և վերջ))))))))))))))))

Դմիտրի Լևիշչև

Այն փաստը, որ անհնար է ուղղակիորեն սինուս անել, ճիշտ չէ:
Բացի բանաձևից.
(ա,բ)=|ա|*|բ|*կոս Ա
Կա նաև այս մեկը.
||=|ա|*|բ|*մեղս Ա
Այսինքն՝ սկալյար արտադրյալի փոխարեն կարող եք վերցնել վեկտորի արտադրյալի մոդուլը։

«Vector scalar product» - Վեկտորների սկալյար արտադրյալ։ 1 կողմ ունեցող ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ գծված է BD բարձրությունը: Ըստ սահմանման՝ բնութագրե՞լ անկյունը։ վեկտորների միջև և եթե՝ ա) բ) գ) դ). t-ի ո՞ր արժեքով է վեկտորը ուղղահայաց վեկտորին, եթե (2, -1), (4, 3): Վեկտորների սկալյար արտադրյալը և նշվում է:

«Երկրաչափություն 9 դասի «Վեկտորներ»» - Երկու կետերի միջև հեռավորությունը: Ամենապարզ խնդիրները կոորդինատներում: Փորձեք ինքներդ: Վեկտորային կոորդինատներ. 1903 թվականին Օ. Հենրիխին առաջարկեց սկալյար արտադրյալը նշանակել (a, c) նշանով։ Վեկտորը ուղղորդված հատված է: Վեկտորի տարրալուծումը կոորդինատային վեկտորներում. Վեկտորի հասկացությունը. Վեկտորի տարրալուծումը հարթության վրա երկու ոչ գծային վեկտորներով:

«Խնդիր լուծելու վեկտոր» - Էքսպրես վեկտորներ AM, DA, CA, MB, CD վեկտորի a և b վեկտորի առումով: № 2 Արտահայտե՛ք DP, DM, AC վեկտորները a և b վեկտորների միջոցով: SR՝ PD=2:3; AK՝ KD = 1: 2. Արտահայտե՛ք CK, RK վեկտորները a և b վեկտորների միջոցով: BE:EC = 3:1 K-ն DC-ի միջինն է: VK՝ KС = 3: 4. a և b վեկտորների միջոցով արտահայտի՛ր AK, DK վեկտորները: Վեկտորների կիրառումը խնդրի լուծման մեջ (մաս 1).

«Խնդիրներ վեկտորների վրա» - թեորեմ. Գտեք կոորդինատները. Տրված է երեք միավոր։ Եռանկյան գագաթները. Գտե՛ք վեկտորների կոորդինատները: Գտեք կետի կոորդինատները: Գտեք վեկտորի կոորդինատները և երկարությունը: Արտահայտե՛ք վեկտորի երկարությունը: Վեկտորային կոորդինատներ. Վեկտորային կոորդինատներ. Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները. Տրված են վեկտորներ. Անվանե՛ք վեկտորների կոորդինատները: Վեկտորն ունի կոորդինատներ:

«Կորդինատների մեթոդ հարթության վրա» - Կազմված է շրջան։ Ուղղահայացներ. Կոորդինատների առանցք. Սինուսի արժեքը. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Գտեք գագաթային կոորդինատները: Դիտարկենք մի օրինակ։ Այս խնդրի լուծումը. Միավորները տրվում են ինքնաթիռում: Զուգահեռագծի գագաթները. Ընդլայնել վեկտորները: Հաշվիր։ Շատ միավորներ. Գրաֆիկորեն լուծեք հավասարումների համակարգը:

«Վեկտորների գումարում և հանում» - 1. Դասի նպատակները. 2. Հիմնական մասը. Ձեր ամենաշատը լավագույն ընկերՔնկոտո՜ Իմացեք, թե ինչպես հանել վեկտորները: 2. Նշեք a և b վեկտորների գումարի վեկտորը: Իմ ընկեր!! Եկեք տեսնենք, թե ինչ ունենք այստեղ: Մեր նպատակները. Եզրակացություն. 3. Գլխի վերանայում. 4. Տեղեկանքների ցանկ. Ճանապարհորդություն Lunatic-ի հետ. Ա կետից մենք հետաձգում ենք երկու վեկտորները։

Ընդհանուր առմամբ թեմայում կա 29 ներկայացում