«Վեկտորի կետային արտադրյալ» - վեկտորների կետային արտադրյալ: 1 կողմ ունեցող ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ գծված է BD բարձրությունը: Ըստ սահմանման, նկարագրե՛ք անկյունը: վեկտորների միջև և, եթե՝ ա) բ) գ) դ). t-ի ո՞ր արժեքով է վեկտորը ուղղահայաց վեկտորին, եթե (2, -1), (4, 3): Վեկտորների սկալյար արտադրյալը նշանակվում է.

«Երկրաչափություն 9-րդ դասարան «Վեկտորներ» - Երկու կետերի միջև հեռավորությունը: Ամենապարզ խնդիրները կոորդինատներում: Ստուգեք ինքներդ! Վեկտորային կոորդինատներ. 1903 թվականին Օ. Հենրիսին առաջարկեց սկալյար արտադրյալը նշել (a, b) նշանով։ Վեկտորը ուղղորդված հատված է: Վեկտորի տարրալուծումը կոորդինատային վեկտորների. Վեկտորի հայեցակարգ. Վեկտորի տարրալուծումը հարթության վրա երկու ոչ գծային վեկտորներով:

«Վեկտորային խնդրի լուծում» - AM, DA, CA, MB, CD վեկտորները արտահայտեք a և b վեկտորով: No 2 DP, DM, AC վեկտորներն արտահայտե՛ք a և b վեկտորներով։ CP:PD = 2:3; AK: KD = 1: 2. Արտահայտեք SK, RK վեկտորները a և b վեկտորների միջոցով: BE: EC = 3: 1. K-ն DC-ի միջինն է: BK: KS = 3: 4. Արտահայտեք AK, DK վեկտորները a և b վեկտորների միջոցով: Վեկտորների կիրառումը խնդրի լուծման մեջ (մաս 1).

«Վեկտորային խնդիրներ» - թեորեմ. Գտեք կոորդինատները. Տրված է երեք միավոր։ Եռանկյան գագաթները. Գտե՛ք վեկտորների կոորդինատները: Գտեք կետի կոորդինատները: Գտեք վեկտորի կոորդինատները և երկարությունը: Արտահայտե՛ք վեկտորի երկարությունը: Վեկտորային կոորդինատներ. Վեկտորային կոորդինատներ. Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները: Տրված են վեկտորներ. Անվանեք վեկտորների կոորդինատները: Վեկտորն ունի կոորդինատներ:

«Պլանի կոորդինատների մեթոդ» - գծված է շրջան: Ուղղահայացներ. Կոորդինատային առանցք. Սինուսային արժեք. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Գտե՛ք գագաթի կոորդինատները. Դիտարկենք մի օրինակ։ Այս խնդրի լուծումը. Միավորները տրվում են ինքնաթիռում: Զուգահեռագծի գագաթները. Քայքայել վեկտորները. Հաշվիր։ Շատ միավորներ. Հավասարումների համակարգը լուծե՛ք գրաֆիկորեն։

«Վեկտորների գումարում և հանում» - 1. Դասի նպատակները. 2. Հիմնական մասը. Ձեր ամենաշատը լավագույն ընկերՔնկոտո՜ Սովորեք վեկտորները հանելու եղանակներ: 2. Նշեք a և b վեկտորների գումարի վեկտորը: Իմ ընկեր!! Եկեք տեսնենք, թե ինչ ունենք այստեղ: Մեր նպատակները. Եզրակացություն. 3. Հետադարձ կապ մենեջերի կողմից: 4. Տեղեկանքների ցանկ. Ճանապարհորդություն Lunatic-ի հետ. Եկեք գծենք երկու վեկտորները A կետից:

Ընդհանուր առմամբ կա 29 շնորհանդես

Երկրաչափություն ուսումնասիրելիս բազմաթիվ հարցեր են առաջանում վեկտորների թեմայի շուրջ։ Աշակերտը որոշակի դժվարություններ է ունենում, երբ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորների միջև եղած անկյունները:

Հիմնական տերմիններ

Վեկտորների միջև անկյուններին նայելուց առաջ անհրաժեշտ է ծանոթանալ վեկտորի սահմանմանը և վեկտորների միջև անկյուն հասկացությանը:

Վեկտորը այն հատվածն է, որն ունի ուղղություն, այսինքն՝ հատված, որի համար սահմանված են նրա սկիզբն ու վերջը։

Ընդհանուր ծագում ունեցող հարթության վրա երկու վեկտորների միջև անկյունը անկյուններից փոքրն է այն չափով, որով վեկտորներից մեկը պետք է տեղափոխվի ընդհանուր կետի շուրջ, մինչև դրանց ուղղությունները համընկնեն:

Լուծման բանաձև

Երբ հասկանաք, թե ինչ է վեկտորը և ինչպես է որոշվում նրա անկյունը, կարող եք հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը: Սրա լուծման բանաձևը բավականին պարզ է, և դրա կիրառման արդյունքը կլինի անկյան կոսինուսի արժեքը: Ըստ սահմանման՝ այն հավասար է քանորդին կետային արտադրանքվեկտորները և դրանց երկարությունների արտադրյալը:

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հաշվարկվում է որպես գործակիցների վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումար՝ բազմապատկված միմյանցով։ Վեկտորի երկարությունը կամ նրա մոդուլը հաշվարկվում է որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ:

Ստանալով անկյան կոսինուսի արժեքը, դուք կարող եք հաշվարկել հենց անկյան արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ կամ օգտագործելով եռանկյունաչափական աղյուսակը:

Օրինակ

Երբ պարզեք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վեկտորների միջև անկյունը, համապատասխան խնդրի լուծումը կդառնա պարզ և պարզ: Որպես օրինակ՝ արժե դիտարկել անկյան արժեքը գտնելու պարզ խնդիրը։

Նախևառաջ, ավելի հարմար կլինի հաշվարկել վեկտորների երկարությունների և լուծման համար անհրաժեշտ դրանց սկալյար արտադրանքի արժեքները: Օգտագործելով վերը ներկայացված նկարագրությունը, մենք ստանում ենք.

Ստացված արժեքները փոխարինելով բանաձևով, մենք հաշվարկում ենք ցանկալի անկյան կոսինուսի արժեքը.

Այս թիվը հինգ ընդհանուր կոսինուսի արժեքներից չէ, ուստի անկյունը ստանալու համար դուք պետք է օգտագործեք հաշվիչ կամ Բրադիսի եռանկյունաչափական աղյուսակը: Բայց նախքան վեկտորների միջև անկյունը ստանալը, բանաձևը կարելի է պարզեցնել՝ լրացուցիչ բացասական նշանից ազատվելու համար.

Ճշգրտությունը պահպանելու համար վերջնական պատասխանը կարելի է թողնել այնպես, ինչպես կա, կամ կարող եք հաշվարկել անկյան արժեքը աստիճաններով: Ըստ Bradis աղյուսակի՝ դրա արժեքը կլինի մոտավորապես 116 աստիճան 70 րոպե, իսկ հաշվիչը ցույց կտա 116,57 աստիճան արժեքը։

Անկյունի հաշվարկ n-չափ տարածությունում

Եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտոր դիտարկելիս շատ ավելի դժվար է հասկանալ, թե որ անկյան մասին է խոսքը, եթե դրանք նույն հարթության մեջ չեն: Ընկալումը պարզեցնելու համար դուք կարող եք նկարել երկու հատվող հատվածներ, որոնք կազմում են նրանց միջև ամենափոքր անկյունը, սա կլինի ցանկալիը: Թեև վեկտորում կա երրորդ կոորդինատը, վեկտորների միջև անկյունների հաշվարկման գործընթացը չի փոխվի: Հաշվեք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և մոդուլները, որոնք կպատասխանեն դրանց գործակիցի աղեղային կոսինուսին:

Երկրաչափության մեջ հաճախ խնդիրներ են լինում այն ​​տարածությունների հետ, որոնք ունեն ավելի քան երեք չափումներ: Բայց նրանց համար պատասխանը գտնելու ալգորիթմը նման է:

Տարբերությունը 0-ից 180 աստիճանի միջև

Վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու համար նախատեսված խնդրի պատասխանը գրելիս տարածված սխալներից մեկը վեկտորների զուգահեռ լինելու որոշումն է, այսինքն՝ ցանկալի անկյունը հավասար է 0 կամ 180 աստիճանի: Այս պատասխանը ճիշտ չէ։

Լուծման արդյունքում ստանալով 0 աստիճանի անկյան արժեքը՝ ճիշտ պատասխանը կլինի վեկտորները նշանակել որպես համակողմանի, այսինքն՝ վեկտորները կունենան նույն ուղղությունը։ Եթե ​​ստացվի 180 աստիճան, ապա վեկտորները հակառակ ուղղություն կունենան։

Հատուկ վեկտորներ

Գտնելով վեկտորների միջև անկյունները, դուք կարող եք գտնել հատուկ տեսակներից մեկը, ի լրումն վերը նկարագրված համակողմանի և հակառակ ուղղությամբ:

• Մի հարթությանը զուգահեռ մի քանի վեկտորներ կոչվում են համահավասար:
• Երկարությամբ և ուղղությամբ նույն վեկտորները կոչվում են հավասար:
• Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, անկախ ուղղությունից, կոչվում են համագիծ:
• Եթե ​​վեկտորի երկարությունը զրո է, այսինքն՝ նրա սկիզբն ու վերջը համընկնում են, ապա այն կոչվում է զրո, իսկ եթե մեկ է, ապա միավոր։

Հրահանգներ

Թող հարթության վրա տրված լինեն երկու ոչ զրոյական վեկտորներ՝ գծագրված մի կետից՝ A վեկտորը՝ կոորդինատներով (x1, y1) B կոորդինատներով (x2, y2): Անկյուննրանց միջև նշվում է որպես θ. θ անկյան աստիճանի չափումը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել սկալյար արտադրյալի սահմանումը:

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը մի թիվ է, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին, այսինքն՝ (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Այժմ դուք պետք է արտահայտեք անկյան կոսինուսը սրանից՝ cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|):

Սկալյար արտադրյալը կարելի է գտնել նաև (A,B)=x1*x2+y1*y2 բանաձևով, քանի որ երկու ոչ զրոյական վեկտորների արտադրյալը հավասար է դրանց համապատասխան վեկտորների արտադրյալների գումարին։ Եթե ​​ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի, ապա վեկտորները ուղղահայաց են (դրանց միջև անկյունը 90 աստիճան է) և հետագա հաշվարկները կարելի է բաց թողնել։ Եթե ​​երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը դրական է, ապա դրանց միջև եղած անկյունը վեկտորներսուր, իսկ եթե բացասական է, ապա անկյունը բութ է:

Այժմ հաշվարկեք A և B վեկտորների երկարությունները՝ օգտագործելով բանաձևերը՝ |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²): Վեկտորի երկարությունը հաշվարկվում է որպես Քառակուսի արմատիր կոորդինատների քառակուսիների գումարից։

Փոխարինեք սկալյար արտադրյալի և վեկտորի երկարությունների հայտնաբերված արժեքները 2-րդ քայլում ստացված անկյան բանաձևի մեջ, այսինքն՝ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+։ √(x2²+y2²)): Այժմ, իմանալով արժեքը, գտնել անկյան աստիճանի չափը վեկտորներդուք պետք է օգտագործեք Bradis աղյուսակը կամ վերցնեք դրանից՝ θ=arccos(cos(θ)):

Եթե ​​A և B վեկտորները տրված են եռաչափ տարածության մեջ և ունեն համապատասխանաբար (x1, y1, z1) և (x2, y2, z2) կոորդինատներ, ապա անկյան կոսինուսը գտնելիս ավելացվում է ևս մեկ կոորդինատ։ Այս դեպքում կոսինուսը՝ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)):

Օգտակար խորհուրդ

Եթե ​​երկու վեկտորները չեն գծագրվում նույն կետից, ապա զուգահեռ թարգմանությամբ նրանց միջև անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ է միավորել այդ վեկտորների սկզբնաղբյուրները:
Երկու վեկտորների միջև անկյունը չի կարող լինել ավելի քան 180 աստիճան:

Աղբյուրներ:

• ինչպես հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը
• Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջև

Ֆիզիկայի և գծային հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար՝ ինչպես կիրառական, այնպես էլ տեսական, անհրաժեշտ է հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը։ Այս պարզ թվացող խնդիրը կարող է շատ դժվարություններ առաջացնել, եթե դուք հստակ չեք հասկանում սկալյար արտադրանքի էությունը և ինչ արժեք է հայտնվում այս արտադրանքի արդյունքում:

Հրահանգներ

Վեկտորների գծային տարածության մեջ վեկտորների միջև անկյունը նվազագույն անկյունն է, որով ձեռք է բերվում վեկտորների համատեղ ուղղությունը: Գծում է վեկտորներից մեկը իր սկզբնակետի շուրջ: Սահմանումից ակնհայտ է դառնում, որ անկյան արժեքը չի կարող գերազանցել 180 աստիճանը (տես քայլը):

Այս դեպքում միանգամայն իրավացիորեն ենթադրվում է, որ գծային տարածության մեջ, վեկտորների զուգահեռ փոխանցում կատարելիս, նրանց միջև անկյունը չի փոխվում։ Հետևաբար, անկյան անալիտիկ հաշվարկի համար վեկտորների տարածական կողմնորոշումը նշանակություն չունի։

Կետային արտադրյալի արդյունքը թիվ է, հակառակ դեպքում՝ սկալյար։ Հիշեք (սա կարևոր է իմանալ) հետագա հաշվարկներում սխալներից խուսափելու համար: Հարթության վրա կամ վեկտորների տարածության մեջ գտնվող սկալյար արտադրյալի բանաձևն ունի ձևը (տես քայլի նկարը):

Եթե ​​վեկտորները գտնվում են տարածության մեջ, ապա հաշվարկը կատարեք նույն կերպ։ Շահաբաժնի մեջ ժամկետի միակ տեսքը կլինի հայտի ժամկետը, այսինքն. վեկտորի երրորդ բաղադրիչը. Համապատասխանաբար, վեկտորների մոդուլը հաշվարկելիս պետք է հաշվի առնել նաև z բաղադրիչը, այնուհետև տարածության մեջ գտնվող վեկտորների համար վերջին արտահայտությունը փոխակերպվում է հետևյալ կերպ (քայլի համար տե՛ս նկար 6):

Վեկտորը տրված ուղղությամբ հատված է: Վեկտորների միջև անկյունն է ֆիզիկական իմաստ, օրինակ՝ առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի երկարությունը գտնելիս։

Հրահանգներ

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների միջև անկյունը՝ կետային արտադրյալի հաշվարկով: Ըստ սահմանման՝ արտադրյալը հավասար է երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյան արտադրյալին։ Մյուս կողմից, սկալյար արտադրյալը երկու վեկտորների համար (x1; y1) և b կոորդինատներով (x2; y2) հաշվարկվում է՝ ab = x1x2 + y1y2: Այս երկու մեթոդներից կետային արդյունքը հեշտ է վեկտորների միջև ընկած անկյունը:

Գտե՛ք վեկտորների երկարությունները կամ մեծությունները: Մեր a և b վեկտորների համար՝ |a| = (x1² + y1²)^1/2, |բ| = (x2² + y2²)^1/2.

Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ բազմապատկելով նրանց կոորդինատները զույգերով՝ ab = x1x2 + y1y2: Սկալյար արտադրյալի սահմանումից ab = |a|*|b|*cos α, որտեղ α-ն վեկտորների միջև եղած անկյունն է: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α: Այնուհետև cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2:

Գտեք α անկյունը՝ օգտագործելով Բրադիսի աղյուսակները:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Նշում

Սկալյար արտադրյալը վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան սկալյար բնութագրիչն է:

Հարթությունը երկրաչափության հիմնական հասկացություններից մեկն է: Հարթությունը մակերես է, որի համար ճշմարիտ է հետևյալ պնդումը. ցանկացած ուղիղ գիծ, ​​որը միացնում է իր երկու կետերը, ամբողջությամբ պատկանում է այս մակերեսին: Ինքնաթիռները սովորաբար նշանակվում են Հունարեն տառերα, β, γ և այլն: Երկու հարթություններ միշտ հատվում են ուղիղ գծով, որը պատկանում է երկու հարթություններին:

Հրահանգներ

Դիտարկենք α և β-ի խաչմերուկից առաջացած կիսահավասարությունները: A ուղիղ գծով կազմված անկյունը և երկփեղկ անկյունով α և β երկու կիսահարթությունները։ Այս դեպքում իրենց երեսներով երկանկյուն անկյուն կազմող կիսահարթությունները, ուղիղ a, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են, կոչվում է եզր։ dihedral անկյուն.

Երկկողմանի անկյունը, ինչպես հարթ անկյունը, աստիճաններով է: Երկկողմանի անկյուն կազմելու համար դուք պետք է ընտրեք կամայական O կետ նրա երեսի վրա, երկուսում էլ գծված են երկու ճառագայթներ O կետով: Ձևավորված AOB անկյունը կոչվում է գծային երկփեղկ անկյուն a.

Այսպիսով, թողնենք V = (a, b, c) վեկտորը և A x + B y + C z = 0 հարթությունը, որտեղ A, B և C նորմալ N-ի կոորդինատներն են: Ապա անկյան կոսինուսը: V և N վեկտորների միջև α-ն հավասար է՝ cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)):

Անկյունը աստիճաններով կամ ռադիաններով հաշվարկելու համար հարկավոր է ստացված արտահայտությունից հաշվարկել հակադարձ կոսինուսի ֆունկցիան, այսինքն. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))):

Օրինակ՝ գտնել անկյունմիջեւ վեկտոր(5, -3, 8) և Ինքնաթիռ, տրված է ընդհանուր հավասարմամբ 2 x – 5 y + 3 z = 0 Լուծում. գրի՛ր N = (2, -5, 3) հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Փոխարինեք ամեն ինչ հայտնի արժեքներտրված բանաձևի մեջ՝ cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Կազմի՛ր հավասարություն և դրանից առանձնացրո՛ւ կոսինուսը: Ըստ մեկ բանաձևի՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է նրանց երկարություններին, որոնք բազմապատկվում են միմյանցով և կոսինուսով. անկյուն, իսկ մյուս կողմից՝ առանցքներից յուրաքանչյուրի երկայնքով կոորդինատների արտադրյալների գումարը։ Հավասարեցնելով երկու բանաձևերը՝ կարող ենք եզրակացնել, որ կոսինուսը անկյունպետք է հավասար լինի կոորդինատների արտադրյալների գումարի և վեկտորների երկարությունների արտադրյալի հարաբերությանը:

Գրի՛ր ստացված հավասարությունը։ Դա անելու համար դուք պետք է նշանակեք երկու վեկտորները: Ենթադրենք, դրանք տրված են եռաչափ դեկարտյան համակարգով, և դրանց ելակետերը գտնվում են կոորդինատային ցանցում: Առաջին վեկտորի ուղղությունը և մեծությունը կտրվի (X1,Y1,Z1) կետով, երկրորդը՝ (X2,Y2,Z2), իսկ անկյունը կնշանակվի γ տառով: Այնուհետև վեկտորներից յուրաքանչյուրի երկարությունները կարող են լինել, օրինակ, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, որոնք ձևավորվել են դրանց կանխատեսումներով յուրաքանչյուր կոորդինատային առանցքների վրա. Փոխարինեք այս արտահայտությունները նախորդ քայլում ձևակերպված բանաձևով և կստանաք հավասարություն՝ cos(γ) = (X₁*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2) / (√(X12 + Y12 + Z1²) * √(X₂²) + Y₂² + Z2² )):

Օգտագործեք այն փաստը, որ քառակուսու գումարը սինուսեւ համ սինուս-ից անկյուննույն քանակությունը միշտ տալիս է մեկը: Սա նշանակում է, որ նախորդ քայլում ձեռք բերվածը բարձրացնելով սինուսքառակուսի և հանել մեկից, այնուհետև

Վեկտորների կետային արտադրյալ

Մենք շարունակում ենք գործ ունենալ վեկտորների հետ: Առաջին դասին Վեկտորներ կեղծամների համարԴիտարկեցինք վեկտոր հասկացությունը, վեկտորներով գործողություններ, վեկտորային կոորդինատներ և վեկտորների հետ ամենապարզ խնդիրները: Եթե ​​դուք առաջին անգամ եք եկել այս էջը որոնողական համակարգից, ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կարդալ վերը նշվածը ներածական հոդված, քանի որ նյութին յուրացնելու համար անհրաժեշտ է ծանոթ լինել իմ օգտագործած տերմիններին ու նշանակումներին, ունենալ հիմնական գիտելիքվեկտորների մասին և կարողանալ լուծել տարրական խնդիրներ. Այս դասը թեմայի տրամաբանական շարունակությունն է, և դրանում ես մանրամասն կվերլուծեմ տիպիկ առաջադրանքները, որոնք օգտագործում են վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Սա շատ ԿԱՐԵՎՈՐ գործունեություն . Փորձեք բաց չթողնել օրինակները, որոնք գալիս են օգտակար բոնուսով.

Վեկտորների գումարում, վեկտորի բազմապատկում թվով.... Միամտություն կլինի կարծել, թե մաթեմատիկոսներն այլ բան չեն մտածել։ Բացի արդեն քննարկված գործողություններից, կան մի շարք այլ գործողություններ վեկտորներով, մասնավորապես. վեկտորների կետային արտադրյալ, վեկտորների վեկտորային արտադրյալԵվ վեկտորների խառը արտադրյալ. Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մեզ ծանոթ է դպրոցից, մյուս երկու արտադրյալները ավանդաբար վերաբերում են դասընթացին բարձրագույն մաթեմատիկա. Թեմաները պարզ են, շատ խնդիրների լուծման ալգորիթմը՝ պարզ ու հասկանալի։ Միակ բանը. Տեղեկատվության արժանապատիվ քանակ կա, ուստի անցանկալի է փորձել յուրացնել և լուծել ԱՄԵՆ ԻՆՉ ՄԻԱՆԳԱՄԻՑ։ Հատկապես դա վերաբերում է կեղծանուններին. Դե, իհարկե, ոչ թե մաթեմատիկայից =) Ավելի պատրաստված ուսանողները կարող են ընտրողաբար օգտագործել նյութերը, որոշակի իմաստով «ստանալ» բացակայող գիտելիքները ես կլինեմ անվնաս կոմս Դրակուլա =)

Եկեք վերջապես բացենք դուռը և ոգևորությամբ հետևենք, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ երկու վեկտորներ հանդիպում են միմյանց...

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի սահմանում.
Սկալյար արտադրանքի հատկությունները. Տիպիկ առաջադրանքներ

Կետային արտադրանքի հայեցակարգը

Նախ՝ մասին անկյունը վեկտորների միջև. Կարծում եմ՝ բոլորը ինտուիտիվ հասկանում են, թե որն է վեկտորների միջև եղած անկյունը, բայց ամեն դեպքում՝ մի փոքր ավելի մանրամասն։ Դիտարկենք ազատ ոչ զրոյական վեկտորներ և . Եթե ​​այս վեկտորները գծագրեք կամայական կետից, դուք կստանաք մի պատկեր, որը շատերն արդեն մտովի պատկերացրել են.

Ընդունում եմ, այստեղ ես իրավիճակը նկարագրեցի միայն ըմբռնման մակարդակով։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է վեկտորների միջև անկյունի խիստ սահմանում, ապա գործնական խնդիրների համար դիմեք դասագրքին, սկզբունքորեն դա մեզ համար ոչ մի օգուտ չի տալիս: Նաև ԱՅՍՏԵՂ ԵՎ ԱՅՍՏԵՂ ես տեղ-տեղ անտեսելու եմ զրոյական վեկտորներ՝ իրենց ցածր գործնական նշանակության պատճառով: Ես վերապահում եմ արել հատուկ կայքի առաջադեմ այցելուների համար, ովքեր կարող են ինձ նախատել որոշ հետագա հայտարարությունների տեսական անավարտության համար:

կարող է ընդունել արժեքներ 0-ից մինչև 180 աստիճան (0-ից մինչև ռադիան), ներառյալ: Վերլուծական այս փաստըգրված է որպես կրկնակի անհավասարություն. կամ (ռադիաններով):

Գրականության մեջ անկյունի խորհրդանիշը հաճախ բաց է թողնվում և պարզապես գրվում:

Սահմանում:Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը ԹԻՎ է, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

Հիմա սա բավականին խիստ սահմանում է։

Մենք կենտրոնանում ենք էական տեղեկատվության վրա.

Նշանակում:սկալյար արտադրյալը նշվում է կամ պարզապես.

Վիրահատության արդյունքը ԹԻՎ էՎեկտորը բազմապատկվում է վեկտորով, և ստացվում է մի թիվ: Իսկապես, եթե վեկտորների երկարությունները թվեր են, ապա անկյան կոսինուսը թիվ է, ապա դրանց արտադրյալը. կլինի նաև թիվ.

Ընդամենը տաքացման մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը . Այս դեպքում:

Պատասխան.

Կոսինուսի արժեքները կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Խորհուրդ եմ տալիս տպել այն. այն անհրաժեշտ կլինի աշտարակի գրեթե բոլոր հատվածներում և շատ անգամներ պետք կգա:

Զուտ մաթեմատիկական տեսանկյունից սկալյար արտադրյալն անչափ է, այսինքն՝ արդյունքն այս դեպքում ընդամենը թիվ է և վերջ։ Ֆիզիկայի խնդիրների տեսանկյունից սկալյար արտադրյալը միշտ ունի որոշակի ֆիզիկական իմաստ, այսինքն, արդյունքից հետո դուք պետք է նշեք մեկ կամ մի այլ ֆիզիկական միավոր: Ուժի աշխատանքի հաշվարկման կանոնական օրինակ կարելի է գտնել ցանկացած դասագրքում (բանաձևը հենց սկալյար արտադրյալ է): Ուժի աշխատանքը չափվում է Ջուլերով, հետևաբար պատասխանը գրվելու է բավականին կոնկրետ, օրինակ՝ .

Օրինակ 2

Գտեք, եթե , իսկ վեկտորների միջև անկյունը հավասար է .

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, պատասխանը դասի վերջում է:

Անկյուն վեկտորների և կետային արտադրանքի արժեքի միջև

Օրինակ 1-ում սկալյար արտադրյալը ստացվել է դրական, իսկ օրինակ 2-ում՝ բացասական: Եկեք պարզենք, թե ինչից է կախված սկալյար արտադրանքի նշանը: Դիտարկենք մեր բանաձևը. . Ոչ զրոյական վեկտորների երկարությունները միշտ դրական են՝ , ուստի նշանը կարող է կախված լինել միայն կոսինուսի արժեքից։

Նշում: Ստորև բերված տեղեկատվությունը ավելի լավ հասկանալու համար ավելի լավ է ուսումնասիրել ձեռնարկի կոսինուսի գրաֆիկը Ֆունկցիայի գծապատկերներ և հատկություններ. Տեսեք, թե ինչպես է կոսինուսն իրեն պահում հատվածի վրա:

Ինչպես արդեն նշվեց, վեկտորների միջև անկյունը կարող է տարբեր լինել ներսում , և հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե անկյունվեկտորների միջև կծու: (0-ից 90 աստիճան), ապա , Եվ կետային արտադրանքը դրական կլինի համահեղինակ, ապա նրանց միջև անկյունը համարվում է զրո, և սկալյար արտադրյալը նույնպես դրական կլինի։ Քանի որ բանաձևը պարզեցնում է.

2) Եթե անկյունվեկտորների միջև բութ: (90-ից 180 աստիճան), ապա և համապատասխանաբար, կետային արտադրանքը բացասական է: Հատուկ դեպք. եթե վեկտորները հակառակ ուղղություններ, ապա դիտարկվում է նրանց միջև եղած անկյունը ընդլայնվել է(180 աստիճան): Սկալյար արտադրյալը նույնպես բացասական է, քանի որ

Ճիշտ են նաև հակառակ պնդումները.

1) Եթե , ապա այս վեկտորների միջև անկյունը սուր է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները համակողմանի են:

2) Եթե , ապա այս վեկտորների միջև անկյունը բութ է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները հակառակ ուղղություններով են:

Բայց երրորդ դեպքը առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում.

3) Եթե անկյունվեկտորների միջև ուղիղ(90 աստիճան), ապա սկալյար արտադրյալը զրո է: Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե, ապա: Հայտարարությունը կարելի է կոմպակտ ձևակերպել հետևյալ կերպ. Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները ուղղանկյուն են. Կարճ մաթեմատիկական նշում:

! Նշում : Կրկնենք մաթեմատիկական տրամաբանության հիմունքներըԵրկկողմանի տրամաբանական հետևանքի պատկերակը սովորաբար կարդացվում է «եթե և միայն եթե», «եթե և միայն եթե»: Ինչպես տեսնում եք, սլաքներն ուղղված են երկու ուղղությամբ՝ «սրանից հետևում է սա, և հակառակը՝ դրանից հետևում է սա»: Ի դեպ, ո՞րն է տարբերությունը միակողմանի հետևելու պատկերակից: Սրբապատկերում նշվում է միայն դա, որ «սրանից հետևում է սա», և փաստ չէ, որ հակառակն է։ Օրինակ՝ , բայց ամեն կենդանի չէ, որ պանտերա է, ուստի այս դեպքում չեք կարող օգտագործել պատկերակը: Միեւնույն ժամանակ, պատկերակի փոխարեն Կարող էօգտագործել միակողմանի պատկերակ: Օրինակ՝ խնդիրը լուծելիս պարզեցինք, որ եզրակացրինք, որ վեկտորները ուղղանկյուն են. - նման գրառումը կլինի ճիշտ, և նույնիսկ ավելի տեղին, քան .

Երրորդ դեպքը մեծ գործնական նշանակություն ունի, քանի որ այն թույլ է տալիս ստուգել՝ արդյոք վեկտորները ուղղանկյուն են, թե ոչ։ Այս խնդիրը կլուծենք դասի երկրորդ բաժնում։

Կետային արտադրանքի հատկությունները

Վերադառնանք այն իրավիճակին, երբ երկու վեկտոր համահեղինակ. Այս դեպքում նրանց միջեւ անկյունը հավասար է զրոյի, , և սկալյար արտադրանքի բանաձևը ստանում է ձև.

Ի՞նչ կլինի, եթե վեկտորը բազմապատկվի ինքն իրենով: Հասկանալի է, որ վեկտորը համահունչ է ինքն իրեն, ուստի մենք օգտագործում ենք վերը նշված պարզեցված բանաձևը.

Համարը կոչվում է սկալյար քառակուսիվեկտոր, և նշվում են որպես .

Այսպիսով, վեկտորի սկալյար քառակուսին հավասար է տվյալ վեկտորի երկարության քառակուսուն.

Այս հավասարությունից մենք կարող ենք ստանալ վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու բանաձևը.

Առայժմ դա անհասկանալի է թվում, բայց դասի նպատակները ամեն ինչ իրենց տեղը կդնեն: Խնդիրները լուծելու համար մեզ նույնպես անհրաժեշտ է կետային արտադրանքի հատկությունները.

Կամայական վեկտորների և ցանկացած թվի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) – փոխադարձ կամ կոմուտատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը.

2) – բաշխում կամ բաշխիչսկալյար արտադրանքի օրենքը. Պարզապես, դուք կարող եք բացել փակագծերը:

3) – ասոցիատիվ կամ ասոցիատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը. Հաստատունը կարող է ստացվել սկալյար արտադրյալից:

Հաճախ բոլոր տեսակի հատկությունները (որոնք նույնպես պետք է ապացուցվեն) ուսանողների կողմից ընկալվում են որպես. անհարկի աղբ, որը պարզապես անհրաժեշտ է անգիր անել և ապահով մոռանալ քննությունից անմիջապես հետո։ Թվում է, թե ինչն այստեղ կարևոր է, բոլորն արդեն առաջին դասարանից գիտեն, որ գործոնների վերադասավորումը արտադրանքը չի փոխում. Պետք է զգուշացնեմ, որ բարձրագույն մաթեմատիկայում հեշտ է նման մոտեցմամբ ամեն ինչ խառնել։ Այսպիսով, օրինակ, կոմուտատիվ հատկությունը ճիշտ չէ հանրահաշվական մատրիցներ. Դա նույնպես ճիշտ չէ վեկտորների վեկտորային արտադրյալ. Հետևաբար, նվազագույնը, ավելի լավ է խորամուխ լինել մաթեմատիկայի բարձրագույն դասընթացում հանդիպած ցանկացած հատկությունների մեջ, որպեսզի հասկանաք, թե ինչ կարող եք անել և ինչ չեք կարող անել:

Օրինակ 3

.

Լուծում:Նախ, եկեք պարզենք իրավիճակը վեկտորի հետ կապված: Ինչ է սա ամեն դեպքում: Վեկտորների գումարը լավ սահմանված վեկտոր է, որը նշվում է . Վեկտորների հետ գործողությունների երկրաչափական մեկնաբանությունը կարելի է գտնել հոդվածում Վեկտորներ կեղծամների համար. Նույն մաղադանոսը վեկտորով վեկտորների գումարն է և .

Այսպիսով, ըստ պայմանի, պահանջվում է գտնել սկալյար արտադրանքը։ Տեսականորեն անհրաժեշտ է կիրառել աշխատանքային բանաձեւը , բայց դժվարությունն այն է, որ մենք չգիտենք վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը։ Բայց պայմանը վեկտորների համար տալիս է նմանատիպ պարամետրեր, ուստի մենք այլ ճանապարհով կգնանք.

(1) Փոխարինել արտահայտությունները վեկտորների համար:

(2) Մենք բացում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի, հոդվածում կարելի է գտնել գռեհիկ լեզվապտույտ Կոմպլեքս թվերկամ Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում. Չեմ կրկնվի =) Ի դեպ, սկալյար արտադրանքի բաշխիչ հատկությունը թույլ է տալիս բացել փակագծերը։ Մենք իրավունք ունենք.

(3) Առաջին և վերջին անդամներում մենք կոմպակտ գրում ենք վեկտորների սկալյար քառակուսիները. . Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար արտադրյալի փոխարկելիությունը.

(4) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

(5) Առաջին տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար քառակուսի բանաձևը, որը նշվել է ոչ վաղ անցյալում: Վերջին ժամկետում, համապատասխանաբար, գործում է նույնը. Մենք ընդլայնում ենք երկրորդ տերմինը ըստ ստանդարտ բանաձևի .

(6) Փոխարինեք այս պայմանները , և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ կատարեք վերջնական հաշվարկները։

Պատասխան.

Բացասական իմաստՍկալյար արտադրյալը նշում է այն փաստը, որ վեկտորների միջև անկյունը բութ է:

Խնդիրը բնորոշ է, ահա այն ինքներդ լուծելու օրինակ.

Օրինակ 4

Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և եթե հայտնի է, որ .

Այժմ ևս մեկ ընդհանուր առաջադրանք, պարզապես վեկտորի երկարության նոր բանաձևի համար: Նշումն այստեղ մի փոքր համընկնող կլինի, ուստի պարզության համար ես այն կվերագրեմ այլ տառով.

Օրինակ 5

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Լուծումկլինի հետևյալը.

(1) Մենք տրամադրում ենք վեկտորի արտահայտությունը:

(2) Մենք օգտագործում ենք երկարության բանաձևը՝ , մինչդեռ ամբողջ ve արտահայտությունը գործում է որպես «ve» վեկտոր։

(3) Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը գումարի քառակուսու համար: Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է այն հետաքրքիր աշխատում այստեղ. – իրականում դա տարբերության քառակուսին է, և, ըստ էության, դա այդպես է: Ցանկացողները կարող են վերադասավորել վեկտորները. - նույնը տեղի է ունենում, ընդհուպ մինչև տերմինների վերադասավորումը։

(4) Այն, ինչ հետևում է, արդեն ծանոթ է նախորդ երկու խնդիրներից:

Պատասխան.

Քանի որ մենք խոսում ենք երկարության մասին, մի մոռացեք նշել չափը՝ «միավոր»:

Օրինակ 6

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Մենք շարունակում ենք օգտակար բաներ քամել կետային արտադրանքից: Եկեք նորից նայենք մեր բանաձեւին . Օգտագործելով համամասնության կանոնը, մենք վերակայում ենք վեկտորների երկարությունները ձախ կողմի հայտարարին.

Փոխանակենք մասերը.

Ո՞րն է այս բանաձևի իմաստը: Եթե ​​հայտնի են երկու վեկտորների երկարությունները և դրանց սկալյար արտադրյալը, ապա մենք կարող ենք հաշվարկել այդ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը և, հետևաբար, բուն անկյունը։

Արդյո՞ք կետային արտադրյալը թիվ է: Թիվ. Արդյո՞ք վեկտորի երկարությունները թվեր են: Թվեր. Սա նշանակում է, որ կոտորակը նույնպես թիվ է։ Իսկ եթե հայտնի է անկյան կոսինուսը. , ապա օգտագործելով հակադարձ ֆունկցիաԻնքնին անկյունը գտնելը հեշտ է. .

Օրինակ 7

Գտե՛ք վեկտորների միջև եղած անկյունը և եթե հայտնի է, որ .

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Վրա եզրափակիչ փուլհաշվարկներով, օգտագործվել է տեխնիկական տեխնիկա՝ իռացիոնալությունը վերացնելով հայտարարի մեջ։ Իռացիոնալությունը վերացնելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեցի .

Այսպիսով, եթե , Դա:

Հակադարձ արժեքներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներկարելի է գտնել ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակ. Թեև դա հազվադեպ է պատահում: Անալիտիկ երկրաչափության խնդիրներում շատ ավելի հաճախ ինչ-որ անշնորհք արջ է նման, և անկյան արժեքը մոտավորապես պետք է գտնել հաշվիչի միջոցով: Իրականում նման պատկեր կտեսնենք մեկից ավելի անգամ։

Պատասխան.

Կրկին մի մոռացեք նշել չափերը՝ ռադիաններ և աստիճաններ: Անձամբ, ակնհայտորեն «բոլոր հարցերը լուծելու» համար ես նախընտրում եմ նշել երկուսն էլ (եթե պայմանը, իհարկե, չի պահանջում պատասխանը ներկայացնել միայն ռադիաններով կամ միայն աստիճաններով):

Այժմ դուք կարող եք ինքնուրույն հաղթահարել ավելին դժվար գործ:

Օրինակ 7*

Տրված են վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը: Գտե՛ք վեկտորների միջև եղած անկյունը, .

Առաջադրանքը ոչ այնքան բարդ է, որքան բազմաքայլ։
Դիտարկենք լուծման ալգորիթմը.

1) Ըստ պայմանի, դուք պետք է գտնեք անկյունը վեկտորների և , այնպես որ դուք պետք է օգտագործեք բանաձևը. .

2) Գտեք սկալյար արտադրյալը (տե՛ս օրինակներ թիվ 3, 4):

3) Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը և վեկտորի երկարությունը (տե՛ս օրինակներ թիվ 5, 6):

4) Լուծման ավարտը համընկնում է օրինակ 7-ի հետ. մենք գիտենք թիվը, ինչը նշանակում է, որ հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին.

Արագ լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Դասի երկրորդ բաժինը նվիրված է նույն սկալյար արտադրյալին: Կոորդինատներ. Նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան առաջին մասում։

Վեկտորների կետային արտադրյալ,
տրված է կոորդինատներով օրթոնորմալ հիմունքներով

Պատասխան.

Ավելորդ է ասել, որ կոորդինատների հետ գործ ունենալը շատ ավելի հաճելի է։

Օրինակ 14

Գտե՛ք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և եթե

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել գործողության ասոցիատիվությունը, այսինքն՝ չհաշվել, այլ անմիջապես վերցնել եռապատիկը սկալյար արտադրյալից դուրս և վերջին անգամ բազմապատկել այն: Լուծումն ու պատասխանը՝ դասի վերջում։

Պարբերության վերջում վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու սադրիչ օրինակ.

Օրինակ 15

Գտեք վեկտորների երկարությունները , Եթե

Լուծում:մեթոդը նորից ինքն իրեն հուշում է նախորդ բաժինը: , բայց կա ևս մեկ ճանապարհ.

Գտնենք վեկտորը.

Եվ դրա երկարությունը՝ ըստ չնչին բանաձևի :

Սկալյար արտադրանքն այստեղ ընդհանրապես տեղին չէ:

Այն նաև օգտակար չէ վեկտորի երկարությունը հաշվարկելիս.
Դադարեցրեք. Արդյո՞ք մենք չպետք է օգտվենք վեկտորի երկարության ակնհայտ հատկությունից: Ի՞նչ կարող եք ասել վեկտորի երկարության մասին: Այս վեկտորը 5 անգամ ավելի երկար է, քան վեկտորը։ Ուղղությունը հակառակ է, բայց սա նշանակություն չունի, քանի որ խոսքը երկարության մասին է։ Ակնհայտ է, որ վեկտորի երկարությունը հավասար է արտադրյալին մոդուլթվեր մեկ վեկտորի երկարությամբ.
– մոդուլի նշանը «ուտում է» թվի հնարավոր մինուսը:

Այսպիսով.

Պատասխան.

Վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը, որոնք նշված են կոորդինատներով

Այժմ մենք ունենք ամբողջական տեղեկատվություն վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի համար նախկինում ստացված բանաձևը օգտագործելու համար արտահայտել վեկտորի կոորդինատների միջոցով.

Հարթ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսև, սահմանված օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:
.

Տիեզերական վեկտորների միջև անկյան կոսինուս, նշված է օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:

Օրինակ 16

Տրվում է եռանկյան երեք գագաթ: Գտեք (գագաթի անկյուն):

Լուծում:Պայմանների համաձայն, գծանկարը պարտադիր չէ, բայց դեռ.

Պահանջվող անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով: Եկեք անմիջապես հիշենք դպրոցի նշանակումը անկյունի համար. Հատուկ ուշադրությունվրա միջիննամակ - սա մեզ անհրաժեշտ անկյան գագաթն է: Հակիրճ լինելու համար կարող եք նաև գրել պարզապես.

Գծագրից միանգամայն ակնհայտ է, որ եռանկյան անկյունը համընկնում է վեկտորների միջև անկյան հետ և, այլ կերպ ասած. .

Ցանկալի է սովորել, թե ինչպես կատարել վերլուծությունը մտավոր:

Գտնենք վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք սկալյար արտադրյալը.

Եվ վեկտորների երկարությունները.

Անկյունի կոսինուս.

Հենց սա է առաջադրանքի կատարման կարգը, որը ես խորհուրդ եմ տալիս կեղծամներին: Ավելի առաջադեմ ընթերցողները կարող են հաշվարկները գրել «մեկ տողով».

Ահա «վատ» կոսինուսի արժեքի օրինակ: Ստացված արժեքը վերջնական չէ, ուստի ոչ հատուկ նշանակությունազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից.

Եկեք ինքնին գտնենք անկյունը.

Եթե ​​նայեք գծագրին, ապա արդյունքը բավականին հավանական է: Ստուգելու համար անկյունը կարելի է չափել նաև անկյունաչափով։ Մի վնասեք մոնիտորի կափարիչը =)

Պատասխան.

Պատասխանում մենք դա չենք մոռանում հարցրեց եռանկյան անկյան մասին(և ոչ վեկտորների միջև անկյան մասին), մի մոռացեք նշել ճշգրիտ պատասխանը և անկյան մոտավոր արժեքը. , հայտնաբերվել է հաշվիչի միջոցով:

Նրանք, ովքեր հաճույք են ստացել գործընթացից, կարող են հաշվարկել անկյունները և հաստատել կանոնական հավասարության վավերականությունը

Օրինակ 17

Եռանկյունը տարածության մեջ սահմանվում է իր գագաթների կոորդինատներով: Գտեք կողմերի միջև եղած անկյունը և

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում

Վերջնական կարճ հատվածը նվիրված կլինի կանխատեսումներին, որոնք ներառում են նաև սկալյար արտադրանք.

Վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա: Վեկտորի պրոյեկցիա կոորդինատային առանցքների վրա:
Վեկտորի ուղղության կոսինուսները

Դիտարկենք վեկտորները և.

Եկեք նախագծենք վեկտորը վեկտորի վրա, որպեսզի դա անենք, մենք բաց ենք թողնում վեկտորի սկզբից և վերջից ուղղահայացներդեպի վեկտոր (կանաչ կետավոր գծեր): Պատկերացրեք, որ լույսի ճառագայթները ուղղահայաց ընկնում են վեկտորի վրա: Այնուհետև հատվածը (կարմիր գիծը) կլինի վեկտորի «ստվերը»: Այս դեպքում վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա հատվածի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆ է: Այսինքն՝ ՊՐՈԵԿՑԻԱՆ ԹԻՎ Է։

Այս ԹԻՎԸ նշվում է հետևյալ կերպ. «մեծ վեկտորը» նշանակում է վեկտորը ՈՐԸնախագիծը, «փոքր ենթատեքստային վեկտորը» նշանակում է վեկտորը ՎՐԱորը կանխատեսվում է.

Ներառումն ինքնին կարդում է այսպես. «a» վեկտորի պրոյեկցիան դեպի վեկտորի «be»»:

Ի՞նչ կլինի, եթե «be» վեկտորը «չափազանց կարճ» է: Մենք գծում ենք ուղիղ գիծ, ​​որը պարունակում է «be» վեկտորը: Իսկ վեկտորը «ա»-ն արդեն նախագծված կլինի դեպի «լինի» վեկտորի ուղղությամբ, պարզապես - դեպի «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գիծ: Նույնը տեղի կունենա, եթե «a» վեկտորը հետաձգվի երեսուներորդ թագավորությունում, այն դեռ հեշտությամբ կպրոյեկտվի «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գծի վրա:

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև կծու(ինչպես նկարում), ապա

Եթե ​​վեկտորները ուղղանկյուն, ապա (պրոյեկցիան այն կետն է, որի չափերը համարվում են զրո)։

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև բութ(նկարում մտովի վերադասավորեք վեկտորային սլաքը), այնուհետև (նույն երկարությունը, բայց վերցված մինուս նշանով):

Եկեք գծենք այս վեկտորները մեկ կետից.

Ակնհայտ է, որ երբ վեկտորը շարժվում է, նրա պրոյեկցիան չի փոխվում

Անկյուն երկու վեկտորների միջև.

Եթե ​​երկու վեկտորների միջև անկյունը սուր է, ապա դրանց սկալյար արտադրյալը դրական է. եթե վեկտորների միջև անկյունը բութ է, ապա այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալը բացասական է: Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ վեկտորները ուղղանկյուն են:

Զորավարժություններ.Գտե՛ք անկյունը վեկտորների միջև և

Լուծում.Ցանկալի անկյան կոսինուս

16. Ուղիղ գծերի, ուղիղ գծի և հարթության անկյան հաշվարկը

Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջև, հատելով այս ուղիղը և ոչ նրան ուղղահայաց, գծի և այս հարթության վրա դրա ելքի անկյունն է:

Գծի և հարթության միջև անկյունը որոշելը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ գծի և հարթության անկյունը երկու հատվող գծերի՝ հենց ուղիղ գծի և հարթության վրա դրա ելքի անկյունն է: Հետևաբար, ուղիղ գծի և հարթության անկյունը սուր անկյուն է:

Ուղղահայաց ուղիղ գծի և հարթության միջև անկյունը համարվում է հավասար, իսկ զուգահեռ ուղիղ գծի և հարթության անկյունը կամ ընդհանրապես որոշված ​​չէ, կամ համարվում է հավասար:

§ 69. Ուղիղ գծերի միջև անկյան հաշվարկ.

Տիեզերքում երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունը հաշվարկելու խնդիրը լուծվում է այնպես, ինչպես հարթության վրա (§ 32): Ֆ-ով նշանակենք ուղիղների միջև անկյան մեծությունը լ 1 և լ 2, իսկ ψ-ի միջոցով - ուղղության վեկտորների միջև անկյան մեծությունը Ա Եվ բ այս ուղիղ գծերը:

Հետո եթե

ψ 90° (նկ. 206.6), ապա φ = 180° - ψ. Ակնհայտորեն, երկու դեպքում էլ cos φ = |cos ψ| հավասարությունը ճիշտ է: Բանաձևով (1) § 20 մենք ունենք

հետևաբար,

Թող տողերը տրվեն իրենց կանոնական հավասարումներով

Այնուհետև գծերի միջև φ անկյունը որոշվում է բանաձևով

Եթե ​​ուղիղներից մեկը (կամ երկուսն էլ) տրված է ոչ կանոնական հավասարումներով, ապա անկյունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այդ ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները, այնուհետև օգտագործել (1) բանաձևը։

17. Զուգահեռ ուղիղներ, Թեորեմներ զուգահեռ ուղիղների մասին

Սահմանում.Հարթության մեջ երկու տող են կոչվում զուգահեռ, եթե չունեն ընդհանուր կետեր։

Եռաչափ տարածության երկու տողերը կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք պառկած են նույն հարթության վրա և չունեն ընդհանուր կետեր։

Անկյուն երկու վեկտորների միջև:

Կետային արտադրանքի սահմանումից.

.

Երկու վեկտորների ուղղանկյունության պայման:

Երկու վեկտորների համակողմանիության պայման.

.

Հետևում է 5-րդ սահմանումից - . Իսկապես, վեկտորի և թվի արտադրյալի սահմանումից հետևում է. Ուստի վեկտորների հավասարության կանոնից ելնելով գրում ենք , , , որը ենթադրում է . Բայց վեկտորը թվով բազմապատկելուց առաջացող վեկտորը համագիծ է վեկտորին:

Վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա.

.

Օրինակ 4. Տրված միավորներ , , , .

Գտեք կետային արտադրանքը:

Լուծում. մենք գտնում ենք, որ օգտագործելով վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևը, որը նշված է նրանց կոորդինատներով: Քանի որ

, ,

Օրինակ 5.Տրված միավորներ , , , .

Գտեք պրոյեկցիան:

Լուծում. Քանի որ

, ,

Ելնելով պրոյեկցիոն բանաձեւից՝ ունենք

.

Օրինակ 6.Տրված միավորներ , , , .

Գտե՛ք վեկտորների և .

Լուծում. Նշենք, որ վեկտորները

, ,

համաչափ չեն, քանի որ դրանց կոորդինատները համաչափ չեն.

.

Այս վեկտորները նույնպես ուղղահայաց չեն, քանի որ դրանց սկալյար արտադրյալը .

Եկեք գտնենք

Անկյուն բանաձևից մենք գտնում ենք.

.

Օրինակ 7.Որոշեք, թե ինչ վեկտորներով և համագիծ.

Լուծում. Կոլինայնության դեպքում՝ վեկտորների համապատասխան կոորդինատները և պետք է լինի համամասնական, այսինքն.

.

Ուստի և.

Օրինակ 8. Որոշեք, թե վեկտորի ինչ արժեքով Եվ ուղղահայաց.

Լուծում. Վեկտոր և ուղղահայաց են, եթե դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է: Այս պայմանից մենք ստանում ենք. Այն է, .

Օրինակ 9. Գտեք , Եթե , , .

Լուծում. Սկալյար արտադրանքի հատկությունների շնորհիվ մենք ունենք.

Օրինակ 10. Գտեք անկյունը վեկտորների և , որտեղ և - միավոր վեկտորները և վեկտորների միջև եղած անկյունը և հավասար է 120°-ի:

Լուծում. Մենք ունենք: , ,

Վերջապես մենք ունենք. .

5 Բ. Վեկտորային արվեստի գործեր.

Սահմանում 21.Վեկտորային արվեստի գործերվեկտոր առ վեկտոր կոչվում է վեկտոր կամ սահմանվում է հետևյալ երեք պայմաններով.

1) Վեկտորի մոդուլը հավասար է, որտեղ է անկյունը վեկտորների և , այսինքն. .

Դրանից բխում է, որ վեկտորի արտադրյալի մոդուլը թվային է մակերեսին հավասարվեկտորների և երկու կողմերի վրա կառուցված զուգահեռագիծ:

2) Վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներից յուրաքանչյուրին և ( ; ), այսինքն. ուղղահայաց է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի հարթությանը և .

3) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ եթե դիտենք նրա ծայրից, ապա վեկտորից վեկտոր ամենակարճ պտույտը կլինի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (վեկտորները , , կազմում են աջակողմյան եռյակ):

Ինչպե՞ս հաշվարկել անկյունները վեկտորների միջև:

Երկրաչափություն ուսումնասիրելիս բազմաթիվ հարցեր են առաջանում վեկտորների թեմայի շուրջ։ Աշակերտը որոշակի դժվարություններ է ունենում, երբ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորների միջև եղած անկյունները:

Հիմնական տերմիններ

Վեկտորների միջև անկյուններին նայելուց առաջ անհրաժեշտ է ծանոթանալ վեկտորի սահմանմանը և վեկտորների միջև անկյուն հասկացությանը:

Վեկտորը այն հատվածն է, որն ունի ուղղություն, այսինքն՝ հատված, որի համար սահմանված են նրա սկիզբն ու վերջը։

Ընդհանուր ծագում ունեցող հարթության վրա երկու վեկտորների միջև անկյունը անկյուններից փոքրն է այն չափով, որով վեկտորներից մեկը պետք է տեղափոխվի ընդհանուր կետի շուրջ, մինչև դրանց ուղղությունները համընկնեն:

Լուծման բանաձև

Երբ հասկանաք, թե ինչ է վեկտորը և ինչպես է որոշվում նրա անկյունը, կարող եք հաշվարկել վեկտորների միջև եղած անկյունը: Սրա լուծման բանաձևը բավականին պարզ է, և դրա կիրառման արդյունքը կլինի անկյան կոսինուսի արժեքը: Ըստ սահմանման՝ այն հավասար է վեկտորների սկալյար արտադրյալի և դրանց երկարությունների արտադրյալի գործակցին։

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հաշվարկվում է որպես գործակիցների վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումար՝ բազմապատկված միմյանցով։ Վեկտորի երկարությունը կամ նրա մոդուլը հաշվարկվում է որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ:

Ստանալով անկյան կոսինուսի արժեքը, դուք կարող եք հաշվարկել հենց անկյան արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ կամ օգտագործելով եռանկյունաչափական աղյուսակը:

Օրինակ

Երբ պարզեք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վեկտորների միջև անկյունը, համապատասխան խնդրի լուծումը կդառնա պարզ և պարզ: Որպես օրինակ՝ արժե դիտարկել անկյան արժեքը գտնելու պարզ խնդիրը։

Նախևառաջ, ավելի հարմար կլինի հաշվարկել վեկտորների երկարությունների և լուծման համար անհրաժեշտ դրանց սկալյար արտադրանքի արժեքները: Օգտագործելով վերը ներկայացված նկարագրությունը, մենք ստանում ենք.

Ստացված արժեքները փոխարինելով բանաձևով, մենք հաշվարկում ենք ցանկալի անկյան կոսինուսի արժեքը.

Այս թիվը հինգ ընդհանուր կոսինուսի արժեքներից չէ, ուստի անկյունը ստանալու համար դուք պետք է օգտագործեք հաշվիչ կամ Բրադիսի եռանկյունաչափական աղյուսակը: Բայց նախքան վեկտորների միջև անկյունը ստանալը, բանաձևը կարելի է պարզեցնել՝ լրացուցիչ բացասական նշանից ազատվելու համար.

Ճշգրտությունը պահպանելու համար վերջնական պատասխանը կարելի է թողնել այնպես, ինչպես կա, կամ կարող եք հաշվարկել անկյան արժեքը աստիճաններով: Ըստ Bradis աղյուսակի՝ դրա արժեքը կլինի մոտավորապես 116 աստիճան 70 րոպե, իսկ հաշվիչը ցույց կտա 116,57 աստիճան արժեքը։

Անկյունի հաշվարկ n-չափ տարածությունում

Եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտոր դիտարկելիս շատ ավելի դժվար է հասկանալ, թե որ անկյան մասին է խոսքը, եթե դրանք նույն հարթության մեջ չեն: Ընկալումը պարզեցնելու համար դուք կարող եք նկարել երկու հատվող հատվածներ, որոնք կազմում են նրանց միջև ամենափոքր անկյունը, սա կլինի ցանկալիը: Թեև վեկտորում կա երրորդ կոորդինատը, վեկտորների միջև անկյունների հաշվարկման գործընթացը չի փոխվի: Հաշվեք վեկտորների սկալյար արտադրյալը և մոդուլները, որոնք կպատասխանեն դրանց գործակիցի աղեղային կոսինուսին:

Երկրաչափության մեջ հաճախ խնդիրներ են լինում այն ​​տարածությունների հետ, որոնք ունեն ավելի քան երեք չափումներ: Բայց նրանց համար պատասխանը գտնելու ալգորիթմը նման է:

Տարբերությունը 0-ից 180 աստիճանի միջև

Վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելու համար նախատեսված խնդրի պատասխանը գրելիս տարածված սխալներից մեկը վեկտորների զուգահեռ լինելու որոշումն է, այսինքն՝ ցանկալի անկյունը հավասար է 0 կամ 180 աստիճանի: Այս պատասխանը ճիշտ չէ։

Լուծման արդյունքում ստանալով 0 աստիճանի անկյան արժեքը՝ ճիշտ պատասխանը կլինի վեկտորները նշանակել որպես համակողմանի, այսինքն՝ վեկտորները կունենան նույն ուղղությունը։ Եթե ​​ստացվի 180 աստիճան, ապա վեկտորները հակառակ ուղղություն կունենան։

Հատուկ վեկտորներ

Գտնելով վեկտորների միջև անկյունները, դուք կարող եք գտնել հատուկ տեսակներից մեկը, ի լրումն վերը նկարագրված համակողմանի և հակառակ ուղղությամբ:

• Մի հարթությանը զուգահեռ մի քանի վեկտորներ կոչվում են համահավասար:
• Երկարությամբ և ուղղությամբ նույն վեկտորները կոչվում են հավասար:
• Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, անկախ ուղղությունից, կոչվում են համագիծ:
• Եթե ​​վեկտորի երկարությունը զրո է, այսինքն՝ նրա սկիզբն ու վերջը համընկնում են, ապա այն կոչվում է զրո, իսկ եթե մեկ է, ապա միավոր։

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը վեկտորների միջև:

Օգնեցեք, խնդրում եմ! Ես գիտեմ բանաձևը, բայց չեմ կարող այն հաշվարկել ((
վեկտոր a (8; 10; 4) վեկտոր b (5; -20; -10)

Ալեքսանդր Տիտով

Նրանց կոորդինատներով նշված վեկտորների միջև անկյունը հայտնաբերվում է ստանդարտ ալգորիթմի միջոցով: Նախ պետք է գտնել a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2: Մենք այստեղ փոխարինում ենք այս վեկտորների կոորդինատները և հաշվարկում.
(ա,բ) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200:
Հաջորդը, մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր վեկտորի երկարությունը: Վեկտորի երկարությունը կամ մոդուլը նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատն է.
|ա| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) = արմատը (8^2 + 10^2 + 4^2) = արմատը (64 + 100 + 16) = արմատը 180 = 6 արմատը 5
|բ| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) = արմատը (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = արմատը (25 + 400 + 100) = արմատը 525-ից = 21-ից 5 արմատ:
Մենք բազմապատկում ենք այս երկարությունները: 105-ից ստանում ենք 30 արմատ։
Եվ վերջապես, մենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը բաժանում ենք այս վեկտորների երկարությունների արտադրյալի վրա։ Մենք ստանում ենք -200/(105-ի 30 արմատ) կամ
- (105-ի 4 արմատ) / 63. Սա վեկտորների միջև անկյան կոսինուսն է: Իսկ անկյունն ինքնին հավասար է այս թվի աղեղային կոսինուսին
f = arccos (-4 արմատ 105) / 63.
Եթե ​​ես ամեն ինչ ճիշտ հաշվեյի։

Ինչպես հաշվարկել վեկտորների միջև անկյան սինուսը՝ օգտագործելով վեկտորների կոորդինատները

Միխայիլ Տկաչև

Եկեք բազմապատկենք այս վեկտորները: Նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։
Անկյունը մեզ անհայտ է, բայց կոորդինատները հայտնի են։
Եկեք մաթեմատիկորեն գրենք այսպես.
Տրված լինեն a(x1;y1) և b(x2;y2) վեկտորները
Հետո

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Եկեք խոսենք.
a*b-վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների կոորդինատների համապատասխան կոորդինատների արտադրյալների գումարին, այսինքն՝ հավասար է x1*x2+y1*y2-ի։

|a|*|b|-վեկտորի երկարությունների արտադրյալը հավասար է √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2):

Սա նշանակում է, որ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը հավասար է.

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Իմանալով անկյան կոսինուսը՝ կարող ենք հաշվել նրա սինուսը։ Եկեք քննարկենք, թե ինչպես դա անել.

Եթե ​​անկյան կոսինուսը դրական է, ապա այս անկյունը գտնվում է 1 կամ 4 քառորդում, ինչը նշանակում է, որ նրա սինուսը կա՛մ դրական է, կա՛մ բացասական: Բայց քանի որ վեկտորների միջև անկյունը փոքր է կամ հավասար է 180 աստիճանի, ուրեմն դրա սինուսը դրական է։ Մենք նույն կերպ ենք պատճառաբանում, եթե կոսինուսը բացասական է:

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ահա և վերջ)))) հաջողություն հայտնեք)))

Դմիտրի Լևիշչև

Այն փաստը, որ անհնար է ուղղակիորեն սինուս անել, ճիշտ չէ:
Բացի բանաձևից.
(ա,բ)=|ա|*|բ|*կոս Ա
Կա նաև այս մեկը.
||=|ա|*|բ|*մեղս Ա
Այսինքն՝ սկալյար արտադրյալի փոխարեն կարող եք վերցնել վեկտորի արտադրյալի մոդուլը։