Ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը lբոլորը կանչված են ոչ զրոյական վեկտոր (մ, n) այս ուղղին զուգահեռ:

Թող կետը Մ 1 (x 1 , y 1) և ուղղության վեկտորը ( մ, n), ապա կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 1-ը վեկտորի ուղղությամբ ունի ձև. . Այս հավասարումը կոչվում է գծի կանոնական հավասարում։

Օրինակ.Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Մենք կփնտրենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Axe+By+C= 0. Գրենք տողի կանոնական հավասարումը, փոխակերպենք այն: Ստացեք x + y - 3 = 0

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Թող երկու միավոր տրվի հարթության վրա Մ 1 (x 1 , y 1) և Մ 2 (x 2, y 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. . Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի:

Օրինակ.Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և թեքությունից

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ah + Wu + C= 0 բերեք ձևին և նշանակեք , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է k թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարում:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Եթե ​​ընդհանուր հավասարման մեջ գիծը Ah + Wu + C= 0 գործակից ԻՑ¹ 0, ապա բաժանելով C-ի, մենք ստանում ենք. կամ, որտեղ

երկրաչափական իմաստգործակիցները այդ գործակիցը բայցգծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատն է Օ՜, բայց բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ.Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը X – ժամը+ 1 = 0. Գտեք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով: A = -1, B = 1, C = 1, ապա բայց = -1, բ= 1. Հատվածներով ուղիղ գծի հավասարումը կունենա .

Օրինակ.Տրված են A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Ցանկալի բարձրության հավասարումը ունի ձև. Axe+By+C= 0 կամ y = kx + b.

կ= . Հետո y= . Որովհետեւ բարձրությունն անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղ բ= 17. Ընդամենը:

Պատասխան՝ 3 x + 2y – 34 = 0.

Պրակտիկա թիվ 7

Դասի անվանումը: Երկրորդ կարգի կորեր.

Դասի նպատակը.Իմացեք, թե ինչպես պատրաստել 2-րդ կարգի կորեր, կառուցել դրանք:

Դասի նախապատրաստում.Կրկնել տեսական նյութ«2-րդ կարգի կորեր» թեմայով

Գրականություն:

1. Դադայան Ա.Ա. «Մաթեմատիկա», 2004 թ

Առաջադրանք դասի համար.

Դասի հերթականությունը.

1. Ստացեք աշխատանքի թույլտվություն
2. Ավարտեք առաջադրանքները
3. Պատասխանել անվտանգության հարցերին.

1. Անունը, դասի նպատակը, առաջադրանքը;
2. Կատարված առաջադրանք;
3. Վերահսկիչ հարցերի պատասխաններ:

թեստի հարցերօֆսեթի համար.

1. Սահմանե՛ք երկրորդ կարգի կորեր (շրջան, էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա), գրե՛ք դրանց կանոնական հավասարումները։
2. Ինչպե՞ս է կոչվում էլիպսի կամ հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը: Ինչպե՞ս գտնել այն:
3. Գրի՛ր հավասարակողմ հիպերբոլայի հավասարումը

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

շրջապատհարթության բոլոր կետերի բազմությունն է մեկ կետից հավասար հեռավորության վրա, որը կոչվում է կենտրոն:

Թող շրջանագծի կենտրոնը լինի կետ ՄԱՍԻՆ(ա; բ), և ցանկացած կետի հեռավորությունը Մ(x;y) շրջանը հավասար է Ռ. Հետո ( x-a) 2 + (յ-բ) 2 = Ռ 2 – կենտրոնով շրջանագծի կանոնական հավասարում ՄԱՍԻՆ(ա; բ) և շառավիղը Ռ.

Օրինակ.Գտե՛ք շրջանագծի կենտրոնի և շառավղի կոորդինատները, եթե նրա հավասարումը տրված է հետևյալ կերպ x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Գտնել շրջանագծի կենտրոնի և շառավիղի կոորդինատները տրված հավասարումըպետք է վերածվի կանոնական ձևի։ Դա անելու համար ընտրեք ամբողջական քառակուսիները.

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Այստեղից մենք գտնում ենք կենտրոնի կոորդինատները ՄԱՍԻՆ(2; -5/4); շառավիղը Ռ = 11/4.

Էլիպսհարթության մեջ կոչվում է կետերի հավաքածու, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված կետեր (կոչվում են օջախներ) հեռավորությունների գումարը հաստատուն արժեք է, որն ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը:

Ֆոկուսները նշվում են տառերով Ֆ 1 , Ֆ -ից, էլիպսի ցանկացած կետից մինչև կիզակետերը հեռավորությունների գումարը 2 է բայց (2բայց > 2գ), ա- մեծ կիսաառանցք; բ- փոքր կիսաառանցք.

Էլիպսի կանոնական հավասարումն է՝ , որտեղ ա, բԵվ գմիմյանց հետ կապված հավասարություններով. a 2 - b 2 \u003d c 2 (կամ b 2 - a 2 \u003d c 2):

Էլիպսի ձևը որոշվում է բնութագրիչով, որը կիզակետային երկարության և հիմնական առանցքի երկարության հարաբերակցությունն է և կոչվում է էքսցենտրիկություն: կամ .

Որովհետեւ ըստ սահմանման 2 բայց> 2գ, ապա էքսցենտրիկությունը միշտ արտահայտվում է պատշաճ կոտորակի տեսքով, այսինքն. .

Օրինակ.Գրե՛ք էլիպսի հավասարումը, եթե նրա օջախներն են F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), հիմնական առանցքը 2 է:

Էլիպսի հավասարումն ունի ձև՝ .

Ֆոկուսների միջև հեռավորությունը՝ 2 գ= , այսպիսով, ա 2 – բ 2 = գ 2 =. 2-րդ պայմանով բայց= 2, ուրեմն բայց = 1, բ= Էլիպսի ցանկալի հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝ .

Հիպերբոլիակոչվում է հարթության կետերի բազմություն, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված կետերը, որոնք կոչվում են օջախներ, հեռավորությունների տարբերությունը հաստատուն արժեք է, որը փոքր է օջախների միջև եղած հեռավորությունից:

Հիպերբոլայի կանոնական հավասարումն ունի ձև՝ կամ , որտեղ ա, բԵվ գկապված հավասարությամբ a 2 + b 2 = c 2:Հիպերբոլան սիմետրիկ է օջախները միացնող հատվածի միջին մասի և կոորդինատային առանցքների նկատմամբ։ Ֆոկուսները նշվում են տառերով Ֆ 1 , Ֆ 2, կիզակետերի միջև հեռավորությունը՝ 2 -ից, հիպերբոլայի ցանկացած կետից մինչև կիզակետերը հեռավորությունների տարբերությունը 2 է բայց (2բայց < 2գ): Առանցք 2 բայցկոչվում է հիպերբոլայի իրական առանցք, առանցք 2 բհիպերբոլայի երևակայական առանցքն է։ Հիպերբոլան ունի երկու ասիմպտոտ, որոնց հավասարումներն են

Հիպերբոլայի էքսցենտրիսիտետը կիզակետերի միջև հեռավորության հարաբերությունն է իրական առանցքի երկարությանը կամ. Որովհետեւ ըստ սահմանման 2 բայց < 2գ, ապա հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը միշտ արտահայտվում է ոչ պատշաճ կոտորակի տեսքով, այսինքն. .

Եթե ​​իրական առանցքի երկարությունը հավասար է երևակայական առանցքի երկարությանը, այսինքն. ա = բ, ε = , ապա կոչվում է հիպերբոլա հավասարակողմ.

Օրինակ.Գրե՛ք հիպերբոլայի կանոնական հավասարումը, եթե դրա էքսցենտրիկությունը 2 է, իսկ օջախները համընկնում են հավասարման հետ էլիպսի օջախների հետ։

Մենք գտնում ենք կիզակետային երկարությունը գ 2 = 25 – 9 = 16.

Հիպերբոլիայի համար. գ 2 = ա 2 + բ 2 = 16, ε = c/a = 2; գ = 2ա; գ 2 = 4ա 2 ; ա 2 = 4; բ 2 = 16 – 4 = 12.

Այնուհետև - հիպերբոլայի ցանկալի հավասարումը:

պարաբոլահավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի բազմությունն է տրված կետ, որը կոչվում է կիզակետ, և տրված ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է ուղղագիծ:

Պարաբոլայի կիզակետը նշվում է տառով Ֆ, տնօրեն - դ, հեռավորությունը կիզակետից մինչև ուղղագիծ է Ռ.

Պարաբոլայի կանոնական հավասարումը, որի կիզակետը գտնվում է x առանցքի վրա, հետևյալն է.

y 2 = 2pxկամ y 2 = -2px

x = -էջ/2, x = էջ/2

Պարաբոլայի կանոնական հավասարումը, որի կենտրոնացումը գտնվում է y առանցքի վրա, հետևյալն է.

X 2 = 2pyկամ X 2 = -2py

Directrix հավասարումներ, համապատասխանաբար ժամը = -էջ/2, ժամը = էջ/2

Օրինակ.Պարաբոլայի վրա ժամը 2 = 8XԳտեք մի կետ, որի հեռավորությունը ուղղորդիչից 4 է:

Պարաբոլայի հավասարումից մենք ստանում ենք, որ Ռ = 4. r=x + էջ/2 = 4; Հետևաբար.

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Որոնման կետեր. Մ 1 (2; 4), Մ 2 (2; -4).

Պրակտիկա թիվ 8

Դասի անվանումը: Գործողություններ բարդ թվերի վրա հանրահաշվական ձևով: Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մեկնաբանություն.

Դասի նպատակը.Իմացեք, թե ինչպես գործել բարդ թվերի վրա:

Դասի նախապատրաստում.Կրկնել տեսական նյութը «Բարդ թվեր» թեմայով։

Գրականություն:

1. Գրիգորիև Վ.Պ., Դուբինսկի Յու.Ա. «Տարրեր բարձրագույն մաթեմատիկա», 2008 թ

Առաջադրանք դասի համար.

1. Հաշվարկել:

1) ես 145 + ես 147 + ես 264 + ես 345 + ես 117 ;

2) (ես 64 + ես 17 + ես 13 + ես 82) ( ես 72 – ես 34);

Թող ուղիղ գիծն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y- y 1 \u003d ձև կ (x - x 1), (10.6)

որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարումը (10.6). y 2 -y 1 \u003d կ (x 2 -x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 \u003d x 2, ապա M 1 (x 1, y I) և M 2 (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը զուգահեռ է y առանցքին: Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե ​​y 2 \u003d y I, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել որպես y \u003d y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է x առանցքին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a; 0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0; b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում ուղիղ գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցրեք կամայական M(x; y) կետը ուղիղ գծի վրա և հաշվի առեք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Ուղղությանը ուղղահայաց n = (A; B) վեկտորը կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C \u003d -Ax o - Vu o - ազատ անդամ: Հավասարում (10.9) ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ.2):

Նկ.1 Նկ.2

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
այն կետի կոորդինատներն են, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի շրջանագծի կորեր

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրից մինչև տրված երկու կետերի հեռավորությունների գումարը։ Եվ , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա և որի սկզբնակետը գտնվում է միջնամասում գտնվող օջախների միջև, ունի ձև.
Գ դեա հիմնական կիսաառանցքի երկարությունը;բ փոքր կիսաառանցքի երկարությունն է (նկ. 2):

t.u-ով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Ա (հա; վահ)եւ ունենալով թեքություն k,գրված է ձևով

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումըՏ. A (x 1; y 1)և այլն: B (x 2; y 2), ունի ձևը

Եթե ​​միավորները ԲԱՅՑԵվ INսահմանել ուղիղ գիծ Ox առանցքին զուգահեռ (y 1 \u003d y 2)կամ y առանցք (x 1 = x 2),ապա այդպիսի ուղիղ գծի հավասարումը գրվում է համապատասխանաբար ձևով.

y = y 1կամ x = x 1(7)

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում

Թող տրվի C ուղիղ, որն անցնում է Mo(Xo; V0) տրված կետով և ուղղահայաց է վեկտորին (A; B): Տրված ուղղին ուղղահայաց ցանկացած վեկտոր կոչվում է իր նորմալ վեկտոր. Եկեք ընտրենք կամայական M կետ ուղիղի վրա (x; y):Հետո, ինչը նշանակում է, որ նրանք սկալյար արտադրանք. Այս հավասարությունը կարելի է գրել կոորդինատներով

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Կանչվում է հավասարումը (8): ուղիղ գծի նորմալ հավասարում .

Ուղիղ գծի պարամետրային և կանոնական հավասարումներ

Թող գիծը լտրված է մեկնարկային կետով M 0 (x 0; y 0)և ուղղության վեկտորը ( ա 1; ա 2),. Թող տ. M(x; y)- գծի ցանկացած կետ լԱյնուհետև վեկտորը համակողմանի է վեկտորին: Հետևաբար, = . Այս հավասարումը կոորդինատներով գրելով՝ ստանում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումը

Բացառենք t պարամետրը հավասարումից (9): Դա հնարավոր է, քանի որ վեկտորը, և հետևաբար դրա կոորդինատներից առնվազն մեկը զրոյական չէ:

Թող և, ապա, և, հետևաբար,

Կանչվում է հավասարումը (10): գծի կանոնական հավասարումը ուղեցույցի վեկտորով

\u003d (a 1; a 2):Եթե ա 1 = 0և , ապա (9) հավասարումները ստանում են ձև

Այս հավասարումները սահմանում են առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, OUև անցնելով կետով

M 0 (x 0; y 0):

x=x 0(11)

Եթե ​​, , ապա (9) հավասարումները ստանում են ձև

Այս հավասարումները սահմանում են O առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ Xև անցնելով կետով

M 0 (x 0; y 0):Նման ուղիղ գծի կանոնական հավասարումն ունի ձևը

y=y 0(12)

Անկյուն գծերի միջև: Երկուսի զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանը

ուղիղ

Թող տրվի ընդհանուր հավասարումներով տրված երկու ուղիղ.

Եվ

Հետո անկյունը φ նրանց միջև որոշվում է բանաձևով.

(13)

Զուգահեռ վիճակ 2 ուղիղ գծեր. (14)

Ուղղահայաց վիճակ 2 ուղիղ գծեր. (15)

Զուգահեռ վիճակայս դեպքում ունի ձև՝ (17)

Ուղղահայաց վիճակուղիղ: (18)

Եթե ​​երկու տող տրված է կանոնական հավասարումներով.

Եվ

ապա այս տողերի միջև φ անկյունը որոշվում է բանաձևով.

(19)

Զուգահեռ վիճակուղիղ: (20)

Ուղղահայաց վիճակուղղակի: (21)

Հեռավորությունը կետից տող

Հեռավորությունը դկետից M (x 1; y 1)դեպի ուղիղ Ax+By+C=0հաշվարկված բանաձևով

(22)

Իրականացման օրինակ գործնական աշխատանք

Օրինակ 1Կառուցեք տող 3 X- 2ժամը+6=0.

Լուծում՝ ուղիղ կառուցելու համար բավական է իմանալ դրա ցանկացած երկու կետերը, օրինակ՝ նրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։ Ox առանցքի հետ գծի հատման A կետը կարելի է ստանալ, եթե գծի հավասարման մեջ վերցնենք y \u003d 0: Այնուհետև ունենք 3 X+6=0, այսինքն. X=-2. Այս կերպ, ԲԱՅՑ(–2;0).

Հետո INգծի հատում առանցքի հետ OUունի աբսցիսսա X=0; այստեղից էլ կետի օրդինատը INԳտնվում է -2 հավասարումից y+ 6=0, այսինքն. y=3. Այս կերպ, IN(0;3).

Օրինակ 2Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը կտրում է բացասական կես հարթությունը OUհատված, որը հավասար է 2 միավորի և ձևավորվում է առանցքի հետ Օ՜անկյուն φ =30˚.

Լուծում. Գիծը հատում է առանցքը OUկետում IN(0;–2) և ունի թեքություն կ=tg φ= = . Ենթադրելով (2) հավասարման մեջ. կ= և բ= –2, մենք ստանում ենք ցանկալի հավասարումը

Կամ .

Օրինակ 3 ԲԱՅՑ(–1; 2) և

IN(0;–3): (ժամը վկայությունՈւղիղ գծի թեքությունը հայտնաբերվում է բանաձևով (3))

Լուծում: .Այստեղից մենք ունենք . Կոորդինատները փոխարինելով այս հավասարման մեջ t.V,մենք ստանում ենք. , այսինքն. սկզբնական օրդինատ բ= -3. Այնուհետև մենք ստանում ենք հավասարումը.

Օրինակ 4Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում 2 X – 3ժամը– 6 = 0 հանգեցնում է հատվածների հավասարմանը:

Լուծում․ այս հավասարումը գրում ենք 2 ձևով X– 3ժամը=6 և նրա երկու մասերը բաժանիր ազատ անդամի վրա. Սա այս ուղիղ գծի հավասարումն է հատվածներով:

Օրինակ 5Կետի միջով ԲԱՅՑ(1;2) գծեք ուղիղ գիծ, ​​որը կտրում է հավասար հատվածներ կոորդինատների դրական կիսաառանցքների վրա:

Լուծում. Ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը թող լինի ըստ պայմանի ձևի բայց=բ. Այսպիսով, հավասարումը դառնում է X+ ժամը= բայց. Քանի որ A կետը (1; 2) պատկանում է այս ուղղին, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են հավասարումը X + ժամը= բայց; դրանք. 1 + 2 = բայց, որտեղ բայց= 3. Այսպիսով, ցանկալի հավասարումը գրված է հետևյալ կերպ. x + y = 3, կամ x + y - 3 = 0.

Օրինակ 6Ուղիղ համար Գրի՛ր հավասարումը հատվածներով. Հաշվեք այս գծով ձևավորված եռանկյունու մակերեսը և կոորդինատային առանցքները:

Լուծում. Այս հավասարումը փոխակերպենք հետևյալ կերպ. , կամ .

Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը , որը տրված ուղիղ գծի հավասարումն է հատվածներով։ Տրված ուղիղով և կոորդինատային առանցքներով կազմված եռանկյունն է ուղղանկյուն եռանկյուն 4-ի և 3-ի հավասար ոտքերով, ուստի նրա մակերեսը հավասար է S=-ի (քառ. միավոր)

Օրինակ 7Գրեք ուղիղ գծի հավասարում, որն անցնում է (–2; 5) կետով և առանցքով գեներատորի Օ՜անկյուն 45º.

Լուծում. Ցանկալի ուղիղ գծի թեքություն կ= tg 45º = 1: Հետևաբար, օգտագործելով (5) հավասարումը, մենք ստանում ենք y - 5 = x- (-2), կամ x - y + 7 = 0.

Օրինակ 8Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ԲԱՅՑ(–3; 5) և IN( 7; –2).

Լուծում. Եկեք օգտագործենք (6) հավասարումը.

, կամ, որտեղից 7 X + 10ժամը – 29 = 0.

Օրինակ 9Ստուգեք, արդյոք կետերը ստում են ԲԱՅՑ(5; 2), IN(3; 1) և ԻՑ(–1; –1) մեկ ուղիղ գծի վրա։

Լուծում. Կազմե՛ք կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ԲԱՅՑԵվ ԻՑ:

, կամ

Այս հավասարման մեջ փոխարինելով կետի կոորդինատները IN (xB= 3 և y B = 1), մենք ստանում ենք (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), այսինքն. մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն: Այսպիսով, կետերի կոորդինատները INբավարարել ուղիղ գծի հավասարումը ( AC), այսինքն. .

Օրինակ 10:Գրե՛ք t A-ով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (2; -3):

Ուղղահայաց =(-1;5)

Լուծում. Օգտագործելով (8) բանաձևը, մենք գտնում ենք այս ուղիղի հավասարումը -1(x-2)+5(y+3)=0,

կամ վերջապես, x - 5 y - 17 \u003d 0:

Օրինակ 11Տրված միավորներ Մ 1(2;-1) և Մ 2(4; 5): Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 1վեկտորին ուղղահայաց Լուծում. Ցանկալի ուղիղ գծի նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ (2; 6), հետևաբար, ըստ (8) բանաձևի, մենք ստանում ենք հավասարումը. 2(x-2)+6(y+1)=0կամ x+3y +1=0.

Օրինակ 12: Եվ .

Լուծում: .

Օրինակ 13:

Լուծում. ա) ;

Օրինակ 14:Հաշվեք տողերի միջև անկյունը

Լուծում:

Օրինակ 15:Պարզել փոխադարձ պայմանավորվածությունուղղակի:

Լուծում:

Օրինակ 16:գտե՛ք գծերի միջև եղած անկյունը և.

Լուծում.

Օրինակ 17:պարզել տողերի հարաբերական դիրքը.

Լուծում` ա ) - գծերը զուգահեռ են;

բ) նշանակում է, որ գծերն ուղղահայաց են:

Օրինակ 18:Հաշվե՛ք M(6; 8) կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը

Լուծում. համաձայն (22) բանաձևի մենք ստանում ենք. .

Առաջադրանքներ համար գործնական նիստ:

Տարբերակ 1

1. 2x+3y-6=0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը բերեք հավասարմանը հատվածներով և համապատասխան կոորդինատային անկյան տակ հաշվարկեք այս ուղիղ գծով կտրված եռանկյան մակերեսը.

2. ∆ABC-ում գագաթներն ունեն A (-3;4), B կետ (-4;-3), C (8;1) կետի կոորդինատները: Կազմե՛ք կողմի (AB), բարձրության (VC) և միջինի (CM) հավասարումները;

3. Հաշվի՛ր M 0 (-2; 4) կետով անցնող և (6; -1) վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի թեքությունը;

4. Հաշվի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

4. Հաշվե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը.

ա) 2x - 3y + 7 = 0 և 3x - y + 5 = 0; բ) և y = 2x – 4;

5. Որոշե՛ք 2 ուղիղների հարաբերական դիրքը և.

, եթե հայտնի են t.A (18; 8) և t. B (-2; -6) հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

Տարբերակ 3

1. 4x-5y+20=0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը բերեք հավասարմանը հատվածներով և համապատասխան կոորդինատային անկյան տակ հաշվարկեք այս ուղիղ գծով կտրված եռանկյան մակերեսը.

2. ∆ABC-ում գագաթներն ունեն A կետի կոորդինատներ (3;-2), B կետ (7;3), կետեր.

C(0;8): Կազմե՛ք կողմի (AB), բարձրության (VC) և միջինի (CM) հավասարումները;

3. Հաշվե՛ք M 0 (-1;-2) կետով անցնող ուղիղ գծի թեքությունը և.

վեկտորին զուգահեռ (3;-5);

4. Հաշվի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

ա) 3x + y - 7 = 0 և x - y + 4 = 0; բ) և;

5. Որոշիր 2 տողի հարաբերական դիրքը և y = 5x + 3;

6. Հաշվե՛ք AB հատվածի միջնամասից ուղիղ գիծ հեռավորությունը , եթե հայտնի են t.A (4; -3) և t.B (-6; 5) հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

Տարբերակ 4

1. 12x-5y+60=0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը բերել հավասարման հատվածներով և հաշվել հատվածի երկարությունը, որը կտրված է այս ուղիղ գծից համապատասխան կոորդինատային անկյան տակ;

2. ∆ABC-ում գագաթներն ունեն A կետի կոորդինատները (0;-2), B կետը (3;6), C կետը (1;-4): Կազմե՛ք կողմի (AB), բարձրության (VC) և միջինի (CM) հավասարումները;

3. Հաշվի՛ր M 0 (4;4) կետով անցնող և (-2;7) վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի թեքությունը;

4. Հաշվի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

ա) x +4 y + 8 = 0 և 7x - 3y + 5 = 0; բ) և;

5. Որոշե՛ք 2 ուղիղների հարաբերական դիրքը և.

6. Հաշվե՛ք AB հատվածի միջնամասից ուղիղ գիծ հեռավորությունը , եթե հայտնի են t.A (-4; 8) և t.B (0; 4) հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

թեստի հարցեր

1. Անվանի՛ր հարթության ուղիղ գծի հավասարումները, երբ հայտնի են այն կետը, որով այն անցնում է և ուղղորդող վեկտորը.

2. Ո՞րն է հարթության վրա ուղիղ գծի նորմալ, ընդհանուր հավասարումը;

3. Անվանե՛ք երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով, ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ;

4. Թվարկե՛ք տողերի միջև անկյունը հաշվարկելու բանաձևերը, տրված հավասարումներանկյան գործակցով։ Ձևակերպե՛ք երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները:

5. Ինչպե՞ս գտնել կետից ուղիղ հեռավորությունը:

Թող երկու միավոր տրվի Մ(X 1 ,ժամը 1) և Ն(X 2,y 2). Գտնենք այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Քանի որ այս տողը անցնում է կետով Մ, ապա համաձայն (1.13) բանաձևի նրա հավասարումն ունի ձև

ժամը – Յ 1 = Կ(X-x 1),

Որտեղ Կանհայտ թեքությունն է։

Այս գործակցի արժեքը որոշվում է այն պայմանից, որ ցանկալի ուղիղ գիծը անցնում է կետով Ն, ինչը նշանակում է, որ դրա կոորդինատները բավարարում են հավասարումը (1.13)

Յ 2 – Յ 1 = Կ(X 2 – X 1),

Այստեղից կարող եք գտնել այս գծի թեքությունը.

,

Կամ դարձից հետո

(1.14)

Բանաձևը (1.14) սահմանում է Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Մ(X 1, Յ 1) և Ն(X 2, Յ 2).

Կոնկրետ այն դեպքում, երբ միավորները Մ(Ա, 0), Ն(0, Բ), ԲԱՅՑ ¹ 0, Բ¹ 0, ընկած է կոորդինատային առանցքների վրա, հավասարումը (1.14) ստանում է ավելի պարզ ձև

Հավասարում (1.15)կանչեց Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, այստեղ ԲԱՅՑԵվ ԲՆշեք առանցքների վրա ուղիղ գծով կտրված հատվածներ (Նկար 1.6):

Նկար 1.6

Օրինակ 1.10. Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ(1, 2) և Բ(3, –1).

. Համաձայն (1.14) ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձևը

2(Յ – 2) = -3(X – 1).

Բոլոր տերմինները տեղափոխելով ձախ կողմ՝ վերջապես ստանում ենք ցանկալի հավասարումը

3X + 2Յ – 7 = 0.

Օրինակ 1.11. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Մ(2, 1) և գծերի հատման կետը X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Այս հավասարումները միասին լուծելով գտնում ենք ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

Եթե ​​այս հավասարումները գումարենք անդամ առ անդամ, կստանանք 2 X+ 1 = 0, որտեղից . Գտնված արժեքը փոխարինելով ցանկացած հավասարման մեջ՝ գտնում ենք օրդինատի արժեքը ժամը:

Այժմ գրենք (2, 1) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը և.

կամ .

Հետևաբար կամ -5( Յ – 1) = X – 2.

Ի վերջո, մենք ստանում ենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը ձևով X + 5Յ – 7 = 0.

Օրինակ 1.12. Գտե՛ք կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ(2.1) և Ն(2,3).

Օգտագործելով բանաձևը (1.14) մենք ստանում ենք հավասարումը

Դա իմաստ չունի, քանի որ երկրորդ հայտարարը զրո է: Խնդրի պայմանից երևում է, որ երկու կետերի աբսցիսներն ունեն նույն արժեքը։ Այսպիսով, պահանջվող գիծը զուգահեռ է առանցքին OYև դրա հավասարումը հետևյալն է. x = 2.

Մեկնաբանություն . Եթե ​​ուղիղ գծի հավասարումը գրելիս ըստ (1.14) բանաձևի, հայտարարներից մեկը պարզվում է. զրո, ապա ցանկալի հավասարումը կարելի է ստանալ՝ համապատասխան համարիչը հավասարեցնելով զրոյի։

Դիտարկենք հարթության վրա ուղիղ գիծ դնելու այլ եղանակներ։

1. Թող ոչ զրոյական վեկտորը ուղղահայաց լինի տրված ուղղին Լ, և կետը Մ 0(X 0, Յ 0) ընկած է այս գծի վրա (Նկար 1.7):

Նկար 1.7

Նշանակել Մ(X, Յ) կամայական կետ գծի վրա Լ. Վեկտորներ և Ուղղանկյուն. Օգտագործելով այս վեկտորների ուղղանկյունության պայմանները, մենք ստանում ենք կամ ԲԱՅՑ(X – X 0) + Բ(Յ – Յ 0) = 0.

Մենք ստացել ենք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0-ն ուղղահայաց է վեկտորին: Այս վեկտորը կոչվում է Նորմալ վեկտոր դեպի ուղիղ գիծ Լ. Ստացված հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես

Օ՜ + Վու + ԻՑ= 0, որտեղ ԻՑ = –(ԲԱՅՑX 0 + Ըստ 0), (1.16),

Որտեղ ԲԱՅՑԵվ INնորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:

Մենք ստանում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրային ձևով:

2. Հարթության վրա ուղիղ կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ՝ թող ոչ զրոյական վեկտորը զուգահեռ լինի տրված ուղիղին. Լև կետ Մ 0(X 0, Յ 0) ընկած է այս գծում: Կրկին վերցրեք կամայական կետ Մ(X, y) ուղիղ գծի վրա (Նկար 1.8):

Նկար 1.8

Վեկտորներ և համագիծ.

Գրենք այս վեկտորների համագծի պայմանը. , որտեղ Տկամայական թիվ է, որը կոչվում է պարամետր: Այս հավասարությունը գրենք կոորդինատներով.

Այս հավասարումները կոչվում են Պարամետրային հավասարումներ Ուղիղ. Այս հավասարումներից բացառենք պարամետրը Տ:

Այս հավասարումները կարելի է գրել ձևով

. (1.18)

Ստացված հավասարումը կոչվում է Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը. Վեկտորային զանգ Ուղղության վեկտորը ուղիղ .

Մեկնաբանություն . Հեշտ է տեսնել, որ եթե-ն գծի նորմալ վեկտորն է Լ, ապա նրա ուղղության վեկտորը կարող է լինել վեկտորը , քանի որ , այսինքն .

Օրինակ 1.13. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0 (1, 1) 3-րդ տողին զուգահեռ X + 2ժամը– 8 = 0.

Լուծում . Վեկտորը նորմալ վեկտոր է տրված և ցանկալի գծերի համար: Կիրառենք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Մ 0 տրված նորմալ վեկտորով 3( X –1) + 2(ժամը- 1) = 0 կամ 3 X + 2տ- 5 \u003d 0. Մենք ստացանք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը:

Տրված կետով տվյալ ուղղությամբ անցնող ուղիղի հավասարումը. Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Անկյուն երկու գծերի միջև: Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայման. Երկու ուղիղների հատման կետի որոշում

1. Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Ա(x 1 , y 1) տվյալ ուղղությամբ, որը որոշվում է թեքությամբ կ,

y - y 1 = կ(x - x 1). (1)

Այս հավասարումը սահմանում է կետի միջով անցնող գծերի մատիտ Ա(x 1 , y 1), որը կոչվում է ճառագայթի կենտրոն:

2. Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Ա(x 1 , y 1) և Բ(x 2 , y 2) գրված է այսպես.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի թեքությունը որոշվում է բանաձևով

3. Անկյուն ուղիղ գծերի միջև ԱԵվ Բայն անկյունն է, որով պետք է պտտվի առաջին ուղիղ գիծը Աայս գծերի հատման կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մինչև այն համընկնի երկրորդ գծի հետ Բ. Եթե ​​թեքության հավասարումներով տրված են երկու ուղիղ

y = կ 1 x + Բ 1 ,